1 3Logika XII. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 3Logika XII. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD."

Transkript

1 1 3Logika XII. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. Katedra teoretick informatiky Fakulta informa 0 0n ch technolog esk vysok u 0 0en technick v Praze c ПKate 0 0ina Trlifajov, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropsk 0 5 soci ln fond. Praha & EU: Investujeme do va 0 8 budoucnosti RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 1 / 21

2 1 3Logika XII. Eulerovy a Vennovy diagramy. Hilbert 0 1v axiomatick 0 5 syst m. V ta o dedukci. Korektnost. 0 3plnost. Bezespornost. G 0 2delovy v ty o ne plnosti RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 2 / 21

3 1 3Hilbertovsk 0 5 axiomatick 0 5 syst m Hilbertovsk 0 5 predik tov 0 5 kalkul Axiomy: (H1) A 6м0 (B 6м0 A)) (H2) (A 6м0 (B 6м0 C)) 6м0 ((A 6м0 B) 6м0 (A 6м0 C)) (H3) ( 0 1B 6м0 0 1A) 6м0 (A 6м0 B) (H4) ( 6я6x)A 6м0 A[t], kde t je term. Specifikace. (H5) ( 6я6x)(A 6м0 B) 6м0 (A 6м0 ( 6я6x)B), kde x nem voln 0 5 v 0 5skyt v A. Odvozovac pravidla: Modus ponens: Z A, A 6м0 B, odvo 0 2 B. Pravidlo generalizace: Z formule A odvo 0 2 ( 6я6x)A. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 3 / 21

4 1 3Hilbertovsk 0 5 axiomatick 0 5 syst m - pozn mky (H4) 6ч3 ( 6я6x)A 6м0 A[t], kde t je term (i prom nn i konstanta). 6ч3 ( 6я6x)A 6м0 A(x) Jestli 0 6e jsou v 0 8ichni smrteln, pak i libovoln lov k x je smrteln ч3 ( 6я6x)A 6м0 A[S], S je konstanta Jestli 0 6e jsou v 0 8ichni smrteln, pak je i Sokrates smrteln 0 5. (H5) 6ч3 ( 6я6x)(A 6м0 B(x)) 6м0 (A 6м0 ( 6я6x)B(x)), kde x nen voln v A. Jestli 0 6e pro ka 0 6d ho 0 0lov ka plat, 0 6e jestli 0 6e pr 0 8, pak z 0 1stane doma, pak plat, 0 6e jestli 0 6e pr 0 8, pak v 0 8ichni z 0 1stanou doma. Pravidlo generalizace: Jestli 0 6e 6ч3 A, pak 6ч3 ( 6я6x)A. Libovoln lov k je smrteln 0 5. Odvod me: V 0 8ichni lid jsou smrteln. Troj heln ky. POZOR! 6ъ2 A 6м0 ( 6я6x)A RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 4 / 21

5 1 3D 0 1kaz D 0 1kaz Posloupnost formu A 1,...A n je d 0 1kazem formule A (resp. z teorie T), jestli 0 6e A n je A a pro ka 0 6d A i, 1 э i э n, plat, 0 6e A i je axiom nebo A i vznikne z p 0 0edchoz ch A j, j э i pravidlem modus ponens nebo pravidlem generalizace (resp. A i je formule teorie T.) P 0 8eme 6ч3 A (resp. T 6ч3 A). RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 5 / 21

6 1 3Z kladn vlastnosti Hilbertovsk ho kalkulu V ta o dedukci T je mno 0 6ina formu , A je uzav 0 0en a B libovoln formule. Potom T 6ч3 A 6м0 B, pr v kdy 0 6 T, A 6ч3 B. Pozn. Je-li A otev 0 0en, pak A 6ч3 ( 6я6x)A, ale nikoliv 6ч3 A 6м0 ( 6я6x)A Dok 0 6eme ( 6я6x)( 6я6y)A 6м0 ( 6я6y)( 6я6x)A 6ч3 ( 6я6x)( 6я6y)A Hyp. 6ч3 ( 6я6x)( 6я6y)A 6м0 ( 6я6y)A (H4) 6ч3 ( 6я6y)A Modus ponens. 6ч3 ( 6я6y)A 6м0 A (H4) 6ч3 A (MP) 6ч3 ( 6я6x)A Generalizace. 6ч3 ( 6я6y)( 6я6x)A Generalizace. 6ч3 ( 6я6x)( 6я6y)A 6м0 ( 6я6y)( 6я6x)A V ta o dedukci. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 6 / 21

7 1 3Korektnost V ta o korektnosti V 0 8echna dokazateln tvrzen jsou logicky pravdiv. Jestli 0 6e T 6ч3 A, pak T = A. Je t 0 0eba dok zat: - V 0 8echny axiomy jsou logicky pravdiv formule. - Odvozovac mi pravidly odvod me logicky pravdiv formule. - V 0 8echny formule dokazateln z teorie T jsou tautologick 0 5mi d 0 1sledky teorie T. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 7 / 21

