III. Východiska speciální teorie relativity a Lorentzova transformace

Transkript

1 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 III. Výhodiska speiální teorie relatiity a Lorentzoa transformae III.1. Speiální prinip relatiity V předešlé kapitole jsme iděli, že má-li éteroá teorie ysětlit ýsledky pokusů, musí se doplnit o předpoklady, které se "podezřele" blíží některým důsledkům teorie relatiity (kontrake délek a dilatae času). Pro každou další zkoumanou oblast byhom ošem éteroé teorii museli zaádět další předpoklady, aby nebyla e sporu s ýsledky pokusů. Všimněme si třeba zpožďoání hodu hodin pohybujííh se ůči éteru. To bylo Lorentzoě teorii zaedeno pro šehny jey z oblasti, která byla zkoumána - tj. pro šehny jey elektromagnetiké poahy. Stačilo to k ysětlení Kennedyho-Thorndikeoa pokusu. Nijak odtud ale neplyne, že třeba rozpad nestabilníh elementárníh části by měl probíhat také pomaleji, pokud se ůči éteru pohybují. Tento proes je totiž dán silnou případně slabou, nikoli elektromagnetikou interakí. V zásadě byhom si tedy mohli předstait, že pohyb ůči éteru tyto proesy nijak neoliní, nebo že je oliní jinak. To by dáalo možnost práě s jejih pomoí soustau éteru nalézt. Pokusy šak ukazují, že tomu tak není a "rozpadoé hodiny" jdou e šeh ineriálníh systémeh stejně ryhle jako hodiny založené na elektromagnetikýh jeeh. K udržení éteroé teorie by tedy bylo nutno zaést noý předpoklad předpoklad o hoání rozpadoýh proesů při pohybu části ůči éteru. Podobně byhom další předpoklady museli zaádět kantoé mehanie, kantoé teorii pole atd. Takoéto ymýšlení dalšíh a dalšíh předpokladů ad ho (případ od případu) jen proto, abyhom znou a znou zahraňoali éteroou teorii, resp. přizpůsobili její důsledky ýsledkům noýh pokusů, nás asi nepřesědčí, že éteroá teorie je ta praá pro ysětlení zkoumanýh jeů. Spíše to posiluje podezření, že takto přiházíme o jakési základní ysětlení. Podezření, že lpět na předstaě éteru a uměle udržoat konepi absolutní klidoé soustay nám zabraňuje idět skutečnou souislost šeh zmiňoanýh jeů a experimentálníh fakt. Uedené úahy se mohou zdát ágní a nepřesné. Některým čtenářům snad připadají i zbytečné. Fyzika ošem není pouhým odozoáním důsledků z předem danýh axiomů. Je snahou yznat se přírodníh jeeh, hledáním est, jak je o nejlépe ystihnout a popsat společnými zákony a jako takoá neprauje jen podle exaktně definoanýh formulek. Práě při hledání noýh fyzikálníh zákonů a budoání noýh teorií se nejíe uplatňují i obené kalitatiní úahy a některé prinipy, které třeba nedáají pro další postup přesný náod, ale mohou naznačit hodný směr. Takoým obeně uznáaným, ale ne přesně formuloaným prinipem je konstatoání, že Fyzikální zákony a teorie nejsou zbytečně komplikoané a nepoužíají zbytečné pojmy. (Rozumí se pojmy zbytečné pro popis a ystižení zkoumanýh jeů.) Toto konstatoání, resp. požadaek na fyzikální teorie býá nazýán prinip jednoduhosti. Co to ošem konkrétníh případeh znamená "zbytečně komplikoané" již prinip jednoduhosti neříká. 1

2 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 Skutečně základní teorie opradu zásadě jednoduhé jsou. (Obykle to ošem poznáme, až když se s nimi důkladně seznámíme.) Například základní zákon klasiké mehaniky by jistě nějakém hypotetikém sětě mohl být podstatně komplikoanější než newtonoské ma F. (Jednodušší zákon, třeba m F by zase nedal bohatstí jeů, které pozorujeme.) Albert Einstein často mluil o hledisku, které je prinipu jednoduhosti elmi blízké o požadaku nitřní krásy teorie. Měl tím na mysli její konzistentnost, ale i to, že ystačí s minimem předpokladů a noýh pojmů. Éteroá teorie s řadou "přilepenýh" předpokladů z tohoto hlediska jistě příliš krásná není. Poznamenejme, že prinip jednoduhosti není lastní jen fyzie, ale praktiky elému nooěkému ědekému myšlení. Již hlubokém středoěku jej formuloal angliký filozof William Oam. O požadaku "odřezáajíím" z teorie še zbytečné se proto často mluí jako o Oamoě břitě. Vraťme se zpět k problematie éteru a éteroé teorie. Bez obenýh úah se zde neobejdeme, neboť jsme nyní lastně na rozestí: a) Buď budeme stále trdit, že absolutní klidoá soustaa (soustaa éteru) existuje a zkraoání předmětů a zpomaloání hodin při pohybu ůči ní jsou absolutní. V jinýh soustaáh by tedy měření délek a času bylo zkreslené, sětlo by se ůči nim e skutečnosti nepohyboalo stejnou ryhlostí atd. Pak budeme ošem muset teorii doplňoat stále noými předpoklady, abyhom ysětlili ýsledky pokusů z noě zkoumanýh oblastí. Výsledky těhto pokusů tedy ani nebudeme moi předem předpoědět. A bude nám naprostou záhadou, proč jsou fyzikální zákony zrona takoé, že znemožňují najít naši "miloanou" absolutní klidoou soustau. Otázkou je (yhrotíme-li formulai), k čemu nám takoá teorie bude dobrá. b) Nebo zkonstatujeme e shodě s prinipem jednoduhosti, že zbytečné pojmy jsou zbytečné. A uážíme, že když nelze soustau éteru žádným způsobem určit, znamená to zřejmě, že žádná soustaa éteru přírodě neexistuje. Ostatně dnes íme, že sětlo nepotřebuje žádné látkoé prostředí, jehož lněním by bylo. Sětlo je elektromagnetiké lnění. A elektromagnetiké pole má sébytnou existeni, na žádném látkoém nosiči nezáislou. Pojem éteru je zbytečný, přírodě mu ni neodpoídá. Je tedy přirozené ho z fyziky yškrtnout. Optika a obeně elektrodynamika žádnou ineriální soustau nepreferuje. To ukázaly již šehny ýše zmíněné pokusy. Je tedy na místě prohlásit šehny ineriální soustay z hlediska elektrodynamiky a optiky za ronopráné. V předešlé kapitole jsme ale iděli, že totéž platí i klasiké mehanie. A zde nás může napadnout otázka: Proč by mělo být toto konstatoání omezeno jen na mehaniku a elektrodynamiku s optikou? Fyzika, jako každá ěda, ráda zobeňuje a činí předpoědi pro širší oblast jeů, než jaká byla experimentálně zatím proěřena. To je ostatně způsob, jakým se zejména teorie rozíjí. Jinak byhom byli odkázáni jen na empiriké a poloempiriké ztahy a praidla.

