Dodatek: Speciální teorie relativity

Transkript

1 Dodatek: Speiální teorie relativity V tomto dodatku jsou diskutovány důsledky speiální teorie relativity pro kinematiku a dynamiku, nebot speiální teorie relativity je základem pro všehna měření v prostoročase. D.1 Klasiká fyzika Na koni 19. století byly při měření ryhlosti světla zjištěny rozpory se stávajíí Newtonovou teorií. Tyto rozpory se podařilo odstranit Albertu Einsteinovi formulaí speiální teorie relativity. Relativistiká fyzika je založena na obdobnýh prinipeh jako newtonovská mehanika, proto bývá takto vzniklá relativistiká mehanika dnes považována za součást klasiké mehaniky. Někdy se v této souvislosti také hovoří o klasiké relativistiké mehanie, čímž se zdůrazňuje rozdíl od kvantové relativistiké mehaniky. V tzv. klasiké newtonovské fyzie může těleso získat libovolnou ryhlost, nebot i působením velmi malé síly získá nenulové zryhlení a pak už je pouze otázkou času, jak dlouho na něj zryhlení bude působit: v = at = F m t. V tzv. ineriálníh vztažnýh soustaváh platí I. Newtonův zákon: Těleso setrvává v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém, není-li donueno vnějšími silami tento svůj pohybový stav změnit. Proto se první Newtonův zákon označuje jako zákon setrvačnosti (lat. inertia setrvačnost, odtud ineriální soustavy). Protože v takové soustavě zůstává těleso v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém, nelze žádným mehanikým pokusem rozlišit, zda je soustava v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém. Tato skutečnost je známa jako Galileiho prinip relativity. Tento prinip jinými slovy říká, že zákony mehaniky mají stejný tvar ve všeh ineriálníh vztažnýh soustaváh. 107

2 108 Dodatek: Speiální teorie relativity ineriální vztažná s. v = konst. a) neineriální vztažná s. v konst., a > 0 F s v konst. b) ineriální vztažná s. Obrázek D.1 K odvození setrvačné síly V neineriální vztažné soustavě (např. v rozjíždějíím se vagónu) konstatuje vnitřní pozorovatel (obr. D.1a), že se míč pohybuje směrem k zadní stěně vagónu. Aby tento pohyb vysvětlil, musí zavést setrvačnou sílu. Vnější pozorovatel mimo vagón (obr. D.1b) však může pohyb míče směrem k zadní stěně vagónu vysvětlit takto: Míč zůstává na místě, pouze pod ním ujíždí podlaha vagónu. V tomto případě není potřeba zavádět žádnou sílu fyzikální situai lze vysvětlit vzájemným zryhleným pohybem vztažnýh soustav. Setrvačná síla tedy nemá původ v žádné ze čtyř základníh fyzikálníh interakí (podle kapitoly 1) a vyskytuje se pouze v neineriálníh vztažnýh soustaváh. Z tohoto důvodu říkáme setrvačným silám síly zdánlivé. Galileiho transformae umožňuje na základě Galileiho prinipu relativity přejít z jedné ineriální vztažné soustavy do jiné, která se vůči ní pohybuje ryhlostí v. Uvažujme kartézskou soustavu S s počátkem O, ve které je poloha bodu A dána souřadniemi x, y, z (viz obr. D.). Pokud heme popsat polohu bodu v soustavě S, která se vůči soustavě S pohybuje ryhlostí v rovnoběžně s osou x, použijeme souřadnie x, y, z, které najdeme pomoí tzv. Galileiho transformae: Protože bod je v klidu v soustavě S, pohybuje se vůči němu počátek O soustavy S ryhlostí v. Proto platí x = x v t, y = y, z Přímá Galileiho transformae, S S. = z, t = t. Protože jsme ztotožnili osy x a x rovnoběžné se směrem ryhlosti, v tomto speiálním případě jsou si ostatní souřadnie přímo rovny. V obeném trojrozměrném případě by se v každé souřadnii uplatnila odpovídajíí složka vektoru ryhlosti v.

