Matematika 1 sbírka příkladů
|
|
|
- Klára Procházková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Matematika 1 sbírka příkladů RNDr. Rudolf SCHWARZ, CSc. Brno 2012
2 1. Poznámka Výsledky jednotlivých příkladů mají tuto barvu. 2. Poznámka Pokud je v hranatých závorkách uvedeno písmeno, označuje, ze které publikace byl dotyčný příklad převzat: H Hořejšová, M. Řešené příklady z matematiky pro VŠE Praha 1984, druhé upravené vydání, SNTL/ALFA, 256 s. R Rychnovský, R. Úvod do vyšší matematiky Praha 1968, třetí, rozšířené vydání, SZN, 518 s. T Tomica, R. Cvičení z matematiky I. Skripta S 2254/I Brno 1974, čtvrté vydání, VAAZ, 287 s. Například T 349a/192 označuje, že se jedná o zadání a) ze cvičení 349 na straně 192 výše uvedených skript (Tomica, 1974).
3 Obsah 1 Determinanty Determinanty 2. řádu Determinanty 3. řádu Determinanty vyšších řádů Matice Typy matic Operace s maticemi Maticové rovnice Hodnost matic Systémy lineárních algebraických rovnic Soustavy s jediným řešením Soustavy, které nemají právě jedno řešení
4 4 Funkce, vlastnosti funkce Definiční obor funkce D(f) Funkce lichá, sudá Inverzní funkce f 1 (x) k funkci f(x) Reálné kořeny funkce Mnohočleny a racionální lomené funkce Kořeny mnohočlenů Znaménka mnohočlenů Rozklad na parciální zlomky Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou Lagrangeův interpolační mnohočlen Lineární aproximace metodou nejmenších čtverců Kvadratická aproximace metodou nejmenších čtverců
5 7 Bankovní produkty Jednorázové (termínované) VKLADY Pravidelné úložky (vklady) SPOŘENÍ Pravidelné výběry DŮCHODY Hypotéky, půjčky ÚVĚRY First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
6 1. Determinanty 1.1. Determinanty 2. řádu Určete hodnotu následujících determinantů: Příklad Příklad Příklad Příklad = = = = 7
7 Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad = 1 T 349a/192 T 349b/192 T 349c/192 T 349d/ = = 1 a b b a = a2 b 2 a b a c a + c a + b = c2 b 2 Příklad T 349e/ x 1 x 2 = x 9
8 Příklad T 349f/192 a a 1 = 2a, pro a > 0 a Příklad T 349f/192 3 a 3 b 2 3 b 3 a 2 = a b Vypočtěte neznámou x z následujících rovnic: Příklad x 2x = 2 x = 1 Příklad x x = 20 x 1 = 4; x 2 = 2 Příklad T 351a/192 x x 5 = 3 x = 1
9 Příklad Příklad Příklad T 351b/192 T 351c/192 T 351d/192 x a b x b a = 0; a b x = a + b x a b a x b = 0 x 1 = 0; x 2 = a + b 7x 6 6x 7 x 1 1 x = 0 x 1;2 = 1 Příklad T 351e/192 6x + 1 x = 2x 15 x 1 = 8 Příklad T 351f/ x 4 8 x x = 0 x 1 = 1 2
10 1.2. Determinanty 3. řádu Určete hodnotu (Sarrusovým pravidlem, rozvojem dle libovolné řady, úpravou determinantu na schodovitý tvar) následujících determinantů: Příklad = 108 Příklad = 27 Příklad = 18
11 Příklad H 6,3.b/ = 4 Příklad H 6,3.c/ = 7 Příklad H 6,10.a/ = 18 Příklad H 6,10.ax/ = 0
12 Příklad H 6,10.ay/ = 27 Příklad H 6,10.az/ = 9 Příklad R 3/ = 17 Příklad R 1a/ = 40
13 Příklad R 1b/ = 8 Příklad T 137/ = 39 Příklad T 354a/ = 33 Příklad T 354b/ = 0
14 Příklad T 354c/194 0 a b a 0 c b c 0 = 0 Příklad T 354d/194 a 1 a 1 a 1 a 1 a = 4a Příklad T 354e/194 x 1 x 0 x 1 x 1 x = 2x Příklad x 1 x 0 x 1 x 1 x = 2x
15 Příklad T 138/ = 240 Příklad T 358a/ = 72 Příklad T 358b/195 a a a a a a a a a = 2a 3 Příklad T 358c/195 a 2 ab ac ab b 2 bc = 4a 2 b 2 c 2 ac bc c 2
16 Příklad T 3/ = 11 Příklad T 359a/ = 0 Příklad T 359b/196 1 x x 2 x x 2 x 3 a b c = 0 Příklad T 7/ = 112
17 Příklad T 7a/ = 196 Příklad T 140/ = 39 Příklad T 73-9/198 n n + 1 n 1 n + 1 n 1 n n 1 n n + 1 = 9n Řešte následující rovnice: Příklad x 2 4 x 2 = 0 x 1 = 0; x 2 = 2
18 Příklad x 1 x 0 x 1 x 1 x = 2x x libovolné = nekonečně mnoho řešení Příklad T 355b/194 x x = 0 x 1 = 2; x 2 = 3 Příklad T 355c/194 x x = 0 x 1 = 0; x 2 = 2 Příklad H 6,4.b/77 a a 2 a 3 a 3 a 4 a 6 1 a 1 = 0 x = 0
19 Příklad x = 1 x 1 = 1; x 2;3 jsou komplexně sdružené Příklad x = 1 x 1 = 1; x 2;3 jsou komplexně sdružené Příklad x = 4 x 1 = 2; x 2 = 2 Příklad x = 4 x 1;2 jsou komplexně sdružené
20 1.3. Determinanty vyšších řádů Určete hodnotu (rozvojem, úpravou na schodovitý tvar) následujících determinantů: Příklad = 40 Příklad H 6,3.c/ = 7
21 Příklad R 4/ = 2 Příklad R 5/ = 48 Příklad R 7/ = 162
22 Příklad R 7(1)/ = 324 Příklad R 7(2)/ = 324 Příklad R 7(3)/ = 162
23 Příklad R 7(4)/ = 162 Příklad R 1e/ = 10 Příklad T 142/ = 972
24 Příklad R 1f/ = 10 Příklad T 362a/ = 8100 Příklad T 362b/ = 40
25 Příklad T 362c/ = 147 Příklad T 362d/ = 24 Příklad R 2/ a b c d = 8a + 15b + 12c 19d
26 Příklad = 40 Příklad R 6/ = 112 Příklad T 363a/ = 895
27 Příklad T 363b/ = 16 Příklad = 30 Příklad = 9
28 2. Matice 2.1. Typy matic Určete, zda následující čtvercové matice jsou regulární nebo singulární: Příklad H 5,9.a/ regulární Příklad H 5,9.b/ regulární Příklad H 5,9.c/ singulární
29 Příklad H 5,9.d/ λ pro λ = 5 singulární pro λ 5 regulární Určete, inverzní matici k následujícím maticím: Příklad H 5,11.a/69 A = A 1 = Příklad H 5,11.b/69 B = Příklad C = C 1 = B 1 =
30 Příklad R 3c/413 B = B 1 = Příklad H 5,11.d/69 D = λ λ 5 D 1 = λ 8 λ 5 6 λ 5 4 λ λ 5 λ 3 λ 5 3 λ 5 1 λ 5 1 λ 5 λ 2 λ 5 1 λ 5 Příklad C = C 1 = Příklad R 8/410 F = F 1 =
31 Příklad R 3d)/413 G = Příklad H = Příklad K = Příklad L = H 1 = K 1 = L 1 = G 1 = 1 4 G
32 2.2. Operace s maticemi Příklad Jsou dány matice A = Vypočtěte 2A B = a , B = A + 3B = Příklad R 6/408 Jsou dány matice A = Vypočtěte A B = a B A = , B = Příklad Jsou dány matice A =, B = Vypočtěte A B = a B A =
33 1 0 Příklad Jsou dány matice A =, B = Vypočtěte A B = a A = A A = Příklad Je dána matice A = 5 2 Vypočtěte A 3 = A A A = 4 0 Příklad Je dána matice A = a A T A = Vypočtěte A A T =
34 Příklad Jsou dány matice C = Vypočtěte C D = Příklad Jsou dány matice A = Vypočtěte A B = a B A =, D = , B =
35 Příklad Jsou dány matice C = Vypočtěte C D = Příklad Jsou dány matice B = Vypočtěte B C C B = , D =, C =
36 Příklad R 2e/413 Jsou dány matice G = Vypočtěte G F = Příklad Je dána matice A = Určete matici V = 3.A 1 A T + 2.A T A? V = , F =