3 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 Zde máme k zobenění krásnou příležitost: klasiký prinip relatiity lze zobenit a prohlásit šehny ineriální systémy za ronopráné z hlediska šeh oblastí fyziky, tj. z hlediska šeh fyzikálníh zákonů, šeh pokusů Toto trzení se nazýá speiální prinip relatiity. (Termínem speiální se zde míní skutečnost, že daný prinip se týká jen ineriálníh systémů.) Podobně jako klasiký prinip relatiity jej můžeme formuloat různými způsoby: S důrazem na experimenty: Liboolný stejně připraený pokus dá e šeh ineriálníh systémeh stejný ýsledek. (Jinak řečeno: Liboolnými pokusy nelze od sebe jednotlié ineriální systémy rozlišit.) Klademe-li důraz na fyzikální zákony, můžeme dát přednost ekialentní formulai: Liboolné fyzikální zákony mají e šeh ineriálníh systémeh stejný tar. Speiální prinip relatiity lze samozřejmě roněž shrnout do již ýše naznačeného konstatoání: Případně: Všehny ineriální systémy jsou ronopráné. Žádný ineriální systém není priilegoán. (Ani z hlediska experimentů ani z hlediska fyzikálníh zákonů.) Speiální prinip relatiity je shrnutím ýsledků experimentů, třeba těh, o kterýh jsme se ýše zmiňoali. Protože je šak zároeň jejih zobeněním, trdí osi i o ýsledíh experimentů dosud neproedenýh. Umožňuje tedy předpoídat ýsledky experimentů. Tyto předpoědi lze pak praktiky oěřoat. Je pozbuzujíí, že za íe než sto let od zniku speiální teorie relatiity nebyl nazdory obroskému rozoji fyziky objeen ani jeden fakt, který by byl se speiálním prinipem relatiity rozporu. To naznačuje, že se jím zřejmě podařilo ystihnout podstatnou přírodní zákonitost. Zároeň speiální prinip relatiity poskytuje i odítko při hledání noýh fyzikálníh zákonů: Ze šeh možnýh zákonů je nutno ybírat ty, které mají e šeh ineriálníh systémeh stejný tar. Speiální prinip relatiity tedy má enu při hledání noého, tj. heuristikou enu. Práě tato heuristiká ena je to, o zela hybí éteroé teorii. A práě ona činí ze speiálního prinipu relatiity moný nástroj a jedno ze základníh ýhodisek speiální teorie relatiity. III.. Měření prostoru a času Speiální prinip relatiity býá také nazýán prním postulátem speiální teorie relatiity. Tento prinip šak již samozřejmě předpokládá platnost 1. Newtonoa zákona e formě uedené kapitole II.1, tj. předpokládá, že existuje ineriální systém. Poznámka: Stačí předpokládat, že existuje alespoň jeden. To, že ineriální systémy pohybujíí se ůči němu ronoměrně přímočaře, jsou také ineriální, je elku zřejmé a lze to ododit i formálně. 3

4 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 Měření prostoru Jak jsme se již zmínili ýše, pojem ineriálního systému sobě zahrnuje předpoklad, že prostor je euklidoský a že něm tedy lze zaést kartézskou soustau souřadni. Uedli jsme také, že tuto soustau by bylo možno prinipu realizoat pomoí měřiíh tyčí. Nyní byhom měli pojem měřií tyče a ůbe měření délek upřesnit. V klasiké mehanie lze předpokládat ideálně tuhé měřií tyče. Jak ale uidíme dále, speiální teorie relatiity nepřipouští existeni absolutně tuhýh těles. Naštěstí to neadí, neboť na měřií tyče, které jsou nějakém ineriálním systému klidu, nepůsobí žádné setračné síly, které by je mohly deformoat. Pokud se měřií tyče před lastním měřením pohyboaly zryhleně, musíme předpokládat, že nedošlo k jejih plastiké deformai nebo že ji umíme korigoat. Podstatné je yloučit i šehny nější liy, které by mohly měnit délku tyče klasikým příkladem jsou změny teploty. Pro teoretiké úahy, myšlenkoé pokusy apod. předpokládáme, že měřií tyč žádným nějším liům nepodléhá tedy že jde o ideální měřií tyč. Inaroá tyč s yznačeným měřítkem se jistě předstaě ideální tyče značně blíží. V prinipu šak není nezbytné hledat materiál, který by na nější liy ůbe nereagoal. Stačí nější liy odstínit například umístit běžné měřítko do termostatu. Druhou možností je yužít faktu, že nější liy působí na tyče z různýh materiálů různě. Oeloé měřítko se roztahuje jinak než hliníkoé. Známe-li koefiienty jejih teplotní roztažnosti, můžeme z měření dané délky oběma měřítky ýpočtem určit přesnou hodnoty délky. Nebo lze ze dou měřítek udělat teploměr, třetím měřit délku a ze zjištěné teploty ypočíst koreki. Podstatné je, že nější liy lze ýpočtem odkorigoat. Problémy by mohl způsobit jedině nější li, od něhož by nebylo možno měřítko izoloat a který by působil na šehny tyče stejně tz. unierzální li. Takoýto nější li rámi speiální teorie relatiity neuažujeme. Ideální měřií tyč resp. ideální měřítko tedy není jen pouhou teoretikou konstrukí, kterou by nebylo možno s dostatečnou přesností realizoat. Zbýá ještě otázka: Jak zajistit, aby šehny měřií tyče byly stejně dlouhé? To lze prinipu dojím způsobem. Buď šehny měřií tyče yrobíme na jednom místě, zájemně je zde poronáme a okalibrujeme. Pak je potřeba tyče roznést prostoru na místa, kde je budeme potřeboat. Pokládáme přitom za samozřejmé, že pokud dě tyče, jejihž délka byla při poronáání stejná, přeneseme děma různými estami do téhož místa, bude při noém poronání jejih délka opět stejná. (Viz obr. III.1.) Říkáme, že přenos délkoé jednotky je integrabilní. Ve sětě, kde by tomu tak nebylo, byhom si asi připadali jako Alenka říši diů rozhodně by se nejednalo o euklidoský prostor. 4

