MAT 1 Posloupnosti a jejich aplikace v bankovnictvı

Transkript

1 MAT 1 Posloupnosti a jejich aplikace v bankovnictvı Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2013 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Obsah First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2 Obsah 1. Posloupnos Zpu soby zada va nı posloupnostı Grafem, tabulkou, vy c tem prvku Rekurentnıḿ vztahem Vzorcem pro obecny c len Aritmeticka posloupnost Geometricka posloupnost Aplikace geometricke posloupnosti Dvojkova c ıśelna soustava Vy poc et u roku Bankovní produkty Vklady Spor enı Du chody U ve ry Pr ıḱlady

3 1. Posloupnos Az doposud jsme si vs ıḿali nejru zne js ıćh funkcı. Take nynı se zame r ıḿe na funkce, a to specia lnı, jejichz de inic nıḿ oborem jsou vs echna pr irozena c ıśla. Takove funkce nazveme posloupnosti. To znamena, z e doka z eme jejich prvky oc ıślovat, urc it jejich por adı (ktery je prvnı, ktery druhy, atd.). Posloupnos reálných čísel (da le jen posloupností) budeme nazy vat funkci, jejıḿz de inic nıḿ oborem je mnoz ina vs ech pr irozeny ch c ıśel N. C leny posloupnosti (jejı prvky rea lna c ıśla) zapisujeme do sloz eny ch {svorkovy ch} za vorek. Příklad: {1, 4, 7, 10, 13, } je pr ıḱladem posloupnosti, u ktere jsme vyjmenovali prvnıćh pe t jejıćh prvku (c lenu posloupnosti) tak, jak jdou po sobe. Zajiste doka z ete r ıći, jak by tato posloupnost pokrac ovala, jaka je mezi jejıḿi c leny za konitost. Ma me zada n prvnı c len 1, druhy c len 4, tr etı 7, c tvrty 10, pa ty 13 a zr ejme s esty c len bude 16, protoz e kaz dy dals ı c len dostaneme tak, z e k pr edchozıḿu pr ic teme TROJKU. Jiste si vzpomıńa te, z e funkci f lze zadat: grafem, ze ktere ho odec teme sour adnice potr ebny ch bodu do tabulky; tabulkou, na za klade ktere lze buď nac rtnout graf nebo interpolacı zıśkat pr edpis funkce, ktera vs emi dany mi body procha zı ; pr edpisem (vztahem, vzorcem), ktery kaz de mu x D(f) pr ir azuje pra ve jedno y H(f). Vypoc tene hodnoty pak mu z eme zapsat do tabulky.

4 V pr ıṕade posloupnostı je to stejne. Take posloupnost lze zadat: grafem grafem posloupnosti jsou navza jem izolovane body. Tohle je graf pr edchozı ho pr ıḱladu. tabulkou výčtem prvků pr edpisem (vztahem, vzorcem), ktery m se zpravidla zada va prvek (c len posloupnosti, ktery stojı na mıśte n, oznac ujeme podobne jako u matic pomocı jednoho indexu /protoz e urc uje pouze por adı / tedy napr ıḱlad a n ) jednıḿ z na sledujıćıćh zpu sobu : rekurentně zada nıḿ prvnı ho (vy jimec ne Ntého) c lenu posloupnosti nebo ne kolika prvnıćh c lenu posloupnosti a vzorcem, podle ne hoz lze urc it dals ı c leny pomocı pr edchozıćh c lenu ; napr ıḱlad: a 1 = 1, a 2 = 3, a n+1 = a n + a n 1, pro n 2; vzorcem pro n. člen prvek posloupnosti, ktery je v por adı n t, tedy n je pr irozene ; napr ıḱlad: a n = ( 1) n+1 3. Nynı si uka z eme, jak z grafu mu z eme popsat posloupnost jiny m zpu sobem, tak jako u funkcı.