3 D. Nezdar klasiké fyziky a teorie éteru 109 z z v = konst. A(x, y, z) v t x O O x x x y y Obrázek D. Odvození Galileiho transformae Pro přehod z pohybujíí se soustavy S do klidové soustavy S lze z obrázku D. podobně odvodit x = x + v t y = y z = z t = t Zpětná (inverzní) Galileiho transformae, S S. D. Nezdar klasiké fyziky a teorie éteru Již od počátku 19. století bylo známo, že světlo se hová jako vlnění, o čemž svědčí interferenční pokusy (např. klasiký Youngův pokus s dvojštěrbinou z roku 1801). Proto bylo usilovně hledáno prostředí, kterým se toto vlnění šíří. Z mehaniky je známo, že vlnění je důsledkem kmitání části prostředí vlněním se přenáší pouze energie, nikoli hmota (částie prostředí pouze kmitají kolem rovnovážnýh poloh). Prostředí, kterým se šíří světlo, bylo označeno jako světlonosný éter. Soustavné experimenty se šířením světla v pohybujíím se prostředí prováděl přibližně od poloviny 19. století Hippolyte Fizeau. Jeho měření ryhlosti světla, které se šířilo proudíí vodou, bylo možno vysvětlit jako strhávání éteru proudem vody. Naproti tomu astronomiká měření aberae hvězd svědčila o nehybném éteru. Konečné rozhodnutí, která teorie je pravdivá, měl přinést Mihelsonův-Morleyův pokus (viz obr. D.3). Ze zdroje se šířilo monohromatiké světlo na polopropustné zradlo. Polopropustné zradlo polovinu světla propustí (to se pak šíří v původním směru) a polovinu odrazí. Protože je skloněno o úhel 45, odražené světlo se šíří ve směru kolmém na směr příhodu paprsku. Odražený i prošlý paprsek urazí dráhu l ke klasikým zradlům, kde se odrážejí a vraí se zpátky na

4 110 Dodatek: Speiální teorie relativity l v l a) v klidu b) v pohybu Obrázek D.3 Mihelsonův-Morleyův interferometr zradlo polopropustné. Zde paprsek, který se odrazil na horním zradle, prohází polopropustným zradlem, a paprsek, který se odrazil na pravém zradle, se odráží na polopropustném zradle směrem dolů. Světlo obou paprsků tak může interferovat a pozorovatel může pozorovat interferenční proužky, jejihž vzhled závisí na dráhovém rozdílu paprsků. Proto je tato experimentální aparatura často nazývána Mihelsonův-Morleyův interferometr. Pokud je interferometr v klidu (obr. D.3a), je dráhový rozdíl paprsků nulový, protože paprsky urazí stejné dráhy. Pokud se však bude elý interferometr pohybovat ryhlostí v, která bude rovnoběžná se směrem příhodu světla od zdroje (obr. D.3b), bude situae jiná. Pokud paprsek, který prošel polopropustným zradlem letí ve směru zleva doprava, zradlo se od něj vzdaluje ryhlostí v. Naopak po odrazu od pravého zradla se k němu polopropustné zradlo pohybuje ryhlostí v. Tedy nejprve světlu pravé zradlo utíká, po odrazu mu polopropustné zradlo běží naproti. Paprsek, který se od polopropustného zradla odrazil směrem nahoru, urazí delší dráhu, než je-li interferometr v klidu, protože ryhlost v je kolmá na směr pohybu světla. Protože ted mají paprsky jiný dráhový rozdíl, než je-li interferometr v klidu, změní se interferenční obraze, který vidí pozorovatel. Mihelsonův-Morleyho interferometr byl na svou dobu (rok 1887) velmi důmyslným zařízením. Díky víenásobným odrazům byla efektivní délka ramen l jedenát metrů a předpokládaný posun byl odhadnut na čtyři desetiny interferenčního proužku. Celé zařízení bylo na pískovové dese, která plavala na hladině rtuti, čímž měly být eliminovány vibrae. S tímto interferometrem by bylo možné pozorovat posun řádu setiny interferenčního proužku, tedy čtyřietkrát menší, než byl předpokládaný vliv pohybu Země éterem. Při provedení pokusu byl interferometr nejprve umístěn kolmo na směr pohybu Země a následně byl otočen o 90. S překvapením bylo zjištěno, že se interferenční obraze nezměnil.