37 Příklad Je dána matice A = Určete matici V = 3.A 1 A T + 2.A T A? V = Příklad Je dána matice A = Určete matici V = 3.A 1 A T + 2.A T A? V = Příklad Je dána matice A = Určete matici V = 3.A 1 A T + 2.A T A? V = 2 17
38 Příklad Je dána matice A = Určete matici V = 5.A 1 A T + 2.A T A? V = Příklad Je dána matice A = Určete matici V = 5.A 1 A T + 2.A T A? V = Příklad Je dána matice A = Určete matici V = 3.A 1 A T 2.A T A? V = 48 67
39 Příklad Je dána matice A = Určete matici V = 3.A 1 A T 2.A T A? V = Příklad Je dána matice A = Určete matici V = 5.A 1 A T 2.A T A? V = Příklad Je dána matice A = Určete matici V = 5.A 1 A T 2.A T A? V = 29 38
40 Příklad Je dána matice A = Určete matici V = 5.A 1 A T 2.A T A? V = Příklad Je dána matice A = Určete matici V = 5.A 1 A T 2.A T A? V = Příklad Je dána matice A = Určete matici V = 2.A 1 A T A T A? V = 59 63
41 2 1 Příklad Je dána matice A = Určete matici V = 2.A 1 A T A T A? V = Příklad Je dána matice A = Určete matici V = 2.A 1 A T A T A? V = Příklad Je dána matice A = Určete matici V = 2.A 1 A T A T A? V = 19 81
42 7 2 Příklad Je dána matice A = Určete matici V = 3.A 1 A T A T A? V = Příklad Je dána matice A = Určete matici V = 3.A 1 A T A T A? V = Příklad Je dána matice A = Určete matici V = 3.A 1 A T A T A? V = 24 26
43 7 4 Příklad Je dána matice A = Určete matici V = 3.A 1 A T A T A? V = Příklad Je dána matice A = Určete matici V = 2.A (A T A 1 )? V = Příklad Je dána matice A = Určete matici V = A T A 1 3.E? (E je jednotková matice) V =
44 2.3. Maticové rovnice Příklad H 5,1./63 Určete čísla x, y, z, t, u, v tak, aby platilo x y + z t y z x x u 1 = 1 0 v x = 1 y = 0 z = 0 t = 0 u = 1 v = 1 2 v 0 u + v x + z z + t Příklad H 5,2./64 Řešte maticovou rovnici: u w 3 3 = x y u w 3 x y = Příklad R 4a/413 Řešte maticovou rovnici: u w 2 23 = x y u w x y =
45 Příklad R 4b/413 Řešte maticovou rovnici: Rovnice nemá řešení (neznámá matice neexistuje)! u w = x y Příklad Řešte maticovou rovnici: u w 5 0 = x y u w x y = Příklad Řešte maticovou rovnici: u w = x y u w x y =
46 Příklad Řešte maticovou rovnici: u w 13 9 = x y u w x y = Příklad Řešte maticovou rovnici: u w 6 9 = x y u w x y = Příklad Řešte maticovou rovnici: u w = x y u w x y =
47 Příklad Řešte maticovou rovnici: u w = x y u w x y = Příklad Řešte maticovou rovnici: u w = x y u w x y = Příklad Řešte maticovou rovnici: u w = x y u w x y = 5 2
48 Příklad Řešte maticovou rovnici: u w = x y u w x y = Příklad Řešte maticovou rovnici: u w 0 3 = x y u w x y = Příklad Řešte maticovou rovnici: u w 4 8 = x y u w x y =
49 Příklad Řešte maticovou rovnici: u w 5 17 = x y u w 2 1 x y = Příklad Řešte maticovou rovnici: u w = x y Příklad Řešte maticovou rovnici: u w 19 8 = x y u w x y u w x y = =
50 Příklad Řešte maticovou rovnici: u w = x y u w x y = Příklad Řešte maticovou rovnici: u w = x y u w x y = Příklad Řešte maticovou rovnici: u w = x y u w x y =
51 Příklad Řešte maticovou rovnici: u w = x y u w x y = Příklad Řešte maticovou rovnici: u w = x y u w x y = Příklad Řešte maticovou rovnici: u w 2 3 = x y u w x y =
52 2.4. Hodnost matic Určete hodnost následujících matic: Příklad T 1/201 h = 1 Příklad T 2/201 h = 2 Příklad H 2,5./32 h = 2 Příklad H 2,5.b/32 h = 2
53 Příklad T 3/201 h = 2 Příklad T a/202 h = 1 Příklad T a/202 h = 1 Příklad T a/202 h = 2 Příklad T b/202 h = 2
54 Příklad T b/202 h Příklad T c/202 h Příklad T c/202 h = 3 = = 2 Příklad H 2,1.a/28 h = 4
55 Příklad H 2,1.b/30 h = 2 Příklad Příklad Příklad h h h = 3 = 3 = 3
56 Příklad Příklad Příklad Příklad h h h h = = 3 = 2 = 2
57 Příklad Příklad Příklad Příklad h h h h = 2 = 2 = 2 = 1
58 Příklad Příklad Příklad Příklad h h h h = = 3 = 3 = 3
59 Příklad Příklad Příklad Příklad h h h h = 2 = 3 = 2 = 3
60 Příklad h = 3 Příklad T 144b/203 h = 2 Příklad T 144c/203 h = 1 Příklad T 144d/203 h = 2
61 Příklad h = 2 Příklad Příklad h h = = 3
62 Příklad Příklad h h = 4 = 2 Příklad T 365a/204 h = 2
63 Příklad T 365b/204 h = 2 Příklad T 365c/204 h = 2 Příklad T 365c/204 h = 2
64 Příklad T 365c/204 h Příklad T 365d/204 h Příklad T 365e/204 h = 2 = = 3
65 Příklad T 365f/204 h = 4 Příklad H 2,2./204 h λ = 3 pro λ 5; h = 2 pro λ = 5 Příklad Příklad h h = = 3
66 3. Systémy lineárních algebraických rovnic 3.1. Soustavy s jediným řešením Soustavy lineárních algebraických rovnic v celé kapitole 3.1 si zkuste vyřešit: 1. Gaussovou metodou postupných eliminací (GEM Gaussova eliminační metoda); 2. Jordanovou metodou (modifikace GEM); 3. Cramerovým pravidlem; 4. Pomocí inverzní matice. Příklad x + 2y = 3 4x + 5y = 6 x = 1 y = 2 Příklad x + 3y + 6z = 3 2x + y + z = 7 5x + 4y + 8z = 3 x = 7 y = 6 z = 1
67 Příklad x + 3y + 6z = 3 2x + y + z = 7 5x + 4y + 8z = 3 x = 1 y = 16 z = 7 Příklad Příklad Příklad x + 3y + 6z = 1 2x + y + z = 7 5x + 4y + 8z = 3 3x + 2y + 6z = 3 2x + y + 4z = 4 3x + y + 9z = 12 3x + 2y + 4z = 3 2x + y + 4z = 4 3x + y + 9z = 12 x = 5 y = 27 z = 10 x = 3 y = 6 z = 1 x = 7 y = 6 z = 3
68 Příklad x + 3y + 6z = 3 2x + y + z = 7 5x + 4y + 8z = 3 x = 7 y = 6 z = 1 Příklad Příklad Příklad x + 3y + 6z = 3 2x + y + 3z = 7 5x + 4y + 8z = 3 4x + 3y + 5z = 3 2x + 4y + 4z = 0 6x + 7y + 8z = 4 4x + 3y + 5z = 7 2x + 4y + 2z = 0 6x + 7y + 8z = 4 x = 7 y = 10 z = 1 x = 2 y = 0 z = 1 x = 7 y = 2 z = 3
69 Příklad x + 3y + 5z = 10 2x + 4y + 2z = 2 6x + 7y + 6z = 1 x = 12 y = 1 z = 11 Příklad Příklad Příklad x + 3y + 5z = 10 2x + 4y + 2z = 2 6x + 7y + 6z = 11 3x + 2y + z = 3 2x + y + 5z = 6 3x + y + 11z = 12 3x + 2y + z = 3 2x + y + 5z = 11 3x + y + 11z = 24 x = 2 y = 1 z = 1 x = 0 y = 1 z = 1 x = 1 y = 1 z = 2
70 Příklad x + 2y + z = 3 2x + y + 5z = 11 3x + y + 3z = 8 x = 1 y = 1 z = 2 Příklad Příklad Příklad x + 2y + z = 9 2x + y + 5z = 3 3x + y + 3z = 4 3x + 3y + 4z = 3 2x + y + 3z = 6 5x + 4y + 5z = 3 3x + 3y + 4z = 4 2x + y + 3z = 1 5x + 4y + 5z = 9 x = 3 y = 1 z = 2 x = 2 y = 7 z = 3 x = 3 y = 1 z = 2