5 First Obsah Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1.1. Způsoby zadávání posloupnos Grafem, tabulkou, výčtem prvků Jednotlive body [1; 1] [2; 4] [3; 7] [4; 10] [5; 13], ktery mi je tvor en graf posloupnosti, mu z eme zapsat napr ıḱlad do na sledujıćı tabulky: POR ADI prvku posloupnosti HODNOTA prvku posloupnosti Je zr ejme, z e pro vs echny moz ne posloupnosti budou mı t jejich tabulky stejny prvnı r a dek. Proto uvedenou tabulku zjednodus ıḿe tak, z e vypıś eme jen jejı druhy r a dek, ktery navıć uzavr eme do sloz eny ch {svorkovy ch} za vorek. Novou (zjednodus enou) tabulku {1, 4, 7, 10, 13, } pak nazy va me take výčet prvků.

6 Rekurentním vztahem Jak jsme jiz uvedli v pr ıḱladu, kaz dy na sledujıćı c len te to posloupnosti dostaneme tak, kdyz k jeho pr edchozıḿu c lenu pr ic teme c ıślo tři, coz mu z eme (pro na sledujıćı c len) vyja dr it symbolicky: a 1 = 1, a n+1 = a n Vzorcem pro obecný člen Pokud budeme chtı t tote z vyja dr it pro obecny c len a n pouze v za vislosti na n (tedy na por adı dane ho c lenu), vyuz ijeme skutec nosti, z e: První člen posloupnosti a 1 = 1. To take mu z eme zapsat: a 1 = 1+({1} 1) cokoliv = 1 + (0) cokoliv = = 1. Jednic ka ve sloz eny ch za vorka ch teď pro na s bude pr edstavovat por adı dane ho c lenu, tedy n = 1. Druhý člen posloupnosti a 2 = 4 dostaneme tak, kdyz k prvnıḿu c lenu (a 1 = 1) pr ic teme trojku. Proto v c ervene m vztahu jednic ku ve sloz eny ch za vorka ch (pr edstavujıćı n) nahradıḿe dvojkou a vy raz cokoliv nahradıḿe trojkou (tıḿ co pr ic ı ta me): a 2 = 1 + ({2} 1) 3 = = 4. Tře člen posloupnosti a 3 = 7 zkusıḿe analogicky: a 3 = 1 + ({3} 1) 3 = = = 7. Odtud plyne: Obecný n. člen posloupnosti a n = 1 + (n 1) 3 Ove r te i pro jina n.

7 A nynı se struc ne zmıńıḿe o posloupnostech zna my ch ze str ednı s koly, a to aritmeticke a geometricke posloupnosti Aritme cká posloupnost Aritmeticka posloupnost ma sta ly rozdıĺ mezi sousednıḿi c leny. Tento rozdıĺ mezi libovolny m c lenem krome prvnı ho a pr edcha zejıćıḿ c lenem se obvykle znac ı d a nazy va diference. Diference d = a n+1 a n Rekurentní zadání a n+1 = a n + d Zadání obecného členu a n = a 1 + (n 1) d Součet prvních n členů s n = n (a 1 + a n ) 2

8 1.3. Geometrická posloupnost U geometricke posloupnosti je kaz dy c len krome prvnı ho sta ly m na sobkem pr edchozı ho c lenu. Tento na sobek se obvykle znac ı q a nazy va kvocient geometricke posloupnosti. Pro posloupnosti s nenulovy mi c leny je q rovno podıĺu libovolne ho c lenu krome prvnı ho a c lenu pr edchozı ho. Kvocient Rekurentní zadání q = a n+1 a n a n+1 = a n q Zadání obecného členu a n = a 1 q n 1 Součet prvních n členů nebo s n = a 1 qn 1 q 1 s n = a 1 1 qn 1 q