8 1 3Bezespornost Bezespornost Teorie T je sporn, pr v kdy 0 6 existuje A tak, 0 6e T 6ч3 A a T 6ч3 0 1A. Teorie T je bezesporn, pr v kdy 0 6 neexistuje A tak, 0 6e T 6ч3 A a T 6ч3 0 1A. Teorie T je sporn, pr v kdy 0 6 ka 0 6dou formuli lze v T dok zat. Teorie T je bezesporn, pr v kdy 0 6 existuje formule, kterou v T nelze dok zat. V ta o bezespornosti Jestli 0 6e T m model, potom je bezesporn. Plyne z v ty o korektnosti. Nech 0 2 M je model T. Sporem. Kdyby T byla sporn, pak ex. A, tak 0 6e T 6ч3 A a T 6ч3 0 1A, pak T = A a T = 0 1A, tedy i M = A a M = 0 1A, a to nen mo 0 6n. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 8 / 21

9 plnost V ta o plnosti (G 0 2del)* T je bezesporn, pr v kdy 0 6 T m model. Jestli 0 6e T m model, pak je bezesporn - v me. Jestli 0 6e T je bezesporn, pak m model. Mus me ho zkonstruovat. V ta o plnosti V 0 8echny logicky pravdiv formule jsou dokazateln, tj. = A, pr v kdy 0 6 6ч3 A. Je-li T teorie, A je formule stejn ho jazyka, pak T = A, pr v kdy 0 6 T 6ч3 A. Jestli 0 6e T 6ч3 A, pak T = A - v ta o korektnosti. Jestli 0 6e T = A, pak v ka 0 6d m modelu je A Д (uz v r A) pravdiv. Tedy v 0 6 dn m modelu T nen 0 1A Д pravdiv. Tedy T х { 0 1A Д } nem model. Tato teorie je tedy sporn. To je pr v kdy 0 6 T 6ч3 A. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 9 / 21

10 pln teorie 0 3pln teorie Teorie T je pln, pr v kdy 0 6 pro ka 0 6dou uzav 0 0enou formuli A plat : T 6ч3 A nebo T 6ч3 0 1A, tj. A je dokazateln nebo vyvratiteln. T je pln, pr v kdy 0 6 pro ka 0 6dou uzav 0 0enou formuli A plat : T = A nebo T = 0 1A. Th(M) mno 0 6ina v 0 8ech uzav 0 0en 0 5ch formu , kter plat v M, je pln. T je pln, pr v kdy 0 6 v 0 8echny jej modely jsou element rn ekvivalentn. Hled me pln teorie. Teorie 0 0 ste 0 0n ho uspo 0 0 d n I: ( 6я6x) 0 1x < x - ireflexivita T: ( 6я6x)( 6я6y)( 6я6z)((x < y д y < z) 6м0 x < z) - transitivita lid, x je p 0 0edek y, v 0 5rokov formule, x 6м0 y vs. N, < ( 6я6x)( 6я6y)(x < y е x = y е y < x) - linearita RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 10 / 21

11 pln a ne pln teorie Teorie line rn ho uspo 0 0 d n I + T + L: ( 6я6x)( 6я6y)(x < y е x = y е y < x) - linearita N, < vs. Q, < H: ( 6я6x)( 6я6y)((x < y) 6м0 ( 6я9z)(x < y < z)) - hustota Teorie hust ho line rn ho uspo 0 0 d n I + T + L + H: ( 6я6x)( 6я6y)((x < y) 6м0 ( 6я9z)(x < y < z)) - hustota interval Q и [0, 1], < vs. Q, <. N: ( 6я6x)( 6я9y)( 6я9z)(y < x д x < z) - neomezenost Teorie hust ho line rn ho uspo 0 0 d n bez minima a maxima I + T + L + H + N: ( 6я6x)( 6я9y)( 6я9z)(y < x д x < z) - neomezenost 0 3pln teorie! RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 11 / 21

12 1 3Teorie n sledn ka Teorie popisuj c chov n p 0 0irozen 0 5ch 0 0 sel? L = {S, 0}, S - un rn funk 0 0n symbol, 0 - konstanta Teorie n sledn ka 1 ( 6я6x)( 6я6y)(S(x) = S(y) 6м0 x = y) 2 ( 6я6x)(S(x) ы 0) 3 ( 6я6x)(x ы 0 6м0 ( 6я9y)(x = S(y))) 4 ( 6я6x)S (m) (x) ы x, kde m щ 1 0 3pln teorie. {0, 1, 2,...}, S(x) = x + 1 {0, 2, 4,...}, S(x) = x + 2 {0, 6с11, 6с12, 6с13,...}, S(x) = x 6с1 1 RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 12 / 21

13 1 3Axiomatizace p 0 0irozen 0 5ch 0 0 sel L = { э, +, S, 0}, S - un rn funk 0 0n symbol Presburgerova aritmetika 1 ( 6я6x)( 6я6y)(S(x) = S(y) 6м0 x = y) 2 ( 6я6x)(S(x) ы 0) 3 ( 6я6x)(x ы 0 6м0 ( 6я9y)(x = S(y))) 4 ( 6я6x)(x + 0 = x) 5 ( 6я6x)( 6я6y)(x + S(y) = S(x + y)) 6 ( 6я6x)( 6я6y)(x э y 6м2 ( 6я9z)(y = z + x)) 7 Sch ma indukce. A(x) je formule. Pak (A(0) д ( 6я6x)(A(x) 6м0 A(S(x)))) 6м0 ( 6я6x)A(x) Je pln. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 13 / 21