71 Příklad x + 3y + 4z = 3 2x + y + 3z = 4 5x + 4y + 5z = 1 x = 2 y = 1 z = 3 Příklad Příklad Příklad x + 3y + 4z = 3 2x + y + 7z = 1 5x + 4y + 5z = 2 3x + 3y + 4z = 1 2x + y + 7z = 10 5x + 4y + 5z = 3 3x + 3y + 6z = 3 2x + y + 1z = 7 5x + 4y + 8z = 3 x = 2 y = 3 z = 0 x = 1 y = 2 z = 2 x = 7 y = 6 z = 1
72 Příklad x + 2y + 6z = 3 2x + y + 4z = 4 3x + y + 9z = 12 x = 3 y = 6 z = 1 Příklad Příklad Příklad x + 3y + 6z = 3 2x + y + z = 7 5x + 4y + 8z = 3 3x + 3y + 6z = 3 2x + y + 3z = 7 5x + 4y + 8z = 3 4x + 3y + 5z = 2 2x + 4y + 4z = 1 6x + 7y + 8z = 4 x = 7 y = 6 z = 1 x = 7 y = 10 z = 1 x = 1,3 y = 0,6 z = 1
73 Příklad x + 2y + z = 3 2x + y + 5z = 6 3x + y + 11z = 12 x = 0 y = 1 z = 1 Příklad x + 3y + 4z = 3 2x + y + 3z = 6 5x + 4y + 5z = 3 x = 2 y = 7 z = 3 Příklad x + 3y + 4z = 3 2x + y + 7z = 6 5x + 4y + 5z = 3 x = 4 3 y = 11 3 z = 1 Příklad R 1/378 2x 3 = 0 3x 1 + 3x 3 = 0 x 1 + 2x 2 x 3 = 0 x 2 = 0 x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = 0 First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
74 Příklad x 1 + 3x 2 2x 3 + x 4 = 0 2x 1 + 5x 2 3x 3 + 3x 4 = 0 x 1 + 2x 3 2x 4 = 9 2x 1 x 2 + 4x 3 + 9x 4 = 3 x 1 = 1 x 2 = 2 x 3 = 3 x 4 = 1 Příklad R 7/390 x 1 + 2x 2 5x 3 + x 4 = 2 3x 1 + x 2 4x 3 + 6x 4 = 2 x 1 + 2x 2 x 3 + x 4 = 6 x 2 + 3x 3 4x 4 = 1 x 1 = 2 x 2 = 2 x 3 = 1 x 4 = 1 Příklad R 9(1)/393 x 1 + 3x 2 + x 3 = 5 x 1 + x 2 + 5x 3 = 7 2x 1 + x 2 + x 3 = 2 2x 1 + 3x 2 3x 3 = 14 x 1 = 1 x 2 = 2 x 3 = 2
75 Příklad R 9(2)/393 x 1 + 3x 2 + x 3 = 3 x 1 + x 2 + 5x 3 = 1 2x 1 + x 2 + x 3 = 7 2x 1 + 3x 2 3x 3 = 11 x 1 = 4 x 2 = 0 x 3 = 1 Příklad R 3d/395 8x 1 + 6x 2 + 5x 3 + 2x 4 = 21 3x 1 + 3x 2 + 2x 3 + x 4 = 10 4x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 8 3x 1 + 5x 2 + x 3 + x 4 = 15 7x 1 + 4x 2 + 5x 3 + 2x 4 = 18 x 1 = 3 x 2 = 0 x 3 = 5 x 4 = 11 Příklad x + 3y z = 22 3x y + 2z = 13 4x + 2y 3z = 33 x = 6 y = 3 z = 1 First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
76 3.2. Soustavy, které nemají právě jedno řešení Řešte následující soustavy lineárních algebraických rovnic: Příklad x + y 3z = 4 4x + 3y + 6z = 7 x = 3p + 2 y = 3 z = 2p + 1 Nekonečně mnoho řešení závislých na parametru p (p R) Příklad x 2y 5z = 2 2x + 3y z = 1 8x 19y 5z = 7 Soustava nemá řešení Příklad x + 3y + 6z = 3 2x + y + z = 7 3x + 4y + 9z = 12 Nekonečně mnoho řešení závislých na parametru q (q R) x = q 8 y = 9 3q z = q
77 Příklad x + 3y + 6z = 3 2x + y + z = 7 5x + 4y + 7z = 3 Soustava nemá řešení Příklad x + 2y + 6z = 3 2x + y + 5z = 5 3x + y + 9z = 12 Nekonečně mnoho řešení závislých na parametru r (r R) x = 7 4r y = 3r 9 z = r Příklad x + 2y + 6z = 3 2x + y + 5z = 4 3x + y + 9z = 12 Soustava nemá řešení Příklad x + 3y + 6z = 3 2x + y + z = 6 5x + 4y + 7z = 3 Nekonečně mnoho řešení závislých na parametru s (s R) x = s 7 y = 8 3s z = s
78 Příklad x + 3y + 6z = 3 2x + y + z = 7 5x + 4y + 7z = 3 Soustava nemá řešení Příklad x + 3y + 5z = 2 2x + 4y + 4z = 1 6x + 7y + 9z = 3 Nekonečně mnoho řešení závislých na parametru t (t R) x = 1 2 8t y = 6t z = 10t Příklad x + 3y + 5z = 2 2x + 4y + 4z = 1 6x + 7y + 9z = 4 Soustava nemá řešení Příklad x + 2y + z = 3 2x + y + 5z = 5 3x + y + 14z = 12 Nekonečně mnoho řešení závislých na parametru u (u R) x = 7 9u y = 13u 9 z = u
79 Příklad x + 2y + z = 3 2x + y + 5z = 5 3x + y + 14z = 9 Soustava nemá řešení Příklad x + 3y + 4z = 3 2x + y + z = 6 5x + 4y + 5z = 3 Nekonečně mnoho řešení závislých na parametru v (v R) x = v 7 y = 8 5v z = 3v Příklad x + 3y + 4z = 3 2x + y + z = 6 5x + 4y + 5z = 3 Soustava nemá řešení Příklad H 3,4.a/32(35) x y z = 1 x + 2y + z = 0 5x 2y 3z = 4 Nekonečně mnoho řešení závislých na parametru w (w R) x = 1 + w y = 1 2w z = 3w + 1
80 Příklad x 2y + z = 1 x y + 3z = 0 x 4y 3z = λ Příklad x y + z = 1 x + 2y + 3z = 0 4x y + αz = α + β H 3,5./33(38) Udejte podmínku pro číslo λ, aby soustava byla řešitelná. λ = 3 H 3,6./33(39) Udejte podmínku pro čísla α, β, aby soustava měla nekonečně mnoho řešení. Řešte následující soustavy lineárních algebraických rovnic: α = 6; β = 3 Příklad H 3,11./33(42) x + y + z = 0 x y + z = 0 Nekonečně mnoho řešení závislých na parametru γ (γ R) x = γ y = 0 z = γ
81 Příklad R 8/390 x 1 = 16 + p + q + 5r x 2 = 23 2p 2q 6r x 3 = p x 4 = q x 5 = r x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 3x 5 = 2 x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 x 5 = 12 Nekonečně mnoho řešení závislých na parametrech p; q; r (p; q; r R) Příklad R 9(2)/393 x 1 + 3x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 2 + 5x 3 = 3 2x 1 + x 2 + x 3 = 4 2x 1 + 3x 2 3x 3 = 5 Soustava nemá řešení
82 Příklad R 3a/395 2x 1 3x 2 + 5x 3 + 7x 4 = 1 4x 1 6x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 2 2x 1 3x 2 11x 3 15x 4 = 1 Nekonečně mnoho řešení závislých na parametrech a; b (a; b R) x 1 = a x 2 = b x 3 = 22a 33b 11 x 4 = 16a + 24b + 8 Příklad R 3b/395 3x 1 5x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 2 7x 1 4x 2 + x 3 + 3x 4 = 5 5x 1 + 7x 2 4x 3 6x 4 = 3 Soustava nemá řešení. Příklad T 147/207 x 1 2x 2 + 3x 3 4x 4 = 4 x 2 x 3 + x 4 = 3 x 1 + 3x 2 3x 4 = 1 7x 2 + 3x 3 + x 4 = 3 Nekonečně mnoho řešení závislých na parametru c (c R) x 1 = 8 x 2 = 3 + c x 3 = 6 + 2c x 4 = c
83 Příklad T 148/208 8x 1 + 6x 2 x 3 3x 4 = 9 x 1 + 2x 2 2x x 4 = 28 2x 1 + 2x 2 x 3 5x 4 = 13 2x 2 3x x 4 = 43 Nekonečně mnoho řešení závislých na parametrech d, e (d; e R) Příklad x 1 = α x 2 = β x 3 = 1 8α + 4β x 4 = 0 x 5 = 1 + 2α β R 3c/395 2x 1 x 2 + x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 2 6x 1 3x 2 + 2x 3 + 4x 4 + 5x 5 = 3 6x 1 3x 2 + 4x 3 + 8x x 5 = 9 4x 1 2x 2 + x 3 + x 4 2x 5 = 1 Nekonečně mnoho řešení závislých na parametrech α; β (α; β R) x 1 = 15 d + 6e x 2 = 1 (3d 17e 43) 2 x 3 = d x 4 = e
84 Příklad x 1 = t u x 2 = t w x 3 = t x 4 = t x 5 = u x 6 = w R 3e/395 x 1 x 3 + x 5 = 0 x 2 x 4 + x 6 = 0 x 1 x 2 + x 5 x 6 = 0 x 2 x 3 + x 6 = 0 x 1 x 4 + x 5 = 0 Nekonečně mnoho řešení závislých na parametrech t; u; w (t; u; w R)
