Relativní Eulerova funkce

Transkript

1 MUNDUS SYMBOLICUS 25 (2017) Relativní Eulerova funkce J. Nečas Abstract. The article deals with the sequence of ratios between values of the Euler function of the natural number n and that number n. Klíčová slova. Nesoudělná čísla, prvočísla, Eulerova funkce, provofaktoriál. Eulerovou funkcí φ(n) rozumíme funkci definovanou na množině N všech nenulových přirozených čísel, která každému číslu n N přiřazuje počet všech čísel x N, která jsou s n nesoudělná a pro něž platí x n. Platí φ(1) = 1, pro každé prvočíslo p je φ(p) = p - 1, pro každé prvočíslo p a každé nenulové přirozené číslo k platí φ(p k ) = (p - 1) p k-1. Eulerova funkce je multiplikativní, tj. jsou-li m a n nesoudělná nenulová přirozená čísla, pak φ(mn) = φ(m). φ(n). To ovšem znamená, že je-li (1) n = (p 1 ^ k 1). (p 2 ^ k 2)..... (p m ^ k m) prvočíselný rozklad 1 čísla n, platí (2) φ(n) = (p 1 1).(p 1 ^( k 1 1)). (p 2 1).(p 2 ^( k 2 1))..... (p m 1).(p m ^ (k m 1)) Označme P množinu všech prvočísel. Parcializace 2 Eulerovy funkce na množinu P je lineární rostoucí funkcí. To je určitou motivací pro definování relativní Eulerovy funkce Φ: Pro všechna n N položme Φ(n) = φ(n) / n Ze vztahu (2) plyne, že pro číslo s prvočíselným rozkladem (1) platí (3) Φ(n) = (1 1/p 1). (1 1/p 2)..... (1 1/p m), 1 Zápis a^r znamená totéž jako a r. Závorkování ve výrazu (1) tak není nutné, avšak je použito pro větší názornost. V prvočíselném rozkladu uvádíme jen ty činitele, u nichž je mocnitel větší než 0. 2 Je-li f funkce s definičním oborem B a A B, pak parcializací funkce f na množinu A rozumíme funkci s definičním oborem A, na němž má stejné hodnoty jako původní funkce. Budeme používat takové formulace, abychom mohli pro funkci f na B a její parcializaci na A používat stejné značení.

2 tedy hodnota relativní Eulerovy funkce Φ(n) čísla n závisí jen na tom, jaká prvočísla se v prvočíselném rozkladu čísla n vyskytují, a tedy nezávisí na tom, v jaké mocnině se tam vyskytují. Ze vztahu (3) je vidět, že hodnoty funkce Φ leží pro všechna n N v otevřeném intervalu (0; 1). Uzávěrem množiny H (Φ) hodnot funkce Φ je celý uzavřený interval <0; 1>. Důkaz tohoto tvrzení dělat nebudeme, ukážeme jen, že oba krajní body tohoto intervalu jsou hromadnými body množiny H (Φ). Dokážeme proto, že platí (4) lim sup Φ(n) = 1, (5) lim inf Φ(n) = 0 V posloupnosti Φ(n) najdeme vybranou posloupnost mající limitu 1 a vybranou posloupnost s limitou 0. Jde tedy o to najít takové nekonečné podmnožiny argumentů A, B N, pro něž by platilo lim n A,n Φ(n) = 1, lim n B,n Φ(n) = 0. Vybrat množinu A, která bude splňovat podmínku (4), je snadné, stačí totiž položit A = P. Pro p P platí Φ(p) = 1 1/ p (jde o rostoucí shora omezenou posloupnost), a tedy (6) lim n P,n Φ(n) = 1. Než ukážeme, jak lze najít množinu B s požadovanými vlastnostmi, definujme pojem prvofaktoriál; prvofaktoriál Prfact(n) definujeme jako součin prvních n prvočísel 3, tedy Prfact (1) = 2 Prfact (2) = 2.3 = 6 Prfact (3) = = 30 Prfact (4) = = 210 Prfact (5) = = 2310 Prfact (6) = = atd. 3 Pro r-té prvočíslo budeme někdy používat označení P(r), tedy P(1)=1, P(2)=3,..., P(6) = 13,...