14 1 3Peanova aritmetika L = { э, +, а, S, 0}, S - un rn funk 0 0n symbol Peanova aritmetika 1 ( 6я6x)( 6я6y)(S(x) = S(y) 6м0 x = y) 2 ( 6я6x)(S(x) ы 0) 3 ( 6я6x)(x ы 0 6м0 ( 6я9y)(x = S(y))) 4 ( 6я6x)(x + 0 = x) 5 ( 6я6x)( 6я6y)(x + S(y) = S(x + y)) 6 ( 6я6x)(x а 0 = 0) 7 ( 6я6x)( 6я6y)(x а S(y) = x а y + x) 8 ( 6я6x)( 6я6y)(x э y 6м2 ( 6я9z)(y = z + x)) 9 Sch ma indukce. A(x) je formule. Pak (A(0) д ( 6я6x)(A(x) 6м0 A(S(x)))) 6м0 ( 6я6x)A(x). Je Peanova aritmetika pln? RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 14 / 21

15 1 3G 0 2delova v ta o ne plnosti 1931 G 0 2delovy v ty o ne plnosti V ka 0 6d teorii T, kter obsahuje axiomy aritmetiky (nap 0 0. PA), existuje tvrzen G, pro kter plat G 6м2 0 1Pr(G) Nelze dok zat bezespornost teorie obsahuj c aritmetiku. Teorie obsahuj c axiomy aritmetiky (nap 0 0. PA) nen pln. Kdyby T 6ч3 G, pak by T 6ч3 0 1Pr(G), tedy by neexistoval d 0 1kaz G. Kdyby T 6ч3 0 1G, pak by T 6ч3 Pr(G), G by byla dokazateln a T by byla sporn. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 15 / 21

16 1 3G 0 2delova numerace G 0 0. pro logick a aritmetick symboly: = 5 ) 9 е 2 0 6, 10 6м0 3 S я9 4 ( 8 а 12 G 0 0. pro prom nn : x, y, z,... - prvo 0 0 sla: 13, 17, 19,... G 0 0. pro formule: ( 6я9x)(x = Sy) 8, 4, 13, 9, 8, 13, 5, 7. 17, 9. G 0 2delovo 0 0 slo m = ( 6я9x)(x = S0) G 0 2delovo 0 0 slo n = RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 16 / 21

17 1 3G 0 2delova numerace G 0 0. pro posloupnosti formu : ( 6я9x)(x = Sy), ( 6я9x)(x = S0) G 0 2delovo 0 0 slo k = 2 m.3 n. Mohu spo 0 0 tat, zda se jedn o d 0 1kaz. Dem(x, y) 6м2 posloupnost formu s G 0 0. x je d 0 1kazem formule s G 0 0. y. Pr(y) 6м2 ( 6я9x)(Dem(x, y)) A naopak: G 0 0. = = = = 0 RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 17 / 21

18 1 3J dro G 0 2delova argumentu Dem(x, y) 6м2 posloupnost formu s G 0 0. x je d 0 1kazem formule s G 0 0. y. Pr(y) 6м2 ( 6я9x)(Dem(x, y)) Sub(x, y) = G 0 0. formule, kterou z sk m z formule s jednou volnou prom nnou s G 0 0. x jej m nahrazen m 0 0 slic y. Sub(x, x) = G 0 0. formule, kterou z sk m z formule s jednou volnou prom nnou s G 0 0. x jej m nahrazen m 0 0 slic x. G 0 0. t to formule = n G 0 0. t to formule je g = Sub(n, n). 0 1( 6я9x)Dem(x, Sub(y, y)) G : 0 1( 6я9x)Dem(x, Sub(n, n)) G je dokazateln, pr v kdy 0 6 G nen dokazateln. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 18 / 21

19 1 3D 0 1sledky G - Jsem nedokazateln! G 6м2 0 1( 6я9x)Dem(x, Sub(n, n)) G 6м2 0 1Pr(G) G je dokazateln, pr v kdy 0 6 G je nedokazateln. Tedy G je nerozhodnuteln. Tedy PA je ne pln, nelze dok zat 0 0i vyvr tit v 0 8echny formule. Kdybychom p 0 0idali G, nalezneme G, kter m stejnou vlastnost, atd. A : ( 6я9y) 0 1( 6я9x)Dem(x, y) - T je bezesporn. A 6м0 G Kdyby T byla bezesporn, tj. T 6ч3 A, pak G by byla dokazateln. Nelze tedy dok zat, 0 6e T je bezesporn. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 19 / 21

20 1 3Literatura Kurt G 0 2del: Either mathematics is too big for the human mind or the human mind is more than a machine. Ernest Nagel, James R. Newman: G 0 2del 0 1v d 0 1kaz, Vutium, Brno, Raymond Smullyan: Nav ky nerozhodnuto, Academia, Praha, Douglas Hofstadter: G 0 2del, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, K.G 0 2del: 0 5ber formal unentscheidbare S 0 1tze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I., Monatshefte f r Mathematik und Physic, 38 (1931), RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 20 / 21