85 4. Funkce, vlastnosti funkce 4.1. Definiční obor funkce D(f) Určete definiční obor následujících funkcí: Příklad f : y = x pro x (2; 5) D(f) = (2; 5) Příklad f : y = x + 2 x 2 x 2 = D(f) = ( ; 2) (2; ) Příklad f : y = x2 x + 3 pro x (2; 5) D(f) = (2; 5) Příklad f : y = x2 x 3 pro x (2; 5) D(f) = (2; 3) (3; 5)
86 Příklad f : y = x2 x 3 pro x ( 2; 3 D(f) = ( 2; 3) Příklad T 179d/64 f : y = 12x3 x x 2 18x + 80 x 8, x 10 Příklad f : y = 12x3 x x 3 x x 0, x ±1 Příklad f : y = 12 x 3 + x x 0 Příklad T 179f/64 f : y = Příklad T 179g/64 f : y = 2x 2 5 x 3 x 2 x x 3 x 2 + 2x 2 x ±1 x 1
87 Příklad f : y = 3x 5 pro x (2; 5 D(f) = (2; 5 Příklad f : y = 3x 5 pro x ( 2; 5 D(f) = 5 3 ; 5 Příklad f : y = x D(f) = R Příklad f : y = 1 3x D(f) = ( ; 1 3 Příklad f : y = 1 1 3x D(f) = ( ; 1 3 ) Příklad f : y = Příklad f : y = x 4 x 2 x x2 4 pro x ( 2; 5 D(f) = ( 2; 2) pro x ( 2; 5 D(f) = (2; 5
88 Příklad f : y = x 2 + 2y + 4 pro x ( 2; 5 D(f) = ( 2; 5 Příklad f : y = x 2 + 2y + 4 D(f) = R Příklad T 184a/66 f : y = 1 x D(f) = 1; 1 Příklad T 15-1/66 f : y = 3x x 3 D(f) = ( ; 3 0; 3 Příklad f : y = ln(2x 4) D(f) = (2; ) Příklad f : y = ln(x 2 4) pro x ( 2; 3 D(f) = (2; 3 Příklad f : y = 2 3 ln x D(f) = (0; e 3 ) (e 3 ; ) Příklad f : y = ln(x x 2 ) D(f) = (0; 1)
89 Příklad T 187c/66 f : y = ln(x 2 + 4x 5) D(f) = ( ; 5) (1; Příklad f : y = 1 x x + 3 pro x ( 2; 3 D(f) = ( 2; 1) ( 1; 3) Příklad f : y = e 1 x 2 D(f) = 1; 1 Příklad f : y = ln 2 x 2 + x D(f) = ( 2; 2) Příklad f : y = 1 x x D(f) = 3; 1) (1; Příklad f : y = ln ex 1 e x pro x (2; 13 D(f) = (2; 13 Příklad f : y = ln ex 1 e x D(f) = (0; )
90 4.2. Funkce lichá, sudá Ověřte lichost a sudost následujících funkcí: Příklad f : y = x pro x ( 2; 3) ani sudá, ani lichá Příklad f : y = x sudá Příklad f : y = x 5 3 pro x ( 6; 6) ani sudá, ani lichá Příklad f : y = x 5 3x 3 pro x ( 6; 5) ani sudá, ani lichá Příklad f : y = x 5 3x 3 lichá Příklad f : y = x 5 3x 3 + 5x 7 ani sudá, ani lichá Příklad f : y = x 5 3x 3 + 5x lichá
91 Příklad f : y = x 5 3x 4 + 5x ani sudá, ani lichá Příklad f : y = x 4 tgx lichá Příklad f : y = x2 1 + x 2 sudá Příklad f : y = 5x 2x Příklad f : y = x + 1 x 1 lichá ani lichá ani sudá Příklad f : y = 2x sin x cos 4 x sudá Příklad f : y = ln 2 x 2 + x lichá
92 Příklad f : y = ln sin x x sudá Příklad f : y = ax + 1 a x 1 lichá Příklad f : y = sin2 x cos 3 x sudá Příklad f : y = 3x cos x sin 4 x lichá Příklad f : y = x x 2 sudá Příklad f : y = 2 x ani lichá, ani sudá Příklad f : y = x 2 + sin x 2 sudá
93 4.3. Inverzní funkce f 1 (x) k funkci f(x) Určete inverzní funkci f 1 (x) k funkci f(x): Příklad f : y = 2x 1, pro x R je f 1 (x) = 1 2 x + 1 2, kde x R Příklad f : y = 1 x + 2, pro x 2 je f 1 (x) = 1 x 2, kde x 0 Příklad f : y = x 2 x + 2, pro x 2 je f 1 (x) = 2x x, kde x 1 Příklad f : y = x 4, pro x 4 je f 1 (x) = x 2 + 4, kde x 0 Příklad f : y = x 4 + 5, pro x 0 je f 1 (x) = 4 x 5, kde x 5 Příklad f : y = 2 + ln x, pro x > 0 je f 1 (x) = e x 2, kde x R
94 Příklad f : y = e 1 2x, pro x R je f 1 (x) = 1 ln x 2, kde x > 0 Příklad f : y = ln(1 x), pro x < 1 je f 1 (x) = 1 e x, kde x R Příklad f : y = x 2, pro x 0 je f 1 (x) = x, kde x 0 Příklad f : y = 3 e x, pro x ( ; ln 3 je f 1 (x) = ln(3 x 2 ), kde x 0; 3) Příklad f : y = e 2x, pro x R je f 1 (x) = 1 2 ln(x 1)2 3 = = ln x 2 2x 2, kde x (1 + 3; ) Příklad f : y = 4 + ex 4 e, pro x ln 4 je f 1 (x) = ln 4x 4, x x + 1 kde x ( ; 1) (1; ) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
95 Příklad R 3/147 f : y = 2x x, pro x R je f 1 (x) = log 2 x 1 x, kde x (0; 1) 1 π Příklad f : y = 2 cos(1 3x), pro x ; 1 3 3, je f 1 (x) = 1 ( 1 arccos x ) 3 2 kde x 2; 2 4 π Příklad f : y = 2 + tg(5x 2), pro x 10 ; 4 + π 10 je f 1 (x) = arctg(x 2), kde x ( ; ) 5 Příklad f : y = arccos(2x 1), pro x 0; 1 je f 1 (x) = 1 ( 1 + cos x 3 ) 2 4, kde x 3; 3 + 4π Příklad f : y = 2 arccotg(x 2), pro x ( ; ) je f 1 (x) = 2 + cotg(2 x), kde x (2 π; 2)
96 Příklad H 9,12.d/76 f : y = 3 arcsin 2x + 1, pro x 1 2 ; 1 2 je f 1 (x) = 1 2 sin x 1 3, kde x 3 2 π + 1; 3 2 π π Příklad f : y = sin(3x 1), pro x ; 2 + π 6 6 je f 1 (x) = 1 (1 + arcsin x), kde x 1; 1 3 Příklad f : y = 1 + arctg(3x 4), pro x R je f 1 (x) = tg(x 1), 3 kde x (1 π; 1 + π) 2 2 Příklad f : y = 2 cos(2x + 1), pro x 1; π je f 1 (x) = arccos(2 x), kde x 1; 3 2
97 4.4. Reálné kořeny funkce Najděte reálné kořeny (včetně jejich násobnosti) následujících funkcí: Příklad f : y = 5x + 7 x 1 = 7 5 Příklad f : y = x 2 3x x 1 = 0, x 2 = 3 Příklad f : y = x 3 5x 2 x 1;2 = 0, x 3 = 5 Příklad f : y = x (x 1) 2 (x 4) 5 x 1 = 0, x 2;3 = 1, x 4;5;6;7;8 = 4 Příklad f : y = 9x 2 5 x 1 = 5 5 3, x 2 = 3
98 Příklad f : y = x reálné kořeny neexistují Příklad f : y = x 2 4 x 1 = 2, x 2 = 2 Příklad f : y = 9x 2 16 x 1 = 4 3, x 2 = 4 3 Příklad f : y = (x 2 1) (x 2 9) (2x + 5) x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 3, x 4 = 3, x 5 = 5 2 Příklad f : y = x 4 16 x 1 = 2, x 2 = 2 Příklad f : y = x x + 48 x 1 = 3, x 2 = 16 Příklad f : y = x 3 8 x 1 = 2 Příklad f : y = x 3 + 4x 2 + 4x + 3 x 1 = 3
99 Příklad f : y = x 3 3x 2 6x + 8 x 1 = 1, x 2 = 4, x 3 = 2 Příklad f : y = 6x x 2 17x 60 x 1 = 5, x 2 = 3 2, x 3 = 4 3 Příklad f : y = x 3 2x 2 5x + 6 x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 Příklad f : y = x 3 + 3x 2 8x + 10 x 1 = 5 Příklad f : y = x 3 x 2 8x + 12 x 1;2 = 2, x 3 = 3 Příklad f : y = x 3 x 2 7x + 15 x 1 = 3 Příklad f : y = x 3 5x 2 + 2x + 8 x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 4 Příklad f : y = x 3 + x 2 14x 24 x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 4
100 Příklad f : y = x 4 + x 3 3x 2 + 7x 6 x 1 = 1, x 2 = 3 Příklad f : y = x 4 2x 2 3x 2 x 1 = 1, x 2 = 2 Příklad f : y = x 4 4x 3 10x x 15 x 1;2 = 1, x 3 = 3, x 4 = 5 Příklad f : y = x 4 2x 3 22x x 15 x 1 = 3, x 2 = 5, x 3 = 2 + 3, x 4 = 2 3 Příklad f : y = x 4 10x x 2 60x + 36 x 1;2 = 2, x 3;4 = 3 Příklad f : y = x 4 14x x 2 4x 60 x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 10 Příklad f : y = x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x 80 x 1 = 2, x 2 = 4
101 Příklad f : y = x 4 + 4x 3 16x 16 x 1 = 2, x 2;3;4 = 2 Příklad f : y = 5x x 3 63x x + 10 x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 5, x 4 = 1 5 Příklad f : y = 7x x x 3 50x 2 157x 21 x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 3, x 4 = 7, x 5 = 1 7 Příklad f : y = x 5 x 4 10x 3 5x 2 21x + 36 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 4 Příklad f : y = x 5 + x 4 2x 3 27x 2 27x + 54 x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3
102 5. Mnohočleny a racionální lomené funkce 5.1. Kořeny mnohočlenů Určete číslo A tak, aby následující funkce měly požadované kořeny: Příklad f : y = x 3 + Ax 2 + x 2, x 1 = 2 A = 2 Příklad f : y = Ax 3 3x 2 + 3x 2, x 1 = 2 A = 1 Příklad f : y = x 3 + 4x 2 + Ax + 3, x 1 = 3 A = 4 Příklad f : y = x 3 3x 2 6x + A, x 1 = 2 A = 8 Příklad f : y = Ax x 2 17x 60, x 1 = 5 A = 6 Příklad f : y = x 3 + Ax 2 8x + 10, x 1 = 5 A = 3
103 Příklad f : y = x 4 + 4x 3 + Ax 2 16x 16, x 1 = 2 A = 0 Příklad f : y = x 5 x 4 10x 3 5x 2 21x + A, x 1 = 1 A = 36 Příklad f : y = x 3 + Ax 2 + 3x 2, x 1 = 2 A = 3 Příklad f : y = x 3 2x 2 + Ax 2, x 1 = 2 A = 1 Příklad f : y = x 3 + 4x 2 + 4x + A, x 1 = 3 A = 3 Příklad f : y = Ax 3 3x 2 6x + 8, x 1 = 2 A = 1 Příklad f : y = 6x 3 + Ax 2 17x 60, x 1 = 5 A = 29 Příklad f : y = x 5 x 4 + Ax 3 5x 2 21x + 36, x 1 = 1 A = 10 Příklad f : y = x 4 + 4x 3 + Ax 16, x 1 = 2 A = 16
104 5.2. Znaménka mnohočlenů Určete znaméko mnohočlenu P (x) v intervalu: Příklad P (x) = x 3 2x 2 + x 2, x (1; 6) v (1; 2 MÍNUS v 2; 6) PLUS Příklad P (x) = x 3 3x 2 +3x 2, x ( 2; 4) v ( 2; 2 MÍNUS v 2; 4) PLUS Příklad P (x) = x 3 +4x 2 +4x+3, x ( 9; 1) v ( 9; 3 MÍNUS, v 3; 1) PLUS Příklad P (x) = x 3 3x 2 6x + 8, x (0; 3) v (0; 1 PLUS v 1; 3) MÍNUS Příklad P (x) = 6x x 2 17x 60, x ( 7; 2) v ( 7; 5 MÍNUS v 5; 2) PLUS Příklad P (x) = x 4 x 3 7x 2 +x+6, x (0; 2) v (0; 1 PLUS v 1; 2) MÍNUS Příklad P (x) = x 5 x 4 10x 3 5x 2 21x + 36, x ( 2; 0) PLUS
105 5.3. Rozklad na parciální zlomky Rozložte na parciální zlomky následující racionální lomené funkce: Reálné různé kořeny jmenovatele Příklad R(x) = 6x2 22x + 18 x 3 6x x 6 R(x) = 1 x x x 3 Příklad R(x) = 6x2 5x 9 x 3 7x + 6 R(x) = 2 x x x + 3 Příklad R(x) = 5x2 90x + 18 x 3 7x 2 66x + 72 Příklad R(x) = 2x2 26x + 42 x 3 x 2 30x + 72 R(x) = 1 x x x 12 R(x) = 2 x x x + 6
106 Příklad R(x) = 2x2 26x + 30 x 3 7x 2 6x + 72 R(x) = 2 x x x 6 Příklad R(x) = 4x2 13x 54 x 3 + x 2 14x 24 Příklad R(x) = 2x2 + 15x + 26 x 3 + 9x x + 24 Příklad R(x) = Příklad R(x) = Příklad R(x) = x 2 + 7x + 4 x 3 + 2x 2 16x 32 x 2 + 5x 5 x 3 + 3x 2 6x 8 x 2 + 6x 10 x 3 + x 2 16x 16 R(x) = 2 x x x 4 R(x) = 2 x x x + 4 R(x) = 0,5 x x 4 + 0,5 x + 4 R(x) = 1 x ,5 x 2 + 0,5 x + 4 R(x) = 1 x ,75 x 4 + 0,75 x + 4
107 Dvojnásobný reálný kořen jmenovatele Příklad R(x) = 4x 2 8x x 3 5x 2 + 7x 3 R(x) = 1 x (x 1) x 3 Příklad R(x) = 4x2 10x + 12 x 3 2x 2 4x + 8 Příklad R(x) = 4x2 + 14x + 4 x 3 + 2x 2 4x 8 Příklad R(x) = 4x2 + 9x 4 x 3 + 3x 2 4 Příklad R(x) = 4x2 + 3x 20 x 3 + x 2 8x 12 R(x) = 1 x (x 2) x + 2 R(x) = 1 x (x + 2) x 2 R(x) = 3 x (x + 2) x 1 R(x) = 3 x (x + 2) x 3
108 Příklad R(x) = 4x2 6x 2 x 3 x 2 5x 3 R(x) = 3 x (x + 1) x 3 Příklad R(x) = 4x 2 33x 11 x 3 10x 2 23x 12 R(x) = 3 x (x + 1) x 12 Příklad R(x) = 5x2 18x 20 x 3 6x R(x) = 4 x (x 4) x + 2 Příklad R(x) = 10x2 83x x 3 12x x 50 Příklad R(x) = 2x 2 22x + 62 x 3 14x x 96 R(x) = 7 x (x 5) x 2 R(x) = 1,5 x (x 4) + 0,5 2 x 6 Příklad R(x) = 2x2 3x + 4 x 3 48x 128 R(x) = 1,25 x (x + 4) + 0,75 2 x 8
109 Trojnásobný reálný kořen jmenovatele Příklad R(x) = x x 3 3x 2 + 3x 1 R(x) = 1 x (x 1) (x 1) 3 Příklad R(x) = 8x2 + 18x + 6 x 3 + 3x 2 + 3x + 1 Příklad R(x) = 7x2 30x + 11 x 3 6x x 8 Příklad R(x) = 6x2 + 23x + 7 x 3 + 6x x + 8 Příklad R(x) = 6x2 37x + 19 x 3 9x x 27 R(x) = 8 x (x + 1) (x + 1) 3 R(x) = 7 x (x 2) (x 2) 3 R(x) = 6 x (x + 2) (x + 2) 3 R(x) = 6 x (x 3) (x 3) 3
110 Příklad R(x) = 4x2 + 26x + 14 x 3 + 9x x + 27 R(x) = 4 x (x + 3) (x + 3) 3 Příklad R(x) = Příklad R(x) = Příklad R(x) = Příklad R(x) = Příklad R(x) = 3x x + 3 x 3 12x x 64 3x x + 5 x x x x 2 83x 7 x 3 15x x 125 9x x + 1 x x x x 2 10x + 27 x 3 18x x 216 R(x) = 3 x (x 4) (x 4) 3 R(x) = 3 x (x + 4) (x + 4) 3 R(x) = 9 x (x 5) (x 5) 3 R(x) = 9 x (x + 5) (x + 5) 3 R(x) = 1 x (x 6) (x 6) 3
111 Komplexně sdružené kořeny jmenovatele Příklad R(x) = 3x2 + 1 x 3 + x 2 R(x) = 1 x 1 + 2x + 1 x 2 + x + 2 Příklad R(x) = 3x 2 x 3 + 2x 2 + 4x + 3 R(x) = 1 x x 3 x 2 + x + 3 Příklad R(x) = x2 6x x 3 + 2x + 3 R(x) = 1 x x 3 x 2 x + 3 Příklad R(x) = 8x2 24x + 13 x 3 5x 2 + 7x 12 Příklad R(x) = 4x2 + x + 10 x 3 2x 2 6x 8 Příklad R(x) = 5x2 + 5x + 14 x 3 + 3x 2 7x + 15 R(x) = 3 x 4 + 5x 1 x 2 1x + 3 R(x) = 3 x 4 + x 1 x 2 + 2x + 2 R(x) = 3 x x + 1 x 2 2x + 3
112 Příklad R(x) = 3x 2 4x 11 x 3 2x 2 11x 20 R(x) = 1 x 5 + 2x + 3 x 2 + 3x + 4 Příklad R(x) = x2 + 11x 1 x 3 + 2x 2 3x 10 Příklad R(x) = x2 3x + 15 x 3 2x 2 3x + 10 Příklad R(x) = 2x2 15x 32 x 3 18x 35 Příklad R(x) = 2x 2 + 3x 5 x 3 + 2x 2 2x 12 Příklad R(x) = 2x2 + 8x + 19 x 3 10x + 24 R(x) = R(x) = 1 x 2 + 2x + 3 x 2 + 4x + 5 R(x) = 1 x x + 5 x 2 4x x 5 + 3x + 5 x 2 + 5x + 7 R(x) = 0,5 x 2 + 1,5x + 4 x 2 + 4x + 6 R(x) = 0,5 x ,5x + 4 x 2 4x + 6
113 Obecné kořeny jmenovatele Příklad R(x) = x3 + 14x 2 3x 24 x 4 x 3 7x 2 + x + 6 Příklad R(x) = 2x4 3x 3 10x 2 37x 12 x 5 x 4 10x 3 5x 2 21x + 36 R(x) = 1 x x x 2 + x + 3 R(x) = 1 x x x x 3 Příklad R(x) = 10x2 16 x 4 5x Příklad R(x) = 2x2 + 8x + 20 x 3 8x + 32 R(x) = 1 x x x 2 + R(x) = 0,5 x ,5x + 4 x 2 4x x + 2 Příklad R(x) = x 2 + 9x 63 x 3 3x 2 36x R(x) = 1 x 3 + 0,75 x 6 + 0,75 x + 6
114 6. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou 6.1. Lagrangeův interpolační mnohočlen Určete (Lagrangeův) mnohočlen procházející všemi zadanými body: Příklad ; 5, 0; 1, 1; 4, 2; 15. L(x) = x 3 + x 2 + x + 1 Příklad ; 13, 0; 1, 1; 2, 2; 7. L(x) = x 3 x 2 + x + 1 Příklad ; 10, 0; 4, 1; 5, 2; 10. L(x) = x 3 x 2 + x + 4 Příklad ; 11, 0; 9, 1; 5, 2; 9. L(x) = x 3 + 2x 2 + x 9 Příklad ; 1, 0; 7, 1; 5, 2; 9. L(x) = x 3 + 3x 2 2x 7 Příklad ; 9, 0; 5, 1; 9, 2; 13. L(x) = 3x 3 + 4x 2 11x 5
