6 Extrémy funkcí dvou proměnných

Transkript

1 Obsah 6 Extrémy funkcí dvou proměnných Lokálníextrémy Vázanélokálníextrémy Metodyhledánívázanýchlokálníchextrémů Přímédosazení Lagrangeovametoda Globálníextrémy Postuppřihledáníglobálníchextrémů

2 6 Extrémy funkcí dvou proměnných Extrémy funkcí jsou jednou z nejdůležitějších aplikací diferenciálního počtu a setkáváme se s nimi takřka všude. Například ekonomické rozhodování se řídí požadavkem maximálního zisku a minimálních nákladů, přičemž tyto dvě veličiny často závisí na více proměnných. 6.1 Lokální extrémy Definice6.1 Nechť fjefunkcedvouproměnnýchanechť(x 0,y 0 ) D f. Řekneme,žefunkce fmávbodě(x 0,y 0 )lokálníminimum,jestližeexistujeokolí U(x 0,y 0 )tak, že f(x,y) f(x 0,y 0 ) (x,y) U(x 0,y 0 ) D f. Řekneme,žefunkce fmávbodě(x 0,y 0 )lokálnímaximum,jestližeexistujeokolí U(x 0,y 0 )tak, že f(x,y) f(x 0,y 0 ) (x,y) U(x 0,y 0 ) D f. Řekneme,žefunkce f mávbodě(x 0,y 0 )ostrélokálníminimum,jestližeexistujeredukované okolí U (x 0,y 0 )tak,že f(x,y) > f(x 0,y 0 ) (x,y) U (x 0,y 0 ) D f. Řekneme,žefunkce f mávbodě(x 0,y 0 )ostrélokálnímaximum,jestližeexistujeredukované okolí U (x 0,y 0 )tak,že f(x,y) < f(x 0,y 0 ) (x,y) U (x 0,y 0 ) D f. (Ostrá) lokální minima a(ostrá) lokální maxima se souhrnně nazývají(ostré) lokální extrémy. Hodnota f(x 0,y 0 )senazývá(ostré)lokálníminimum,resp.(ostré)lokálnímaximum;bod(x 0,y 0 ) se nazývá bod příslušného lokálního extrému. Věta6.1(Nutnápodmínkaexistencelokálníhoextrému) Nechťmáfunkce f vbodě(x 0,y 0 ) lokálníextrém.existují-livbodě(x 0,y 0 )parciálníderivaceprvníhořádu,pakjsourovnynule,tj. f x (x 0,y 0 )= f y (x 0,y 0 )=0. Definice6.2 Bod(x 0,y 0 ) D f senazývástacionárníbodfunkce f,jestliževněmexistujíoběparciální derivace prvního řádu a platí f x (x 0,y 0 )= f y (x 0,y 0 )=0. Věta 6.2(Postačující podmínka existence lokálního extrému) Nechť má funkce f na okolí bodu (x 0,y 0 )spojitéparciálníderivacedruhéhořádu.označme D 1 = f xx (x f xx(x 0,y 0 ) f xy(x 0,y 0 ) 0,y 0 ) a D 2 = f yx (x 0,y 0 ) f yy (x 0,y 0 ). Potom jestliže D 2 >0,funkce fmáv(x 0,y 0 )ostrýlokálníextrém;přitom je-li D 1 >0,pakjdeoostrélokálníminimum je-li D 1 <0,pakjdeoostrélokálnímaximum jestliže D 2 <0,funkce fnemávbodě(x 0,y 0 )lokálníextrém jestliže D 2 =0,nelzetímtozpůsobemrozhodnout. 2

3 Body podezřelé z lokálního extrému a) stacionární body b) body, v nichž alespoň jedna parciální derivace neexistuje a zbývající je rovna nule nebo body, v nichž neexistuje ani jedna parciální derivace O existenci a typu extrému pak rozhodneme podle postačující podmínky pro lok. extrém(lze pouze v případě a)) nebo podle definice. Geometrická interpretace lokálních extrémů Výpočet lokálních extrémů funkce dvou proměnných vede ke stacionárním bodům plochy z = f(x,y),vnichžjetečnárovinarovnoběžnásrovinou(xy),tj.kbodůmvjejichžokolí seplocha z= f(x,y)nacházíbuďjenpodnebojennadtečnourovinou τ. Stacionárním bodům, které nevedou k lokálním extrémům, odpovídají na ploše z = f(x, y) body, v jejichž okolí má plocha tvar sedla(tzv. sedlové body). Příklady: ostré lokální maximum v A; f x = f y =0vbodě A; tečná rovina τ lze sestrojit ostré lokální maximum v A; f xani f yvbodě Aneexistují; neostré lokální maximum v A; přímka p je rovnoběžná s rovinou(xy); f x= f y=0vbodě A; tečná rovina τ lze sestrojit neostré lokální maximum v A; přímka pjerovnoběžnásrovinou(xy)isosou y; f xneexistuje, f y=0vbodě A; neostré lokální maximum v A; přímka p je rovnoběžná s rovinou(xy) anenírovnoběžnásosou y; f x ani f y vbodě Aneexistují; 3