Stručný úvod do problematiky Gödelových vět o neúplnosti

Stručný úvod do problematiky Gödelových vět o neúplnosti Stručný úvod do problematiky Gödelových vět o neúplnosti Úvod Miloš Jakubíček Následující text si klade za cíl zasvětit čtenáře do problematiky, jež je zpravidla zahrnována mezi nejtěžší oblasti disciplíny

Více

Logika, Gödel, neúplnost

Logika, Gödel, neúplnost Logika, Gödel, neúplnost Vítězslav Švejdar Karlova Univerzita v Praze, http://www.cuni.cz/~svejdar/ Český klub skeptiků, 23. únor 2018 Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 1/13 Obsah

Více

Gödelovy věty o neúplnosti

Gödelovy věty o neúplnosti Gödelovy věty o neúplnosti Miloš Jakubíček PB016 Úvod do umělé inteligence Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 23. listopadu 2007 1 Gödel & historie Kurt Gödel Historický kontext 2 Jazyk a metajazyk

Více

Výroková a predikátová logika - XI

Výroková a predikátová logika - XI Výroková a predikátová logika - XI Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2014/2015 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XI ZS 2014/2015 1 / 21 Další dokazovací systémy PL Hilbertovský kalkul

Více

Výroková a predikátová logika - IX

Výroková a predikátová logika - IX Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2013/2014 1 / 15 Korektnost a úplnost Důsledky Vlastnosti teorií

Více

1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí

1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí 1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí 1.1 Historie výrokové logiky Problém explicitních znalostí a údaj, kterých je obrovské množství, vedl ke vzniku výrokové logiky. lovk si obecn

Více

Logika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky

Logika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky Logika 6. Axiomatický systém výrokové logiky RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,

Více

Hilbertovský axiomatický systém

Hilbertovský axiomatický systém Hilbertovský axiomatický systém Predikátová logika H 1 Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 24. října 2008 Specifikace H 1 Jazyk L H1 přejímáme jazyk predikátové logiky

Více

Cvičení z logiky II.

Cvičení z logiky II. Cvičení z logiky II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 https://edux.fit.cvut.cz/courses/bi-mlo/lectures/

Více

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

Výroková a predikátová logika - XIII

Výroková a predikátová logika - XIII Výroková a predikátová logika - XIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XIII ZS 2013/2014 1 / 13 Úvod Algoritmická (ne)rozhodnutelnost Které

Více

Logika III. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika III. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika III. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

Predikátová logika. Z minula: 1. jazyk logiky 1. řádu. 2. term a formule. 3. interpretace jazyka (relační struktura) 4. Tarského definice pravdy

Predikátová logika. Z minula: 1. jazyk logiky 1. řádu. 2. term a formule. 3. interpretace jazyka (relační struktura) 4. Tarského definice pravdy 1 Predikátová logika Z minula: 1. jazyk logiky 1. řádu 2. term a formule 3. interpretace jazyka (relační struktura) 4. Tarského definice pravdy 5. vázané a volné výskyty proměnných ve formuli 6. otevřené

Více

Výroková a predikátová logika - XII

Výroková a predikátová logika - XII Výroková a predikátová logika - XII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XII ZS 2018/2019 1 / 15 Rezoluční metoda v PL Rezoluční důkaz Obecné

Více

Predik atov a logika - pˇredn aˇska () Predik atov a logika - pˇredn aˇska / 16

Predik atov a logika - pˇredn aˇska () Predik atov a logika - pˇredn aˇska / 16 Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 () Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 1 / 16 Věta (o dedukci) Bud L jazyk, T teorie pro L, ϕ L-sentence a ψ L-formule. Pak Věta (o kompaktnosti) T ϕ

Více

Systém přirozené dedukce výrokové logiky

Systém přirozené dedukce výrokové logiky Systém přirozené dedukce výrokové logiky Korektnost, úplnost a bezespornost Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 6. října 2008 Věta o korektnosti Věta (O korektnosti Systému

Více

Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

Cvičení ke kursu Logika II, část III

Cvičení ke kursu Logika II, část III Cvičení ke kursu Logika II, část III (30. listopadu 2008) Osnova přednášky přednáška je určena studentům, kteří absolvovali úvodní kursy logiky a teorie rekurzívních funkcí. Předpokládané znalosti: syntax

Více

Výroková a predikátová logika - XIV

Výroková a predikátová logika - XIV Výroková a predikátová logika - XIV Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XIV ZS 2018/2019 1 / 20 Nerozhodnutelnost Úvod Rekurzivní a rekurzivně

Více

Výroková a predikátová logika - IV

Výroková a predikátová logika - IV Výroková a predikátová logika - IV Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IV ZS 2018/2019 1 / 17 Tablo metoda Tablo Tablo - příklady F (((p q)

Více

Formální systém výrokové logiky

Formální systém výrokové logiky Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)