5 D.3 Postuláty speiální teorie relativity 111 D.3 Postuláty speiální teorie relativity Z neúspěhu řady těhto experimentů vyplynulo, že ryhlost světla nezávisí na ryhlosti pozorovatele a jelikož nezávisí ani na ryhlosti zdroje, musí být pro všehny pozorovatele (v našem případě v S i v S ) stejná. Ještě před vznikem teorie relativity si Hendrik Antoon Lorentz a jiní povšimli, že elektromagnetiké síly se liší v závislosti na umístění pozorovatele. Například jeden pozorovatel nemusí zaznamenat žádné magnetiké pole v určité oblasti, zatímo jiný pohybujíí se vzhledem k prvnímu ano. Lorentz proto odvodil transformae, které nesou jeho jméno a tento jev řeší. Zdálo se, že jeho teorie umožňuje sladit teorii elektromagnetikého pole a klasikou Newtonovu fyziku prostým nahrazením Galileiho transformae. Tato teorie, známá jako Lorentzova teorie éteru byla kritizována, i Lorentzem samotným, pro její ad ho podstatu. Vysvětlení poskytl v roe 1905 Albert Einstein. Zatímo Lorentz pouze navrhl transformační rovnie, Einsteinovým přínosem bylo vysvětlení a odvození těhto rovni z prinipiální teorie, která nepožaduje přítomnost éteru. Einstein htěl zjistit, o je neměnné (invariantní) pro všehny pozorovatele. Ve speiální teorii relativity se zdánlivě složité Lorentzovy transformae odvozují z jednoduhé geometrie. Původní název teorie byl (z němčiny) Teorie invariantů. Max Plank později doporučil, že termín teorie relativity lépe zdůrazňuje představu transformae zákonů fyziky mezi pozorovateli, kteří se vůči sobě vzájemně pohybují. Albert Einstein ve speiální teorii relativity formuloval dva postuláty, které platí v ineriálníh vztažnýh soustaváh. Speiální teorie relativity se označuje jako speiální proto, že popisuje pouze zvláštní případ Einsteinova prinipu relativity, kdy lze zanedbat vliv gravitae. V roe 1915 Einstein publikoval obenou teorii relativity, která zahrnuje i gravitai. 1. Einsteinův postulát: Žádným pokusem nelze rozlišit, zda je soustava v klidu, nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém. Jinak řečeno, ve všeh ineriálníh vztažnýh soustaváh probíhají fyzikální děje stejně (platí pro ně stejné fyzikální zákony). První postulát je tedy zobeněním Galileiho prinipu relativity, protože říká, že žádným, tedy nejen mehanikým, ale ani optikým, elektrikým nebo jakýmkoliv jiným pokusem nelze rozlišit, je-li soustava v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém.. Einsteinův postulát: Ryhlost světla je ve všeh vztažnýh soustaváh stejná. Ryhlost světla tedy nezávisí na volbě vztažné soustavy, tedy ani na ryhlosti objektu, který světlo vyzařuje.

6 11 Dodatek: Speiální teorie relativity D.4 Lorentzova transformae a její důsledky Odvození Lorentzovy transformae Budeme předpokládat, že stačí Galieliho transformai opravit násobením zatím neznámým koefiientem γ: přehod do S : x = (x v t)γ, (D.1) přehod do S : x = ( x v t ) γ. (D.) Budeme popisovat šíření světelné vlny, protože světlo má v obou vztažnýh soustaváh stejnou ryhlost : x = t, x = t. (D.3) (D.4) Dosazením rovni (D.3) a (D.4) do (D.1) a (D.) získáme t = (t v t)γ, t = ( t + v t ) γ. Rovnie vyřešíme vzhledem k γ nejryhleji tak, že levé a pravé strany mezi sebou vynásobíme: t t = γ (t v t) ( t + v t ), odtud t t = γ ( t t + v t t v t t v t t ), = γ ( v ), γ = v = v = 1. V posledním kroku jsme čitatele i jmenovatele vydělili, čímž se hodnota zlomku nezmění, ale výraz se zkráením zjednoduší. Výsledný výraz se obvykle nazývá Lorentzův faktor. Platí 1 1 γ = =, 1 β kde β = v/. Nyní můžeme dosadit za γ do rovnie (D.1). Přímá Lorentzova transformae pro přehod ze soustavy S do soustavy S pak má tvar

