Úvod RSA Aplikace, související témata RSA. Ing. Štěpán Sem Festival Fantazie, Štěpán Sem

Transkript

1 Ing. Festival Fantazie, 2013

2

3 Osnova 1 Základní pojmy Obtížnost Kryptografie 2 Základní princip Matematické souvislosti Historie 3

4 Vymezení pojmů Základní pojmy Obtížnost Kryptografie kódování šifrování přizpůsobení zařízení / kanálu morseovka ASCII (Latin2) Unicode utajení obsahu sdělení Enigma

5 Kódování textu Základní pojmy Obtížnost Kryptografie Latin2 M A E L S T R Ö M Latin Latin Latin C D6 48 LatinN!

6 Historie zabezpečení Základní pojmy Obtížnost Kryptografie kštice hůl Caesarova šifra Vernamova šifra veřejný vs. tajný algoritmus

7 Matematický kontext Základní pojmy Obtížnost Kryptografie Z,N,N = 1024

8 Obtížné problémy Základní pojmy Obtížnost Kryptografie

9 Obtížné problémy Trávníkář Základní pojmy Obtížnost Kryptografie

10 Obtížné problémy 2 Základní pojmy Obtížnost Kryptografie

11 Základní pojmy Obtížnost Kryptografie Obtížné problémy 2 První kontakt

12 Základní pojmy Obtížnost Kryptografie Obtížné problémy součet podmnožiny P vs. NP důkaz místo slibů? Problémy milénia, CMI (1 mil. $) N k vs k N,...,N! Součet podmnožiny x 1 w 1 + x 2 w x N w N = K N i=1 x i w i = K? x i {0;1}

13 Součet podmnožiny Základní pojmy Obtížnost Kryptografie Součet podmnožiny 3x 1 + 5x 2 + 7x 3 + 2x 4 = 9 x = (0;0;1;1)

14 Problém faktorizace Základní pojmy Obtížnost Kryptografie prvočíselný rozklad 60 = m = p q p,q =? p, q prvočísla

15 Modulární algebra Základní pojmy Obtížnost Kryptografie programátorské % (Google kalkulačka) 3 7 mod 10 (3 7) % 10 1

16 Modulární algebra Základní pojmy Obtížnost Kryptografie

17 Problém diskrétního logaritmu Základní pojmy Obtížnost Kryptografie M = g x mod n x =?

18 John Forbes Nash, Jr. Základní pojmy Obtížnost Kryptografie John Forbes Nash, Jr Nobelova cena (ekonomie) návrh kryptosystému založeného na obtížně řešitelném problému dopis NSA (1955) utajen do 2011 A Beautiful Mind

19 Kryptosystém Základní pojmy Obtížnost Kryptografie Obrázek : (A)symetrický kryptosystém [PDK]

20 (A)symetrická kryptografie Základní pojmy Obtížnost Kryptografie symetrická kryptografie K 1 = K 2 asymetrická kryptografie (kryptografie s veřejným klíčem) K 1 K 2 bezpečnější pomalejší (cca 1000 ) kombinování asymetricky vyměnit klíče data šifrovat symetricky

21 Základní princip Matematické souvislosti Historie Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman (1977) Clifford Cocks (1973, odtajněno 1997) problém faktorizace (ϕ(m))

22 Základní princip Matematické souvislosti Historie

23 Základní princip Matematické souvislosti Historie (x i ) j mod m = x i j mod (p 1)(q 1) = 1 i,j N

24 Konstrukce kryptosystému Základní princip Matematické souvislosti Historie velká prvočísla p,q,p q 300 cifer (1000 bitů) modul m = pq zlikvidovat p, q volba klíčů veřejného (i) soukromého (j) zveřejnění m, i

25 Prvočísla do 1000 Základní princip Matematické souvislosti Historie 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

26 Eulerova funkce Základní princip Matematické souvislosti Historie ϕ(m) : počet čísel < m nesoudělných s m m, n nesoudělná ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) ϕ(p k ) = p k p k 1 = p k 1 (p 1) p prvočíslo počet čísel p k soudělných s p k (násobkem) n p p k n p k 1

