ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA MATHEMATICA V MATEMATIKA 2

Transkript

1 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA MATHEMATICA V MATEMATIKA 2 Matematika jako prostředí pro rozvoj osobnosti žáka primární školy Sborník příspěvků z konference s mezinárodní účastí Mathematics as a Background of Personality Development of a Primary School Student The Conference Proceedings OLOMOUC 2006

2 Anotace Sborník obsahuje p ísp vky ú astník v decké konference s mezinárodní ú astí, která se pod názvem Matematika jako prost edí pro rozvoj osobnosti žáka primární školy konala ve dnech na Pedagogické fakult UP v Olomouci. Výstupy v deckovýzkumné, odborné a pedagogické innosti ú astník reflektují aktuální problémy matematické p ípravy u itel primárních škol i školské praxe. Sborník obsahuje p ísp vky zvaných p ednášejících a p ísp vky v sekcích (recenzovaná a nerecenzovaná ást). Cíl a zam ení konference Prezentace p vodních výsledk v decké a odborné práce v oblasti matematiky a didaktiky matematiky, zam ené na využití v p íprav u itel primárních škol. Vým na zkušeností z v decké i pedagogické práce na pracovištích v R a zahrani í a u itel z praxe. Seznámení s novými trendy a perspektivami matematického vyu ování na pozadí prom n primárního vzd lávání. Hlavní témata konference Matematické vzd lávání z pohledu žáka primární školy. ICT žák student u itel. Rozvoj oborových i didaktických kompetencí budoucího u itele matematiky. Abstract The conference proceedings consist of contribution the conference participants. The conference Mathematics as a background of personality developmentof a primary school student took place at the Pedagogical Faculty of Palacky University in Olomouc from 19 th to 21 th April Aims of the conference Presentation of research in the field of Mathematics and Methodology of Mathematics focusing teacher training education at primary level. Sharing scientific and pedagogical experiences among the teachers from the Czech Republic and abroad. Discussing the latest trends and perspectives in teaching Mathematics at primary level. Programový výbor/ Program committee Helena Siwek (Krakov), Adam Plocki (Krakov), George Malaty (Joensuu), Ondrej Šedivý (Nitra), Pavol Hanzel (Banská Bystrica), Alena Nelešovská (Olomouc), Alena Hošpesová ( eské Bud jovice), Jana Coufalová (Plze ), Bohumil Novák (Olomouc). Organiza ní výbor/organizing committee Anna Stopenová, Bohumil Novák, Jitka Laitochová, David Nocar, Jind iška Eberová, Jitka Hoda ová, Dita Navrátilová. Za p vodnost a správnost jednotlivých p ísp vk odpovídají jejich auto i. P ísp vky neprošly redak ní ani jazykovou úpravou. Editor Martina Uhlí ová, 2006 ISBN

3 OBSAH Úvodem... 7 Plenární p ednášky Boero Paolo Students' everyday experience and teaching and learning of mathematics.. 10 Scherer Petra Low achievers doing mathematics opportunities and challenges Spilková Vladimíra Klí ové trendy v prom nách vzd lávání u itel primárních škol po roce Recenzovaná ást Bártek Kv toslav Po íta ová didaktická hra rozvíjející matematické schopnosti žáka na 1. stupni ZŠ B lík Miroslav Dít u itel matematické vzd lání Beránek Jaroslav Pickova v ta v p íprav budoucích u itel 1. stupn ZŠ Bere nicka Ma gorzata Edukacja aksjologiczna jako antidotum na problemy wiata a bariery w pracy nauczyciela.. 46 Blažková R žena Rozvoj osobnosti žák s poruchami u ení v matematice Brinckova Jaroslava Motiva ný prístup k objasneniu pojmu funkcia a delite nos ísel na 1. stupni ZŠ Cihlá Ji í Detektiv s kalkulátorem periody v rozvojích racionálních ísel 61 Coufalová Jana, Tu ková Ladislava Problémy v matematice p i p echodu žák základní školy z 1. stupn na 2. stupe Eberová Jind iška, Stopenová Anna Když se ekne matematika Gerová ubica, Klenov an Pavel Riešenie praktických situácií a rozvoj matematickej gramotnosti 78 Hahn Christiane Aktiv - entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht der Grundschule 84 Híc Pavel, Pokorný Milan Skúsenosti s e-learningom pri príprave budúcich u ite ov ZŠ 87 Híc Pavel, Sotáková Kristína, Pokorný Milan Výsledky prieskumu názorov u ite ov na sú asne platné u ebné osnovy matematiky na 1. stupni ZŠ Hlavá ková Jitka Inovativní p ístupy ve vyu ovacím procesu... 97

4 Hoda ová Jitka Vizualizace geometrie na 1. stupni základní školy Holubová Drahomíra Enviromentální výchova ve vyu ování matematice na 1. stupni základní školy 103 Hošpesová Alena Vytvá ení komunikativních kompetencí žák v matematice na 1. stupni ZŠ Hotová Eva Žák s nadáním pro matematiku a jeho charakteristika Jan a ík Antonín Hry a hlavolamy v p íprav budoucích u itel matematiky Kaslová Michaela Transformace komunika ních kód ve vyu ování matematice v prvním ro níku ZŠ. 120 Ková ik Štefan Slovné úlohy zo života vo vyu ovaní matematiky 126 Krej ová Eva Kompetence a kooperativní u ení Kubátová Eva, Novák Bohumil Žáci, u itelé, rodi e a matematika Machá ková Jana, Tichá Marie Po stopách rozvíjení kompetencí u itel ; pohledy zevnit i zvenku Májová Jitka Výchova k evropanství v u ivu matematiky Melichar Jan Entropie ve výuce matematiky na 1. stupni základní školy Nawolska Barbara, d o Joanna Postawy studentów pedagogiky wobec uczniowskich b dów. 152 Novák Bohumil, Kubátová Eva Obrazoé reprezentace v žákovském ešení jedné sout žní úlohy Partová Edita Po ítadlá a vývoj algoritmov základných aritmetických operácií Pedersen Vivi, Gjone Gunnar The 2003 test in mathematics for 9th grade in Oslo P chou ková Šárka Reprezentace p irozeného ísla Perný Jaroslav Prostorová p edstavivost a sí t lesa P ocki Adam Funkcja i jej ró ne prezentacje w szkolnej stochastyce a operatywny charakter matematyki 184 Prídavková Alena Didaktické prostriedky pre prácu s nadanými žiakmi 193 Prídavková Alena, Scholtzová Iveta Matematická edukácia v kontexte postupu žiaka z primárneho na sekundárny stupe vzdelávania 197 P íhonská Jana Konstruktivismus v odhalování metody íslování Rašková Miluše Matematika a výchova k rovným p íležitostem pro muže a ženy

5 Ruppeldtova Janka Interpreta ná dominanta riešenia slovnej úlohy Seidel Jolanta Znaczenie pracy domowej z matematyki w aktywizowaniu uczniów m odszych 218 Scholtzová Iveta Jedna cesta od odborných k didaktickým kompetenciám u ite a - elementaristu 224 Scholtzová Iveta, Ze ová Veronika Matematický diktát jedna z ciest rozvoja matematickej gramotnosti žiaka primárnej školy. 229 Schubertová Slavomíra K prostorové p edstavivosti žák primárního vzd lávání. 234 Siwek Helena Efektywno kszta cenia matematycznego dzieci klas I-III w Polsce 239 Skalková Radka Využití motivace jako nástroje u itele k upoutání žákovy pozornosti 243 Slaninka František Špecifické problémy tvorby pedagogického softvéru pre elementárnu matematiku 247 Sobieszczyk Maria Nabywanie kompetencji nyuczycielskich w praktikach pedagogicznych Šedivý Ondrej Pomáha vyu ovanie matematiky pripravova žiaka na život? 255 Šim íková Edita Matematické kompetencie za ínajúceho u ite a - elementaristu 262 Tomková Blanka Problémy u ite ov preelementaristov pri rozvíjaní matematických predstáv 267 Tržilová Dana ešení slovních úloh pomocí Excelu Uhlí ová Martina Eduka ní role ICT Urbanska Aleksandra Dzieci ce pytania o liczby 282 Va urová Milena Pohled žák na matematiku a jeho zm na 287 Zdráhal Tomáš Modular Arithmetic. 291 Žilková Monika Intuitívny poh ad na nieko ko problémov z pravdepodobnosti o ami detí 295 Žilková Katarína Oscilácia medzi abstrakciou a realitou. 301 Nerecenzovaná ást Jarošová Dana N kolik poznámek k p edm tové integraci na 1. stupni ZŠ 308 Mokriš Marek Sú až z matematiky a matematická edukácia.. 311

6 Sebínová Katarína Modul Tvorivé dielne v LMS Moodle Stopenová Anna K matematickým p edstavám v u itelství pro mate ské školy. 320 Seznam recenzent.. 324

7 ÚVODEM Po dvou letech se op t setkávají u itelé vysokých i základních škol, jejichž hlavním objektem zájmu je matematika ve vysokoškolské p íprav u itel, ve starobylé moravské Olomouci. V decká konference s mezinárodní ú astí se koná pod názvem Matematika jako prost edí pro rozvoj osobnosti žáka primární školy v roce 60. výro í obnovení olomouckého vysokého školství. Má své místo v pestré mozaice aktivit, kterými si tento významný akt Univerzita Palackého p ipomíná. Po ádá ji Katedra matematiky Pedagogické fakulty UP spolu s pracovní skupinou pro matematiku na 1. stupni ZŠ SUMA - Spole nosti u itel matematiky J MF. Každoro ní konference zam ené na výuku matematiky na fakultách p ipravujících u itele primární školy mají již svou historii a tradici. Za átkem 90. let byly z iniciativy n kolika p edních eskoslovenských odborník v didaktice matematiky uskute n ny pracovní seminá e, které se staly místem v cné konfrontace p ístup a t íbení názor jednotlivých pracoviš na transformaci primárního matematického vzd lávání a na dominanty matematické p ípravy budoucích u itel. Charakter seminá se postupn m nil. Stávaly se stále ast ji místem prezentace výsledk v deckých a výzkumných projekt jednotlivc i pracovních tým. Vhodnou a vítanou p íležitost k porovnání zkušeností a poznatk ve srovnatelných podmínkách p ípravy u itel matematiky umož ovala také ú ast zahrani ních ú astník - p edevším z Polska, ale i dalších evropských zemí. Letos p ivítáme v Olomouci krom zástupc prakticky všech pedagogických fakult v eské a Slovenské republice kolegy z vysokoškolských pracoviš v Polsku, Finsku, N mecku, Rakousku, Itálii a Norsku. Konference se ú astní také n kolik u itel primárních škol nejen z regionu p sobnosti olomoucké fakulty. Uvedenou skute nost považujeme za konkrétní doklad p ímé spolupráce akademického pracovišt se školskou praxí, spolupráce p i ak ním výzkumu v prost edí reálného vyu ování jako moderní výzkumné metody obohacující ob strany. K napln ní zám r konference p isp la ada aktivních spolupracovník, len programového a organiza ního výboru, recenzent p ísp vk a mnoho dalších. Záštitu nad konferencí p evzala d kanka Pedagogické fakulty Univerzity Palackého prof. PaedDr. Libuše Ludíková, CSc., které pat í dík organizátor z katedry matematiky i všech ú astník za projevenou pozornost a všestrannou podporu. Sborník p ísp vk jednotlivých ú astník je vydán Vydavatelstvím Univerzity Palackého jako jeden z titul ady Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Obsahuje plenární vystoupení pozvaných p ednášejících a všechny další p ísp vky ve t ech tematických okruzích: Matematické vzd lávání z pohledu žáka primární školy, ICT - žák - student - u itel, Rozvoj oborových i didaktických kompetencí budoucího u itele matematiky. Jednotlivé p ísp vky jsou zna n r znorodé. P inášejí mnoho inspirací, zkušeností, nápad, pohlížejí na matematické vzd lávání a strategii výuky matematiky na primárním stupni i ve vysokoškolské p íprav u itel z r zných úhl. Všechny ale mají podle mého názoru n co spole ného. Tím spole ným a dominantním znakem je p esv d ení autor, že matematické vyu ování se m že stát prost edím, v n mž se kultivuje osobnost žáka a studenta. Prost edím, kde se - ve shod s tématem konference - sv t matematiky stává sv tem tvo ivé práce, p íležitostí k rozvíjení potencialit dít te. Sv tem, do n hož dve e sice otevírá u itel, ale vchází žák sám. Bohumil Novák 7

8

9 PLENÁRNÍ P EDNÁŠKY

10 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V STUDENTS' EVERYDAY EXPERIENCE AND TEACHING AND LEARNING OF MATHEMATICS Paolo BOERO Abstract In my speech, I will argue that the main contribution of mathematics education to intellectual development and cultural preparation of new generations does not consist in the education to rigour, abstraction, precision, mental concentration, or in the utility of mathematical tools for life. Other activities in school can work better in order to attain those goals: for instance, the use of computer (in programming activities as well as in the use of softwares, or Internet) needs a high level of rigour, precision and mental concentration, and students can directly perceive the necessity of those qualities (even without any teachers' mediation). Grammar, philosophy, as well as other human sciences need a very high level of abstraction. After third grade, the main contribution of mathematics education in general education is not to provide students with useful tools for everyday life and professions: today most of the usual "useful" mathematical tools taught from grade IV on are "incorporated" in suitable and cheap easy-to-use softwares. In my speech, I will argue that the main contribution of mathematics education to intellectual development and cultural preparation of new generations depends on a specific character of mathematics - the fact of being a crucial component of western rationality. Conjecturing, proving, modelling (in order to interpret natural and social phenomena, and forecast their evolution), theorising are important "rational" behaviours (according to Habermas' idea of rationality), and important components of mathematics; they should become the core of mathematics education from Grade I on. I will provide some examples about how to keep this principle into account in primary school. ZKUŠENOSTI STUDENT S VYU OVÁNÍM MATEMATIKY A U ENÍM SE Abstrakt Ve svém p ísp vku se pokusím ukázat, že hlavní p ínos matematického vzd lávání pro intelektuální rozvoj a kulturní p ípravu nových generací nespo ívá ve vzd lávání k rigoróznosti, abstrakci, p esnosti, mentální koncentraci nebo v užite nosti matematických nástroj v b žném život. K dosažení takových cíl mohou lépe sloužit jiné školní aktivity: nap íklad používání po íta e (p i programování i p i b žném užívání softwaru nebo internetu) vyžaduje zna nou dávku rigoróznosti, p esnosti a mentální koncentrace, což studenti sami p ímo poci ují (aniž by je na to u itel musel upozornit). Gramatika, filozofie i jiné spole enské v dy zase vyžadují velkou míru abstrakce. Od t etí t ídy není hlavním úkolem matematického vzd lávání v rámci všeobecného vzd lávání poskytnout žák m užite né nástroje pro každodenní život nebo profesi: v tšina obvyklých užite ných matematických nástroj, které se u í od tvrté 10

11 t ídy, jsou dnes b žnou sou ástí snadno ovladatelných a levných po íta ových program. Ve svém p ísp vku se pokusím ukázat, že hlavní p ínos matematického vzd lávání pro intelektuální rozvoj a kulturní p ípravu nových generací spo ívá ve specifi nosti matematiky: matematika zaujímá d ležitou pozici v rámci západního myšlení. Odhadování, dokazování, modelování, (které slouží k interpretaci p írodních a sociálních jev a k p edvídání jejich vývoje), vytvá ení teorií jsou d ležité racionální postupy (podle Habermasovy teorie racionality) a jsou také nezbytnými složkami matematického myšlení; m ly by se stát jádrem matematického vzd lávání už od první t ídy. Uvedu n které p íklady, jak vzít tyto principy v úvahu p i primárním vzd lávání. Contact address Prof. Paolo Boero Dipartimento Matematica Universit Via Dodecaneso, GENOVA ITALIA tel.: ; (cell.) fax: boero@dima.unige.it 11

12 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V LOW ACHIEVERS DOING MATHEMATICS OPPORTUNITIES AND CHALLENGES Petra SCHERER Abstract With regard to low achievers, in Germany one can state that those children mostly have problems in mathematics and German language. A widespread teaching practice for students with special needs can still be characterized as step-by-step learning in a rather mechanistic and reproductive way, often without using pupils real abilities. Several studies and experiences in general have confirmed that investigative learning is appropriate especially for children with special needs. Investigative learning does not only include challenging problem solving activities but more general active acquisition of knowledge in contrast to passive reception. The lecture will present examples for different topics. It will also stress the chances for improving pupils selfconfidence as well as competences like general thinking strategies or self-reliance. That could effect positively other subjects and the whole life. SLABÍ ŽÁCI SE U Í MATEMATICE MOŽNOSTI A VÝZVY Abstrakt Co se tý e slabých žák, m žeme konstatovat, že v N mecku tyto d ti mají p evážn problém s matematikou a n m inou. P evládající zp sob vyu ování žák se specifickými pot ebami m že být ješt stále charakterizován jako pon kud mechanistická a reproduktivní výuka krok za krokem, asto nevyužívající skute ných schopností žák. etné studie i b žná praxe ukazují, že investigativní u ení je zvlášt vhodné práv pro žáky se speciálními pot ebami. Investigativní u ení nezahrnuje pouze ešení problém a úloh, ale obecn ji spo ívá v aktivním osvojování si znalostí spíše než v pasivním p ijímání informací. V p ednášce budou uvedeny p íklady pro r zná témata. Také zd razníme možnosti podpo it sebev domí žák, ale také jejich kompetence, jako jsou obecné strategie usuzování nebo sob sta nost. To by mohlo pozitivn ovlivnit ostatní p edm ty i celý další život. Contact address Prof. Dr. Petra Scherer Universität Bielefeld Fakultät für Mathematik Postfach D Bielefeld Tel.: 0049/521/ Fax: 0049/521/ E -mail: petra.scherer@uni-bielefeld.de 12

13 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V KLÍ OVÉ TRENDY V PROM NÁCH VZD LÁVÁNÍ U ITEL PRIMÁRNÍCH ŠKOL PO ROCE 1989 Vladimíra SPILKOVÁ Abstrakt V p ísp vku jsou reflektovány d sledky, které má transformace primárního vzd lávání pro prom ny v pojetí profese, rolí a kompetencí u itele.jsou analyzována základní východiska prom n p ípravného vzd lávání u itel primárních škol v eské republice na pozadí klí ových trend v zemích Evropské unie. Jsou prezentovány výsledky ak ních výzkum ov ujících ú innost nových strategií rozvoje profesní identity a podpory v tvorb studentova pojetí výuky prost ednictvím konstruktivistických p ístup a sebereflektivních technik. KEY TRENDS IN THE TRANSFORMATION OF THE PRIMARY SCHOOL TEACHER EDUCATION AFTER THE YEAR 1989 Abstract The paper is devoted to a reflection of the consequences of the transformation in the primary education for the changes in the conception of the teaching profession, of the roles and competencies of the teacher. There is an analysis of the basic principles of the current changes in the preparatory primary school teacher education in the Czech Republic on the basis of the key trends in the EU countries. The paper presents the results of the action research verifying the effectiveness of the innovative strategies aiming at the development of the professional identity and the student s conception of teaching through the constructivist approaches and self-reflection techniques. Prom ny v pojetí primárního vzd lávání po roce 1989 eské školství prochází od za átku devadesátých let hlubokou transformací. V kontextu vývoje v posledních desetiletích by m lo jít o zásadní zm nu paradigmatu, o koperníkovský obrat v pojetí vzd lávání, v pojetí funkcí a klí ových cíl školy, v pojetí kvalitní výuky z hlediska cíl, obsahu a strategií vyu ování a u ení, v pojetí podstaty u itelské profese apod. Primární vzd lávání je oblastí, ve které se projektované zm ny za ínají výrazn promítat jak v teorii - antropologická orientace primární pedagogiky jako pedagogiky orientované na dít (Spilková, 2005), jako pedocentrismu nové generace (Helus, 2004) oproti tradi nímu pojetí tzv. bezd tné pedagogiky, pedagogiky bez dít te, tak také v realit školní praxe (odhaduje se, že zhruba % primárních škol pracuje v intencích nového pojetí). Klí ovým principem prom ny primární školy a primárního vzd lávání je idea humanizace (Helus, 1991, 2003, Lukášová 2003, Spilková 1997, 2005), která zd raz uje pojetí školy jako služby dít ti, pomoci v jeho rozvoji, jako místa, kde jsou 13

14 vytvá eny situace k celistvé a všestranné kultivaci d tské osobnosti a p íležitosti k rozvíjení potencialit, které v každém dít ti jsou. Rozvíjení d tské osobnosti ve škole je pojímáno jako jeho vzd lávání v nejširším významu tohoto slova, tedy jako uvád ní do poznání, zprost edkovávání spole enských hodnot a norem, jako kultivace sociálních vztah, kognitivních, emocionálních, volních a mravních kvalit dít te, jako rozvíjení identity a sebed v ry, probouzení zájm a motivace k u ení apod. D ležitý je apel na individualizaci vzd lávání, snaha o dosažení maxima v rozvoji každého žáka vzhledem k jeho individuálním možnostem. Zásadní význam má zm na v hierarchii cíl vzd lávání namísto tradi ní triády v domosti, dovednosti, návyky s d razem na v domosti vyvážený z etel k dovednostem, postoj m, hodnotám a v domostem, tedy k rozvoji kognitivnímu, emo nímu, volnímu, sociálnímu a mravnímu. V této oblasti lze pozorovat výrazný vliv (o emž sv d í jak asté citace v pedagogické literatu e, tak odkazy v dokumentech vzd lávací politiky) tzv. Delorsovy zprávy Mezinárodní komise UNESCO U ení je skryté bohatství a zde formulovaných ty pilí, ty klí ových cíl vzd lávání u it se poznávat, u it se jednat, u it se žít spole n s ostatními, u it se být kterým má škola v novat stejnou pozornost (Delors 1996). Významnou zm nou je v eském kontextu posledních desetiletí (ale sou asn návratem ke starší tradici primární školy v období reformní pedagogiky ve 20. a 30. letech dvacátého století) p edevším deklarovaný odklon od p ece ování d razu na p edávání velkého množství poznatk v hotové podob a jejich pam tné osvojování. V oblasti kognitivního rozvoje jde zejména o konstruování poznatk na základ vlastní innosti, o porozum ní a schopnost jejich použití, o získávání nástroj k dalšímu poznávání, tedy o rozvoj myšlenkových operací, zejména vyšších úrovní myšlení. Význam je p ikládán také propojování kognitivních a afektivních aspekt u ení (confluent education Brown 1971), což p ináší apel na kvalitu prožívání ve škole, na vytvá ení pozitivních emocí nap. radost, t šení se, pocit bezpe í a eliminaci negativních emocí (pocity strachu, ohrožení, nejistoty). V nových kurikulárních dokumentech pro základní vzd lávání je za základní cíl vzd lávání považován rozvoj klí ových kompetencí, chápaných jako soubor komplexních zp sobilostí využitelných v život i dalším vzd lávání, konkrétn ji nap. kompetence kvalitn komunikovat, spolupracovat, tvo iv ešit problémy, pracovat s informacemi. Co se tý e prom n v obsahu primárního vzd lávání, prosazuje se tendence koncipovat ho více než dosud vzhledem k pot ebám a vývojovým možnostem d tí mladšího školního v ku. V nových kurikulárních dokumentech jde o jistou redukci p edimenzovaného obsahu u iva v p edcházejících dokumentech - Standard základního vzd lávání a vzd lávací program Základní škola. P i výb ru základního u iva se stává klí ovou otázka smysluplnosti u iva, otázka pro je ur itá dimenze obsahu d ležitá pro rozvoj žákovy osobnosti, co vlastn umí, když umí to i ono, jaký to má smysl, k emu je to dobré. Za inspirativní je v tomto sm ru považována teorie exemplárního vyu ování (Klafki 1967), která vychází z p edpokladu, že cílem poznávání není kvantita, ale kvalita, tedy výb r kategoriálních, reprezentativních poznatk, které jako exempla budou reprezentovat celé oblasti poznání..do takto vybraného u iva mohou pak žáci skute n pronikat, prožívat, porozum t smyslu toho, co se u í, aktivn se s ním vyrovnat tak, že se stane prost edkem jejich dalšího rozvoje. M ní se také p ístup ke strukturaci u iva namísto len ní do tradi ních u ebních p edm t se prosazuje uspo ádání do ší eji pojatých vzd lávacích oblastí s cílem 14

15 podpo it obsahovou integraci, chápání vztah a mezioborových souvislostí a propojování poznatk a školního u ení s reálnými životními situacemi. Vnit ní reforma primární školy p edpokládá vedle prom ny v pojetí cíl a obsahu vzd lávání také (možná dokonce p edevším) výraznou prom nu proces vyu ování a u ení. (Spilková 1997, Walterová 2004). Nové kurikulární dokumenty zd raz ují, že pro dosahování nov pojatých cíl je rozhodující kvalita proces vzd lávání - kvalitní komunikace mezi u itelem a žáky, školou a rodi i, u iteli navzájem, kvalitní sociální klima t ídy i celé školy (význam tzv. skrytého kurikula), aktivní metody a strategie výuky, vhodné zp soby hodnocení žák apod. Klí em k prom n školy v širším m ítku je tedy nová didaktická koncepce výuky (Spilková 2005). Obrat k dít ti, zm ny v pojetí dít te a docen ní významu kvalitn prožitého d tství pro další život mají zásadní vliv na prom ny pojetí dít te v roli žáka, na p ístup u itele k n mu, na prom ny v komunikaci a interakci ve škole. Základem je partnerský p ístup k dít ti, založený na úct, respektu, vzájemné d v e, toleranci, na porozum ní pot ebám dít te a citlivé orientaci v n m. Za klí ovou podmínku kvalitní komunikace mezi u itelem a žáky (a klí ový faktor osobnostního rozvoje žák v bec) je považován princip bezpodmíne ného pozitivního p ijetí druhého (Rogers 1983), strategie podpory a pozitivního povzbuzování. Nové, na dít orientované pojetí vyu ování zd raz uje také význam kvalitního sociálního a emocionálního klimatu školy a t ídy pro osobnostní rozvoj žák, zejména pro kultivaci hodnot, postoj, motivace, sebev domí a sebeúcty. Pé e o kulturu školy, kvalitní klima školy jsou dnes celosv tov považovány za jeden z klí ových znak dobré, kvalitní školy (vliv klimatu t ídy na procesy i výsledky u ení žák v nejširším slova smyslu byl potvrzen i výzkumn - Mortimore 1989, Hopkins 1990, Scheerens- Blummelhuis 1996), v kontextu vývoje eského školství a pedagogiky v posledních desetiletích je však tento akcent relativn nový. D raz je kladen také na kvalitu komunikace a spolupráce mezi školou a rodinou, mezi u itelem a rodi i žák. Cílem je vytvo ení partnerského vztahu založeného na vzájemném respektu, d v e, otev enosti, sdílené odpov dnosti. Rodi e a u itel jsou považováni za rovnocenné a vzájemn nezastupitelné partnery a rodi e jako primární vychovatelé d tí mají právo spolupodílet se na všem, co se ve škole a t íd d je. Z hlediska charakteru poznávacích proces je za klí ový považován odklon od tradi ního, transmisivního pojetí vyu ování, jehož podstatou je p edávání poznatk v hotové podob s d razem na jejich pam tné osvojování prost ednictvím verbálních metod a frontální organizace výuky ke konstruktivistickým, resp. resp. sociokonstruktivistickým p ístup m (Tonucci 1991, GFEN 1991, Cornu, Vergnioux 1992, Štech 1992, Kasíková 1994, Lukášová 2003, Spilková 1997, 2005). Ty kladou d raz na dialogi nost výstavby poznání, které se odehrává vždy v sociálním kontextu, zejména v komunikaci a interakci se spolužáky a u itelem, a autenti nost poznání - "já" jako subjekt originální tvorby poznatku (význam hledání, objevování a konstruování poznání na základ vlastní innosti, zkušenosti, prožitku). D ležitým rysem konstruktivistického pojetí vyu ování je respektování tzv. blízké zkušenosti dít te. Školní práce za íná vždy od toho, co d ti reáln znají, o em mají p edstavy a s ím mají zkušenosti. U ení je pak prohlubováním a rekonstrukcí toho, co už d ti v n jaké podob znají. T žišt m je p ekonávání rozpor (mezi d ív jšími a sou asnými poznatky, mezi r znými stanovisky jednotlivých žák ) a epistemologických zlom (opušt ní dosavadního zp sobu uvažování). Žák je stav n do pozice badatele, výzkumníka - je zd raz ováno pochybování, kladení otázek, výzkumné hledání odpov dí, vyhledávání problém a tvo ení hypotéz. 15

16 To p edpokládá prom nu tradi ní školní t ídy, v níž jsou žáci pasivními recipienty informací s limitovanými schopnostmi tyto informace dále produktivn používat i rozvíjet, v badatelskou komunitu (community of inquiry ) s d razem na sociální dimenzi u ení. V badatelské komunit studenti naslouchají jeden druhému s respektem, staví vzájemn na svých myšlenkách, vyjad ují pochybnosti jeden druhému, pomáhají jeden druhému formulovat názory (Lipman 1991, s.15). Konstruktivistické pojetí vyu ovacího procesu p edpokládá adekvátní volbu metod vyu ování a u ení. D raz je kladen na innostní metody, které umož ují u iteli vytvá et p íležitosti pro samostatné a tvo ivé innosti žák, pro uplatn ní vyšších úrovní myšlení, zejména kritického myšlení, vytvá et problémové situace, v nichž žáci samostatn nebo ve spolupráci s ostatními a s r znou mírou pomoci u itele hledají ešení, pracují s r znými zdroji informací, diskutují, vysv tlují, argumentují apod. Konkrétními metodami, které jsou cen ny v innostním pojetí vyu ování, jsou ešení problémových úkol, projekty, dialogické metody, diskuse, myšlenkové mapy, brainstorming, tvo ivá hra, dramatizace, experimentování. Aktivním vyu ovacím metodám odpovídá i organizace vyu ování - d raz je kladen na skupinové formy práce, kooperativní u ení. P estože teorie a výzkum kooperativní výuky, kooperativního u ení (cooperative learning) má dlouhou tradici v Evrop i Americe, (v posledních t iceti letech je kooperativní u ení celosv tov považováno za nejrozší en jší inovaci vyu ování - Johnson, Johnson 1994), je v eské pedagogické teorii toto téma systematicky elaborováno teprve v posledních n kolika letech (Kasíková 2001). Docen ní klí ové role sociální interakce ve vzd lávání má v eském kontextu zásadní význam, nebo dlouhá léta v teorii i praxi dominovala frontální, hromadná forma výuky, kdy u itel pracuje s celou t ídou jako jednou skupinou. V kooperativní výuce jde o zhodnocení potenciálu, který v sob skrývá systematické využívání vztah spolupráce mezi žáky pro zkvalitn ní u ení každého z nich. e eno slovy L.S.Vygotského : Co dnes dokáže dít ve spolupráci s druhými, dokáže zítra samo. (Vygotskij 1976). Kooperativní formy výuky eliminují dosud dominantní prvky sout živosti, které jsou typické pro tradi ní, transmisivní vyu ování. Dalším charakteristickým znakem nového pojetí vyu ování je zp sob hodnocení žák - oproti kvantitativnímu, normativnímu, srovnávacímu hodnocení se prosazuje pojetí kvalitativní, formativní, individualizované, diagnostické a intervenující (Lukášová 2003, Slavík 1999, Lukavská 2003, Spilková 2005). V našem kontextu je významným posunem pojetí hodnocení jako p irozené sou ásti u ení, založené na posuzování žáka v autentických situacích (autentické hodnocení) a ne pouze na hodnocení výkon ve speciáln p ipravených zkouškových situacích. D ležitým znakem je otev enost hodnocení v i vývoji, tedy d raz na pr b žné hodnocení, které je zam eno na procesy u ení (nejen na jeho výsledky, což bylo u nás typické) a na pravidelné poskytování zp tné vazby o pr b hu u ení. Na základ všestranné analýzy (shromaž ování informací dokumentujících pokroky v u ení i problémy a potíže) promýšlí u itel širší souvislosti, hledá p í iny, uvažuje o prognóze a spole n se žáky a rodi i plánuje další kroky jejich individuálního rozvoje, konkrétní zásahy ve prosp ch úsp šnosti každého žáka. V d í princip na dít orientovaného pojetí vyu ování individualizace - se promítá také do pojetí hodnocení žáka na základ individuální vztahové normy. Hodnocení žák vzhledem k jejich individuálním p edpoklad m a možnostem a ve vztahu k vlastním p edcházejícím výkon m je výraznou zm nou, nebo v eské pedagogice je siln zako en na tradice hodnocení na základ srovnávání žák navzájem. Nové pojetí klade 16

17 d raz na to, aby hodnocení dávalo perspektivu úsp chu všem žák m, aby vytvá elo p íznivý vztah mezi prožitky úsp chu a neúsp chu. Pozitivní orientace hodnocení, povzbuzování a oce ování snahy a úsilí, orientace na úsp chy žáka a pokroky (co už umí, co zvládá, co se mu da í) je v našem kontextu spíše neobvyklým principem. Za d ležitý a také relativn nový vzhledem k tradici je považován d raz na komplexnost hodnocení, na všestranné posouzení celku osobnosti z hlediska r zných aspekt, jako je nap. kvalita a porozum ní poznatk m, úrove myšlenkových proces a u ebních strategií, míra samostatnosti, odpov dnosti, pracovního úsilí, vytrvalosti v ešení obtížných úkol, tvo ivosti v innostech, stupe rozvoje dovedností komunikativních a kooperativních, schopnosti pomoci druhým. Je vyzdvihován také význam vedení k aktivnímu podílu žák na hodnocení, d raz na sebehodnocení, vzájemné hodnocení žák a zapojení rodi do proces hodnocení. Jde o vytvá ení podmínek k p echodu od heteronomního hodnocení (hodnocení u ebních inností zvn jšku, u itel má monopol na hodnocení žák ) k autonomnímu hodnocení (žák hodnotí sám sebe, rozumí kritériím hodnocení, umí hodnocení vysv tlit, event. obhájit Slavík 1999). Prom ny v pojetí profese, rolí a klí ových kompetencí u itele Nový koncept primárního vzd lávání s d razem na osobnostn rozvíjející dimenzi implikuje nové pojetí profese, zm nu rolí a klí ových kompetencí u itele. V d ím principem se stává profesionalizace u itelství, posun v pojetí profese - od modelu tzv. minimální kompetence, jehož t žišt spo ívá v co nejefektivn jším p edáváním poznatk, k modelu tzv. široké profesionality. Jde zejména o rozší ení p sobnosti u itele, jeho podílu na socializaci a celkové kultivaci d tské osobnosti, zvýšení profesní autonomie a odpov dnosti za d ti, za identifikaci a rozvíjení vývojových a individuálních možností d tí, za výsledky u ení v nejširším slova smyslu (Spilková 1997, 2004, Vašutová 2004). V tomto pojetí jsou kladeny nové nároky také na dovednost u itele p esáhnout vlastní t ídu, školu, osobní zkušenost, na dovednost zp tn analyzovat a reflektovat svou innost, následn ji m nit, vyvíjet a inovovat, na dovednost vysv tlit, zd vodnit, zobecnit, zasadit do širších kontext, teoreticky argumentovat svou práci, své pojetí výuky, na dovednost spolupracovat s kolegy, rodi i a širším sociálním okolím. Model široké profesionality p edstavuje výzvu k hledání nové profesní identity založené na nových hodnotách u itelské profese. Výrazné impulzy k tomuto tématu p inášejí práce H.Lukášové (2003), která p i formulování princip nového paradigmatu u itelské profese zd raz uje hodnoty lidství, lidskosti a duchovní dimenze u itelství. Model široké profesionality znamená také výraznou prom nu u itelských rolí. U itel primární školy už není jen ten, kdo sd luje, ídí, rozhoduje, kontroluje, ale je chápán p edevším jako facilitátor žákova vývoje a u ení, který vytvá í kvalitní vzd lávací situace a podmínky pro žákovo úsp šné u ení, jako citlivý diagnostik v odhalování individuálních zvláštností d tí, který se snaží dotáhnout každého žáka ke stropu jeho možností, jako pr vodce na cest za poznáním, který uvádí do v cí, pomáhá orientovat se v okolním sv t, inspiruje, podn cuje, pomáhá budovat sebed v ru, sebeúctu apod. Pojetí u itele primární školy jako odborníka, který usnad uje u ení a pomáhá dít ti v individuálním rozvoji, vyžaduje posun v profesních kompetencích - od d íve dominantní kompetence oborové, p edm tové ke kompetenci pedagogické a psychodidaktické (posun od co u it ke koho a jak u it). D raz je kladen na dovednost didaktické transformace obsahu u iva vzhledem k v kovým a individuálním zvláštnostem d tí, dovednosti motivovat k poznávání, aktivizovat myšlení, vytvá et 17

18 p íznivé sociální, emocionální a pracovní klima apod. Za d ležité jsou považovány také kompetence komunikativní (zde nejde jen o novou kvalitu vztahu u itel - dít, ale také o kultivaci komunikace se sv tem dosp lých - s rodi i, kolegy, nad ízenými a jinými sociálními partnery školy). R st pedagogické autonomie školy a u itele s sebou nese nové nároky na schopnost u itele prezentovat, fundovan argumentovat a vysv tlovat své pojetí práce. Za další d ležité kompetence jsou považovány kompetence diagnostická a interven ní (jak žák myslí, cítí, jedná, jaké to má p í iny, kde má problémy a jak mu lze pomoci..). Sou asné zm ny v oblasti primárního vzd lávání zvyšují nároky na tuto kompetenci (trend k integraci handicapovaných, slovní hodnocení žák ). Zvláštní význam je p ipisován kompetenci sebereflexe a teoretické reflexe praktických zkušeností. Dovednost p emýšlet nad svou prací, kriticky ji analyzovat ve vztahu k zamýšleným cíl m a dosahovaným výsledk m, um ní vyvodit z toho d sledky a následn m nit strategie je považována za jeden z ur ujících znak profesionality u itele a jeho profesního r stu. (Zatímco v zahrani í je tento trend v posledních 20 letech výrazný, u nás se teprve za íná prosazovat). Základní východiska reformy vzd lávání u itel primárních škol Klí ovým konceptem je výrazná profesionalizace vzd lávání této kategorie u itel. Jádrem profesionalizace u itelského vzd lávání je zprost edkování profesního, specializovaného, expertního v d ní, poznání (professional knowledge Shulman 1987) jako znalostního (teoretického) základu vyu ování (knowledge base of teaching), jako nástroje k hlubšímu pochopení, promýšlení a ešení praktických problém a reálných situací, jako východiska k prezentaci a argumentaci vlastního pojetí výuky. Základním znakem u itele jako profesionála, jako experta na u ení a vyu ování je, že professional knowledge tvo í základnu jeho praktické innosti rozhodovacích proces, akce i její reflexe. Sv t teorie a praxe je propojen (permanentní komunikace mezi teoretickým a praktickým v d ním, implicitním a explicitním, subjektivními a objektivními teoriemi). U itel je schopen teoretické reflexe praktických zkušeností, je schopen zv domování, racionalizace, verbalizace intuitivních, implicitních, skrytých, zaml ených p edpoklad rozhodování a jednání. Je schopen porozum t souvislostem, kontextu, obecn jším zákonitostem. L.Shulman uvádí 7 oblastí profesních, expertních znalostí znalosti p edm tové/ oborové, obecn pedagogické (principy a strategie výuky), znalost kurikula (programy, materiály, u ebnice), oborov didaktické znalosti didaktická znalost obsahu (porozum ní obsahu vzd lání a zp soby jeho interpretace d tem), znalost žák a jejich charakteristik (vývojových i individuálních), znalost kontext vzd lávání (sociokulturní kontexty rodina, zp sob ízení školy, školský systém..), znalost cíl, zám r, klí ových hodnot ve vzd lávání a jejich filozofické a historické zázemí. Také u nás probíhala od za átku devadesátých let diskuse o tom, co má být jádrem profesního, expertního v d ní, co je nosné a d ležité pro dobrý výkon profese ve zvyšujících se nárocích spojených s prom nou školy, tedy co má být obsahem u itelského vzd lávání. V p ípad vzd lávání u itel primárních škol (na rozdíl od u itelství pro sekundární školy) se idea profesionalizace postupn promítla do kurikula (v celostátním m ítku) výraznou zm nou proporcí mezi klí ovými dimenzemi studia. T žišt je v pedagogicko-psychologické a oborov didaktické p íprav, oborová, p edm tová p íprava (odborný základ p íslušných vyu ovacích p edm t ) je sekundární úrovní studia. Za d ležitou je považována také osobnostn - kultiva ní složka studia. Z hlediska obsahu je vzhledem k multidisciplinárnosti studia zd razn n také princip 18

19 integrace, hledání užšího propojení mezi pedagogicko-psychologickými disciplínami a oborovými didaktikami, uvnit oborových didaktik, vztah mezi oborovou a didaktickou p ípravou apod. Sou asná zm na v obsahových akcentech p edstavuje radikální zásah a odklon od tradice - po celou dobu existence tohoto vysokoškolského oboru dominovalo Chlupovo pojetí vzd lávání u itel s d razem na oborovou, p edm tovou p ípravu. Nyní se stává východiskem koncept P íhod v s pojetím u itele jako v deckého pracovníka v pedagogicko-psychologických oborech, oborových didaktikách a tomu odpovídající p ípravy. Propracování t chto východisek m lo význam nejen pro nový model studia, ale bylo d ležité pro náležitou argumentaci p i obhajování univerzitního magisterského vzd lávání pro u itele primárních škol. Od roku 1990 došlo n kolikrát k jeho zpochybn ní, v etn konkrétních úvah MŠMT o bakalá ském neuniverzitním studiu pro tuto kategorii u itel. Práv v profesionalizaci u itelské profese a v d razu na pedagogickou a psychodidaktickou p ípravu je legitimován požadavek na univerzitní vzd lání. Zatímco v p ípad oborové, p edm tové složky lze tento požadavek zpochyb ovat (obsah primárního vzd lání je velmi jednoduchý), u pedagogickopsychologického vzd lání lze t žko zd vodnit rozdíly v jeho úrovni pro u itele pracující s d tmi r zného v ku. Z této logiky vychází také koncept univerzitního vzd lání pro u itele d tí p edškolního v ku. Dalším významným teoretickým východiskem sou asných prom n je personalistická koncepce u itelského vzd lání, která klade d raz na co nejbohatší osobnostní rozvoj studenta/u itele, kultivaci v oblasti citlivé rozum jící a srozumitelné komunikace se žáky, rodi i, kolegy, na porozum ní a pochopení druhých lidí, empatii, spolupráci, toleranci a respekt k r znosti, d raz na rozvoj kritického a nezávislého myšlení. Pro kultivaci sociální kompetence jsou významné impulsy humanistické psychologie a pedagogiky, zejm. pojetí C.Rogerse (1983) a jeho klí ových p edpoklad k u itelství v podob fundamentálních vlastností u itele: up ímnost, bezprost ednost ve vztahu k d tem, autenticita u itele, schopnost bezpodmíne ného akceptování žáka jako lov ka bez p edb žných podmínek, schopnost vcít ní se a porozum ní pocitovému a myšlenkovému sv tu d tí. Personalistická koncepce akcentuje také rozvoj sebereflexe, autoregulace, sebetvorby. Porozum ní sob samému je základní cestou k porozum ní a pochopení druhých lidí. Sebereflexe, sebeuv domování je d ležitým p edpokladem k autoregulaci a k úsilí o vnit ní rozvoj. Jde p edevším o navození pot eby pracovat na sob, o postoje a rozhodnutí typu Co se sebou chci ud lat, o budu usilovat, s ím se budu identifikovat.. Sebereflexe podporuje p ijetí zodpov dnosti za to, jaký jsem a jaký bych cht l být, co d lám a co svým jednáním zp sobuji, k p ijetí zodpov dnosti za vlastní rozvoj osobnosti ve smyslu lidského i profesního já. Zodpov dnost za sebe a sv j rozvoj je p edpokladem k p ijetí (spolu)odpov dnosti za dít p ed rodi i, spole ností, sebou samým (a to nejen ve smyslu kognitivního rozvoje, ale i mravního, emocionálního apod.). Význam personaliza ní dimenze ve vzd lávání u itel je výstižn vyjád en G.Moskowitzovou (1978): Jaké v tší znalosti m žeme student m dát než znalosti jich samých? Další klí ové koncepty - koncept u itele jako reflektivního praktika (reflective practitioner), u itele výzkumníka (teacher researcher of one s own practice) a reflektivního vyu ování (reflective teaching) (Schön 1983, Pollard 2001, Lasley 1992, McNeil-Turner 1992) lze ve zkratce charakterizovat následujícím zp sobem: 19