9 Aplikace geometrické posloupnos Dvojková číselná soustava Číselná soustava je zpu sob vyja dr enı c ıśel. Podle zpu sobu urc enı hodnoty c ıśla rozlis ujeme dva hlavnı druhy c ıśelny ch soustav: Poziční c ıśelne soustavy, ktere jsou charakterizova ny tzv. za kladem nebo-li ba zı, coz je obvykle kladne cele c ıślo de inujıćı maxima lnı poc et c ıślic, ktere jsou v dane soustave k dispozici. C ıślo v nich zapsane lze vyja dr it souc tem mocnin za kladu dane soustavy vyna sobeny ch pr ıślus ny mi platny mi c ıślicemi. Tedy se jedna o geometrickou posloupnost, jejıź kvocient je pr edstavova n ba zı c ıśelne soustavy. Pokud je za kladem c ıślo 2, hovor ıḿe o dvojkové (bina rnı ) soustave, ktera je prostr ednictvıḿ logicky ch c lenu (proud procha zı neprocha zı ) pr ıḿo implementova na v digita lnıćh elektronicky ch obvodech. Tedy interne ji pouz ı vajı vs echny be z ne digita lnı poc ı tac e. Nepoziční c ıśelne soustavy, pro ktere je charakteristicka skutec nost, z e hodnota c ıślice je dana jejıḿ symbolem a neza visı na jejı pozici v zapsane m c ıśle. Asi nejzna mne js ı jsou římské číslice, kdy c ıśla zapisujeme pomocı pıśmen abecedy. Dvojková soustava (nebo take bina rnı soustava) je c ıśelna soustava, ktera pouz ı va pouze dva symboly: NULU a JEDNIC KU. Je to pozic nı c ıśelna soustava mocnin c ıśla 2. Abychom se nespletli, v jake c ıśelne soustave se vlastne pohybujeme, zapisujeme dana c ıśla do za vorek a pr ida me index, ktery oznac uje za klad dane c ıśelne soustavy.

10 Napr ıḱlad: ( ) 2 = ( 214 ) 10, protoz e platı : ( ) 2 = = = = = ( 214 ) 10 V tomto pr ıṕade vlastne hleda me (napr ıḱlad Hornerovy m sche matem) funkc nı hodnotu mnohoc lenu: v c ıśle DVA. Tedy: P(2) = 214 P(x) = x 7 + x 6 + x 4 + x 2 + x ( ) ( 214 ) 10

11 Napr ıḱlad: ( ) 2 = ( 214 ) 10, protoz e platı : ( ) 2 = = = = = ( 214 ) 10 V tomto pr ıṕade vlastne hleda me (napr ıḱlad Hornerovy m sche matem) funkc nı hodnotu mnohoc lenu: v c ıśle DVA. Tedy: P(2) = 214 P(x) = x 7 + x 6 + x 4 + x 2 + x ( ) ( 214 ) 10

12 Napr ıḱlad: ( ) 2 = ( 214 ) 10, protoz e platı : ( ) 2 = = = = = ( 214 ) 10 V tomto pr ıṕade vlastne hleda me (napr ıḱlad Hornerovy m sche matem) funkc nı hodnotu mnohoc lenu: v c ıśle DVA. Tedy: P(2) = 214 P(x) = x 7 + x 6 + x 4 + x 2 + x ( ) ( 214 ) 10

13 Napr ıḱlad: ( ) 2 = ( 214 ) 10, protoz e platı : ( ) 2 = = = = = ( 214 ) 10 V tomto pr ıṕade vlastne hleda me (napr ıḱlad Hornerovy m sche matem) funkc nı hodnotu mnohoc lenu: v c ıśle DVA. Tedy: P(2) = 214 P(x) = x 7 + x 6 + x 4 + x 2 + x ( ) ( 214 ) 10

14 Napr ıḱlad: ( ) 2 = ( 214 ) 10, protoz e platı : ( ) 2 = = = = = ( 214 ) 10 V tomto pr ıṕade vlastne hleda me (napr ıḱlad Hornerovy m sche matem) funkc nı hodnotu mnohoc lenu: v c ıśle DVA. Tedy: P(2) = 214 P(x) = x 7 + x 6 + x 4 + x 2 + x ( ) ( 214 ) 10

