Generování pseudonáhodných. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
|
|
- Jitka Vlčková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Generování pseudonáhodných čísel při simulaci Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1
2 Úvodní poznámky V simulačních modelech se velice často vyskytují náhodné proměnné. Proto se budeme zabývat otázkou, jak při simulaci získávat hodnoty z konkrétního pravděpodobnostního rozdělení. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 2
3 Úvodní poznámky V podstatě máme dvě možnosti: 1) Konkrétní realizace náhodné proměnné získat na reálném systému a tyto realizace pak použít při simulaci. Tento způsob však není zpravidla vhodný, protože při simulačních eperimentech je potřeba řádově tisíce až statisíce takových hodnot. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 3
4 Úvodní poznámky 2) Na základě pozorování reálného systému zjistíme pravděpodobnostní zákonnosti, kterými se příslušné procesy řídí (tj. stanovit typ rozdělení náhodné proměnné a odhadnout její parametry), a při simulaci se potom generují hodnoty řídící se daným rozdělením pomocí vhodného generátoru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 4
5 Úvodní poznámky Mezi základní požadavky na generátor patří: 1) Dobré a stabilní vlastnosti (vytvořená posloupnost generovaných hodnot se maimálně musí přibližovat posloupnosti náhodných čísel). 2) Generátor musí mít dostatečně dlouhou periodu (posloupnost generovaných hodnot se nesmí opakovat). 3) Procedura generování musí být dostatečně rychlá. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 5
6 Náhodná čísla Náhodnými čísly budeme rozumět nezávislé hodnoty rovnoměrného rozdělení z intervalu (0; 1). Rozdělení můžeme popsat hustotou pravděpodobnosti: f ( ) = 1pro 0 < < 1, f ( ) = 0 jinde. 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 Ing. Michal Dorda, Ph.D. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 6
7 Náhodná čísla Distribuční funkce rovnoměrného rozdělení z intervalu (0; 1) je definována: 1 F( ) = 0 pro 0, 0,8 F ( ) = pro 0 < < 1, F( ) = 1pro 1. 0,6 0,4 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 Ing. Michal Dorda, Ph.D. 7
8 Náhodná čísla Pro střední hodnotu a rozptyl platí: EX 1 =, DX 2 = Rovnoměrné rozdělení z intervalu (0; 1) budeme značit R(0; 1) a jeho konkrétní realizace r. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 8
9 Náhodná čísla Náhodné číslo rje v podstatě posloupnost k náhodných číslic α 1, α 2,, α k a můžeme ho zapsat ve tvaru: α1 α 2 r = α k k 10, kde α 1, α 2,, α k jsou číslice 0, 1,, 9 a kde realizace každé číslice má pravděpodobnost Ing. Michal Dorda, Ph.D. 9
10 Náhodná čísla Možností, jak generovat náhodná čísla, je několik: 1) Využití mechanických generátorů. 2) Využití fyzikálních generátorů. 3) Tabulky náhodných čísel. 4) Aritmetické generátory. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 10
11 Náhodná čísla ad1) Klasickým mechanickým generátorem je použití urny, ve které je 10 stejných koulí označených čísly 0, 1,, 9. Z urny postupně pro i= 1, 2,, kvyjmeme jednu kouli, číslici zapíšeme na příslušnou pozici a kouli vrátíme do urny. Je zřejmé, že takovýto postup je pro počítačovou simulaci neefektivní a nevhodný. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 11
12 Náhodná čísla ad 2) Vhodnějším způsobem je použití generátorů založených na fyzikálních jevech, které mají náhodný charakter, např. radioaktivní rozpad, šum elektronky apod. Problémem je nutnost připojení tohoto generátoru k počítači, získaná čísla jsou opravdu náhodná, nicméně je nelze reprodukovat. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 12