20 U itel je schopen kriticky prozkoumávat vlastní innost, analyzovat ji, interpretovat, hodnotit (ve vztahu k cíl m, zám r m), p emýšlet nad d sledky své innosti (zesílení odpov dnosti za dít a výsledky u ení v nejširším slova smyslu), je schopen teoretické reflexe praktických zkušeností (dát je do kontextu teorie, vysv tlit, argumentovat). To znamená klást si otázky typu: Co, jak a pro jsem d lal, s jakými zám ry a o ekáváními, s jakými výsledky, co a pro se mi poda ilo, kde byly problémy a kritické body a pro, jak by se to dalo d lat jinak, s jakými p edpokládanými efekty, s jakými riziky? U itel je schopen p emýšlet a analyzovat, co je za jeho inností (jaké názory, postoje, hodnoty, p esv d ení, p edsudky, vlastní zkušenosti a zážitky (tacit knowledge, knowledge in action). Toto ak ní, praktické v d ní, které je v tšinou intuitivní, pocitové, neuv domované (a p itom vlivné), je t eba prost ednictvím sebereflexe (v širším záb ru nejen, co jsem d lal, ale také pro a co je za tím) verbalizovat (p ivést tacit knowledge k e i) a zv domovat. Toto objas ování skrytých, zaml ených p edpoklad rozhodování a jednání u itele (nutnost slovn formulovat, p esn pojmenovat ne zcela jasné, n kdy jen poci ované i tušené) je klí em k hlubšímu porozum ní vlastní innosti, chápání souvislostí, p í in a následk apod. Dalším významným konceptem je konstruktivismus, resp. sociokonstruktivismus. Konstruktivistická koncepce u itelského vzd lávání klade d raz na konstruující se subjektivitu studenta u itelství, který je považován za hlavního aktéra svého profesního vývoje a (spolu)tv rce své profesní identity (Kincheloe 1993, Pollard 2001, Hustler - Intyre 1996, Calderhead 1989) Hlavním cílem p ípravy student v tomto pojetí je pomoc a podpora v individualizovaném procesu postupného stávání se u itelem, který je chápán jako aktivní konstruování a tvo ivé osvojování u itelské profese na základ vlastní innosti, vlastních zkušeností, vlastního hledání a sebeobjevování v roli u itele a na základ spolupráce s kolegy studenty i u iteli. Považuje se za d ležité, aby studenti u itelství byli schopni produkovat, resp. podílet se na vytvá ení nových znalostí (studenti u itelství jako active knowledge acquirers and producers Niemi 2004). D raz je kladen na ak ní výzkum ve vlastní t íd, který jim pomáhá získat zkušenosti s tvorbou nových poznatk a zvnit nit principy aktivního u ení a pedagogického konstruktivismu. Studenti u itelství se u í v roli výzkumníka získávat odstup od vlastní praxe, analyzovat konkrétní výukové situace a na základ toho modifikovat své strategie výuky, navrhovat alternativní ešení a opat ení ke zkvalitn ní výuky. Sociokonstruktivistické p ístupy kladou d raz na konstruování studentova profesního já ( professional self ) ve smyslu uv domování a vyjas ování si základní pedagogické filozofie, ideologie, profesních postoj a p esv d ení ( professional beliefs ). Tato obecná pedagogická filozofie (pojetí u itelství, pojetí, cíle a smysl výchovy, vzd lávání, školy, pojetí dít te emu v ím, co považuji za d ležité, o co budu ve své u itelské innosti usilovat apod.) je základem pro tvorbu studentova pojetí výuky (student teachers conception of teaching), které zásadním zp sobem ovliv uje uvažování, rozhodování a veškerou innost s d tmi v etn jejího hodnocení. Konstruování, tvorbu studentova pojetí výuky považujeme za st žejní cíl p ípravného vzd lávání u itel. Studentské pojetí výuky je mimo ádn d ležitou fází v dlouhodobém procesu utvá ení u itelova pojetí výuky Pojetí výuky (studentovo, u itelovo) je komplex názor, p esv d ení, postoj, hodnot, zám r, p ání, o ekávání, který je základnou pro veškerou profesní innost u itele/studenta u itelství. Je souborem zahrnujícím díl í pojetí r zných aspekt, nap. pojetí dít te, žáka a jeho 20

21 rozvoje, pojetí smyslu, rolí a funkcí školy, cíl a obsahu vzd lávání, pojetí metod a strategií u ení, pojetí u itelské profese a klí ových rolí u itele apod. (Mareš, Slavík, Svatoš, Švec 1996). P edpokládá se jistá hierarchie v této struktu e, dominance n kterých díl ích pojetí (nap. pojetí dít te a jeho rozvoje, cíl vzd lávání) a jejich vliv na pojetí ostatní. V eské pedagogice etablovaný termín u itelovo/studentovo pojetí výuky má v zahrani ní literatu e adu ekvivalent, nap. subjektivní teorie, u itelova implicitní teorie, implicitní znalosti, u itelovo myšlení, intuitivní koncepce vyu ování (p ehledn uvedeno in Janík 2005). Ve vývoji u itelova/studentova pojetí výuky lze rozlišit 3 základní fáze: 1. Prekoncepce (preconception) - p edb žné pojetí výuky v podob spontánn, asto živeln a intuitivn vzniklých názor, p edstav, postoj na základ vlastních prožitk z d tství a subjektivních zkušeností v roli žáka. V utvá ení prekoncepce výuky hraje významnou roli emocionální složka, pozitivní a negativní prožitky, r zné neuv domované pocity apod. Práv prožitková báze prekoncepce a silná emocionální angažovanost z ejm zp sobuje její relativní zakotvenost a ur itou rezistenci v i zm n. Studenti u itelství vstupují do u itelské p ípravy na fakult s r zn vyhran nou prekoncepcí výuky, výrazn ovlivn nou podobami školy a pojetími výuky, kterými procházeli na základní a st ední škole. Prekoncepce m že mít pozitivní nebo negativní podobu pojetí, velmi asto je kombinací pozitivních i negativních díl ích pojetí. 2. Krystalizující, asné (early conception) pojetí výuky základy vlastního pojetí výuky, které vzniká ve styku se školní realitou, s prvními zkušenostmi v roli u itele a ve styku s teoretickými pedagogicko-psychologickými poznatky. V r zné mí e zde ovšem interferují individuální prekoncepce výuky. Postupn se pojetí výuky propracovává, koriguje, obohacuje, restrukturuje. V této fázi je však stále ve velké mí e implicitní, intuitivní a relativn neuv domované ( tacit knowledge ) v podob jakési ak ní, praktické teorie, která sice bezprost edn ovliv uje a ídí innost studenta/u itele, ale obtížn se analyzuje a slovn vyjad uje. 3. Propracované, racionální, teoreticky reflektované, explicitní pojetí výuky, které se utvá í prost ednictvím systematické sebereflexe u itele/studenta a teoretické reflexe praktických zkušeností. V této fázi dochází ke zv domování, racionalizaci a verbalizaci implicitních, intuitivních tacit knowledge. P ivést toto tiché v d ní k e i, nutnost slovn formulovat ne zcela jasné, n kdy jen poci ované a tušené, je klí em k hlubšímu porozum ní vlastní innosti, chápání souvislostí, p í in a následk apod. Student/u itel je schopen se k vlastní innosti myšlenkov vracet a kriticky ji prozkoumávat, uv domovat si skryté, zaml ené p edpoklady svého jednání, konkrétních p ístup, rozhodovacích proces apod. (Co je za mou inností, jaké názory, p esv d ení, postoje, hodnotové orientace, vlastní zkušenosti a zážitky?). Elaborované, teoreticky podložené a racionáln argumentované pojetí výuky znamená, že vím, pro v ci d lám tak, jak je d lám, s jakými výsledky (ve vztahu k zamýšleným cíl m), co bych p íšt d lal jinak, s jakými p edpokládanými efekty a riziky, z eho p i své práci vycházím, o co se opírám, že dovedu vysv tlit své pojetí a argumentovat s oporou o teorii i nálezy pedagogického výzkumu, v em jsou jeho silné stránky apod. Tolik tedy k základním teoretickým východisk m, které byly v pr b hu devadesátých let v eské pedeutologii elaborovány a ovlivnily kurikulum a reálné prom ny vzd lávání u itel primárních škol. Podrobná reflexe vývoje a zm n v uplynulých 15 letech na pedagogických fakultách v eské republice v kontextu 21

22 západoevropských trend byla n kolikrát publikována (nap. Spilková 2004, 2005). Bilan ní analýzy p inášejí mnoho pozitivních nález dokladujících výrazné zm ny a zda ilé inovace, ale ukazují také problémy a kritická místa. Velké rezervy jsou na v tšin fakult v procesuální stránce, v pojetí metod a strategií výuky, v kvalit komunikace a sociálního klimatu. Zp sob, jakým je student p ipravován na u itelskou profesi, výrazn ovliv uje jeho budoucí pojetí výuky. Zm nit tradici verbálního p edávání poznatk v hotové podob (tedy zkracování poznávacího procesu, v n mž chybí objevování a vlastní myšlenkové úsilí) a frontální organizaci výuky lze považovat za jeden z nejd ležit jších úkol pro pedagogické fakulty do p íštích let. V tomto smyslu je velkou výzvou pro u itelské vzd lávání obecn metaforicky e eno p ekonat p evládající metaforu transmise a zm nit ji v metaforu konstrukce (Lindberg 1998). Chceme-li, aby sou asní studenti byli nositeli progresívních zm n ve školství, musí takové zm ny sami prožívat. M li by tedy pracovat v ur ité kultu e vztahu u itelžák, resp.student, v ur ité kultu e poznávacích proces, zažít výukové prost edí typu dílny, ateliéru, kde se tvo í, kde skute n vzniká poznání, kde se u í myslet, diskutovat, spolupracovat, hodnotit sebe i druhé. Tímto sm rem se také v posledních letech ubírají snahy o pokra ování v prom nách vzd lávání u itel primárních škol na Pedagogické fakult UK v Praze. Od roku 1999 (zejména v rámci ešení výzkumného zám ru v letech ) probíhá na kated e primární pedagogiky výzkum, jehož sou ástí je ov ování ú innosti vybraných inovativních p ístup k výuce. Konkrétn jde o nové pojetí výuky obecné didaktiky (konstruktivistické p ístupy, kultivace studentova pojetí výuky, rozvoj sebereflexe, za len ní prvk výzkumu do výuky, integrace teoretické a praktické složky výuky), prost edky osobnostního a sociálního rozvoje studenta, model prom ny oborové didaktiky, využití portfolia v r zných fázích studia, uplatn ní evropské dimenze ve vzd lávání u itel (podrobn ji in Spilková 2004). Výzkum konstruktivistických p ístup k rozvíjení profesní identity student v rámci výuky obecné didaktiky Východiska, cíle a metody výzkumu Základními teoretickými východisky ak ního výzkumu jsou personalistická a konstruktivistická koncepce u itelského vzd lání s d razem na pomoc a podporu student m v profesionaliza ním procesu stávání se u itelem a koncept reflektivního praktika a u itele výzkumníka. Základním cílem ak ního výzkumu bylo ov ování nových metod rozvíjení profesní identity student, zejména utvá ení jejich pojetí výuky prost ednictvím konstruktivistických p ístup a sebereflektivních technik. Vycházeli jsme z p edpokladu, že u student u itelství lze v pr b hu studia výrazn ovliv ovat jejich pojetí výuky - za ur itých podmínek a p i uplat ování specifických strategií a metod výuky. Polemizujeme tím s výsledky n kterých výzkum, které považují studentovo pojetí výuky za relativn stabilní a rezistentní v i zm nám, málo ovliv ované pedagogicko psychologickou teorií (Bird 1993, Goodman 1986). P edpokládáme, že výrazné zm ny u student u itelství jsou možné, pokud budou v pedagogicko psychologické p íprav využívány sociokonstruktivistické p ístupy (protože pracují s prekoncepty a mají vypracované strategie k jejich restrukturování) a v jejich rámci bude systematicky rozvíjena sebereflexe studenta a teoretická reflexe praktických problém. Perspektivnost konstruktivistických p ístup p i tvorb 22

23 studentova pojetí výuky byla prokázána n kterými výzkumy (Korthagen 1992, Valli 1997, Zuzovski 2001, Pollard 2001, Švec 1999). Podle našeho názoru mají rozhodující vliv na utvá ení studentova pojetí výuky metody zprost edkovávání profesních znalostí. Domníváme se, že tradi ní transmisivní zp soby výuky abstraktní, dekontextualizované a neosobní poznání bez vztahu ke konkrétnímu kontextu školní praxe i vlastním zkušenostem student jsou v tomto smyslu skute n minimáln ú inné. Základními metodami výzkumu byly pozorování, rozhovory a diskuse se studenty a u iteli fakultních škol, analýzy reflexivních deník student, mých reflektivních a sebereflektivních poznámek, studentských esejí, aktivit v seminá i, analýzy pedagogické innosti student ve škole v etn jejich reflexe a sebereflexe. Získaná data umož ují sledování vývoje profesní identity student v jejích individuálních podobách, zejména utvá ení studentova pojetí výuky v myšlenkové i reáln uplat ované podob v pr b hu vyu ovacích pokus. Realizace výzkumu Nové možnosti v rozvíjení profesní identity student byly ov ovány v rámci tzv. klinického dne, tedy výuky obecné didaktiky a u itelského praktika, které jsou nasazeny v jednom dni a umož ují tak variabilní organizaci výuky (celkem 7 hodin týdn, 4 hodiny praxe ve škole a 3 hodiny didaktiky v pr b hu 2 semestr ). Je vytvo ena stabilní skupina, složená z student, u itele fakulty a asi 5 u itel z praxe, která spolupracuje p i ešení praktických situací ve škole a souvisejících teoretických problém. Zhruba polovina praktické p ípravy je v nována vlastním vyu ovacím pokus m student. Všechny praktické zkušenosti (z pozorování i vlastní innosti v roli u itele) jsou podrobovány systematické teoretické reflexi a sebereflexi. Jsou základem veškeré innosti v seminá ích obecné didaktiky. N které seminá e probíhají za ú asti u itel, u nichž jsou studenti na praxi. Dominantním cílem výuky je pomoc v utvá ení individuálního pojetí vyu ování. Hned na za átku semestru vedeme studenty k poznávání (zv domování, verbalizaci) svých prekoncepcí výuky. Za nejd ležit jší metodu k identifikaci prekoncepce (awareness tool) považujeme reflektivní psaní v n kolika podobách: Volné, nezávislé psaní do pedagogického deníku (dekripce a reflexe veškeré praxe v pr b hu celého roku, individuální výpov di student o pozorování, prožívání, vlastních vyu ovacích aktivitách, hodnotící komentá e, otázky apod.) Tematické psaní (eseje na vybraná témata k vyjasn ní svých p edstav o škole, u iteli, žákovi, vyu ování Co pro m znamená dobrá, kvalitní škola, u itel, vyu ování?, Jaká je moje p edstava dobrého, milého žáka, event. nesympatického žáka?, Jaké cíle vzd lávání ve škole považuji za nejd ležit jší?, k sebereflexi v roli u itele Jaký jsem u itel? ). Iniciované psaní, podporované otázkami u itele (více cílených otázek k ur itému tématu, nap. k tématu domácí vzd lávání Jaký je Tv j názor na? Jaké jsou podle tebe p ednosti tohoto zp sobu vzd lávání, kde vidíš problémy a kritická místa? Co by ti Tvoji rodi e mohli zprost edkovat lépe než škola a co by naopak mohlo chyb t?, nebo k sebereflexi - Kdo jsem jako u itel? Co se mi da í, z eho mám radost, kde jsou mé meze, problémy Jak se cítím v roli u itele? Jakou cítím odpov dnost ve vztahu ke své innosti s d tmi, odpov dnost. za d ti? ) Nedokon ené v ty, které jsou student m nabídnuty k p emýšlení a dopln ní (Považuji za nejd ležit jší, aby m j žák Jako u itel nebudu trvat na tom, aby moji žáci Pro život je nejd ležit jší, aby si žáci ze školy odnesli ) 23

24 D ležitou metodou jsou také innosti zam ené na vybavování vzpomínek a prožitk z d tství (v podob písemné reflexe i ústního vyjád ení, v podob individuálních i skupinových aktivit), které pomáhají studentovi, aby porozum l dít ti v sob, aby si p ipomn l pocity, prožitky Co si pamatuji z d tství ve vztahu ke škole? Co bylo pozitivní, co bylo výrazn negativní? Co jsem m l a nem l rád? Co m trápilo, eho jsem se bál? Co mn vadilo? Kdy jsem se cítil dob e? Co mi d lalo radost? Cht l bych u it takové žáky, jakým jsem byl já? Vzpomínky jsou zkoumány z hlediska minulé i sou asné perspektivy, je zvažován kontext situací, r zné souvislosti, možné p í iny apod. Ú inným prost edkem k sebereflexi studenta jsou také projektivní metody. Používáme je nap. k podpo e pochopení, že každý si konstruuje sv j osobní sv t. Chceme zprost edkovat student m prožitek, že p estože vn jší sv t je jeden a pro všechny lidi spole ný, tak se tento sv t m že každému zobrazovat jinak. Do zobrazování vn jšího sv ta se výrazn promítá vnit ní sv t lov ka. Prost edek k prožití a uv dom ní si, že vnímáme, prožíváme, chápeme stejné v ci velmi r zn, je tvorba p íb hu k obrázku. Používáme ernobílou reprodukci um leckého obrazu poš áka ve m st jako inspiraci k napsání p íb hu, který vypovídá o tom, co se d je na obrázku (Lazarová 2001). Následn studenti tou své verze p íb hu a diskutují o tom, co je za jejich verzemi a subjektivními interpretacemi reality (jaké názory, zkušenosti, p edstavy, osobní vlastnosti, aktuální psychické stavy apod.). Uv dom ní si významu mechanismu projekce vnit ního sv ta do vnímání a hodnocení vn jší reality je pro budoucí u itele nesmírn d ležité. Na tyto strategie klademe velký d raz, protože chceme, aby si studenti uv domovali, že nap. pojetí žáka, m j konstrukt toho, jaký žák je, m že být velmi vzdálený realit, a nau ili se kriticky prozkoumávat své p edstavy, pojetí a interpretace školní reality. Sou asn s analýzou prekoncepcí se snažíme také ovliv ovat druhou vývojovou fázi studentova pojetí výuky - ak ní, praktickou teorii prost ednictvím následné reflexe vlastních vyu ovacích pokus (reflection on action) a sebereflexe v roli u itele. Sebereflexe je navozována otázkami typu - Co, jak a pro jsem d lal, s jakými zám ry a o ekáváními, s jakými výsledky, co a pro se mi poda ilo, kde byly problémy a kritické body a pro, jak by se to dalo d lat jinak, s jakými p edpokládanými efekty, s jakými riziky? Jak jsem se po výuce cítil, nad ím jsem p emýšlel? Co je za mou inností, jaké názory, p esv d ení, hodnoty, postoje? emu v ím, za ím si stojím, o em pochybuji? V této fázi vývoje studentova pojetí výuky je zvýrazn na role pedagogické teorie. V t sné vazb na reflexi praktických zkušeností jsou student m zprost edkovávány klí ové pojmy a fundamentální didaktická témata na základ konstruktivistických p ístup, prost ednictvím zkoumání a objevování nových poznatk na základ vlastních inností a v interakci s u itelem a spolužáky. Východiskem k vytvá ení nových pojm jsou prekoncepty, spontánn a na základ praktických zkušeností vzniklé p edstavy a pojetí nap. pedagogické komunikace, klimatu ve t íd, autority u itele, úsp šného žáka, styl u ení, typ inteligence, hodnocení žák apod. Opírají se o zkušenosti a prožitky v roli žáka (jak jsem to vnímal a prožíval já jako dít ) nebo vycházejí z reflexe vlastních zkušeností v roli u itele pr b žn získávaných v rámci pedagogické praxe. Studenti prezentují své prekoncepty a ty jsou dále kontextualizovány (studenti vysv tlují kontext a zd vod ují sv j úhel pohledu). Vycházejí ze svých písemných reflexí pr b žn zaznamenávaných v deníku. U itel vytvá í prostor pro spole né komunika ní pole, iniciuje a ídí skupinové diskuse k vybraným otázkám a povzbuzuje studenty ke konfrontaci r zných názor 24

25 a protich dných stanovisek. V další fázi je t žišt inností ve spolupráci p i objevování vztah a podstatných souvislostí, ve spole ném hledání klí ových charakteristik pedagogických jev, v zobec ování a dekontextualizaci (hledání spole ných znak, které platí v r zných kontextech). Nakonec jsou zprost edkovávána r zná pojetí ešených problém v odborné literatu e, výsledky výzkum a jsou konstruovány (rekonstruktruovány) nové pojmy, pojetí apod. V intencích konstruktivistického pojetí plurality lidského poznání je pedagogická teorie zprost edkovávána v její problemati nosti, rozporuplnosti, nejednozna nosti, ne v podob axiomat a návod k ešení. Teoretická reflexe praktických zkušeností, zv domování a kultivování tacit knowledge, s oporou o pedagogickou a psychologickou teorii znamená budování most propojujících sv t teorií a sv t praktických zkušeností. D ležité je podporovat obousm rný pohyb v procesu komunikace mezi ob ma sv ty. To znamená, aby teoretické zdroje byly kontextualizovány skrze praktické situace a subjektivní zkušenosti a naopak praktické zkušenosti byly pr b žn konfrontovány s teoriemi. Pravidelná a cílená komunikace mezi sv tem teorie a praxe významn p ispívá k tvorb propracovan jšího, teoreticky reflektovaného a racionáln argumentovaného studentova pojetí výuky. Výsledky výzkumu a jejich diskuse Na základ výzkumných dat lze konstatovat následující zjišt ní. Studentovo pojetí výuky lze v pr b hu p ípravného vzd lávání u itel výrazn ovliv ovat za p edpokladu systematického využívání specifických strategií výuky, zejména sociokonstruktivistických p ístup a technik rozvoje reflexe a sebereflexe student. Potvrdila se d ležitost poznávání životního a p edprofesního p íb hu, se kterým student na fakultu p ichází a význam narativních technik v tomto procesu. Pojetí výuky lze u student ú inn kultivovat hned od po átku studia. Je d ležité za ít co nejd ív pomoci student m odkrývat jejich prekoncepci výuky (tedy první vývojovu fázi), p ivád t ji k e i, zv domovat, diskutovat o ní, zpochyb ovat, dopl ovat, a pomáhat ji p ebudovávat (dekonstruovat, rekonstruovat). Pokud se nepoda í navodit komunikaci mezi starým a novým (poznáním, zkušenostmi..), pokud se nepracuje s p edb žnými p edstavami, pojetími, zkušenostmi a u ení se chápe jako absorbování nových poznatk, starší vrstvy poznání jsou p ekryty novými, z stávají v odd lených vrstvách, pod nimiž z stává p vodní vlivné jádro v podob prekoncepce jako filtr následujících zkušeností a nového poznání. Proces konstruování studentova pojetí výuky je složitý, dlouhodobý, má své zákonitosti i individuální specifika, své zlomy a kritická místa, zklamání a opoušt ní n kterých názor ( Mé p edstavy jsou idealistické, nejdou v praxi realizovat, d ti jsou horší, než jsem si myslel, u iva v osnovách je moc, nemám as na diskuse s d tmi, skupinovou práci ). Podpora a pomoc student m v jejich profesním rozvoji musí být poskytována individuáln a pr b žn po celou dobu studia. Potvrdil se význam emo ní dimenze v procesech profesního rozvoje student. Kvalita prožívání, zejména zážitky z vlastní praxe, mimo jiné výrazn p ispívají k hierarchii poznatk ( emu v ím, co odmítám, s ím se identifikuji). Vlivným fenoménem v profesním rozvoji je také skryté kurikulum, sociáln emo ní klima, ve kterém probíhá výuka na fakult i sociální zkušenosti, získávané ve školní praxi. Permanentní pohyb student mezi fakultou a školou, systematická teoretická reflexe praktických zkušeností významn p ispívají k propojování pedagogické teorie a praxe ve v domí student. Pomáhají jim porozum t svému jednání, jeho p í inám 25

26 a následk m a p ispívají k p echodu od intuitivního k v domému a zd vodn nému jednání. Mají významný motiva ní náboj, p inášejí podn ty pro tvorbu svého profesního já, provokují k práci na sob. Mezi studenty jsou velké rozdíly v mí e propracovanosti a vyhran nosti prekonceptu pojetí výuky, v mí e ochoty zve ej ovat své názory, p edstavy a pojetí, vysv tlovat a zd vod ovat i v chuti se angažovat v tvorb teoreticky podloženého a racionáln argumentovaného pojetí výuky. Zna né rozdíly jsou rovn ž v dovednosti sebereflexe. Podstatnou roli zde hrají n které osobnostní p edpoklady, nap. otev enost, flexibilita, odpov dnost. Zna né obtíže s ovliv ováním pojetí výuky lze identifikovat zejména u dvou typ student. Po etn jší z nich je skupina student (v p evážné mí e absolventek st edních pedagogických škol), kte í mají pom rn zformovanou prekoncepci výuky ovlivn nou zažitými mechanismy v podob r zných zvyk, stabilních názor, postoj, praktických zkušeností ze st edoškolského studia. N kte í studenti (v tšinou jsou to absolventi st edních pedagogických škol) s podobn silným profesním imprintingem p icházejí na u itelskou fakultu jakoby zapouzd ení s relativn uzav eným a velmi t žko ovlivnitelným pojetím výuky. V tšinou mají negativní i skeptický vztah k pedagogické teorii a p ece ují význam praktických zkušeností a intuice ( Teorie je p íliš obecná a neužite ná, praxe je úpln o n em jiném, v praxi to funguje jinak.. ). Druhou problematickou skupinou jsou velmi senzitivní a intuitivní studenti se silnou emocionalitou, kte í jsou hluboce zano eni v subjektivním, prožitkovém sv t, a verbalizaci a racionalizaci svých pocit, názor a p esv d ení i teoretické reflexi praktických zkušeností se brání. U t chto student je velmi obtížné propojit sv t teorie se sv tem jejich praktických zkušeností. T mto student m d lá velké problémy používat odbornou terminologii k popisu pedagogické reality, mnohdy se vyjad ují jako laici. Ú inné uplatn ní konstruktivistických metod p edpokládá vytvo ení ur itých základních podmínek. Uve me n kolik konkrétních p íklad. Pro podporu aktivní ú asti ve výuce a vnit ní motivaci k u ení je d ležité vytvo it prostor pro spolupodílení se student na programu výuky. (Osv d ily se metody identifikující hned na 1. seminá i o ekávání student, jejich dosavadní zkušenosti, pot eby, zájmy, p ání a následné p izp sobení projektu výuky podle charakteristik dané skupiny.) Klí ovými podmínkami jsou partnerská komunikace mezi u itelem a studenty, role u itele jako pomocníka v osobnostním i profesním rozvoji student, vytvá ení kvalitního sociálního klimatu ve skupin založeného na d v e, bezpe í a respektu k druhým, prostor pro dialog, diskuse, kooperaci, vlastní hledání a objevování, dostatek povzbuzování a pozitivních zp tných vazeb. Sebeobjevování v u itelské roli m že být pro n které studenty nep íjemné, bolestné, ohrožující. P es potvrzení perspektivnosti konstruktivistických p ístup ke vzd lávání u itel je t eba také promýšlet kritická místa, event. meze t chto p ístup. Otev enou otázkou je nap íklad problém zmírn ní nap tí mezi akademickým pojetím (univerzitarizace u itelského vzd lání s sebou nese d raz na akademi nost v tradi ním pojetí), dovednostním, instrumentálním pojetím (akcentovaným pot ebami školské praxe) a personalistickým, konstruktivistickým pojetím. Jde o hledání rozumné míry a vyváženosti mezi jednotlivými p ístupy. Konstruktivistické p ístupy kladou také naléhav otázku, kterou lze v podob polarit formulovat jako systematické pojetí vs. tematické, exemplární pojetí výuky oboru. Lze také zvažovat komplementárnost obou p ístup. Jsou li konstruktivistické p ístupy založeny na druhém p ístupu, tedy na zkoumání pojm do hloubky, v jejich 26

27 komplikovanosti a rozmanitosti r zných pojetí, pak je zde prvo adá otázka výb ru klí ových pojm a témat. Obsah u itelského vzd lávání, jednotlivé obory bude t eba podrobit kritické analýze, provést revizi jejich obsahu pod zorným úhlem toho, co má smysl, co je podstatné z hlediska nových nárok na u itelskou profesi. V kontextu profesionalizace u itelského vzd lávání se stává naléhavou zejména otázka smysluplnosti obsahu pedagogických a psychologických disciplín a oborových didaktik, nebo se stávají páte í profesní p ípravy. P i exemplárním pojetí výuky v širším m ítku je d ležitou otázkou také komplementarita jednotlivých komponent studia. Jinými slovy jde o vymezení pr nik, p esah, návazností a díl ích odpov dností klí ových profesních obor (nap. vazby mezi pedagogickou psychologií, obecnou a oborovou didaktikou). Dalšími dilematy v podob polarit, které provokují k diskusi o možnostech a mezích konstruktivistických p ístup k u itelskému vzd lávání, jsou nap íklad: normativní vs. kreativní, diskurzivní osvojování u itelské profese (v jaké mí e poskytovat student m op rné body, algoritmy a grify jako jisté hlubiny profesní bezpe nosti, jaký je význam rutiny, kde je na druhé stran míra diverzifikace a rozporuplnosti v pluralit teorií, koncepcí, odborných jazyk, v níž se student n kdy utápí student u itelství 1. stupn ZŠ se pohybuje v pr se íku p sobení mnoha obor ), individualizace u itelského vzd lávání (vliv personalistických a konstruktivistických koncepcí) vs. standardizace ( vliv snah o definování profesního standardu), ovliv ování u itelova/studentova pojetí výuky vs. autenticita u itele, podle Rogerse jedna z fundamentálních vlastností u itele (do jaké míry pojetí usm r ovat, korigovat a do jaké míry umožnit a pomáhat být sebou samým). Asi nejzávažn jším kritickým místem v uplat ování konstruktivistických p ístup s d razem na rozvoj sebereflexe je skute nost, že permanentní kritické prozkoumávání vlastní innosti, problematizování, kladení stále nových otázek, snaha hledat lepší postupy posiluje nejistotu u itele, oslabuje celkovou profesní stabilitu, m že negativn ovliv ovat utvá ející se profesní identitu a sebev domí. Zejména pro n které osobnostní typy, nap. se zvýšenou úzkostností nebo s extrémn silným prožíváním profesní odpov dnosti, to m že být velmi rizikovým faktorem. Pro utvá ení profesní identity studenta je d ležité povzbuzovat jeho sebev domí, podporovat pocit jistoty, že d lám v ci dob e, že jsem kompetentní, že dosáhnu toho, o jako u itel usiluji, na em mi záleží. Najít rovnováhu mezi pot ebou jistoty a zdravého pochybování v u itelské profesi je nejd ležit jším a zárove nejsložit jším úkolem, protože narušení rozumné míry m že zvýšit za únosnou mez rozpory a problemati nost profese, už tak rizikového a nemožného povolání (nemožné povolání je takové, jehož organickou sou ástí je neúsp ch Perrenoud 1994). Literatura 1. BIRD,T. & ANDERSON,L.M. & SWIDLER,S.A. Pedagogical Balancing Acts / Attempts to Influence Prospective Teachers Beliefs. Teaching and Teacher education, 1993, 9, BROWN,G.I. Human teaching for human learning. An introduction to confluent education. New York: Penguin Books

28 3. CALDERHEAD,J. Reflective teaching and teacher education. In Teaching and Teacher Education, 1989,5,pp CORNU,L.,VERGNIOUX,A. La didactique en questions. Paris DELORS,J. (Ed.) LEARNING: THE TREASURE WITHIN. Report to UNESCO of the International Commission on education for the Twenty-first Century. Paris: UNESCO Publishing GFEN Všichni na jedni ku! Alternativní didaktické postupy. Praha: Karolinum GOODMAN,J. Making Early Field Experience Meaningful A Critical Approach. Journal of Education for Teaching, 1986, 12, HELUS,Z. Dít jako východisko školské reformy. Výchova a vzd lání, 1, 1990/91,.6, s HELUS,Z. Dít v osobnostním pojetí. Praha: Portál HOPKINS,D. Improving the Quality of Schooling. Lewes : Falmer Press, HUSTLER,D.,INTYRE,D. Developing competent teachers. London: David Fulton Publishers JANÍK,T. Znalost jako klí ová kategorie u itelského vzd lávání. Brno: Paido JOHNSON,D.W, JOHNSON,R.T. Learning Together and Alone. Cooperative, Competitive and Individualistic Learning. Massachusetts: Allyn and Bacon KASÍKOVÁ,H,VALENTA,J. Reformu d lá u itel. Praha: Ikarus KASÍKOVÁ, H. Kooperativní u ení a vyu ování. Praha: Karolinum KINCHELOE,J.L.: Toward a Critical Politics of Teacher Thinking. Mapping the Postmodern. Connecticut: Bergin&Garvey, KLAFKI,W. Studie k teorii vzd lání a didaktice. Praha: SPN KORTHAGEN,F. Techniques for stimulating Reflection in teacher Education Seminars. Teaching and Teacher education, 1992, 3, LASLEY,T.J. Promoting Teacher Reflection. Journal of Staff Development,Winter,1992,VOl.13,No LAZAROVÁ,B. (Ed.) Vzd lávat u itele. Brno: Paido LINDBERG,O. Alternative Metaphors in Teacher Education. Paper presented at the Conference Teachers and Their University Education at the Turn of the Millenium, Prague LUKÁŠOVÁ,H. U itelská profese v primárním vzd lávání a pedagogická p íprava u itel (teorie, výzkum, praxe). Ostrava: PedF OU LUKAVSKÁ,E. Pozor, d ti! Dobrá Voda: Vydavatelství a nakladatelství Aleš en k LIPMAN, M. Thinking in Education. New York: Cambridge University Press MAREŠ,J., SLAVÍK,J., SVATOŠ,T., ŠVEC,V. U itelovo pojetí výuky. Brno: MU Mc NEIL-TURNER,L. Educating the reflective practitioner: Preparation for the 21 st century. Ontario: Faculty of Education MORTIMORE,P. et al. A Study of Effective Junior Schools. International Journal of Educational Research, 1989, 13, pp MOSKOWITZ,G. Caring and Sharing in the Foregn Language Classroom. Newbury House, 1978,s NIEMI,H. Evidence-based teacher education- investment for the future. Manuscript PERRENOUD,Ph. La formation des enseignants entre théorie et pratique. Paris: 28

29 L Harmattan POLLARD,A. Reflective teaching. London: Cassel ROGERS,C. Freedom to Learn. New York: Merrill SHULMAN,L.S. Knowledge and Teaching: Foundations of the New Reform. Harvard Educational Review, 1987, ro. 57, SCHEERENS,J.,BRUMMELHUIS,A. Indicators on the Functionning of Primary Schools in twelve European Countries. Paris : OECD, SCHÖN,D. The Reflective Practitioner. London: Temple Smith SLAVÍK,J. Hodnocení v sou asné škole. Praha: Portál SPILKOVÁ,V. Prom ny primární školy a vzd lávání u itel v historickosrovnávací perspektiv. Praha: PedF UK SPILKOVÁ,V. a kol. Sou asné prom ny vzd lávání u itel. Brno: Paido SPILKOVÁ,V. a kol. Prom ny primárního vzd lávání v R. Praha: Portál ŠTECH,S. Škola stále nová. Praha: UK ŠVEC,V. Pedagogická p íprava budoucích u itel : Problémy a inspirace. Brno: Paido TONUCCI,F. Vyu ovat nebo nau it? Praha: St edisko v deckých informací PedF UK VALLI,L. Listening to other voices: A description of teacher education in the United States. Peabody Journal of education, 1997, 72(1), VAŠUTOVÁ,J. Profese u itele v eském vzd lávacím kontextu. Brno: PAIDO VYGOTSKIJ, L.S. Vývoj vyšších psychických funkcí. Praha: SPN, WALTEROVÁ,E. (Ed.) Úloha školy v rozvoji vzd lanosti. Brno: PAIDO ZUZOVSKY,R. Professional Development of Student Teachers during Preservice Training: A follow-up study. Paper presented at the ATEE Conference, Stockholm Kontaktní adresa Doc.PhDr.Vladimíra Spilková,CSc. Pedagogická fakulta Univerzity Karlovy M.D.Rettigové, Praha 1 Telefon: vladimira.spilkova@pedf.cuni.cz 29

30

31 RECENZOVANÁ ÁST

32 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V PO ÍTA OVÁ DIDAKTICKÁ HRA ROZVÍJEJÍCÍ MATEMATICKÉ SCHOPNOSTI ŽÁKA NA 1. STUPNI ZŠ Kv toslav BÁRTEK Abstrakt P ísp vek pojednává o využití didaktických po íta ových her ve výuce matematiky na 1. stupni ZŠ. P edstavuje didaktickou hru 4 colors založenou na bázi ešení problému ty barev a možné pozitivní dopady jejího použití na rozvoj matematických i nematematických schopností žáka primární školy. P ísp vek rámcov tená e uvádí do teorie graf ve vztahu k problematice barvení map. DIDACTIC COMPUTER GAME DEVELOPING THE MATHEMATIC SKILLS OF PRIMARY SCHOOL STUDENTS Abstract The paper is about an utilization of didactic computer games in the mathematics teaching at primary schools. It presents a didactic game 4 colors based on solving a problem of 4 colours and its possible usage in the development of mathematical and non-mathematical skills of a primary school student. In general, the paper brings a reader into the theory of graphs concerning the problems of colour maps. Úvod Hra je jednou z nejp irozen jších a nejb žn jších forem lidské innosti. Není snad lov ka, který by si nerad hrál a to v jakémkoliv v ku. Hra nám p ináší pot šení, rozvíjí naše smysly a schopnosti, umož uje napl ovat i naše spole enské pot eby. Je také zdrojem pou ení. Takovou hru pak m žeme adit mezi didaktické. Didaktická (po íta ová) hra Kárová (1998) uvádí tuto definici didaktické hry. Didaktická hra je hra s pravidly, která spl uje ur itý didaktický cíl. Žáci si p i ní rozvíjejí a cvi í poznávací innosti. Tím, že ji d ti p ijímají jako hotovou, vychovávají svoji v li a charakter. Je ur ena požadavky pravidly a využita k ur itým vzd lávacím cíl m, které stanovuje u itel. Tím se podobá u ení a v podstat i práci. Má specifický význam a ú el. Je zdrojem motivace, zvyšuje aktivitu myšlení a rozumové úsilí, zvyšuje koncentraci pozornosti. Pomáhá p echodu žáka od hry spontánní k uv dom lému, stále více samostatnému a k ur itému cíli zam enému u ení. S rozvojem výpo etní techniky a s její zvyšující se dostupností se stále ast ji setkáváme s využitím po íta e k herním ú el m. 32

33 Didaktická po íta ová hra je hra, která spl uje výše uvedené cíle. Pr b h hry, stanovení a dodržování pravidel a záv re né i pr b žné vyhodnocení provádí i kontroluje po íta resp. po íta ový program. Hraní po íta ových her je pro d ti innost vysoce atraktivní. Samostatnou otázkou je však vhodnost výb ru po íta ové hry. Zam ím se na hru vhodnou a dle mého názoru využitelnou k rozvoji matematických schopností žák nejen na 1. stupni ZŠ. Konkrétní p íklad didaktická hra 4 colors Didaktická hra 4 colors obsahuje baterii abstraktních i konkrétních obrázk, tvo ených pouze bílým podkladem a ernými liniemi. Zjednodušen by se dalo íci, že se jedná o jakési omalovánky. Úkolem d tí je sice vybarvovat dané obrázky, jsou však omezeny ur itými pravidly. Zadání úlohy totiž vychází z matematického problému ty barev. Teoretické - matematické východisko problému Formulace problému ty barev je velice jednoduchá. Ovšem ešení tohoto problému nad lalo vrásky mnoha významným matematik m. Problém vychází z praktických zkušeností kartograf, kte í p i vytvá ení politických map vybarvovali jednotlivé územní celky odlišnými barvami tak, aby žádné dva celky, které mají spole nou hranici, nebyly vybarveny stejnou barvou. Matematici se tedy za ali zabývat otázkou, kolik r zných barev nám sta í k tomu, abychom p i dodržení uvedených podmínek mohli vybarvit jakoukoliv mapu. Mapou m žeme chápat libovolné seskupení útvar na ploše. A odtud je pouze kr ek k formulaci problému ty barev. Formulace problému Nech M je libovolná mapa; ekneme, že mapa je obarvitelná pomocí ty barev, jestliže každý stát této mapy m žeme obarvit jednou z t chto ty barev tak, aby každé dva sousední státy byly vybarveny r znou barvou. Je možno obarvit libovolnou mapu v rovin i na kulové ploše pomocí ty barev? (Šišma, 1997). Historie problému ty barev Problémem ty barev se zabývají matematici již od poloviny 19. století. První zmínky o problému najdeme v díle astronoma A.F. Möbia, o ešení se pokoušel anglický matematik Cayley. Všechny d kazy však byly postupn vyvráceny. Vy ešit tento problém umožnilo až použití výpo etní techniky. V roce 1976 se americkým matematik m W.Hakenovi a K. Appelovi poda ilo sestrojit více než 1500 rovinných graf, o nichž dokázali, že je-li možné je vybarvit nejvýše ty mi barvami, pak lze tímto zp sobem vybarvit jakýkoliv rovinný graf. Graf G (oby ejný neorientovaný) m žeme definovat jako uspo ádanou dvojici (V,E), kde V je n jaká neprázdná množina a E je množina dvoubodových podmnožin množiny V. Prvky množiny V se jmenují vrcholy grafu G a prvky množiny E hrany grafu G (Matoušek, Nešet il 2002). 33

34 ešení problému Úvodní (nejjednodušší) mapa, kterou má hrá vybarvit je zobrazena na obr. 1. Barvení mapy nejvýše ty mi barvami se dá p evést na problém barvení uzl p íslušného grafu. Uvnit každé oblasti na map zvolíme jeden bod. Tento bod prohlásíme za uzel grafu. Hrany grafu pak definujeme takto: Jsou-li dv oblasti sousední pak oba p íslušné uzly spojíme hranou (obloukem), nejsou-li uzly sousední, pak hrana neexistuje (Sedlá ek, 1977). Obrázek 2 p edstavuje graf sestrojený v map z obr. 1. Barevnost grafu je možno definovat takto: Bu G = (V,E) graf, k p irozené íslo. Zobrazení b: V {1,2,,k} nazveme obarvením grafu G pomocí k barev, pokud pro každou hranu {x,y } náležící E platí b(x) b(y). Barevnost grafu G, ozna ovaná (G), je minimální po et barev pot ebný pro obarvení grafu G (Matoušek, 2002 ). obr. 1 obr. 2 Na obrázku. 3 vidíme rovinný graf strom, p íslušný ešenému problému. a b c obr. 3 obr. 4 Kolika barvami lze tento graf obarvit? Aby bylo možno použít pouze jednu barvu tzn. aby graf m l chromatické íslo 1, musel by být daný graf tvo en pouze izolovanými body. Uvažujme dále o (G) = 2. Kone ný graf G = (V,E), kde E 0, má chromatické íslo 2 práv tehdy, neobsahuje-li kružnici liché délky (Sedlá ek, 1977). Kružnicí nazýváme souvislý pravidelný graf druhého stupn, délku kružnice pak udává po et uzl, jež kružnice obsahuje (Sedlá ek, 1977). Zkoumejme daný graf, zda je kružnicí liché délky nebo zda obsahuje podgraf, který je kružnicí liché délky. Graf G je podgrafem grafu G,vznikne-li z grafu G vynecháním n jakých (nebo žádných) vrchol a hran. Podstatné je, že podgraf musí být také grafem: spolu s každou hranou, která je v podgrafu, tam musí být i oba její krajní vrcholy (Demel, 2002). Ozna íme uzly grafu písmeny a, b, c, d, e (obr. 4). Dále ur íme všechny jeho podgrafy, jež neobsahují žádný izolovaný bod. Z obr. 5 je patrné, že podgrafy, které spl ují požadovanou podmínku jsou ty i a že žádný z nich není kružnicí liché délky. d 34

35 a b c c c c d e obr. 5 M žeme prohlásit, že daný graf je možno obarvit dv ma barvami. Hrá dále postupuje p es grafy, které je možno obarvit t emi barvami až ke graf m, jejichž obarvení vynucuje použití ty barev. Jednou z takových map je i mapa nazvaná SHUTERBUG viz obr. 6. P evedeme-li mapu na graf, dostaneme rovinný graf viz obr. 7. obr. 6 obr. 7 Úlohy tohoto typu lze ešit nap. metodami backtrackingu. Podrobný popis této metody lze nalézt v publikaci (Demel, 2002 str. 189 a str. 216). Využití hry a její modifikace Dané mapy mohou být žáky ešeny podle p vodních pravidel tzn. za ínají ešit problém od po átku sami - ešení probíhá dle hrá ovy strategie. N které úlohy je však vhodné pro jejich ztížení p edem upravit tak, aby v úloze vzniklo jedno i dv problémová pole. Jsou to pole která ješt nebyla vybarvena, ale sousedí s poli, na jejichž obarvení byly použity již všechny ty i barvy. Hrá tak musí vhodnou zám nou obarvení polí problém vy ešit. Další modifikací je nechat hrá e vytvo it mapu vlastní, která by byla obarvitelná za použití dvou, t í i ty barev. Toto zadání vyžaduje od hrá e mnohem hlubší proniknutí do daného problému, je proto vhodné pro starší žáky. Pro ú ely tvorby vlastních map je program 4 colors vybaven editorem map. Ten obsahuje jak možnost volného kreslení, tak použití elementárních geometrických obrazc kružnice, obdélník a trojúhelník. Samoz ejmostí je uložení takto vytvo ené mapy. Tvorba map v editoru je vhodná i pro mladší hrá e, kte í krom samotného vytvo ení a následného obarvení mapy mají možnost procvi ovat pojmy názvy elementárních geometrických tvar, orientaci na ploše, ur ování a poznávání barev a v neposlední ad také procvi ují grafomotoriku. Baterie map obsahuje též n kolik map geografických mj. Evropu, Afriku, USA Zmín né herní principy lze využít i v jiných p edm tech nap. ve výtvarné výchov, zem pise, ímž problém nabývá interdisciplinární charakter. 35

36 Záv r Myslím, že za azování vhodných po íta ových her je p ínosné jak pro u itele, který tak m že lépe poznat své žáky a jejich myšlení, pro žáka a jeho všestranný rozvoj i pro zatraktivn ní výuky a popularizaci matematiky. Trendy ve výuce matematiky stanovené Rámcovým vzd lávacím programem pro základní vzd lávání podporují za azování úloh rozvíjejících logické a systematické myšlení do vzd lávání žák na základních školách. Proto myslím, že možné obavy n kterých pedagog ze za azování po íta ových didaktických her do výuky jsou mnohdy neoprávn né. Literatura 1. DEMEL, J. Grafy a jejich aplikace. 1.vydání. Praha: Academia, s. ISBN KÁROVÁ, V. Didaktické hry ve vyu ování matematice v ro níku základní a obecné školy. ást aritmetická. 2. vydání. Plze : Vydavatelství Západo eské univerzity, s. 3. MATOUŠEK, J., NEŠET IL, J. Kapitoly z diskrétní matematiky. 2. vydání. Praha: univerzita Karlova, s. ISBN Rámcový vzd lávací program pro základní vzd lávání.j 27002/ SEDLÁ EK, J. Úvod do teorie graf. 2. vydání. Praha: Academia, s. 6. program 4 colors dostupný na World Wide Web: Kontaktní adresa Mgr. Kv toslav BÁRTEK katedra matematiky PdF UP Pedagogická fakulta Univerzity Palackého Žižkovo nám. 5 Olomouc Telefon: k.bartek@centrum.cz bartek93@pdfnw.upol.cz 36

37 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V DÍT U ITEL MATEMATICKÉ VZD LÁNÍ Miroslav B LÍK Abstrakt: Autor p ísp vku se snaží ukázat n které negativní jevy ze školní praxe, které jsou zavin ny ne zcela vhodným uplat ováním matematického nebo didaktického vzd lání n kterých u itel. Z analýzy t chto p ípad vyplývá možnost nápravy. CHILD TEACHER CULTURE IN TEACHING MATHEMATICS Abstract: In this article author tries show some negative cases from school lessons of mathematics. On the basis of analysis of these cases the author introduces correction. Následující událost se p ihodila v hodin náslechu pedagogické praxe ve t íd primární školy. Žák m l nakreslit na tabuli obdélník. P íkaz splnil podle mého mín ní graficky velmi zda ile a to tak, že obdélník nakreslil na výšku tj. tak, že menší strany obdélníka byly rovnob žné s dolním okrajem tabule. S tím ale paní u itelka projevila zna nou nespokojenost. Vyjád ila ji slovy: d ti, to p ece není obdélník, kdo nakreslí obdélník? Ochotná žákyn nakreslila obdélník na ší ku tj. tak, že s dolním okrajem tabule byly tentokrát rovnob žné delší strany obdélníka. Paní u itelka žákyni pochválila a navíc d razn odmítla žákovo spln ní úkolu tím, že ervenou k ídou dvakrát p eškrtla jeho výtvor a prohlásila kategoricky a s kone nou platností: toto není obdélník. P i rozboru vyu ovací hodiny jsem se snažil velmi taktn p ivést paní u itelku k oprav jejího striktního rozhodnutí, ale bylo to marné, trvala na svém. Nebylo možné najít s ní spole ný jazyk, protože její znalost p íslušných pojm a vztah mezi nimi byla mizivá, omezovala se pouze na jakési blíže neur ené intuitivní vnímání tvar, odpovídající p ibližn zp sobu poznávání u d tí v p edškolním v ku. Obdélník umíst ný v jiné poloze než v té, kterou uznávala nebo dokonce obdélník, jehož v tší strana je nap. mnohonásobn v tší než jeho sousední strana, nedovolila mezi obdélníky za adit s nekompromisním prohlášením: to je ta vaše v da, ale tu tady ve škole musíme odmítnout, musíme respektovat estetická hlediska. V em spo ívala tato hlediska, jsem se ale nedozv d l. Pon kud se mi ulevilo, když jsem od editele p íslušné školy získal informaci, že zmín ná u itelka totiž nemá odbornou kvalifikaci a není tedy absolventkou naší nebo jiné vysoké školy poskytující vzd lání u itel m primární školy. Uvádím onu zdánliv drobnou událost z výuky a její dohru p i rozboru hodiny jako extrémní p ípad d sledk absence u itelova vzd lání, není p ehnané tvrzení chyb jícího elementárního odborného i didaktického vzd lání, nezbytného pro u itele na p íslušném stupni školy. 37

38 V jiném p ípad žáci druhé t ídy m li v samostatné práci sestrojit grafický sou et dvou daných úse ek ozna ených AB a CD. Jeden žák splnil úkol tak, že na polop ímku opa nou k polop ímce BA nanesl úse ku CD, tedy prodloužil danou úse ku AB za bod B, na toto prodloužení nanesl úse ku CD a vzniklý bod ozna il M. Správn pak zapsal, že grafickým sou tem úse ek AB a CD je úse ka AM. Byl s prací d íve hotov než ostatní žáci, paní u itelka jeho práci ihned zkontrolovala a neuznala. Musel použít a narýsovat jinou polop ímku než polop ímku AB, nanést na ni úse ku AB a pak teprve nanést úse ku CD. Paní u itelce šlo o to, aby žák plnil doslova její p íkazy, pomocí nichž je p ed tím nau ila sestrojovat grafický sou et úse ek P i pohovoru o vyu ovací hodin byla paní u itelka nejprve udivena, když jsem poznamenal, že by si žák zasloužil nikoliv výtku, ale spíše pochvalu za to, že p išel sám na jednodušší a p i tom správný zp sob konstrukce. U itelka považovala tento zp sob za nesprávný pouze jen proto, že žák nedodržel její pokyny. V tomto p ípad ale posta ilo p ipomenout vlastnosti binární relace shodnost úse ek jako relace typu ekvivalence a toho, že jako taková tato relace indukuje rozklad množiny všech úse ek na t ídy navzájem shodných úse ek a je tedy možné v našem p ípad konstrukce grafického sou tu úse ek použít kteréhokoliv reprezentanta téže t ídy navzájem shodných úse ek. Tento princip byl paní u itelce znám jako absolventce pedagogické fakulty, poznala jej tam ve studiu matematiky p i r zných p íležitostech a mimo jiné také p i studiu geometrie. Je to ukázka, která potvrzuje význam poskytování takového vzd lávání u itel m, aby z n ho mohli co nejvíce erpat p i vzd lávání svých žák, aby m li bohatší prost edky k posuzování, co je správné a co ne a k tomu, aby neutlumovali ale naopak v pravý as podpo ili vynalézavost a tvo ivost svých žák. Podobných elementárních i dalších složit jších a závažn jších zkušeností, které ukazují na významné souvislosti ryze odborných znalostí s poznatky didaktickými i s provozováním vyu ovací innosti je možno na erpat velmi mnoho, jen je t eba je systematicky sledovat, evidovat a zvlášt pak uplat ovat p i každé vhodné p íležitosti od za átku i v rámci výuky odborných disciplín. Jde o uplat ování zvlášt významného principu integrace, propojování a vzájemného ovliv ování odborných matematických disciplín, didaktiky matematiky a poznatk získaných p ímo ve vyu ování. Literatura: 1. B LÍK, M. Interiorizace ve studiu matematiky pro u itelství na 1.stupni ZŠ In: Sborník konference Matematika a u itelé 1.st.ZŠ, Hradec Králové, Pedagogická fakulta, B LÍK, M. MATEMATIKA pro kombinované studium u itelství 1.stupn ZŠ Ústí nad Labem, Pedagogická fakulta UJEP, 2002 ISBN B LÍK, M. P IROZENÁ ÍSLA JAKO ÍSLA KARDINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ Ústí nad Labem, Pedagogická fakulta UJEP, 1998, ISBN B LÍK, M. TVO IVOST V U ITELSKÉM STUDIU MATEMATIKY In: Sborník konference Od innosti k poznatku, Srní, Pedagogická fakulta Západo eské univerzity, 2003, ISBN ÁP, J. Psychologie výchovy a vyu ování Praha, Univerzita Karlova, 1997, 38

39 6. HEJNÝ M. Komunikace na hodinách matematiky In: Sborník Mezinárodní v decká konference Podíl matematiky na p íprav u itele primární školy, (s.55-62) Olomouc, Univerzita Palackého, 2002 ISBN KOPKA J. Hrozny problém ve školské matematice ACTA UNIVERSITATIS PURKYNIANAE 40, Ústí nad Labem, UJEP, 1999 ISBN Ku ina F.: Geometrický sv t u itele prvního stupn In: Sborník Mezinárodní v decká konference Podíl matematiky na p íprav u itele primární školy, (s ), Olomouc, Univerzita Palackého 2002, ISBN Kontaktní adresa Doc. PaedDr. Miroslav B lík, CSc., katedra matematiky PF UJEP, Ho ení Ústí nad Labem tel , , belikm@rek.ujep.cz 39

40 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V PICKOVA V TA V P ÍPRAV BUDOUCÍCH U ITEL 1. STUPN ZŠ Jaroslav BERÁNEK Abstrakt P ísp vek je v nován Pickov v t a jejímu d kazu jako ukázce využití induktivních postup v matematice. Po motivaci této zajímavé a mezi studenty pom rn málo známé v ty je pomocí induktivního postupu v ta formulována a matematickou indukcí dokázána. Tato problematika se ukazuje jako velmi vhodná k rozvoji a kultivaci matematického myšlení budoucích u itel, a to i na 1. stupni základní školy. THE THEOREM OF PICK IN TEACHING FUTURE ELEMENTARY TEACHERS Abstract The article is devoted to the Theorem of Pick and its proof as an example of the use of an inductive approach in mathematics. For the motivation purpose this interesting and among students not very known theorem is formed and proved using the mathematical induction. This problem seems to be suitable for developing and cultivating of the mathematical thinking of future teachers also for elementary schools. P i výuce matematických disciplín ve studiu u itelství pro 1. stupe ZŠ se setkáváme asto s nutností ešit otázku, jak zaujmout studenty se zájmem o matematiku, resp. vyhledávat vhodná témata pro jejich diplomové práce. Tato témata, která se objevují i v náplni výb rových seminá z matematiky, by nem la být pochopiteln p íliš vzdálena od problematiky, kterou se budou studenti po absolvování studia ve své praxi zabývat. V této souvislosti se v posledním období osv d ila tzv. Pickova v ta; jedná se o tvrzení, jehož formulace je p ístupná i student m u itelství pro 1. stupe ZŠ, úvahy p i jejím dokazování matematickou indukcí však zdaleka nejsou triviální a vyžadují krom jisté matematické erudice (bereme-li za samoz ejmost znalost principu d kazu matematickou indukcí) i jistou dávku trp livosti p i zkoumání všech možností. Nyní tvrzení Pickovy v ty p ipomeneme. Poznamenejme ješt, že pod pojmem m ížový bod budeme rozum t takový bod v eukleidovské rovin, jehož ob kartézské sou adnice jsou vyjád eny celými ísly. Jedná se vlastn o rozší ení tvercové sít, známé a užívané i na 1. stupni ZŠ, na celou rovinu. Pr se íky p ímek této tvercové sít jsou ony zmín né m ížové body. Pickova v ta: Nech U je n-úhelník v rovin takový, že všechny jeho vrcholy jsou tvo eny m ížovými body (m že být konvexní i nekonvexní a jeho strany se neprotínají tzv. m ížový n-úhelník). Pak pro jeho obsah platí vztah: P = V H 1, kde V je 40

41 po et m ížových bod ve vnit ní oblasti útvaru U a H je po et m ížových bod na hranici útvaru U. (Obsah je ur en v jednotkách podle m ítka tvercové sít ). V souvislosti s formulací Pickovy v ty uvedeme dva zajímavé aspekty. Jednak možnost induktivního postupu p i odvozování tohoto vzorce formou problémového vyu ování, kdy p edložíme student m nap. problém zkoumání obsahu m ížového trojúhelníka ve vztahu k po tu vnit ních a hrani ních m ížových bod, dále problém rozší íme na ty úhelník apod. Této možnosti se zde nebudeme v novat. Další zajímavou otázkou je vztah Pickova vzorce pro obsah m ížového n-úhelníka a definice obsahu tohoto rovinného útvaru pomocí Jordanovy teorie míry. Tato teorie se objevuje i v osnovách matematických disciplín ve studiu u itelství pro 1. stupe ZŠ. Pokud p i využití Jordanovy teorie využijeme tvercovou sí popsanou výše (pr se íky p ímek sít jsou m ížové body), pak obsah každého základního tverce sít je 1 a souvislost je nyní jasná. Využíváme samoz ejm pouze první krok p i konstrukci míry rovinného útvaru, tj. uvedenou m ížovou sí již dále nezjem ujeme, ale poukážeme na to, co je pro studenty zajímavé a p ekvapivé. Míra m ížového n-úhelníka je vždy podle Pickovy v ty bu to vyjád ena íslem p irozeným nebo zlomkem se jmenovatelem dv. Obsah takového útvaru je tedy vždy možné geometricky složit ze základních tverc m ížové sít, p ípadn dopln ných polovinou takového tverce. Tohoto se využívá i v úlohách, nap. v matematické olympiád, kdy je ve tvercové síti vybarven jistý geometrický útvar a úkolem je zjistit jeho obsah pomocí tverc této sít. Mnohdy jsou takové úlohy dosti náro né; Pickova v ta umožní tedy i sout žícím MO elegantn takové úlohy vy ešit. Záv rem této úvodní ásti uvedeme krátkou historickou poznámku týkající se Pickovy v ty a jejího autora. Georg Alexander Pick se narodil v roce 1859 ve Vídni. Velkou ást svého života pobýval v Praze, kde byl v letech profesorem na univerzit. Mezi hlavní oblasti jeho v deckého zájmu pat ila lineární algebra, integrální po et, funkcionální analýza a geometrie. Zem el v roce 1942 v Terezín. Pickova v ta, což je jeden z nejvýznamn jších výsledk spojovaných s jeho jménem, byla poprvé publikována v roce 1899 v práci Geometrischen zur Zahlenlehre. V této dob však nevzbudila zvláštní pozornost. Teprve v roce 1969 za adil tento výsledek Steinhaus do knihy Mathematical Snapshots. Od této doby je Pickova v ta pro svoji jednoduchost a eleganci asto citována a v praxi používána. O možnosti induktivního postupu p i objevování Pickova vzorce jsme se již zmínili. Vzhledem k rozsahu tohoto p ísp vku se tímto aspektem nem žeme zabývat; budeme se zabývat d kazem. Využijeme d kaz matematickou indukcí vzhledem k po tu n vrchol m ížového n-úhelníka. Nejmenší po et vrchol je t i, matematická indukce za ne tedy trojúhelníkem. V d kazu je rovn ž pro studenty pozoruhodný fakt, že první krok d kazu, tzn. ov ení Pickova vzorce pro obsah m ížového trojúhelníka, je nejt žším krokem d kazu matematickou indukcí. Druhý krok d kazu, tzn. rozší ení Pickova vzorce na n-úhelník, je již velmi snadná záležitost založená na jednoduchém nápadu. P i d kazech matematickou indukcí je ve v tšin p ípad první krok triviální, provádí se formáln a asto na n j studenti i zapomenou. Za neme tedy d kazem tvrzení: Pro obsah m ížového trojúhelníka v rovin platí vztah S = V H 1, kde V je po et vnit ních m ížových bod trojúhelníka a H je po et m ížových bod na hranici trojúhelníka. Za neme-li se studenty kreslit obrázky r zných m ížových trojúhelník pro r zné možnosti jejich umíst ní do tvercové sít, zjistíme, že množinu všech m ížových trojúhelník lze rozložit na p t t íd rozkladu (tj. pro každý m ížový trojúhelník platí práv jedna z p ti možností), které popíšeme 41

42 takto: Každému m ížovému trojúhelníku ABC opíšeme pravoúhelník, jehož strany jsou rovnob žné s osami sou adnic (jsou ástí p ímek tvercové sít ). Alespo jeden vrchol pravoúhelníka musí být i vrcholem m ížového trojúhelníka. Podle ozna ení následujícího obrázku ve t íd 1 jsou pravoúhlé trojúhelníky, jejichž odv sny jsou rovnob žné s osami sou adnic. T ída 2 obsahuje trojúhelníky, které lze získat jako sjednocení dvou nep ekrývajících se trojúhelník t ídy 1. T ída 3 obsahuje tupoúhlé trojúhelníky, které jsou rozdílem dvou trojúhelník t ídy 1. Trojúhelníky ve t ídách 4 a 5 nemají žádnou stranu rovnob žnou s osami sou adnic, p i emž trojúhelník m ve t íd 5 nelze opsat pravoúhelník, který obsahuje všechny body tohoto trojúhelníka. D C C C B A B A B A C C B B A A 4 5 Za neme nejd íve obsahem pravoúhelníka ABCD ve t íd 1. Nech úse ky AB a BC obsahují po ad a, b m ížových bod (krajní nepo ítáme). Tento pravoúhelník má obsah (a+1)(b+1), což je z ejmé (takto se ur uje obsah pravoúhelníka ve tvercové síti již na 1. stupni ZŠ). Platí: V+ 2 1 H 1 = ab+ 2 1 (2a+2b+4) 1 = ab+a+b+1= (a+1)(b+1). Pro m ížový pravoúhelník ve tvercové síti tedy Pick v vztah platí. Nyní v trojúhelníku t ídy 1 p edpokládejme, že strany AB, BC, AC obsahují po ad a, b, c m ížových bod (krajní nepo ítáme). Nech trojúhelník ABC obsahuje v vnit ních m ížových bod (ozna ení m ížové lze v dalším vynechat z ejm nem že dojít k nedorozum ní). Pravoúhelník ABCD má potom 2v+c vnit ních bod. Pro trojúhelník ABC platí: V+ 2 1 H 1= v+ 2 1 (a+b+c+3) 1= 2 1 (2v+a+b+c+1)= 2 1 [(2v+c)+ (a+b+1)] = 2 1 [(2v+c) (2a+2b+4) 1]. V poslední závorce je obsažen po et 2v+c vnit ních bod pravoúhelníka ABCD a po et 2a+2b+4 jeho hrani ních bod. Obsah trojúhelníka t ídy 1 je tedy roven polovin obsahu opsaného pravoúhelníka, což odpovídá realit. Pro trojúhelníky t ídy 1 Pick v vzorec platí. Nyní budeme postupovat v d kazu pro trojúhelníky dalších t íd formou tzv. pyramidy, kdy k d kazu Pickova vzorce pro obsah trojúhelníka jedné t ídy využijeme již dokázaného tvrzení pro trojúhelníky t íd p edchozích. Každý trojúhelník t ídy 2 lze vyjád it jako sjednocení dvou nep ekrývajících se trojúhelník t ídy 1 (viz obrázek). Zavedeme následující ozna ení: Na úse ce CK je 42

43 k m ížových bod (krom krajních). Pro trojúhelník ACK užijeme ozna ení V 1, H 1, pro trojúhelník BCK ozna ení V 2, H 2 (jedná se o po ty vnit ních a hrani ních bod ). C A K B Obsah trojúhelník ACK a BCK je roven po ad V H1 1, V H2 1 (jsou to trojúhelníky t ídy 1). Pro obsah trojúhelníka ABC platí: S = (V H1 1) + (V H2 1) = (V H1 1) + (V H2 1) + k k = (V 1 +V 2 +k) (H1 +H 2 2k 2) 1 = V H1 1; poslední dv závorky obsahují po et vnit ních a hrani ních bod trojúhelníka ABC, tzn. také pro trojúhelníky t ídy 2 vztah platí. V nujme se nyní trojúhelník m ve t íd 3. Trojúhelník ABC na obrázku je množinovým rozdílem dvou trojúhelník ACL, ABL t ídy 1. Pro tyto trojúhelníky Pick v vzorec platí. C B A L Obsah trojúhelník ACL a ABL je roven po ad V H1 1, V H2 1 (ozna ení je z ejmé z p edchozího textu). Nech úse ka AB obsahuje s m ížových bod (krajní nepo ítáme). Pro obsah trojúhelníka ABC platí: S = (V H1 1) (V H2 1) = (V H1 1) (V H2 1) s + s = (V 1 V 2 s) (H1 H 2 +2s+2) 1 = V H1 1; analogicky jako v p edchozím p ípad platí vzorec i pro trojúhelníky t ídy 3. Pro trojúhelníky t ídy 4 je již situace složit jší. Ozna ení obsah jednotlivých trojúhelník je patrné z následujícího obrázku. Zápis budeme provád t již stru n ji, bez detailního komentá e. Pro studenty však p íslušný komentá opomenout nem žeme. M C L S S 2 3 S B S 1 A K 43

44 Obsah obdélníku AKLM ozna íme S 0. Obsahy trojúhelník AKB, BLC, ACM ur íme podle Pickova vzorce (jsou to trojúhelníky typu 1). P íslušná ozna ení množin jejich vnit ních a hrani ních bod provedeme analogicky jako v p edchozím p ípad. Nech na úse kách AK, AM je po ad p, q m ížových bod (krajní nepo ítáme). Z ejm platí S 0 = (p+1)(q+1). Platí: S = S 0 S 1 S 2 S 3 = (p+1)(q+1) (V H1 1) (V H2 1) (V H3 1) = pq+p+q+1 V 1 V 2 V (H1 +H 2 +H 3 ) + 3. Pro trojúhelník ABC platí V = pq V 1 V 2 V 3 H +3, H = H 1 +H 2 +H 3 2p 2q 4. Vztah pro S lze tedy po dosazení za H 1 +H 2 +H 3 upravit na tvar pq+p+q+1 V 1 V 2 V (2p+2q+H+4)+3= (pq V 1 V 2 V 3 H +3) H 1= V+ 2 1 H 1, což je Pickova formule. Zbývá d kaz pro trojúhelníky t ídy 5. Ozna ení zvolíme op t podle obrázku: C A D Obsah trojúhelníka ADC ozna íme S 0 (analogicky V 0, H 0 ). Pro trojúhelníky ADB, BDC a ADC Pickova v ta platí. D kaz je obdobný jako v p edchozím p ípad. Nech na úse kách AB, BC, BD je po ad a, b, r m ížových bod (krajní nepo ítáme). Pro trojúhelník ABC platí: V = V 0 V 1 V 2 a b r 1, H = H 0 H 1 H 2 +2a+2b+2r+6. Platí: S = S 0 S 1 S 2 =(V H0 1) (V H1 1) (V H2 1) =(V 0 V 1 V 2 )+ 2 1 (H0 H 1 H 2 ) +1=(V 0 V 1 V 2 )+ 2 1 (H 2a 2b 2r 6) +1=( V0 V 1 V 2 a b r 1)+ 2 1 H 1= V+ 2 1 H 1. Tím jsme dokázali, že Pick v vztah pro obsah trojúhelníka platí ve všech p ípadech. Sou asn jsme uzav eli první ást d kazu Pickovy v ty matematickou indukcí. Druhou ást d kazu matematickou indukcí zahájíme p edpokladem, že Pickova formule platí pro obsah m ížového trojúhelníka, ty úhelníka, p tiúhelníka,..., k- úhelníka. Dokážeme potom platnost pro m ížový (k+1)-úhelník. P ipome me znovu, že na konvexit mnohoúhelníka nezáleží a jeho strany se nesmí protínat. Jako z ejmé budeme považovat, že každý m ížový n-úhelník má pro n 4 alespo jednu úhlop í ku ležící v jeho vnit ní oblasti. Nech (k+1)-úhelník má vnit ní úhlop í ku D, na které leží krom koncových bod ješt t m ížových bod. Úhlop í ka D rozd lí (k+1)-úhelník na dva n-úhelníky, pro jejichž obsah platí podle induk ního p edpokladu S 1 =V H1 1, S 2 = V H2 1. Pro (k+1)-úhelník platí: H = H 1 +H 2 2t 2, V = V 1 +V 2 + t. Potom platí: S = S 1 +S 2 = (V H1 1) + (V H2 1) = (V 1 +V 2 ) (H1 +H 2 ) 2 = (V t) (H+2t+2) 2 = V+ H 1. Pickova v ta tedy platí pro libovolný n-úhelník a v ta 2 2 je dokázána. S S 1 B S 2 44

45 Záv rem lze jen konstatovat, že tato zajímavá a jednoduchá formule pro ur ení obsahu mnohoúhelníka ve tvercové síti poskytuje zajímavé a vhodné možnosti pro rozvíjení myšlení student, p i emž v jistém smyslu podporuje i p edstavivost. Nap. ur ení po tu vnit ních a hrani ních bod r zných trojúhelník v d kaze Pickovy v ty, zejména pro trojúhelníky typu 4 a 5, není zdaleka tak triviální otázka, jak by se na první pohled mohlo zdát. Celá problematika mnohoúhelník ve tvercové síti souvisí, jak již bylo e eno, jednak s Jordanovou teorií míry v rovin, jednak s problematikou tzv. geometrie na tvere kovaném papí e. Tato geometrie má aplikace jednoduché i složit jší; nap. se studenty u itelství pro 1. stupe ZŠ lze krom Pickovy v ty diskutovat ur ování obsahu pomocí tverc sít (jako nap. v n kterých úlohách matematických sout ží), jednak po ty cest ve tvercové síti (tj. otázky kombinatorické). U student u itelství matematiky na vyšších stupních škol lze ešit otázky r zných typ metrik ve tvercové síti atp. To však již p esahuje rozsah tohoto p ísp vku. Literatura 1. HEJNÝ, M., KU INA, F. Dít, škola a matematika: konstruktivistické p ístupy k vyu ování. 1. vyd. Praha: Portál s., ISBN HEJNÝ, M. a kol. Teória vyu ovania matematiky. 1. vyd. Bratislava: SPN 1990, 554 s., ISBN KOU IM, J. a kol. Základy elementární geometrie pro u itelství 1. stupn ZŠ. 1.vyd. Praha: SPN s. ISBN KU INA, F. Um ní vid t v matematice. 1. vyd. Praha: SPN s, ISBN LARSON, L.C. Metódy riešenia matematických problémov. 1. vyd. Bratislava: Alfa s., ISBN ŠVR EK, J., VANŽURA, J. Geometrie trojúhelníka. 1. vyd. Praha: SNTL s. Kontaktní adresa Doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. Katedra matematiky PdF MU Po í í 31, Brno Telefon: beranek@ped.muni.cz 45

46 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V EDUKACJA AKSJOLOGICZNA JAKO ANTIDOTUM NA PROBLEMY WIATA A BARIERY W PRACY NAUCZYCIELA Ma gorzata BERE NICKA Abstrakt Mimo wielu pi knych hase, kondycja aksjologii w edukacji wci nie jest wystarczaj co mocna. wiat boryka si z problemami spo ecznymi, ekonomicznymi, politycznymi etc. a poznawanie i realizowanie warto ci w szkole, wed ug popularnego pogl du, mo e by pomocne w ich rozwi zywaniu. Nale y ustali wytyczne takiej edukacji. Niezwyk a rol w wychowaniu pe ni nauczyciele. Niestety jest wiele czynników utrudniaj cych im dba o o warto ci kszta cenia. AXIOLOGICAL EDUCATION AS AN ANTIDOTE FOR WORLD S PROBLEMS VERSUS BARRIERS IN TEACHER S WORK Abstract In spite of many beautiful mottos, the condition of axiology in education still is not strong enough. The world struggles with social, economic, political and other problems, while recognizing and realizing values at school, according to a popular opinion, might be helpful as far as their resolution is concerned. The guidelines for such education should be established. A very meaningful role is performed here by teachers. Unfortunately, there are many factors which make caring for educational values difficult. W rozwa aniach po wi conych szkole wplata si coraz wi cej pi knych i m drych s ów dotycz cych warto ci w edukacji. Mimo mnogo ci takich hase - dowodów rosn cego zainteresowania czy wr cz troski o aksjologi - trzeba powiedzie, e jej kondycja w edukacji wci nie jest zbyt mocna. To budzi konieczno poszukiwania odpowiedzi na kolejne pytanie: jakie warto ci powinni my wynosi ze szko y? Nale y zacz od ustalenia na nowo wytycznych w edukacji, od okre lenia filozofii kszta cenia. Nie jest to proste zadanie, bior c pod uwag dzisiejsze tempo przemian we wszystkich sferach ycia. wiat boryka si z niezliczon liczb problemów spo ecznych, ekonomicznych, politycznych. Coraz wi ksz popularno ci cieszy si pogl d, e kszta cenie, którego nierozerwaln cz ci powinno by wprowadzanie uczniów w wiat warto ci mo e stanowi pomoc zarówno w profilaktyce jak i rozwi zaniach bie cych trudno ci. Rozmiar i powag problemów przed którymi stoi ca a ludzko obrazuj m.in. te dane statystyczne (...): 46

47 wzrost przest pczo ci w ród nieletnich z 5 do 22% (przesz o czterokrotnie), (kradzie e i gwa ty z 3.5 do 12.7%; napady i rozboje od 0.7% do 3.5%) wzrost liczby narkomanów z 2 do 17% 1 (przesz o o miokrotnie), miliard trzysta milionów ludzi yje w ca kowitej n dzy, ponad miliard czterysta tysi cy ludzi nie posiada bezpo redniego dost pu do wody pitnej, a ponad 4,5 miliarda (80 % populacji) do telekomunikacji, dwa miliardy nie korzysta z elektryczno ci, 190 milionów dzieci ma niedowag, co roku z powodu braku witaminy A na choroby oczu zapada 2,7 milionów dzieci. 2 Pierwsze punkty dotycz ce patologii w ród dzieci i m odzie y szkolnej dotycz co prawda Europy Zachodniej, ale autorzy podkre laj, i s to tendencje globalne. Kolejne punkty staj si jeszcze bardziej jaskrawe w zderzeniu z obliczeniami: zaledwie 1% maj tku przekazanego rocznie przez dwustu krezusów mog oby zapewni powszechny dost p do o wiaty na poziomie podstawowym koszt oko o 8 miliardów USD; wydatki na zbrojenie w 1995 roku wynios y blisko 800 miliardów USD - równowarto cznego dochodu prawie po owy najbiedniejszej ludno ci wiata; dochody z handlu narkotykami szacuje si na 400 miliardów USD rocznie (czyli 8 % handlu wiatowego). 3 Te zatrwa aj ce dane to tylko cz aktualnych bol czek n kaj cych wiat - pe en obraz sk ada si na przera aj c wizj naszej przysz o ci, st d te pojawia si wiele obaw i w tpliwo ci, a w ród nich uzasadnione pytanie by ego dyrektora UNESCO Federico Mayora Czy XXI wiek b dzie wiekiem sztucznego raju, realnym piek em, wiekiem depresji, której narastanie ukazuj wszystkie statystyki, wiekiem nasilenia masakr, anomii, przemocy, wielkich pandemii, wiata koszmarów? Czy dzieci stwo b dzie skazane na przemoc i okrucie stwo perwersji wirtualnych? 4 Wielu pedagogów, zwracaj c uwag na kryzys cz owieka, spo ecze stwa i moralno ci, g osi konieczno przyj cia nowej orientacji - podej cia humanistycznego, z akcentem na edukacj i kreatywno. Cz owiek XXI wieku - humanista - oprócz warto ci uniwersalnych, znanych od wieków, powinien kierowa si w szczególno ci tymi, które s ci le zwi zane z g ównymi problemami ubieg ego stulecia: W kontek cie ci g ych wojen, konfliktów i zbrodni, b dzie to wi c d enie do demokracji, bezpiecze stwa, pokoju, oraz ochrona ycia cz owieka. W kontek cie chorób i patologii spo ecznych - troska o zdrowie fizyczne i psychiczne. W kontek cie zagro e rodowiska naturalnego - realizowanie idei ekologicznych. W kontek cie uprzedmiotowienia cz owieka - walka o jego prawa, a tak e o tolerancj, godno, indywidualizm. W kontek cie podupadaj cej kondycji kultury i sztuki - docenienie pi kna i estetyki. W kontek cie kryzysu warto ci moralnych - odbudowanie ich i nadanie im na nowo sensu. Postuluje si wi c warto ci typowo humanistyczne, nie wolno zapomina jednak o takich, które wynikaj z nauk cis ych. Nale y przygotowywa m odzie tak e do 1 Raport M. Meyera i C. Gründera, obejmuj cy okres od 1985 do 1995 roku, w: Czerny J., Zarys pedagogiki aksjologicznej, l sk Sp. z o.o., Katowice 1998, s Raboszuk W., Wspó czesne tendencje europejskie w systemie edukacji, [w:] 3 Tam e 4 Tam e 47

48 my lenia matematycznego, logicznego 5, technicznego, ekonomicznego, informatycznego. W dobie komputeryzacji i post pu wydaje si to niezb dne. Zagadnienia dotycz ce warto ci pojawiaj si coraz cz ciej, ale wci mówi si o nich za ma o w odniesieniu do edukacji. Dzisiejsza szko a, nadal nastawiona na przekazywanie uczniom jak najwi kszej ilo ci wiedzy, zdaje si zapomina o wpajaniu zasad czy idea ów. W dalszym ci gu aktualne jest twierdzenie Józefa Pietera: Nauczyciele przede wszystkim ucz. Mówi si, e robi c to, zarazem wychowuj, ale jest to raczej u wi cona tradycj formu a ni stwierdzenie faktu. 6 Takie podej cie jest zgubne. Wychowanie m odych ludzi w duchu warto ci, jakimi b d si kierowali w swoim doros ym yciu, decyduje w perspektywie o losach wiata. Bo przecie to oni stworz nowe pokolenia rodziców, nauczycieli, polityków, naukowców, lekarzy, prawników. Na niezwykle wa n rol nauczyciela zwraca uwag wybitny pedagog Grzegorz Piramowicz ponad 200 lat temu. Podkre la, e obok wykszta cenia oraz umiej tno ci intelektualnych nauczyciela, niezb dne jest posiadanie przez niego cech, dzi ki którym stanie si dla uczniów przyk adem do na ladowania:...bo je li dzieci, które atwo wszystko postrzegaj, nie znajd w nauczycielu swoim przymiotów i obyczajów chwalebnych ani go powa a, ani kocha, ani z ochot s ucha nie b d, ale (...) nim pogardza, a ju taki nauczyciel nic dobrego nie doka e. 7 Na posiedzeniu Komitetu Nauk Pedagogicznych PAN, 13 listopada 1997 r., przyj to projekt zestawu sze ciu nast puj cych standardów kompetencji zawodowych nauczycieli: prakseologicznych, komunikacyjnych, wspó dzia ania, kreatywnych, informacyjnych oraz moralnych. 8 Kompetencje prakseologiczne, to efektywno w planowaniu, organizowaniu, kontroli i ocenie procesów edukacyjnych, komunikacyjne skuteczno w asnych zachowa j zykowych i umiej tno przekazania tej zdolno ci edukowanym, wspó dzia ania sprawno dzia a integracyjnych i prospo ecznych, kreatywne innowacyjno i niestandardowo, informatyczne bieg o w korzystaniu z nowoczesnych róde informacji, i wreszcie moralne, wyra aj ce si w d eniu do sprostania wymogów etycznych, dzia aniu dla dobra uczniów i wspó odpowiedzialno ci moralnej za ich rozwój. Widz c te ambitne za o enia mo na tylko zastanawia si nad efektywnymi sposobami ich osi gania i mie nadziej na realizacj tych celów. Póki co, jest sporo czynników utrudniaj cych dba o nauczycieli o sfer aksjologiczn. W ród nich wymieni nale y: Podej cie nauczycieli, którzy b dnie s dz, e skoro dobrze ucz, to równocze nie dobrze wychowuj. Niska pensja poci ga za sob to, e wielu nauczycieli próbuje jako sobie dorobi, a brak czasu i zm czenie nie pozwala na entuzjazm i kreatywno, nie wspominaj c ju o ch ci do sta ego dokszta cania si. Z pewno ci demobilizuj co wp ywaj trudno ci zwi zane np. z zaopatrzeniem w rodki dydaktyczne, z prze adowaniem klas, nie wspominaj c o cz sto przepe nionych programach nauczania. Nauczyciele mog czu dyskomfort z powodu nienajlepszych stosunków w gronie pedagogicznym w zwi zku z wieczn niepewno ci dotycz c tego, czy nadal b d mieli prac. 5 Siwek H., Rozwój logicznego my lenia priorytetem wspó czesnej szko y, [w:] red. T. Lewowicki i M. Szyma ski, Nauki pedagogiczne w Polsce, Wydawnictwo Naukowe AP, Kraków 2004, s Pieter J., Oceny i warto ci, Wydawnictwo l sk, Katowice 1973, s Pacholak M., O aktualno ciach pogl dów pedagogicznych, [w:] red. K. Wenta, Diagnoza i ewaluacja w reformie edukacyjnej, Uniwersytet Szczeci ski Instytut Pedagogiki, Szczecin 2002, s Denek K., O nowy kszta t edukacji, Wydawnictwo Edukacyjne AKAPIT, Toru 1998, s

49 Równie relacje z dyrekcj nie uk adaj si najlepiej. Dobry nauczyciel powinien zna swoj warto ; niestety niejednokrotnie pracuje w takich warunkach, e nie mo e czu si doceniany. O skali problemu niech wiadczy fakt, e w Polsce 60 % nauczycieli czuje si dr czonych. 9 Tak e wspó praca z rodzicami uczniów rzadko kiedy jest owocna, o co obie strony ch tnie obwiniaj si nawzajem. Dyplomy pe ni rol przepustek do pracy z dzie mi i m odzie, jednak nie gwarantuj adekwatnego przygotowania przysz ych pedagogów podczas studiów do nowego trybu nauczania 10 - brak podstaw aksjologii, antropologii, etyki, czy nawet estetyki na wi kszo ci kierunków studiów nauczycielskich. Niedostateczne przygotowanie do wychowania m odego pokolenia - potwierdza cho by niska ocena tego aspektu przez samych zainteresowanych 11. Zgubne jest podej cie nauczycieli, uznaj cych, e wychowanie powinno mie miejsce wy cznie podczas godzin wychowawczych. Badania na ten temat z lat 80. wykaza y, e godziny wychowawcze tylko w 50% przeprowadzono w sposób warto ciowy wychowawczo; reszt czasu przeznaczono na cele nie odpowiadaj ce rzeczywistym funkcjom (np. na lekcje przedmiotowe) albo marnowano go np. na ciche zaj cia. 12 Lekcewa y si fakt, e praca nauczyciela to nie tylko zawód, ale i powo anie. Nie ka dy ma predyspozycje do wykonywania tak odpowiedzialnego i trudnego zaj cia. W badaniach prowadzonych na pocz tku lat % uczniów twierdzi o, e nauczyciele s m ciwi, a w 79%, e s z o liwi. 13 Nawet je li te wyniki oka si nie do ko ca miarodajne (chocia by dlatego, e uczniowie równie bywaj m ciwi i z o liwi), to jednak istniej powody do niepokoju. Praca nauczyciela, to nie tylko misja, ale i ogromna odpowiedzialno, tym bardziej, e wyniki pracy nauczyciela, a w szczególno ci pracy wychowawczej, nie s widoczne natychmiast konsekwencje zarówno w a ciwego poprowadzenia wychowanków, jak i b dów, mog wyst powa po latach i przez lata. Jak podkre la Stanis aw Palka, to zasiewanie na przysz o. 14 Zawód nauczyciela, wykonywany fachowo i z zaanga owaniem, nale y do najtrudniejszych; pe nych wyzwa mog cych odstraszy nawet najwi kszych pasjonatów. Ci najlepsi oprócz kompetencji musz posiada naprawd siln osobowo. Jednak nagrody za ten wysi ek chocia nie zawsze uchwytnej - nie mo na przeceni. Jest ni fakt, e uczestniczy si w kszta ceniu najwy szej warto ci: cz owieka. Poza tym dzi ki Wychowawcom przez du e W cytaty o warto ciach w edukacji nie staj si jedynie pustymi has ami. 9 Zagrodzka D., Dr czenie w pracy, Gazeta Wyborcza nr 60, Koby ecka E., Wiedza o wychowaniu w perspektywie rozpoznawania i rozumienia warto ci przez uczniów i nauczycieli, [w:] red. J. Gnitecki, S. Palka, Perspektywy i kierunki rozwoju pedagogiki, Kraków-Pozna, 1999, s G sicka A., Nauczyciele o swoim przygotowaniu zawodowym, [w:]red. A. G sicka, Prace badawcze wydzia u pedagogicznego, WSP S upsk, 1993, s Feiner M., Wychowanie w okresie przemian, [w:] red. M. Feiner, S. Szkotnicka-Lachowicz, Warto ci w procesie wychowania m odzie y, Wydawnictwo WOM, Kraków 1992, s Hausner W., Wychowanie oparte o warto ci, [w:] 14 Palka S., Pedagogika w stanie tworzenia. Kontynuacje, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiello skiego, Kraków 2003, s

