Co je to diferenciální rovnice Rovnice se separovanými proměnnými Aplikace. Diferenciální rovnice I

Transkript

1 Co je to diferenciální rovnice Rovnice se separovanými proměnnými Diferenciální rovnice I Modelování aneb předpovídání budoucnosti

2 ? Diferencia lnı rovnice je rovnice, v ktere roli nezna me hraje funkce a ktera za roven obsahuje derivace hledane funkce. Napr ı klad rovnice y = 2x y = y y + y = 0 jsou diferencia lnı rovnice. R es it diferencia lnı rovnici znamena nale zt vs echny funkce, ktere jsou definovane na ne jake m intervalu I a vyhovujı dane rovnici. Takovou funkci nazy va me r es enı m diferencia lnı rovnice. R a dem diferencia lnı rovnice rozumı me r a d nejvys s ı derivace, ktera se v rovnici vyskytuje.

3 ? Definice Diferencia lnı rovnice prvnı ho r a du je rovnice tvaru y = f (x, y ), kde f je funkce dvou prome nny ch. R es enı m te to rovnice na intervalu I rozumı me kaz dou funkci y = y (x), ktera rovnici na I spln uje. Obecne r es enı diferencia lnı rovnice prvnı ho r a du je funkce za visejı cı na jednom parametru C takova, z e specia lnı volbou C lze zı skat kaz de r es enı te to rovnice. Partikula rnı r es enı je jedno konkre tnı r es enı zı skane z obecne ho r es enı volbou konstanty C. Graf libovolne ho r es enı se nazy va integra lnı kr ivka.

4 Poc a tec nı podmı nka a poc a tec nı u loha Pru be h ne jake ho skutec ne ho jevu je popsa n jediny m r es enı m, chceme proto z mnoz iny vs ech r es enı najı t jedno, ktere spln uje ne jakou podmı nku. Definice Necht x0, y0 R. U loha najı t r es enı rovnice y = f (x, y ), ktere spln uje tzv. poc a tec nı podmı nku y (x0 ) = y0, se nazy va poc a tec nı u loha. R es enı poc a tec nı u lohy je partikula rnı r es enı, jehoz graf procha zı bodem [x0, y0 ].

5 Jeden ilustrac nı pr ı klad Pr ı klad y = y, y (0) = 1. y x Obra zek: Partikula rnı r es enı pro ru zne volby C > 0 a r es enı poc a tec nı u lohy pro x > 0

6 Geometricka interpretace Diferencia lnı rovnice y = f (x, y ) pr ir azuje bodu [x, y ] v rovine pra ve jednu hodnotu y (x), neboli hodnotu derivace hledane funkce. Tuto hodnotu mu z eme cha pat jako sme rnici pr ı mky procha zejı cı bodem [x, y ]. Tuto pr ı mku obvykle zna zorn ujeme jako kra tkou u sec kou, tzv. linea rnı element, se str edem v dane m bode [x, y ] a sme rnicı y (x). Graf kaz de ho r es enı ϕ(x) dane diferencia lnı rovnice ma zr ejme tu vlastnost, z e tec na v kaz de m jeho bode [x, ϕ(x)] obsahuje pr ı slus ny linea rnı element. Mnoz inu vs ech linea rnı ch elementu diferencia lnı rovnice nazy va me sme rove pole.

7 Geometricka interpretace y x Obra zek: Sme rove pole rovnice y = x + y a r es enı spln ujı cı podmı nku y (0) = 1

8 Geometricka interpretace y Obra zek: Sme rove pole rovnice y = poc a tec nı podmı nky 6 1 2y y a r es enı pro ru zne

9 Kreslı cı pr ı klad Pr ı klad Pomocı sme rove ho pole odhadne te tvar integra lnı ch kr ivek pro rovnici x y = y

10 Eulerova metoda V mnoha pr ı padech nejsme schopni danou diferencia lnı rovnici pr ı mo vyr es it a musı me se spokojit pouze s pr ibliz ny m r es enı m, ktere ho mu z eme dosa hnout pomocı tzv. numericky ch metod. Nejjednodus s ı metodou numericke ho r es enı poc a tec nı u lohy je Eulerova metoda. Za kladnı mys lenkou te to metody je aproximace r es enı lomenou c arou. Me jme poc a tec nı u lohu y = f (x, y ), y (x0 ) = y0. Budeme hledat pr ibliz ne hodnoty tohoto r es enı v rovnome rne vzda leny ch bodech x0, x1 = x0 + h, kde h se nazy va de lı cı krok. x2 = x1 + h,...,

11 Eulerova metoda Podobne jako u sme rove ho pole si vs imneme, z e na m rovnice y = f (x, y ) uda va hodnotu sme rnice tec ny v bode [x0, y0 ], ktera je y = f (x0, y0 ), coz na m umoz nı odhadnout hodnotu r es enı v bode x1. y f (x0, y0 ) b (x1, y1 ) hf (x0, y0 ) h y0 x0 x1 x