115 Příklad ; 9, 0; 3, 1; 6, 2; 9. L(x) = 2x 3 + 3x 2 8x 3 Příklad ; 5, 1; 0, 1; 4, 2; 15. L(x) = x 3 + x 2 + x + 1 Příklad ; 13, 1; 2, 1; 2, 2; 7. L(x) = x 3 x 2 + x + 1 Příklad ; 10, 1; 1, 1; 5, 2; 10. L(x) = x 3 x 2 + x + 4 Příklad ; 11, 1; 9, 1; 5, 2; 9. L(x) = x 3 + 2x 2 + x 9 Příklad ; 1, 1; 3, 1; 5, 2; 9. L(x) = x 3 + 3x 2 2x 7 Příklad ; 9, 1; 7, 1; 9, 2; 13. L(x) = 3x 3 + 4x 2 11x 5 Příklad ; 9, 1; 6, 1; 6, 2; 9. L(x) = 2x 3 + 3x 2 8x 3 Příklad ; 5, 1; 0, 0; 1, 2; 15. L(x) = x 3 + x 2 + x + 1
116 Příklad ; 13, 1; 2, 0; 1, 2; 7. L(x) = x 3 x 2 + x + 1 Příklad ; 10, 1; 1, 0; 4, 1; 5, 2; 10. L(x) = x 3 x 2 + x + 4 Příklad ; 11, 1; 9, 0; 9, 1; 5, 2; 9. L(x) = x 3 + 2x 2 + x 9 Příklad ; 1, 1; 3, 0; 7, 2; 9. L(x) = x 3 + 3x 2 2x 7 Příklad ; 9, 1; 7, 0; 5, 2; 13. L(x) = 3x 3 + 4x 2 11x 5 Příklad ; 9, 1; 6, 0; 3, 2; 9. L(x) = 2x 3 + 3x 2 8x 3 Příklad ; 9, 1; 5, 0; 3, 1; 6. L(x) = 1,5x 3 + 2,5x 2 7x 3 Příklad ; 9, 1; 5, 0; 2, 1; 6. L(x) = x 3 + 1,5x 2 6,5x 2 Příklad ; 5, 0; 4, 1; 5, 2; 11. L(x) = 1,5x 3 + 4x 2 6,5x 4
117 Příklad ; 5, 0; 4, 1; 4, 2; 11. L(x) = x 3 + 4,5x 2 5,5x 4 Příklad ; 5, 0; 4, 1; 5, 2; 10. L(x) = 1,333x 3 + 4x 2 6,333x 4 Příklad ; 3, 0; 8, 1; 5, 2; 5. L(x) = 0,167x 3 + 4x 2 0,822x 8 Příklad ; 1, 1; 4, 0; 7, 1; 9. L(x) = 0,167x 3 + 0,5x 2 2,333x 7 Příklad ; 1, 2; 0, 1; 3, 0; 9. L(x) = 0,167x 3 x 2 7,167x 9 Příklad ; 8, 3; 5, 2; 8, 1; 2. L(x) = 0,167x 3 3,5x 2 17,667x 12 Příklad ; 8, 3; 5, 2; 8, 1; 6. L(x) = 0,833x 3 + 2,5x 2 0,333x + 4 Příklad ; 8, 1; 3, 0; 0, 1; 4. L(x) = 0,833x 3 + 3,5x 2 0,333x Příklad ; 4, 0; 1, 1; 2, 2; 9. L(x) = 0,667x 3 + 4x 2 + 0,333x 1
118 6.2. Lineární aproximace metodou nejmenších čtverců Metodou nejmenších čterců určete lineární aproximaci následujících funkcí daných tabulkami: Příklad Příklad Příklad Příklad x y x y x y x y y = 2x + 1 y = x + 3 y = x + 1 y = x + 3
119 Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad x y x y x y x y x y x y y = x + 2 y = 2x 1 y = 3x 8 y = 2x + 9 y = 2x + 3 y = 3x + 1
120 Příklad Příklad x y x y y = x 2 y = 2x 2 Příklad Příklad Příklad Příklad x y x y x y x y y = x 3 y = 2x + 7 y = 3x 5 y = 3x 1
121 Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad x y x y x y x y x y x y y = 4x 3 y = 4x + 9 y = 5x + 1 y = 5x y = 2x + 3 y = 4,632x + 2,158
122 Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad x y x y x y x y x y y = 2,368x + 1,526 y = 1,368x + 3,895 y = 0,632x + 1,158 y = 3,368x 8,947 y = 4,368x 2,842 Příklad x y y = 4,632x 0,474
123 6.3. Kvadratická aproximace metodou nejmenších čtverců Metodou nejmenších čterců určete kvadratickou aproximaci následujících funkcí daných tabulkami: Příklad Příklad Příklad x y x y x y y = 3x 2 3x 9 y = 2x 2 + 4x 7 y = x 2 7x 6 Příklad x y y = x 2 + 5x
124 Příklad Příklad x y x y y = 3x 2 3x 7 y = 2x 2 + 4x 3 Příklad Příklad Příklad Příklad x y x y x y x y y = x 2 + 5x 2 y = 4x 2 3x + 7 y = 5x 2 + 8x 4 y = 2x 2 + 8x + 1
125 Příklad Příklad x y x y y = 3x 2 3x + 1 y = 2x 2 + 5x + 1 Příklad Příklad Příklad Příklad x y x y x y x y y = 4x 2 x 9 y = 5x x + 1 y = x 2 4x + 1 y = x 2 + 4x + 1
126 Příklad x y y = 3x 2 4x 9 Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad x y x y x y x y x y y = x 2 + 4x + 3 y = 2x 2 + 4x + 7 y = 4x 2 + 6x 1 y = 3,667x 2 + 5x 1,667 y = 3,667x 2 + 0,667x 7
127 Příklad Příklad x y x y y = 1,667x 2 + 0,667x 7 y = 1,667x 2 + 3,667x 5 Příklad Příklad Příklad Příklad x y x y x y x y y = 2,333x 2 5x + 2,333 y = 2,333x 2 5,667x + 1 y = 2,667x 2 + 5,333x + 1 y = 2,667x 2 + 6x 4,667
128 7. Bankovní produkty 7.1. Jednorázové (termínované) VKLADY Příklad Chci si co nejvýhodněji uložit kapitál na 5 let. U banky A nabízejí úrokovou sazbu 2,1 % p. a. s tím, že úročí každý týden. U banky B nabízejí úrokovou sazbu 2,2 % p. a. s tím, že ale úročí jen jednou ročně. Která banka mi nabídla lepší zhodnocení? Zhodnocení A =. 1,111 zhodnocení B =. 1,115 Příklad Vložím na konto Kč u banky, která úročí každý měsíc se sazbou 2 % p. a. Jaký bude stav konta za tři a půl roku? Stav konta: Kč Příklad Vložím na konto Kč u banky, která úročí čtyřikrát do roka se sazbou 1,5 % p. a. Jaký bude stav konta za šest a čtvrt roku? Stav konta: Kč
129 Příklad Vložím na konto Kč u banky, která úročí dvakrát do roka se sazbou 1,1 % p. a. Jaký bude stav konta za pět a půl roku? Stav konta: Kč Příklad Chci si co nejvýhodněji uložit Kč na 6 let. Banka A úročí každý měsíc se sazbou 1 % p. a. Banka B úročí jednou ročně se sazbou 1 % p. a. Jaký bude konečný stav konta v každé z bank? Stav konta u banky A = Kč stav konta u banky B =. 31,846 Kč. Příklad Vložím na konto Kč u banky, která úročí každý měsíc se sazbou 1,7 % p. a. Jaký bude stav konta za pět a půl roku? Stav konta: Kč Příklad Chci si co nejvýhodněji uložit kapitál na 2 roky. Banka A úročí každý den se sazbou 4,1 % p. a. Banka B úročí jednou ročně se sazbou 4,2 % p. a. Která banka mi nabídla lepší zhodnocení? Zhodnocení A =. 1,085 zhodnocení B =. 1,086 Příklad Vložím na konto Kč u banky, která úročí čtyřikrát ročně se sazbou 1,3 % p. a. Jaký bude stav konta za dvanáct a půl roku? Stav konta: Kč
130 7.2. Pravidelné úložky (vklady) SPOŘENÍ Příklad Jakou částku musím posílat na účet každý měsíc, abych po třech letech měl na kontě (přesně) ,39 Kč, když úroková sazba banky je 1 % p. a.? Kč Příklad Je pravdou, že při pravidelném měsíčním vkladu Kč budu mít po třech letech (3 rocích) na kontě více jak Kč, když úroková sazba banky činí 1 % p. a.? ANO stav konta: Kč Příklad Je pravdou, že při pravidelném měsíčním vkladu Kč budu mít po čtyřech letech (4 rocích) na kontě alespoň Kč, když banka garantuje úrokovou sazbu 2 % p. a.? NE stav konta: Kč Příklad Je pravdou, že při pravidelném měsíčním vkladu Kč budu mít po třech letech (3 rocích) na kontě alespoň Kč, když banka garantuje úrokovou sazbu 2,7 % p. a.? ANO stav konta: Kč