13 Náhodná čísla ad 3) Další možný způsob získávání náhodných čísel (zejména při ručních výpočtech) je užití tzv. tabulek náhodných čísel. K jejich tvorbě se používaly rozsáhle soubory dat získané k jiným účelům (např. čísla v telefonním seznamu apod.). Např. z roku 1927 pocházejí Tippetovy tabulky obsahující náhodných číslic nebo tabulky RAND Corp. z roku 1955 obsahující náhodných číslic. Pro počítačové eperimenty většího rozsahu jsou ovšem opět nevhodné. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 13
14 Náhodná čísla Pro generování náhodných čísel na počítačích se nejčastěji používají aritmetické generátory, jež jsou založeny na rekurentním vztahu typu: = f (,,..., ), n+ 1 = n, n 1 0 další člen posloupnosti generovaných hodnot závisí na hodnotách předchozích, nejedná se tedy o opravdová náhodná čísla, proto hovoříme o pseudonáhodných číslech. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 14
15 Náhodná čísla Nejstarším aritmetickým generátorem je metoda Prostředních řádů druhé mocniny navržený v roce 1946 John von Neumannem. Princip metody je následující: 1) Vybere se vhodné počáteční číslo 0 o 2k číslicích. 2) Číslo se umocní. 3) Z druhé mocniny se vybere prostředních 2k číslic. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 15
16 Náhodná čísla 4) Získané číslo se považuje za další prvek posloupnosti. 5) Návrat na krok 2. Nevýhodou tohoto generátoru je, že získaná posloupnost generovaných čísel je poměrně malá (generátor má malou periodu), generovaná posloupnost nevyhovuje některým testům náhodnosti a proces generování je pomalejší. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 16
17 Náhodná čísla Př. 1: Nechť je dáno počáteční číslo 0 = Vygenerujte prvních 5 členů posloupnosti pseudonáhodných čísel Druhá mocnina má pouze 7 číslic, proto doplníme na začátek 0 a vybereme prostřední 4 číslice. Druhá mocnina má pouze 6 číslic, proto doplníme na začátek 00 a vybereme prostřední 4 číslice. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 17
18 Náhodná čísla Nejrozšířenějšími aritmetickými generátory jsou tzv. lineární kongruenční generátory založené na principu zavedeném D. H. Lehmeremv roce Generátor je založen na vztahu: = ( a c)( mod ), n + 1 n + m kde 0 je počáteční hodnota posloupnosti, aa c jsou vhodně zvolená čísla, číslo mse nazývá modul a zápis (modm) modulo m značí zbytek po celočíselném dělení. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 18
19 Náhodná čísla Tento vztah lze upravit na tvar: n+ a n + c 1 = a n + c m, m a + c m n kde značí celou část čísla a n + c m. Jak je z výše uvedeného vztahu zřejmé, hodnoty posloupnosti jsou celočíselné zbytky po dělení číslem m, generované hodnoty tedy náleží do množiny 0;1;2;...; m 1 { }. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 19
20 Náhodná čísla Chceme-li tedy generovat hodnoty ležící v intervalu (0; 1), musíme vygenerované hodnoty podělit modulem m, tedy: rn = n m, v případě, že dojde ve vygenerované posloupnosti k výskytu 0, vynecháme ji. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 20
21 Náhodná čísla Posloupnost generovaných hodnot je konečná a má svou periodu P m, po uplynutí periody se posloupnost opakuje. Uvedený lineární kongruenční generátor se nazývá smíšený. V případě c= 0 dostáváme: ( mod ), n+ 1 = a n m a jedná se o multiplikativní (Lehmerův) generátor. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 21