Více

6. Matice. Algebraické vlastnosti

6. Matice. Algebraické vlastnosti Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,

Více

6і1 Taylorova formule.. C p.1/5

6і1 Taylorova formule.. C p.1/5 1 3Taylorova formule 6і1 Taylorova formule. C p.1/5 1 3Taylorova formule 6і1 P 0 0 klad 5.1.1 Najd їte Taylor 0 1v polynom t 0 0et ho stupn ї funkce f(x) =ln(2x 6с1 1), kter 0 5 aproximuje funkci f vokol

Více

Základy logiky a teorie množin

Základy logiky a teorie množin Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu

Více

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Více

Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede

Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede 1 Výroková logika výroky:a,b pravdivost výroku: 0 nepravda, 1 pravda logické spojky: A negace A A B konjunkce A B disjunkce A B implikace

Více

4.3 Operace nad ordin ln mi datov mi typy Operace nad logick m datov m typem Operace nad celo seln mi datov mi typy

4.3 Operace nad ordin ln mi datov mi typy Operace nad logick m datov m typem Operace nad celo seln mi datov mi typy Obsah 1 Algoritmy a programovac jazyky 1 1.1 Vlastnosti a vyjad ov n algoritm............. 1 1.2 Algoritmizace a programov n................ 2 1.3 Programovac jazyk a strojov k d............. 2 1.4 Vyjad

Více

Výroková a predikátová logika - V

Výroková a predikátová logika - V Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský

Více

Z klady fuzzy modelov n Vil m Nov k Kniha seznamuje ten e se z klady fuzzy logiky a fuzzy regulace. Srozumitelnou formou s minim ln mi n roky na p edchoz matematick znalosti jsou vysv tleny z klady teorie

Více

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 16. ZÁKLADY LOGICKÉHO ŘÍZENÍ

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 16. ZÁKLADY LOGICKÉHO ŘÍZENÍ Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 16. ZÁKLADY LOGICKÉHO ŘÍZENÍ Obsah 1. Úvod 2. Kontaktní logické řízení 3. Logické řízení bezkontaktní Leden 2006 Ing.

Více

Predikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Predikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Predikátová logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz strana 2 Opakování z minulé přednášky Z čeho se skládá jazyk výrokové logiky? Jaká jsou schémata pro axiomy VL? Formulujte

Více

Výroková a predikátová logika - III

Výroková a predikátová logika - III Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2014/2015 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2014/2015 1 / 21 Výroková logika Horn-SAT Horn-SAT Jednotková

Více

Katedra Teoretick informatiky MFF UK. Meze form ln metody 1. Petr t p nek. 7. ervence 2000

Katedra Teoretick informatiky MFF UK. Meze form ln metody 1. Petr t p nek. 7. ervence 2000 Katedra Teoretick informatiky MFF UK Meze form ln metody 1 u ebn text Petr t p nek 7. ervence 2000 1 meze.dvi meze.ps http://kocour.ms.mff.cuni.cz/people/stepanek.cz.html vod Zat m jsme pou vali jako z

Více

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox

Více

Cvičení ke kursu Klasická logika II

Cvičení ke kursu Klasická logika II Cvičení ke kursu Klasická logika II (12. května 2017) 1. Nechť P a Q jsou unární a R binární predikát. Dokažte, že následující formule jsou logicky platné, ale obrátíme-li (vnější) implikaci, ve všech

Více

Výroková a predikátová logika - IX

Výroková a predikátová logika - IX Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2018/2019 1 / 13 Dokončené tablo Chceme, aby dokončená bezesporná

Více

1 3Statistika I (KMI/PSTAT)

1 3Statistika I (KMI/PSTAT) 1 3Statistika I (KMI/PSTAT) Cvi 0 0en prvn aneb Suma 0 0n symbolika, vod do popisn statistiky Statistika I (KMI/PSTAT) 1 / 17 1 3Obsah hodiny Po dne 0 8n hodin byste m li b 0 5t schopni: spr vn pou 0 6

Více

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti MI-SOC: 11 METODY VERIFIKACE SYSTÉMŮ NA ČIPU Hana Kubátov vá doc. Ing. Hana Kubátová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta 1 informačních

Více

Predikátová logika: Axiomatizace, sémantické stromy, identita. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 13

Predikátová logika: Axiomatizace, sémantické stromy, identita. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 13 Predikátová logika: Axiomatizace, sémantické stromy, identita (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216 2013 1 / 13 Axiomatizace predikátové logiky Axiomatizace predikátové logiky Definice Hilbertovský

Více

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),

Více

Základy matematické logiky

Základy matematické logiky OBSAH 1 Základy matematické logiky Obsah 1 Úvod 2 1.1 Předmět matematiky.......................... 2 1.2 Nástin historie.............................. 2 1.3 Axiomatická výstavba matematických teorií.............