131 Příklad Je pravdou, že při pravidelném měsíčním vkladu Kč budu mít po pěti letech (5 rocích) na kontě alespoň Kč, když banka garantuje úrokovou sazbu 2,1 % p. a.? NE stav konta: Kč Příklad Je pravdou, že při pravidelném měsíčním vkladu Kč budu mít po třech letech (3 rocích) na kontě alespoň Kč, když banka garantuje úrokovou sazbu 1,2 % p. a.? ANO stav konta: Kč Příklad Je pravdou, že při pravidelném měsíčním vkladu Kč budu mít po sedmi letech (7 rocích) na kontě alespoň Kč, když banka garantuje úrokovou sazbu 2,3 % p. a.? ANO stav konta: Kč Příklad Je pravdou, že při pravidelném měsíčním vkladu Kč budu mít po šesti letech (6 rocích) na kontě alespoň Kč, když banka garantuje úrokovou sazbu 2,3 % p. a.? NE stav konta: Kč
132 7.3. Pravidelné výběry DŮCHODY Příklad Kolik musím vložit do banky, která úročí se sazbou 2 % p. a., abych mohl po tříletém odkladu čerpat výplaty pěti tisíc Kč každý měsíc po dobu deseti let? ,35 Kč Příklad Je pravdou, že když nyní vložím jednorázově částku Kč, budu mít za dvanáct let (12 roků) pravidelný příspěvek k důchodu (tj. měsíčně) Kč po dobu 10 let, když banka garantuje úrokovou sazbu 1,9 % p. a.? ANO: vložím více o 160 Kč Příklad Je pravdou, že když nyní vložím jednorázově částku Kč, budu mít za osm let (8 roků) pravidelný příspěvek k důchodu (tj. měsíčně) Kč po dobu 9 let, když banka garantuje úrokovou sazbu 2,8 % p. a.? ANO: vložím více o 208 Kč Příklad Je pravdou, že když nyní vložím jednorázově částku Kč, budu mít za pět let (5 roků) pravidelný příspěvek k důchodu (tj. měsíčně) Kč po dobu 7 let, když banka garantuje úrokovou sazbu 1,9 % p. a.? NE: vložím méně o 368 Kč
133 Příklad Je pravdou, že když nyní vložím jednorázově částku Kč, budu mít za sedm let (7 roků) pravidelný příspěvek k důchodu (tj. měsíčně) Kč po dobu 10 let, když banka garantuje úrokovou sazbu 2,4 % p. a.? ANO: vložím více o 358 Kč Příklad Je pravdou, že když nyní vložím jednorázově částku Kč, budu mít za patnáct let (15 roků) pravidelný příspěvek k důchodu (tj. měsíčně) Kč po dobu 10 let, když banka garantuje úrokovou sazbu 2,3 % p. a.? ANO: vložím více o 694 Kč Příklad Je pravdou, že když nyní vložím jednorázově částku Kč, budu mít za deset let (10 roků) pravidelný příspěvek k důchodu (tj. měsíčně) 800 Kč po dobu 15 let, když banka garantuje úrokovou sazbu 2,1 % p. a.? NE: vložím méně o 288 Kč Příklad Je pravdou, že když nyní vložím jednorázově částku Kč, budu mít za osm let (8 roků) pravidelný příspěvek k důchodu (tj. měsíčně) Kč po dobu 13 let, když banka garantuje úrokovou sazbu 1,9 % p. a.? NE: vložím méně o 181 Kč
134 7.4. Hypotéky, půjčky ÚVĚRY Příklad Stačí mi 3 roční splátky po Kč na splacení celého úvěru ve výši Kč u banky, která úročí se sazbou 5 % p. a.? Bude chybět 51 Kč. Příklad Sestavte splátkový kalendář pro umořování dluhu Kč, kdy požadujeme úvěr splatit čtyřmi ročními splátkami s úrokovou sazbou 5 % p. a. Roční splátka: 8 499,84 Kč. Příklad Stačí mi 3 roční splátky po Kč na splacení celého úvěru ve výši Kč u banky, která úročí se sazbou 3,3 % p. a.? Budou chybět 2 Kč. Příklad Sestavte splátkový kalendář pro umořování dluhu Kč, kdy požadujeme úvěr splatit čtyřmi ročními splátkami s úrokovou sazbou 3,3 % p. a. Roční splátka: ,19 Kč. Příklad Stačí mi 4 roční splátky po Kč na splacení celého úvěru ve výši Kč u banky, která úročí se sazbou 2,6 % p. a.? Poslední splátka bude Kč.
Program SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y
VIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)
Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor
1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v
Elementární funkce. Polynomy
Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179
Matematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a
DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x
6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina
Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení
Matematika I: Pracovní listy do cvičení
Matematika I: Pracovní listy do cvičení Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Základy matematiky pracovní listy
Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky
FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY - CVIČENÍ
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí)
Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 /
II. 3. Speciální integrační metody
48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II.. Speciální integrační metody Integrály typu f ( x, r x, r x,..., r k x ), tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k N a r,..., r k jsou
soubor FUNKCÍ příručka pro studenty
soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá
ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru
Úvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
Matematika. Obálka ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE MASARYKŮV ÚSTAV VYŠŠÍCH STUDIÍ. Bakalářský program: Ekonomika a management
Matematika Obálka ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE MASARYKŮV ÚSTAV VYŠŠÍCH STUDIÍ Bakalářský program: Ekonomika a management Matematika doc. RNDr. Stanislav Kračmar, CSc. www.muvs.cvut.cz Evropský
Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................
MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie
MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,
Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8
1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace
Bakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Numerická matematika Písemky
Numerická matematika Písemky Bodování Každá písemka je bodována maximálně 20 body. Celkem student může získat za písemky až 40 bodů, pro udělení zápočtu musí získat minimálně 20 bodů. Písemka č. 1 Dva
MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18
MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,
Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a
Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i
Zadání. Goniometrie a trigonometrie
GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Zadání Sestrojte graf funkce. Určete definiční obor R, obor hodnot H, určete interval, v němž funkce roste, v němž klesá. Určete souřadnice průsečíků s osou x a s osou y. )
Funkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
2 ab. ), (ii) (1, 2, 3), (iii) ( 3α+8,α+12,6α 16
Řešení úloh... Hroch dostane 80 mg prvního a 80 mg druhého přípravku.. V hospodě je 0 čtyřmístných šestimístných a osmimístné stoly.. i) pro ab právě jedno řešení: x = 5b ab y = a+5 ab pro a = 5 ab = nekonečně
f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
Kapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
Funkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika AA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2005 () Jsou dány matice A = AB BA. [ AB BA
ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A
ČTVERCOVÉ MTICE Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det() značíme determinant čtvercové matice Regulární matice hodnost je rovna jejímu řádu determinant je
Kapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
Cyklometrické funkce
Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),
Algebraické výrazy-ii
Algebraické výrazy-ii Jednou ze základních úprav mnohočlenů je jejich rozklad na součin mnohočlenů nižšího stupně. Ne všechny mnohočleny lze na součin rozložit. Pro provedení rozkladu můžeme použít: 1.
z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
Kapitola1. Lineární lomená funkce Kvadratická funkce Mocninná funkce s obecným reálným exponentem Funkce n-tá odmocnina...
Kapitola1 Základní soubor funkcí v R Lineární funkce.......................................................... 1-1 Kvadratická funkce...................................................... 1-2 Mocninná
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Matematika 2 pro PEF PaE
Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
Jméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů... Varianta A
æ æ Jméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů.......... Varianta A 4 3 2 1 2 8 0 1 0 3 1. Vzhledem k reálnému parametru a diskutujte hodnost matice 2 1 0 1 2. 0 1 2 1 2 4 3 1 1 a 2.
. Určete hodnotu neznámé x tak, aby
Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 206 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 2 Příklad. (3b) Binární operace je definovaná jako a b = a+b a b. Určete hodnotu
Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
METODICKÝ NÁVOD MODULU
Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
Soustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
A0B01LAA Lineární algebra a aplikace (příklady na cvičení- řešení)
A0B0LAA Lineární algebra a aplikace příklady na cvičení- řešení Martin Hadrava martin@hadrava.eu. ledna 0.týdenod9.9. Řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou diskuse počtu řešení..
SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu
VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava
VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,
0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19
Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie
Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,
Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (
(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce
MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last
Matematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b
008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly
FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 017, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé
2. Vlastnosti elementárních funkcí, složené, inverzní a cyklometrické funkce,
. Určete vlastnosti funkcí: (i) f : y = x (ii) f : y = x 4 (iii) f : y = cotgx (iv) f 4 : y = arccosx (v) f 5 : y = 4 x (vi) f 6 : y = ( 4 )x (vii) f 7 : y = lnx (viii) f 8 : y = x. Uveďte příklad: (i)
ÚlohykpřednášceNMAG101a120: Lineární algebra a geometrie 1,
ÚlohykpřednášceNMAGa: Lineární algebra a geometrie 5 Verzezedne9.prosince Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se budou
TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY
TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY Studijní obor: 23-41 - M/01 Strojírenství Zaměření: Předmět: Matematika Ročník: 1. Počet hodin 4 Počet hodin celkem: 136 týdně: Tento plán vychází z Rámcového vzdělávacího programu
P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a
Úvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 80 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus.
![(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus.](/thumbs/93/112057876.jpg "(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus.")
(1 [B] Nechť A : R 6 R 6 je lineární zobrazební takové, že A 26 = I. Najděte lineární prostory V 1, V 2 a V 3 takové, že R 6 = V 1 V 2 V 3 dim V 1 = dim V 2 = dim V 3 AV 1 V 1, AV 2 V 2 a AV 3 V 3 (2 [B]
1. Písemka skupina A...
. Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce
MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY
MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
Teorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
Soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Matematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:
KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku
2. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy:
![2. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy:](/thumbs/83/88308670.jpg "2. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy:")
Sbírka příkladů z polynomů pro předmět Cvičení z algebry I Dělení v okruzích polynomů 1. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy a) (x 5 + x 3 2x + 1) : ( x 3 + x + 1), b) (3x 3 + 10x 2 + 2x 3) : (5x 2 + 25x