22 Náhodná čísla Pro aditivní (Fibonacciův) generátor platí: = ( )( mod ). n+ 1 n + n 1 m Ing. Michal Dorda, Ph.D. 22
23 Náhodná čísla Př. 2: Uvažujme smíšený lineární kongruenční generátor s následujícími parametry. Vygenerujte jednotlivé členy posloupnosti a zjistěte, jaká je jeho perioda. 0 7 a 11 c 9 m 13 n ( 11 9)( mod13), + 1 = n + Ing. Michal Dorda, Ph.D. 23
24 Postup při výpočtu 1 : a 0 + c Náhodná čísla = = 86, a 0 + c 86 = = & 6,62, m 13 a 0 + c = [ 6,62] = 6, m a 0 a 0 + c + c m = = 8. m Analogickým postupem stanovíme i další členy posloupnosti. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 24
25 Náhodná čísla n 11 n n = 11 n (mod 13) Vidíme, že pro n = 12 se posloupnost začíná opakovat, perioda tohoto generátoru Pje rovna 12. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 25
26 Náhodná čísla Uveďme na ukázku konkrétní lineární kongruenční generátory využívané v prai: 1) V počítačích IBM byl využit generátor: = n+ 1 n ( 31 mod 2 ). 2) Millerův a Prenticůvgenerátor je definován rekurentním vztahem: n+ 1 = n 2 + n 3 ( mod 3137) a má periodu Ing. Michal Dorda, Ph.D. 26
27 Metody transformace náhodných čísel Doposud jsme se zabývali, jak generovat hodnoty rovnoměrného rozdělení z intervalu (0; 1). Nyní bychom ale chtěli generovat hodnoty rovnoměrného rozdělení, ovšem z intervalu (a, b). Platí: ( ), = a + b a r kde rje hodnota z rovnoměrného rozdělení z intervalu (0; 1). Ing. Michal Dorda, Ph.D. 27
28 Metody transformace náhodných čísel Tento vztah získáme aplikací metody inverzní transformace, kterou se budeme zabývat dále. Chceme-li generovat hodnoty řídící se určitým rozdělením pravděpodobnosti, je postup následující: 1) Vygenerujeme náhodné číslo rz rovnoměrného rozdělení R(0; 1). 2) Vygenerované náhodné číslo rpomocí vhodné metody transformace převedeme na hodnotu odpovídající příslušnému rozdělení pravděpodobnosti. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 28
29 Metody transformace náhodných čísel Mezi nejčastěji užívané metody transformace patří: 1) Metoda inverzní transformace. 2) Tabulková metoda. 3) Zamítací (vylučovací) metoda. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 29
30 Metoda inverzní transformace Mějme spojitou náhodnou proměnnou X, pro jejíž hustotu pravděpodobnosti platí: f ( ) > 0pro a < < b, f ( ) = 0 jinde. Potom je distribuční funkce F() na intervalu (a; b) rostoucí a nabývá hodnot z intervalu (0; 1). Ing. Michal Dorda, Ph.D. 30
31 Metoda inverzní transformace Zvolíme-li nyní číslo rz intervalu (0; 1), je zřejmé, že pro z intervalu (a; b) platí: r = F ( ). Chceme-li stanovit hodnotu, musíme nalézt inverzní funkci k distribuční funkci (pokud inverzní funkce eistuje): = F ( ). 1 r Ing. Michal Dorda, Ph.D. 31
32 Metoda inverzní transformace Postup je tedy následující: 1) Vygenerujeme náhodné číslo r. ( ) 1 2) Položíme = F r, kde je hodnota z příslušného rozdělení pravděpodobnosti. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 32
33 Metoda inverzní transformace F() 1 r 0 Ing. Michal Dorda, Ph.D. 33
34 Metoda inverzní transformace Př. 3: Metodou inverzní transformace nalezněte předpis pro generování hodnot z rozdělení definovaného hustotou pravděpodobnosti ve tvaru: f ( ) = 4 3 pro 0 < < 1, f ( ) = 0 jinde. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 34
35 Metoda inverzní transformace Nejdříve musíme nalézt předpis pro distribuční funkci: F( ) = 0pro 0, F F 3 4 ( t) = 4t = pro 0 < < 1, 0 ( ) = 1pro 1. Nyní musíme nalézt funkci inverzní, tedy: 4 ( r) r. 1 = F = Ing. Michal Dorda, Ph.D. 35
36 Metoda inverzní transformace Př. 4: Pomocí metody inverzní transformace nalezněte předpis pro generování hodnot z eponenciálního rozdělení. Víme, že distribuční funkce eponenciálního rozdělení je ve tvaru: F F ( ) = 0pro 0, µ ( ) = 1 e pro > 0, kde μ>0 je parametr rozdělení. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 36
37 Metoda inverzní transformace Postupně upravujeme: r = 1 e 1 r µ ( r) = ln e, ( r ) = µ ln e, ln( 1 r). ln 1 ln 1 = = e µ µ µ,, Jestliže rje náhodné číslo, potom i 1 rje náhodné číslo, můžeme tedy psát: = ln r µ. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 37
38 Tabulková metoda V některých případech může být nalezení inverzní funkce k distribuční funkci problematické, případně distribuční funkce v eplicitním tvaru neeistuje (např. normální rozdělení) nebo máme rozdělení popsáno empirickou distribuční funkcí (histogram relativních kumulativních četností). V těchto případech lze použít tzv. tabulkovou metodu. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 38
39 Tabulková metoda Tabulková metoda kombinuje metodu inverzní transformace s numerickou aproimací distribuční funkce. Předpokládejme, že známe hodnoty distribuční funkce F() v bodech 0, 1,, n pro i < i+1. Zvolíme-li vhodně soustavu bodů i, můžeme distribuční funkci aproimovat po částech lineární funkcí viz obrázek. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 39
40 Tabulková metoda F( i+1 ) r F( i+1 ) r 1 F( i ) F() F( i i ) i+1 F( 2 ) F( 1 ) i i+1 Ing. Michal Dorda, Ph.D. 40
41 Tabulková metoda i i+1 Úpravami dostaneme: [ r F( )] F( i+1 ) r Z podobnosti trojúhelníků plyne: + i i 1 i =. F( i ) r F( ) F( ) F( ) i i+ 1 i ( ) < r F( ). i+ 1 i = i + i < i+ F( i+ 1) F( i ) pro F i 1 Ing. Michal Dorda, Ph.D. 41
42 Vylučovací metoda Předpokládejme, že hustota pravděpodobnosti f()náhodné proměnné je na intervalu a; b shora ohraničená hodnotou ca vně tohoto intervalu je f() = 0. Generujeme body [; y]s rovnoměrným rozdělením v obdélníku určeném body a, ba c. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 42
43 Vylučovací metoda f() c f() y [; y] 0 a b Ing. Michal Dorda, Ph.D. 43
44 Vylučovací metoda Mohou nastat dvě situace: 1) Pokud vygenerovaný bod leží v oblasti ohraničené hustotou pravděpodobnosti f(), tedy platí nerovnost y f(), potom je hodnota vygenerované číslo z rozdělení s danou hustotou f(). 2) Pokud platí y >f(), bodtedyneležív oblasti ohraničené hustotou f(), potom hodnota není z příslušného rozdělení. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 44
45 Vylučovací metoda Algoritmus generování pomocí vylučovací metody můžeme popsat kroky: 1) Generujeme dvojici náhodných čísel r 1 a r 2. ( ) r1 2) Položíme = a + b a r a y = c r, je tedy zřejmé, 2 že hodnoty a yjsou rovnoměrně rozdělené v intervalech (a; b) a (0; c). 3) Jestliže y >f(), návrat na krok 1, v opačném případě je generovaná hodnota. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 45
NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:
NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného
VíceGENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA
GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA Oblasti využití generátorů náhodných čísel Statistika Loterie Kryptografie (kryptologie) Simulace Simulační modely DETERMINISTICKÉ STOCHASTICKÉ (činnost systému
VíceNÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?
NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceAlgoritmizace diskrétních. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Algoritmizace diskrétních simulačních modelů Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Při programování simulačních modelů lze hlavní dílčí problémy shrnout do následujících bodů: 1) Zachycení statických
VíceBayesovské metody. Mnohorozměrná analýza dat
Mnohorozměrná analýza dat Podmíněná pravděpodobnost Definice: Uvažujme náhodné jevy A a B takové, že P(B) > 0. Podmíněnou pravěpodobností jevu A za podmínky, že nastal jev B, nazýváme podíl P(A B) P(A
VíceNáhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceE(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =
Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
VíceTestování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceZákladní statistické modely Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada ~ cada
Základní statistické modely 1 Statistika Matematická statistika se zabývá interpretací získaných náhodných dat. Snažíme se přiřadit statistickému souboru vhodnou distribuční funkci a najít základní číselné
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VícePearsonůvχ 2 test dobré shody. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Ing. Michal Dorda, Ph.D. Př. : Ve vjezdové skupině kolejí byly sledovány počty přijíždějících vlaků za hodinu. Za 5 dní (tedy 360 hodin) přijelo celkem 87 vlaků. Výsledky sledování jsou uvedeny v tabulce.
VíceNáhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
VíceŘešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že
Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceVYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ
VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ Michal Kořenář 1 Abstrakt Rozvoj výpočetní techniky v poslední době umožnil také rozvoj výpočetních metod, které nejsou založeny na bázi
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceTéma 3: Metoda Monte Carlo
y Náhodná proměnná D Téma 3: Metoda Monte Carlo Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování konstrukcí 4. ročník bakalářského studia 1,0 1,00 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00 0,00 0,0 0,40 0,60 0,80 1,00
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceNáhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti
3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro
Více1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost
1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
VíceTeorie náhodných matic aneb tak trochu jiná statistika
Teorie náhodných matic aneb tak trochu jiná statistika B. Vlková 1, M.Berg 2, B. Martínek 3, O. Švec 4, M. Neumann 5 Gymnázium Uničov 1, Gymnázium Václava Hraběte Hořovice 2, Mendelovo gymnázium Opava
VíceČasové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Stochastický proces Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2 } se nazývá stochastický proces
VícePraktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková
Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo
VíceČasové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů
Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Časové
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceZpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceSTANOVENÍ SPOLEHLIVOSTI GEOTECHNICKÝCH KONSTRUKCÍ. J. Pruška, T. Parák
STANOVENÍ SPOLEHLIVOSTI GEOTECHNICKÝCH KONSTRUKCÍ J. Pruška, T. Parák OBSAH: 1. Co je to spolehlivost, pravděpodobnost poruchy, riziko. 2. Deterministický a pravděpodobnostní přístup k řešení problémů.
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceUrčete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.
3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její
Více2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení
2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
VíceCvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost
VícePravděpodobnost, náhoda, kostky
Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
Více8. Normální rozdělení
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá
VíceV této kapitole si zobecníme dříve probraný pojem limita posloupnosti pro libovolné funkce.
Kapitola 7 Limita funkce V této kapitole budeme studovat pojem ita funkce, který lze zařadit mezi základní pojmy matematiky, speciálně pak matematické analýzy Využití ity funkce je široké Pomocí ity lze
Vícef(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0
KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že
VíceVlastnosti a modelování aditivního
Vlastnosti a modelování aditivního bílého šumu s normálním rozdělením kacmarp@fel.cvut.cz verze: 0090913 1 Bílý šum s normálním rozdělením V této kapitole se budeme zabývat reálným gaussovským šumem n(t),
Více1 Analytické metody durace a konvexita aktiva (dluhopisu) $)*
Modely analýzy a syntézy plánů MAF/KIV) Přednáška 10 itlivostní analýza 1 Analytické metody durace a konvexita aktiva dluhopisu) Budeme uvažovat následující tvar cenové rovnice =, 1) kde jsou současná
Více2. Základní typy dat Spojitá a kategoriální data Základní popisné statistiky Frekvenční tabulky Grafický popis dat
2. Základní typy dat Spojitá a kategoriální data Základní popisné statistiky Frekvenční tabulky Grafický popis dat Anotace Realitu můžeme popisovat různými typy dat, každý z nich se specifickými vlastnostmi,
VíceAlgebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.
Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost
VíceNormální (Gaussovo) rozdělení
Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VíceFunkce arcsin. Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde 4.