Více

Úlohy domácího kola kategorie C

Úlohy domácího kola kategorie C 50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat

Více

Obsah Předmluva Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky Uvedení do predikátové logiky...17

Obsah Předmluva Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky Uvedení do predikátové logiky...17 Obsah Předmluva...3 0. Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky...11 0.1 Logika jako věda o vyplývání... 11 1. Uvedení do predikátové logiky...17 1.1 Základní terminologie... 17 1.2 Základní

Více

RUSSELŮV PARADOX RUSSELLŮV PARADOX

RUSSELŮV PARADOX RUSSELLŮV PARADOX RUSSELLŮV PARADOX Tím, kdo v podstatě sám založil celou teorii množin, byl německý matematik Georg Cantor. Rychle se ukázalo, že množiny, respektive třídy (pro naše účely nejsou rozdíly mezi oběma pojmy

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

Výroková a predikátová logika - IX

Výroková a predikátová logika - IX Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2015/2016 1 / 16 Tablo metoda v PL Důsledky úplnosti Vlastnosti

Více

Žáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí grafickou minimalizaci zápisu logické funkce

Žáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí grafickou minimalizaci zápisu logické funkce Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Název Téma hodiny Předmět Ročník /y/ CZ.1.07/1.5.00/34.0394 VY_32_INOVACE_9_ČT_1.09_ grafická minimalizace Střední odborná škola a Střední odborné učiliště,

Více

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné

Více

Cvičení z logiky I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Cvičení z logiky I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Cvičení z logiky I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský

Více

Matematická logika. Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou. Petr Cintula. Ústav informatiky Akademie věd České republiky

Matematická logika. Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou. Petr Cintula. Ústav informatiky Akademie věd České republiky Matematická logika Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou Petr Cintula Ústav informatiky Akademie věd České republiky www.cs.cas.cz/cintula/mal Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická

Více

OBSAH Gödelova nezapomenutelná práce 15 0 ÚVOD 16 0.1 Základní pojmy... 18 0.1.1 Formální systémy... 18 0.1.2 Jazyk a metajazyk... 20 0.1.3 Bezesporné aneb konzistentní teorie... 21 0.1.4 Neúplné teorie...

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,

Více

Výroková a predikátová logika - VIII

Výroková a predikátová logika - VIII Výroková a predikátová logika - VIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2016/2017 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VIII ZS 2016/2017 1 / 21 Tablo Tablo metoda v PL - rozdíly Formule

Více

Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sl

Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sl Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sly z p edchoz ch kapitol k podrobn j mu zkoum n line

Více

Výroková a predikátová logika - III

Výroková a predikátová logika - III Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a

Více

Úvod do výrokové a predikátové logiky

Úvod do výrokové a predikátové logiky Úvod do výrokové a predikátové logiky Eva Ondráčková Na této přednášce se seznámíte se základy výrokové a predikátové logiky. Zjistíte, že podstatou logiky není vyplňování pravdivostních tabulek ani negování

Více

Lineární Regrese Hašovací Funkce

Lineární Regrese Hašovací Funkce Hašovací Funkce Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v

Více

Výroková a predikátová logika - VIII

Výroková a predikátová logika - VIII Výroková a predikátová logika - VIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VIII ZS 2017/2018 1 / 21 Tablo Tablo metoda v PL - rozdíly Formule

Více

Regresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Regresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Statistika II Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu) této závislosti pomocí vhodné funkce

Více

10 je 0,1; nebo taky, že 256

10 je 0,1; nebo taky, že 256 LIMITY POSLOUPNOSTÍ N Á V O D Á V O D : - - Co to je Posloupnost je parta očíslovaných čísel. Trabl je v tom, že aby to byla posloupnost, musí těch čísel být nekonečně mnoho. Očíslovaná čísla, to zavání

Více

UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE FILOZOFICKÁ FAKULTA, KATEDRA LOGIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE

UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE FILOZOFICKÁ FAKULTA, KATEDRA LOGIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE FILOZOFICKÁ FAKULTA, KATEDRA LOGIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE 2005 Jaroslav Zouhar UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE FILOZOFICKÁ FAKULTA, KATEDRA LOGIKY Obor logika Interpretace Gödelovy věty

Více

Výroková a predikátová logika - VII

Výroková a predikátová logika - VII Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2013/2014 1 / 21 Sémantika PL Teorie Vlastnosti teorií Teorie

Více

p (1) k 0 k 1 je pravd podobnost p echodu ze stavu k i v l ; 1 kroku do stavu k j

p (1) k 0 k 1 je pravd podobnost p echodu ze stavu k i v l ; 1 kroku do stavu k j Markovovsk n hodn procesy U Markovovsk ho n hodn ho proces nez vis dal v voj na zp sobu, jak se proces dostal do sou asn ho stavu. Plat 8 t

Více

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem. 1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její

Více

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.

Více

Logika a logické programování

Logika a logické programování Logika a logické programování témata ke zkoušce Poslední aktualizace: 16. prosince 2009 Zkouška je písemná, skládá se obvykle ze sedmi otázek (může být více nebo méně, podle náročnosti otázek), z toho

Více

doc. Ing. Martin Hynek, PhD. a kolektiv verze - 1.0 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

doc. Ing. Martin Hynek, PhD. a kolektiv verze - 1.0 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Katedra konstruování strojů Fakulta strojní K2 E doc. Ing. Martin Hynek, PhD. a kolektiv verze - 1.0 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky LISOVACÍ

Více

Matematický model kamery v afinním prostoru

Matematický model kamery v afinním prostoru CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002