50 Literatura 1. Czerny J., Zarys pedagogiki aksjologicznej, l sk Sp. z o.o., Katowice Denek K., O nowy kszta t edukacji, Wydawnictwo Edukacyjne AKAPIT, Toru Feiner M., Wychowanie w okresie przemian, [w:] red. M. Feiner, S. Szkotnicka- Lachowicz, Warto ci w procesie wychowania m odzie y, Wydawnictwo WOM, Kraków G sicka A., Nauczyciele o swoim przygotowaniu zawodowym, [w:]red. A. G sicka, Prace badawcze wydzia u pedagogicznego, WSP S upsk, Hausner W., Wychowanie oparte o warto ci, 6. Koby ecka E., Wiedza o wychowaniu w perspektywie rozpoznawania i rozumienia warto ci przez uczniów i nauczycieli, [w:] red. J. Gnitecki, S. Palka, Perspektywy i kierunki rozwoju pedagogiki, Kraków-Pozna, Pacholak M., O aktualno ciach pogl dów pedagogicznych, [w:] red. K. Wenta, Diagnoza i ewaluacja w reformie edukacyjnej, Uniwersytet Szczeci ski Instytut Pedagogiki, Szczecin Palka S., Pedagogika w stanie tworzenia. Kontynuacje, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiello skiego, Kraków Pieter J., Oceny i warto ci, Wydawnictwo l sk, Katowice Raboszuk W., Wspó czesne tendencje europejskie w systemie edukacji, [w:] Siwek H., Rozwój logicznego my lenia priorytetem wspó czesnej szko y, [w:] red. T. Lewowicki i M. Szyma ski, Nauki pedagogiczne w Polsce, Wydawnictwo Naukowe AP, Kraków Zagrodzka D., Dr czenie w pracy, Gazeta Wyborcza nr 60, Kontaktní adresa Mgr Ma gorzata Bere nicka Instytut Pedagogiki Ul. Batorego Kraków Poland m.bereznicka@iphils.uj.edu.pl 50

51 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V ROZVOJ OSOBNOSTI ŽÁK S PORUCHAMI U ENÍ V MATEMATICE R žena BLAŽKOVÁ Abstrakt Výuka žák se specifickými vzd lávacími pot ebami, zejména s dyskalkulií vyžaduje individuální p ístup k žák m, specifické metody práce p i výuce matematiky a zejména velmi chápajícího a odborn fundovaného u itele. Zkušenosti z práce s d tmi s dyskalkuliíí nám umožnily vypracovat systém metod a individuálních pom cek, které pomáhají d tem získat lepší vztah k matematice a napomáhají rozvoji jejich osobnostních vlastností. TEACHING OF PUPILS WITH DISABILITIES Abstract When working with learning disabled pupils, it is necessary to bear in mind that everyone is a strong personality and thus needs an individual approach. 1. Jak se projevuje dyskalkulie, co má vliv na úsp šnost žáka ve vyu ování matematice Specifická vývojová porucha u ení dyskalkulie se projevuje v oblasti vytvá ení základních matematických pojm (nap. p irozeného ísla) a v jejich používání v dalších úrovních (nap. p i numeraci nebo p i provád ní operací s ísly). Definicí dyskalkulie se zabývají psychologové a speciální pedagogové (L. Koš, J. Novák), ale i n kte í matematikové a u itelé matematiky. Nej ast jší projevy dyskalkulie z hlediska výuky matematiky se dají popsat takto: - Nepochopení pojmu p irozeného ísla (pozd ji zlomku, ísla racionálního, reálného).d ti neumí ur it po et prvk v dané skupin, vytvo it skupinu o daném po tu prvk, nechápe uspo ádání ady ísel, neumí ísla porovnat. - Problémy se tením a zápisem ísel d ti mají problémy s rozlišováním tvarov podobných íslic, se tením a zápisem víceciferných ísel, se zápisem ísel v algoritmech p i provád ní písemných operací. - Nepochopení operací s p irozenými ísly, zvládání pam tných postup jednotlivých operací, zvládání písemných algoritm, ešení p íklad, ve kterých se vyskytuje více operací. D ti se n kdy nau í n které spoje zpam ti a v bec nechápou podstatu operace co d lají a pro to d lají. - Problémy s využitím operací p i ešení slovních úloh i s p ístupem k ešení slovních úloh v bec. - Problémy s jednotami m r a jejich p evody. 51

52 - Problémy s diferenciací geometrických tvar, s prostorovým rozmíst ním útvar, rýsováním geometrických útvar, s jednoduchými výpo ty v geometrii. Na úsp šnost žáka v matematice mají vliv i další vývojové poruchy u ení, zejména dyslexie a dysgrafie. Nemén d ležité jsou i další faktory spojené s procesem chápání a u ení, jako je nap. zp sob výuky matematiky, osobnostní vlastnosti dít te (nap. pam, volní vlastnosti, sebev domí, v ková nevyzrálost pro ur ité matematické u ivo, psychická odolnost a mnoho jiných), p ístup u itele, p ístup rodi apod. 2. Co ovliv uje rozvoj osobnosti žáka Na rozvoj osobnosti žáka, u kterého se projevuje vývojová porucha u ení má velký vliv osobnost u itele matematiky. U itel, který pracuje s dyskalkulickým žákem, by m l mít vysoký stupe odborných znalostí zejména v oblasti vytvá ení matematických pojm a schopnosti poznat, jak se vytvá ejí matematické pojmy u každého konkrétního dít te, jak je schopno je vnímat a chápat. Každý žák má sv j vlastní model, kterým se m že dopracovat matematického výsledku a velkým um ním u itele je tento model objevit. U itel by m l prokázat vysoký stupe empatie, reflektovat osobnost žáka jeho individuální pot eby a zvláštnosti. Práce se žáky s poruchami u ení vyžaduje up ímnou oddanost od u itel, kte í za nezm rné úsilí a obrovskou práci neo ekávají odm nu ani ve smyslu úsp ch žáka, ani ve smyslu ohodnocení vedením školy, rodi i, spole ností. Práce s d tmi s poruchami u ení vyžaduje vysoký stupe pedagogických a psychologických schopností a dovedností, nebo motivace dít te k systematické práci v matematice i k tomu, aby se v bec u it cht ly, vyžaduje nezm rné úsilí. D ti jsou nejsou schopny koncentrace, jsou snadno unavitelné, ale také hyperaktivní, asto odbíhají od práce, každou mali kostí se rozptylují, neúsp chy je odrazují od další práce a jejich nechu pracovat jakkoliv a zejména pracovat v matematice dávají okázale najevo. Kdo sám umí matematiku, astokrát st ží pochopí, jak náro ná m že matematika pro n koho jiného být. astokrát u itel zaujatý matematikou, neumí komunikovat se žáky, je nep ístupný diskusi toto zejména na vyšších stupních, ale nep ístupnost v diskusi se projevuje na 1. stupni tak, že u itel dob e nezná podstatu matematiky a neumí odpovídat na dotazy žák (už nevím, jak bych vám to mohla jinak íct). Naopak u itelka, která s d tmi s poruchami u ení pracuje, má obrovské pochopení (paní u itelka v jednom výzkum napsala: každý si myslí, že je jasné, že = 2 nebo 5 3 = 2, ale jak já ty d ti chápu). Rozvoj osobnostních vlastností dít te vyžaduje u itele, který umí dít zbavit obav z matematiky, posílí jeho sebed v ru a pom že mu najít cestu, jak m že být v matematice, vhledem ke svým schopnostem a handicap m, úsp šné. Nemalý vliv na úsp šnost dyskalkulického dít te mají jeho rodi e. Avšak práce s rodi i m že být n kdy stejn náro ná, jako práce s d tmi. Rodi e by v první ad m li být fundovan informováni o situaci jejich dít te, aby pochopili, o jaký problém, se jedná. Postoje rodi jsou velmi odlišné. Od pochopení, podpory dít te a spolupráce s u itelem (nikdy bych nev ila, že je n co takového možné, kdybych to nevid la doma), k rezignaci (nemáš na to, u nás v rodin na matematiku nikdo nebyl), až k naprostému nezájmu, nepochopení a ignorování školy a u itele. N kte í rodi e vyžadují mírné hodnocení, ale žádnou práci a žádné zat žování dít te. Ambiciózní rodi e naopak za nou dít p et žovat neustálým dou ováním, které je ve svém d sledku neú inné, nebo dít je neustále unavené a nedokáže se koncentrovat na problém. Mnoho rodi a n kdy i prarodi u í d ti postupy, které se zdají v daném okamžiku 52

53 výhodné, avšak v dalším u ivu se projeví jako chybné. M že to být s ítání neustálým p i ítání po jedné, násobilku se u í pouze vyjmenováváním ady násobk a nijak jinak, problémy jsou p i zvládání pam tného s ítání a od ítání dvojciferných ísel, zejména s p echodem p es základ deset aj. Veškerá pé e i nepé e vede k tomu, že dít p edem vzdává vše, co je spojeno s matematikou a v budoucnu vyhledává taková povolání, ve kterých není, pokud možno, matematika. Po letech však se m že stát, že se sv í: Te teprve vidím, o co jsem byla ochuzena, kdybych se u ila jinými postupy. 3. Nám ty n kterých postup Ve spolupráci s u itelem a rodi i se snažíme, aby dít poznávalo a rozvíjelo své vlastní schopnosti v souladu s realitou. innosti jsou rozd leny do dvou oblastí: a) Psychosociální podmínky, b) P ístupy k matematickému u ivu. Podmínky psychosociální: Sebepoznání d ti se u í vnímat, co jsou a co nejsou schopeny zvládnout, jak se mohou u it, co jim usnadní u ení. Rozvoj schopností poznávání cvi ení smyslového vnímání, zejména prost ednictvím nematematických inností a her. Cvi ení pozornosti a soust ed ní (paní u itelka si v duchu p eje: aby aspo chvili ku vydržel, aby se aspo chvili ku soust edil na práci, mám obavy, jak to s ním bude na 2. stupni ) využívají se r zné pohybové aktivity spojené s matematickým u ivem. Cvi ení pam ti d ti pracují, ale ihned zapomínají, porucha jak dlouhodobé, tak krátkodobé pam ti jim znesnad uje práci v matematice. Využíváme r zné mnemotechnické pom cky, avšak nejvíce si d ti zapamatují zážitky. Rozvoj komunikativních dovedností u í se vyjád it vlastní myšlenku svými vlastními slovy pojmenovat, co d lají. Komunikace s ostatními snaží se vyjád it, zda rozumí tomu, co íkají, zda vidí a vnímají to, co mají vid t z hlediska podstaty v ci. Psychohygiena je t eba snažit se p edcházet stres m, zvládání náladovosti, d ti pot ebuji ast jší uvoln ní, relaxaci b hem práce. Kreativita využíváme vlastních nápad žáka, jeho vlastních postup, jsou-li správné, využíváme tvo ivosti žáka v jakékoliv oblasti. Analýza vlastních pocit : Rozhovory s d tmi a dokonce i vzpomínky dosp lých, kte í trp li poruchou u ení, vedly k t mto poznatk m: Pro mám obavy z matematiky, co m traumatizuje: asté p timinutovky, diktované p íklady, psaní jen výsledk, sloupce p íklad, slovní úlohy. Klasifikace na základ jedné rozhodující známky (nap. pololetní písemné práce). Nevhodné didaktické hry nap. zamrzlík zpravidla z stane stát stejná skupina žák (nebyla jsem dostate n rychlá nebo hlasitá, d ti si na m ukazovaly, smály se i s paní u itelkou). Dril bez možnosti využití názoru nebo logického odvození. U ivo bez aplikace a zd vodn ní pot ebnosti pro se u íme násobilku, pro rýsujeme. asový faktor pot ebuji zpravidla více asu než ostatní, asový stres (zmatek v hlav p i slovech u itele: za p t minut kon íme ) 53

54 Jaké je mé postavení ve t íd Jsem odsouzen k postavení neschopného žáka, který nikdy matematiku nezvládne, je hloupý, je líný. Mají pro m spolužáci i u itelé pochopení? Je ocen na má snaha, i když mi to nejde tak jak ostatním? Snažím se nebo využívám své diagnózy? Hodnocení mé práce je objektivní. astokrát se d ti za svoji poruch stydí, nebo necht jí mít mezi spolužáky odlišné postavení. N které d ti se cht jí samy s poruchou vyrovnávat. Sd lují: nechci papír, poperu se s tím sama (zejména na 2. stupni a na st edních školách). Dívenka pilná, ctižádostivá, sama si vytvá í postupy, které jí napomáhají. Vzhledem k tom, že dyskalkulie nesouvisí se sníženou inteligencí, m že být jejich jednání pochopitelné a zaslouží náležitého ocen ní. Po zkušenostech z práce s d tmi, kterých se projevovala dyskalkulie, m žeme uvést n kolik postup, které se p i práci s nimi osv d ily, zbavily je obav z matematiky a poskytly jim ur ité pozitivní zážitky: Analýza práce d tí v em mají problémy, co se jim da í, na jaké úrovni jsou jejich matematické znalosti. V matematice je nutné za ít s nápravou tam, kde problém vznikl, takže nap. v 5. a 6. ro níku u íme d ti s ítat a od ítat s p echodem p es základ deset dvojciferná ísla i základní spoje násobení a d lení. Metoda manipulativních inností pro veškeré u ivo, které vyvozujeme, volíme manipulativní innosti každého žáka. Osv d uje se práce s konkrétními objekty, p ekládání papíru, m ení apod. Metoda postupných krok - když se dyskalkulik u í matematické u ivo, pot ebuje velmi astou informaci o správnosti svých díl ích postup, aby jej nejistota neodradila. (Srovnala bych to s ešením logických her nebo sudoku když se dít za ne zajímat o ešení, zpo átku je mu p íjemné, když má informaci o správnosti volby ísel nap.v jednom ádku, sloupci nebo díl ím tverci.) Až nabude ur ité jistoty, je schopen kontrolovat správnost svého ešení sám. Posilování d v ry ve vlastní schopnosti je dominantní proto, aby žák nebyl závislý pouze na informaci o správnosti z vn jšku, ale aby byl schopen vlastní sebekontroly a korekce chyb. Metoda zážitk výuka prost ednictvím zážitk je nezastupitelná. Je známou skute ností, že každý si zapamatuje to, co prožil, mén již to, co mu bylo sd leno n kým jiným. Slovo nebo zápis p íkladu na tabuli je nedosta ujícím prost edkem komunikace pro žáka s poruchou u ení. Metoda komunikace jde jednak o komunikaci mezi u itelem a žákem zda žák vidí to, co jeho u itel a dále o komunikaci prost ednictvím matematických symbol. Význam symbol je nutno ádn vyvodit a vysv tlit. Sv domitá hol i ka neustále chybovala ve s ítání, nap = 6 a vždy její sou ty byly o jednu v tší než sou et správný. Analýzou jejího postupu se zjistilo, že si ukazuje na prstech 2, 1, 3 jeden prst byl zástupcem za znaménko plus. V nápravných cvi eních se nejprve vysv tlila podstata s ítání, potom zápis operace a její výsledek. Výuka prost ednictvím zdánliv nematematických inností a her nep enosnost poznatk, AHA efekt pro u itele je nejv tší odm nou, když najednou žáku n co dojde a žák zvolá já už vím. Metoda s využitím názornosti v tšinu pom cek si p ipravují d ti spolu s u itelem, již p i jejich p íprav si adu podstatných rys mohou uv domit. Vytvo ení p edstavy probíraných pojm je nutné vždy podpo it názorem. Každé dít má svoji sad jednoduchých pom cek a vlastní potrfolio. 54

55 Podaná pomoc v pravý as rozvoj kooperativní innosti mezi spolužáky. Práce s chybou - rozbor chyb samotným žákem za p isp ní u itele jaké chyby se projevily, pro, jaké jsou jejich p í iny, možnosti jejich nápravy, aktivní p ístup samotného žáka. Metody hodnocení a klasifikace problematika hodnocení a klasifikace vyžaduje pedagogické mistrovství u itele, nebo je to nejobtížn jší oblast jeho innosti. Využití slovního hodnocení žáka na prvním stupni základní školy je možné, avšak ne eší to problém do budoucna. U itel by m l zajistit takové klima ve t íd, aby se ostatní d ti necítily poškozené (zejména p i možnosti využití kalkulátoru jako reeduka ní pom cky, kdy slabý žák, který nemá diagnostikovanou dyskalkulii je p esv d en o tom, že on by to písemné d lení s kalkula kou také zvládl na jedni ku). Je velmi obtížné najít míru, aby n kte í žáci (nebo rodi e) nezneužívali možnosti mírn jší klasifkace, aby ve t íd bylo hodnocení objektivní a spravedlivé a zejména, aby každý žák byl p esv d en o správnosti svého hodnocení. Na prvním stupni velmi zvažovat klasifikaci nedostate nou. Toto je jen n kolik inností, které se p i práci s dyskalkulickými d tmi osv d ily. Vzhledem k výrazné individualit každého dít te není možné vypracovat jednotný návod na pomoc t mto d tem. Avšak cílem veškerého snažení je výchova spokojeného, vzd laného a kultivovaného lov ka vzhledem k jeho schopnostem. Jak je d ležitý individuální p ístup p i klasifikaci, ilustruje následující p íklad: (2) Bernhard Riemann ( ) m l chatrné zdraví. Nepat il k vzorným žák m. Nem l v oblib drilování latiny a také jeho sloh v n meckém jazyce byl slabší. Po celý život m l potíže s psaním. Navíc si zapamatoval pouze to, co ho zajímalo. Zajímala jej matematika a jeho talent byl od za átku všem z ejmý. Na druhé stran vedla jeho posedlost dokonalostí k pozd odevzdaným domácím úkol m a k hr ze svých u itel rad ji vymýšlet vlastní ešení, než aby se zdržoval studiem u ebnic. U itelé ale asto rozpoznali jeho neoby ejné schopnosti a obcházeli klasifika ní pravidla, aby mu umožnili projít systémem hodnocení. P eji i našim d tem, které mají skryté talenty a nedovedou je pat i n prezentovat, také takové u itele. Literatura 1. BLAŽKOVÁ, R. a kol. Poruchy u ení v matematice a možnosti jejich nápravy. Brno: Paido s. ISBN: DEVLIN, K. Problémy pro t etí tisíciletí. Praha: nakl. Doko án a Argo, s. ISBN HEJNÝ, M., KU INA, F.: Dít, škola a matematika. 4. RVP Kontaktní adresa RNDr. R žena Blažková, CSc. Katedra matematiky Pedagogické fakulty MU Pedagogická fakula MU Po í í 31, Brno Telefon: blazkova@ped.muni.cz 55

56 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V MOTIVA NÝ PRÍSTUP K OBJASNENIU POJMU FUNKCIA A DELITE NOS ÍSEL NA 1. STUPNI ZŠ Jaroslava BRINCKOVÁ Abstrakt Tvorba viano ných pozdravov v pracovnom vyu ovaní a výtvarnej výchove poskytuje pre prípravu u ite ov predškolskej a elementárnej pedagogiky mnoho námetov na rozvoj íselných a funk ných predstáv detí. U ebná pomôcka Inspiro rozvíja sú asne zru nos detí v kreslení iar. Analýza nakresleného obrázka z poh adu matematického u iva umož uje rozširova poznatky z delite nosti ísel a rozvíja funk né myslenie. ACCES MOTIVATED TO EXPLANATION OF FUNCTION AND NOTIONS LIKE DIVISABILITY OF NUMBERS AT ELEMENTARY SCHOOL Abstract Creation of Christmas regards during fine arts a labour education give many topics for preparation of pre-school and elementary pedagogy teachers. These topics develop numbers ideas of childern. The teaching aid Inspiromat develops skills of childern in drawing of lines, too. Analysis of drawing picture from regard of mathematical subject matter enables to widen knowledge about divisability of numbers and develops function thinking. Úvod Poznávací proces v ktorom sa tvoria matematické predstavy žiakov prebieha v piatich po sebe nasledujúcich etapách: motivácia etapa separovaných modelov etapa univerzálnych modelov abstrak ný zdvih etapa kryštalizácie. Ve a poznatkov žiakov, hlavne na 1. stupni ZŠ, prechádza ešte etapou automatizácie. Pretože sa v nej odohráva nácvik rýchleho vyh adávania spojov už vytvorených v pamäti, nepovažujeme túto innos za samostatnú etapu rozvoja poznania v matematike ( pozri Hejný, Stehlíková, 1999, str. 27). V školskej praxi sme asto svedkami preskakovania niektorých etáp. Naj astejšie je to absencia modelovania. Žiaci dostávajú hotový poznatok (pokyn, návod, vzorec) a ich poznanie sa stáva formálnym. Dochádza k deformácii ich poznania, o sa s narastajúcim po tom poznatkov len prehlbuje. Typickým prípadom formálneho poznania identifikovaného v príprave u ite ov pre 1. stupe ZŠ a u ite ov Predškolskej a elementárnej pedagogiky sú funkcie. Modelujeme pojem funkcia Funk né myslenie žiakov 1. stup a ZŠ sa rozvíja hne od 1. ro níka ZŠ ur ovaním rela ných vz ahov a tvorbou usporiadaných dvojíc pri porovnávaní po tu prvkov v množinách. Napríklad: Každej šálke prira lyži ku. oho je viac? Postupné spôsob 56

57 narastania poznatkov o zobrazeniach, íselných operáciach, zobrazení karteziánskeho sú inu pri násobení predpokladá, že jednotlivé poznatky sa v priebehu svojho formovania navzájom prepoja väzbami prí innosti a funk nosti. Postupne, v dôsledku nového objavu reštruktualizujú. Etapy v ktorých sa vytvára úplné funk né poznanie žiakov ZŠ a SŠ môžeme charakterizova v nasledujúcej štruktúre: vytváranie pojmu funkcia triedenie funkcií zložené funkcie aplikácie v praxi. Prvú etapu, pojem funkcia, modelujeme v nasledujúcich krokoch: tabu ka a predpis - graf defini ný obor a obor hodnôt funkcie vlastnosti funkcie inverzná funkcia. Algoritmické precvi ovanie násobilky a s ítania dopl ovaním tabuliek utvára dostato ný návyk na úplné pochopenie usporiadanej dvojice už na 1. stupni ZŠ. Deti prichádzajú do školy s rozvinutou prirodzenou dispozíciou pre kreslenie. Schopnos íta obrázok a kresli obrázok pod a pokynov sa však pôsobením školy utlmuje už na 1. stupni ZŠ. V geometrii sa zaoberajú predovšetkým priamymi a lomenými iarami v rovine a prácou vo štvorcovej sieti. Objavi krivú iaru a skúma pravidlo, pod a ktorého vznikla umož uje na 1. stupni ZŠ len pracovné vyu ovanie a výtvarná výchova pri tvorbe pekných obrázkov s Inspirom alebo bavlnkou na viano né pozdravy. V príprave u ite ov predškolskej a elementárnej pedagogiky sme integrovali tieto poznatky s u ivom o funkciách. Nadviazali sme aj na poznatky z u ebnice matematiky pre 6. ro ník Z autorov J.Cihlá a M. Zelenka, (1993, s. 43), ktorí vnášajú do u iva o zobrazeniach kinematiku pri študovaní pohybu krajného bodu úse ky otá ajúcej sa okolo štvorca a otá anie bodu kružnice okolo druhej kružnice. Tak vznikajú cykloidy. Cykloidy a inspiro Cykloida na obr.. 1 vzniká pohybom daného bodu na kružnici pri otá aní kružnice po priamke. [7] Pomocou Inspira v pracovnom vyu ovaní žiaci kreslia epicykloidy a hypocykloidy. Môžeme ich zapísa systémom parametrických rovníc. Cykloida je krivka daná parametrickými rovnicami x = r (t - sin t) y = r (1 c. cos t) obr..1 Epicykloida na obr je krivá iara v rovine, ktorú opisuje bod kružnice k 1 s polomerom r otá ajúcej sa po kružnici k 2 s polomerom R. Epicykloidu najlepšie opíšeme parametrickými rovnicami obr..2 R r x = (R + r). cos(t) - r. cos [ r R r y = (R + r). sin(t) r. sin [ r t ] t ] 57

58 Ak pomer polomerov kružníc R/r sa rovná 1 dostávame krivku tvaru srdca, zvanú kardioida (obr..3), ostatné epicykloidy (obr.. 4 a 5) majú po et oblú ikov závislý na pomere polomerov obr.. 3 obr..4 obr..5 Ak je pomer polomerov racionálne íslo, tak stopa, ktorú opisuje bod menšej kružnice pri vonkajšom odva ovaní sa kružnice po kružnici s vä ším polomerom vytvára ornament podobného typu ako na obr..6 a 7. Aký bude po et lupienkov kvetu ktorý sme nakreslili? Ur i po et oblú ikov uzavretej krivej iary, ktorú opíše bod menšej kružnice pri svojom návrate do pôvodnej polohy nám umož uje poznanie najmenšieho spolo ného násobku ísel R a r, ako aj vz ahu: x. R = y. r, kde [x, y] N x N sú násobky R a r. Hypocykloida je krivá iara v rovine, ktorú opisuje bod P kružnice k 1 s polomerom b (r) otá ajúcej sa z vnútra po kružnici k 2 s polomerom a (R). Pozri obrázok.8. Hypocykloidu opíšeme parametrickými rovnicami podobne ako epicykloidu. Ukážky modelov sú na obrázkoch R r x = (R - r). cos(t) + r. cos [ t ] r R r y = (R - r). sin(t) - r. sin [ r t ] obr..6 obr..7 obr..8 58

59 obr.. 9 -asteroida obr..10 obr..11 Hra Inspiro je sadou ozubených koliesok a elipsovitých va iek v ktorých sú o íslované otvory pre presné nastavenie ceruzky. Prácu s Inspirom v škole prezentujeme v prednáške. Kreslenie pomocou Inspira rozvíja zru nos v rysovaní a sú asne ukazuje možnos využi poznatky o násobení na predpovedanie tvaru obrazca. Nepriama úmernos a úse ky V pracovnom liste.1 z matematiky vo 4. ro níku ZŠ, autorov P. Bero, Z. Pytlová (2003, s.4) je úloha o sánkovaní baby Jagy. Tu je propedeuticky modelovaný vz ah nepriamej úmernosti spojením výsledkov násobenia s odpovedajúcimi príkladmi pomocou úse iek tak ako na nasledujúcom obrázku. 12. Vzniknutý útvar ohrani ujú body, ktoré ležia na krivej iare. Táto je grafom nepriamej úmernosti, definovanej na množine kladných reálnych ísel. Pokým priama úmernos, ako funkcia definovaná na množine prirodzených ísel N x N je zaradená do vyu ovania v súvislosti s násobilkou, nepriama úmernos nie je v u ebnom pláne. Ale podobný graf modelujú žiaci v 3. ro níku ZŠ v pracovnom vyu ovaní, pri om si pomáhajú predpisom : Prvému bodu na osi prira posledný na druhej osi postupne o ko ko prvé íslo zvä šíš o to ko druhé zmenšíš. Pozri obr obr.. 12 Vnímaním takto vytvoreného pekného viano ného obrázka sa motivuje diskusia o vz ahoch, ktoré pri jeho konštrukcii platia. Vedie k snahe vyslovi všeobecné pravidlo pre jeho realizáciu. V prednáške prezentujeme práce študentov u ite stva pre 1. stupe ZŠ so žiakmi v škole. Záver Študenti predškolskej a elementárnej pedagogiky majú, ako uvádza A. Prídavková (2005, s. 209), nadobudnú pri štúdiu matematiky schopnos nachádza väzby medzi pojmami, ktoré sa vyskytujú v teoretickej oblasti matematiky a pojmami, ktoré sa vyvíjajú v myslení detí. V magisterskom štúdiu majú, pod a I. Scholtzovej (2005, s. 237), nadobudnú zru nosti pre výber vhodných úloh a inností, ktoré sú zamerané na rozvoj jednotlivých zložiek matematického poznania. Získa tieto schopnosti umož uje prepojenie poznatkov o medzipredmetových vz ahoch matematiky, pracovného vyu ovania a výtvarnej výchovy v 3. a 4. ro níku ZŠ. Otvára sa tu 59

60 možnos skúma vymodelované iary pri sú asnom rozvíjaní funk ného myslenia žiakov. Ve nakresli iaru a vedie ju íta, pod a B. Kore ovej (2003, s. 146), je u mladších žiakov skuto ne tvorivá innos. Schopnos vníma iaru je potrebné rozvíja vo veku, kedy sú žiaci ešte citliví na grafické stvárnenie predstáv. A to je vo veku od 5 o 9 rokov. Až v siedmom ro níku ZŠ vníma graf funkcie a závislos medzi usporiadanými dvojicami je už pre vä šinu žiakov, pod a našich zistení, neskoro. Práca s Inspirom v seminári z elementárnej matematiky študentky zaujala. Vytvorili si vlastné logo na svoje seminárne práce a mali nájs pravidlo, pod a ktorého bolo nakreslené. Práca ich podnietila ku h adaniu cyklometrických funkcií prostredníctvom internetu [7] a kresleniu funkcie. Jednou z najzaujímavejších, z poh adu študentiek, bola krivka vyjadrená touto rovnicou: 2 2 x x 6 y = 2 36 x 3 2 x x 2 Zostrojte si jej graf pre hodnoty x z intervalu (- 6, 6). Je motivujúci. Literatúra 1. BERO, P., PYTLOVÁ,Z.: Matematika pre 4. ro ník ZŠ. Pracovný zošit 1. Bratislava: OPI, 2003, s.4. ISBN CIHLÁ ZELENKA.: Matematika pro 6. ro ník ZŠ. 2. díl. Ústí nad Labem: Dialog, ISBN HEJNÝ, M., STEHLÍKOVÁ, N.: íselné p edstavy d tí. Kapitoly z didaktiky matematiky. Praha: Univerzita Karlova, Pedagogická fakulta, s. ISBN KORE OVÁ, B.: Poznávanie geometrie sveta pomocou innosti rúk. In: Od innosti k poznatku. Sborník z konference s mezinárodní ú astí. Srní Plze : PF PU, 2003, s ISBN PRÍDAVKOVÁ, A.: Elementárna aritmetika a algebra s didaktikou v štúdijnom obore Predškolská a elementárna pedagogika. In:Induktívne a deduktívne prístupy v matematike. Zborník z konferencie s medzinárodnou ú as ou. Smolenice Trnava: PF TU, CD, s SCHOLTZOVÁ, I.: Matematika v magisterskom stupni štúdia v štúdijnom obore Predškolská a elementárna pedagogika. In:Induktívne a deduktívne prístupy v matematike. Zborník z konferencie s medzinárodnou ú as ou. Smolenice Trnava: PF TU, CD, s World Wide Web: Kontaktní adresa Doc. RNDr. Jaroslava Brincková, CSc. Katedra matematiky PF UMB Ružová Banská Bystrica, SR Telefón: jbrinckova@pdf.umb.sk 60

61 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V DETEKTIV S KALKULÁTOREM PERIODY V ROZVOJÍCH RACIONÁLNÍCH ÍSEL Ji í CIHLÁ Abstrakt lánek p ináší zkušenosti s odstra ováním potíží, které mají asto studenti u itelství pro 1. stupe ZŠ s obsahem pojm : desetinné íslo, racionální íslo, iracionální íslo, atd. Obsahuje problémové úlohy, které studenti v seminá ích eší, nap íklad: jak zjistit délku periody v rozvoji racionálního ísla, jak ur it dlouhé periody pomocí kalkulátoru s omezenou p esností, atd. A DETECTIVE WITH A CALCULATOR PERIODS IN THE EXPANSION OF RATIONAL NUMBERS Abstract The article focuses on helping junior elementary school trainees cope with some of the difficulties they often experience in understanding the following concepts: decimal numbers, rational and irrational numbers, etc. It also contains a number of problems for the students to solve: e.g. how to determine the length of a period in the expansion of a rational number, how to determine a long period using a calculator with limited accuracy, etc. Ve výuce aritmetiky a její didaktiky pro studenty u itelství 1. stupn ZŠ se tradi n v nuje pozornost p irozeným ísl m, a návazn pak celým a racionálním ísl m. P i preferenci strukturálního pojetí této látky pak m že zaniknout význam desetinných ísel a d ležitá problematika zápisu reálných ísel ve form desetinných rozvoj. P ísp vek obsahuje adu problémových úloh, které p ivedou studenty k hlubšímu pochopení této látky, navrhovaná forma výuky pak poskytuje mnoho možností jak pro intuitivní odhalování nových poznatk, tak pro jejich matematické formulování a od vod ování. Kouzelné íslo a desetinné rozvoje ísel 1/n Téma m žeme otev ít známou úlohou z rekrea ní matematiky: Úloha 1: Vypo ítejte následující sou iny: , , , , , Co je na nich zajímavého? Vypo ítejte ješt íslo ešení: Výsledky studenty obvykle p ekvapí, když si povšimnou cyklického posunu íslic ve výsledcích:

62 Záv rem ješt vypo tou: Pak studenti eší otravnou numerickou úlohu: 1 Úloha 2: Vypo ítejte desetinné rozvoje ísel pro n kolik prvních p irozených ísel. n ešení: Výsledkem je tato, pop ípad obsažn jší tabulka (vhodné je užít Excel): n Desetinný rozvoj n 1 n Desetinný rozvoj n 1 n Desetinný rozvoj n 1 2 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , Studenti odhalí souvislost obou úloh a vyrojí se ada dalších otázek: Pro se p i d lení 1 : 7 cyklicky opakují íslice našeho kouzelného ísla? Existují n jaká další ísla s podobnou vlastností? (Jmenují se cyklická ísla.) Pro n které rozvoje kon í nulami a jiné ne? Co když rozvoj zlomku 1/n nekon í nulami? Má pak ur it periodu? Co ovliv uje délku periody? Co ovliv uje výskyt a délku p edperiody? Atd. Odpov na první otázku p inese ešení této úlohy: Úloha 3: D lte písemn : 1 : 7, 2 : 7, 3 : 7, atd. ešení: 1 : 7 = 0, : 7 = 0, : 7 = 0, Cifry podílu se periodicky opakují, protože zbytky nenabývají nulové hodnoty. V tomto p ípad je dokonce dosažena maximální délka periody (postupn se vyskytnou všechny možné nenulové zbytky). Je i patrné, jaký tvar mají násobky kouzelného ísla. Studenti též odhalí, že další cyklická ísla budou dána íslicemi periody v desetinném 1 rozvoji ísla, která má délku n 1. n Desetinná ísla Desetinná ísla zavedeme tak, že jsou vyjád itelná ve tvaru desetinného zlomku p k 10, kde p Z, k N0. Student m ned lá potíže pochopit, že každé desetinné íslo je racionální, a od vodnit, že každé desetinné íslo má ukon ený desetinný rozvoj, a naopak, že každé íslo, jehož desetinný rozvoj je ukon ený, je desetinné. Potíže však 62

63 iní otázka, která racionální ísla (sta í se ptát které pravé zlomky ) jsou desetinná ísla. Pomohou tyto úlohy: 1 Úloha 4: Zjist te, pro jaká p irozená ísla n 2 jsou desetinné rozvoje ísel n ukon ené. Užijte výsledk p edcházející úlohy a rozkládejte ísla n na prvo initele. ešení: Hledaná ísla mají tvar n 5 a b 2 (kde mocnitelé mohou být rovny i nule). Úloha 5: Od vodn te, že zkrácený zlomek n c je desetinným íslem práv tehdy, když n 5 a b 2. Reciproké hodnoty prvo ísel r zných od 2 a 5 a jejich násobky Zkoumání periodických rozvoj racionálních ísel za ínáme nejjednodušším q 1 p ípadem: Úloha 6: Ur ujte periody ísel,,,,, kde q je prvo íslo r zné q q q q od ísel 2 a 5. Jaké jsou jejich délky? Jaká fakta dokážete objevit, pomocí t chto a analogických rovností: 1, 1, 1? ešení: V n kterých p ípadech je perioda tak krátká, že ji studenti zjistí i na b žném kalkulátoru (nap íklad pro q = 3, 11, 13, 37, 41, 73, 101, 239, 271, atd.). V ostatních q 1 p ípadech využívají toho, že periody ísel,,,, se v i sob cyklicky q q q q posunují (podobn jako v úvodních úlohách), a hledají periody detektivním zp sobem pomocí skupin navazujících íslic. Zjistí, že tato ísla nemají p edperiodu. x q x M že jim pomáhat fakt, že periody ísel a jsou devítkovými dopl ky. q q Získají nap íklad, že: 1:17 0, :19 0, : 23 0, : 29 0, : : 43 0, Pomocí následující tabulky sami odhalí, že délky period jsou d litelé ísla q 1: q Délka periody 1 ísla q q Délka periody 1 ísla q q Délka periody 1 ísla q q Délka periody 1 ísla q Délku periody mohou studenti odhadovat takto: 1 D lením rovnosti 3 0, t emi získáme 1 0, Perioda má délku D lením rovnosti 11 0, jedenácti získáme, že 1 0,

64 Perioda má délku 2. 1 Hledáme-li periodu pro q 7 pot ebujeme d lit rovnost.7 0, íslem 7. 7 Hledáme tedy skupinu devítek, která bude p edstavovat íslo d litelné sedmi. ísla 9, 99, 999, 9999, nejsou d litelná sedmi, ale íslo už ano. Platí, že : 7 = , a proto 1 0, Perioda má délku 6. 7 p Záv rem: Je-li íslo 10 1 první z ísel , , , atd., které je d litelné prvo íslem q, pak desetinný rozvoj ísla q 1 má periodu délky p. V tabulce jsou vybarvením vyzna ena prvo ísla q, pro n ž má perioda jejich reciproké hodnoty maximální délku q 1 (full reptend primes). Je zajímavé, že pro jejich posloupnost 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, není znám vzorec, pomocí n hož by se dala tato prvo ísla vypo ítávat. Dalším zajímavým faktem je, že mezi všemi prvo ísly je t chto prvo ísel, která generují cyklická ísla, asi 37,4 % viz následující tabulka: Hranice H Po et prvo ísel menších než H Po et prvo ísel menších než H generujících cyklická ísla Hustota prvo ísel Hustota generátor cyklických ísel Hustota generátor cyklických ísel v prvo íslech , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Periodické rozvoje bez p edperiody V dalším se zabýváme ísly tvaru, resp.,,, atd., kde jmenovatel je n n n n sou inem prvo ísel r zných od 2 a 5, tedy kde n q 1 q 2 qk, p i emž žádné z prvo ísel q 1, q2,, qk není rovno ani 2 ani 5. Studenti užívají následující tabulku p rozklad ísel 10 1 na prvo ísla, a uv domí si, že pro navzájem r zná prvo ísla q, 2,, 1 1 q q k je délka periody ísla nejmenším spole ným násobkem délek period n ísel 1 pro i 1, 2,, k. q i 9 = = = = = = = =

65 Získají tak nap íklad pro íslo n , že délky period ísel ad 2 a 3, nejmenší spole ný násobek n ( 2,3) 6, a délka periody ísla 407 Opravdu platí 1: 407 0, A podobn. 1 1 a jsou po je tedy 6. P edperiody Zbývá vyšet it racionální ísla tvaru, resp.,,, atd., kde jmenovatel je n n n n sou inem prvo ísel 2 nebo 5 a ješt n kterých dalších prvo ísel, tedy kde a b n 2 5 q 1 qk, p i emž ísla a, b nejsou sou asn rovna nule, a žádné z prvo ísel q 1, q2,, qk není rovno ani 2 ani 5. Takováto ísla mají p edperiodu, lze snadno ukázat, že délka p edperiody je rovna maximu z ísel a, b, a délka periody je stejná jako perioda reciproké hodnoty ísla q1 qk viz p edchozí odstavec Nap íklad pro n vypo teme t eba, že 0, Pro má p edperioda délku 3 a perioda délku 5? Od vodníme to snadno takto: , ,887 0, , Pro zapamatování d ležitých výsledk je užite ná tato tabulka udávající druhy desetinných rozvoj reciprokých hodnot p irozených ísel:

66 Význam ozna ení v tabulce je v následující legend : a b n 2 5, p i emž 1 n desetinný rozvoj je ukon ený a, b N, a 0 b 0 n n n n x n q, p i emž q je prvo íslo r zné od 2 a 5, x N x x x n q q q k k, p i emž všechna prvo ísla q 1, q2,, q jsou r zná od 2 a 5, x, x2,, x N 1 k a b x x x n 2 5 q 1 q q k k, p i emž a, b N, a 0 b 0, všechna prvo ísla q 1, q2,, qk jsou r zná od 2 a 5, x, x2,, x N 1 k k desetinný rozvoj n 1 je periodický, ale bez p edperiody desetinný rozvoj n 1 je periodický, ale bez p edperiody (délka periody se ur í nejmenším spole ným násobkem) desetinný rozvoj n 1 je periodický, s p edperiodou délky max( a, b) Záv ry Po procvi ení ídnou výroky typu: íslo 1/2 není desetinné íslo, je to zlomek! íslo 0,33333 je desetinné íslo! Studenti poznají užite nost písemného d lení, uv domí si, že po íta e nejsou všemocné, a setkají se dokonce s ne ešenými matematickými problémy. Studenti dob e pochopí periodicitu, tím se usnadní vytvo ení p edstavy iracionálních ísel. Literatura 1. Conway, J.H., Guy, R.K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, Kontaktní adresa Prof. RNDr. Ji í Cihlá, CSc., katedra matematiky, Pedagogická fakulta, Univerzita Jana Evangelisty Purkyn v Ústí nad Labem, Ho ení 13, Ústí nad Labem, tel.: , cihlarj@pf.ujep.cz 66

67 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V PROBLÉMY V MATEMATICE P I P ECHODU ŽÁK ZÁKLADNÍ ŠKOLY Z 1. STUPN NA 2. STUPE Jana COUFALOVÁ, Ladislava TU KOVÁ Abstrakt Testem matematických znalostí zadaným na po átku 6. ro níku bylo u žák zjiš ováno, které u ivo 1. stupn není dostate n osvojeno. Rozsah a struktura souboru umožnily testovat hypotézy srovnávající úsp šnost žák podle pohlaví a podle typu školy (m stská, venkovská). PUPIL S DIFFICULTIES IN MATH CONNECTED WITH THE TRANSITION BETWEEN THE FIRST GRADE AND THE UPPER GRADE AT SCHOOL Abstract Pupil s problems in Math connected with the transition between the first grade and the upper grade at primary school were explored by means of the mathematical knowledge test. This test was given to the 6th form pupils of primary school at the beginning of the school year. The problematic parts of the subject matter are discussed here and some generally accepted hypotheses about learning of mathematics are tested. Success of pupils has been compared in the relation of their gender and type of the school (town, country). Období p echodu z 1. stupn základní školy na 2. stupe p ináší v tšin žák nové situace, se kterými se n kdy obtížn vyrovnávají. Jedná se p edevším o zm nu organizace výuky, st ídání vyu ujících, které je asto spojeno se st ídáním stylu práce a požadavk. Od žáka se o ekává v tší samostatnost a zodpov dnost. N kte í žáci p icházejí do nového prost edí, do nového kolektivu. Toto období je složité i pro vyu ujícího. Ten musí v pom rn krátké dob poznat dosavadní úrove poznání žák, reagovat na její rozdílnost, ale musí poznat i charakterové vlastnosti žák a jejich sociální zázemí. V praxi se setkáváme u u itel 2. stupn s výroky typu: D ti nic neumí, na prvním stupni je u itelka nic nenau ila, nemají základní znalosti, U itel by se nem l k takovým hodnotícím soud m uchylovat. Místo toho by se m l zajímat o žáky ješt d íve, než je za ne u it, m l by být v kontaktu s vyu ujícím na 1. stupni. Zárove by si m l uv domovat, které u ivo 1. stupn je obtížné, s jakými problémy v matematice budou z ejm žáci p icházet a jak je lze postupn odstra ovat. Ve spolupráci se studentkami upravené formy studia U itelství pro 1. stupe jsme ve školním roce uskute nili na 12 školách výzkum, jehož cílem bylo zjistit, které u ivo bývá p i p echodu žák na 2. stupe osvojené dob e a které nedostate n. Výzkumu se zú astnilo 462 žák 6. t íd základních škol a 1. t íd víceletých gymnázií (216 chlapc, 246 dívek). P t škol bylo venkovských, sedm m stských. Prost ednictvím 67

68 vyu ujících byl b hem m síce íjna zadán žák m písemný test. Doba na vypracování byla 45 minut. Test byl anonymní, žák uvád l pouze pohlaví. Vyu ující byli p edem instruováni, že b hem testu musí žáci pracovat zcela samostatn. Test obsahoval 13 úloh: 1. ešte slovní úlohu: Eva sn dla k ob du 4 knedlíky. Její bratr Aleš sn dl dvakrát více knedlík než Eva. Bratr Dalibor sn dl o 2 knedlíky více než Eva. Kolik knedlík sn dl Aleš a kolik Dalibor? 2. Vypo ítejte zpam ti: = : 40 = 25 + (7 3) = 0, = 3. Vypo ítejte písemn : Uve te, na kterém obrázku tvo í vybarvená ást 4 1 kruhu. A B C 5. D lte a prove te zkoušku správnosti výpo tu: : 6 = 6. Napište, z kolika krychlí se skládá tato stavba: 7. Na š e visí 6 pár tmavých ponožek a 3 páry sv tlých ponožek. Petr jde ve er potm jeden pár sebrat. Kolik kus musí vzít, aby m l ur it pár stejné barvy? 8. Znázorn te na íselné ose ísla 791; 784; 788,5; 786 (k dispozici byl úsek osy s vyzna enými ísly 785, 790, 795). 9. Narýsujte kolmice e, f. Jejich pr se ík ozna te S. Bod S je st edem kružnice k, která má polom r 2,0 cm. Narýsujte tuto kružnici k. 10. Jaká t i další ísla pat í do ady B? A: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, B: 1, 2, 4, 7, 11, 16,,, 11. Ur ete obsah vybarvené plochy. Jeden malý tverec má obsah 1 cm Kolik centimetr m í ty, která je u íznuta jako polovina z ty e dlouhé 8 m? 13. Vypo ítejte obvod a obsah koberce, který má tvar obdélníku. Délka koberce je 4 m a ší ka 3 m. Vejde se tento koberec do obdélníkové chodby o rozm rech 2 m a 6 m? 68

69 U každé úlohy byla provedena jevová analýza a sledovány konkrétní problémy neúsp šných žák. Bodové ohodnocení konkrétní úlohy umožnilo vypo ítat maximální možný po et bod a celkový dosažený po et bod v daném souboru. Z t chto hodnot pak byla vyjád ena v procentech úsp šnost. (Nap íklad v první úloze mohl žák dosáhnout maximáln 4 bod, 462 zkoumaných žák bod. Celkový po et dosažených bod byl 1 597, tj. úsp šnost inila 86,4 %.) Tab. 1 Úsp šnost ešení jednotlivých úloh Úloha Úsp šnost 86,4 77,9 72,0 34,4 75,7 73,8 6,7 77,8 58,6 56,9 49,0 49,2 17,1 Nejmenší problémy inila žák m první úloha. Žáci dob e rozlišovali slovní spojení o n více, n krát více. P ibližn polovina žák ešila úlohu pouze úvahou a napsala ihned odpov, polovina se držela nau eného schématu zápis, vlastní výpo et, odpov. U pam tného po ítání (úloha 2) bylo problémem po ítání s desetinnými ísly. Vysoká chybovost nebo vynechávání p íkladu s desetinnými ísly se vyskytovaly v n kolika p ípadech u celých t íd. Tam z ejm vyu ující celek desetinná ísla probrali jen povrchn s tím, že u ivo bude stejn probíráno na druhém stupni. Písemné po ítání s p irozenými ísly (3) bylo dob e osvojené, chyby zp sobovalo p ehlédnutí typu operace (nap íklad zám na od ítání a násobení). U úlohy na vyjád ení ásti celku zlomkem žáci asto uvád li obrazec C, na kterém vid li tvrtinu. V páté úloze inil d tem problémy zápis nuly v podílu (Místo : 6 = 206 psaly : 6 = 26). Když jim nevyšla zkouška, nehledaly chybu a postoupily rad ji k dalšímu úkolu. V úloze na prostorovou p edstavivost (6) bylo nej ast jší chybou po ítání jen t ch krychlí, které jsou na obrázku vid t p i pohledu zep edu, tj. 15 krychlí. Nejmenší úsp šnost byla u úlohy íslo 7, která vyžadovala logickou úvahu a pro v tšinu žák byla neobvyklým typem úlohy. ada žák pouze zakreslila daný po et ponožek a neuvedla ešení (úlohu ne ešilo p es 18 % d tí). Slovní spojení jeden pár vedlo k odpov di: Petr musí vzít dv ponožky, aby m l jeden pár stejné barvy. N které d ti vyzna ily v obrázku pár tmavých ponožek a pár sv tlých ponožek a v odpov di uvedly, že Petr musí vzít dva páry. S vyzna ením p irozených ísel v úloze 8 nem li žáci problémy. íslo desetinné nevyzna ili v bec nebo je vyzna ili chybn. N kte í adili íslo 786 za íslo 795. Jednoduchá konstruk ní úloha (9) byla n kdy provedena postupn, protože d ti nepochopily návaznost jednotlivých krok. Zakreslily proto zvláš kolmice a vedle kružnici jako jinou úlohu. Nej ast jší chybou bylo narýsování rovnob žek místo kolmic. Žáci zapomínali na ozna ení útvar. Velmi nízkou úrove m la úprava. N které konstrukce byly provedeny perem nebo propisova kou. Od úlohy 10 rostlo procento d tí, které z asových d vod úlohu ne ešily. V uvedené úloze bylo evidentní, že v n kterých t ídách byly obdobné úlohy ešeny a n kte í žáci se naopak s takovým typem nesetkali. I žáci, kte í odhalili správný postup a nemýlili se ve dvou íslech, ud lali po etní chybu v ur ení dalšího (Místo 22, 29, 37 uvád li 22, 27, 35 nebo 22, 29, 38). Žáci, kte í ešili úlohu 11, dosp li v tšinou ke správnému ešení. Chybovali pouze v zápisu jednotky. Úloha 12 vyžadovala pozorné p e tení textu. Žáci, kte í ji ešili, provedli správn výpo et 8 : 2, ale zapomn li,, že je t eba provést p evod metr na centimetry. Pokud si to uv domili, byl p evod bezchybný. V poslední úloze (13) n kte í ur ovali obsah koberce a obsah chodby, ale více žák využilo své p edstavivosti 69

70 a rovnou napsali odpov typu Koberec se do chodby vejde, ale musíme ho roz íznout. N kte í žáci zam nili p i výpo tu obsah a obvod. U laické ve ejnosti, ale i u itel se asto setkáváme s ur itými zažitými domn nkami a názory, které nemusejí být obecn platné, ale jsou takto p ijímány. Mezi n pat í nap íklad tvrzení: Chlapci dosahují v matematice lepších výsledk než dívky, protože mají lepší logické myšlení., Žáci m stských škol dosahují v matematice lepších výsledk než d ti na venkov.. Rozsah souboru a struktura respondent umožnily sledovat i tyto jevy. Byla srovnána úsp šnost ešení u žák m stských a venkovských škol (Tab. 2) a úsp šnost ešení chlapci a dívkami (Tab. 3). P ed zahájením výzkumu byly formulovány následující hypotézy, které odpovídají obecnému mín ní o výsledcích v matematice: H 1 : Žáci m stských škol dosahují v matematice lepších výsledk než žáci venkovských škol. H 2 : Úsp šnost ešení matematických úloh je u dívek nižší než u chlapc. Tab. 2 Úsp šnost žák m stských a venkovských škol Úloha Úsp šnost 86,9 80,2 71,6 35,2 76,3 74,5 6,9 76,4 57,2 59,9 49,3 52,1 19,4 m sto Úsp šnost venkov 85,2 72,1 73,2 32,3 74,0 72,1 6,3 81,3 62,0 49,2 48,4 41,7 13,2 Tab. 3 Úsp šnost chlapc a dívek Úloha Úsp šnost 83,8 75,2 67,8 36,6 71,5 76,6 4,2 78,5 56,4 53,2 48,4 51,2 16,3 chlapci Úsp šnost dívky 88,7 80,3 75,7 32,5 79,4 71,3 8,9 77,1 60,5 60,2 49,6 47,6 19,3 Celková pr m rná úsp šnost u žák m stských škol byla 60,7 %, u žák venkovských škol 58,7. Celková pr m rná úsp šnost chlapc inila 58,5 %, úsp šnost dívek 61,6 %. Ob hypotézy byly testovány na 5 % hladin významnosti testem pro rozdíl pr m r dvou nezávislých výb r. Bylo ov eno, že rozd lení sledované náhodné veli iny lze považovat za normální, rozdíl rozptyl nebyl statistický významný. Na uvedené hladin významnosti bylo prokázáno, že úsp šnost ešení úloh u dívek je v tší než u chlapc (hodnota testového kritéria u = 1,870, u > 1,645). Nebylo prokázáno, že žáci m stských škol dosahují v matematice lepších výsledk než žáci venkovských škol (u = 1,131, u < 1,645). Úsp šnost dívek v matematice na prvním stupni bývá od vod ována tím, že d v ata svojí pe livostí a cílev domostí zvládnou po etní algoritmy, jejichž osvojení tvo í zna nou ást u iva 1. stupn, ale chlapci je p ed í v ešení logických úloh. Provedený výzkum toto tvrzení nepotvrdil. P i podrobn jší analýze byly posuzovány výsledky úloh, které více vyžadovaly logické myšlení (4, 7, 10, 12). Úloha 13 nebyla za azena pro nižší po et ešitel. I když pr m rný bodový zisk byl u chlapc vyšší, nebyl tento rozdíl statisticky významný. 70

71 Záv ry: 1. Provedený výzkum ukázal, že žáci dob e zvládli úkoly, které b žn ešili na prvním stupni ZŠ. Jakmile se setkali s úlohou, která vyžadovala kreativitu, netradi ní zp sob ešení nebo uplatn ní již známého a dostate n osvojeného v nových situacích, selhávali. Pokud úlohu ešili, ale p i ešení se dopoušt li chyb, lze situaci považovat za p ízniv jší než stav, kdy se žák takového úkolu zalekl a v bec se o ešení nepokusil. U itelé prvního stupn by vedle nácviku algoritm m li více pozornosti v novat rozvoji logického myšlení žák a jejich kreativity. 2. Výzkum ukázal, že bychom nem li jako obecn platná p ijímat n která tvrzení o souvislosti výsledk žák v matematice s pohlavím a s místem školy. Literatura 1. HENDL, J. P ehled statistických metod zpracování dat. 1.vyd. Praha: Portál, s. ISBN HENDL, J. Kvalitativní výzkum. 1.vyd. Praha: Portál, s. ISBN KULKA, J. K psychologii neprosp chu žáka NELEŠOVSKÁ, A. SPÁ ILOVÁ, H. Didaktika IV. 1. vyd. Olomouc: Univerzita Palackého, s Kontaktní adresa Doc. PaedDr. Jana Coufalová, CSc. Katedra matematiky, Fakulta pedagogická Z U v Plzni Sedlá kova 38, Plze Telefon: coufalov@kmt.zcu.cz 71

72 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V KDYŽ SE EKNE MATEMATIKA Jind iška EBEROVÁ, Anna STOPENOVÁ Abstrakt Postavení matematiky ve spole nosti d íve a dnes, Dotazníkové šet ení postoj žák základní školy a student oboru U itelství 1. stupn základní školy k matematice. WHEN YOU SAY MATHEMATICS Abstract The place of mathematics in the society a questionnaire survey of attitudes in which future teachers of mathematics at primary schools responded. V každé v d je tolik v dy, kolik je v ní matematiky. P. Vop nka 1. Úvod Matematika dnes Matematika bývá ozna ována jako královna v d. Zárove se dá íci, že vzbuzuje u v tšiny lidí spíše obavy, n kdy možná úctu a obdiv, ale málo kdy lásku. Ve spole nosti se v sou asné dob klade d raz ve vzd lanosti na cizí jazyky (zejména anglický), historii, um ní a jiné v dy, ale sporadicky na matematiku. Stále ješt lidem bývá podsouvána myšlenka, že k dobrému tónu pat í, nerozum t matematice. N které sou asné celebrity, které jsou idolem pro mládež, v rozhovoru pro media se chválí svým negativním vztahem k matematice. Matematiku spole nost za azuje, k její škod, pouze k v dám technickým, které se vzd laností nesouvisí. Širší ve ejnost se všeobecným vzd láním má zkušenosti s matematikou jen takové, které souvisí pouze s po ítáním matematických p íklad. Obvykle tato ve ejnost nedosp la k ešení vlastních problém matematiky, nem la p íležitost poznat, jak se tvo í nové pojmy a tím i celá nová odv tví matematiky. V matematice však nejde jen o po ítání, ale eší se problémy daleko hlubší. Pojem matematika Pokud hledáme heslo matematika v encyklopedii, tak se dovíme, že matematika je v da o kvantitativních a prostorových vztazích. B. A. W. Russel považoval matematiku za konstrukci vytvá enou istým rozumem, jiní auto i pokládají matematiku p edevším za filozofii nebo také za druh um ní, v n mž klí ovou roli hrají estetická kritéria. Matematiku m žeme považovat za jednu z nejstarších v d, která je sou ástí lidské kultury a civilizace v bec. Poznatky matematiky pat í ke kulturnímu d dictví lidstva. 72

73 Musíme si uv domit, že všichni velcí myslitelé byli stejn velcí matematici jako filosofové, nap. Descartes, Leibniz aj. Matematika hraje d ležitou roli v odhalování nových zákonitostí jak v p írod, tak i ve spole nosti. Uplat uje se v technice, ale i v dalších oborech jako je léka ství, biologie, hospodá ství, ve fyzice a dalších p íbuzných oborech. V podstat m žeme íci, že každý lov k, i když si to neuv domuje, využívá výsledk práce matematik. Základní impuls k rozvoji matematiky vychází zpravidla z praxe, která je též zdrojem podn t pro další rozvoj vzniklých disciplín. Pokud nov vzniklá disciplína získá logickou strukturu, vyvíjí se pak už sama, vyty uje si vlastní problémy, které se snaží ešit. Matematika v era Matematika je v da, která provází spole nost od samého po átku. Elementární poznatky z matematických disciplín, jako je aritmetika a geometrie, se objevily už na samém za átku kulturního vývoje lidstva. I když lidstvo um lo svých zkušeností využívat daleko d íve než bylo schopno je uspo ádat a vytvo it z nich v dní obor. Zjednodušen m žeme íci, že se po ítalo, i když primitivn, odjakživa. Rovn ž prostorové útvary byly studovány již dávno p ed naším letopo tem. Na d jinách matematiky m žeme sledovat celý kulturní vývoj lidstva. Matematika procházela a prochází rychlým a složitým vývojem. Zásoba matematických poznatk se stále rozr stá. Je to d sledek jednak autonomního rozvoje matematiky, jednak pot ebou p írodních v d, techniky, výpo etní techniky, léka ství a v sou asné dob i pot ebami obor spole enských v d. Matematika je bohatá a živá sou ást lidské kultury. Mnohdy si ani nep ipouštíme, jak hluboko matematika proniká do v tšiny oblastí každodenního života celé spole nosti. Školská matematika dnes V poslední dob dochází k hlasitým útok m na školskou matematiku a k pokus m o vyt sn ní tohoto p edm tu na okraj vzd lávání. P í inou tohoto jevu jsou osobní negativní zkušenosti lidí z vyu ovacích hodin matematiky. Existují mezi ve ejností názory, že školní p edm t matematika oslabuje intelektuální sebev domí v tšiny žák a buduje jejich komplex mén cennosti. Tím nep ispívá k motivování žák k u ení a snižuje kvalitu celého vyu ovacího procesu. P í inu t chto názor lze vid t ve zp sobu vyu ování, které je zam eno p edevším na výkon žáka nebo studenta. V tšina student, i budoucích u itel matematiky, chápe matematiku jako pouhý soubor poznatk, které je t eba n jakým zp sobem vst ebat a pak reprodukovat u zkoušky, asto bez hlubšího porozum ní. P í inu je patrn t eba hledat již v d ív jší žákovské zkušenosti student z hodin školské matematiky. Po úsp šném žákovi bylo požadováno, aby ve vhodném okamžiku p edvedl své po tá ské dovednosti a hlavním cílem tedy byl výsledek ešení p íkladu, v lepším p ípad pak reprodukce co nejv tšího množství dat a informací. Taková p edstava o matematice je však zcela chybná. Vztahy k matematice Pro v tšinu populace se strach z matematiky traduje. Už dop edu si v tšina lidí myslí, že matematický problém nevy eší. Odstran ní averze v i matematice nebo dokonce strachu z matematiky vidíme v zajímavém a p itažlivém pedagogickém 73

74 p ístupu u itel. Tento p edm t by se m l za adit mezi oblíbené p edm ty zejména u student, budoucích u itel matematiky, nebo u itel sám musí mít kladný vztah k tomuto p edm tu. Význam matematiky nelze tedy vid t jen v úzkém prakticizmu. Podstatou by m l být p esný rozbor všech okolností, které se v ešené úloze nebo problému vyskytují. Pro u itele je d ležité, aby p i vysv tlování problematiky žák m nic nezanedbal, nebo partie u iva na sebe úzce navazují. V opa ném p ípad se ztrácejí souvislosti a žáci se u í bez hlubšího pochopení v ci jen zpam ti reprodukovat. Pro matematiku je d ležitý specifický zp sob myšlení, jehož podstatným znakem je hlavn zobec ování, abstrakce a srovnávání. Výsledky našeho šet ení jsou dokladem vztahu d tí a student k matematice. Studenti vypl ovali dotazník podle vlastních zkušeností s p edm tem matematika a osobního vztahu k tomuto p edm tu. Návratnost dotazníku byla 96%. N které odpov di jsme zpracovali do tabulek a u n kterých položek uvádíme slovní vyjád ení zajímavých post eh k danému p edm tu. 2. Metody Šet ení jsme provedli s užitím standardní metody pedagogického výzkumu. Sestavili jsme dotazník pro dv skupiny zkoumaných respondent. Každá skupina m la jiný dotazník. Jednu skupinu tvo ilo 18 d tí 5. ro níku pln organizované ZŠ a 16 d tí 3. ro níku základní školy malot ídní. Druhou skupinu tvo ilo 67 student posledního ro níku Pedagogické fakulty Univerzity Palackého oboru U itelství 1. stupn základní školy. 3. Výsledky V následujících dvou tabulkách jsou v procentech uvedeny odpov di d tí na dotazníkové položky. Tabulka 1 Odpov di žák v procentech, vyjad ující své postoje k matematice na malot ídní škole [Sta ková, 2005]. OTÁZKA ODPOV DI V % N Baví m Jde mi Dob e se mi p emýšlí Baví m p íklady, u kterých musím p emýšlet Ve škole všemu porozumím Legenda: 1 vždy ano, 2 skoro po ád ano, 3 n kdy ano, 4 málokdy ano, 5 nikdy ano, N neodpov d li 74

75 Tabulka 2 Odpov di žák v procentech, vyjad ující své postoje k matematice na ZŠ Milady Horákové [Sta ková, 2005]. OTÁZKA ODPOV DI V % N Baví m Jde mi Dob e se mi p emýšlí Baví m p íklady, u kterých musím p emýšlet Ve škole všemu porozumím Legenda: 1 vždy ano, 2 skoro po ád ano, 3 n kdy ano, 4 málokdy ano, 5 nikdy ano, N neodpov d li Srovnání odpov dí d tí z obou typ škol nevykazuje diametrální rozdíly.v tšina z dotazovaných má spíše kladný vztah k p edm tu matematika. I když sebekriticky p iznávají, že myšlení v matematice jim spíše nejde. Zarážející je vysoké procento d tí, které p iznávají, že málo kdy rozumí probírané problematice a tomu odpovídá i procento d tí, které matematika nebaví. V následující tabulce jsou uvedeny výsledky dotazníkového šet ení, které prob hlo na PdF UP. Tabulka 3 Odpov di student v procentech, vyjad ující postoje k matematice OTÁZKA ODPOV DI V % N 1. Oznámkujte Váš vztah k matematice Sebehodnocení matematických znalostí Ohodno te známkou d ležitost matematiky v život lov ka Hodnocení známkou 1-5 odpovídá klasifika ní stupnici. Zarážející je skute nost, že skoro jedna tvrtina respondent nemá kladný vztah k matematice. Sv j vztah k tomuto p edm tu známkují 4 a 5. Míra sebehodnocení znalosti student z matematiky odpovídá Gaussov k ivce. Tém všichni jsou si však v domi významu matematiky pro život. Tabulka 4 Odpov di student v procentech na otázku Co je to matematika? Možnosti Odpov di v % 1. V dní obor U í logicky myslet Po etní p íklady, úlohy, 21 vzájemné vztahy 4. T žkosti, stres, d s Školní p edm t Filosofie 1 7. Zábava, radost 3 8. Vše kolem nás 9 9. Nevypln no 4 75

76 Tato dotazníková položka byla otev ená, studenti odpov di tvo ili.v tšina student napsala že matematika je v dní obor, tj. 67%. Zábavu a radost p edstavuje matematika pro 3% respondent. Pro 10% student matematika znamená t žkosti, stres, dokonce napsali matematika je d s. Uvádíme n která dopl ující studentská vyjád ení: n kdy úpln nudná a zbyte ná, jindy zajímavá a užite ná v da, setkáváme se sní všude, je prost nevyhnutelná jako smrt, d ležitá v dní disciplína, která rozvijí u lov ka nejen p edstavivost a myšlenkové operace, zejména trp livost až tém svatost v p ekonávání sám sebe, v da, jež v mnohém lov ka p esahuje, záliba, koní ek, hr za a d s, horor. Na otázku Co Vám matematika dala pro život? respondenti odpovídali r zn a n které odpov di uvádíme. Tém 50% respondent napsalo, že matematika je nau ila logicky myslet (n kte í z nich uvedli snad alespo logicky myslet). Škála odpov dí na tuto otázku byla rozmanitá a n které zajímavé názory uvádíme: otev ela mi obzory a uv dom ní si, co zahrnuje, trp livost a disciplinovanost p i jejím studiu, základní informace, nau ila po ítat, rozvinula mi myšlení, dobré u itele, možnost vysv tlovat druhým a cítit se pot ebná pro spolužáky, radost z pochopení a vy ešení, n kdy však zklamání, p ekonávat p ekážky, pevn jší nervy, které pot ebuji já i m j u itel, radovat se z úsp chu spolužák, kterým jsem problematiku vysv tlila, zábavu, pocit úsp chu. 4. Záv r Získané odpov di ukazují, že žáci 1. stupn základní školy mají kladný vztah k matematice. Kladný vztah se narušuje s p ibývající školní docházkou a bývá nahrazen spíše opa ným vztahem. Ukazuje se, že názory i vztah student k matematice je velmi pestrý. Odpov di nevy erpávají charakter matematiky úpln. Tímto lánkem jsme cht li ukázat nejen jak vidí matematiku žáci, ale i studenti, budoucí u itelé primární školy, kte í matematiku budou u it denn a m li by d tem ukazovat krásu matematiky a budovat pozitivní vztah k tomuto p edm tu. Literatura 1. VOP NKA, P. ísla nelžou. http.// stranky/txtvopenka.html,

77 2. STA KOVÁ, L. Hodnocení jako motiva ní initel v matematice. Diplomová práce, Kontaktní adresa RNDr. Jind iška Eberová Katedra matematiky PdF UP Žižkovo nám. 5, Olomouc eská republika Telefon: eberova@pdfnw.upol.cz PaedDr. Anna Stopenová, Ph.D. Katedra matematiky PdF UP Žižkovo nám. 5, Olomouc eská republika Telefon: stopen@pdfnw.upol.cz 77

78 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V RIEŠENIE PRAKTICKÝCH SITUÁCIÍ A ROZVOJ MATEMATICKEJ GRAMOTNOSTI ubica GEROVÁ, Pavel KLENOV AN Abstrakt Jedným z cie ov vyu ovania matematiky by mala by schopnos získa, spracova a vyhodnoti reálne informácie. Prostredníctvom úloh zameraných na okolie Banskej Bystrice sme testovali u študentov u ite stva pre 1. stupe ZŠ na PF UMB v Banskej Bystrici niektoré z kompetencií matematickej gramotnosti. PRACTICAL SITUATIONS AND DEVELOPMENT OF MATHEMATICAL LITERACY Abstract One of the aims of mathematical education should be ability to obtain, elaborate and value real information. We tested some students competences of mathematical literacy by problems focussed on surroudings of the town Banská Bystrica. The students will be the teachers at elementary school. Úvod Týmto príspevkom vo ne nadväzujeme na naše lánky uverejnené v zborníkoch z konferencií s medzinárodnou ú as ou v Olomouci v r [1] a v Smoleniciach v r [2]. V nich sme zis ovali, aké sú didaktické kompetencie študentov PF UMB v Banskej Bystrici pripravujúcich sa na u ite stvo na 1. stupni ZŠ v riešení úloh, ktoré sú na 1. stupni ZŠ ur ené žiakom v základnom i rozširujúcom u ive v zameraní na využitie rôznych riešite ských stratégií. Vychádzali sme iasto ne z myšlienok štúdie PISA zameraných najmä na matematickú gramotnos. Matematická gramotnos je a bude neustále v popredí pozornosti spolo nosti. Úzko súvisí s riešením problémov a potrebné sú k tomu aj schopnosti vníma a íta text, i grafické interpretácie s porozumením. Získané informácie pomáhajú v riešení problémov. Preto sme sa v tomto školskom roku užšie zamerali na riešenie úloh spojených so životom a skúsenos ou jedinca. Teoretické východiská Pripomíname matematickú gramotnos tak, ako sa chápe v štúdii PISA. Je to "schopnos použi nástroje matematiky v reálnom svete a využi ich pre vlastnú potrebu." [Korš áková, Tomengová 1, 2004, s. 13) a tiež "schopnos jedinca rozpozna a pochopi úlohu matematiky vo svete, robi zdôvodnené rozhodnutia, používa a zaobera sa matematikou spôsobmi, ktoré zodpovedajú potrebám jeho života ako 78

79 konštruktívneho, zaujatého a rozmýš ajúceho ob ana". (Korš áková, Tomengová 2, 2004, s. 7). V matematickej gramotnosti sa poukazuje na osem kompetencií - schopností, ktoré je potrebné rozvíja a aktivizova, aby bolo možné prepoji reálny svet s matematikou, o povedie k riešeniu daného problému. My sme sa zamerali na tri z nich: rozmýš anie a usudzovanie; argumentáciu; použitie symbolického vyjadrovania. [4]. Z h adiska itate skej gramotnosti by študenti mali by zru ní v získaní informácie, v porozumení tejto informácii a by schopní hodnoti obsah textu. [3]. Týka sa to aj odborných textov, ktorými sú asto zadania matematických úloh. Informácie treba vedie spracova, zhodnoti, triedi a použi. Pre nás je dôležité z viacerých druhov ítania práve ítanie pre vzdelávanie, v ktorom sa môžu vyskytova súvislé texty alebo nesúvislé doplnené obrázkami, tabu kami, grafmi, mapami a pod. S vyššie uvedeným kontextom súvisí funk ná gramotnos, pri ktorej ide o "vybavenost lov ka pro realizaci r zných aktivit pot ebných pro život v sou asné civilizaci. Je to gramotnost v oblasti literární, dokumentové a numerické, nap. dovednost nejen íst, ale také chápat složit jší texty, vyplnit formulá, rozum t graf m a tabulkám a pod. [Pr cha, J.- Walterová, E.- Mareš, J., 2003, s. 67]. V poslednej dobe sa kompetenciami študentov v rôznych súvislostiach zaoberali viacerí autori. Napr. I. Scholtzová analyzovala riešenia kombinatorických úloh študentov 3. ro níka u ite stva pre 1. stupe ZŠ na PF PU v Prešove. Zistila, že pri úlohách, "... ktoré sa dajú dobre znázorni a rieši prostredníctvom grafových štruktúr... majú problémy s grafickým znázornením, resp. s jeho adekvátnou interpretáciou." (Scholtzová, 2002, s. 175) Popis experimentu Cie : Naším cie om bolo posúdi kompetencie študentov v oblasti získavania, spracovania a vyhodnotenia reálnych informácií v rámci matematických úloh vyžadujúcich aj ur itú úrove funk ného myslenia. Zaujímalo nás, ako si študenti 1. ro níka v odbore Predškolská a elementárna pedagogika a 3. ro níka v štúdiu u ite stva pre 1. stupe ZŠ na PF UMB v Banskej Bystrici uvedomujú závislosti jednotlivých veli ín v úlohách spojených s reálnym životom, o si vyžaduje vyšší stupe kognitívnej náro nosti v rámci Bloomovej taxonómie cie ov. A. Prídavková uvádza analýzu riešenia matematických úloh na rozvoj vyšších poznávacích funkcií, ktoré riešili študenti 3. ro níka u ite stva pre 1. stupe ZŠ v Prešove. Konštatuje, že myslenie študentov "je skôr algoritmické a sú u nich vyvinuté nižšie úrovne poznávacích funkcií." Preto je potrebné u nich rozvíja "analytické, hodnotiace a tvorivé myslenie." (Prídavková, 2002, s. 148). Potvrdzuje to aj našu domnienku o potrebe zaobera sa sú asnou úrov ou matematickej gramotnosti a možnos ami jej rozvíjania s dôrazom na dosiahnutie vyšších stup ov. Nástroj: Použili sme metódu analýzy písomných produktov študentov dennej formy štúdia. Nami vytvorené a zadané úlohy súvisia s procesom náro nejším na myslenie, ktorý vymedzuje Bloomova taxonómia cie ov výu by. Informácie v matematických úlohách boli sprostredkované vo forme textu, tabu ky, grafov a mapy. Zamerali sme sa najmä na schopnos študenta získa informácie, spracova ich a prezentova v grafickej a slovnej podobe. Dôležité boli tiež zdôvodnenia, ktoré viedli k daným výsledkom. Študenti samostatne riešili tri úlohy v asovom rozmedzí do 45 minút. Mohli v nich využi svoje doterajšie skúsenosti a poznatky zo ZŠ, príp. SŠ. Kvôli vymedzenému priestoru nášho príspevku charakteristiku úloh z teoretického h adiska, ako sme ho uviedli vyššie, ponechávame na itate a. 79

80 Ide o nasledovné úlohy: Úloha. 1: Rodina Ková ová cestovala osobným autom z Banskej Bystrice do Rimavskej Soboty. Údaje o priebehu ich cesty sú uvedené v tabu ke. Na základe poskytnutých informácií graficky znázornite (na rtnite) priebeh ich cesty. Ur te ich priemernú rýchlos (v km/hod.) na úseku Banská Bystrica Zvolen a na úseku Lu enec Rimavská Sobota. Mesto Príchod Odchod Km Banská Bystrica 6:45 0 Zvolen 7:00 7:15 22 Detva 7:33 8:00 46 Lu enec 8:35 9:30 81 Rimavská Sobota 10: Úloha. 2: Turista šiel trasou Baláže Žiare Baláže bez oddychu. Vyberte a ozna te z daných grafov (A, B, C) ten, ktorý popisuje závislos prekonávanej výšky v od asu t potrebného na prejdenie danej trasy. Výber zdôvodnite. (Príloha: turistická mapa) Úloha. 3: Vybrali ste sa na turistický výlet zo Sásovej na Panský Diel po modrej zna ke. Odhadnite d žku tejto trasy a as na jej prekonanie (mapa je v mierke 1 : ). Opíšte svoj postup. (Príloha: turistická mapa) Niektoré dosiahnuté výsledky Predpokladali sme, že vzh adom na potrebné poznatky a zru nosti, ktoré študenti získavajú už od 1. stup a ZŠ, by nemali ma vä šie problémy s vyriešením úloh. Skôr sme predpokladali, že náro nejšie bude pre nich vhodne slovne argumentova. Výsledky sme zhrnuli do nasledovných tabuliek: Tabu ka 1, Úloha. 1 Porozumenie Riešenie Ner. Graf Výpo et R Š P prestávka popis osí text tab. m ch m ch ch BB-ZV LC-RS S N S N S N S N S N ch S N ch G Pg I % ,4 0,0 7,9 51,3 0,0 25,0 32,9 0,0 7,9 25,0 10,5 9,2 26,3 19,7 10,5 30,3 1,3 30,3 14,5 21,1 7,9 30,3 17,1 23,7 G Pg I % ,5 2,9 11,8 67,6 2,9 17,6 23,5 0,0 0,0 55,9 17,6 2,9 35,3 23,5 8,8 20,6 0,0 38,2 29,4 14,7 2,9 41,2 29,4 11,8 80

81 Legenda: R ro ník Š typ školy P po et G gymnázium Pg pedagogický smer I iná S správne iasto ne N nesprávne m má ch - chýba Legenda k tabu ke 2 a 3 je rovnaká ako pri tabu ke 1. Tabu ka 2, Úloha. 2 R Š P Ner. Riešenie Zdôvodnenie S N ch S N ch G Pg I % ,5 60,5 28,9 0,0 9,2 36,8 13,2 30,3 G Pg I % 100 5,9 55,9 38,2 0,0 11,8 23,5 32,4 26,5 Tabu ka 3, Úloha. 3 R Š P Mierka Vzdialenos (km) as (hod.) Jednotky Opis Faktory Ner. S N ch 5 6,25-8,25 N ch 2-2,5 N ch S N ch m ch m ch G Pg I % ,6 61,8 0,0 6,6 28,9 11,8 26,3 1,3 6,6 25,0 36,8 52,6 3,9 11,8 30,3 38,2 3,9 64,5 G Pg I % ,3 35,3 2,9 26,5 8,8 2,9 50,0 2,9 5,9 35,3 23,5 26,5 2,9 35,3 8,8 55,9 5,9 58,8 Pri každej úlohe sme sa stretli s tým, že niektorí študenti ju vôbec neriešili, najviac ich bolo v 3. úlohe. Predpokladáme, že preto, lebo a) neporozumeli textovej a obrazovej asti zadania úlohy; b) pri pochopení zadania nenašli vhodný postup riešenia; c) nevedeli zdôvodni svoj myšlienkový postup, takže radšej neuviedli žiadny jeho náznak. Nedostatok asu sme vylú ili. V každej úlohe sme sa stretli aj s tipovaním výsledkov. ísla alebo grafy neboli zdôvodnené, príp. podložené výpo tami. To tiež môže poukazova na neporozumenie zadaniam. Ale niektoré tipy boli aj správne, takže si myslíme, že v týchto prípadoch študent nedokáže zargumentova svoj postup. Úspešnos riešenia každej úlohy bola nižšia ako 61,00 %, niekedy výrazne. Poukazuje to na slabšiu úrove riešenia netypových úloh, hoci súvisia s bežným životom loveka. alšie naše zistenia sme zhrnuli do nasledovných bodov: Nie všetci študenti (1. aj 3. ro níka) dokážu íta krátky text s porozumením. Predpokladáme, že ich ítanie je rýchle, povrchné, študent nezvládne reprodukciu textu vlastnými slovami a nie je schopný klás si otázky v súvislosti s úlohou a odpoveda na ne. So získaním informácií z tabu ky je situácia ešte o nie o slabšia. Štvrtina študentov 1. ro níka a skoro pätina študentov 3. ro níka má problém vybra si medzi nimi a vidie vzájomný súvis údajov, prípadne zladi informácie z textu a z tabu ky. 81

82 Získanie informácií z mapy bolo vä šinou správne. Študenti dokázali vyh ada príslušné trasy, zisti nadmorské výšky miest, zisti a použi mierku pri výpo toch. Pri vypracovaní odpovede v grafickej podobe študenti nie vždy správne vyzna ili údaje na osiach karteziánskeho grafu. Najviac problémov mali so správnym vyzna ením asu jednotlivých úsekov cesty na asovej osi. Skoro desatina študentov v každom ro níku graf nekreslila. Pritom niektorí z nich zadaniu porozumeli, pretože realizovali výpo tovú as úlohy. Zru nos graficky sa vyjadri, v asto používanom karteziánskom grafe na SŠ, je slabá. Mnohí študenti nezobrali do úvahy prestávky v priebehu cesty a nevyzna ovali ich. Výpo tová as v riešeniach úloh bola na rôznej úrovni. V niektorých prípadoch chýbala. Zistili sme, že v realizovaných výpo toch študenti málo používajú ísla v tvare zlomku, aj ke je to výhodné. Majú problém s premenou asových jednotiek a niektorí tiež s premenou d žkových jednotiek. Niektoré výpo ty nesúviseli s otázkou úlohy. Výsledok nie vždy študenti dali do súvisu s reálnos ou (napr. rýchlos auta 1 km/h). V úlohe. 3 študenti nie vždy spracovali informácie z mapy správne. Pri ur ovaní vzdialenosti sa mnohí opierali o vzdušnú vzdialenos (5 km), alebo ur ovali podstatne dlhšiu trasu. Presnos v ur ení asového trvania je nízka. Usudzujeme, že to súvisí aj s malou skúsenos ou študenta ako turistu. Vä šina študentov mala problém so zaznamenaním svojho postupu, najmä v 3. úlohe. Schopnos opísa o robí a ako je pomerne nízka. Opis asto chýbal. Zdôvod ovanie použitého postupu a argumentácia v prospech neho je u vä šiny študentov nízka. Predpokladali sme, že študenti v 3. úlohe uvedú aj ur ité súvislosti s ur ením d žky trasy a asu. Mohli ich ovplyvni mnohé faktory. Len ojedinele študent uviedol rýchlos a kondíciu turistu. Funk né myslenie niektorých študentov je slabšie rozvinuté. Usúdili sme to na základe kreslenia grafu, výberu správneho grafu, aj nezdôvod ovania alebo neriešenia úloh. Záver Zna ná as študentov nedokázala použi nástroje matematiky v reálnom svete pre vlastnú potrebu cestovate a alebo turistu. Schopnosti študentov získa, spracova, vyhodnoti reálne informácie v texte, v tabu ke, v grafe a v mape nie sú na požadovanej úrovni. Posudzované kompetencie rozmýš anie a usudzovanie, argumentácia, použitie symbolického vyjadrovania sú nedostato né. Preto bude potrebné v alšom období zamera pozornos týmto smerom. Využijeme k tomu v 1. ro níku predmet Logika (1 hodina prednáška a 3 hodiny seminár), ktorý je povinný pre všetkých študentov a poskytuje priestor aj pre riešenie úloh, ktoré sú spojené s reálnymi situáciami. Pozornos treba venova zvyšovaniu úrovne funk ného myslenia študentov, aby sa zlepšilo chápanie vzájomnej závislosti jednotlivých veli ín. Potrebné je zvyšova zru nosti zdôvod ovania: - analytické (aplikácia princípov formálnej logiky pri ur ení potrebných podmienok), - kvantitatívne (aplikácia postupov z matematiky na vyriešenie zadaného problému), - analogické (uplatnenie predošlých skúseností v analogickej situácii), - kombinatorické (vyskúšanie a posudzovanie všetkých kombinácií, ich zoradenie, výber konkrétnej z nich). 82

83 Literatúra 1. GEROVÁ,.- KLENOV AN, P.: Analógie a rozdiely v riešeniach matematických úloh pre 1. stupe základnej školy. In: Zborník Cesty (k) poznávání v matematice primární školy. Olomouc: PF UP, s ISBN: X. 2. GEROVÁ,.- KLENOV AN, P.: Riešenie matematických úloh pre 1. stupe ZŠ z poh adu rozvíjania matematickej gramotnosti. In: CD "Induktívne a deduktívne prístupy v matematike". Trnava: PF TU, s ISBN: KORŠ ÁKOVÁ, P.- TOMENGOVÁ, A. 1 : PISA SK Národná správa. Bratislava: ŠPÚ, 2004, 40 s. ISBN: KORŠ ÁKOVÁ, P.- TOMENGOVÁ, A. 2 : PISA - matematika, úlohy Bratislava: ŠPÚ, 2004, 40 s. ISBN: PRÍDAVKOVÁ, A.: Sonda do matematického myslenia budúcich u ite ov na 1. stupni ZŠ. In: Sborník mezinárodní konference "Podíl matematiky na p íprav u itele primární školy". Olomouc: UP, s ISBN: PR CHA, J.- WALTEROVÁ, E.- MAREŠ, J.: Pedagogický slovník. Praha: Portál, ISBN: SCHOLTZOVÁ, I.: Analýza riešení kombinatorických úloh. In: Sborník mezinárodní konference "Podíl matematiky na p íprav u itele primární školy". Olomouc: UP, s ISBN: KOLEKTÍV: Okolie Banskej Bystrice, turistická mapa 1: Harmanec: VKÚ, š.p., ISBN: Kontaktná adresa PaedDr. ubica Gerová Doc. RNDr. Pavel Klenov an, CSc. Katedra matematiky, PF UMB Katedra matematiky, PF UMB Ružová 13, Banská Bystrica Ružová 13, Banská Bystrica Telefon: Telefon: lgerova@pdf.umb.sk pklenovcan@pdf.umb.sk 83

84 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V AKTIV - ENTDECKENDES LERNEN IM MATHEMATIKUNTERRICHT DER GRUNDSCHULE Christine HAHN Resume Kinder lernen Mathematik nicht durch Belehrung, auch nicht dadurch, dass ihnen fertiger Lernstoff vorgesetzt wird. Kinder lernen Mathematik, indem sie durch eigenes mathematisches Tun selbst Zusammenhänge und Gesetzmäßigkeiten finden und erkennen können. Die Aufgabe der Lehrperson besteht darin, entsprechende Materialien bereit zu stellen, für Lerndialoge zur Verfügung zu stehen und den Lernprozess der Schülerinnen und Schüler zu begleiten. Damit verbunden ist eine inhaltliche Öffnung des Unterrichts, die dem individuellen Leistungsvermögen der Lernenden entgegenkommt. ACTIVE DISCOVERY LEARNING IN MATHS TEACHING AT PRIMARY LEVEL Abstract Children don`t learn maths by instruction from the teacher. They don t learn through well-prepared examples for which they just have to find the result. Children will learn maths when they are enabled to find connections, mathematical rules and ultimately their own problem solving strategies through active participation. The teacher`s task is to prepare suitable material, to be a partner for all the children`s questions and to accompany the children`s learning. What is required is an opening up of the teaching process in a way which suits the individual abilities of the learner. Ich habe gar nicht gewusst, dass Mathematik fast überall ist und dass es so spannend sein kann! Solche Aussagen von Schülerinnen und Schülern zeigen, dass Mathematikunterricht mehr sein kann und muss, als nur in einem Mathematikbuch Kästchen mit Ergebniszahlen zu füllen. Entscheidend ist, dass die SchulanfängerInnen schon vom Schuleintritt an die Vielfalt des Gegenstandes erfahren können. Sie haben in ihren ersten Lebensjahren schon viel Alltagserfahrung mit Mathematik gemacht und intuitiv gelernt, dass sie es können. Diese positiven Erlebnisse haben das Selbstbewusstsein und die Sicherheit der Lernenden gestärkt und damit einen wesentlichen Beitrag zur Persönlichkeitsentwicklung beigetragen. Indem sich Kinder mit ihrer Umwelt auseinander setzen, lernen sie Fragen zu stellen und im Gespräch mit ihren MitschülerInnen in vielen Fällen auch selber Antworten darauf zu finden. Die Wege, auf denen sie zu ihren Lösungen kommen, werden unterschiedlich sein. In der anschließenden Diskussion darüber gemeinsam mit der Lehrperson lernen sie ihre Strategien zu begründen und erkennen, dass Fehler nichts 84