15 Napr ıḱlad: ( ) 2 = ( 214 ) 10, protoz e platı : ( ) 2 = = = = = ( 214 ) 10 V tomto pr ıṕade vlastne hleda me (napr ıḱlad Hornerovy m sche matem) funkc nı hodnotu mnohoc lenu: v c ıśle DVA. Tedy: P(2) = 214 P(x) = x 7 + x 6 + x 4 + x 2 + x ( ) ( 214 ) 10

16 Napr ıḱlad: ( ) 2 = ( 214 ) 10, protoz e platı : ( ) 2 = = = = = ( 214 ) 10 V tomto pr ıṕade vlastne hleda me (napr ıḱlad Hornerovy m sche matem) funkc nı hodnotu mnohoc lenu: v c ıśle DVA. Tedy: P(2) = 214 P(x) = x 7 + x 6 + x 4 + x 2 + x ( ) ( 214 ) 10

17 Napr ıḱlad: ( ) 2 = ( 214 ) 10, protoz e platı : ( ) 2 = = = = = ( 214 ) 10 V tomto pr ıṕade vlastne hleda me (napr ıḱlad Hornerovy m sche matem) funkc nı hodnotu mnohoc lenu: v c ıśle DVA. Tedy: P(2) = 214 P(x) = x 7 + x 6 + x 4 + x 2 + x ( ) ( 214 ) 10

18 Napr ıḱlad: ( ) 2 = ( 214 ) 10, protoz e platı : ( ) 2 = = = = = ( 214 ) 10 V tomto pr ıṕade vlastne hleda me (napr ıḱlad Hornerovy m sche matem) funkc nı hodnotu mnohoc lenu: v c ıśle DVA. Tedy: P(2) = 214 P(x) = x 7 + x 6 + x 4 + x 2 + x ( ) ( 214 ) 10 Pokud bychom chte li urc ovat uvedenou funkc nı hodnotu z hlavy, nenı vu bec nas kodu, ume t alespon za kladnı mocniny c ıśla 2 zpame ti. mocnina hodnota

19 Výpočet úroků Podı vejme se kra tce na pozoruhodne Eulerovo c ıślo e 1 ktere zna me jako za klad pr irozeny ch logaritmu. Toto c ıślo e se da vyja dr it jako meznı hodnota 2 (limita posloupnosti) coz lze pokla dat za extre mnı vy sledek vy poc tu úroku z úroků. Příklad: C a stka (napr ıḱlad tisıć korun) se ma roc ne zu roc it 100 %. Řešení: To by pr i jedine m u roc enı na konci roku c inilo Kc. Jestliz e se vs ak u roky pr ipisujı pololetne (u roc ı se dvakra t po 50 %), u roc ı se od zac a tku c ervence nikoliv Kc, ale Kc. Na konci roku tedy v bance ma me Kc. Jestliz e se vs ak u roky pr ipisujı c tvrtletne (u roc ı se c tyr ikra t po 25 %), u roc ı se od zac a tku dubna Kc, od zac a tku c ervence 1 562,50 Kc a od zac a tku r ı jna 1 953,13 Kc. Na konci roku v bance budeme mı t 2 441,41 Kc. Vy poc et u roku z u roku lze teoreticky sta le vıće zuz ovat: me sıć ne, ty dne, hodinove, atd. C a stka vyjadr ujıćı stav nas eho konta na konci roku tak bude neusta le vzru stat. Nikoli vs ak donekonec na, ny brz ve sta le mens ıćh krocıćh tak, jak se budeme blıź it k hranici vıće nez 2 718,28 Kc to v z a dne m pr ıṕade nemu z e by t: tedy našich původních tisíc korun násobených číslem e. Na konte tedy budeme mı t na s pu vodnı vklad vyna sobeny c ıślem n n, coz je vlastne zada nı obecne ho (n tho ) c lenu a n ne jake posloupnosti. C ıślo n urc uje, kolikra t do roka banka u roc ı. 1 Na sledujıćı pr ıḱlad je i s r es enıḿ pr evzat z: S, H. Moderní statistika. Praha : Svoboda, Str e = lim n n n, n je pr irozene c ıślo