5 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 Obr. III.1. Integrabilita přenosu délkoé jednotky Druhou možností je každém potřebném místě měřií tyč znou yrobit, tj. danou délku každém místě znou reprodukoat. Za jednotkoou délku lze třeba každém místě zít ,73-násobek lnoé délky záření, které přísluší přehodu mezi hladinami p 10 a 5d 5 atomu kryptonu 86. (Tak byl soustaě SI definoán metr do roku 1983.) Díky homogenitě prostoru se můžeme spolehnout, že takto dostaneme tyče stejné délky (jak byhom zjistili jejih přenesením na stejné místo a poronáním). Máme-li k dispozii měřií tyče, můžeme měřit délky a také úhly, ytořit kartézskou soustau souřadni (spojenou s danou ztažnou soustaou) a určoat této soustaě prostoroé souřadnie bodů. Prostoroá měření tak dostala jasný základ. Zdůrazněme ještě, že každá ineriální ztažná soustaa má sůj lastní systém měřiíh tyčí. K měření dané soustaě použíáme jen ty tyče, které jsou ůči ní klidu. Měření času Měření prostoroýh souřadni ošem nestačí. Fyzika potřebuje popsat pohyb, tj. obeně záislost souřadni na čase. Podobně jako prostoroá měření musíme tedy upřesnit i měření času. Určoat čas dané ztažné soustaě by prinipu bylo možno pomoí jedinýh hodin. Bylo by to šak značně komplikoané. Vždy, když heme změřit čas nějaké události, by bylo nutné poslat zpráu (signál) daným ústředním hodinám, zjistit na nih čas, kdy zpráa došla a započítat dobu, po níž zpráa šla k hodinám. Nebo by ústřední hodiny musely stále ysílat časoé signály a místě příjmu byhom k hlášenému času museli přičítat dobu šíření signálu. Z hlediska obenýh úah je jednodušší předstait si, že každém místě, kde potřebujeme měřit čas, jsou k dispozii hodiny že tedy existuje soustaa hodin. Podobně jako u měřiíh tyčí budeme i pro měření času dané ztažné soustaě užíat pouze hodin, jež ůči ní stojí. Nebylo by samozřejmě účelné měřit pomoí hodin, jejihž ryhlost hodu by se různila. Ideální hodiny uažoané teorii mají ryhlost hodu nezáislou na nějšíh lieh a tato ryhlost je u šeh kusů hodin stejná. (Odstranění nějšíh liů lze proést obdobně jako u měřiíh tyčí; ani zde neuažujeme unierzální li. V praxi se lze lastnostem ideálníh hodin přiblížit elie dobře. Při použití esioýh frekenčníh normálů lze dnes dosáhnout relatiní hyby řádu ) Stejnou ryhlost hodu hodin dané ztažné soustaě lze doílit opět buď tím, že hodiny yrobíme na jednom místě a pak rozneseme nebo tak, že je na každém potřebném místě yrobíme znou, reprodukujeme. Jako samozřejmost opět bereme to, že ryhlost hodu hodin přenesenýh na stejné místo různými způsoby (různými estami, různou ryhlostí apod.) zůstáá stejná, že tedy sekunda 5

6 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 na jedněh hodináh bude odpoídat sekundě na druhýh. Tj. že odborněji řečeno přenos časoé jednotky je integrabilní. Viz obr. III.. Pokud by tomu tak nebylo, záisela by třeba ryhlost rozpadoýh proesů uranu na historii, kterou ten či onen kus uranu prodělal ni takoého přírodě nepozorujeme. Obr. III.. K integrabilitě přenosu časoé jednotky Synhronizae hodin Ryhlost hodu hodin lze tedy elé soustaě zajistit stejnou. To ošem nestačí. Hodiny je třeba také synhronizoat. Synhronizai lze proést různým způsobem. 1. Přenosem (nekonečně pomalým) Prní způsob je zdánliě přirozený při roznášení hodin dané ztažné soustaě. Na hodináh se prostě nastaí stejný čas místě ýroby a pak se roznesou. Ošem je zde problém: Zahoá se synhronizae při přenosu hodin různými způsoby? Viz obr. III..a. Zpomaloání hodin záislosti na ryhlosti jejih pohybu, které jsme diskutoali již souislosti s éteroou teorií, dáá tušit, že obeně se synhronizae nezahoá. Roznášením hodin liboolným způsobem tedy nelze jejih synhronizai zajistit. Z běžné zkušenosti ošem íme, že při pohybu hodin malými ryhlostmi se jejih synhronizae pozoroatelně neporuší. Můžeme tedy doufat, že pomalým přenosem by bylo možno synhronizai proést. Abyhom li ryhlosti yloučili, uažujme teoretiky nekonečně pomalý přenos hodin. (Viz obr. III.3.a.) Jak si oěříme později, tímto způsobem lze skutečně dané ztažné soustaě synhronizai konsistentně proést. Obr. III.3.a. Synhronizae hodin e ztažné soustaě nekonečně pomalým přenosem 6

7 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015. Sětelnými signály Druhý způsob yužíá sětelnýh signálů. Jedny hodiny yšlou časoé znamení a časoé údaje šeh hodin se nastaí při příjmu signálu s tím, že se uažuje doba šíření signálu. (Viz obr. III.3.b.) Vzdálenosti hodin se přitom měří pomoí měřiíh tyčí. Danou synhronizai nazýáme též sětelná synhronizae. Obr.III.3.b. Synhronizae hodin e ztažné soustaě sětelnými signály Pozorný čtenář může namítnout, že e speiální teorii relatiity se mluí o konstantnosti ryhlosti sětla a jejíh záažnýh důsledíh. K měření ryhlosti sětla jednom směru potřebujeme synhronizoané hodiny. Při sětelné synhronizai ošem při určoání doby šíření signálu už počítáme s ryhlostí sětla ronou. Není pak konstantnost ryhlosti sětla jen prázdným trzením, pouhým automatikým důsledkem olby synhronizae? Naštěstí tomu tak není. Při synhronizai, níž hodinami, ysílajíími časoé znamení byly hodiny 1, totiž můžeme měřit také ryhlost sětelnýh signálů e směru od hodin k hodinám 1, signálů šířííh se mezi hodinami a 3 apod. (Viz obr. III.3.b.) Konstantnost ryhlosti sětla tedy není důsledkem sětelné synhronizae. Naopak: Kdyby ryhlost sětla byla různýh směreh různá, nebyla by obeně sětelná synhronizae konzistentní: při olbě hodin místo hodin 1 pro ysílání časoého znamení by hodiny byly synhronizoány jinak. 3. Liboolnými standardními signály Třetí způsob synhronizae hodin může yužíat místo sětelnýh signálů třeba i projektily z děla. Cheme-li synhronizoat hodiny 1 a (iz obr. III.3.), určíme pomoí měřiíh tyčí bod uprostřed jejih spojnie a umístíme na tomto místě dě stejná děla nabitá stejnými náboji. Jedno děl namíříme na hodiny 1, druhé na hodiny a obě současně odpálíme. Obr.III.3.. Synhronizae hodin e ztažné soustaě standardními signály 7

8 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 Když prní projektil dolétne k hodinám 1, zaznamenáme čas t 1, který ukazují. Totéž uděláme na hodináh při průletu druhého projektilu (získáme čas t ). Ze symetrie situae je zřejmé, že oba projektily musely kolem hodin prolétnout současně. Předpokládáme přitom, že na projektily nepůsobí nější liy, že tedy jde o olné hmotné body. Rozdíl času t - t 1 proto dáá koreki, o níž je třeba posunout (zad) hodiny, aby byly synhronizoány s hodinami 1. Další dojie hodin můžeme synhronizoat stejným způsobem. Tento způsob je zřejmě nejjednodušší a nejpřístupnější názornému pohledu. Praktiky by byl ošem náročný, ale to pro nás zde není rozhodujíí. Vystačíme při něm skutečně s minimem znalostí o situai: Nemusíme znát zdálenost hodin, pouze fakt, že zdálenosti od děl k oběma hodinám jsou stejné. Nemusíme znát ryhlosti projektilů, jen to, že obě ryhlosti jsou o do elikosti stejné. (To lze zajistit stejnými podmínkami ýstřelu.) Mají-li mít homogenita a izotropie prostoru a homogenita času rozumný smysl, nelze si zřejmě předstait žádný důod, proč by tento způsob synhronizae mohl selhat resp. být nekonzistentní. Můžeme tedy pro naše úahy práě tento způsob synhronizae poažoat za základní. Podstatné ošem je, že šehny uedené způsoby synhronizae dáají dané ineriální soustaě stejné ýsledky. V dalším ýkladu pohopíme blíže, proč. U prního způsobu to můžeme hápat jako důsledek lastností dilatae času, u druhého způsobu jako důsledek prinipu konstantní ryhlosti sětla. Otázku měření času dané ztažné soustaě tedy můžeme pokládat za yřešenou. Poznamenejme ještě, že pokud byhom užíali k měření času e ztažné soustaě jen jedněh hodin, museli byhom opakoat při každém měření času to, o jinak proádíme pouze při synhronizai hodin. Odpoídajíí rozbor měření by tedy byl zásadě stejný. Ineriální soustaa přesnější definie Definii ineriální soustay uedenou ýše kap. I. nyní můžeme zpřesnit: Definie: Vztažná soustaa je ineriální, jestliže ní lze pomoí ideálníh měřiíh tyčí ytořit kartézskou soustau souřadni a čas měřit ideálními hodinami synhronizoanými ýše uedeným způsobem (nekonečně pomalým přenosem, sětelnou synhronizaí nebo pomoí standardníh signálů ) a jestliže takto ytořené soustaě souřadni se liboolný olný hmotný bod pohybuje ronoměrně přímočaře. Soustau souřadni (tří prostoroýh a jedné časoé) zkonstruoanou uedeným způsobem nazýáme ineriální soustaa souřadni. Prní Newtonů zákon trdí, že takoáto soustaa existuje. My budeme dalším bez dokazoání brát za samozřejmé i to, že každá soustaa, pohybujíí se ůči ineriální ztažné soustaě ronoměrně přímočaře, je roněž ineriální. (O tom jsme se zmínili již ýše. Roněž budeme bez formálního důkazu pokládat za zřejmé, že neexistují ineriální soustay, které by se ůči jiným ineriálním soustaám pohyboaly jinak než ronoměrně přímočaře.) 8