85 Schlechtes sind, sondern mitunter der Anstoß zu richtigen Lösungen sein können. Sie lernen auch, ihre Ergebnisse zu präsentieren und auf Einwände und Bedenken anderer einzugehen. In einem solchen Prozess lernen Schülerinnen und Schüler durch eigene Einsicht und werden nicht von außen einfach belehrt. Erich Ch. Wittmann formuliert diesen Anspruch folgendermaßen: Mathematik kann daher nur dann mit Verständnis gelernt werden, wenn die Schüler sie in ihrer wahren Natur, d.h. aktiventdeckend erleben können. Die Mathematik auf ein fertiges System von Definitionen, Lehrsätzen und Regeln zu reduzieren und kleinschrittig zu vermitteln, heißt, ihre wahre Natur zu zerstören und den Unterricht zu entfremden.(1) Wenn sich junge Menschen aktiv mit ihrer Umwelt auseinander setzen, und sie auch mit mathematischem Blick betrachten, dann haben sie die Möglichkeit, selbst aktive GestalterInnen ihres Unterrichts zu werden. Sie werden dadurch weniger abhängig von der Lehrperson und müssen nicht andauernd warten, bis sie die nächste Ladung an geistiger Nahrung - im Sinne von einem nächsten Arbeitsblatt mit vorgegebenen, häufig wenig differenzierten Aufgaben - bekommen. Sie lernen - bildlich gesprochen - selbst mit einer Angel die Fische zu fangen, die sie brauchen um intellektuell nicht zu verhungern Für den Gegenstand Deutsch ist das Freie Schreiben bereits eine weitverbreitete Methode. Ein Freies Mathematiklernen wäre die logische Konsequenz, um die Lernenden nicht einem Wechselbad von Methoden beim Erlernen der Kulturtechniken auszusetzen. So wie beim Freien Schreiben zu Beginn der freie mündliche Text steht, so steht bei Mathematik zu Beginn das freie mündliche Besprechen von mathematischen Problemen. So wie die Lehrperson beim Freien Schreiben zum bestmöglichen Ausdruck der Idee hilft, so wird sie das beim Freien Mathematiklernen tun, indem sie den Lernenden bei Denkfehlern, die nicht zur Lösung führen, hilft und Anregungen zum Gelingen gibt. Die Schülerinnen und Schüler werden ihre mathematischen Überlegungen und Gedanken mündlich oder zeichnerisch ausdrücken. Sie werden zu eigenen Notationen kommen, diese den anderen erklären und dabei erkennen, dass andere ihre Erkenntnisse anders notiert haben. Die Aufgabe der Lehrperson wird zu dem Zeitpunkt darin liegen, die Kinder zu verstehen und allmählich mit ihnen an einer konventionellen Formulierung und Notierung zu arbeiten. Fehler und Grenzen, die dabei auftreten sind als natürliches Korrektiv zu betrachten, das den Weg des Lernens begleitet. Ziel wird sein, an einer Verständlichkeit für alle zu arbeiten, eben an Normen und Konventionen, mathematisch ausgedrückt an Rechenregeln und Rechenoperationen. Selbstverständlich muss mit diesen Werken etwas geschehen. Sie können in eigenen Rechentagebüchern zusammengefasst zu werden, wie auch als Dokumentationen aufgehängt und präsentiert zu werden. Es entstehen Eigenproduktionen, die Auskunft über den derzeitigen Entwicklungsstand der Kinder geben und erst in der Zukunft für die Lernenden selbst von Bedeutung sein werden. Sie werden ihnen nämlich zeigen, wie viel sie in der Zwischenzeit dazugelernt haben. Damit werden sie nicht von Noten abhängig sein, um zu erfahren, dass Lernen an sich spannend sein kann und nicht von äußerlichen Anreizen - wie Noten es einmal sind - abhängig ist. Die Rolle des Schulbuches wird sich in einem aktiv-entdeckenden Mathematikunterricht verändern, sofern derzeitige Schulbücher überhaupt für diese Art von Unterricht verwendet werden können. Ein solcher Unterricht ist nicht auf viele, oft 85

86 gleichartige Übungsseiten angewiesen. Üben und Erarbeiten stehen in einer Wechselwirkung, das eine wird durch das andere ausgelöst. Das Anknüpfen an das Bekannte führt unweigerlich zu den nächsten Fragestellungen. Die damit verbundene Individualisierung des Unterrichts gibt nicht mehr die Möglichkeit, Übungen für alle gleichzeitig und auf gleichem Niveau zu verlangen. Die wären für Schülerinnen und Schüler, die mit aktiv-entdeckendem Lernen Bekanntschaft gemacht haben, auch nicht sehr motivierend und leistungsfördernd. Nach diesem Konzept zu unterrichten bedeutet zweifellos auch für Lehrpersonen eine Herausforderung und ein Überdenken ihrer Rolle. Sie sind nicht mehr allein für die Gestaltung und das Gelingen des Unterrichts zuständig, und sie geben den jungen Menschen mehr Möglichkeiten, selber ein Stück Verantwortung für ihr Lernen zu übernehmen. Nehmen wir die Herausforderung an! Literatura 1. MÜLLER,Gerhard N./ WITTMANN Erich Ch.(Hrsg). Mit Kindern rechnen. Arbeitskreis Grundschule - Der Grundschulverband - e.v. Frankfurt am Main 2000, S. 17.ISBN 3_ Kontaktní adresa Christine Hahn, Prof. Pädagogische Akademie des Bundes in Wien Ettenreichgasse 45a 86

87 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V SKÚSENOSTI S E-LEARNINGOM PRI PRÍPRAVE BUDÚCICH U ITE OV ZŠ Pavel HÍC, Milan POKORNÝ Abstrakt Moderné informa né a komunika né technológie ovplyv ujú oraz silnejšie aj sféru vzdelávania. Viaceré univerzity v snahe zefektívni vyu ovací proces a zníži po et kontaktných hodín za ínajú experimentova s použitím e-learningu. Autori tohto lánku zatia vytvorili dva profesionálne elektronické kurzy, ktoré sú umiestnené v prostredí LMS. V lánku analyzujeme skúsenosti z použitia e-learningového kurzu Binárne relácie pri príprave budúcich u ite ov primárneho vzdelávania v predmete Logika, množiny, relácie. EXPERIENCE WITH E-LEARNING IN FUTURE PRIMARY SCHOOL TEACHERS TRAINING Abstract Modern information and communication technologies are influencing education more and more. Many universities try to make education more efficient and to reduce the amount of contact lectures by e-learning. The authors of the paper have designed two e-learning courses, which are installed in LMS. The paper deals with the author s experience in using the courses for future primary school teacher training in the subject Logic, Sets, Binary Relations. Úvod E-learning ako jedna z moderných foriem vzdelávania je v poslednej dobe ve mi asto diskutovanou témou na akademickej pôde. Mnohé univerzity sa snažia o zefektívnenie vzdelávacieho procesu a zníženie po tu kontaktných hodín, pri om nechcú redukova požiadavky kladené na vedomosti študentov. Jednou z možností je využitie moderných informa ných a komunika ných technológií vo vzdelávaní. Výnimkou nie je ani Pedagogická fakulta Trnavskej univerzity, ktorá sa e-learningom zaoberá už približne 4 roky. V roku 2003 prebehla inštalácia LMS EKP TM, ím boli vytvorené základné podmienky pre rozvoj elektronického vzdelávania. Inštaláciou LMS však elektronické vzdelávanie iba za ína. Je potrebné zakúpi i vytvori vhodné elektronické kurzy, rešpektujúce poznatky zo psychológie a pedagogiky o spôsobe, akým sa udia u ia. alej je potrebné odskúša vytvorené kurzy vo vzdelávacom procese, prípadne upravi ich obsah a formu pod a získaných skuto ností. Autori lánku vytvorili zatia dva kurzy z oblasti matematiky: Grafové algoritmy v školskej praxi a Binárne relácie. Cie om bolo vytvori kurzy, ktoré by slúžili pre 87

88 študentov dennej aj externej formy štúdia ako jedna z alternatív pre štúdium v kurzoch spracovanej problematiky. Význam kurzov vidíme najmä v tom, že umožnia študentom študova nezávisle od miesta a asu. Význam umiestnenia kurzov v LMS systéme EKP TM zasa spo íva v tom, že jednak získame množstvo informácií o práci študentov s kurzami mimo vyu ovacích hodín (tieto informácie nám neposkytne žiadna forma štúdia z klasických materiálov i off-line kurzov), jednak poskytneme študentom možnos vzájomne komunikova a konzultova s vyu ujúcim prostredníctvom príslušných nástrojov LMS systému. Naším cie om teda nie je zis ova, i je metóda e- learningu vhodnejšia pre vyu ovanie ako klasická metóda, ani porovnáva, i je štúdium nami spracovanej problematiky prostredníctvom elektronických kurzov efektívnejšie ako štúdium z ur itých existujúcich materiálov. Preto itate tohto lánku nenájde experimentálnu a kontrolnú vzorku študentov a štatistické testy overujúce hypotézy typu Výsledky dosiahnuté v experimentálnej skupine sa signifikantne nelíšia od výsledkov dosiahnutých v kontrolnej skupine. Miesto toho sa itate do íta, že z prvých skúseností s použitím kurzov vyplýva, že tieto kurzy sú vhodnou alternatívou pre (samo)štúdium a ako jedna z alternatív majú uplatnenie pre študentov externej aj dennej formy štúdia. Charakteristika kurzu Binárne relácie Ako už vyplýva z názvu, kurz patrí do oblasti algebry, pri om jadrom kurzu je problematika binárnych relácií. Túto problematiku sme si zvolili jednak preto, že naši študenti s ou v minulosti mali ur ité problémy (najmä študenti odboru u ite stvo pre 1. stupe ZŠ ), jednak preto, že pri jej vysvet ovaní a precvi ovaní je možné efektívne využi grafické objekty a rozdeli riešené problémy na menšie podproblémy, ím sú vytvorené podmienky pre úspešné použitie e-learningu. Dôležitú úlohu pri vo be problematiky zohrala aj skuto nos, že s binárnymi reláciami sa po as štúdia zoznamujú tak študenti v odbore u ite stvo akademických predmetov v predmetovej špecializácii Matematika v kombinácii, ako aj študenti odboru predškolská a elementárna pedagogika. V súlade so svojimi cie mi kurz obsahuje ve ké množstvo riešených príkladov s podrobným vysvetlením a množstvom obrázkov. o sa týka teórie a dôkazov, kurz obsahuje iba nevyhnutné minimum potrebné k zvládnutiu študovanej problematiky, nako ko existuje množstvo u ebníc a skrípt zaoberajúcich sa touto problematikou. Z uvedeného dôvodu je kurz vhodný najmä pre študentov externej formy štúdia, ktorí majú menšie množstvo kontaktných hodín, najmä cvi ení. as potrebný na zvládnutie u iva odhadujeme na hodín. Problematika spracovaná v kurze je rozdelená do 10 kapitol, z ktorých niektoré sú lenené na podkapitoly. Rozsah spracovaného u iva vidno hne na úvodnej obrazovke kurzu (pozri obr. 1). Kurz Binárne relácie je spracovaný dvoma rôznymi spôsobmi. K dispozícii je offline forma kurzu na CD nosi i a on-line forma, ktorá je vo ne prístupná pre všetkých záujemcov (aj mimo PdF TU) prostredníctvom LMS systému Trnavskej univerzity na adrese elearning.truni.sk (používate ské meno i heslo je guest). 88

89 Obr. 1 Skúsenosti s použitím kurzu vo vyu ovaní Kurz sme použili v rámci predmetu Logika, Množiny, Relácie pre 22 študentov dennej a 52 študentov externej formy štúdia odboru Predškolská a elementárna pedagogika. Hlavným cie om bolo zisti, i budú študenti schopní prostredníctvom kurzu splni stanovené vzdelávacie ciele. Chceli by sme upozorni na skuto nos, že kurz sme odskúšali na vzorke, ktorá nedisponuje nadpriemernými zru nos ami pri práci s PC, Internetom a modernými technológiami. Z uvedeného dôvodu nebolo možné použi kurz priamo v prostredí LMS, nako ko študenti by nedokázali efektívne využíva nástroje ako chat, diskusné fórum, i elektronická pošta. Preto sme študentom umožnili konzultova s tútorom priamo. Denní študenti mali k tejto látke štyri 90-minútové konzultácie, externí jednu 180-minútovú. Z uvedených asových dotácií je zrejmé prudké zníženie po tu kontaktných hodín oproti klasickému spôsobu vyu ovania. alej by sme chceli poukáza na skuto nos, že sme kurz odskúšali so študentmi, ktorí neštudujú matematiku a ani nie sú technicky zameraní. Vä šina študentov uvedeného odboru sa dokonca matematiky obáva. Napriek tomu sme s výsledkami, ktoré študenti dosiahli, spokojní. Ako už vyplýva z názvu predmetu, binárne relácie tvoria jednu z jeho astí. Pod a nášho odhadu zaberala problematika binárnych relácií približne polovicu obsahu predmetu, omu bolo prispôsobené aj závere né hodnotenie, kde zo 100 bodov na závere nom teste bolo možné získa 50 za logiku a množiny ( alej 1. as ) a zvyšných 50 za relácie ( alej 2. as ). 89

90 Z výsledkov závere ného testu vyplýva, že priemerná úspešnos v 1. asti bola 78% (denní študenti), resp. 73% (externí študenti) a priemerná úspešnos v 2. asti bola 86% (denní študenti), resp. 80% (externí študenti). Opä sa vyhneme akémuko vek porovnávaniu úspešností. Z výsledkov však vyplýva, že tak denní, ako aj externí študenti dokázali zvládnu u ivo obsiahnuté v kurze viac než len na minimálnej požadovanej úrovni pre úspešné absolvovanie predmetu. Pripome me, že test nebol zameraný na pamä ové zvládnutie u iva obsiahnutého v kurze, ale najmä na aplikáciu nadobudnutých poznatkov pri riešení problémov. Vä šina úloh v teste bola zameraná na porozumenie a špecifický transfer, takže dosiahnutá úspešnos nie je výsledkom krátkodobého zapamätania si informácií obsiahnutých v kurze. Výsledky závere ného testu denné štúdium Výsledky závere ného testu externé štúdium as 2. as as as Obr. 2 Obr. 3 Na obr. 2 (denní študenti) a obr. 3 (externí študenti) sú znázornené výsledky dosiahnuté v oboch astiach závere ného testu s vyzna enými regresnými priamkami. Ve kos uhla, ktorý priamky zvierajú, nazna uje, že existuje ur itý vz ah medzi výsledkami dosiahnutými v oboch astiach testu. Hodnota korela ného koeficientu medzi oboma as ami je 0,59 (denní študenti), resp. 0,42 (externí študenti). Možno poveda, že študenti zvládli obsah kurzu tým lepšie, ím lepšie výsledky dosiahli v 1. asti. Záver Na záver možno konštatova, že aj študenti, ktorí nie sú technicky zameraní a neštudujú odbor matematika, boli schopní prostredníctvom kurzu dosiahnu stanovené vzdelávacie ciele. Kurz Binárne relácie sa teda ukázal ako vhodná alternatíva ku klasickému vyu ovaniu, ktorá znižuje po et kontaktných hodín bez toho, aby sme museli redukova vzdelávacie ciele. 90

91 Literatúra 1. HÍC, P. POKORNÝ, M. Binárne relácie. On-line kurz, 2005, Trnava. ISBN HÍC, P. POKORNÝ, M. Po íta om podporované vyu ovanie binárnych relácií. In: História, sú asnos a perspektívy u ite ského vzdelávania, Zborník príspevkov z medzinárodnej konferencie, Banská Bystrica, ISBN Kontaktná adresa doc. RNDr. Pavel Híc, CSc. Katedra matematiky a informatiky Pedagogická fakulta, Trnavská univerzita Priemyselná 4, P.O.BOX Trnava Telefón: phic@truni.sk PaedDr. Milan Pokorný Katedra matematiky a informatiky Pedagogická fakulta, Trnavská univerzita Priemyselná 4, P.O.BOX Trnava Telefón: mpokorny@truni.sk 91

92 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V VÝSLEDKY PRIESKUMU NÁZOROV U ITE OV NA SÚ ASNE PLATNÉ U EBNÉ OSNOVY MATEMATIKY NA 1. STUPNI ZŠ Pavel HÍC, Kristína SOTÁKOVÁ, Milan POKORNÝ Abstrakt Národný program výchovy a vzdelávania na Slovensku, ktorý bol schválený v roku 2001, poukazuje na skuto nos, že existujúci systém vzdelávania je potrebné zmeni. Tieto zmeny sa musia dotýka vzdelávania na všetkých stup och škôl a všetkých predmetov. Musia sa realizova v súlade s modernými trendmi výchovy a vzdelávania v zahrani í a taktiež musia vychádza zo skúseností u ite ov základných škôl. V tejto práci predkladáme výsledky prieskumu, ktorého cie om bolo zisti názory u ite ov 1. stup a ZŠ na obsahovú stránku platných u ebných osnov z matematiky, ako aj na asovú dotáciu jednotlivých u ebných celkov. RESULTS OF THE RESEARCH ON PRIMARY SCHOOL TEACHER S OPINIONS OF THE CURRENT MATHEMATICS CURRICULUM Abstract The National Program of Training and Education in the Slovak Republic Millenium, which was approved by the government in 2001, states that it is necessary to reform the contents of education. The reforms affect all levels of the Slovak educational system: primary and secondary levels as well as higher education. The reforms have to correspond with modern trends in training and education in developed European countries as well as with the experience of Slovak primary school teachers. The paper deals with the results of the research made by the authors. The goal of the research was to investigate primary school teacher s opinions of the current mathematics curriculum content and their views on the number of lessons dedicated to each unit. Úvod Základnou myšlienkou koncepcie rozvoja výchovy a vzdelávania v SR, ktorá sa v sú asnosti uskuto uje, je zlepšenie výchovy a vzdelávania na Slovensku. Avšak žiadna podstatná zmena v školstve sa nemôže uskuto ni bez výraznej podpory širokej u ite skej verejnosti. Jedným z pokusov o iniciovanie širšej diskusie na túto tému bol prieskum, ktorý sa uskuto nil v mesiacoch október až december roku Zámerom prieskumu bolo zisti názory u ite ov z praxe na obsahovú stránku u ebných osnov z matematiky pre ro ník základnej školy schválených Ministerstvom školstva Slovenskej republiky a platných od 1. septembra Prieskum bol realizovaný v rámci riešenia projektu KEGA 3/224/04, na ktorom participuje Katedra matematiky a informatiky PdF TU a ŠPÚ Bratislava. Hlavným cie om projektu je vytvori návrh 92

93 nových u ebných osnov a štandardov z matematiky pre jednotlivé ro níky 1. stup a ZŠ, ako aj návrh cie ových kompetencií. Charakteristika prieskumu a prieskumnej vzorky Prieskumnú vzorku sme vytvorili tak, aby v nej boli zastúpení u itelia 1.stup a základných škôl v mestách a dedinách zo všetkých ôsmich samosprávnych krajov Slovenska (Pozri graf. 1). K existovalo na Slovensku 2304 základných škôl. Do nášho prieskumu bolo zapojených 481 u ite ov zo 115 základných škôl. Prieskum bol realizovaný formou dotazníka, ktorý bol zaslaný na vybranú vzorku škôl. U itelia sa vyjadrovali k jednotlivým ro níkom a v rámci nich ku každému u ebnému celku, ktorý mali zhodnoti z nasledujúcich h adísk: 1. Má daný celok optimálnu asovú dotáciu? Ak nie, navrhnite na základe vlastných 46 skúseností vhodnejšiu. 2. Je celok svojou náro nos ou 68 primeraný veku a schopnostiam žiakov v danom ro níku? Ak nie, uve te na základe vlastných skúseností ro ník, do 62 ktorého by ste celok zaradili. 3. Je celok stále aktuálny a dá sa 94 na om rozvíja tvorivos žiakov? 4. Máte k dispozícii k tematickému celku vhodné u ebné pomôcky? Ak nie, uve te, aké pomôcky by ste pri vyu ovaní potrebovali. Hodnotenie výsledkov prieskumu Približne 80% opýtaných vyjadrilo želanie smerujúce k zmene aspo v jednom z uvedených h adísk v aspo jednom celku. Ostatní respondenti vyjadrili úplnú spokojnos so sú asnými u ebnými osnovami. Najviac pripomienok mali u itelia vo i u ebným celkom matematiky v 2. a 4.ro níku (Graf.2) Banskobystrický Bratislavský Košický Nitriansky Prešovský Tren iansky Trnavský Žilinský Graf. 1 Po et respondentov z jednotlivých samosprávnych krajov SR po etnos 80 odpovedí ro. 2.ro. 3.ro. 4.ro. ro ník má pripomienky nemá pripomienky Graf. 2 Po etnos u ite ov, ktorí mali, resp. nemali pripomienky k sú asným u ebným osnovám matematiky 93

94 V 2. ro níku sa pod a nášho prieskumu ukazuje predimenzovanos u iva. Druháci si majú po as školského roka osvoji základné spoje s ítania do 20 s prechodom cez základ, numeráciu, s ítanie a od ítanie do 100 a pochopi podstatu násobenia a delenia. U itelia navrhujú viaceré možnosti riešenia tohto problému: presunú s ítanie do 20 s prechodom cez základ už do 1.ro níka (ako to bolo v minulosti) alebo presunú násobenie a delenie až do 3. ro níka, prípadne zvýši asovú dotáciu a systematickos pri vyu ovaní základných spojov násobenia v 2.ro níku. V 4. ro níku sa polovica u ite ov vyslovila za vä šiu ucelenos a systematickos geometrie, vzh adom na nadväznos u iva na 2. stupni. Pripomienky boli aj k asovej dotácii geometrického u iva. U itelia navrhli venova geometrii aspo jednu hodinu týždenne. Ke že išlo o otázku otvoreného typu, t.j. respondenti nemali vopred podsunutú odpove, je potrebné sa zamyslie nad závažnos ou tejto požiadavky, prípadne by bolo vhodné vies polemiku o tom, i zru nos v rysovaní patrí medzi potrebné zru nosti loveka multimediálneho veku. Na rozdiel od 2. ro níka, nezanedbate ná as respondentov vyjadrila názor, že asová dotácia tematických celkov v 1. ro níku je dostato ná až mierne nadhodnotená. Spomínaná koncepcia rozvoja výchovy a vzdelávania v SR zdôraz uje udskejší prístup k de om najmä v tom, že chcú u enie postavi viac na pochopení a schopnosti uplatnenia poznatkov v praxi a na odstránení menej dôležitej u ebnej látky. Hlavným argumentom je skuto nos, že ve a z toho, o sa deti u ia, si zapamätajú len krátkodobo, lebo nikde v živote to nepotrebujú. Cie om reformy je zníži po et preberaných informácií, poznatkov a takto nadobudnutý as využi na ich aplikáciu v reálnych situáciách. V 2. asti dotazníka mali u itelia ozna i témy rozširujúceho u iva, ktoré preberajú so žiakmi po as školského roka. Výsledky sú zobrazené v nasledujúcich grafoch (Grafy. 3, 4, 5 a 6). Legenda ku grafu. 3: r1 Názorný úvod k u ivu z logiky r2 Riešenie rovníc (postupným dosadzovaním a znázornením) r3 Získanie prvých skúseností s íselnou osou r4 Riešenie nepriamo sformulovaných úloh r5 Triedenie geometrických tvarov (ve kos, tvar, farba) po etnos odpovedí áno nie r1 r2 r3 r4 r5 téma rozširujúceho u iva Graf. 3 Zastúpenia tém rozširujúceho u iva vo vyu ovaní matematiky v 1.ro. ZŠ Legenda ku grafu. 4: r1 K znázornenej alebo reálnej úlohovej situácii zapísa všetky príklady. r2 Riešenie nepriamo sformulovaných úloh. r3 Preh benie a rozšírenie poznatkov z logiky (logická spojka a ) r4 Znázornenie ísel a íselnej osi. r5 Riešenie úloh na násobenie po etnos odpovedí áno nie r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 téma rozširujúceho u iva 94

95 s kombinatorickou motiváciou. r6 Riešenie rovníc. r7 Rozvíjanie funk ného myslenia (tvorením íselných radov) r8 Zaujímavé geometrické úlohy r9 Použité jednotky d žky a ich história Graf. 4 Zastúpenie tém rozširujúceho u iva vo vyu ovaní matematiky v 2.ro. ZŠ Legenda ku grafu. 5: r1 Preh benie a rozšírenie poznatkov z logiky. r2 Riešenie úloh na násobenie s kombinatorickou motiváciou. r3 Riešenie rovníc. r4 Nepriamo sformulované úlohy. r5 Zápis rozvoja ísla v desiatkovej sústave. r6 Znázornenie ísel na íselnej osi. r7 K reálnej alebo obrázkovej situácii uvies všetky príklady násobenia a delenia. r8 Riešenie slovných úloh s neprázdnym prienikom r9 Ur ovanie bodov zo štvorcovej siete r10 Konštrukcia trojuholníka z daných strán r11 Premie anie zmiešaných jednotiek Graf. 5 Zastúpenie tém rozširujúceho u iva vo vyu ovaní matematiky v 3.ro. ZŠ Legenda ku grafu. 6: r1 Po tové výkony na kalkula ke r2 Obsah trojuholníka, štvorca a obd žnika vo štvorcovej sieti r3 Triedenie pod a dvoch vlastností (tvar, ve kos ) r4 Riešenie rovníc r5 Riešenie slovných úloh na neprázdny prienik r6 Znázornenie ísel na íselnej osi r7 Riešenie nerovníc typu 624 < n < 695 r8 Približné po ítanie so zaokrúh ovanými íslami r9 Rysovanie obd žnika a štvorca pomocou trojuholníka s ryskou po etnos odpovedí po etnos odpovedí r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 r10 r11 téma rozširujúceho u iva Graf. 6 Zastúpenie tém rozširujúceho u iva vo vyu ovaní matematiky v 4.ro. ZŠ áno áno nie nie r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 téma rozširujúceho u iva 95

96 Uvedené výsledky sú ovplyvnené v zna nej miere po tom úloh na danú tému rozširujúceho u iva v u ebniciach a pracovných zošitoch. Predpokladáme, že úlohy daného typu rozširujúceho u iva zna ná as u ite ov nepreberá, lebo sú v u ebniciach menej zastúpené. Názor u ite ov na d žku vzdelávania na 1.stupni ZŠ nie je vyhranený. Medzi percentuálnym po tom u ite ov, ktorí preferujú 5-ro né vzdelávanie a u ite ov, ktorí preferujú 4-ro né vzdelávanie, nie je významný rozdiel. Hlavným argumentom respondentov v prospech 5-ro ného vzdelávania je vä ší priestor na precvi enie u iva. o sa týka pomôcok, u itelia postrádajú najmä zbierky príkladov, na ktorých by si žiaci mohli u ivo precvi i, karty s íslami, íselnú os s menite nou stupnicou, po ítadlá, štvorcovú sie, makety a obrázky, stavebnice, modely telies a sady geometrických tvarov. Vä šina u ite ov si vyrába pomôcky svojpomocne. Len dvaja respondenti uviedli, že vo výu be využívajú po íta e a kalkula ky. Záver Z výsledkov prieskumu vyplývajú tieto závery: 1. Je potrebné prehodnoti zaradenie u ebných celkov do jednotlivých ro níkov. Najvä šia disproporcia sa ukazuje medzi množstvom preberaného u iva v 1. a 2. ro níku. 2. Názor u ite ov na potrebu zru nosti v rysovaní žiakov 1.stup a sa v porovnaní s odbornou verejnos ou zna ne líši. Zna ná as respondentov sa vyjadrila za zvýšenie asovej dotácie venovanej rysovaniu. 3. Problém nedostatku u ebných pomôcok pretrváva. Zna ná as u ite ov nevyužíva multimediálne pomôcky, ktoré má k dispozícii v rámci projektu Infovek. Literatúra 1. ZELINA, M. Poh ady na tému: Milénium Národný program výchovy a vzdelávania v Slovenskej republike, posledná aktualizácia Dostupné na World Wide Web: 2. BÁLINT,. A KOL.: U ebné osnovy matematiky pre 1. stupe základnej školy, posledná aktualizácia Dostupné na World Wide Web: Kontaktná adresa KristínaSotáková, PaedDr. Pavel Híc, doc. RNDr. CSc. Milan Pokorný, PaedDr. Pedagogická fakulta Trnavskej univerzity Katedra matematiky a informatiky Priemyselná 4, P.O.BOX 9 Trnava PS Telefón: ksotakov@truni.sk phic@truni.sk mpokorny@truni.sk 96

97 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V INOVATIVNÍ P ÍSTUPY VE VYU OVACÍM PROCESU Jitka HLAVÁ KOVÁ Abstrakt Text je zam en na vhodnost využívání n kterých princip projektové metody na školách I. stupn ZŠ s využitím mezip edm tových vazeb. Navrhuje ešení, jak se zbavit zbyte ných konvencí ve vyu ovacím procesu, aby se žáci necítili násiln vtahováni do v dních obor. Vyu ování m že být zábavné a plné objevování (a to jak ze strany u itele, tak žák ). INNOVATIONS IN TEACHING SCIENCE Abstract The article deals with the efficiency of using some of the project method s principles at the primary school. It also shows the links between different subjects. It suggests how to alter the convetional methods in teaching science and how to motivate pupils instead of forcing them to learn. Such learning can than be full of discovery and fun (for both teacher and pupils). Rámcový vzd lávací program a jeho význam pro I. stupe ZŠ V sou asné dob prochází školství v eské republice zm nami, týkajícími se vzd lávacích program. Každá základní škola má za úkol vytvo it tzv. Rámcový vzd lávací program (dále jen RVP), ve kterém bude u ivo v ro nících len no na jednotlivá na sebe navazující témata. ada u itel považuje tuto innost za zbyte nou. Myslím si, že tato innost má z pohledu u itel nedocen nou funkci. Pro mnohé je pouhým výmyslem n koho z ministerstva, aby se u itelé na základních školách m li emu v novat. Nehodlám se v tuto chvíli RVP zastávat, jen se pokouším nalézat pozitiva tohoto konání. Pohlédneme-li hloub ji do této problematiky, shledáme obrovskou p íležitost k tv r í práci v první ad u itel, ale i žák. Základní školy navšt vují d ti, pro tedy nevyužít p irozené d tské hravosti? Bylo by dobré se o to alespo pokusit, zvlášt na školách prvního stupn, kde u itel/ka v nejlepším p ípad vyu uje ve své t íd všechny p edm ty. Mohlo by se docílit vhodného uspo ádání témat v rámci RVP tak, aby bylo možné propojovat u ivo z r zných p edm t do jednotlivých logických celk. Ve chvíli, kdy se RVP nachází ve stádiu p íprav, je možné využít toto období k aplikaci nových p ístup s využitím invence jednotlivých u itel. Projektová metoda V poslední dob poutá pozornost mnoha u itel nejen na základních školách tzv. projektové vyu ování. Projekt, didaktická hra, jakož i další složky vyu ovacího procesu 97

98 slouží k obohacení klasické frontální výuky. Projektová metoda nabízí adu možností, jak p isp t k lepší motivaci žák a ke kvalitn jšímu prožitku ve vyu ovacím procesu. Ve chvíli, kdy je u itel p ipraven žák m p edložit zajímavé zpracování standardního matematického tématu, je tém zaru ena ú inn jší motivace a probírané téma m že být žáky snáze p ijatelné / pochopitelné. Mezi hlavní problémy p i implementaci projektové metody a integrované výuky nepat í neochota je ve školách realizovat, ale v moment skládání RVP nalézt dostatek asu a snad i odvahy k promyšlení posloupnosti témat. To by jist usnadnilo práci koleg m v pr b hu školního roku, jehož výuka již bude probíhat dle parametr platných RVP. Koncentrace jako prost edek projektové metody Koncentrace u iva je soust ed ní látky kolem ur itého úst edního motivu, jádra i základní ideje. 1 Nejžádan jším koncentra ním jádrem by patrn byla situace z reálného života (pot eby, problémy, zájmy apod.). M že jím být i p edepsaná u ební látka a pokud se u iteli poda í nalézt propojení mezi ob ma zmín nými jádry tím lépe. Koncentrace m že být využita p i hledání mezip edm tových vazeb; orientovat u ivo jednotlivých p edm t k jednomu tématu; m že také suplovat n které p edm ty v rámci jiného tím, že uvede innosti r zných p edm t (související s daným tématem) ke konkrétnímu motivu. Na školách nižšího stupn lze využít i d tské fantazie a v ku pohádek. K navození koncentra ního jádra m že výte n posloužit animovaný (pohádkový) film, který žáci dané t ídy shlédli (nap. p i školní produkci). P edstavme si nap. pohádkový p íb h: Hledá se Nemo, rázem se ocitneme kdesi v mo ské hlubin a okolo nás se objevují r zní mo ští živo ichové a rostliny. I když takto navozená situace nep edstavuje projekt jako takový, spolehliv dokáže zajistit tolik pot ebnou motivaci a koncentraci. Záleží jen na fantazii u itele, do jakých oblastí výuky a jakým zp sobem se m že mo ská hlubina promítnout v každodenním život žák t ídy. Snadno nalezneme systém tématicky zam ený na podmo ský sv t k celoro nímu hodnocení žák prosp chu i chování. Všechny školní i mimoškolní aktivity se mohou (a už p ímo, i nep ímo) dotýkat úst edního motivu a jejich hodnocením zajistit žák m postupné získávaní pot ebných bod do celkového hodnocení. Shledá-li u itel/ka, že je pot eba inovovat koncentra ní jádro, tento princip práce je i se zm nami b hem školního roku možný. Rozdílná bude pouze asová dotace, závislá na rozhodnutí u itele. Aplikace v praxi Pokusím se stru n p edstavit práci studentky, která v rámci šestitýdenní absolvované pedagogické praxe realizovala motiva ní proces následujícím zp sobem (shodou okolností bylo koncentra ním jádrem mo ské prost edí). V hodinách výtvarné výchovy a pracovních inností vytvo ila s žáky (pomocí nejr zn jších materiál a technik) dostate né množství výtvor /výrobk k výzdob t ídy. Tím bylo navozeno prost edí, ve kterém se odehrávaly rozmanité didaktické hry ve všech p edm tech. Za len ní didaktických her a jiných alternativních prost edk do vyu ovacího procesu však bylo podmín no kázní žák, žáci tedy byli motivováni i k lepšímu chování. Studentka m la p ipravený i jakýsi signál, jak žáci poznají, že se vyu ování bude týkat jejich mo ského sv ta do výuky se dostavila v modrém tri ku. 1 Viz Valenta, J.: Pohledy (Projektová metoda ve škole a za školou). IPOS, Praha, str. 4 98

99 Ve výuce matematiky byly aktivity zam eny na rybolov. V již zmín ných hodinách pracovních inností žáci za pomoci praktikantky vytvo ili mo skou pannu a mod e nabatikovali obdélníkový pruh látky, který sloužil jako domov mo ské pann a zárove jako místo ur ené k rybolovu. Studentka m la p ichystané papírové ryby, na kterých byly kancelá skými sponkami p ipevn né líste ky (op t ve tvaru ryby) s p íklady. Každý žák si odnesl papírek s p íklady do své lavice a po ítal svým vlastním tempem. Hodnotila se p edevším p esnost v po ítání. Na konci této aktivity se úsp šnost zaznamenala do rybá ského deníku, který sloužil k porovnání výkon žák b hem celého týdne. Aktivit podobného typu by jist u itel dokázal vymyslet celou adu, a to nejen v matematice. Záleží jen na fantazii a ochot ud lat pro sebe i žáky n co navíc. U itelé, kte í mají s podobnými motiva ními zám ry zkušenosti se shodují na tom, že se nemalá asová investice do p ípravy rozhodn vyplatí. Dobrým ukazatelem je nadšení v d tských o ích spolu s výsledky, které od vyu ovacího procesu o ekáváme. Literatura 1. KRET, E. U íme (se) jinak. Praha: Portál, s. ISBN VALENTA, J. Pohledy (projektová metoda ve škole a za školou). Praha: IPOS, s. ISBN Kontaktní adresa Mgr. Jitka Hlavá ková, Katedra matematiky, Pedagogická fakulta, Univerzita Jana Evangelisty Purkyn, Ho ení 13, Ústí nad Labem Telefon: hlavackova@pf.ujep.cz 99

100 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V VIZUALIZACE GEOMETRIE NA 1. STUPNI ZÁKLADNÍ ŠKOLY Jitka HODA OVÁ Abstrakt U itelé 1. stupn základní školy vytvá ejí základ pro rozvoj osobnosti žáka. Geometrie nabízí velké množství materiál pro vlastní experimentální innost žák. tvere kovaná sí umož uje modelovat v tšinu matematických pojm na 1. stupni základní školy. GEOMETRY VISUALIZATION IN JUNIOR PRIMARY SCHOOL. Abstract The junior primary school teachers create keystone for pupils individuality development. Geometry offers a lot of materials to intrinsic experimental activity of pupils. A squared net allows modelling of most mathematical terms in junior primary school. Vzhledem k tomu, že vzd lávací proces chápeme jako proces konstruování poznatkových struktur u jednotlivých žák, tedy jako proces kultivace žákova duševního sv ta, hraje v tomto procesu velkou roli motivace žáka a jeho emociální vztah k p edm tu.žák, který se nebude chtít u it, který nebude mít o u ení zájem, který nebude k u ení motivován, si žádnou poznatkovou strukturu nevybuduje, nebo k tomu je t eba jeho aktivita. Motivace je p edpokladem zahájení procesu u ení. Motivaci chápeme jako souhrn podn t, d vod k ur itému jednání. Význam motivace zd raz uje i J. A. Komenský. Tento významný eský pedagog uvádí, že k u ení se novým poznatk m by m l žák p istoupit tehdy, byla-li u žáka siln podnícena chu k u ení. Škola je místo, kde by u itel m l využívat spontánní objevovací schopnosti dít te. Modely jsou vhodným motiva ním prost edkem využívaným v hodinách matematiky. Model chápeme jako metodologický prost edek. Soust edíme-li své úsilí p i studiu problému na ur itou jeho stránku,organizujeme své zkušenosti p irozen tak,abychom ji co nejlépe poznali, vytvá íme odd lené pohledy na problém, které vedou k separovaným model m studovaných jev. R st lidského poznání se obvykle opírá o soubory separovaných model budoucího pojmu nebo poznatku a lze u n ho studovat ty i stadia: 1. První konkrétní zkušenosti s modelem, zárodkem p íštího pojmu nebo poznatku. 2. Seznámení se s dalšími separovanými modely pojmu (poznatku). 3. Poznání vzájemné souvislosti n kterých model, vytvá ení jejich shluk na základ tušených souvislostí. 100

101 4. Vytvá ení komunit separovaných model, více i mén uv dom lé poznání jejich podstaty. Znalost, která není op ena o žádný separovaný model, o žádnou konkrétní p edstavu, je obvykle siln formální. P ejímání hotových fakt, to je u ení se definic, v t a postup, nevede k rozvoji kognitivních abilit. K tomuto cíli vede jen vlastní intelektuální práce, hledání, uvažování, experimentování, modelování atd. Žák m že používat jakékoliv pom cky. Mezi pom cky pat í sešit, u ebnice, kalkula ky, tabulky, modely, stavebnice atd. V sou asné dob je u ební pom ckou také po íta a po íta ový software. Práce s po íta em je u žák velmi oblíbená innost a používáním po íta p i výuce lze také rozvíjet tvo ivost žák. Geometrie je rozsáhlá disciplína, která poskytuje velké množství nám t pro práci s konkrétními modely. D ležitou sou ástí u iva matematiky na 1. stupni základní školy je planimetrie. P i objas ování základních pojm planimetrie je asto používaná tvere kovaná sí. Tato tvere kovaná sí se osv d ila a má tyto výhody: 1. tvere kovaný papír p irozeným zp sobem propojuje geometrii s aritmetikou. Je tedy prost edkem mezi dv ma základními oblastmi matematického poznávání žáka. 2. tvere kovaná sí ( tvere kovaný papír) umož uje jednoduché a názorné experimentování a mnohé konstrukce lze ud lat pouze tužkou a pravítkem. 3. Používání tvere kované sít je jednoduché a nevyžaduje žádnou metodickou pr pravu. Žáci na 1. stupni základní školy tvere kovaný papír dob e znají. tvere kovaná sí je tedy pro u itele velmi cennou didaktickou pom ckou. 4. Propojení vizuální geometrie s aritmetikou nabízí žák m cestu k porozum ní studované problematiky. 5. V prost edí tvere kovaného papíru je možné modelovat v tšinu matematických pojm, s kterými se seznamují žáci na 1. stupni základní školy. Jako tvere kovanou sí lze použít jednak tvere kovaný papír, ale tvere kovanou sí si m žeme také nadefinovat v prost edí po íta ového programu Excel. Komplexní nastavení parametr bu ky nabízí položka formát bun k. P ed nastavením formátu bun k je nutné vymezit blok bun k, které mají být formátovány. Jakmile je vymezen prostor pro formátování je t eba upravit vlastnosti bun k. Pro vytvo ení tvere kované sít je nutné zm nit rozm ry bun k tak, aby bu ka m la rozm r tvere ku. Vzniklá tvere kovaná sí se tak stane pro žáka elektronickou kreslicí plochou. Je t eba ješt žáky seznámit s funkcí tla ítek na lišt kreslení. Žáci se musí nau it kreslit základní geometrické objekty. Jakmile se nau í žáci pracovat s elektronickou tvere kovanou sítí, mohou ešit planimetrické úlohy r zného typu. V p ísp vku uvádíme úlohu, která m že být vy ešena s použitím tužky, pravítka, kružítka a tvere kovaného papíru nebo s použitím tvere kované elektronické sít, která byla vytvo ena v po íta ovém programu Excel. 101

102 Úloha : Útvar zakreslený ve tvercové síti je osov soum rný podle osy o. Vyber z vyzna ených bod dvojice soum rn sdružených bod. Geometrie nám umož uje zobrazovat objekty reálného sv ta. Cílem hodin matematiky je vytvá et abstraktní poznání na základ konkrétních model. Je tedy t eba hledat nové metody práce se žáky, aby jejich poznávání a osvojování si poznatk bylo úsp šné. Literatura 1. HEJNÝ, M., KU INA, F. Dít, škola a matematika. Praha: Nakladatelství Portál, ISBN HEJNÝ, M., JIROTKOVÁ, D. tvere kovaný papír jako most mezi geometrií a aritmetikou. Praha: Univerzita Karlova, ISBN ODVÁRKO, O., KADLE EK, J. Matematika 3. Praha: Nakladatelství Prométheus, ISBN Kontaktní adresa Mgr. Jitka Hoda ová, Ph.D. Katedra matematiky Pedagogická fakulta Univerzity Palackého Olomouc Žižkovo nám Olomouc Tel.: hodanova@pdfnw.upol.cz 102

