Vlnění druhá sada Equation Chapter 1 Section 1

Transkript

1 Vlnění druhá sada Equation Chapter 1 Setion 1 1. Ladička Zadání: Zdroj zuku se pohybuje na ozíku ryhlostí = 5 m s 1 směrem ke stěně. Na opačné straně slyší pozoroatel rázy na frekeni f R = 3 Hz. Jaká byla frekene zdroje zuku, jestliže je ryhlost zuku S = 340 m/s? Řešení: Pozoroatel slyší jednak přímou lnu nižší frekene (zdroj se zdaluje) a jednak lnu odraženou od stěny (yšší frekene zdroj se pohybuje ke stěně). Obě lny se skládají rázy na rozdíloé frekeni: æ ö æ ö f = f 1, f f 1, f f f f = + = - = 0 R 1 0 (1) çè ø èç ø Koreke frekene na pohyb zdroje jsme napsali do čitatele (<< S ). Vidíme, že f 0 = f R S /(). Výsledek: f 0 = 040 Hz.. Pískajíí lokomotia Zadání: Lokomotia jedouí ryhlostí 7 km/h píská sekundy. Jak dlouho trá zuk, který nímá klidu stojíí pozoroatel a) přijíždí-li lokomotia k němu b) zdaluje-li se lokomotia od něho. Ryhlost zuku je 340 ms 1. Řešení: Celkoý počet kmitů obsaženýh signálu se liem Doppleroa jeu nemění. Mění se jen frekene a doba trání signálů místě pozoroatele. Označíme-li n počet kmitů signálu, lze psát n f 0t0 f 1t1 f t. Kmitočet f 0 se při přibližoání zdroje změní důsledku Doppleroa jeu na f1 f0, při zdaloání na f1 f0. S použitím uedenýh ztahů dostaneme pro přibližoání n ft t1 t0 1,88 s. f 1 f a pro zdaloání n ft t t0,1 s. f f S

2 3. Rotujíí hězda Zadání: Nalezněte ztah pro rozšíření spektrální čáry způsobené rotaí hězdy. Vztah přepište pro lnoou délku čar. Řešení: Rotae hězdy způsobuje, že jeden okraj hězdy se k nám přibližuje ryhlostí = R ω a druhý okraj se toutéž ryhlostí zdaluje. R je poloměr hězdy a ω úhloá ryhlost rotae hězdy. Výsledkem je doppleroské rozšíření spektrální čáry. Krajní frekene budou dány ztahy f 1, = f 0 (1 ± Rω/) a krajní lnoé délky λ 1, = /[f 0 (1 ± Rω/)] ~ ( ± Rω)/f 0. Opět jsme yužili toho, že koreke jsou malé a lze je se změnou znaménka přeézt z jmenoatele do čitatele (1/[1 + x] ~ [1 x]). Rozdíl lnoýh délek obou čar tedy bude Δλ = Rω/f Rázoá lna za letadlem Zadání. Letadlo Conorde letí konstantní ýše h 18 km ryhlostí w 376 km/h. Za jakou dobu uslyší pozoroatel na porhu země soniký třesk letadla poté, o jej uiděl kolmo nad hlaou? (Zanedbejte zakřiení a ostatní neronosti zemského porhu a nehomogenitu atmosféry, pro ýpočet uažujte = 330 m/s. Jaký další předpoklad je následujíím řešení obsažen? w h P Řešení: Letadlo letí nadzukoou ryhlostí, ytoří se rázoá lna. Její čelo se pohybuje (normáloou) ryhlostí a dorazí k pozoroateli za čas. Pro poloiční rholoý úhel rázoé lny platí sin w /. Poloha pozoroatele je šak určena ýškou h, kterou yjádříme pomoí, a w h os 1 sin 1 w, () h 1 47, s w. (3) Předpokládá se, že ryhlost šíření sětla (iz sloo uiděl ) je dostatečně elká oproti ryhlosti zuku, aby ji bylo možno zanedbat. 5. Vlnoá ronie Zadání: V (malé ale konečné) části periody jisté jednorozměrné postupné příčné lny bylo zjištěno konstantní zryhlení a kmitajíího elementu. Stanote, jak ryhle se mění ýhylka h elementu během průhodu této části lny jistým bodem prostoru e směru šíření. Fázoá ryhlost šíření je známa.