9 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 Poznámka: Nemělo by zřejmě enu učit se ýše uedené definie nazpaměť. Nepodááme zde striktně axiomatiký ýklad speiální teorie relatiity a i ten by mohl yházet z různýh předpokladů. Je šak třeba si uědomit ýznam defini a fakt, že zpřesňoání uedenýh pojmů není samoúčelné. Je shrnutím a zobeněním experimentální zkušenosti. Přesněji ymezené pojmy a způsoby měření prostoru a času jsou pak dobrým nástrojem pro orientai situaíh, kdy efekty teorie relatiity nebude možno zanedbat. III.3. Prinip konstantní ryhlosti sětla V kapitole II. jsme diskutoali Mihelsonů pokus z hlediska éteroé teorie. Podíejme se teď na něj z jiného zorného úhlu, bez zátěže předsta o pohybu ůči éteru. Z hlediska ineriálního systému, ůči němuž Mihelsonů interferometr stojí, oěřuje tento pokus lastně fakt, že ryhlost sětla nezáisí na směru jeho šíření. Označme ryhlost sětla prním rameni 1 a druhém, kolmém, rameni. Je-li délka obou ramen rona l, pak časoý rozdíl paprsků rameneh je 1 1 l t t l (III.1) Po otočení přístroje o 90 by časoý rozdíl změnil znaménko. Protože k posunu interferenčníh proužků nedohází, je t 1 =t. Z (1) pak plyne, že (III.) 1 Přesnost, s níž je tato ronost určena, dosahuje u moderníh experimentů desetiny m/s! Poznámka: Výše diskutoané ryhlosti 1 a jsou přesně zato průměrné ryhlosti při šíření sětla rameneh tam a zpět. Různé ryhlosti sětla při pohybu tam a zpět byhom ale mohli dostat jen při nehodné synhronizai hodin, která by jednu orientai preferoala. Při synhronizai standardními signály (či standardními projektily ) jsou šak obě orientae zjeně zela ronopráné a není tedy důodu předpokládat, že by se ryhlosti tam a zpět mohly lišit. U sětelné synhronizae je situae ještě názornější: Definujeme-li ryhlost šíření sětelného časoého znamení e směru tam ronou 1 = = a synhronizujeme-li podle toho hodiny, musí při šíření sětla zpět yjít opět ryhlost. V Kennedyho-Thorndikeou pokusu záisí časoý rozdíl paprsků nejen na rozdílu ryhlostí kolmýh směreh, ale přímo na elikosti ryhlosti: t l l l l 1 1 1t (III.3) 1 kde jsme, s yužitím (), označili = 1 =. Díky pohybu Slune Galaxii a pohybu Země kolem Slune se ošem ryhlost pohybu Země ůči ineriálnímu systému s počátkem e středu Galaxie stále mění. Interferometr spolu se Zemí je tedy klidu postupně různýh ineriálníh systémeh. Jestliže se při pokusu nepozoroalo posunutí interferenčníh proužků, znamená to tedy, že ryhlost sětla je těhto různýh ineriálníh systémeh stejná. (Přesnost pokusů typu Kennedyho-Thordikeoa to umožňuje trdit s maximální relatiní hybou 10-9.) 9

10 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 Poznámka: Zde jsme se dotkli faktu, že přístroje jsou při pokuseh spjaty se Zemí, tj. se systémem, který není přesně ineriální. Příslušné zryhlení je šak malé a odpoídajíí deformae měřiíh tyčí jsou proto minimální, resp. lze je korigoat. Totéž platí o liu zryhlení na hodiny. V řadě případů lze proto po krátkou dobu poažoat systém spojený s přístrojem za ineriální. Skutečnost, že ryhlost sětla nezáisí na směru ani na olbě ineriálního systému, lze podpořit i dalším argumentem. Sětlo je elektromagnetiké lnění. Spolehliě oěřenými zákony určujíími hoání elektromagnetikého pole (na klasiké úroni) jsou Maxwelloy ronie. Z nih yplýá, že elektromagnetiké lny se e akuu šíří šemi směry stejnou ryhlostí (nezáisle na ryhlosti jejih zdroje). Podle speiálního prinipu relatiity musí mít Maxwelloy ronie e šeh ineriálníh systémeh stejný tar (se stejnými hodnotami 0 a 0 edouími tedy i ke stejné hodnotě ). Proto se sětlo musí šířit ryhlostí e šeh ineriálníh systémeh. Uedené ýsledky přesědčiě potrzují prinip konstantní ryhlosti sětla: V ineriálníh systémeh se sětlo e akuu šíří ronoměrně přímočaře konstantní ryhlostí nezáislou na směru šíření, olbě ineriálního systému ani na pohybu jeho zdroje. Opět nejde o trzení, které by bylo nutno umět zpaměti přesně uedené formulai. Spíše je potřeba si uědomit jednotlié aspekty tohoto prinipu. Nezáislost na pohybu zdroje znamená, názorně řečeno, že sětlo nepředběhne sětlo. Vyšlu-li současně z daného místa sětelný signál stojíím reflektorem a reflektorem, s nímž utíkám před, neuteče druhý signál prnímu. Oba se budou pohyboat toutéž ryhlostí. Z nezáislosti ryhlosti šíření sětla na směru yplýá, že užíáme-li k synhronizai hodin sětelnýh signálů, nezáleží na tom, které hodiny zolíme za ýhozí. Například od hodin k hodinám 3 (iz ýše obr. III.3.b) dorazí sětelný signál za čas l 3 / - tj. za stejný čas, jaký byhom uažoali, kdybyhom při synhronizai yšli od hodin. Nezáislost ryhlosti sětla na olbě ineriálního systému je e shodě se speiálním prinipem relatiity, jak již bylo uedeno ýše. Poznamenejme ještě, že ryhlost sětla e akuu samozřejmě nezáisí ani na tom, kde ji měříme souladu s homogenitou prostoru. Konstantnost ryhlosti sětla je současné době brána jako spolehliě oěřený fakt. Projeilo se to i noé definii metru, platné od roku 1983: Metr je délka dráhy, kterou urazí sětlo e akuu za dobu 1/ sekundy. Noá definie byla zaedena proto, že umožňuje délkoý etalon realizoat přesněji než definie předhozí, založená na lnoé déle záření, ysílaného při přehodu mezi určitými energetikými hladinami atomu kryptonu 86. Ryhlost sětla tím nepřestala být základní fyzikální konstantou. Má teď ošem naprosto přesnou hodnotu m/s (III.4) Ve smyslu této definie metru tedy již další měření šíření sětla neupřesňují hodnotu, ale elikost délkoého etalonu. 10