Více

Regulační ventily, jejich pohony a základní vlastnosti

Regulační ventily, jejich pohony a základní vlastnosti , jejich pohony a základní vlastnosti Jaroslav Hlava TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247,

Více

Karetní hra bridž jako úloha modální výrokové logiky

Karetní hra bridž jako úloha modální výrokové logiky bakalářská práce Karetní hra bridž jako úloha modální výrokové logiky Rudolf J. Szadkowski Červen 2013 Prof. RNDr. Olga Štěpánková, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická, Katedra

Více

Soubory a databáze. Soubor označuje množinu dat, která jsou kompletní k určitému zpracování a popisují vybrané vlastnosti reálných objektů

Soubory a databáze. Soubor označuje množinu dat, která jsou kompletní k určitému zpracování a popisují vybrané vlastnosti reálných objektů Datový typ soubor Soubory a databáze Soubor označuje množinu dat, která jsou kompletní k určitému zpracování a popisují vybrané vlastnosti reálných objektů Záznam soubor se skládá ze záznamů, které popisují

Více

4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)

4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2

Více

3. Polynomy Verze 338.

3. Polynomy Verze 338. 3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitola z teorie čísel Co

Více

6 Extrémy funkcí dvou proměnných

6 Extrémy funkcí dvou proměnných Obsah 6 Extrémy funkcí dvou proměnných 2 6.1 Lokálníextrémy..... 2 6.2 Vázanélokálníextrémy.... 4 6.2.1 Metodyhledánívázanýchlokálníchextrémů..... 5 6.2.2 Přímédosazení..... 5 6.2.3 Lagrangeovametoda.....

Více

Cyklické redundantní součty a generátory

Cyklické redundantní součty a generátory Cyklické redundantní součty a generátory pseudonáhodných čísel Rostislav Horčík: Y01DMA 20. dubna 2010: CRC a pseudonáhodná čísla 1/17 Definice Řekneme, že polynomy a(x), b(x) jsou kongruentní modulo m(x),

Více

Průtokové křivky Funkční schémata Technické tabulky 0 0. Uzavírací ventily 50 - T50 1. Šroubení s funkcí 55 2

Průtokové křivky Funkční schémata Technické tabulky 0 0. Uzavírací ventily 50 - T50 1. Šroubení s funkcí 55 2 Mechanicky a manuálně ovládané rozváděče, doplňkové ventily Série Kapitola Průtokové křivky Funkční schémata Technické tabulky 0 0 S.p.A. 50 LURANO (BG) Italia Via ascina Barbellina, 0 Tel. 05/9777 Fax

Více

Multikriteri ln optimalizace proces 0 1 v elektrotechnice

Multikriteri ln optimalizace proces 0 1 v elektrotechnice Multikriteri ln optimalizace proces 0 1 v elektrotechnice Franti 0 8ek Mach 1,2, Pavel K 0 1s 2, Pavel Karban 1, Ivo Dole 0 6el 1,2 1 Katedra teoretick і elektrotechniky Fakulta elektrotechnick, Z pado

Více

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr

Více

Obsah. Logická zkoumání

Obsah. Logická zkoumání Obsah Logická zkoumání O smyslu a významu 17 Výklady o smyslu a významu 43 Funkce a pojem 55 Pojem a předmět 79 Myšlenka. Logické zkoumání 95 Recenze Husserlovy Filosofie aritmetiky 123 Základy aritmetiky

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2

SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2 STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNÍ A STAVEBNÍ TÁBOR, KOMENSKÉHO 1670 SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2 ŠKOLNÍ ROK 2014/2015 Obsah 1 Dělitelnost přirozených čísel... 3 2 Obvody a obsahy

Více

Výroková a predikátová logika - X

Výroková a predikátová logika - X Výroková a predikátová logika - X Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - X ZS 2018/2019 1 / 16 Rozšiřování teorií Extenze o definice Rozšiřování

Více

řádově různě rostoucí rostou řádově stejně rychle dvě funkce faktor izomorfismus neorientovaných grafů souvislý graf souvislost komponenta

řádově různě rostoucí rostou řádově stejně rychle dvě funkce faktor izomorfismus neorientovaných grafů souvislý graf souvislost komponenta 1) Uveďte alespoň dvě řádově různě rostoucí funkce f(n) takové, že n 2 = O(f(n)) a f(n) = O(n 3 ). 2) Platí-li f(n)=o(g 1 (n)) a f(n)=o(g 2 (n)), znamená to, že g 1 (n) a g 2 (n) rostou řádově stejně rychle

Více

Úvod do logiky a logického programování.

