Hlubší věty o počítání modulo

Transkript

1 Hlubší věty o počítání modulo Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 1/17

2 Příklad Vyřešte: Idea řešení: x = 3 v Z 4 x = 2 v Z 5 x = 6 v Z 21 x = Musí být: 1 První obdélník roven 1 v Z 4 a roven 0 v Z 5 a v Z Druhý obdélník roven 1 v Z 5 a roven 0 v Z 4 a v Z Třetí obdélník roven 1 v Z 21 a roven 0 v Z 4 a v Z 5. Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 2/17

3 Příklad (pokrač.) Nulovost obdélníků: x = ? 4 21? 4 5? Jedničkovost obdélníků: x = protože: 1 (5 21) 1 = 1 1 = 1 v Z 4. (gcd(4, 5) = 1 a gcd(4, 21) = 1) 2 (4 21) 1 = 4 1 = 4 v Z 5. (gcd(5, 4) = 1 a gcd(5, 21) = 1) 3 (4 5) 1 = 20 1 = 20 v Z 21. (gcd(21, 4) = 1 a gcd(21, 5) = 1) Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 3/17

4 Příklad (pokrač.) Celkově: x = = = 27 v Z 420 protože a lcm(4, 5, 21) = = 420. Funguje to: 27 = 3 v Z 4 27 = 2 v Z 5 27 = 6 v Z 21 a lcm(a,..., b) značí nejmenší společný násobek celých čísel a,..., b, anglicky least common multiple. Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 4/17

5 Čínská věta o zbytcích (Sun Zi: 3. stol. n. l.) Ať m 1, m 2,..., m r jsou navzájem nesoudělná přirozená čísla, m i 2 pro i = 1,..., r. Potom každá soustava rovnic x = a 1 v Z m1 x = a 2 v Z m2. x = a r v Z mr má řešení a toto řešení je určeno jednoznačně v Z M, kde M = m 1 m 2 m r. Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 5/17

6 Zobecnění čínské věty Ať m 1 a m 2 jsou libovolná přirozená čísla, m i 2 pro i = 1, 2. Označme d = gcd(m 1, m 2 ). Pak jsou následující dvě podmínky ekvivalentní: 1 Soustava má řešení. 2 Platí d (a 2 a 1 ). x = a 1 v Z m1 x = a 2 v Z m2 Jestliže platí d (a 2 a 1 ), je řešení určeno jednoznačně v Z M, kde M = lcm(m 1, m 2 ). Máme tedy rekursivní algoritmus pro řešení jakékoli soustavy! Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 6/17

7 Příklad Čísla m 1 = 5, m 2 = 7, m 3 = 11, m 4 = 13 jsou navzájem nesoudělná, M = m 1 m 2 m 3 m 4 = Čínská věta o zbytcích: pro čísla 0 Z < je korespondence: Z ([Z] 5, [Z] 7, [Z] 11, [Z] 13 ) bijekce a respektuje sčítání a násobení (po složkách). Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 7/17

8 Příklad (pokrač.) Vynásobte 28 a 47. Protože výsledek Z je < 5 005, postupujeme takto: 1 28 ([28] 5, [28] 7, [28] 11, [28] 13 ) = (3, 0, 6, 2) ([47] 5, [47] 7, [47] 11, [47] 13 ) = (2, 5, 3, 8). 3 Po složkách vynásobíme: (1, 0, 7, 3). 4 Dekódujeme čínskou větou o zbytcích: (1, 0, 7, 3) Rychlost algoritmu, zobecnění (rychlé násobení matic, apod.) viz např. V. Shoup, A Computational Introduction to Number Theory and Algebra, Cambridge Univ. Press, 2005 Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 8/17

9 Malá Fermatova věta (Pierre de Fermat: ) Ať p je prvočíslo. Jestliže gcd(a, p) = 1, pak platí a p 1 = 1 v Z p Důkaz. Zobrazení x x a je bijekce na invertibilních prvcích Z p. To jsou prvky {1, 2,..., p 1}. Proto {1a, 2a,..., (p 1)a} = {1,..., (p 1)} v Z p Proto a p (p 1) = 1 2 (p 1) v Z p. Tedy a p 1 = 1 v Z p. Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 9/17

10 Definice Eulerova funkce ϕ: pro kladné přirozené číslo m je ϕ(m) počet všech čísel z množiny {0, 1,..., m 1}, která jsou s m nesoudělná. Poznámka ϕ(m) je počet invertibilních prvků v Z m. Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 10/17

11 Vlastnosti Eulerovy funkce 1 ϕ(1) = 1. 2 Pro prvočíslo p je ϕ(p) = p 1. 3 Pro prvočíslo p je ϕ(p n ) = p n p n 1. 4 Pro nesoudělná a, b je ϕ(ab) = ϕ(a) ϕ(b). Příklad 1960 = Proto ϕ(1960) = ϕ(2 3 ) ϕ(5) ϕ(7 2 ) = ( ) (5 1) (7 2 7) = = 672. Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 11/17

12 Eulerova věta (Leonard Euler: ) Jestliže gcd(a, m) = 1, pak platí a ϕ(m) = 1 v Z m Důkaz. Zobrazení x x a je bijekce na invertibilních prvcích Z m. To jsou prvky {b 1, b 2,..., b ϕ(m) }. Proto {b 1 a, b 2 a,..., b ϕ(m) a} = {b 1,..., b ϕ(m) } v Z m Proto a ϕ(m) b 1 b 2 b ϕm = b 1 b 2 b ϕ(m) v Z m. Tedy a ϕ(m) = 1 v Z m. Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 12/17

13 Příklad Spočítejte v Z Postup: 1 Spočítáme: 1960 = , takže gcd(1960, 13) = 1. 2 Spočítáme: ϕ(1960) = 672, takže = 1 v Z Spočítáme: = Takže: = = ( ) = = 13 2 = 169 v Z Eulerova věta drasticky snižuje exponent velkých mocnin. Jak ale spočítat např v Z 1960? Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 13/17

14 Příklad Spočítejte x = v Z , když víme, že = (rozklad na prvočísla). Eulerova věta dává: x = = = v Z 97 x = = = v Z 373 Použijeme čínskou větu o zbytcích a získáme x v Z Výpočet v Z 97? Výpočet v Z 373? Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 14/17

15 Příklad (pokrač.) Binární rozvoj exponentu 89 je (89) 2 = (1, 0, 1, 1, 0, 0, 1). Algoritmus opakovaných čtverců v Z 97 : X 11 = 11 1 S 11 2 = 121 = 24 S 11 4 = 24 2 = 576 = 91 X 11 5 = = = 31 S = 31 2 = 961 = 88 X = = 968 = 95 S = 95 2 = = 4 S = 4 2 = 16 S = 16 2 = 256 = 62 X = = 682 = = 3 v Z 97. Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 15/17

16 Příklad (pokrač.) Binární rozvoj exponentu 233 je (233) 2 = (1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1). Algoritmus opakovaných čtverců v Z 373 : X 11 = 11 1 S 11 2 = 121 X 11 3 = = = 212 S 11 6 = = = 184 X 11 7 = = = 159 S = = = 290 S = = = 175 X = = = 60 S = 60 2 = = 243 S = = = 115 S = = = 170 X = = = = 5 v Z 373. Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 16/17

17 Příklad (pokrač.) Čínská věta o zbytcích pro x = 3 = v Z 97 x = 5 = v Z 373 Řešení: x = = = = v Z Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 17/17