11 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 Poznámka resp. úaha poněkud pedagogiká: Se zmíněnou noou definií metru se konstantnost ryhlosti sětla může zdát jako zela samozřejmý fakt. Pokud by toto někomu způsoboalo psyhologiké potíže při diskusi různýh ýkladů Mihelsonoa pokusu apod., měl by si uědomit, že kdyby ryhlost sětla byla různá různýh směreh, znamenalo by to podle noé definie metru, že metr je různý různýh směreh a to by se Mihelsonoě pokusu projeilo. Poznamenejme ještě, že díky konstantnosti ryhlosti sětla by se bylo možno při budoání speiální teorie relatiity zela obejít bez měřiíh tyčí. Vzdálenost by bylo možno měřit radaroým způsobem pomoí hodin a sětelnýh signálů. Náznak tohoto postupu je ueden dodatku F. III.4. Odození speiální Lorentzoy transformae Výše jsme poměrně podrobně diskutoali prinipy, z nihž speiální teorie relatiity yhází: 1. Newtonů zákon, tedy konstatoání, že existuje ineriální systém. Tento prinip ětšinou nebýá ani expliite zmiňoán a je brán jako samozřejmé ýhodisko. Speiální prinip relatiity, nazýaný také prní postulát speiální teorie relatiity. Prinip konstantní ryhlosti sětla, nazýaný též druhý postulát STR. V kapitole I. jsme si ukázali, že již přímo z těhto prinipů lze pomoí myšlenkoýh pokusů ododit řadu efektů speiální teorie relatiity. Pro přesnější rozbor těhto efektů je ošem nutno popsat daný je či pokus z hlediska různýh ineriálníh sousta. Potřebujeme tedy umět přeádět prostoroé a časoé souřadnie z jednoho ineriálního systému do druhého. Galileiho transformae, probíraná kapitole II, se k tomu zřejmě nehodí, neboť z ní plyne, že ryhlosti se sčítají algebraiky, ož je rozporu s prinipem konstantní ryhlosti sětla. Musíme tedy najít noou transformai - takoou, která by ýše uedeným ýhozím prinipům STR yhooala. Podobně jako při Galileiho transformai budeme yšetřoat případ, kdy ineriální soustay souřadni S a S mají ůči sobě speiální orientai: osy x a x splýají, osy y a y, z a z jsou ronoběžné, čase t=0 počátky obou sousta splýaly a hodiny počátku S ukazoaly roněž t =0 a soustaa S se pohybuje zhledem k S e směru osy x ronoměrně ryhlostí, tak jak to ukazuje obrázek III.4. Obr.III.4. Orientae ineriálníh sousta souřadni spojenýh speiální Lorentzoou transformaí. (Poznámka: Osy z a z dalším nebudeme kreslit. Osy x a x splýají, pro přehlednost se šak často kreslí odděleně jako na tomto obrázku.) 11

12 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 Transformai, kterou pro tento případ ododíme, nazýáme speiální Lorentzoa transformae. Obená Lorentzoa transformae zahrnuje naí pootočení a případně i posun sousta souřadni S i S. Její zore jsou složitější a zbytečně by nám komplikoaly pohled na fyzikální stránku situae. (Vrátíme se k nim kapitole VIII. po ybudoání hodného formalismu.) K diskusi šeh podstatnýh fyzikálníh otázek nám speiální Lorentzoa transformae postačí. a) Jednoduhé odození Ve středoškolské učebnioé literatuře lze najít následujíí odození, yházejíí z kontrake délek a prinipu konstantní ryhlosti sětla: V čase t je zdálenost počátku S od počátku S rona t (iz obrázek III.5.). Uažujme bod, ležíí na ose x. Měřeno S, je jeho zdálenost od počátku S rona x. Měřeno S, je tato zdálenost díky kontraki délek rona x. V S je tedy 1 x t x 1. Z toho lze již ronou yjádřit x : Obr.III.5. K jednoduhému odození Lorentzoy transformae x t x 1- (III.5) Kontrake délek, kterou jsme zde uažoali, je předtím odozena z myšlenkoýh pokusů tak, jak jsme to ukázali kapitole I. Pokud se dalšíh souřadni týká, pokládá se obykle za zřejmé, že y = y a z = z. Vztah pro časoou souřadnii t se ododí z ýhozího předpokladu, že S i S se sětlo šíří ryhlostí. Pro sětelný signál, ypuštěný čase t=0 z bodu x=0 (tj. x =0 ) e směru osy x tedy platí Dosazením (6) a (7) do (5) dostááme x t (III.6) x t (III.7) 1

13 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 t t x tt 1-1- (III.8) kde jsme při úpraě zpětně yjádřili t pomoí x (ze ztahu (6)). Dělením pak konečně dostaneme t x t (III.9) 1- Toto odození asi připadá ětšině čtenářů jako kouzlení a opradu není příliš korektní. Pokud byhom totiž (8) nedosadili za druhé t čitateli (a nikde se neříká, proč byhom to 1 t byli nueni udělat), mohli byhom místo (9) stejně dobře ododit ztah t, 1- který ale obeně neplatí. Korektní odození ztahu (9) by přitom mohlo yházet z (5) a ze speiálního prinipu relatiity. Stačí si uědomit, že pohybuje-li se S ůči S ryhlostí, pohybuje se také S ůči S ryhlostí, pouze opačným směrem. Pokud byhom zopakoali úahy, uedené ýše před ztahem (5) (zkuste si to!), dostali byhom xt x 1- (III.10) Opačné znaménko u je dáno opačným směrem pohybu; ronie pohybu počátku S ůči S je x t. Vyloučíme-li x z (5) a (10), dostaneme přímo ztah (9). K odození ztahu (9) lze yužít i jinýh myšlenkoýh pokusů. My šak budeme spíše yužíat Lorentzoy transformae k diskusi a rozborům myšlenkoýh pokusů. Bude tedy hodné ododit ji nezáisle na nih, přímo z ýhozíh postulátů speiální teorie relatiity. Při tomto postupu také nejlépe uidíme, na jakýh předpokladeh odození záisí. b) Odození z ýhozíh postulátů STR Máme najít yjádření souřadni x, y, z, t (tj. souřadni S ) liboolné události záislosti na souřadniíh x, y, z, t ineriálním systému S. 1. Prním předpokladem, který se obykle činí, je konstatoání, že hledaná transformae musí být lineární. Často se to poažuje za samozřejmé resp. za zřejmý důsledek požadaku, že ronoměrný přímočarý pohyb ůči S je též ronoměrný přímočarý ůči S. Tak samozřejmé to není, ošem z ýhozíh postulátů lze linearitu ododit; jedno z možnýh odození iz dodatek G. Nejobenější lineární transformae z S do S má tar: 13