7 D.4 Lorentzova transformae a její důsledky 113 x = (x v t)γ = y = y, z = z, t = x = x v t, x v t = x v t = t v x, kde jsme v posledním výrazu využili úpravu t = x a tedy v t = v x = v x. Obdobně lze dosazením do rovnie (D.) získat inverzní Lorentzovu transformai. Obě dvě transformae shrneme takto: Přímá Lorentzova transformae S S x = x v t, y = y, t = z = z, t v x. Inverzní Lorentzova transformae S S x = x + v t, y = y, z = z, t = t + v x. Nyní budeme diskutovat důsledky Lorentzovy transformae pro kinematiku a dynamiku. Výsledky těhto úvah lze zobenit pro libovolný směr vektoru ryhlosti v. Relativnost současnosti Současnost událostí je ve speiální teorii relativity relativní. Uvažujme vagon, který se pohybuje ryhlostí v. Ve středu vagonu je umístěna žárovka, kterou v jednom okamžiku rozsvítíme (viz obr. D.4). Světlo z žárovky urazí vzdálenosti k oběma stěnám vagonu t za stejnou dobu t a dopadne na stěny současně. Z pohledu vnějšího pozorovatele dopadne světlo na levý okraj dříve zadní stěna vagonu běží světlu naproti, kdežto přední stěna se pohybuje ve směru světla a utíká mu. Proto pro vnějšího pozorovatele dopady světla na stěny vagonu nejsou současné události.

8 114 Dodatek: Speiální teorie relativity v v t t v v x x 1 x a) b) Obrázek D.4 Relativnost současnosti Pokud označíme t 1 a t časy dopadu na stěny vagonu měřené v pohybujíí se soustavě S, bude v soustavě S jistě platit t = t t 1 = 0, protože vzdálenosti od žárovky k přední a zadní stěně vagonu jsou stejné a události jsou současné. Nyní provedeme relativistikou transformai tohoto rozdílu do soustavy S: t = t t 1 = t + v x t 1 + v x 1 = ) v ( x t = x 1 0. t t 1 + v x v x 1, Dvě události tedy obeně nejsou současné v soustavě S, vůči níž se S pohybuje. Časový rozdíl t mezi těmito událostmi měřený v soustavě S bude nulový pouze bud tehdy, když v = 0 (tedy je-li soustava S v klidu vůči S), nebo když x x 1 = 0, tedy pokud k událostem dojde na tomtéž místě soustavy S. Ve všeh ineriálníh soustaváh jsou tedy děje současné pouze tehdy, jsou-li naví i soumístné. Dilatae času Pokud budeme mít v klidové soustavě S hodiny, které budou stále na stejném místě (x 1 = x ), můžeme měřit časové intervaly jako rozdíl časů mezi dvěma událostmi: t = t t 1. Doba, kterou mezi těmito dvěma událostmi naměří pohybujíí se pozorovatel v soustavě S, je podle Lorentzovy transformae t = t t 1 = t v x t 1 v x 1 = t t 1 + v x v x 1 = t t 1,

9 D.4 Lorentzova transformae a její důsledky 115 d t d v t v Obrázek D.5 Světelné hodiny protože x 1 = x. Protože Lorentzův faktor je vždy menší než jedna, naměří pohybujíí se pozorovatel v soustavě S vždy delší časový interval t = t. (D.5) Z rovnie je zřejmé, že doba trvání události závisí na volbě vztažné soustavy, tedy není invariantní vůči Lorentzově transformai. Fyzikální veličinu, která by se při Lorentzově transformai neměnila, označíme jako lorentzovský invariant. Ke stejnému výsledku lze dospět i z úvahy o Tolmanovýh světelnýh hodináh (obr. D.5). Světelné hodiny měří čas tak, že jedno tiknutí hodin odpovídá době letu fotonu mezi dvěma zradly tam a zpět 1, tedy t = d, kde d je vzdálenost zradel. Pokud se budou hodiny pohybovat, musí fotony z pohledu vnějšího pozorovatele urazit delší dráhu. Z Pythagorovy věty (viz obr. D.5) vyplývá ( t ) ( ) t = d + v. Vzdálenost d zradel můžeme vyjádřit pomoí času tiknutí v klidu: ( t ) ( ) t ( ) t = + v. Odtud t = t + t v, t ( v ) = t, 1 Je třeba vzít v úvahu, že letíí foton nevyvolává reálné události. Přestože je na obr. D.5 zakreslena trajektorie letíího fotonu, ve skutečnosti jsou reálnými událostmi pouze dopady fotonu na jedno ze zradel.