20 A protoz e se v posloupnosti (viz pozna mka pod c arou) vyskytuje mocnina, jedna se o geometrickou posloupnost, kde a 1 = q = n a a n = a 1 q n 1 = n n. Vidıḿe tedy, z e geometricka posloupnost ma vyuz itı pro vy poc et u roku.

21 2. Bankovní produkty Posloupnosti (zejme na geometricke ) se pouz ijı pro za kladnı vy poc ty sloz eny ch u roku a tıḿ se uplatnı pro takove bankovnı produkty, jako jsou vklady, spor enı, du chody nebo u ve ry. Tyto procesy postupujı v obdobıćh, napr ıḱlad kaz dy me sıć. Poz adovany u kon (napr ıḱlad vklad) mu z eme prove st na poc a tku nebo na konci obdobı a pak hovor ıḿe o PŘEDlhůtním nebo POlhůtním u konu. Pokud dva takove procesy na sebe navazujı, je lhu tnost volena tak, aby komunikovaly spra vne. Tato problematika ale nenı da le r es ena. Počítat na plný displej Protoz e se v na sledujıćıćh vzorcıćh vyskytujı : mocniny s velky m exponentem a za kladem blıźky m jednic ce; součiny, kdy jeden z c initelu je blıźky jednic ce c i nule; podíly, kdy de litel je blıźky jednic ce c i nule; Proto neuva z ene i nepatrne zaokrouhlova nı mu z e zpu sobit dost velkou odchylku ve vy sledku, je le pe rade ji nezaokrouhlovat. Vz dyť o penıźe jde az v prvnı r ade.

22 2.1. Vklady Popis produktu: V pr ıṕade vkladů vloz ı klient jednora zove penıźe do banky, kde lez ı po sjednanou dobu a pouze se pr ipisujı u roky. U tohoto produktu pr ipous tıḿe, z e banka mu z e u roc it c aste ji nez jednou do roka. V... jednora zovy (termıńovany ) vklad i... u rokova sazba p. a. (desetin. c.: 1 % = 0,01) K... stav konta (zu statek na u c tu, jistina, kapita l) m... poc et u rokovacıćh obdobı v jednom roce n... poc et cely ch let roku uloz enı z... poc et u rokovacıćh obdobı nad cele roky K = V 1 + i m m n+z

23 2.2. Spoření Popis produktu: Pr i spoření jdou klientovy penıźe do banky v pravidelny ch u loz ka ch, banka u roc ı jednou do roka, u roky pr ipisuje klientovi. S... stav spor ıćı ho u c tu na konci spor enı i... u rokova sazba p. a. (desetin. c.: 1 % = 0,01) n... doba spor enı (v cely ch letech rocıćh) a... ukla dana konstantnı (sta le stejna ) c a stka m... frekvence vkladu (poc et) v jednom roce S = a i [m + 0,5 (m + 1) i] [(1 + i)n 1]

24 2.3. Důchody Popis produktu: Na poc a tku si klient uloz ı na svu j důchodový u c et c a stku D 0 Kc, ze ktere v pravidelny ch intervalem m-kra t roc ne odebıŕa vy platu a Kc po dobu n let, c ıḿz je du chodovy u c et zcela vybra n (anulova n). Pr itom klientovi z uloz ene c a stky pru be z ne pr iby vajı u roky. Navıć je moz ne zar ı dit, aby zac a tek vypla cenı byl pozdrz en o k let. D 0... poc a tec nı stav du chodove ho u c tu i... u rokova sazba p. a. (desetin. c.: 1 % = 0,01) m... frekvence vy be ru (poc et) v jednom roce ν... diskont ν = 1 1+i a... vybıŕana konstantnı (sta le stejna ) c a stka k... doba odkladu (v cely ch letech rocıćh) n... doba vybıŕa nı (v cely ch letech rocıćh) D 0 = a i [m + 0,5 (m + 1) i] [1 νn ] ν k