14 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 x a x b y z d t e y a x b y z d t e z a x b y z d t e t a x b y z d t e (a) (b) () (d) (III.11) kde a 1, a, e 3, e 4 jsou konstanty. Mohou ošem samozřejmě záiset na ryhlosti. Výhozí postuláty speiální teorie relatiity spolu s ýše uedenými předpoklady o orientai a zájemném pohybu S a S nám umožní určit jejih hodnoty.. Z předpokladu, že čase t = 0 splýají počátky S (tj. x = y = z = 0 ) a S (x = y = z = 0 ) a je tomto bodě t = 0, plyne po dosazení uedenýh hodnot do (11) ýsledek 3. e 0, e 0, e 0, e 0. (III.1) Osa x systému S (tořená body, pro něž y = 0 a z = 0 má splýat s osou x systému S (tj. pro dané body musí být y = 0, z = 0 ). Po dosazení do (11) z toho plyne, že musí být 4. a 0, a 0, d 0, d 0. (III.13) 3 3 V čase t = 0 splýaly osy y a y a osy z a z (protože systémy S a S nejsou ůči sobě pootočeny kolem osy x). To znamená, že pro t = 0 a x = 0 musí z = 0 dát z = 0 a y = 0 => y = 0. Z (11) pak plyne, že 5. b 0, 0. (III.14) 3 Osy y a z jsou ronopráné: Vzhledem k izotropii prostoru můžeme soustay S a S pootočit kolem osy x tak, že osa y bude mít směr půodní osy z - a totéž pro osy y a z. Transformae (11b) a (11): y = b y a z = 3 z nesmí tedy odlišoat osu z od osy y (a z od y ). Musí proto být b. (III.15) 3 V dalším tyto konstanty označíme prostě jako b. 6. Z izotropie prostoru, konkrétně z toho, že kladný směr osy y je ronopráný se záporným směrem osy y (a podobně pro osu z), plyne dále, že b 0, 0. (III.16) 1 1 Jinak by roina y z byla nakloněna ůči roině yz. A kterým směrem by měla být nakloněna, když jsou šehny směry kolmé na osu x ronopráné? (Směr osy x samozřejmě pro transformai priilegoané postaení má, neboť je to směr pohybu S ůči S.) Ze stejného důodu musí být b 0, 0, (III.17)

15 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 jinak by synhronizae hodin S opět musela preferoat nějaký směr kolmý na osu x. S yužitím ztahů (1) (17) má již transformae (11) podstatně jednodušší tar: 7. x a x d t y b y z b z 1 1 t a x d t 4 4 (a) (b) () (d) (III.18) Až dosud jsme neyužili ani speiální prinip relatiity ani prinip konstantní ryhlosti sětla. Speiální prinip relatiity nyní užijeme k určení konstanty b. Stačí si uědomit, že ztahy (18.b) a (18.) ypoídají o transformai zdáleností e směreh kolmýh na osu x. Z hlediska těhto směrů není ale žádný rozdíl mezi přehodem od S k S a přehodem od S k S. Vždy se jeden systém pohybuje ůči druhému ryhlostí, a to e směru, který je kolmý na námi uažoaný směr. Lépe než poněkud krkolomné sloní yjádření to ukazuje obrázek. Obr.III.6. K odození transformae e směreh kolmýh osu x Pro přehod od S k S tedy musí být y b y, z b z, (III.19) kde konstanta b je stejná jako (18.b), (18.). Kombinaí (18.b), (18.) a (19) dostááme b = 1. Protože b = 1 můžeme yloučit (šlo by jen o otočení S kolem osy x), je b 1. (III.0) Názorně, i když snad poněkud méně přesně byhom mohli říi, že není možné, aby pohyb na jednu stranu zdálenosti kolmém směru zkraoal a pohyb na druhou stranu je prodlužoal. Takoéto zkráení či prodloužení by přitom bylo jednoznačně zjistitelné, neboť jestliže pozoroatelé S a S umístí počátky sýh měřiíh tyčí na osy x x, mohou jednoznačně pozoroat, zda kone jedné tyče přečníá kone druhé či ne. (U relatiistiké kontrake délek je to složitější.) 8. Až dosud jsme ůbe neyužili faktu, že systém S se pohybuje ůči S ryhlostí. Počátek systému S má samozřejmě hodnotu souřadnie x = 0. V systému S je jeho pohyb popsán 0 a d t, z čehož ztahem x = t. Dosazení do (18.a) dá

16 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, d a. (III.1) 1 1 Vzhledem k systému S se naopak systém S pohybuje záporném směru osy x ryhlostí, jejíž elikost je roněž. (Zde opět použíáme speiální prinip relatiity: jsou-li oba systémy ronopráné, musí být ryhlost jejih zájemného pohybu stejná, ať ji měříme kterémkoli z nih. Poznamenejme, že jsme lastně tento ýsledek použili již ýše při odozoání ztahu (0).) Pro počátek systému S (pro nějž x = 0 ) je z (18.a) a (18.d): z čehož Pro počátek S ošem musí platit x a s yužitím (1) dostááme ýsledek xd t a t d t, 1 4 x d d 1 t. (III.) 4 t. Poronání s () pak okamžitě dá d d 1 4 d a (III.3) 4 1 Označíme-li pro jednoduhost a1 A, a4 A B, budou mít ztahy (18.a) a (18.d) tar x A x t t A B x t K odození Lorentzoy transformae zbýá určit konstanty A a B. 10. (a) (b) (III.4) Systémy S a S jsou ronopráné. Přehod od S k S se tedy od přehodu od S k S liší jen směrem pohybu. To lze ystihnout záměnou x za -x a x za -x, tj. změnou orientae os x a x, jak to ukazuje obrázek III.7. (Cheme-li zahoat praotočiost systémů S a S, musíme změnit orientai ještě jedné osy, např. z a z, to šak momentálně není podstatné.) Vztahy pro přehod od S k S můžeme tedy zřejmě získat změnou znamének u x a x a záměnou čárkoanýh eličin za nečárkoané a naopak, tj. záměnou Z (4.a) tak dostááme x x, x x, t t, t t. x A x t (III.5) Výše uedené odození se opíralo o speiální prinip relatiity. Ze ztahů (4.a), (4.b) lze šak x ypočítat přímo: yloučíme-li z nih t, dostaneme x 1 A x t 1 B. (III.6) 16

17 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 Vztahy (5) a (6) musí být totožné, to znamená, že musí být 1 A 1 B A 1 A 1 B. Odtud plyne (III.7) (Řešení A < 0 je nefyzikální.) 11. Zbýá tedy určit již jen konstantu B. Dosud jsme odození ůbe nepoužili prinip konstantní ryhlosti sětla. Můžeme tak učinit nyní. Uažujme sětelný signál yslaný čase t = 0 z počátku systému S kladném směru osy x. Pro něj je Dosazením (8) a (9) do (4) dostááme x t (III.8) x t (III.9) t A t t A B 1 t a kombinaí těhto roni (ydělením prní ronie druhou a následnou úpraou) pak B, čili B. Dosazení do (7) pak dá pro A známou hodnotu 1 1. Všehny konstanty jsou tedy určeny a pro transformai splňujíí ýhozí postuláty speiální teorie relatiity jednoznačně dostááme ztahy speiální Lorentzoy transformae: x t x 1 y y z z t t x 1 (III.30) 17