10 116 Dodatek: Speiální teorie relativity t = t, ož je opět rovnie D.5. Dilatae času je fyzikální realitou byla potvrzena nejen při pokuseh s atomovými hodinami, ale projevuje se i u mionů, které byly popsány v kapitole 1.1. Miony vznikají interakí kosmikého záření s atmosférou Země jako produkt rozpadu pionů. Vzniklé miony mají velmi vysoké ryhlosti kolem 0,995 =, m s 1. Poločas rozpadu mionu v laboratorníh podmínkáh je, 10 6 sekundy. Za tento čas by miony při ryhlosti, m s 1 uletěly 650 metrů a zemského povrhu by nedosáhly. Při 99 % ryhlosti světla však miony existují z pohledu externího pozorovatele 10 déle, ož jim umožní doletět až k zemskému povrhu (dráhu v déle 15 km). Kontrake délky V soustavě S měříme délku L předmětu, který se v této soustavě pohybuje ryhlostí v (tedy předmět je v klidu vzhledem k S). Tato délka je definována jako L = = x x 1. Délka L, naměřená z pohybujíí se soustavy S (která se rovněž pohybuje vůči S ryhlostí v ) bude L = x x 1 = x v t x 1 v t x x 1 v t + v t x x 1 = =, protože obě měření proběhla ve stejném čase t. Pozorovatel v soustavě S, který se vůči tyči nepohybuje, naměří délku L L =, tedy délku delší, než jakou má tyč, která je v soustavě S v pohybu. Podle prinipu relativity se bude objekt, který je v soustavě S v klidu, při měření z pohybujíí se soustavy S jevit zkráený, ož zapíšeme záměnou čárek: L L = L = L. Tento poslední vztah se obvykle zapisuje ve tvaru L = L 0. (D.6)

11 D.4 Lorentzova transformae a její důsledky 117 Zde L 0 je tzv. vlastní délka, tedy délka tyče měřená v klidu. Pokud tyč umístíme do rakety, která se bude pohybovat ryhlostí v, vnější pozorovatel v soustavě S naměří kratší délku L. Z uvedenýh odvození je zřejmé, že časové úseky i délky mají při relativistiké transformai obdobné vlastnosti: Při pohybu vůči ineriálnímu pozorovateli se jeví zkráené. To vypadá jako rozpor s pojmy kontrake délek a dilatae času, podle kterýh se zdá, že při pohybu se vzdálenosti zkraují, ale čas se prodlužuje. Ani kontrake délek, ani dilatae času nejsou pojmy hybné, jenom jsou každý jinak definován: Kontrakí délek se popisuje hodnota, kterou naměříme v soustavě, která se vzhledem k nám pohybuje, dilataí času se popisuje hodnota, kterou nenaměříme my, ale kterou naměří v naší soustavě pozorovatel, který je v pohybujíí se soustavě. Relativistiké skládání ryhlostí Při relativistikém skládání ryhlostí musí být zajištěno, že výsledná ryhlost nepřekročí ryhlost světla ve vakuu. Uvažujme ineriální vztažnou soustavu S, která se bude pohybovat vzhledem k soustavě S ryhlostí v ve směru os x a x (obr. D.). V soustavě S se pohybuje částie ryhlostí u. Pokud na počátku měření zafixujeme t = t = 0, dostáváme pro ryhlost částie v soustavě S u = x t = x + v t t + v x = x + v t t + v x = x t + v 1 + v. x t Po zkráení Lorentzova faktoru jsme v posledním výrazu vydělili čitatele i jmenovatele členem t a s uvážením skutečnosti u = x /t dostáváme finální tvar u = u + v 1 + u v. (D.7) Pokud jsou obě ryhlosti menší než ryhlost světla, je menší než ryhlost světla i výsledek (např. pro u = v = dostaneme výslednou ryhlost u = 0,8), pokud je jedna z ryhlostí rovna (to je např. situae, kdy je z kosmiké lodi s ryhlostí v vyslán laserový paprsek), dostaneme výsledek. To je důsledek. Einsteinova postulátu ryhlost světla ve vakuu musí být pro všehny pozorovatele stejná bez ohledu na to, zda se zdroj či pozorovatel pohybuje.