4 funkcemávasedlo,tj.nemávalok.extrém; f x= f y=0vbodě A; 6.2 Vázané lokální extrémy V praxi je obvyklá situace, kdy hledáme extrémy funkce nikoli na celém jejím definičním oboru, alepouzenanějakéjejípodmnožině.typickytutopodmnožinutvořítybodyzd f,kterésplňující zadanou podmínku, příp. podmínky. Nechťjedánafunkce fnad f R 2. Označme M množinu těch bodů (x,y)zd f,jejichžsouřadnicevyhovujírovnici g(x,y)=0,tj. M= {(x,y) D f ; g(x,y)=0} Úlohou je najít lokálně extrémní hodnoty funkce f na množině M. Tyto lokální extrémy se nazývají vázanélokálníextrémyfunkce f.rovnice,kteráurčujemnožinu Msenazývá vazba. Definice6.3 Nechť M= {(x,y) D f ; g(x,y)=0}. Řekneme,žefunkce fmávbodě(x 0,y 0 )vázanélokálnímaximumpřivazbě g(x,y)=0,jestliže existujeokolí U(x 0,y 0 )tak,že f(x,y) f(x 0,y 0 ) (x,y) U(x 0,y 0 ) M. Řekneme,žefunkce fmávbodě(x 0,y 0 )vázanélokálníminimumpřivazbě g(x,y)=0,jestliže existujeokolí U(x 0,y 0 )tak,že f(x,y) f(x 0,y 0 ) (x,y) U(x 0,y 0 ) M. Poznámka:Množinou Mbodů(x,y) D f vyhovujícíchrovnici g(x,y)=0jerovinnákřivka q R 2. Grafemfunkce f definovanénamnožině M jeprostorovákřivka q R 3 -jetoprůsečniceplochy 4

5 z= f(x,y)srovinoukolmounarovinu(xy),jejížprůsečnicesrovinou(xy)jetvořenakřivkou q.najít lokálníextrémyfunkce f na M znamenánajíttybodykřivky q,kterémajínasvémokolínejvětší, resp. nejmenší z-ovou souřadnici Metody hledání vázaných lokálních extrémů Úkolemjenaléztvázanélokálníextrémyfunkce fdvouproměnnýchsvazbou g(x,y)=0.máme k dispozici dvě metody a to přímé dosazení a tzv. Lagrangeovu metodu(případně jejich kombinaci). Cílemoboumetodjepřevéstpůvodníúlohusvazbaminaúlohubezvazeb,tj.nahledání(volných) lokáních extrémů Přímé dosazení Předpokládejme, že z rovnice g(x, y) = 0 lze explicitně vyjádřit jednu nebo druhou proměnnou, tj.želzevyjádřit y=ϕ(x),resp. x=φ(y).tentovztahdosadímedofunkce f adostanemefunkci jednéproměnnédefinovanouna M,konkrétněbuďfunkci F(x)=f(x,ϕ(x))proměnné xnebofunkci F(y)=f(ψ(y),y)proměnné y.lokálníextrémytétofunkce F jsoupakvázanýmilokálnímiextrémy funkce fpřivazbě g(x,y)=0. Úlohu najít vázané lokální extrémy funkce dvou proměnných jsme převedli na úlohu najít lokální extrémy funkce jedné proměnné Lagrangeova metoda Jestližezvazby g(x,y)=0nelzevyjádřitanijednuzproměnnýchnebojetotovyjádřenípříliš složité, užívá se tzv. Lagrangeova metoda neurčitých koeficientů. Věta 6.3(Lagrange) Nechť mají funkce f a g spojité parciální derivace prvního řádu na nějaké otevřené množině U obsahující množinu M. Definujme Lagrangeovu funkci L vztahem L(x,y)=f(x,y)+λ g(x,y) (x,y) U, kde λje(neurčitá)reálnákonstanta(tzv.lagrangeůvmultiplikátor).nechťjetrojice(x 0,y 0,λ 0 )řešením soustavy L x(x,y) = 0 L y(x,y) = 0 g(x,y) = 0 Má-lifunkce Lvbodě(x 0,y 0 )provypočtenouhodnotu λ 0 lokálníextrém,pakmáfunkce f vtomto boděvázanýlokálníextrémstejnéhotypusvazbou g(x,y)=0. Poznámka:Protožeprovšechna(x,y) Mplatí g(x,y)=0,dostáváme L(x,y)=f(x,y)na M. Poznámka: Obrácená věta neplatí! Nevkaždémbodě,vněmžmáfunkce fvázanýlokálníextrémsvazbou g(x,y)=0,málokálníextrém i příslušná Lagrangeova funkce L. Znamená to, že Lagrangeovou metodou nemusíme najít všechny vázané lokální extrémy funkce f. Postup při hledání vázaných lokálních extrémů Lagrangeovou metodou VytvořímeLagrangeovufunkci L(x,y)=f(x,y)+λ g(x,y) Předpokládejme, že existují parciální derivace funkcí f a g. Potom funkce L může mít lokální extrémy pouze ve stacionárních bodech, tj. v bodech, jejichž souřadnice vyhovují rovnicím L x (x,y)=0 a L y (x,y)=0 5