18 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 Zajímaé je, že prinip konstantní ryhlosti sětla jsme odození použili až samém záěru! Bylo by se mu možno yhnout ůbe a i k určení konstanty B použít úahu založenou na speiálním prinipu relatiity. Vztahy, které byhom dostali, by ypadaly naprosto stejně jako ztahy (30), pouze místo ryhlosti sětla by nih figuroala nějaká obená ryhlost 0. (Viz dodatek G, kde je odození proedeno.) Pro olbu o byhom měli podstatě jen dě možnosti: - buď by bylo 0 a transformae by se pak stala Galileiho transformaí (iz ještě dále), - nebo by bylo 0 konečné pak by se jednalo o Lorentzou transformai. V příslušné teorii by pak ryhlost 0 hrála tu roli, kterou STR hraje ryhlost sětla. Takoá teorie by se ošem od STR zásadě nijak nelišila. Přijmeme-li platnost speiálního prinipu relatiity, musíme tedy za spránou fyzikální teorii přijmout buď klasikou mehaniku ( níž platí Galileiho transformae) nebo speiální teorii relatiity. A pokud pokusy ukazují, že klasiká mehanika je neudržitelná (např. předpoědíh šíření ryhlosti sětla z různýh zdrojů a různýh ineriálníh systémeh), musí být spránou transformaí mezi ineriálními systémy transformae Lorentzoa a teorií nahrazujíí klasikou mehaniku práě speiální teorie relatiity. III.5. Vlastnosti Lorentzoy transformae Všimněme si teď lastností Lorentzoy transformae. Budeme je diskutoat na případu speiální Lorentzoy transformae dané ztahy (30). Vždy šak půjde o lastnosti, které má i obená Lorentzoa transformae; na případné rozdíly ždy expliite upozorníme. a) Složení dou Lorentzoýh transformaí Uažujme ineriální systém S a ineriální systém S, pohybujíí se ůči němu ronoměrně přímočaře ryhlostí. Naí uažujme ineriální systém S, pohybujíí se ůči S ryhlostí u. Situai ukazuje obrázek III.8. Orientai sousta souřadni apod. olíme samozřejmě standardní, tj. takoou, jako ýše při odozoání Lorentzoy transformae. (Tak tomu bude i nadále, aniž to budeme zlášť zdůrazňoat.) Souřadnie S a S a souřadnie S a S musí být spjaty Lorentzoými transformaemi x t x 1 y y z z t x t 1 (a) (b) () (d) (III.31) 18

19 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 x ut x u 1 y y z z Dosazením (31) do (3.a) dostaneme u t x t u 1 x x u u 1 (a) u 1 1 u 1 t (b) () (d) (III.3) (III.33) Je ošem zřejmé, že S se ůči S pohybuje roněž ronoměrně přímočaře. Souřadnie S musí být se souřadniemi S spjaty roněž Lorentzoou transformaí: x u t x u 1 y y z z t u t x u 1 (a) (b) () (d) (III.34) kde zatím neznáme hodnotu ryhlosti u pohybu S ůči S. (Je nám pouze jasné, že obeně nebude platit u = u + jako při Galileiho transformai.) U ztahů (34.b,) je situae jasná. Poronáním (34.a) s (33) dostááme hodnotu ryhlosti u : u u u 1 Jednoduhým ýpočtem lze oěřit, že pro hodnotu u danou (35) platí (III.35) u 1 u 1 u 1 1 (III.36) 19

20 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 takže (33) je opradu totožné s (34.a). Dosazení (31) do (3.d) a yužití (35) a (36) nás potom přesědčí, že pro t platí opradu ztah (34.d). Složením dou speiálníh Lorentzoýh transformaí s ryhlostmi, které mají stejný směr, znikne tedy opět speiální Lorentzoa transformae (s parametrem ryhlosti, daným ztahem (35)). Totéž platí i pro obené Lorentzoy transformae, byť to zatím z naših úah není zřejmé. Nemají-li ošem ryhlosti a u stejný směr, neplatí pro ryhlost u systému S ůči S jednoduhý ztah (35). b) Inerzní Lorentzoa transformae Inerzní transformae k transformai (30), jak již z názu zřejmo, je transformae pro přehod od souřadni soustay S k souřadniím soustay S. Výpočtem x a t z (30) si čtenář může lehe oěřit, že je x t x 1 y y z z t x t 1 (a) (b) () (d) (III.37) Inerzní Lorentzoa transformae je tedy opět Lorentzoa (íte, o se tím míní?) a získáme ji z půodní speiální Lorentzoy transformae záměnou. V Lorentzoě transformai (30) samozřejmě může být kladné i záporné, byť jsme ětšinu úah proáděli pro > 0. < 0 prostě odpoídá pohybu S ůči S záporném směru osy x ; je totiž obeně složka a ne elikost ryhlosti. Z tohoto pohledu lze říi, že S se pohybuje ůči S e směru osy x ryhlostí a naopak S ůči S ryhlostí. Výsledek odpoídá tomu, o jsme očekáali. Již při odozoání speiální Lorentzoy transformae jsme ostatně požadoali, aby yjádření x pomoí x a t mělo odpoídajíí tar. Nyní jsme oěřili, že tomu odpoídá elá inerzní transformae. Obená Lorentzoa transformae nikne ze speiální Lorentzoy transformae složením s otočením S a S. Jednoduhou úahou pak můžeme ododit, že i inerzní transformae k obené Lorentzoě transformai je opět Lorentzoa transformae. Jakýkoli jiný ýsledek by byl ostatně e sporu se speiálním prinipem relatiity. Poznámka: Transformae, kde k obené Lorentzoě transformai přidáme ještě posuny počátku souřadni a počátku času, býá nazýána Poinarého transformae. 0

21 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 ) Grupa Lorentzoýh transformaí Již ýše jsme uedli, že složením dou Lorentzoýh transformaí znikne opět transformae Lorentzoa. Kdybyhom uažoali složení tří Lorentzoýh transformaí (tj. k úahám uedeným ýše přidali ještě ineriální systém S pohybujíí se ůči S ryhlostí w ), zjistili byhom, že ýsledná Lorentzoa transformae nezáisí na tom, složíme-li nejpre transformai z S do S s transformaí z S do S a pak k nim přidáme transformai S do S nebo složíme-li nejdříe transformae z S do S a z S do S a tepre potom ýsledek složíme s transformaí z Sdo S. Skládání Lorentzoýh transformaí je tedy asoiatiní. Pro = 0 je Lorentzoa transformae identikou transformaí: složíme-li ji s jinou Lorentzoou transformaí, pak se tato nemění. Jak jsme ukázali ýše, ke každé Lorentzoě transformai existuje inerzní transformae, která je opět Lorentzoa. Uedená konstatoání patrně již čtenáři připomněla axiomy grupy. Skutečně díky tomu, že jsou splněna, můžeme říi, že množina Lorentzoýh transformaí toří grupu. Prky grupy jsou Lorentzoy transformae, grupoou operaí je skládání transformaí. Pro speiální Lorentzoy transformae může čtenář šehny axiomy oěřit sám. Možná si přitom pošimne, že grupa speiálníh Lorentzoýh transformaí je komutatiní. Grupa obenýh Lorentzoýh transformaí ošem komutatiní není. (To plyne již z toho, že obsahuje pootočení.) Skutečnost, že Lorentzoy transformae toří grupu, je elmi důležitá např. při hledání možnýh tarů fyzikálníh zákonů teoriíh pole apod. V našem seznamoání s teorií relatiity s ní ošem dále praktiky nebudeme praoat. Pokud jste se tedy s pojmem grupa setkali jen zběžně (případně ůbe ne), nemusíte se dalšího ýkladu bát. d) Galileiho transformae jako limitní případ Lorentzoy transformae Někdy se poněkud nepřesně trdí, že pro malé ryhlosti přehází Lorentzoa transformae transformai Galileiho. Podíejme se na situai poněkud podrobněji. Pro 0 je limitou ztahů (30) identiká transformae: x x, y y, z z, t t. To je ošem dosti triiální ýsledek. Vidíme tedy, že nás lastně nezajímá přesná limita ztahů (30) pro 0, ale jejih rozoj pro malé hodnoty ryhlosti. Malá hodnota zde přirozeně znamená malá poronání s ryhlostí sětla. Nehť je tedy řádu nějaké malé eličiny : 1 (III.38) Při rozoji ztahů podle malého parametru zanedbááme členy obsahujíí (a 3, 4 ), tj. našem případě členy řádu ( /) a yššího. Lorentzoa transformae (30) pak přejde na tar 1

22 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 x x t x t y y z z t t x (a) (b) () (d) (III.39) Vztahy (39.a-) jsou totožné se ztahy (II.5) Galileiho transformae. V klasiké mehanie ošem Galileiho transformae samozřejmě doplňuje ztah t t (absolutní čas nezáisí na prostoroýh souřadniíh). (III.40) Vztahy (39) budou tedy skutečně Galileiho transformaí jen případě, že (39.d) bude možno zanedbat člen ( /) x/ oproti t, tj. když tento člen bude řádu t. Protože /, je třeba, aby bylo x x t, tj. 1 t (III.41) I pro malé ryhlosti (pro něž / 1) tedy Galileiho transformae spráně aproximuje Lorentzou transformai jen rozsahu souřadni daném ztahem (41). Jak ještě uidíme dále, přesněji byhom měli klást podmínku x t 1, (III.4) kde x a t jsou rozdíly prostoroýh a časoýh souřadni událostí, které mají dané x situai ýznam. ošem můžeme hápat jako ryhlost šíření signálu, který by dané t události spojoal. (Může jít třeba o pohyb částie. Prní událost je její yslání, druhá její přijetí.) Z toho idíme názorněji mez použitelnosti Galileiho transformae a tedy i klasiké mehaniky: Nejen zájemné ryhlosti ineriálníh systémů, ale eškeré ryhlosti dané situai se yskytujíí musí být malé e sronání s ryhlostí sětla. Uažoat o událosteh (dou či íe, k jejihž spojení by byl potřeba signál s ryhlostí sronatelnou s ryhlostí sětla (nebo dokone yšší), znamená jít za ráme platnosti klasiké mehaniky. Existuje ošem způsob, jak dostat Galileiho transformai jako limitu transformae Lorentzoy: Je nutno uažoat limitu. Jak se může čtenář snadno přesědčit, ztahy (30) pak okamžitě dají (II.5) a (40). Čtenáři možná činí potíže předstaa, že základní fyzikální konstantu by bylo možno limitoat do nekonečna. Zde máme ošem na mysli Lorentzoy transformae, nihž roli ryhlosti

23 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 sětla hraje nějaká obená mezní ryhlost 0, tak jak jsme to diskutoali na koni předhozího článku. Limita není jen formální záležitostí, neboť nám připomíná a znou osětluje ztah klasiké mehaniky k teorii relatiity: Jak uidíme dále, ryhlost má e speiální teorii relatiity ýznam mezní, maximální možné ryhlosti. V klasiké mehanie jsou přípustné ryhlosti liboolně elké. Proto je též možno nekonečně ryhlým signálem synhronizoat naráz šehny hodiny ( elém prostoru a e šeh ineriálníh soustaáh). Tak lze zaést absolutní čas a proto přirozeně platí ztah (40). Teorie relatiity klade na ryhlost šíření signálů omezení, absolutní čas nelze zaést a ztah (40) je nahrazen ztahem Lorentzoy transformae. e) Lorentzoa transformae rozdílů souřadni Uažujme dě události 1 a. Jejih souřadnie soustaě S označíme x (1), y (1), z (1), t (1) a x (), y (), z (), t (). Analogiky označíme jejih souřadnie S. Označme rozdíly souřadni událostí x x x, y y y, z z z, t t t () (1) () (1) () (1) () (1) x x x, y y y, z z z, t t t () (1) () (1) () (1) () (1) Zapíšeme-li Lorentzoy transformae pro souřadnie událostí 1 a : x x t x t, x 1 1 (1) (1) () () (1) () (a analogiky pro další souřadnie) a odečteme-li je od sebe, získáme transformai rozdílů souřadni: x t x 1 y y z z t x t 1 (a) (b) () (d) (III.43) Díky linearitě jsou to samozřejmě transformae stejné jako transformae souřadni samotnýh. Poznamenejme, že i transformae (43) by se měly limitě malýh ryhlostí blížit Galileiho transformaím rozdílů souřadni. Z požadaku, aby ztah (43.d) přešel t t plyne doplňujíí podmínka (4) uažoaná ýše. 3

24 K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební text, erze 01 I. Výhodiska STR, Lorentzoa transformae Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 Veličinu f) Inariane čtyřinteralu s x y z t (III.44) nazýáme čtyřinteralem (událostí 1 a ). Přesněji řečeno, čtyřinteralem nazýáme ošem obykle se prauje s jeho druhou moninou s. Čtyřinteral je elmi důležitou eličinou, jak poznáme ještě dále kapitole VIII. Zatím si šimneme jen toho, jak se čtyřinteral mění při Lorentzoě transformai. Vztah (44) udáá čtyřinteral systému S. V S je Dosazením (43) do (45) ale zjistíme, že platí čili tedy, že s x y z t s, (III.45) x y z t x y z t s s, (III.46) čtyřinteral dou danýh událostí je stejný e šeh ineriálníh systémeh, nemění se při Lorentzoě transformai. Jinými sloy to yjadřujeme trzením Čtyřinteral je inariantní ůči Lorentzoě transformai (jinak řečeno, je inariantem Lorentzoy transformae). Všimněme si jedné důležité aplikae tohoto ýsledku. Nehť událost 1 je ysláním sětelného signálu a událost jeho přijetím. Veličina l x y z (III.47) je zdálenost místa yslání a přijetí signálu soustaě S. (Nejde lastně o ni jiného, než o Pythagorou ětu.) Pomoí (47) lze ztah (44) pro čtyřinteral zapsat jako s l t Protože jde o signál šíříí se ryhlostí sětla, je Ze (48) pak plyne (III.48) l t s 0 (III.49) - interal událostí spojenýh sětelným signálem je nuloý. Díky inariani čtyřinteralu (ztahu (46)) je ošem také s 0, neboli l t, kde l je zdálenost míst yslání a příjmu signálu S a t je doba, kterou signál potřeboal S k překonání této zdálenosti. Z (50) tedy idíme, že ryhlost signálu S je roněž. 4