3 Řešení: Vlnění lze popsat jednorozměroou lnoou ronií h 1 h 0, x t kde ýraz h/ t předstauje našem případě zryhlení kmitajíího bodu. Je tedy f 1 h 1 h akonst K K. f t f x Ryhlost změny ýhylky podle souřadnie x je u u 1 x dx Kdx Kx ax. x x uažoaném interalu se proto mění lineárně. Poznámka: Již ze zadání snadno nahlédneme, že se e směru kolmém na ryhlost šíření jedná o pohyb ronoměrně zryhlený a ýhylka se bude i podle souřadnie x měnit s lineárně rostouí nebo klesajíí ryhlostí. Vlnoá ronie nám šak poskytuje i hodnotu ryhlosti této změny. f 6. Disperzní relae lnoé ronie Zadání: Nalezněte disperzní relai lnoé ronie Řešení: Na klasikou lnoou ronii narazíme mnoha ědníh odětíh. Odpoídá jednoduhým lnám bez disperze. 1 0 t Ronie je lineární a každé její rozumné řešení je možné zapsat pomoí Fourieroy transformae jako superpozii roinnýh ln. Po dosazení roinné lny do lnoé ronie získáme disperzní relai (4) k. (5) Standardním postupem určíme fázoou a grupoou ryhlost: f ; g. (6) k k Fázoá i grupoá ryhlost je stejná a nezáisí na lnoé déle pariální lny, ož je harakteristiké pro lineární disperzní relae typu ω = k. 7. Disperzní relae Kleinoy-Gordonoy ronie Zadání: Nalezněte disperzní relai Kleinoy-Gordonoy ronie Řešení: Kleinoa-Gordonoa ronie je spránou relatiistikou ronií pro olnou částii se spinem roným nule 1 m 0;. (7) t Jde o lnoou ronii s konstantním členem, která se yužíá pro popis části s nuloým spinem kantoé teorii. Ronie je lineární, její řešení opět budeme hápat jako superpozii roinnýh ln. Po proedení Fourieroy transformae Kleinoy-Gordonoy ronie získáme disperzní relai

4 k. Standardním postupem určíme fázoou a grupoou ryhlost: (8) f g 1 1, k k 4 k 1 1 k 4 Na prní pohled je zřejmé, že grupoá ryhlost je ždy podsětelná. Oproti tomu fázoá ryhlost je ždy nadsětelná a nemá ýznam přenosu informae. Mezi oběma ryhlostmi je jednoduhý ztah f g =. Obě ryhlosti záisí na lnoé déle pariální lny (tz. disperze).. (9) 8. Zukoé lny pohybliém prostředí Zadání: Nalezněte disperzní relai pro zukoé lny pohybujíím se plynu Řešení: Za ýhozí soustau roni yužijme ronii kontinuity, pohyboou ronii a staoou ronii e taru di u 0, t u u u p, (10) t p p( ) K. Připusťme nyní nenuloou ryhlost e staionárním řešení (to odpoídá šíření zuku pohybujíím se prostředí) a požadujme řešení e taru, uu u, p p p. (11) Výpočet probíhá zela analogiky jako u zukoýh ln nepohybliém prostředí. Nejpre proedeme linearizai ( roniíh poneháme členy lineární poruháh): Po Fourieroě transformai máme di 0 uu0 0, t u 0 0u0u p, (1) t p p ;. ( ku ) ku0, 0 0 k p ( ku ) u, (13) 0 0 p p ;. Po eliminai proměnnýh (z poslední ronie určíme δp, z předposlední δu získáme disperzní relai

5 p ku 0 ( 0) k 0; (14) a z ní pozoroanou úhloou frekeni u0 p k s ku 0 k s ku0os k s 1 os.; S (15) s Ve ýrazu jsme označili úhel mezi lnoým ektorem k a ryhlostí prostředí u 0. značímeli ještě frekeni zuku nepohybliém prostředí 0 k s, máme ýsledný ztah u os, (16) s který není ni jiného než Dopplerů zore pro změnu frekene liem pohybu zdroje lnění. U pohybujííh se tekutin se tedy disperzní relai objeí místo úhloé frekene ω kombinae Ω = ω k u 0.