12 Eulerova metoda Mu z eme tedy snadno odvodit, z e hodnota v bode x1 je pr ibliz ne rovna y1 = y0 + hf (x0, y0 ). Celkem mu z eme Eulerovu metodu shrnout na sledovne : xi+1 = xi + h yi+1 = yi + hf (xi, yi ), i = 0, 1, 2,..., n. Pr ı klad Pomocı Eulerova algoritmu urc ete pr ibliz ne r es enı poc a tec nı u lohy y = x + y, s krokem h = 0,1. y (0) = 1

13 Eulerova metoda Ma me da no h = 0,1, x0 = 0, y0 = 1 a f (x, y ) = x + y. Podle pr edchozı ho postupu tak dosta va me y1 = y0 + hf (x0, y0 ) = 1 + 0, 1(0 + 1) = 1, 1, y2 = y1 + hf (x1, y1 ) = 1, 1 + 0, 1(0, 1 + 1, 1) = 1, 22, y3 = y2 + hf (x2, y2 ) = 1, , 1(0, 2 + 1, 22) = 1, 362. Pokrac ova nı m v podobny ch vy poc tech dostaneme dals ı hodnoty: i xi 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 yi 1, , , , , i xi 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 yi 1, , , , , Pr ibliz ne r es enı poc a tec nı u lohy na intervalu [0, 1] je lomena c a ra spojujı cı body [xi, yi ] z pr edchozı tabulky.

14 Definice Necht f a g jsou spojite funkce. Diferencia lnı rovnice y = f (x)g (y ), (SP) se nazy va rovnice diferencia lnı rovnice se separovany mi prome nny mi. Pouz ijeme-li oznac enı y = dy dx dostaneme rovnici (SP) ve tvaru dy = f (x)g (y ). dx

15 R es enı rovnice se separovany mi prome nny mi Nejprve si vs imne me, z e konstantnı funkce urc ene rovnicı g (y ) = 0 jsou r es enı m rovnice (SP). Za pr edpokladu g (y ) 6= 0 separujeme prome nne dy = f (x) dx g (y ) a tuto rovnost zintegrujeme Z Z dy = f (x) dx. g (y ) Nezapomen me, z e primitivnı funkce se lis ı o konstantu, c ı mz dostaneme mnoz inu r es enı rovnice (SP)! Poznamenejme, z e ne vz dy se na m podar ı vyja dr it explicitnı tvar r es enı y = y (x).

16 Ne kolik pr ı kladu Pr ı klad R es te diferencia lnı rovnice y = 2xy, y = 1 (4y 1). x Pr ı klad R es te poc a tec nı u lohu x+yy = 0, y (0) = 2, (x+1) dy xy dx = 0, y (0) = 1.

17 Model radioaktivnı ho rozpadu Pr ı klad Uvaz me radioaktivnı atomy v ne jake m izotopu chemicke ho prvku a oznac me jejich poc et v za vislosti na c ase N(t). Radioaktivita je pr irozeny nebo ume le navozeny samovolny rozpad atomove ho ja dra prova zeny vysı la nı m radioaktivnı ho za r enı. Ernest Rutherford uka zal, z e rychlost rozpadu (tedy vlastne zme na poc tu atomu ) je pr ı mo u me rna poc tu atomu pr ı slus ne ho prvku. Napis te a vyr es te diferencia lnı rovnici popisujı cı tento rozpad.

18 Newtonu v za kon ochlazova nı Pr ı klad Podle Newtonova za konu ochlazovanı je rychlost, jakou se te leso ochlazuje vlivem okolnı ho prostr edı, pr ı mo u me rna rozdı lu teploty te lesa a okolnı ho prostr edı. Sestavte a vyr es te rovnici popisujı cı ochlazova nı te lesa. Pomocı te to rovnice vyr es te na sledujı cı u lohu: Je-li teplota vzduchu T = 20 C a te leso se za 20 minut ochladilo z poc a tec nı teploty T0 = 100 C na 60 C, za jak dlouho se ochladı na 30 C?

19 Vy voj populacı Pr ı klad Na zac a tku vy voje ve ts ina populacı roste pr ı mo u me rne poc tu jedincu v populaci. Napis te diferencia lnı rovnici popisujı cı vy voj populace. V c em je toto r es enı nevy hodne? V c em je leps ı na sledujı cı model popisujı cı vy voj velikosti populace P v c ase? P P = kp 1 K

20 Odboura va nı la tek v krvi Pr ı klad Roztok gluko zy je nitroz ilne poda va n do krevnı ho obe hu konstantnı rychlostı r. Jak je gluko za pr ida va na, tak se me nı na dals ı la tky a uby va v krvi rychlostı, ktera je u me rna jejı koncentraci. Najde te model popisujı cı zme nu koncentrace C (t) gluko zy v krvi a najde te funkci C (t) vı te-li, z e C (0) = C0. Jak se zme nı r es enı u lohy, jestliz e mı sto gluko zy uvaz ujeme odboura va nı alkoholu v krvi, ktere probı ha podle stejne ho principu, jen s tı m rozdı lem, z e alkohol jiz da le nepr ijı ma me?

21 Dals ı moz nosti Dals ı (pome rne jednoduche ) pr ı klady vyuz itı rovnic (ne jiz nutne se separovany mi prome nny mi) je moz ne najı t: