Speciální teorie relativity IF relativistická kinematika

Transkript

1 Prinip relatiity Speiální teorie relatiity IF relatiistiká kinematika Newtonoy pohyboé zákony umožňují popis hoání těles pohybujííh se nízkými ryhlostmi Při ryhlosteh, kterýh dosahují částie uryhloačíh, šak tyto zákony přestáají platit Pohyb těhto části umožňuje popsat Einsteinoa speiální teorie relatiity Přesněji řečeno, tato teorie formuluje spráné zákony pohybu pro liboolné těleso Newtonoy zákony jsou zjednodušenou formou zákonů STR pro případ elmi malýh ryhlostí ( «) Pro částie pohybujíí se malými ryhlostmi je rozdíl mezi Einsteinoými a Newtonoými pohyboými zákony nepatrný Tím lze ysětlit, proč relatiita nehraje běžném žiotě ýznamnou roli Einsteinoa teorie přesahuje Newtonou, ale pro tělesa pohybujíí se běžnými ryhlostmi postačuje přesnost Newtonoy teorie Dnes je již spolehliě oěřeno, že Einsteinoa teorie skutečně platí a poskytuje možnost popsat pohyb relatiistikýh části, tj těles, které se pohybují ryhlostmi sronatelnými s ryhlostí sětla Vzhledem k tomu, že takoé ryhlosti se ymykají každodenním zkušenostem ětšiny z nás, mohou se některé Einsteinoy předpoědi zdát podiné nebo nepohopitelné To šak nijak nezpohybňuje jejih platnost Teoretiký základ speiální teorie relatiity Einsteinoa speiální teorie relatiity yplýá ze dou základníh postulátů: Ryhlost sětla je stejná pro šehny pozoroatele nezáisle na jejih zájemnýh ryhlosteh Fyzikální zákony mají e šeh ineriálníh soustaáh (soustay bez zryhlení) stejný tar, hypotetiký pozoroatel na relatiistiké částii musí pozoroat stejné fyzikální zákony jako ten, který zůstáá klidu laboratorní soustaě Splnění těhto podmínek není možné, pokud nepřiřadíme každé ztažné soustaě nejen lastní prostoroé souřadnie, ale i čas Veličiny jako délka a čas se musí pro jednotlié pozoroatele měnit, aby bylo možno konzistentně yjádřit neměnné fyzikální skutečnosti jako např poločas rozpadu částie Platnost obou základníh předpokladů byla oěřoána řadou fyzikálníh experimentů a e šeh byla potrzena Ryhlost sětla je stejná pro šehny pozoroatele Z n a m e n á t o, ž e e x i s t u j e z á k l a d n í p ř í r o d n í k o n s t a n t a - r y h l o s t s ě t l a Všimněme si, jak podstatně se tato skutečnost liší od běžné zkušenosti Jedu-li po dálnii ryhlostí 0 km/h zhledem k silnii, auto jedouí stejným směrem ryhlostí 30 km/h má zhledem ke mně relatiní ryhlost 0 km/h, zatímo protijedouí auto se stejnou ryhlostí se zhledem ke mně pohybuje ryhlostí 50 km/h Ryhlost aut ůči mně záisí na mém i na jejih pohybu Fyzika je stejná pro šehny ineriální pozoroatele Druhý postulát je základním, byť neysloeným ýhodiskem eškerého ědekého bádání očekááme, že přírodě existují obená praidla, která platí nezáisle na okolnosteh pozoroání, tz inariantní zákonitosti To neznamená, že se še hoá stejně na Zemi i elém esmíru, např pozoroatel na porhu Země je oliněn zemskou tíží, očekááme šak, že působení síly na těleso je stejné nezáisle na tom, o sílu yolalo, kde se těleso nahází nebo jakou ryhlostí se pohybuje Einsteinoa speiální teorie relatiity (zabýá se relatiním pohybem těles) sobě zahrnuje jak konstantní ryhlost sětla pro šehny pozoroatele, tak šeobeně známé skládání malýh ryhlostí Připomeňme si, že Einsteinoa obená teorie relatiity je zela odlišná teorie o zela jiném problému působení graitae Postuláty OTR: Fyzikální zákony mají e šeh soustaáh stejný tar Graitační a setračné síly mají stejnou fyzikální podstatu a platí pro ně stejné fyzikální zákony

2 Speiální teorie relatiity IF relatiistiká kinematika Transformační ztahy Galileoa transformae použíá se Newtonoské fyzie (i běžném žiotě): Máme-li souřadnioý systém spojený se Zemí (laboratorní soustaa), a jinou soustau, která se zhledem k Zemi pohybuje konstantní ryhlostí například podél osy x, platí mezi oběma systémy transformae (souřadnie bodu pohybujíí se soustaě jsou označeny čárkou) t t x x t y y z z t t x x t y y z z Pro obě soustay platí tentýž čas, teoretiky se připouští jakákoli ryhlost posunu ose x Transformai ryhlosti zjistíme snadno derioáním transformačníh ztahů: ux u x uy u y uz u z u x ux u y uy u z uz Pohybuje-li se šak soustaa ysokou ryhlostí (blízkou ryhlosti sětla), je zřejmé, že tato transformae neumožňuje splnit Einsteinů postulát Lorentzoa transformae Prní relatiistiký postulát yplynul z Maxwelloýh roni elektrodynamiky Práě požadaek na inariantnost této soustay roni popisujííh elektromagnetiké záření, edl nizozemského fyzika H A Lorentze k formulai speiální transformae souřadni Mějme dě ztažné soustay S a S', které se ůči sobě pohybují e směru osy x ryhlostí blízkou ryhlosti sětla Souřadnie příčném směru se nemění, x-oá souřadnie a čas obou soustaáh jsou sázány následujíími ztahy: Odkud se zal koefiient? Kupodiu lze k němu dospět poměrně jednoduhou úahou na základě příkladu z klasiké mehaniky Uažujme loďku ploouí ryhlostí na řee plynouí stálou ryhlostí Nejdříe popluje z jednoho břehu na druhý a zpět tou nejkratší možnou estou Je zřejmé, že aby se loďka dostala kolmo na protější břeh, musí plout šikmo proti proudu, takže její ryhlost e směru kolmo na břeh řeky bude oděsnou praoúhlého trojúhelníka (iz praidlo o grafikém sčítání ektorů) a čas potřebný k překonání d d dojnásobku šířky řeky bude dán ztahem t Ve druhém případě ypočítáme čas potřebný k tomu, aby loďka překonala stejnou zdálenost podélném směru Pluje-li proti proudu, potřebuje k překonání zdálenosti d čas t t x x x t y y z z t t x x x t y y z z d t, pluje-li po proudu, stačí jí čas d t d d d d t Celkoý čas plaby je t t t, poměr časů plaby je, t pluje-li loďka tam a zpět e směru ryhlosti, potřebuje na uplaání stejné dráhy jako kolmém směru -krát delší čas

3 Speiální teorie relatiity IF relatiistiká kinematika Nahraďme loďku sětelným signálem, odu řee éterem (hypotetiká látka umožňujíí šíření elektromagnetikého lnění), soustau spojenou s břehem řeky označme S, soustau spojenou s odou řee S' Náš hypotetiký pokus se pak stane popisem tz Mihelsonoa pokusu, který měl na koni 9 stol experimentálně potrdit, či yrátit existeni éteru Negatiní ýsledky tohoto měření edly ke konečnému opuštění teorie éteru 3 Dilatae času Nyní se pokusíme ýsledky tohoto mehanikého pokusu yužít na sětlo Předstame si sětelné hodiny - dě ronoběžná zradla (Z, Z ), od nihž se periodiky odráží sětelný signál Nejedná se o skutečný přístroj, který by šel použít praxi nebo experimentální fyzie - je to jen myšlený model hodin, který je pro soji jednoduhost ýhodný úaháh o měření času Uažujeme dě ineriální soustay S a S Soustaa S se pohybuje e směru osy x ryhlostí V čase t 0 = 0 jsou počátky obou ineriálníh ztažnýh sousta počátku, do kterého umístíme stejné sětelné hodiny H a H tak, aby jejih osy byly kolmé k ektoru ryhlosti V obou ineriálníh ztažnýh soustaáh jsou pozoroatelé P a P, kteří uedou hodiny současně do hodu e híli, kdy osy hodin splýají (=současná a soumístná událost) V soustaě S se sětelný paprsek pohybuje e směru osy sětelnýh hodin, ale soustaě S se pohybuje po úseče PM Z postulátu ryhlosti sětla yplýá, že sětelný paprsek urazí za dobu t dráhu PM = t Tato dráha musí být stejná, jako dráha sětla hodináh H za dobu t Pozoroatel soustaě S musí na tik hodin H soustaě S čekat déle, pozoruje, že hodiny tikají pomaleji Vztah mezi t a t zjistíme z praoúhlého trojúhelníka PP M: t t t t t Odozený ztah není transformační ztah pro časoou souřadnii, ale yjádření toho, jak se mění pozoroaný časoý interal mezi děma událostmi různýh ineriálníh soustaáh Zdůrazníme-li skutečnost, že se jedná o časoý interal použitím, získááme známý ztah pro dilatai času t t t t pozn: Podle teorie relatiity je čas relatiní - Když se zhledem k nám někdo pohybuje relatiistikou ryhlostí, pozorujeme na něm zpomalení, i když on na sobě ni takoého nepozoruje A protože je pohyb relatiní (my se pohybujeme zhledem k němu), pozoruje i on totéž na nás Pro pozoroatele soustaě S platí opačný ztah

4 4 Kontrake délek Speiální teorie relatiity IF relatiistiká kinematika Při předhozí úaze jsme lastně použili jen prní poloinu experimentu s loďkou, pohyb kolmo k toku řeky Nyní doplníme i druhou část ýsledků myšleného mehanikého experimentu Když měříme délku určitého předmětu, předpokládáme, že je umístěn soustaě, která je zhledem k naší ztažné soustaě klidu Předpokládejme šak, že je tyč umístěna klidu soustaě S, která se zhledem k soustaě S pohybuje ronoměrně přímočaře ryhlostí (osy x, x jsou ronoběžné) Pozoroatel soustaě S může délku tyče M N ypočítat tak, že na ose x yznačí polohy konoýh bodů M a N a délku tyče e sé soustaě S pak ypočítá jako zdálenost l = MN okamžitýh poloh obou jejih konů Poloha bodů M a N soustaě S musí být yznačena současně Rozdílný ýsledek měření zplýá ze skutečnosti, že pozoroatel soustaě S nepokládá úsečku MN za délku tyče M N, protože z jeho pohledu bylo měření bodeh MN proedeno postupně, ne současně Předpokládáme, že z leého kone tyče O yšleme e směru jejího pohybu sětelný signál Sětlo se po odrazu od zrátka Z umístěného na druhém koni tyče rátí zpět do bodu O V klidoé soustaě S je doba t, za níž sětlo urazí dráhu O ZO, daná ztahem l t 0 V soustaě S se sětlo šíří od leého kone tyče k zrátku po dobu t, urazí dráhu, kde l je délka tyče soustaě S t t l Při náratu paprsku k leému koni tyče urazí sětlo zhledem k soustaě S dráhu t l t Z posledníh dou ztahů dostááme pro dobu t, za niž se sětelný paprsek soustaě S dostane od leého kone tyče k zrátku a nazpět, (podobně jako příkladu s loďkou) ýraz: l l l l l l l t t t Mezi časem t ineriální soustay S a časem t ineriální ztažné soustay S platí ztah pro dilatai času, takže po dosazení práě odozenýh ztahů za t a t dostááme ronii l l 0 která yjadřuje známý relatiistiký ztah pro kontraki délek 0 0 l l l l 0 je délka předmětu klidoé soustaě S a l délka předmětu soustaě S, zhledem k níž se předmět pohybuje

5 Speiální teorie relatiity IF relatiistiká kinematika 5 Transformae ryhlosti Vraťme se ke ztažným soustaám S a S' Vyšle-li pozoroatel soustaě S' kladném směru osy x foton, pak by se tato částie podle klasikého zákona skládání ryhlostí (podle Galileoy transformae) pohyboala zhledem k soustaě S ryhlostí u = + Tento ýsledek je ale rozporu s druhým postulátem speiální teorie relatiity Je zřejmé, že Lorentzoě transformai bude zore pro skládání ryhlostí ypadat jinak Tento obenější ztah, který platí při liboolnýh ryhlosteh, nyní ododíme Mějme dě ineriální ztažné soustay S a S ( každé je pozoroatel) s ronoběžnými osami x a x V soustaě S se pohybuje částie, která e dou různýh okamžiíh yšle signál Předpokládejme, že čase t = t = 0, němž souřadnioé osy obou sousta splýají, je částie jejih společném počátku a yšle prní signál Za dobu se ronoměrným pohybem dostane do nějakého bodu A a urazí při tom soustaě S' dráhu a zhledem k soustaě S dráhu Průhod částie bodem A je událost, která má soustaě S' souřadnie, a soustaě S souřadnie, Každý pozoroatel změří prostoroý a časoý interal mezi těmito děma událostmi Proedená čtyři měření jsou spojena roniemi: d d d x t t Z definie ryhlosti ronoměrného přímočarého pohybu yplýá, že částie má zhledem k soustaě S' ryhlost u, zhledem k soustaě S ryhlost hledaný zore pro relatiistiké skládání ryhlostí získáme ydělením infinitezimálníh úseků dráhy a času a několika jednoduhými algebraikými úpraami u u u u u pozn: Když ronii formálně použijeme, redukuje se na klasikou ronii skládání ryhlostí V transformačním ztahu pro ryhlost neystupuje relatiistiký koefiient gama Kontrolní otázky: Vysětlete základní postuláty speiální teorie relatiity Vysětlete rozdíl mezi Galileoou a Lorentzoou transformaí (aspoň tři zásadní odlišnosti) Vysětlete, případně matematiky odoďte pojmy dilatae času a kontrake délek Kdy platí Lorenzoa transformae? Dokažte na konkrétním příkladu, že Galileoa transformae neumožňuje splnit prní Einsteinů postulát, zatímo Lorentzoa transformae ano