3 Položme nyní PRF = H (Prfact). Posloupnost Φ(Prfact(m)) je vybranou posloupností z posloupnosti Φ(n), je klesající (plyne to ze vztahu (3)) a zdola omezená, a tedy má limitu. Platí (7) Φ(Prfact(m)) = (1 1/P(1)).(1 1/P(2)).....(1 1/(P(m)), Protože pro všechna m N platí 0 < 1/P(m) < 1, platí také 0<1 1/P(m)<1, a tedy Φ(Prfact(m+1)) = Φ(Prfact(m)).(1 1/(P(m+1)) < Φ(Prfact(m)), je posloupnost Φ(Prfact(m)) klesající. Zároveň je zdola omezená (hodnotou 0), a tedy má limitu. Abychom ji našli, zlogaritmujme vztah (7) (8) ln Φ(Prfact(m)) = i=1 m ln (1 1/P(i)) = i=1 m ln (1 q i), kde q i = 1/P(i); pro všechna i N platí q i (0, 1). Použijeme-li Taylorův rozvoj kolem 0 pro funkci ln (1 x) pro x (0; 0,5>, dostaneme ln (1 x) = x x 2 /2 x 3 /3 x 4 /4 < x, a tedy s využitím vztahu (8) dostáváme nerovnost (9) ln Φ(Prfact(m)) < i=1 m q i = i=1 m (1/P(i)), a tedy (10) lim m-> ln Φ(Prfact(m)) i=1 q i = i=1 (1/P(i)),. Je však známo, že podobně jako harmonická řada i 1/i má součet nekonečno, součet nekonečno má i řada převrácených hodnot prvočísel 4, a tak ze vztahu (10) dostáváme lim m-> ln Φ(Prfact(m)) =, a tedy lim m-> Φ(Prfact(m)) = 0, jinak vyjádřeno lim n PRF,n Φ(n) = 0, 4 Viz [1], kap. VIII, 4

4 a tedy skutečně lim inf Φ(n) = 0. Pro představu o tom, jak vybraná posloupnost hodnot funkce Φ(n) omezené na argumenty z PRF konverguje pomalu, uveďme jejích prvních 10 členů: Φ(Prfact(1)) = Φ(2) = 0,5 Φ(Prfact(2)) = Φ(2.3) = Φ(6) = 0,3333 Φ(Prfact(3)) = Φ(6.5) = Φ(30) = 0,2667 Φ(Prfact(4)) = Φ(30.7) = Φ(210) = 0,2286 Φ(Prfact(5)) = Φ(210.11) = Φ(2310) = 0,2078 Φ(Prfact(6)) = Φ( ) = Φ(30030) = 0,1918 Φ(Prfact(7)) = Φ( ) = Φ(510510) = 0,1805 Φ(Prfact(8)) = Φ( ) = Φ( ) = 0,1710 Φ(Prfact(9)) = Φ( ) = Φ( ) = 0,1636 Φ(Prfact(10)) = Φ( ) = Φ( ) = 0,1579 Na závěr uveďme tabulku hodnot Eulerovy funkce φ a relativní Eulerovy funkce Φ pro argumenty od 2 do 211. Hodnoty funkce Φ pro obě zmíněné vybrané monotónní posloupnosti, konvergující k 1, resp. k 0, jsou vyjádřeny kurzívou, resp. tučně. Literatura [1] Michelovič, Š. Ch.: Těorija čisel. Moskva, Vysšaja škola RNDr. Jiří Nečas Department of Mathematics University of Economics Ekonomická Prague 4 necas@vse.cz

5 x φ(x) Φ(x) x φ(x) Φ(x) x φ(x) Φ(x) 2 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,491

6 x φ(x) Φ(x) x φ(x) Φ(x) x φ(x) Φ(x) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,995