12 118 Dodatek: Speiální teorie relativity E k MeV 1,5 1,00 ( ) E k = m (v/) 0,75 0,50 E k = 1 mv 0,5 v 0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 Obrázek D.6 K relativistiké kinetiké energii Relativistiká hybnost Z experimentů na uryhlovačíh, při nihž zkoumáme vzájemné srážky části vyhází, že hybnost p částie, kterou pozorovatel v soustavě S považuje za volnou, musíme psát jako p = mv, (D.8) nikoli p = mv jako v klasiké Newtonově fyzie. To je nejjednodušší definie, prostřednitvím které doílíme zákona zahování hybnosti při srážkáh. Formálně ze vztahu vyhází, že letíí částie zvětšuje velikost své hybnosti nikoliv přímo úměrně ryhlosti, ale podle funke v. Cheme-li udržet Newtonův tvar vzore pro hybnost p = mv, je někdy účelné zavést relativistiký parametr m m =, protože pak má vzore pro hybnost tvar p = mv. To ovšem nelze interpretovat tak, že se pohybem mění hmotnost m. Ta zůstává stejná až do té doby, než dojde ke sráže s jinou částií. Hmotnost částie m je invariant, m je relativistiký parametr. Pojem relativistiké hmotnosti je překonaná interpretae výsledků pokusů se srážkami části hmotnost tělesa je jen jedna, a to hmotnost klidová. Relativistiká hmotnost se jevila jako vhodný popis umožňuje vysvětlit, proč žádné hmotné těleso nemůže dosáhnout ryhlosti světla: Čím vyšší bude ryhlost tělesa, tím

13 D.4 Lorentzova transformae a její důsledky 119 větší relativistikou hmotnost naměří vnější pozorovatel a tím víe energie bude potřebovat na další uryhlení. Lze snadno ukázat, že k uryhlení tělesa na ryhlost světla by bylo zapotřebí nekonečně velké množství energie. Správná interpretae je následujíí: Uvažujme částii o hmotnosti m, která je v klidu v soustavě S a pohybuje se s touto soustavou ryhlostí v do okamžiku, kdy narazí na další částii, která je v klidu v soustavě S. V tu hvíli přestane platit, že je soustava S ineriální. Proběhne totiž srážka, po níž bude první částie v klidu v soustavě S, protože předala svou hybnost druhé částii, která se dá do pohybu v S. Doba srážky τ je měřená v S, v soustavě S pro ni platí τ t =. Odsud vyplývá definie relativistiké hybnosti D.8. Energie v teorii relativity Pro relativistikou energii objektu, jenž je v klidu vůči pozorovateli, se uvádí pravděpodobně nejznámější fyzikální vzore E 0 = m. Jeho význam je takový, že v jednom kilogramu hmoty je pro možnou interaki s jinými objekty připravena maximální energie E 1 kg ( m s 1 ) = J. Tuto energii se lidstvo snaží využívat hemiky (spalováním) s účinností přeměny řádu 10 8 %, protože např. výhřevnost benzinu je 30 MJ na kilogram. V jadernýh elektrárnáh, kde je energie uvolňována štěpením těžkýh jader, je tato účinnost přibližně 0,1 % (teoretiká maximální hodnota, úplným rozštěpením jednoho kilogramu 35 U by bylo možné získat a 80 TJ). Účinnost jaderného slučování je ještě vyšší v jádru Slune, kde probíhají fúzní reake, se přeměnou jednoho kilogramu vodíku na helium uvolní asi J energie a účinnost je tedy asi 0,7 %. Význam fúzní reake nespočívá v 7 vyšší energetiké výtěžnosti, ale v tom, že výsledkem fúzní reake vodíku nejsou radioaktivní odpady s dlouhými poločasy přeměny, ale helium. Výše uvedený vzore lze upravit aplikaí vzore pro relativistikou hybnost pro případ, kdy se objekt o hmotnosti m pohybuje vůči pozorovateli ryhlostí v: E = m. (D.9)

14 10 Dodatek: Speiální teorie relativity Tedy energie tělesa s ryhlostí roste. Při ryhlosti v 0 se ke klidové energii m přidává ještě energie kinetiká. Porovnání klasiké a relativistiké kinetiké energie uvádí obrázek D.6. Odvození rovnie vztahu hmotnosti a energie Kinetiká energie je rovna prái, kterou vykoná síla při uryhlení tělesa z ryhlosti v 0 = 0 na ryhlost v: s s dp p E k = F ds = dt ds = v dp. 0 Diferenujeme proto rovnii pro relativistikou hybnost D.8: 0 m dv dp = [ 1 v ] 3/. Pro kinetikou energii pak dostáváme E k = v dp = m + K. konstantu K volíme tak, aby pro v = 0 byla kinetiká energie nulová. To je splněno když K = m. Potom E k = m m = m = ( γ 1 ) m. Vztah E = γm je elková energie tělesa, E 0 = m je klidová energie tělesa definovaná výše. Čtyřvektory Vztah pro relativistikou hybnost (D.8) můžeme použitím vztahu pro energii (D.9) upravit takto: p = E v. Speiálně pro částie s nulovou hmotností, které se pohybují ryhlostí světla (např. fotony) pak dostáváme p = E = E. (D.10)