6 Protože nás zajímají jen ty stacionární body, které leží v množině M, přidáme ještě podmínku g(x,y)=0(vazba). Dostáváme tak soustavu tří(obecně nelineárních) rovnic o třech neznámých(x, y, λ), kterou je nutné vyřešit: L x (x,y) = 0 L y (x,y) = 0 g(x,y) = 0 O tom, zda v takto nalezeném stacionárním bodě má L(při nalezené hodnotě λ) lokální extrém, rozhodneme podle postačující podmínky pro lokální extrém. Poznámka:Pokudvnějakémboděnenastaneextrémfunkce L,taksemůžepřestostát,žefunkce f bude mít v tomto bodě vázaný lokální extrém. Případnou existenci tohoto extrému musíme vyšetřit jiným způsobem(např. z definice vázaného lokálního extrému nebo pomocí druhého diferenciálu a vazby). 6.3 Globální extrémy Definice6.4 Říkáme,žefunkce fmánamnožině M D f globálnímaximum(resp.globálníminimum),existuje-lialespoňjedenbod(x 0,y 0 ) Mtakový,že f(x 0,y 0 ) f(x,y) (x,y) M, resp. f(x 0,y 0 ) f(x,y) (x,y) M. Souhrnněmluvímeoglobálníchextrémechfunkce f namnožině M.Číslo f(x 0,y 0 ) Rsenazývá globálnímaximum(resp.globálníminimum)funkce fna Maznačíse f(x 0,y 0 )= max f(x,y)=max{f(x,y);(x,y) M}, (x,y) M resp. f(x 0,y 0 )= min f(x,y)=min{f(x,y);(x,y) M}. (x,y) M Poznámka: Existence globálních extrémů je zaručena v případě, že funkce f je spojitá na neprázdné kompaktní množině(weierstrassova věta). Není-li M kompaktní, je situace obvykle komplikovaná a je nutno v každém případě postupovat odlišně. Globální maximum(globální minimum) je jen jedno, ale funkce ho může nabývat i v nekonečně mnoha různých bodech. Následující věta nám říká, ve kterých bodech Z M mohou nastat globální extrémy. Věta6.4 Nechť M D f jekompaktnímnožinaanechťfunkce fjespojitáne M.Potomfunkce f nabývá svých globálních extrémů buď v bodech lokálního extrému ležících uvnitř M nebo v některém hraničním bodě. 6

7 6.3.1 Postup při hledání globálních extrémů Cílemjeurčitglobálníextrémyfunkce fdvouproměnnýchnamnožině M D f. 1. Ověříme,zdajemnožina Mkompaktníafunkce fna Mspojitá.Pakexistujíglobálníextrémy. 2. Určíme body, které jsou podezřelé z globálních extrémů, tj. (α) body podezřelé z lokálních extrémů ležící uvnitř M (β) body z hranice množiny M podezřelé z vázaných lokálních extrémů (γ) bodyzhranice M,kterédoposudnebylyuvažovány(vnichžsehraniceláme,krajníbody intervalů,...) 3. Vypočítáme funkční hodnoty ve všech podezřelých bodech. Největší a nejmenší z nich jsou globálníextrémy fna M. Poznámka: V bodě 3. nemusíme ověřovat existenci extrému v podezřelém bodě ani určovat, zda se jedná o lokální maximum nebo minimum. Poznámka:Pokudjemnožina Motevřená,nemusífunkce fmítna Mglobálníextrémy.Pokudjeale má,taktojsoubodytypu(α). 7