25 2.4. Úvěry Popis produktu: Úvěrem (pu jc kou, hypote kou) rozumıḿe poskytnutı kapita lu ve vy s i U 0 Kc na urc enou dobu za odme nu. Uvaz ujme pouze pr ıṕad, kdy odme na je skryta ve vy s i u rokove sazby a konstantnı (neme nne ) spla tky probı hajı ve stejny ch intervalech, ve ktery ch banka u roc ı. U r... vy s e u ve ru po r spla tka ch i... u rokova sazba p. a. (desetin. c.: 1 % = 0,01) n... poc et spla tek ν... diskont ν = 1 1+i a... konstantnı (sta le stejna ) spla tka (anuita); pouze poslednı spla tka mu z e by t mens ı! a = U 0 i 1 ν n Ur = U0 (1 + i) r + a i [1 (1 + i)r ]

26 2.5. Příklady Příklad 1. Vložím na konto Kc u banky, ktera u roc ı kaz dy me sıć se sazbou 1,6 % p. a. Jaky bude stav konta za c tyr i a pu l roku? Řešení 1. Nejprve podle popisu produktu urc ıḿe, z e se jedna o vklad. Pro tento produkt jsme pouz ili na sledujıćı oznac enı : V... jednora zovy (termıńovany ) vklad i... u rokova sazba p. a. (desetin. c.: 1 % = 0,01) K... stav konta (zu statek na u c tu, jistina, kapita l) m... poc et u rokovacıćh obdobı v jednom roce n... poc et cely ch let roku uloz enı z... poc et u rokovacıćh obdobı nad cele roky V nas em pr ıṕade Vloz ıḿ na konto Kc V = u banky, ktera u roc ı kaz dy me sıć m = 12 se sazbou 1,6 % p. a. i = 0,016 (rozloz ıḿe-li zada nı ): Jaky bude stav konta K =? za c tyr i n = 4 a pu l roku? z = 6 ( m ) 2 A po dosazenı K = V 1 + i m m n+z = , = (1 + 0, ) 48+6 = = (1, ) 54 = , = , Za c tyr i a pu l roku budu mı t na konte ,11 Kc.

27 Příklad 2. Je pravdou, z e pr i pravidelném me sıć nıḿ vkladu Kc budu mı t po s esti rocıćh na konte alespon Kc, kdyz banka garantuje u rokovou sazbu 2,3 % p. a.? Řešení 2. Nejprve podle popisu produktu urc ıḿe, z e se jedna o spoření. Pro tento produkt jsme pouz ili na sledujıćı oznac enı : S... stav spor ıćı ho u c tu na konci spor enı i... u rokova sazba p. a. (desetin. c.: 1 % = 0,01) n... doba spor enı (v cely ch letech rocıćh) a... ukla dana konstantnı (sta le stejna ) c a stka m... frekvence vkladu (poc et) v jednom roce V nas em pr ıṕade (rozloz ıḿe-li zada nı ): A po dosazenı Je pravdou, z e pr i pravidelne m me sıć nıḿ m = 12 vkladu Kc a = budu mı t po s esti rocıćh n = 6 na konte alespon Kc S = a vıć kdyz banka garantuje u rokovou sazbu 2,3 % p. a.? i = 0,023 S = a i [m + 0,5 (m + 1) i] [(1 + i)n 1] = ,023 [12 + 0,5 (12 + 1) 0,023] [(1 + 0,023)6 1] = = , [12+0,5 (13) 0,023] [(1,023) 6 1] = , [12+0,149 5] [1, ] = = , [12,149 5] [0, ] = , Nenı to pravda, protoz e na konte budu mı t jen Kc.