.. Funkce arcsin Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde - - - - - - y = y = Eponenciální
VícePosloupnosti a jejich limity
KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování
VíceNormální (Gaussovo) rozdělení
Normální (Gaussovo) rozdělení f x = 1 2 exp x 2 2 2 f(x) je funkce hustoty pravděpodobnosti, symetrická vůči poloze maxima x = μ μ střední hodnota σ směrodatná odchylka (tzv. pološířka křivky mezi inflexními
Více2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití
2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí definovat funkci přežití, rizikovou funkci a kumulativní rizikovou funkci a zná funkční vazby mezi nimi 2. Student
VíceZáklady teorie odhadu parametrů bodový odhad
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceZpracování náhodného vektoru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Př. 1: Cestující na vybraném spoji linky MHD byli dotazováni za účelem zjištění spokojenosti s kvalitou MHD. Legenda 1 Velmi spokojen Spokojen 3 Nespokojen 4 Velmi nespokojen
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bayesovské odhady
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bayesovské odhady Bayesovské odhady - úvod Klasický bayesovský přístup: Klasický přístup je založen na opakování pokusech sledujeme rekvenci nastoupení zvolených jevů Bayesovský
VíceDiskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
VíceNestranný odhad Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada
Nestranný odhad 1 Parametr θ Máme statistický (výběrový) soubor, který je realizací náhodného výběru 1, 2, 3,, n z pravděpodobnostní distribuce, která je kompletně stanovena jedním nebo více parametry
Více1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
VíceTéma 2 Simulační metody typu Monte Carlo
Spolehlivost a bezpečnost staveb, 4.ročník bakalářského studia Téma 2 Simulační metody typu Monte Carlo Princip simulačních metod typu Monte Carlo Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA)
VícePravděpodobnost a statistika I KMA/K413
Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,
Více8 Střední hodnota a rozptyl
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení
Víceh = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R
.4. Cíle V této kapitole jsou deinován nejdůležitější pojm týkající se vlastností unkcí. Při dalším studiu budou tto vlastnosti často používán. Je proto nutné si jejich deinice dobře zapamatovat. Deinice.4..
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VícePřednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné
Přednáška : Reálná unkce jedné reálné proměnné Pojem unkce Deinice Reálnou unkcí jedné reálné proměnné rozumíme předpis y ( ) na jehož základě je každému prvku množiny D (zvané deiniční obor) přiřazen
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceFunkce Arcsin. Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 je číslo, jehož druhá mocnina se rovná 4.
..6 Funkce Arcsin Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = je číslo, jehož druhá mocnina se rovná. - - - - - - y = y = Eponenciální
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VícePojistná matematika. Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití. Silvie Kafková
Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití 2015 Osnova 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla Obsah 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VíceStanovení nejistot při výpočtu kontaminace zasaženého území
Stanovení nejistot při výpočtu kontaminace zasaženého území Michal Balatka Abstrakt Hodnocení ekologického rizika kontaminovaných území představuje komplexní úlohu, která vyžaduje celou řadu vstupních
VíceAVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceNáhodná proměnná. Náhodná proměnná může mít rozdělení diskrétní (x 1. , x 2. ; x 2. spojité (<x 1
Náhodná proměnná Náhodná proměnná může mít rozdělení diskrétní (x 1, x 2,,x n ) spojité () Poznámky: 1. Fyzikální veličiny jsou zpravidla spojité, ale změřené hodnoty jsou diskrétní. 2. Pokud
VíceSTATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik
STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik Jak stanovit charakteristiky rozložení sledované veličiny v základní populaci? Populaci většinou nemáme celou k dispozici, musíme se spokojit jen s
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b
VíceData v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty
Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)
Více4. Kombinatorika a matice
4 Kombinatorika a matice 4 Princip inkluze a exkluze Předpokládejme, že chceme znát počet přirozených čísel menších než sto, která jsou dělitelná dvěma nebo třemi Označme N k množinu přirozených čísel
VícePravděpodobnost, náhoda, kostky
Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností připomenutí, souvislosti
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
Více