15 D.4 Lorentzova transformae a její důsledky 11 V teorii relativity existují čtyřsložkové vektory, které se transformují podle Lorentzovy transformae, např. ( t, x, y, z ) ( t, x, y, z ). Tyto vektory se označují jako čtyřvektory. Prostor a čas podle speiální teorie relativity tvoří jediný elek, čtyřrozměrný časoprostor. Každá vektorová veličina (trojie reálnýh hodnot) je přirozeně spojena s další číselnou veličinou, které říkáme časová složka čtyřvektoru tak, aby byl výsledný matematiký objekt nezávislý na vztažné soustavě. Formálněji je čtyřvektor prvek tzv. Minkowského prostoru (který je ve speiální teorii relativity totožný s časoprostorem). Složky čtyřvektoru se při Lorentzovýh transformaíh, rotaíh a translaíh, tedy při přehodu z jedné (zela obené) ineriální vztažné soustavy do jiné, transformují jako vektory. Takovým čtyřvektorem je i vektor ( ) E, p x, p y, p z kontravariantní forma zápisu ( ) E, p x, p y, p z kovariantní forma zápisu Člen E se označuje jako nultá složka čtyřvektoru, aby složky vektoru hybnosti p mohly být první, druhou a třetí složkou čtyřvektoru hybnosti, někdy označovaného jako čtyřhybnost. Dalším důležitým lorentzovským invariantem je rozdíl Et p r, který jsme použili k popisu části ve Shrödingerově rovnii. Pythagorova věta o energii Lze ukázat, že v souladu s experimenty je nutné definovat elkovou energii částie vztahem E = m 4 + p. (D.11) Jak lze k tomuto vzori dojít? Skalární součin vektoru čyřhybnosti se sebou samým dává Pythagorovu větu o energii, ož je důsledek vlastností Minkowského časoprostoru (jedná se o normu čtyřvektoru hybnosti). My však budeme postupovat heuristiky: Naším úkolem nyní bude vyjádřit energii jako funki hybnosti. Pro relativistikou energii máme vzore D.9 E = m, pro relativistikou hybnost platí rovnie D.8 p = mv.

16 1 Dodatek: Speiální teorie relativity E m E k p θ m Obrázek D.7 K relativistiké hybnosti a energii Odvození Pythagorovy věty o energii Rovnii D.9 umoníme a vynásobíme jmenovatelem: E = m 4 ( E Pro roznásobení získáme tvar ) = m 4. E E v = E m 4 v ( = m ) 4, kde jsme ve druhém členu energii opět rozepsali podle vzore D.9. Úpravou E m v = m 4. Zlomek v druhém členu je druhou moninou výrazu pro relativistikou hybnost D.8 a dostáváme tedy tvar E p = m 4, ož je rovnie D.11, kterou můžeme zapsat ve snadno zapamatovatelném tvaru E = m 4 + p, E = E 0 + (p). Toto je elková energie pohybujíí se částie, která se skládá z klidové a kinetiké energie (viz obrázek D.7). Pro částie v klidu (p = 0) přehází rovnie D.11 v rovnii pro klidovou energii částie: E = m 4 = m.

17 D.4 Lorentzova transformae a její důsledky 13 Speiálně pro částie s nulovou hmotností m = 0 přehází rovnie D.11 v rovnii D.10: E = p p = E. Skalární součin čtyřvektorů hybnosti v kontravariantní a kovariantní formě ( ) ( ) E E, p x, p y, p z, p x, p y, p z je relativistikým invariantem. Pokud provedeme naznačený skalární součin, obdržíme E p x p y p z = E p = m 4 + p p = m. Pro každou částii je tento výraz harakteristikou veličinou, nebot m je její hmotnost. Jde tedy o dobrý důvod definovat E jako m 4 + p.