28 Příklad 3. Je pravdou, z e kdyz nynı vloz ıḿ jednora zove c a stku Kc, budu mı t za 16 roku pravidelný příspěvek k důchodu (tj. me sıć ne ) Kc po dobu 9 let, kdyz banka garantuje u rokovou sazbu 2,4 % p. a.? Řešení 3. Nejprve podle popisu produktu urc ıḿe, z e se jedna o důchod. Pro tento produkt jsme pouz ili na sledujıćı oznac enı : D 0... poc a tec nı stav du chodove ho u c tu a... vybıŕana konstantnı (sta le stejna ) c a stka i... u rokova sazba p. a. (desetin. c.: 1 % = 0,01) k... doba odkladu (v cely ch letech rocıćh) m... frekvence vy be ru (poc et) v jednom roce n... doba vybıŕa nı (v cely ch letech rocıćh) ν... diskont ν = 1 1+i V nas em pr ıṕade vloz ıḿ jednora zove c a stku Kc D 0 = budu mı t za 16 roku k = 16 pravidelny pr ıśpe vek k du chodu (tj. me sıć ne ) m = Kc a = po dobu 9 let n = 9 kdyz banka garantuje u rokovou sazbu 2,4 % p. a.? i = 0,024 Po dosazenı do vzorce zjistıḿe potr ebnou c a stku D 0 a jestli na mi vloz ena c a stka D 0 pokryje poz adavky. Nejdr ı ve ovs em musıḿe urc it hodnotu diskontu ν = 1 = 1 = 0, Potom 1+i 1+0,024 D 0 = a i [m+0,5 (m+1) i] [1 νn ] ν k = , 024 [12+0,5 (12+1) 0, 024] [1 0, ] 0, = = [12 + 0,5 (13) 0, 024] [1 0, ] 0, = = [12+0,156] [0, ] 0, = [12,156] [0, ] 0, Kdyz D 0 = [12,156] [0, ] 0, = ,985 26, pak D 0 D 0 = , a proto je to pravda, protoz e na konte mi jes te zu stane 83 Kc.

29 Příklad 4. Stac ı mi 3 roc nı spla tky po Kc na splacenı cele ho úvěru ve vy s i Kc u banky, ktera u roc ı se sazbou 5 % p. a.? Řešení 4. Nejprve podle popisu produktu urc ıḿe, z e se jedna o úvěr. Pro tento produkt jsme pouz ili na sledujıćı oznac enı : U r... vy s e u ve ru po r spla tka ch i... u rokova sazba p. a. (desetin. c.: 1 % = 0,01) n... poc et spla tek ν... diskont ν = 1 1+i a... konstantnı (sta le stejna ) spla tka (anuita); pouze poslednı spla tka mu z e by t mens ı! V nas em pr ıṕade (rozloz ıḿe-li zada nı ): A po dosazenı Stac ı mi 3 roc nı spla tky n = 3 po Kc a = na splacenı cele ho u ve ru ve vy s i Kc U 0 = u banky, ktera u roc ı se sazbou 5 % p. a.? i = 0,05 U r = U 0 (1 + i) r + a i [1 (1 + i)r ] U 3 = (1 + 0, 05) , 05 [1 (1 + 0, 05)3 ] = = (1, 05) [1 (1, 05) 3 ] = , [1 1, ] = = , [ 0, ] = , ,5 = 51,25 Pro splacenı cele ho u ve ru mi bude chybe t 51 Kc.

30 Použitá literatura [1] K, P. Matematika I. Brno : Vysoka s kola Karla Englis e, a. s., Brno. 2010, 63 stran. ISBN [2] K, J., S, P. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Ostrava : Vysoka s kola ba n ska Technicka univerzita Ostrava, 2006, 351 s. ISBN [on line]