Úvod do logiky a logického programování. Úvod do logiky a logického programování Luboš Popelínský popel@fi.muni.cz www.fi.muni.cz/~popel Přehled učiva Opakování základů výrokové a predikátové logiky Normální formy ve výrokové a predikátové logice

Více

Mathematics throughout the ages. VI

Mathematics throughout the ages. VI Mathematics throughout the ages. VI Ludmila Dostálová Hilbertův program: proměna matematické praxe před a po Gödelových větách o neúplnosti In: Jindřich Bečvář (editor); Martina Bečvářová (author): Mathematics

Více

( ) Úloha č. 9. Měření rychlosti zvuku a Poissonovy konstanty

( ) Úloha č. 9. Měření rychlosti zvuku a Poissonovy konstanty Fyzikální praktikum IV. Měření ryhlosti zvuku a Poissonovy konstanty - verze Úloha č. 9 Měření ryhlosti zvuku a Poissonovy konstanty 1) Pomůky: Kundtova trubie, mikrofon se sondou, milivoltmetr, měřítko,

Více

brmiversity: Um lá inteligence a teoretická informatika

brmiversity: Um lá inteligence a teoretická informatika brmiversity: Um lá inteligence a teoretická informatika P edná²ka. 14 Petr Baudi² pasky@ucw.cz brmlab 2011 Outline 1 Um lá inteligence 2 Datové struktury 3 Vy íslitelnost Automatické plánování Projek ní

Více

Matematicko-fyzikální fakulta UK. Predikátová logika

Matematicko-fyzikální fakulta UK. Predikátová logika Matematicko-fyzikální fakulta UK Predikátová logika Praha 2000 Obsah 1 Úvod 3 1.1 Jazyk logiky.............................. 4 1.2 Formální systém logiky prvního řádu................ 10 2 Výroková logika

Více

10. Techniky formální verifikace a validace

10. Techniky formální verifikace a validace Fakulta informačních technologií MI-NFA, zimní semestr 2011/2012 Jan Schmidt EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI 10. Techniky formální verifikace a validace 1 Simulace není

Více

UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA RÁDIOVÁ KLÁVESNICE

UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA RÁDIOVÁ KLÁVESNICE UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA RÁDIOVÁ KLÁVESNICE Úvod Děkujeme,že jste si vybrali naši bezdrátovou klávesnici s bezdrátovou optickou myší.pracuje s digitální rádio technologií zaručující bezproblémovou komunikaci

Více

VÝROČNÍ ZPRÁVA 2009 KYNOLOGICKÝ KLUB DRAHELČICE RUDNÁ, O.S. Obsah ÚVODNÍ SLOVO...3 DŮVOD EXISTENCE A CÍLE OBČANSKÉHO SDRUŽENÍ...3 LIDÉ V OBČANSKÉM SDRUŽENÍ...4 ČINNOST V ROCE 2009...4 Výcvik základní poslušnosti

Více

Rejstřík. anotace 167 krok 167 nepřímý 169 podmiňovaný 181 rezolucí 210 rozborem případů 170 sporem 170 z hypotéz 167 z předpokladů 167 Duns Scotus 79

Rejstřík. anotace 167 krok 167 nepřímý 169 podmiňovaný 181 rezolucí 210 rozborem případů 170 sporem 170 z hypotéz 167 z předpokladů 167 Duns Scotus 79 Rejstřík Rejstřík A antecedent 27 Aristotelés 13 axiom 163 nezávislá množina 164 axiomatické systémy 163 axiom distributivity 222 axiomová schémata 164 B Beth 197 bezesporný 171 Bolzano 14 booleovské funktory

Více

HAWGOOD. Hmotnost dveří až přes 100 kg, podle typu Šířka dveří

HAWGOOD. Hmotnost dveří až přes 100 kg, podle typu Šířka dveří HAWGOOD závěsy pro Kyvadlové závěsy DICTATOR typu HAWGOOD zavírají hladce a rychle a drží je zavřené. Krátkým zatlačením na dveře je opět ihned zavřete. Díky tomu jsou vhodné zejména pro dveře ve frekventovaných

Více

Algoritmizace a programování

Algoritmizace a programování Algoritmizace a programování V algoritmizaci a programování je důležitá schopnost analyzovat a myslet. Všeobecně jsou odrazovým můstkem pro řešení neobvyklých, ale i každodenních problémů. Naučí nás rozdělit

Více

Výroková a predikátová logika - XII

Výroková a predikátová logika - XII Výroková a predikátová logika - XII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XII ZS 2015/2016 1 / 15 Algebraické teorie Základní algebraické teorie

Více

8. pln svazy. Svaz A se naz v distributivn, pokud pro libovoln prvky a; b; c 2 A plat

8. pln svazy. Svaz A se naz v distributivn, pokud pro libovoln prvky a; b; c 2 A plat . 8. pln svazy Svaz A se naz v distributivn, pokud pro libovoln prvky a; b; c 2 A plat a (b ^ c) = (a b) ^ (a c) Lemma 8.1. Bu A distributivn svaz. Pak pro libovoln prvky a; b; c 2 A plat a ^ (b c) = (a

Více

Ŕádné krytí hypot.zástav.listů pohledávkami z hypot.úvěrů 2 DIS85_02. Realizované emise hypotečních zástavních listů 4 DIS85_04

Ŕádné krytí hypot.zástav.listů pohledávkami z hypot.úvěrů 2 DIS85_02. Realizované emise hypotečních zástavních listů 4 DIS85_04 POPIS DATOVÉHO SOUBORU Kód: DISIFE85 Hlášení banky/pzb o hyp. zástavních listech a hyp. úvěrech Hlášení o hypotečních zástavních listech a hypotečních úvěrech. Navazuje na zákon č. 190/2004 Sb., o dluhopisech,

Více