27 Eulerova funkce Základní princip Matematické souvislosti Historie Výpočet hodnot p, q různá prvočísla ϕ(p) = p 1 ϕ(p k ) = (p 1)p k 1 ϕ(p q) = (p 1)(q 1)

28 Eulerova věta Základní princip Matematické souvislosti Historie Eulerova věta a ϕ(m) mod m = 1 a, m N; nesoudělná ϕ(n) 1 1 ϕ(n) x i 1 ϕ(n) ax i a ϕ(n) x i 1 mod n ax j ax k mod n j = k 1 a ϕ(n) mod n

29 Volba klíčů Základní princip Matematické souvislosti Historie i nesoudělné s ϕ(m)! j = i ϕ(ϕ(m)) 1 mod ϕ(m) Důkaz. a ϕ(m) mod m = 1 a ϕ(ϕ(m)) modϕ(m) = i i ϕ(ϕ(m) 1 mod ϕ(m) = i j mod ϕ(m) = 1

30 Ilustrativní kryptosystém Základní princip Matematické souvislosti Historie osmibitové šifrování p = 17,q = 19 m = = ϕ(17 19) = (17 1) (19 1) = 288 ϕ(ϕ(m)) = ϕ( ) = (1 2 4 ) (2 3 1 ) = 96 i = 7 j = i 96 1 mod 288 = 247

31 Ukázka šifrování Základní princip Matematické souvislosti Historie M A E L S T R O M ASCII ASCII i=

32 Slabiny Základní princip Matematické souvislosti Historie nešifrovné zprávy 0, 1 x 2 mod (p q) = x x 1 = (p q 2 mod q) p x 2 = (q p 2 mod p) q σ = (1 + d(i 1,p 1)) (1 + d(i 1,q 1)) Ilustrativní kryptosystém σ 9 x 1 = (17 17 mod 19) 17 = 9 17 = 153 (OK) x 2 = (19 15 mod 17) 19 = 9 19 = 171 (OK) σ = (1 + d(6,16)) (1 + d(6,18)) = (1 + 2) (1 + 6) = 21 (KO)

33 Důkaz Základní princip Matematické souvislosti Historie i j = k ϕ(m) + 1 (x i ) j = x ij = x k ϕ(m)+1 x ϕ(m) mod m = 1 x k ϕ(m) mod m = 1 k mod m = 1 mod m x k ϕ(m)+1 mod m = x k ϕ(m) x mod m = x

34 Leonhard Euler Základní princip Matematické souvislosti Historie Leonhard Euler švýcarský matematik, fyzik

35 Malá Fermatova věta Základní princip Matematické souvislosti Historie Malá Fermatova věta b N, p prvočíslo; nesoudělná b p 1 mod p = 1

36 (Malá) Fermatova věta Základní princip Matematické souvislosti Historie Star Trek: TNG Hotel Royale (Velká) Fermatova věta (1993, Andrew Wiles)

37 Pierre de Fermat Základní princip Matematické souvislosti Historie Pierre de Fermat 1601(1607?)-1665 francozský právník, soudce matematik amatér x n + y n = z n

38 Použití () komunikace (PGP, GPG) end to end instant messaging Jabber, Pidgin (ICQ?) elektronická pošta (Thunderbird) elektronické bankovnictví elektronický podpis zabezpečené prohlížení webu

39 Elektronický podpis Ilustrativní podepisovací mechanismus (x j ) i mod m = x [ h(m) j ] i mod m = h(m)

40 Pro samostatné studium nástroje Faktorizace menších čísel Aritmetika velkých čísel Největší společný dělitel Modulární násobení, umocňování velkých čísel Převod do binární, hexadecimální soustavy Modulární aritmetika velkých čísel: ModCalculator.html

41 Literatura [PDK] LEDA 2006 témata kódování šifrování digitalizace komprese teorie informace

42 Literatura volně související, zájmová Academia 2003 (1998) základní myšlenky 140 stran A5 čistého textu pro naprosté laiky

43 Literatura volně související, zájmová Triton 2011 policejní město, GPG TOR další bezpečností mechanismy

44 Obrázky, fotografie Rivset, Shamir, Adleman Leonhard Euler John Forbes Nash, Jr. tričko Informační znak

45 Obrázky, fotografie Star Trek Nová generace, 2x12 (Hotel Royale) První kontakt Trávníkář