Cvičení z logiky II.

Transkript

1 Cvičení z logiky II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální fond. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Cvičení z logiky II. BI-MLO, ZS 2011/12 1 / 11

2 Cvičení z logiky II. Tautologie, kontradikce, splnitelná formule. Logicky ekvivalentní formule. Tautologický důsledek. Vzájemná převoditelnost logických spojek. Princip duality.* RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Cvičení z logiky II. BI-MLO, ZS 2011/12 2 / 11

3 Příklady Rozhodněte, které z následujících formuĺı jsou tautologie, kontradikce, splnitelné. Případně ověřte tabulkou. 1 (P Q) (Q P) 2 (P Q) ( Q P) 3 P (Q P) 4 (P Q) P 5 (A A) 6 (A A) 7 (A A) 8 (A A) 9 (P Q) ( P Q) 10 ((P Q) (Q R) (R S)) (P S) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Cvičení z logiky II. BI-MLO, ZS 2011/12 3 / 11

4 Negace základních spojek Vyjádřete negaci všech základních spojek (aby symbol pro negaci nebyl před závorkou). (A B) ( A B) (A B) ( A B) (A B) (A B) (A B) (A B) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Cvičení z logiky II. BI-MLO, ZS 2011/12 4 / 11

5 Logicky ekvivalentní formule Rozhodněte, které z následujících dvojic formuĺı jsou logicky ekvivalentní. 1 A B, (A B) (B A) 2 A B, B A 3 (A B), A B 4 (A B) C, ((A C) (B C)) 5 (A B) C, (A C) (B C) 6 (A B) C, (A C) (B C) 7 A B, B A 8 P (Q R), (P Q) R 9 P (Q R), (P Q) R 10 (A B) A, A Logicky ekvivalentní dvojice jsou 10,3,6,8 *Nalezněte všechny formule obsahující pouze písmena A, B, které nejsou vzájemně logicky ekvivalentní. Kolik jich je? RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Cvičení z logiky II. BI-MLO, ZS 2011/12 5 / 11

6 Tautologický důsledek Rozhodněte, mezi kterými formulemi platí vztah tautologického důsledku, a jak. 1 (A B), A 2 A B, A 3 (A B a (A B) 4 A B, B A 5 A, 6 A, T *Mezi formulemi z minulé stránky, které nejsou vzájemně logicky ekvivalentní, určete vztahy tautologických důsledků! RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Cvičení z logiky II. BI-MLO, ZS 2011/12 6 / 11

7 Logicky ekvivalentní výroky Které z následujících výroků jsou logicky ekvivalentní s prvním? Který z nich je jeho negací? Jestliže se stala vražda (V), pak vrahem je zahradník (Z). 1 Jestliže zahradník není vrahem, pak se vražda nestala. 2 Stala se vražda a vrahem je zahradník. 3 Nestala se žádná vražda nebo je vrahem zahradník. 4 Jestliže zahradník je vrahem, pak se stala vražda. 5 Není pravda, že se stala vražda a vrahem není zahradník. 6 Vražda se nestala, tudíž zahradník není vrahem. 7 Stala se vražda a vrahem není zahradník. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Cvičení z logiky II. BI-MLO, ZS 2011/12 7 / 11

8 Tautologický důsledek Které z následujících výroků je tautologický důsledk prvního? Který s ním je dokonce logicky ekvivalentní? A který je negace? Slunce svítí (S) právě tehdy, když neprší (P) 1 Prší právě tehdy, když nesvítí slunce. 2 Jestliže prší, pak nesvítí slunce. 3 Svítí slunce a neprší. 4 Prší a svítí slunce nebo neprší a nesvítí slunce. 5 Svítí slunce nebo neprší. 6 Jestliže svítí slunce, pak prší. 7 Slunce svítí, právě když prší. 8 Prší právě tehdy, když svítí slunce. 9 Nesvítí slunce a prší nebo svítí slunce a neprší. 10 Svítí slunce a neprší. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Cvičení z logiky II. BI-MLO, ZS 2011/12 8 / 11

9 Ekvivalence Dokažte, že B je logicky ekvivalentní s C tehdy a jen tehdy, když C je tautologickým důsledkem B a B je tautologickým důsledkem C. Jestliže některá formule obsahuje jedinou spojku, pak lze určit, kdy je tato formule tautologie. Zdůvodněte! RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Cvičení z logiky II. BI-MLO, ZS 2011/12 9 / 11

10 Vzájemná převoditelnost logických spojek Vyjádřete ostatní spojky pomocí,. Vyjádřete ostatní spojky pomocí,. Vyjádřete ostatní spojky pomocí,. Vyjádřete ostatní spojky pomocí Shefferova symbolu NAND, Peirceovy šipky NOR. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Cvičení z logiky II. BI-MLO, ZS 2011/12 10 / 11

11 Princip duality* Tvrzení Nechť C je formule, která obsahuje pouze spojky,,. Nechť formule C vznikne z formule C vzájemnou výměněnou a a nahrazením prvotních formuĺı jejich negacemi. Pak C C. Dokažte! Důkaz: Indukcí podle složitosti formule C. I. Nechť C je primární formule. Pak C C, tedy C C II. Nechť C vznikne pomocí log. spojek z A, B, kde A A a B B. (a) Je-li C A B, pak C (A B ) ( A B) (A B) C. (b) Je-li C A B, pak C (A B ) ( A B) (A B) C. (c) Je-li C A, pak C A A C. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Cvičení z logiky II. BI-MLO, ZS 2011/12 11 / 11