103 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V ENVIRONMENTÁLNÍ VÝCHOVA VE VYU OVÁNÍ MATEMATICE NA 1. STUPNI ZÁKLADNÍ ŠKOLY Drahomíra HOLUBOVÁ Abstrakt P ísp vek pohlédne do problematiky projektového vyu ování, nastíní úkol ekologických projekt a pro ilustraci nazna í nám t matematických environmentálních projekt, ve kterých u itelé s žáky mohou na ukázkách ur ených k realizaci b hem školního roku (na vycházkách, výletech, ve škole v p írod aj.) ov ovat i demonstrovat ekologické poznatky v praxi. ENVIRONMENTAL EDUCATION IN MATHEMATICS IN BASIC SCHOOL Abstract The presentation shows problems of project education, outlines target of environmental projects and shows basic of mathematics environmental projects. Teachers and students can, with help of tasks used during school year (on walks, trips, in school in nature, etc.), demonstrate environmental findings. 1. Úvod Jeden z hlavních cíl vyu ování matematice je nau it žáky využívat teoretické poznatky v praktickém život. To znamená, že již v MŠ a dále pak na ZŠ je pot eba vytvá et a navozovat s d tmi v matematice takové (modelové) situace, které ukazují pravdiv odraz našeho životního prost edí, jeho ekologické problémy a nazna ují možná ešení matematickými prost edky v reálných situacích. Protože RVP ZV, který bude na ZŠ platit od roku 2007 a sou asní studenti a budoucí u itelé již podle schváleného RVP ZV za nou u it, p edpokládá, že se ve školách bude více asu v novat environmentální výchov, ešení aktuálních problémových otázek sou asného ekologického sv ta nejen v samostatných p edm tech ekologie, ale i v rámci jednotlivých vyu ovacích p edm t (tzn. také v matematice). 2. Projekty s ekologickou tematikou Nov formulované úkoly vzd lávání pro 21. století kladou d raz na rozvíjení všech stránek osobnosti tak, aby žáci lépe porozum li sv tu, v n mž žijí, získali znalosti a dovednosti d ležité pro život v rychle se m nícím sv t. Umož ují zavád t do vyu ování matematiky r zné nové formy, p edevším projektovou výuku. D ležitým požadavkem environmentální výchovy v matematice je propojení rozptýlených poznatk a utvá ení integrovaného pohledu na danou problematiku. Matematika by m la poskytovat žák m jednoduché a názorné prost edky k popisu 103

104 kvantitativních stránek sv ta, jak ho poznávají v b žném život i v ostatních vyu ovacích p edm tech. U í samostatn pozorovat a popisovat okolní prost edí, vztahy lidí k prost edí, získávat a t ídit informace týkající se ekologické problematiky, získané poznatky kriticky zvažovat v jejich souvislostech, domýšlet možné d sledky r zných lidských aktivit (pozitivních i negativních), nápaditostí a tvo ivostí podn cuje zájem o zp soby ešení ekologických problém. Matematika tak vede žáky k tomu, aby se aktivn podíleli na ochran životního prost edí. Pro ilustraci je uveden p íklad matematického projektu s ekologickou tematikou. 3. Výukový projekt: Tajemství strom V ková skupina: žáci 5. ro níku asová dotace: 1-2 dny Úkol: ochrana zelen Vstupní motivace: Žáci z encyklopedií vyhledávají zajímavosti o lese i pomocí ísel Výchovn vzd lávací cíl: D ti si uv domí d ležitost strom na naší planet a svou možnou ú ast na ochran zelen ve svém okolí. Uplatní teoretické znalosti v praxi a spolupracují ve skupinách. Matematika procvi í po etní operace v oboru do milionu zpracovávají data z praktického života složit jší po etní operace eší pomocí kalkulátoru p evád jí jednotky objemu, hmotnosti a délky pracují se zlomky eský jazyk žáci napíší p íb h stromu písemn zformulují a vyjád í své p ání stromu P írodov da žáci poznávají druhy strom dle k ry, list, semená k pracují s atlasy Výtvarná výchova d ti se seznámí s frotáží k ry strom vyrobí kašírují strom ve t íd ze starých výkres (sk ítky i víly jako ochránce strom ) Pracovní innost: d ti vyrábí ru ní papír (recyklace papíru) zasadit s u itelem strom (povolení od obce!!!) Pom cky: použité výkresy a tvrtky, lepidlo, balící papír A1, papír, rudka nebo uhel, encyklopedie, atlas strom a semená k, sešit na záznam projektu, šátky, materiál a pom cky na výrobu ru ního papíru O lese Les je bohatý ekosystém, spole enství strom, bylin, mech, lišejník, p dních mikroorganism, zví at, hmyzu, pták atd. Zabezpe uje kolob h vody, je její zásobárnou (m sí n m že zadržet až 200 litr na m 2 ). Stromy jsou bojovníky proti skleníkovému efektu a globálnímu oteplování, pohlcují oxid uhli itý (z aut, továren) a vydávají kyslík (1 ha jehli natého vzrostlého lesa za 1 rok až 30 tun kyslíku, listnatý les o polovinu více). Stejn tak jako les má sv j 104

105 význam i každý jednotlivý strom (nap. urostlý buk na louce s množstvím d r, skrýší a dutin i javor na m stské ulici). Stromy jsou krásné už proto, že jsou a je to na dvorech, ve stromo adích, u božích muk, uprost ed nám stí... Pot ebujeme stromy nejen fyzicky, ale také vid t je, cítit, dotýkat se jich. Nap. listová plocha mohutného stromu pohltí b hem léta p ibližn 12 kg oxidu si i itého. Stoletý buk s listy spot ebuje za 1 hodinu 15 až 16 kg oxidu uhli itého (tolik, kolik za 1 hodinu vydýchá tém 16 lidí). Uvolní 1,7 kg kyslíku (množství, které spot ebují asi 3 lidé za celý den). Snižují teplotu, zmír ují horka hektar vzrostlého lesa odpa í za jediný den nejvýše litr vody a zp íjem uje ovzduší. Pohlcují prach, fungují jako zelené vysava e, za rok m že hektar lesa pohltit desítky tun prachu (jedle nejmén 32 tun, borovice až 36 tun, dub pr m rn 56 tun, buk více než 63 tun). Ni í bakterie a odpuzují hmyz (n které druhy) díky látkám, tvo ícím ur itý ochranný obal (nap. dub, jedle, borovice, lípa, klen, topol, jablo a další). Hmyz od sebe odpuzuje o ech, st emcha, bor vka, topol. Každý lov k který ztratí vazby ke stromu, ztrácí n co d ležitého. Stromy nás t ší I svým tvarem, svými barvami a krásou, mají tedy také estetickou funkci. M žeme si pod nimi odpo inout, nadýchat se vzduchu, který zele obohatila kyslíkem, vid t, kolika živo ich m je strom p ítelem. Vlastní pr b h projektu: 1. D ev ná baba hon ný se p ed babou zachrání dotykem na n co d ev ného 2. Motiva ní rozhovor - Co je vyrobeno ze d eva v této místnosti? - Co je vyrobeno ze d eva mimo tuto místnost? - Odkud se d evo bere? - Co jiného lze ze d eva vyrobit? - Kolik papíru denn každý z nás spot ebuje? každý po ítá sám za sebe v A4 3. Kdo z vás používá papír dvakrát? Vrátíme papír do jeho p vodního tvaru, vytvo íme strom. Výroba stromu z použitých výkres na balicí papír A1 (podle po tu d tí rozd lit práci na n kolik skupin, vznikne více strom ). 4. Práce ve skupinách matematické pracovní listy Za správn vypo ítané p íklady získají d ti písmena citátu: Važte si strom, jsou to ctihodné bytosti! (Nemusí se všechna cvi ení vypracovat najednou, ale po ástech.) Téma: Bez strom by nebyl život na této planet Stromy p i fotosyntéze odebírají ze vzduchu oxid uhli itý a vracejí do n j kyslík Stoletý buk je vysoký kolem 25 m, s korunou v pr m ru 14 m a zakrývá na zemi plochu 150 m 2. Tento strom vydá za 1 hodinu tolik kyslíku, že by sta il k dýchání 10 lidem na celý den. Kolik je zapot ebí takových buk, aby kyslíkem vyrobeným za 1 hodinu zásobily obyvatel Prahy na celý den? Po et obyvatel zaokrouhli na statisíce. [ : 10 = buk pro obyvatele Prahy... VAŽ] Jakou plochu by zabraly? [ : 150 = m 2...TE] Automobily v Praze p i spalování pohonných hmot spot ebují obrovské množství kyslíku. Podle hustoty provozu vozidel m že spot eba kyslíku za den p evýšit základní spot ebu obyvatel Prahy až 87krát. Kolik buk je t eba k produkci takového množství kyslíku? [ = buk...si] 105

106 Pro kolik lidí vydá jeden buk kyslíku za 5 pracovních dn? [( ). 5 = vytvo í kyslík pro lidí...str] V kterých m sících produkují listnaté stromy kyslík? [od kv tna do íjna...om ] Pro kolik lidí by p ibližn vyrobil kyslík starý dub letní za hodinu, který by m l korunu asi 2krát košat jší než buk? Prove odhad. [2. 10 = 20 lidí...js] Vysv tli pojem fotosyntéza. [proces v zelených rostlinách, p i kterém vzniká kyslík...ou] Stromy jsou d ležitým regulátorem teploty a klimatu Náš stoletý buk odpa í ve slune ném dni až 400 litr vody. Kolik hektolitr odpa í v tomto dni 5 takových buk? [ = litr = 20 hl...to] Jeden hektar lesa odpa í za 1 hodinu až 350 litr vody. Co je to hektar? [ tverec o stranách 100 m, m 2...CTI] Kolik hektar lesa odpa í za 1 hodinu litr? [1 400 : 350 = 4 ha lesa...hod] Kolik hektolitr odpa í 100 hektar lesa za 3 hodiny? [( ). 3 = hl...né] Stromy zachycují prach a mikroorganismy Hektar smrkového lesa dokáže vázat až 32 tun popílku. Kolik je to kilogram? [ kg popílku...by] Bukový les na téže ploše dokonce dvakrát tolik. Kolik tun popílku dokáže tedy zachytit? [32. 2 = 64 t popílku...to] Jak m že prach škodit lidem a zví at m? [zanešení horních cest dýchacích a plic...s] Stromy snižují hluk. P sobí jako protihluková bariéra. Až ¼ hluku je pohlcována mezi jejich listím. Pokud rušná ulice má 80 decibel, jaká je potom tedy její hodnota v decibelech díky strom m? [80 - (80 : 4) = 60 decibel...t] Stromy svými ko eny zpev ují p du Ko en dubu, borovice, o ešáku dosahuje délky mm. Kolik je to metr? [6 m...i!] Úkoly pro rychlíky Nejvyšší zjišt ný smrk je starý (25. 21) let. Vynásob ísla a zjistíš jeho v k. [ = 525 let] Smrk m že dosáhnout výšky mm. Kolik je to metr? [ mm = cm = 600 dm = 60 m] Nejvyššího v ku 800 let se u nás dožívá dub letní. V jakém roce musel vyklí it ze semena, když je mu tento rok 800 let? [ = 1 205] Stromy se kácí v tzv. mýtním v ku 100 let. Dejme tomu, že tv j d de ek je o 50 let starší než ty (10 let). Pomáhal sázet les, když byl dvacetiletý student. Jak starý budeš ty, až se bude tento les kácet? [70 let] 106

107 5. Matematické úkoly mohou být prokládány innostmi ve t íd : - dramatická etuda s bo ním vedením SEMÍNKO - ve skupinách si p e íst Miminka strom, d ti pojmenovávají semená ky - poznávat k ry strom na fotografiích 6. innosti v lese: - hledej strom jeden ze dvojice má zavázané o i, druhý ho dovede k n jakému stromu, nevidící žák si ho ohmatá. Poté ho kamarád odvede o kousek dál, nevidící si sundá šátek a snaží se podle hmatu najít strom, u kterého byl. Vým na dvojic. - semená ky d ti hledají semená ky, pojmenovávají a snaží se je zakreslit na papír - frotáž k ry již dosp lého semená ku - frotáž listu nebo jehli í 7. innosti ve t íd : - ve skupinách si d ti vytvo í záznamový sešit z projektu HERBÁ STROM nalepí si frotáže z lesa (semená ek + jeho k ra + jeho list + název, datum záznamu a lokalita sb ru) - výroba ru ního papíru jako ukázky recyklace papíru - každé dít napíše p íb h stromu, v rámci skupiny vyberou jeden p íb h a zdramatizují ho (tato innost by m la být uskute n na první den, aby se d ti mohly ádn p ipravit na dramatizaci a druhý den na záv r projektu ji zrealizovat) 8. Záv r projektu: - d ti spole n s u itelem zasadí strom - každé dít mu na papír jako sudi ka napíše p ání do života, tato p ání pov síme na recyklované stromy vytvo ené na za átku projektu ve t íd - své pocity z projektu a nové poznatky d ti napíší do záznamového sešitu, vlepí své p íb hy - záv re ná dramatizace ve skupinách P ÍB H STROMU. Literatura 1. BIANKI, V.: Lesní noviny. 5. vydání, Praha: Lidové nakladatelství, 1980, 319 s. 2. DEMEK, J. HORNÍK, S.: Planeta Zem a její krajiny. Zem pis.1. vydání, Praha: SPN, a.s., 1997, 96 s. 3. GARDNER, P. et. al.: Zem pis sv ta. Encyklopedie. Praha: Columbus, 1994, 512 s. 4. HOLUBOVÁ, D.: Environmentální výchova ve vyu ování matematice. 1. vydání, Brno: MU v Brn, 2004, 66 s. 5. Kolektiv: Živel ohe energie. 1. vydání, Praha: Agentura Koniklec, 2004, 322 s. 6. Ministerstvo životního prost edí R: Statistická ro enka životního prost edí eské republiky vydání, Praha: MŽP R, 2004, 541 s. Kontaktní adresa RNDr. Mgr. Drahomíra Holubová Katedra matematiky Pedagogické fakulty MU v Brn Po í í 31, Brno, Telefon: drahol@mail.muni.cz 107

108 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V VYTVÁ ENÍ KOMUNIKATIVNÍCH KOMPETENCÍ ŽÁK V MATEMATICE NA 1. STUPNI ZŠ Alena HOŠPESOVÁ Abstrakt Základním pojmem sou asné reformy je vytvá ení klí ových kompetencí žák. P ísp vek se zabývá formováním komunikativní kompetence žák. Na p íkladu konkrétního dialogu u itele se žáky p i po áte ním uvád ní pojmu zlomek je ukázáno, jak je d ležité (a obtížné), aby u itel dialog se žáky podn coval a ídil s jasným zám rem a dovedl jej k zamýšlenému cíli. FORMATION OF PUPILS COMPETENCES IN COMMUNICATION IN MATHEMATICS ON PRIMARY SCHOOL LEVEL Abstract Contemporary school reform is based on the formation of key pupils competences. The contribution aims on the competence in communication. On the illustration dialogue between the teacher and pupils during the introduction of fraction concept it is shown how important (and difficult) is for the teacher to inspire and lead the discussion to the intended aims. Postavení matematiky v základním vzd lávání Matematika je p edm tem, který je tradi n sou ástí základního vzd lávání. Intuitivn vymezené chápání matematické gramotnosti na prvním stupni zahrnuje dovednost po ítat. To není nijak v rozporu s vymezením, které podávají zdroje Evropské unie (Second Report..., 2003), kde se uvádí, že v domosti žák v období základního vzd lávání zahrnují: d kladnou znalost po etních operací a schopnost užívat je v r zných každodenních situacích (s ítání, ode ítání, násobení, d lení, procenta, pom r, míry a váhy), matematické termíny a pojmy, základní zásady geometrie a algebry. Naše primární škola tyto v domosti zajiš uje dob e, což dosahují vesm s velmi dobré výsledky mezinárodních komparativních studií. Je otázkou, zda žák se nau í také (Second Report..., 2003): sledovat a hodnotit argumentaci, odkrývat hlavní myšlenky argumentace, matematicky myslit a uvažovat, neboli užívat matematické zp soby myšlení, abstrahovat a zevšeobec ovat, matematicky modelovat, aplikovat existující modely na blízké problém, komunikovat o matematice a s použitím matematického jazyka, rozlišovat r zné druhy matematického tvrzení (tvrzení a hypotézu atd.),... O školním p edm tu matematika se asto íká, že vychovává logické (tedy správné) myšlení. Je pravda, že tuto potenci v sob matematika nese, ale vyu ování matematice 108

109 v sob skrývá i velké nebezpe í formalismu (Hejný, Ku ina, 2001). V matematice záleží na vhodném výb ru úloh, ale i na tom, jak u itel argumentuje a jaká vysv tlení p ipouští jako správná. Klí ové kompetence Tím, že rámcové vzd lávací programy dávají do centra vzd lávání vytvá ení kompetencí žák, m ní pohled na vyu ování. V centru pozornosti není vyu ující u itel, který sd luje dob e a srozumiteln uspo ádaná fakta, ale u ící se žák. Žák, který eší r zné typy úkol a tím si vytvá í a prohlubuje porozum ní matematickým pojm m a jejich souvislostem. Žák, který se postupn u í ešit r znorodé problémy s matematickým obsahem i aplikovat nau ené pojmy v praxi. Pro etapu základního vzd lávání je identifikováno osm oblastí klí ových kompetencí, na jejichž vytvá ení u žák bychom se m li zam it. N které z t chto kompetencí jsou nadp edm tové (kroskurikulární), jiné jsou zam eny do konkrétních vzd lávacích oblastí. Nadp edm tové klí ové kompetence se vytvá ejí p i všech innostech, na kterých žák ve škole participuje. Jsou formulovány velmi obecn, jako nap. kompetence k u ení ( u it se u it ), k ešení problém, komunikativní, sociální a personální, ob anské a pracovní. Jak jsme již p edeslali, vytvá ení klí ových kompetencí je závislé na tom, jaké prost edí pro práci žák u itel ve vyu ování vytvo í, jaká bude kultura vyu ování (Seeger a kol, 1998). V tomto p ísp vku se soust edíme na kultivování komunikativních kompetencí žák v matematickém vyu ování. Komunikativní kompetence žák jsou d ležitým p edpokladem pro spolupráci s u itelem, s ostatními žáky, leny pracovní skupiny p i ešení úkolu i p i prezentaci výsledk vlastní práce. Žák by se m l postupn nau it: v cn argumentovat komunikovat p i ešení úloh a problém, formulací svých myšlenek prohlubovat porozum ní pojm m, vnímání vztah a souvislostí, podstaty jev, apod. formulovat otázky a problémy naslouchat jiným p i prezentaci jiných návrh ešení porozum t r zným typ m text a záznam, v etn grafických Na 1. stupni základní školy si žáci výše uvedené kompetence za ínají teprve vytvá et. Je proto d ležité, aby u itel vytvá el prostor pro vyjád ení žák, tam kde to má smysl, pe liv naslouchal jejich p ísp vk m a ídil diskusi tak, aby dosp la k záv r m. To ale není lehké ani pro zkušeného u itele, jak je vid t ze záznamu rozhovoru ze t ídy, který je uveden dále. Objevujeme zlomky Popisovaná vyu ovací hodina se uskute nila v rámci dlouhodobé spolupráce se skupinou u itelek b hem ešení grantu Comenius. O zam ení projektu a formách spolupráce s u itelkami jsme v minulosti vícekrát informovali (nap. Tichá, Hošpesová, 2004). Zde jsou použity p episy dialog ze t ídy k ilustraci problematiky vytvá ení komunikativních kompetencí žák. Hodina vznikla po setkání projektového týmu (t i u itelky z prvního stupn a dv vyu ující z pedagogických fakult zabývající se didaktikou matematiky), kde se hovo ilo o tom, jak by bylo možné uvést zlomky na 1. stupni základní školy tak, aby se podpo ilo porozum ní zlomku jako ásti celku. (Podrobn jší popis p ípravy a realizace experimentu je publikován v Hošpesová, Tichá, 2005). 109

110 Na po átku hodiny rozdala u itelka žák m pruhy papíru rozd lené p eložením na ty i shodné ásti (obr. 1). Dialog uvádíme ve zkrácené verzi. Obr U itelka Objevujeme zlomky. Podívejte se, prosím Vás, co máte p ed sebou a zkuste to vyjád it. Napsat. Co to je? Vik ty i ásti... Celek rozd lený na ty i ásti. 3. U itelka Andy, co máš ty p ed sebou? 4. Andy Já jsem si taky myslel, že máme jakoby úse ku, která je rozd lena na 4 ásti. 5. U itelka Hm, dál. Pepo, co myslíš, že máš p ed sebou? 6. Pepík Já taky myslel, že je to úse ka n jaká, rozd lená na ty i. 7. U itelka Kdo má jiný názor? Slyšeli jsme dva...evo. 8. Eva Že jsou to vlastn ty i obdélníky spojený U itelka Spojený... v 10. Eva... v U itelka...dohromady. Dob e. Další. Co myslí Marek? 12. Marek Úse ka, která má ty i ásti. Je otázkou, kam cht la u itelka v dialogu se žáky sm ovala. Téma diskuse vyjád ila první v tou: Objevujeme zlomky. Co ale m la p esn na mysli, m žeme jen odhadovat. Cht la ut ídit zkušenosti d tí se zlomky? Cht la zjistit, zda žáci dovedou zlomky pojmenovat, zapsat? A koliv všechny p edchozí odpov di je možné považovat vcelku za správné, u itelka s nimi spokojena nebyla. V diskusi po hodin ekla, že doufala, že žáci p ijdou na to, že pruh papíru, který dostali, je celek rozd lený na stejné ásti. To možná m la na mysli Eva (v kroku 10), ale její myšlenka v diskusi zapadla. V další ásti u itelka vyzvala žáky, aby zapsali, co vidí. Upozornila je, že nemají psát slovo obdélník. 13. Andy To by možná bylo 4 podtrhnuto a U itelka Já ti rozumím. Jako ty i jedniny. 15. Andy Jako 4 ásti tvo í tverec... ten U itelka... jeden Andy... obdélník 18. U itelka Já ti rozumím. Protože zlomky neznáš,...takto,... te nevím, jak ti íct,... se to vyjád it nedá. Andyho odpov není správná, ale je pochopitelná. Se zápisem zlomk se asi dosud nesetkal, protože se v b žné životní praxi jejich zápis tém nepoužívá. U itelka ve snaze pomoci žák m roztrhla obdélník na 4 stejné ásti tak, jak 4 1 nazna ovalo p eložení (viz obr. 2). Na tabuli napsala ísla: 1, 4,, 4 4 a vyzvala d ti, aby napsaly, který zápis se nyní k situaci nehodí. Mezi žáky nepanoval jednotný názor, zapisovali všechny uvedené možnosti. Obr

111 19. U itelka Baruško, vidíš tam n kde t i? (Baruška zapsala na svou tabulku 4 3.) 20. Baruška Ty 4 stejné obdélníky jsem rozd lila, ty krajní jsou tam U itelka... Ty tam máš íslo 3. Já se chci zeptat na íslo Baruška Nevidím ty díry, 3 díry jsou tam. 23. U itelka Já ti to dám ne do ady, ale jinak. (Rozmístí ásti obdélníka tak, že netvo í adu.)....už tam nemáme 3 díry... (N kte í žáci m ní zápis na 1 4.) 24. U itelka Takže my máme jednotnou odpov. Andy, poj nám to vysv tlit. 25. Andy Jsou tam ty 4 ásti. 26. U itelka Poj ty 4 ukázat. (Andy ukazuje.) Aha, Andy Dohromady tvo í ten tverec... obdélník. (Ukazuje rukama obdélníkový tvar.) 28. U itelka Ale oni nejsou dohromady. Dohromady, to bylo tady. (Ukazuje na zápis ísla 1 na tabuli.) Te jsou tam, kolik? 29. Andy U itelka Na kolik jsme to rozd lili? Já jsem cht la znázornit všechny ty ty i. 31. Andy (Kroutí hlavou.) 32. U itelka Pro si myslíš, že to máš spatn?... Poslouchej. Já vidím 4 a rozd lila jsem to na 4. Davide. 33. David 4 (David napsal.) My víme, že jsme ten obdélník rozd lili na 4 4 ásti. Oni jsou to tvrtiny. A my víme, že jsou tam 4. Tak jsem napsal 4 tvrtiny. 34. Mirka 4 je jeden celek Jirka 1 obdélník jsem rozd lil na 4 stejné ásti. 36. Linda Já si myslím 4 nad U itelka (Zvoní.) Te dávejte pozor na domácí úkol. P inesete si také pruh papíru, n co s ním ud lejte a do sešitu napište, co jste vytvo ili. Diskuse Pokud se budeme na uvedené dialogy dívat z pohledu vytvá ení kompetence komunikovat, zjistíme, že na mnoha místech u itelka pozitivn stimulovala žáky k tomu, aby komunikovali, formulovali své myšlenky, což jsme na za átku uvedli jako požadavek p stování komunikativní kompetence. V dialozích najdeme pobídky, jako nap.:... zkuste to vyjád it (krok 1);... co myslíš, že máš p ed sebou? (krok 5); kdo má jiný názor? (krok 7);...poj nám vysv tlit (krok 24); pro si myslíš, že to máš špatn? (krok 24) Žáci také naslouchali jiným p i prezentaci jejich návrh ešení. Je ale otázkou, zda argumentovali v cn nebo se jen snažili odhadnout zám r u itelky. Zda si formulací svých myšlenek prohlubovali porozum ní pojm m, vnímali vztahy a souvislosti, podstatu jev. Na tyto otázky nem žeme s jistotou odpov d t, protože jen t žko m žeme zm it p ímé výsledky u ení. Procesy vytvá ení pojm jsou p i vyu ování matematice na prvním stupni asto intuitivní, neur ité a nejasné. M žeme jen odhadovat, jak uvedené dialogy ovlivnily vytvá ení pojmu zlomek u jednotlivých 111

112 žák. Došlo ke shrnutí p edchozích zkušeností žák se zlomky? Jak se p edstavy jednotlivých žák propojily s tím, co bylo ve škole e eno a ud láno? Jak žáci vnímali to, že n které odpov di u itelka p ijala kladn a k jiným nezaujala stanovisko? Co zp sobilo rozpa ité reakce žák na konci hodiny? Nejistota, co bylo správn? Chyb jící shrnutí a hodnocení hodiny? M že se zdát, že uvedené dialogy prob hly ve t íd v krátkém ase a nemohou mít velký vliv na pr b h u ení žák. To ale není pravda. Práv v komunikaci s u itelem a ostatními si žák postupn vytvá í p edstavu o tom, které vyjád ení je vhodn jší a pro, který argument je siln jší a pro, jaké úvahy jsou v matematice p ijímány jako správné atd. Komunikace je determinována tím, že diskutujeme o p esn vymezených pojmech, které jsou uspo ádány a logicky na sebe navazují. U itel, který toto p edivo dob e zná, pak v dialogu se žáky zachytí cenné nám ty a rozumn jich využije. Domnívám se, že z t chto d vod je úsp ch sou asné reformy závislý p edevším na u iteli a jeho kompetencích. Reforma je formulována tak, že dává u iteli svobodu a sou asn na n j klade zna né nároky. Úsp ch reformy bude záviset, podle mého soudu, na každodenní promyšlené práci u itele i žák. Cílem p estává být probrat u ivo, cílem je aktivní žák, který se n co nau il, umí to použít a dovede nám o tom t eba i n co íci. Literatura 1. European Commission 2003: Second Report on the activities of the Working Group on Basic Skills, Foreign Language Teaching and Entrepreneurship. Dostupné na: 2. HEJNÝ, M., KU INA, F. Dít, škola a matematika. Konstruktivistické p ístupy k vyu ování. 1. vyd. Praha: Portál, HOŠPESOVÁ, A., TICHÁ, M. Developing mathematics teacher s competence. In Proceedings of CERME 4, Sant Feliu de Guíxols, Spain. 2005, 10 stran. Dostupné na: 4. Rámcový vzd lávací program pro základní vzd lávání. Dostupné na: 5. SEEGER, F., VOIGT, J., WASCHESCIO, U. The culture of the mathematics classroom. Cambridge: Cambridge University Press, TICHÁ, M., HOŠPESOVÁ, A. U íme se u it. In M. Uhlí ová (ed.) Cesty (k) poznávání v matematice primární školy. Olomouc: UP, Pedagogická fakulta, 2004, Kontaktní adresa doc. PhDr. Alena Hošpesová, Ph.D. Jiho eská univerzita v eských Bud jovicích, Pedagogická fakulta Jeronýmova 10, eské Bud jovice Telefon: hospes@pf.jcu.cz 112

113 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V ŽÁK S NADÁNÍM PRO MATEMATIKU A JEHO CHARAKTERISTIKA Eva HOTOVÁ Abstrakt Autorka v p ísp vku vymezuje pojem matematické nadání a p edstavuje v n m obecné a specifické schopnosti žáka s nadáním pro matematiku, které dopl uje o vlastní post ehy z práce s nadanými žáky 5. t íd ZŠ. THE PUPIL GIFTED WITH MATHEMATICS AND ITS CHARAKTERISTICS Abstract The author defines a notion gift of mathematics in this paper. Presents general and specific abilities of the pupil gifted with mathematics and finds out complementary remarks from her own work with gifted fifth class pupils of the primary school. Úvod V posledních letech se stále více pozornosti zam uje na skupinu nadaných a talentovaných žák v r zných oblastech jejich p sobení (sport, um ní, jazyky, p írodní v dy apod.). V této souvislosti se objevila i ada pohled na pojmy talent a nadání týkající se jejich vymezení a chápání rozsahu. Ješt na po átku 20. století byl pojem nadání spojován s vysokou úrovní inteligence, kdy dít ti sta ilo dosáhnou hodnoty inteligen ního kvocientu vyšší než 130, aby bylo považováno za intelektuáln nadané. V poslední dob se p istupuje k tzv. vícedimenzionálnímu pojetí, kterému se v nuje ada autor, z mnohých jmenujme nap. J. S. Renzulliho, F. J. Mönkse, A. J. Tannenbauma, F. Gagného. Pro tyto autory je d ležitá nejen hodnota inteligen ního kvocientu, ale i další faktory jako tvo ivost, motivace, zájmy, osobnost dít te a v neposlední ad i sociální prost edí dít te, které m že celou škálu schopností a dalších vlastností dít te ovliv ovat. Nadané dít z pohledu osobnostn -vývojového Na základ tohoto p ístupu k dané problematice m žeme podle H íbkové (2005, s.36) za mimo ádn nadané dít považovat dít, 1) které velice brzy ve svých projevech manifestuje akceleraci a je t mito projevy nápadné ve srovnání se svými vrstevníky, 2) které podává v n které oblasti (nejen kognitivní) vynikající výkony, které jsou ve srovnání s vrstevníky z hlediska kvality nebo kvantity neobvyklé, 3) u kterého byl opakovan zjišt n vysoký osobnostní potenciál pro podávání mimo ádných výkon, který se však dosud ve výkonech v daných oblastech b žn 113

114 neprojevuje (nap. vysoký intelekt, kreativita, zvýšený zájem o ur itou oblast, vytrvalost p i pln ní úkol i výjime né znalosti apod.). D ti spadající do naposled uvedeného bodu bývají ozna ovány jako potenciáln nadané. Jedná se o tzv. latentní nadání, s nímž se setkáváme v tšinou u d tí p edškolního a mladšího školního v ku. Jeho prot jškem je tzv. manifestované nadání, kdy jedinec v n které oblasti dosahuje výkon nadpr m rných. Matematické nadání Stejn tak jako pojem obecného nadání, není ani matematické nadání jednozna n definováno. Budeme-li se chtít držet trendu vícedimenzionálního pojetí pojmu nadání, je možno jej vymezit jako komplex vysoce nadpr m rných všeobecných rozumových schopností, mimo ádn rozvinutých matematických schopností, tvo ivého myšlení spole n se zájmem o matematiku a podp rným vlivem prost edí, ve kterém dít vyr stá. Matematická schopnost je Verdelinem (podle Koš, 1972) definována jako schopnost chápat povahu matematických (a podobných) úloh, znak, metod a d kaz ; nau it se je, uchovat je v pam ti a reprodukovat je; kombinovat s jinými úlohami, symboly, metodami a d kazy; používat je p i ešení matematických (a podobných) p íklad (úloh). Charakteristika žáka nadaného pro matematiku Identifikace nadaného dít te není jednoduchá, nebo každý je osobností jedine nou, a tudíž u každého najdeme jinou kombinaci a intenzitu osobnostních charakteristik a projev chování. Není možné vytvo it celistvý seznam charakteristických vlastností a schopností nadaného dít te, proto jsem se v p ísp vku snažila vybrat z odborné literatury nej ast ji uvád né projevy nadaného žáka. Zam ila jsem se p edevším na oblast kognitivní a na charakteristiky, jež jsou pozorovatelné p i vyu ování ve škole (n které již u p edškolních d tí). Projevy chování a jednání ve škole: schopnost dlouhodobé koncentrace pozornosti v ur ité oblasti zájmu, zvídavost, touha po nových informacích, preference individuálního u ení a samostatné práce p ed skupinovými, dávají p ednost složitosti mají tendenci d lat hry a úkoly náro n jšími, aby byly zajímav jší, pracují vlastním tempem. Charakteristiky v kognitivní oblasti: bohatá slovní zásoba, gramatická správnost, hluboký zájem o ur itou oblast v d ní a mimo ádné znalosti v této oblasti, p esahující požadovaný rozsah i hloubku u iva, dovedou jasn vid t vztah p í ina d sledek, schopnost samostatného vyhledávání informací, orientace v nich a práce s nimi, preference problémových úloh, schopnost zobec ování, abstrakce, dobrá pam p evážn logická, pamatují si i drobné detaily, jsou schopni si rychle vybavit nau ené. 114

115 A jaké jsou specifické projevy a kognitivní schopnosti žáka nadaného pro matematiku? V první ásti následující pasáže op t vycházím z analýzy odborné literatury v nované d tem s matematickým nadáním. V druhé ásti pak dopl uji ty specifické projevy a schopnosti, které vycházejí z výsledk mé práce s vybranými žáky 5. t ídy ZŠ. Projevy matematického nadání: schopnost pracovat s abstraktními symboly jedná se o schopnost zacházet se slovními a matematickými symboly, schopnost analyzovat situaci a diferencovat podstatné od nepodstatného, vytvá ení vlastních postup ešení úloh, schopnost chápat povahu matematických problém a metod ešení i ov ování správnosti postup, schopnost nau it se je a tvo iv je využívat p i ešení jiných úloh, schopnost vid t a vyvozovat možné vztahy v oblasti matematických pojm a úloh, výjime ná schopnost orientovat se v prostoru. Práce s žáky 5. t ídy ZŠ Z žák 5. t ídy byli t ídní u itelkou vybráni 4 žáci, 2 dívky a 2 chlapci, kte í se dle názoru t ídní u itelky vyzna ovali výbornými znalostmi v oblasti matematiky, v hodinách pracovali se zájmem, ukázali se býti tvo ivými v hledání strategií ešení atd. Postupn jsem jim zadávala p ipravené úlohy (typu ZEBRA, algebrogramy, úlohu se zápalkami, kombinatorickou úlohu, hru typu NIM pro 2 hrá e a další) a sledovala jsem zp soby hledání ešení, správnost postupu a další specifické projevy p i pln ní úkolu. Úlohy nabývaly r zné obtížnosti. Další z projev vypozorovaných u sledovaných žák : divergentnost ešení matematických úloh hledání více možností ešení bez mého dalšího podn tu, samostatná práce, srovnání postupu ešení se spolužáky až po vy ešení úkolu, smysl pro dokon ení úkolu (neodevzdali jej nedo ešený), soust ed nost p i práci na úkolu, pokusy vy ešit úlohu zpam ti, teprve p i p ílišné náro nosti pomocí výpo tu nebo grafického znázorn ní (nap. p i složit jší variant úlohy typu ZEBRA), u jednoho z žák se objevil nezájem ešit úlohu, která byla z jeho pohledu p íliš jednoduchá. Záv r V p ísp vku jsem se snažila nastínit problematiku žák nadaných pro matematiku. Po úvodním teoretickém vymezení obecných schopností a projev nadaného žáka jsem se blíže zam ila na specifické rysy matematického nadání. Poznatky erpané z odborné literatury jsem v záv ru konfrontovala s výsledky svého vlastního pozorování u vybraných žák 5. t ídy ZŠ a doplnila jsem tak stávající vý et možných projev matematického nadání. 115

116 Literatura 1. DO KAL, V. Zam eno na talenty aneb Nadání má každý. Praha: NLN, s. ISBN H ÍBKOVÁ, L. Nadání a nadaní. Pedagogicko-psychologické p ístupy, modely, výzkumy a jejich vztah ke školské praxi. Praha: Univerzita Karlova, Pedagogická fakulta, s. ISBN X. 3. KOŠ, L. Psychológia matematických schopností. Bratislava: SPN, s. 4. MÖNKS, F. J., YPENBURG, I. H.: Nadané dít. Praha: Grada, s. ISBN PORTEŠOVÁ, Š. Typické poznávací charakteristiky nadaných d tí. [on-line] [cit ]. Dostupné na WWW:< jazyk=>. 6. SEJVALOVÁ, J. Talent a nadání. Jejich rozvoj ve volném ase. Praha: IDM MŠMT, s. ISBN Kontaktní adresa Mgr. Eva Hotová Katedra matematiky, PdF UP Olomouc Žižkovo nám.5, Olomouc Telefon: hotova@pdfnw.upol.cz 116

117 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V HRY A HLAVOLAMY V P ÍPRAV BUDOUCÍCH U ITEL MATEMATIKY Antonín JAN A ÍK Abstrakt P ísp vek p edstavuje nový alternativní seminá (pracovn pojmenovaný Hry a hlavolamy). Kurz je ur en pregraduálním student m (budoucím u itel m na prvním stupni). P ísp vek mapuje dosavadní zkušenosti s tímto seminá em, jeho obsah a p ínos pro p ípravu budoucích u itel matematiky, p edevším pro rozvoj jejich vztahu k danému p edm tu. GAMES AND PUZZLES FOR STUDENT TEACHERS Abstract The aim of this paper is to introduce the new alternative workshop Game and Puzzles for the undergraduate university students, future basic school teachers. This paper presents content and actual outcomes of this workshop and points out its benefits for the preparation of future mathematics teachers, especially in the field of their attitude towards mathematics. Úvod Na našem pracovišti, kated e matematiky a didaktiky matematiky Pedagogické fakulty Univerzity Karlovy v Praze, se dlouhodob zabýváme otázkou p ípravy budoucích u itel matematiky. Naším cílem je nejenom prohloubit matematické a pedagogické dovednosti student, ale také vybudovat u student pozitivní vztah k p edm tu, který budou vyu ovat. V n kterých p ípadech to znamená p ekonávat bloky, i dokonce odpor ve vztahu k matematice, se kterým n kte í naši studenti na vysokou školu p icházejí. Považujeme za nesmírn d ležité ukázat student m krásu tv r í matematiky, p esv d it je, že i oni jsou schopni samostatné matematické práce a aktivit za azujeme do p ípravy budoucích u itel na prvním stupni i seznámení s hrami a hlavolamy. Cílem této innosti je seznámit studenty s kreativní matematickou inností tak, aby ji byli schopni využívat i ve své budoucí praxi. Pro seznámení student s hrami a hlavolamy využitelnými v hodinách matematiky slouží volitelný p edm t Hry v matematice na 1. stupni ZŠ a alternativní seminá k povinnému p edm tu Aritmetika, pracovn nazvaný Hry a hlavolamy. Seminá Hry a hlavolamy Matematické znalosti a dovednosti student p ijímaných na Pedagogickou fakultu jsou velmi rozdílné. Na jedné stran stojí studenti s velmi dobrými znalostmi a na druhé studenti, kterým iní potíže i n které p íklady z u iva prvního stupn. Povinný p edm t 117

118 Aritmetika je za azen do prvního ro níku studia a jeho cílem je sjednotit matematické znalosti na odpovídající úrove. Vzhledem k velmi rozdílné úrovni student je z ejmé, že hlavní d raz musí být na cvi eních k p edm tu kladen na procvi ování látky se slabšími studenty, a pokro ilejší studenti jsou tedy pon kud upozad ni. Proto byl v lo ském školním roce student m, kte í ve vstupním roz azovacím testu dosáhli výborných výsledk, nabídnut alternativní seminá ke cvi ení, v novaný využití matematiky ve hrách a p i ešení hlavolam. Didaktický význam her Použití her ve výuce matematiky není novinkou. Hry jsou p i výuce a didaktických experimentech využívány již po n kolik desetiletí (nap. [1], [2], [3]). Jako didaktický nástroj jsou hry také ve st edu v deckého zájmu n kolika pracoviš (nap. Pedagogická fakulta Univerzity Hradec Králové [4]). Hlavní p ínos využití her je spat ován v tom, že žáci hru nevnímají jako školu, a proto k ní p istupují nezatíženi r znými bloky a stereotypy ([5]). Žáci p i hrách samostatn uvažují, spontánn komunikují, a tak si osvojující d ležité kompetence, jako je schopnost logicky uvažovat i spolupracovat v kolektivu. Za azovat didaktické hry do vyu ování znamená tedy nejen vnášet do školy více uspokojení a radosti, zahnat eventuální nudu, ale znamená to též možnost více se p iblížit napl ování požadavk Bílé knihy i Rámcových vzd lávacích program na dosahování žákovských kompetencí. (viz [6]). Hry a matematika Hry však nejsou jen téma didaktické. Teorie her je moderní, rychle se rozvíjející matematickou disciplínou, díky níž se mohou budoucí u itelé matematiky seznámit s opravdu sou asným výzkumem v matematice. Je bohužel smutnou skute ností, že p evážná v tšina t ch, kte í budou matematiku vyu ovat, nemá v bec žádnou p edstavu, co se v matematice jako v d v sou asnosti odehrává. Je to krom jiného d sledek faktu, že v tšina výsledk, se kterými se studenti v matematice seznamují, je výrazn starší než 100 let. Každý má pom rn jasnou p edstavu (i když ne vždy správnou), emu se v nuje fyzik, chemik, biolog, i dokonce mikrobiolog i ornitolog. Pro v tšinu lidí je však velmi obtížné odpov d t na otázku, emu se v nuje matematik. Matematické teorie her se v sou asné dob rozd luje na dva hlavní proudy, kombinatorickou teorii her (hry jako NIM, Hackerbush, ale také GO, dáma, šachy, viz [7]) a strategickou teorii her, která se v nuje modelování situací, p i kterých dochází ke st etu dvou nebo více stran (nap. hra V z ovy rozpaky). Strategická teorie her nachází krom matematiky velké uplatn ní i v jiných oborech, nap. v ekonomii (Nobelova cena za rok 2005 ud lená Thomasu C. Schellingovi a Robertu J. Aumannovi), biologii (nap. v evolu ní teorii), sociologii i politologii. Krom vlastní teorie her souvisí s hrami a p edevším s hlavolamy velmi úzce i n které partie teorie grup ([8]), teorie graf (hlavolam Semafor) i finitní matematiky. Nedílnou sou ástí koncepce seminá e Hry a hlavolamy proto bylo seznámit studenty s vybranými výsledky, kterých bylo v poslední dob v oblasti teorie her dosaženo a p edevším s metodami a postupy, kterých bylo p i jejich dosažení použito. Obsah seminá e Obsah seminá e byl rozd len do n kolika nezávislých témat, jednomu tématu bylo obvykle v nováno 4 až 6 vyu ovacích hodin, p i emž mezi jednotlivými hodinami 118

119 studenti samostatn pracovali na zadaných úlohách. Na tomto míst uvedu jen seznam témat, která byla v pr b hu semestru na seminá i probírána: Hry rozvíjející po etní dovednosti (Cink, Jungle Speed, Ligretto) Hry rozvíjející geometrickou p edstavivost (Digit, Soma, Tangram, Pentomino) Matematické hry (r zné varianty hry NIM v etn postup, jak odvodit vyhrávající strategii) Moderní strategické hry (Carcassonne, Osadníci z Katanu, Halali atd.) Hlavolamy (Conway, permuta ní hlavolamy, sirkové hlavolamy, výroba vlastních hlavolam ). Záv r Seminá se setkal u zú astn ných student s pozitivním ohlasem. Studenti pracovali samostatn a s velkým zápalem, nez ídka se stávalo, že do ešení úloh zapojovali své p átele a rodinné p íslušníky. Vzhledem ke krátkému asovému odstupu nelze objektivn zhodnotit, nakolik seminá p isp l k rozvoji matematických v domostí. M l ale zcela nesporný p ínos v prom n vztahu student k matematice. Studenti se sami p esv d ili o tom, že jsou schopni kreativní práce a pochopili, že ne všechno je v matematice již hotové. Zjistili, že jsou schopni sami také na n co nového p ijít a prožili tak radost z úsp chu p i ešení matematické úlohy. V ím, že tento p ístup k matematice budou schopni v budoucnu také aplikovat p i práci se svými žáky, a vytvo í tak v hodinách prostor pro rozvoj kompetencí i osobnosti svých žák. Proto bude tento seminá za azován do p ípravy budoucích u itel i nadále. Literatura 1. HEJNÝ, M. (1990), Teória vyu ovania matematiky 2, SPN, Bratislava, HOLT, J. (1984), How children fail, Pelican Book, London, MORRENO-ARMELLA, L., BLOCK, D., Democratics Access to Powerful Mathematics in a Developing Country In Handbook of International Research in Mathematics Education,LEA Inc., New Jersey, KREJ OVÁ, E., VOLFOVÁ M., Didaktické hry v matematice, Gaudeamus, Hradec Králové, Science and Technology Education, ed. Norman K. Lowe, Document series no. 29, UNESCO, Paris, VOLFOVÁ, M., Didaktické matematické hry, in sborník z konference Jak u it matematice žáky ve v ku let. (V tisku.) 7. BERLEKAMP, E., R., CONWAY J. H., GUY, R. K., Winning ways for your mathematical plays, A. K Peters, Natick, JAN A ÍK, A. Free Groups, Gap And Pakoválec, In sborník z konference APLIMAT (V tisku.) P ísp vek byl vypracován s podporou grantu GA R 406/05/P561. Kontaktní adresa RNDr. Antonín Jan a ík, Ph.D. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta Telefon: , Antonin.Jancarik@pedf.cuni.cz 119

120 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V TRANSFOMACE KOMUNIKA NÍCH KÓD VE VYU OVÁNÍ MATEMATICE V PRVNÍM RO NÍKU ZŠ Michaela KASLOVÁ Abstrakt Komunikace je jednou z komponent ovliv ujících klima ve t íd. Komunikace užívá r zné komunika ní kódy. Transformace komunika ního kódu tvo í sou ást komunikace ve školní matematice práv tak jako samotného procesu ešení úloh. Transformace komunika ních kód je užívána v r zných úlohách, cvi eních i v prvním ro níku ZŠ. Práce u itel na této úrovni je intuitivní. Kdy a za jakých podmínek užije žák transformaci komunika ního kódu? TRASFORMATION OF A COMMUNICATION CODE IN MATHEMATICS AT THE FIRST YEAR OF PRIMARY SCHOOL Abstract The communication is a one of important components influencing a clime at class. The communication use different code of communication. The transformation of a code comprises a part of communication in school mathematics as well as part of the solving process. The transformation of a code is used in different practices from the first class of Primary school. Teachers work in this level of teaching is intuitive. When and in which conditions does a pupil use transformation? 1. Úvod Komunikace je vymezována z pohledu sociálního jako vzájemná sd lování obsah mezi jednotlivci nebo jejich skupinami. Ve škole je komunikace jak nástrojem výchovn vzd lávacího procesu, tak i cílem. Ve školním prost edí (podobn jako i v jiných kontextech) jde o rozvoj schopnosti komunikovat v etn zvládání r zných podob komunikace. Jsou tedy momenty, kdy na podob komunikace tolik nezáleží a u itel up ednost uje obsah, jsou okamžiky, kdy ur itou podobu komunikace u itel vyžadovat musí nebo dokonce kdy se zam uje speciáln na formální stránku komunikace. Tento trojí p ístup ke komunikaci ve vyu ování umožnilo až zakotvení konstruktivismu v u itelské praxi. Formy komunikace jsou spjaty s ur itými komunika ními kódy. Podobn n které metody ešení problém, úloh jsou vázány pouze na jeden komunika ní kód, jiné metody nabízejí možnosti výb ru komunika ního kódu, pokud není vyžadován zadavatelem úkolu. Co se odehrává v moment, kdy u itel klade požadavky na formu komunikace? Jak se dít vyrovnává s tím, že samo eší úlohu v jiném komunika ním kódu než je požadován? Je p ipraveno na transformace komunika ních kód nebo je 120

121 provádí intuitivn? Uv domuje si tento fakt u itel? Je t eba proces transformace zohled ovat v hodnocení výkonu žáka? 2. Komunika ní kód Kód je systém signál znak nebo symbol, který je na základ p edchozí dohody ur en k p edstavení a p enosu informací mezi zdrojem nebo vysíla em a místem ur ení i p ijíma em. (Weil-Barais 2001, s. 217) V tomto vymezení je patrné, že d sledn odlišuje znak a symbol. Jsou auto i, kte í symbol chápou jako specifický znak. O tomto pojetí možné diskutovat podle toho, zda na konkrétní školní situaci nahlížíme po úhlem isté v dy z pohledu zkušeného dosp lého, nebo z pozice dít te, u kterého je n kdy obtížn rozhodnout, co pro n j daný element znamená, jak s ním zachází. Zdá se, že pojem znak je u dít te prvního stupn širší, než jak je vymezován v sémiotice (nap. erný, 2005). Schopnost porozum t komunikaci závisí jak na obsahu sd lovaného, tak na užití kódu (nap. Fayol 2003). Dít, které je ve fázi zvládání kódu se t žko m že soust edit pln na obsah, a naopak snaha o pochopení obsahu umož uje pronikat do komunika ního kódu (rozvíjeno p edevším u tení a u ení cizím jazyk m). Kód je soubor znak nebo signál, které mají p esný p edem zakotvený význam. Jazyk jak psaný, tak mluvený tvo í kód. (syntax tvo í podmínky pro to, aby) vznikla smysluplná v ta v d ji, ase, situaci atd. Znalost kódu a pohotovost v jejich zpracování není vždy identická mezi komunikujícími (Lafon 2001, s.189). To tedy znamená, že o kódu lze hovo it tehdy, usiluje-li ú astník n jakým zp sobem komunikace o vyjad ování celou v tou (podle mého a sám nebo v kooperaci), tedy že nepracuje s izolovanou informací. Teorie komunika ních kód se p evážn zabývají komunikací v jednom jazyce a jejími dv ma podobami mluvenou (mluva) a psanou (zpravidla hláskovým nebo slabi ným písmem). Gestika bývá azena do nonverbální komunikace a p isuzuje se jí pouze doprovodná role, aniž by se vzala v úvahu znaková e nebo pantomima, které považujeme za komunika ní kódy. Gestika v širším slova smyslu tudíž m že hrát dv role, její postavení bude mimo jiné dáno kontextem, respektive situací (Kaslová 2005, s. 72). Díky teorii mediální komunikace nastal návrat ke komunikaci obrazové i audiovizuální (McLuhan, Ecco, Koplová, Volek a další), podobn jako rozvoj výpo etní techniky. Komunika ní kódy užívané v matematice v eské škole jsou v eském jazyce ( i nadnárodním viz1) a d líme je na: mluvu, hláskové písmo, matematickou symboliku, ikony (viz 2) a gestiku. Diskutabilní z stává za azení trojrozm rných objekt ; zda je chápat jako komplexy znak (jsou dekódovatelné a p evoditelné na slova, nap. viz Kesner), i jako izolované reprezentanty vnímatelné vizuáln -hapticky. Kódy jsou nástroje reprezentace (vn jší); takto jsou pojímány zejména pod vlivem teorií médií (nap. Reefová 2004, Kopplová 2003 a další). Mentální reprezentace oproti tomu (nap. Munier, Peraya a další) je chápána jako operace s psychickými obsahy, které jsou modelovány prost ednictvím lokálních reprezentacích na úrovni smyslového vnímání, obsahy, které jsou obsahy znakových funkcí. Kódy tedy umož ují p echod od p edstavy k mentální reprezentaci. 3. Komunika ní kódy a jejich užití v prvním ro níku ZŠ Jeden jazyk lze kódovat r zným druhem komunika ního kódu. Zp sob kódování má svá pravidla gramatika, syntax, která jsou ovlivn na p edevším vývojem, dohodou, kontextem v etn technických podmínek. Kódování chápu jako proces, který p evádí mentální reprezentace do vn jších reprezentací. Kódování je proces p evád jící úmysly, 121

122 myšlenky, pocity do ur itého komunika ního kódu i komplexu kód. Mentální reprezentace je zde pojata jako stopa v pam ti, která již nemá p ímou souvislost se smyslovými vjemy. Dekódování je naopak procesem sm ujícím k odkrytí, pochopení zprávy p ijaté v ur itém kódy. Vzhledem k tomu, že se u šestiletých d tí p edpokládá stále ješt významné rozši ování slovní zásoby a tedy v mnoha p ípadech jde o zahájení pojmotvorného procesu, v jiných p ípadech v jeho pokra ování, nelze p edpokládat (viz výsledky PET výzkum mozku), že dít p i kódování ur itých informací (sd lování myšlenek) je schopné v dom volit p íslušný komunika ní kód. U itel v komunikaci s žákem p edpokládá, že sd lení zakódované do jediného komunika ního kódu by bylo možná nedekódovatelné, i lépe nebylo by pochopeno i správn pochopeno. Tradi n (Kaslová 2003) neuv dom le u itel používá paraleln n kolik komunika ních kód. Je na žákovi, na typu žáka (auditivní, vizuální apod. jak uvád jí Thomas, Kern a další), na který z kód se zam í, i zda komunikaci vnímá komplexn. Soub žné používání komunika ních kód není trvalé, ani souvislé, n kdy dochází v rámci užití jednoho komunika ního kódu jen ke zdvojení i ztrojení díl í informace r znými kódy Tento zlom je spjat s fázemi u ení, nastává v moment shrnování p edchozí zkušenosti, p i p echodu od úvodu a prvního procvi ení do dalších fází. Je dominantní v prvním ro níku zejména ve fázi opakování. Užití jediného komunika ního kódu v prvním ro níku je relativn p esn vymezeno druhy aktivit - nap íklad diktát dvojciferných ísel. Komunika ní kódy jsou spjaty s t ídními i p edm tovými rituály (Marchive 2003). Toto propojení usnad uje organizaci hodiny, avšak m že odvád t pozornost nejen od formy komunikace, ale i od jejího obsahu, respektive od procesu, který je vázán na obsah (pravidelná ústní sout ž na s ítání mezi odd leními na po átku hodiny zam enost na chybu a rychlost). 4. Transformace komunika ních kód P evažující obsah matematického u iva 1. r. je aritmetické povahy, proto se na ni soust edíme. U ivo m žeme rozd lit do dvou hlavních skupin aktivit. První skupina se váže na numeraci, která neprobíhá jednorázov, ale u ivo se k ní vždy vrací s každým novým íslem. Podobn tomu tak je i ve vyšších ro nících, avšak numerace v nuje mnohem v tším skupinám ísel. Druhá skupina aktivit je vázána na po etní operace. Z pohledu typ komunikace i zam ení na kognici je možné rozlišit ist aritmetické a slovní úlohy, i když se v obou po ítá. Slovní úlohy hrají dvojí roli, jednak uvád jí operace (vytvá ejí první p edstavy o operaci), motivují tím, že propojují sv t dít te se sv tem matematických symbol. Transformací komunika ních kód se zpravidla chápe p evod jedné zprávy v ur itém kódu do kódu jiného. Problém u d tí mladších osmi let spo ívá v tom, že mají problém vyjad ovat své myšlenky úpln a v jednom kódu. Podobn jako u itelé (zám rn ) i d ti (kv li nerozvinutým komunika ním kompetencím) míchají kódy zejména tehdy, chybí-li jim v mluveném projevu slova. Používají tak zvaných kompenza ních strategií (Žofková, 2002), kdy netransformují celou informaci do jiného (druhého) kódu, ale pouze tu ást, kterou nedovedou v daném kódu vyjád it. To se stává p edevším tehdy, když v druhém kódu by bylo pro n vyjád ení výrazn snazší. 122

123 5. Numerace a transformace komunika ních kód. Aktivity v rámci numerace: a) Porovnej množství, b) porovnej po et, c) ur i po et, spo ítej, d) p e ti, e) zapiš, f) ukaž tolik g) zakresli, ud lej tolik Aktivity c g) jsou p edevším sou ástí aktivit formujících základy pojmotvorného procesu, podílejí se na reprezenta ní mohutnosti a variabilit. Sou asn se na n m žeme dívat jako na aktivity seznamující žáky se znaky r zných komunika ních kód (viz schéma). V n kterých p ípadech je obtížné rozhodnout, zda v rámci aktivity dochází jen k obm n reprezentanta (tvo ivé), i zám nu reprezentanta (v kontextu jednoho kódu), alternaci znaku (neumí zvolit v daném kódu) i substituci (dámo pravidlem) jiným (v kontextu dochází ke zm n kódu), nebo zda již jde o transformaci kódu (Kaslová 2005c). Numerace je nejen nástrojem poznání, ale m že být prostorem pro zvládnutí n kterých transformací komunika ních kód. 6. Aritmetické úlohy Pokyny k úlohám: a) ukazuj si a zjisti, b) zakresli si a (s)po ítej c) vypo ítej (se ti, ode ti). Úlohy sm ující k ur ení sou tu nebo rozdílu typu a - b) jsou v kontextu prvního ro níku na pomezí aritmetických úloh a slovních úloh. Zdálo by se, že dít pracuje v tom kódu, který odpovídá pokynu. P i analýze vidíme t i druhy situací: a) dít pracuje i odpovídá v tomtéž kódu, jako je úloha zadána, b) úloha i vyžadovaná odpov jsou ve stejném kódu, ale dít jej v procesu ešení opouští c) odpov je vyžadována v jiném kódu, než je zadání úlohy To znamená, že dít v takovém p ípad nutn musí provést alespo jednu transformaci komunika ního kódu. U d tí mladších 7 let dosp lí zaujímají roli nikoli vysíla e nebo p ijíma e (nap.k ivohlavý), ale spoluhrá e m nícího roli p ijíma e a vysíla e sou asn s dít tem. Když dít nedokáže n co vyjád it, dosp lý mu pomáhá jednou z osmi možných strategií, p i emž 2 z nich startem v ty, dokon ením v ty (Kaslová 2003) sm ují k vyjád ení úplné informace v kooperaci komunikujících. To znamená, že takovou situaci nechápeme jako hru U itel neví. V takovém p ípad m že dojít k transformaci kódu u mén zkušeného z komunikujících a naopak ve snaze usnadn ní. 6.1 S ítání v prvním pololetí prvního ro níku ZŠ Bylo sledováno 62 žák jedné školy. Vedle pozorování v hodinách matematiky byl s žáky proveden laboratorní experiment ve dvou fázích s odstupem 7 týdn s po ízením videozáznamu. D ti ešily úlohy na s ítání v oboru do 10. V obou p ípadech se sledovalo: 1) jak je úloha zadána, 2) v kterém kódu, 3) v kterém kódu je požadována 123

124 odpov, 4) co se d je, než dít dosp je k výsledku, 5) rychlost a zp sob reakce, 6) p esnost a jistota odpov di. Z r zných vztah byly sledovány p edevším t i následující: a) vliv komunika ních kód na rychlost a p esnost reakcí, b) preference kódu a míra úsp šnosti, c) stabilnost reakcí. V poslední fázi byl s žáky veden semidirektivní rozhovor. U 15 d tí (24 %) byly z etelné preference jednoho z komunika ních kód do takové míry, že korelovala rychlost a úsp šnost ešení. Tento jev lze vysv tlit typy u ení (Kern, 2005, s. 121). U 23 d tí (37 %) docházelo k transformaci komunika ního kódu (užitého v zadání). Z nich skupina (19 %) transformuje zadání do komunika ního kódu požadované v odpov di. Ostatní po ítají v zadaném kódu nebo zcela jiném kódu a transformují jen odpov. Po et t chto d tí prudce klesá s nar stající jistotou v kalkulu i zrání pojmu p irozené íslo. Pokud dít po ítá s novým íslem, je rozdíl v rychlosti podle toho, zda je používán oblíbený kód nebo zda se ner zní kód zadání a kód odpov di. Trvalá transformace do mluveného kódu (bez ohledu na míru zvládnutí daného po etního spoje) se vyskytuje u 6,5 %. U 14,5 % sledovaných žák se neliší práce na po átku po ítání s novým íslem od po ítání s tímtéž íslem o 3 týdny pozd ji. Tato skupina reaguje p ibližn stejn rychle nezávisle na použitých kódech. Pro 74,1 % je jeden z kód snazší (mluva : matematické symbolice: gestice v pom ru 53 : 45 : 2), všichni se domnívají, že by m li um t odpov d t jakýmkoli zp sobem. 7. Záv r Transformace komunika ních kód je sou ástí komunikace v matematice. U žák prvních ro ník se vyskytuje nerovnom rn v závislosti na žákov zkušenosti, (na mí e zvládnutí u iva, na zrání pojm a návykem pracovat v daném kódu), ale i na sociálním klimatu t ídy. Ve stresu žák rad ji volí delší proceduru ešení s použitím jedné i více transformací. U jednotlivc je vyhran nost pro práci v jednom kódu tak silná, že používají transformaci do preferovaného kódu, pokud mu to podmínky dovolí. Literatura 1. áp, J., Mareš, J. Psychologie pro u itele. Praha : Portál, Doherty Sheddon, G. Neverbální komunikace d tí. Praha : Portál, Geonach, D., Fayol, M. Aider les éleves a comprendre. Paris: Hachette, Chevrier-Muller, C. Le langage de l enfant. Bruxelles : De boeck, Jirák, J., Kopplová, B. Média a spole nost. Praha : Portál, Kaslová, M. Transformace mluveného kódu do matematického symbolického kódu a naopak. In: Multidisciplinární komunikace problém a princip všeobecného vzd lávání. Ed. Jan Slavík, Praha: UK-Pedf, s Kaslová, M. Vývoj písemné komunikace v matematice na 1. st. ZŠ aneb cesta žáka P k íslu a. In: Ani jeden matematický talent nazmar. E. Jaroslav Zhouf. Hradec Králové : J MF & KMDM UK- Pedf, 2005, s Kaslová, M: Cesta ke slovní úloze. Studijní text k p ednášce pro studenty oboru IS u itelství 1.st. ZŠ a KS P edškolní pedagogiky. Praha : stran. 9. Kaslová, M. The codification of multiplication numerals by pupils form 5 to 7 yaers old. Poster - mezinárodní konrefence SEMT 05. Praha : Kern, H. et al. P ehled psychologie. Praha : Portál, Kesner, V. et al. Vizuální teorie. Jihlava: H & H,

125 12. Marchive, A.: Rituály v hodinách matematiky na prvním stupni. P ednáška. Hradec Králové : V U Pedf, McLuhan, M. lov k, média a elektronická kultura. Brno : Jota, Munichelli, A. et al. Etudes des communications: Approche par les processus. Paris: Armand Collin, Nakone ný, M. Lexikon psychologie. Prah: Vodná, Piaget, J. La réprésentation du monde chez l enfant. Paris : PUF, Pierrce, Ch., S. Some Consequence of Four Incapacities In: Writings of Charles Pierce, sv. 2. ( ) ed. M. H. Fisch, Bloomungston : IUP, Reifová, I. et al. Slovník mediální komunikace. Praha : Portál, Singh, S. Kniha kód a šifer. Praha : Argo, Sperberg, D.; Wilson, D. La pertinence communication et cognition. Paris : Les editions de minuit, Vysekalová, J.; Komárková, R. Psychologie reklamy. Praha : Grada, Weil Barrais, A. L Homme cognitif. Paris : Puf, Žofková, H. Úloha kompenza ních strategií p i utvá ení multilingvální kompetence ve výuce cizího jazyka. In: Multidisciplinární aspekty utvá ení komunikativní kompetence p i výuce cizích jazyk. Ed. A. Hlavá ek. Praha : UK v Praze Pedf, s medzur/bakalarske/ volek/iv.%20k%d3dy.doc Kontaktní adresa PhDr. Michaela Kaslová KMDM, UK Praha PedF Rettigové 4, Praha 1 michaela.kaslová@pedf.cuni.cz 125

126 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V SLOVNÉ ÚLOHY ZO ŽIVOTA VO VYU OVANÍ MATEMATIKY Štefan KOVÁ IK Abstrakt Dôvodom zara ovania slovných úloh do vyu ovania matematiky je najmä ich motivácia, rozvoj logického myslenia, informatívnos a spojenie matematiky s reálnym svetom. Hoci úlohy zo života, sú trvalou sú as ou vyu ovania matematiky na 1. stupni základnej školy, ich význam vo vyu ovaní matematiky oslabujú po íta e, kalkula ky a pokladnice obchodov. Sú asne sa mení filozofia slovných úloh a do popredia dostávajú neštandardné úlohy zamerané na tvorivos a rozvoj logického myslenia. WORD PROBLEMS FROM REAL LIFE IN TEACHING OF MATHEMATIES Abstract The argument of enlistment word problems to teaching of mathematics is mainly their motivation, development of logical thinking, informative aspect and connection mathematics with real word. Although problems from real life are permanent component of teaching mathematics at elementary school, computers, calculators and shop cashes weaken their meaning in teaching of mathematics. Along with it, philosophy of word problems changes and unusual problems are given to head. They are focused on creativity and development of logical thinking. Úvod Riešenie slovných úloh predstavuje dôležitú sú as u iva matematiky na základnej škole. Takmer nieto vyu ovacia hodina, na ktorej by sa neriešila aspo jedna slovná úloha. Hlavné dôvody pre zaradenie slovný úloh do vyu ovacích hodín sú najmä tie, že slovné úlohy: o podporujú rozvoj logického myslenia, o majú nenahradite nú motiva nú funkciu, o sú zdrojom pou enia z iných vedných odborov a spojením školy s reálnym svetom. Poznáme nieko ko triedení (klasifikácií) slovných úloh. To najjednoduchšie rozlišuje dve skupiny (medzi ktorými je dos nejasná hranica) a to štandardné a neštandardné. Z tých druhých sú najdôležitejšie tvorivé úlohy. Možno konštatova, že v tradi ných u ebniciach prevládajú štandardné úlohy. Potvrdzuje to napríklad (Ciriak 2000): Všeobecne možno konštatova, že na vyu ovaní sa rieši málo tvorivých úloh. V poslednom ase sa autorom darí do nových u ebníc zara ova viac neštandardných a najmä tvorivých úloh. Stretávajú sa s nimi žiaci už od prvého ro níka. Napríklad v prváckych pracovných zošitoch (Ková ik 2000) sú okrajové úlohy, medzi 126

127 ktorými je najmenej 65 neštandardných úloh. Medzi neštandardné úlohy zara ované do u ebníc patria najmä: divergentné, problémové, neúplne zadané úlohy (s poddymenzovaným po tom informácií), diofantické, kombinatorické... Skuto nos, že niektorý úlohu môžeme zaradi do viacerých skupín, nezmenšuje jej didaktickú hodnotu. Dôležitým znakom týchto úloh je, že od riešite a vyžadujú zna nú dávku logického myslenia, dôvtipu a vynaliezavosti. 1. Príprava u ite ov V minulosti boli neštandardné úlohy v u ebniciach vzácnos ou. Naj astejšie sa objavili v asopisoch, kde bolo ich hlavným cie om pobavi itate a. Vo vysokoškolskej príprave u ite ov ich riešeniu venovala len okrajová pozornos. V sú asnosti považujeme riešenie neštandardných úloh za dôležitú sú as prípravy u ite ov. Zdôraz ujeme pri tom, že cie om riešenia slovnej úlohy nie je zisti výsledok, hoci sa to zo zadania úlohy tak javí, ale nás zaujíma najmä cesta (postup), ktorým sa k výsledku dostaneme. Ke že budúci u itelia nemali s takýmito úlohami skúsenosti ani zo svojho detstva, riešenie takýchto úloh bolo asto sprevádzané neúspechom a takéto úlohy študenti neprijímali s nadšením. Je pochopite né, že ak riešenie úlohy je ažké (a možno až nezvládnute né) pre u ite a, nepôjde s takouto úlohou pred žiakov s nadšením. Za samozrejmú podmienku úspešného riešenia považujeme porozumenie úlohy. Potom je potrebná ur itá invencia a dobrý nápad. Riešenie by malo by sprevádzané h adaním, rtaním, experimentovaním... a zakon ené by malo by spravidla výpo tom, alebo výpisom h adaných riešení. Zna nú úlohu tu zrejme zohrávajú aj ur ité matematické skúsenosti a zru nosti riešite a. 2. Stratégie riešenia. Hoci tento pojem asto po ujeme najmä od vojakov, som presved ený, že pochádza od matematikov. Pod stratégiou myslíme stanovenie základnej filozofie riešenia. Ako príklad uvediem niektoré asto používané stratégie: o riešenie pomocou sústavy rovníc, o vymodelovanie a spo ítanie po jednom, o pokus a omyl, o riadený pokus a omyl (tabu ková metóda), o využitie skúseností z analogických úloh, o využitie matematických viet (napríklad o delite nosti)... Zrejme prvým krokom úspešného riešenia je vytý enie (a výber) vhodnej stratégie riešenia. Pri výbere stratégie by mali u itelia prihliada na vekové osobitosti a matematické poznatky žiakov. Našich študentov láka pri riešení použi napríklad mocniny, alebo iné náro nejšie postupy. Spôsobuje to ur itá prevzdelanos budúcich u ite ov. Poznajú (zo strednej školy) také postupy riešenia ako je napríklad sústava rovníc..., ktoré sú na prvom stupni prakticky nepoužite né. Ich použitie v školských podmienkach síce neznižuje autoritu u ite a v o iach žiakov, ale žiakov týmto postupom takmer ni nenau ia, navyše vytvárajú poves matematiky ako nezvládnute ného predmetu. Ak sa pri rozbore úlohy 127

128 ukázala potreba použi sú asne rovnicou aj nerovnicu, na riešenie takejto úlohy nesta ili ani ich matematické zru nosti. Po zvolení stratégie, sú jednotlivé kroky podriadené stratégii. Použitie ur itej stratégie môže výrazne zlepši aj efektívny zápis jednotlivých krokov riešenia a výsledkov. Samozrejme, že na vyriešenie niektorých úloh možno použi aj viacero stratégií. Ich výber je ponechaný na u ite ovi, ktorý popri riešení slovnej úlohy u í žiakov aj šikovne použi zvolenú stratégiu. Budúci u itelia si zárove uvedomia, že niektoré postupy sú pre žiakov menej, iné viac pou né. 3. Príklady bez duše Ako ukážku školského postupu som uviedol študentom dia kového štúdia (z ktorých vä šina u í) príklad a jeho riešenie. PRÍKLAD 1.: ADAM MAL DVE ÍSLA. VYZRADIL, ŽE AK ICH S ÍTAME, DOSTANEME 64, AK OD VÄ ŠIEHO OD ÍTAME MENŠIE, DOSTANEME 14. VIETE AKÉ SÚ TO ÍSLA? Úlohu som vyriešil ve mi rýchlo a jednoducho vraj takto sa to u í: Ak ich spo ítam a delím dvomi, dostanem jedno íslo (39). Ak od vä šieho odpo ítam menšie a delím dvomi, dostanem druhé íslo (25). Na otázku: Kto nerozumel?, sa nikto neprihlásil, položil som opa nú otázku: Kto rozumel? sa prihlásili (na moje prekvapenie) všetci. Aby som sa dozvedel, i skuto ne rozumejú, riešili sme alší príklad. PRÍKLAD 2.: PRI POTOKU RASTIE 39 TOPO OV.NA AVOM BREHU JE O 5 TOPO OV VIAC AKO NA PRAVOM BREHU.KO KO TOPO OV RASTIE NA AVOM A KO KO NA PRAVOM BREHU? Po chvíli uvažovania o tom, ako budeme rieši úlohu som navádzal študentov na riešenie vyrovnaním. Vyrúbme 5 topo ov, aby na každom brehu bol rovnaký po et topo ov. Po ítame 39-5=34. Teraz je na každom brehu rovnaký po et topo ov, preto delíme dvomi 34:2=17. A to je po et topo ov na pravom brehu.... Pri riešení druhej asti úlohy (za aktívnej ú asti študentov) som si uvedomil nasledovné skuto nosti: o Riešenie príkladu. 1. nerozumel z triedy nikto. o Študenti neodhalili, že obidva príklady sú rovnakého typu. o Až po zmenení po udštení príkladu 1. tak, že v om miesto ísel vystupovali kôpky cukríkov, odhalili študenti ich príbuznos. Študenti mi potvrdili, že sa v minulosti stretli s podobnými postupmi riešenia, ako som predviedol v príklade 1. Zhodli sme sa na tom, že je to príklad bez duše a bez duše je aj jeho riešenie, a takto by sme žiakov u i nemali. Zrejme názornos a porozumenie jednotlivých krokov, ktoré sú pre u iaceho sa žiaka najdôležitejšie, sú tu neznáme pojmy. 4. Problémy s riešením geometrických úloh Geometrické u ivo prvého stup a základnej školy je ove a názornejšie a preto možnos modelovania ovplyvní výber stratégie riešenia. PRÍKLAD 3.: IVO MÁ 17 ZÁPALIEK.ZO VŠETKÝCH ZLOŽIL TROJUHOLNÍK A ZAPÍSAL SI HO (7,5,5). KO KO RÔZNYCH TROJUHOLNÍKOV MÔŽE TAKTO POSKLADA?(VŽDY POUŽIL VŠETKY ZÁPALKY.) 128

129 a/ Modelovanie. Potrebujeme 17 zhodných pali iek a môžeme sklada. Náhradou (nie celkom rovnocennou) môžu by ná rtky trojuholníkov. Hoci túto stratégiu použili ako prvú, spravidla sa po nieko kých pokusoch od nej odklonili a prešli na inú stratégiu. b/ Pokus a omyl. H adanie riešení spo ívalo v troch krokoch: o Vymyslenie nového trojuholníka. o Overenie i platí trojuholníková nerovnos a jeho obvod má 17 zápaliek. o Zistenie, i taký trojuholník už nie je zapísaný. Ukázali sa známe nedostatky metódy: Chýbali niektoré riešenia, iné sa opakovali. c/ Systematické riešenie (riadený pokus a omyl). Riešenie je založené na výpise trojuholníkov pod a ur itých pravidiel, ktoré si riešite na za iatku ujasnil: o Dohodneme si efektívny zápis: (4,5,8) je trojuholník so stranami ve kosti 4, 5, a 8 pali iek o Za neme sklada od najmenšej strany. o Od žiadnej strany v avo nesmie by strana vä šia. o Pri tvorbe trojuholníka sledujeme platnos trojuholníkovej nerovnosti. Riešenia potom boli takéto: (1,8,8), (2,7,8), (3,6,8), (3,7,7), (4,5,8), (4,6,7), (5,5,7), (5,6,6) Dá sa zostavi 8 rôznych trojuholníkov. Úloha bola pomerne náro ná, problematické bolo zostavenie, ale aj dodržanie pravidiel. PRÍKLAD 4.: IVO MÁ PALI KY S D ŽKAMI 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 CM, Z KAŽDEJ JEDEN KUS.ZNICH ZLOŽIL OBD ŽNIKY A ŠTVORCE.AKÝ NAJMENŠÍ A AKÝ NAJVÄ ŠÍ OBSAH MAJÚ POSKLADANÉ OBD ŽNIKY A ŠTVORCE?(ZLOŽENÝ ÚTVAR ZAPÍSAL A PALI KY POUŽIL ZNOVA.NEMUSEL POUŽI VŠETKY PALI KY.) Pri výbere stratégie bol pokus a omyl vylú ený ako nevhodný, hoci prvé pokusy mierili práve týmto smerom. Postup riešenia bol zhrnutý nakoniec do nasledovných krokov: o Využitie obvodu a potom obsahu obd žnikov a štvorcov. o Ur enie d žky strán. o Poskladanie strán z pali iek. Ak s ítame d žky pali iek =45, zistíme, že najvä ší štvorec bude 11 x 11 cm. Obd žnik bude 12 x 10 cm. To nie je záruka, že útvary možno z pali iek posklada. Skúsme ich posklada. Problematickejšie je zloženie najmenších štvorcov a obd žnikov. Jedna strana môže pozostáva z jednej pali ky, alšie zložíme. Vylú ime napríklad štvorec (5, 4+1, 3+2,?), lebo nevieme zloži tretiu stranu. Ani so stranou 6 to nejde. Podobné problémy treba rieši pri obd žniku. Dve a dve strany sú zhodné. Po vylu ovaní neprípustných možností nájdeme riešenie. 7 x 4 cm. Najmenší Obsah Najvä ší Obsah Štvorec (7, 6+1, 5+2, 4+3) 49 cm 2 (9+2, 8+3, 7+4, 6+5) 121 cm 2 Obd žnik (9, 4+5, 3, 2+1) 27 cm 2 (9+3, 7+5, 8+2, 6+4) 120 cm 2 5. Nieko ko príkladov z domácich úloh A. Ivo mal kúpi zákusky. Jeden stál 3, 4, alebo 6 korún. Nájdi všetky možné nákupy, ak minul 30 korún. B. Traja chlapci si rozdelili 29 žuva iek. Edo mal 2-krát to ko ako Jano a Vilo mal viac ako Jano a menej ako Edo. Ko ko žuva iek mal každý z chlapcov? 129

130 C. Po dvore behali zajace a husi? Mali 152 hláv a 530 nôh. Ko ko bolo husí? Ko ko bolo zajacov? D. Edko má tri karti ky s íslami. Vieš zisti, aké sú na ich ísla, ak ich sú et je 18 a ich sú in je 180? E. Ivo mal stavebnicu zo 100 obd žnikov s rozmermi 2 x 3 cm. Skladal z nich obd žniky a štvorce. Aký najmenší/najvä ší štvorec a obd žnik mohol posklada? Záver V kreditovom štúdiu sa po et vyu ovacích hodín na vyu ovanie matematiky a didaktiky matematiky mierne znížil. Z toho dôvodu sa zvýšil dôraz na samostatnú prácu študentov doma. Mimo tradi ne zadávaných seminárnych prác, ktoré študenti odovzdávajú, boli im pravidelne ukladané domáce úlohy. Ich sú as ou bolo riešenie 25 neštandardných úloh, ktoré sa neodovzdávajú, ale sa iba ob as kontrolujú. Vážnejšou kontrolou bola písomná previerka, ktorá je sú as ou skúšky na konci semestra. Do písomiek sme zaradili, pre 48 náhodne vybraných študentov, jednu neštandardnú úlohu, podobnú tým, ktoré sme riešili na seminároch, alebo takých, ako dostali za domácu úlohu. Za jej riešenie mohli študenti získa 6 bodov. Priemerná hodnota bodového zisku, ktorú dosiahli študenti bola 4,7 bodu, o predstavuje 78 percentnú úspešnos, pri om boli zapo ítané aj metodické chyby (Napríklad chýbalo vysvetlenie pre o sa delí dvomi...) a numerické chyby (zle zapísané ísla a preto zlý výsledok). Literatúra 1. Cijak, M.: Zbierka divergentných úloh a iných neštandardných úloh (tvorivos v matematike). Prešov: Essox, s. ISBN Ková ik, Š. - Leho anová, B.: Matematika pre 1. ro. ZŠ, I. as. upravené vydanie, Bratislava: OPI, s. ISBN X 3. Ková ik, Š. - Leho anová, B.: Matematika pre 1. ro. ZŠ, II. as. upravené vydanie, Bratislava: OPI, s. ISBN Loren, C., Larson: Metódy riešenia matematických problémov. 1. vyd. Bratislava: Vydavate stvo Alfa, s. ISBN Kontaktná adresa Štefan Ková ik, RNDr. Katedra matematiky PF UMB Ružová 13, Banská Bystrica Telefón: skovacik@pdf.umb.sk 130

131 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V KOMPETENCE A KOOPERATIVNÍ U ENÍ Eva KREJ OVÁ Abstrakt Sou asné školské dokumenty sledují odklon od jednostranné pam tné innosti žáka a zd raz ují vytvá ení poznatk a dovedností na základ mnohostranné zkušenosti, rozvíjení funk ního myšlení, staví na porozum ní. K napl ování t chto požadavk p ispívají i vhodn uplat ované organiza ní formy vyu ování. Jedním z ú inných model je kooperativní u ení. P ísp vek sleduje p í iny doposud menšího dopadu jeho využití v kontextu s jeho didaktickými ambicemi. Vyhodnocením statistického šet ení a na základ vlastních zkušeností se snaží nazna it n která východiska sm ující k získávání požadovaných kompetencí. COMPETENCES AND CO-OPERATIVE LEARNING Abstract Contemporary educational documents follow the departure from the one-sided memory activity of pupils. They highlight creation of knowledge and skills on the fundamentals of rich experience and development of functional thinking; they build upon understanding. Suitably selected organizational forms of education contribute to the fulfilment of these requirements. One of the effective models is co-operative learning. This paper follows the reasons of the so far weaker impact of the use of cooperative learning within the context of its didactic ambitions. Based on the statistical research and on own experience the paper tries to propose some solutions aimed at gaining required competences. Co to jsou kompetence? Co to je kooperativní u ení? Zatímco slovo kompetence se v poslední dob stává spole ensky žádaným, a tedy i velice frekventovaným pojmem zejména v souvislosti se zavád ním Rámcových vzd lávacích program, a to ve smyslu dokumentem požadovaných soubor znalostí, dovedností a postoj, s termínem kooperativní u ení se setkáváme v didaktické terminologii mén. Pedagogický slovník (Pr cha, J. Walterová, E. Mareš, J.) vymezuje kooperativní u ení jako organiza ní formu u ení lišícího se od individuálního tím, že je postaveno na spolupráci osob p i ešení složit jších úloh. ešitelé jsou vedeni k tomu, aby si dokázali rozd lit sociální role, naplánovali si celou innost, rozd lili si díl í úkoly, nau ili se radit si, pomáhat, sla ovat úsilí, kontrolovat jeden druhého, ešit díl í spory, spojovat díl í výsledky do v tšího celku, hodnotit p ínos jednotlivých len atd. 131

132 Porovnáme-li tuto definici s charakteristikou znám jšího skupinového u ení (tamtéž), tedy u ení, které probíhá v rámci malé sociální skupiny. Skupina m že vzniknout spontánn nebo ji vytvá í u itel podle r zných hledisek (výkonnost žák, pohlaví, dovednost spolupracovat aj.). Skupina obvykle usnad uje u ení zú astn ných osob, zlepšuje pr b h i výsledky u ení. To proto, že oproti individuálnímu u ení mohou ú astníci debatovat o problémech, navrhovat r zné p ístupy, získávat v as zp tnou vazbu, rozd lit si práci, vzájemn se kontrolovat, spolupracovat, vzájemn se povzbuzovat, objevovat chyby, vysv tlovat si nejasnosti, u it se od jiných, spole n sm ovat k cíli. Obvyklá velikost skupiny se pohybuje od dvou (párové u ení) do 5 7 osob (skupinové u ení) kooperativní u ení. Nabízí se, že jde o dv r zná pojmenování stejného modelu vyu ování. Na otázku, zda je n jaký rozdíl mezi skupinovým a kooperativním u ením, naše p ední odbornice na tuto problematiku H. Kasíková odpovídá: Ano, rozdíl spo ívá v tom, že p i skupinových innostech žáci prost dostávají úkol do skupiny, ale kooperativní u ení se stará o vztahy spolupráce p i pln ní tohoto úkolu. P i kooperativní výuce je kladen d raz na to, aby z ní m la prosp ch skupina, ale i každý individuáln. To znamená mj., že d ležitý je nejen výsledek spln ní úkolu, ale i proces, tedy jak bylo spln ní úkolu dosaženo. (více viz [3]). Z historického pohledu považuje H. Kasíková skupinové vyu ování za p edch dce kooperativního u ení (více viz [2]). Z hlediska u itelské profesionality a aktuálních spole enskoekonomických podmínek, které akceptují lidskou kooperaci, považujeme kooperativní a skupinové u ení za progresivní trend v oblasti vyu ování. Jde o organiza ní model, který posiluje humanistické dimenze vzd lávání, opírá se o vytvá ení poznatk na základ mnohostranné zkušenosti u ícího se, jeho aktivity, na rozvíjení p irozeného uvažování, spolupráce, vzájemné komunikace, formování tolerantních postoj aj. Svým charakterem zvyšuje aktivitu a výslednou efektivitu vyu ovacího procesu. Didaktický konstruktivismus poukazuje na propojování poznávacích a sociálních prvk vyu ování jako na st žejní moment jeho ú innosti. 1 P estože kooperativní u ení vychází ze sou asných pot eb didaktiky, která sleduje odklon od jednostranné pam tné innosti žáka a zd raz uje vytvá ení poznatk na základ mnohostranné žákovy zkušenosti a porozum ní, ve vyu ování se s touto organiza ní formou setkáváme spíše výjime n. P í in, které vedou k absenci této organiza ní formy v podmínkách vyu ování na 1. stupni základní školy, je zajisté více. Snažili jsme se je objektivn zjistit a porovnat je s limitujícími ukazateli prezentovanými v odborné literatu e. Zam ili jsme se na vyu ování matematice v ro níku. Pro pot eby statistického šet ení jsme zvolili následující metody a techniky: o anonymní dotazník, o analýzu písemných dokument, o pozorování, o rozhovory s u iteli a žáky. Dotazníkového šet ení se zú astnilo 47 respondent z ad student prezen ního a kombinovaného studia (v tšinou u í). 2 Mj. odpovídali na otázky: Považujete orientaci vzd lávání na kompetence za správnou?, V nuje se rozvíjení vašich 1 V desateru konstruktivismu mj. M.Hejný a F. Ku ina uvád jí aktivitu, sociální interakci ve t íd (diskuse, srovnávání výsledk, argumentace, ), komunikaci, podn tné prost edí vytvá ení ovzduší podn cujícího tvo ivost (více viz [1]). 2 Zjiš ování jsme realizovali v rámci ešení fakultního úkolu U itelské vzd lávání a kultivace kompetencí (blíže viz [6]). 132

133 kompetencí p i studiu dostate ná pé e?, Co navrhujete k prohloubení u itelského vzd lávání? Pro lepší orientaci v problematice dotazník obsahoval p íklady kompetencí (organizovat a ídit své u ení, uvád t v ci a jevy do souvislostí, vyhledávat a t ídit informace, spolupracovat a pracovat ve skupin aj.). Analyzovaným dokumentem byla seminární práce Skupinové vyu ování v hodinách matematiky student kombinovaného studia. Skládala se ze dvou ástí: z p ípravy a vlastní realizace hodiny matematiky s uplatn ním práce ve skupinách v etn sebereflexe. Vyhodnocení dotazník a rozbor seminárních prací nazna ují, že: skupinové vyu ování vnímají respondenti s ohledem na jeho dopad p i kultivaci výstupních kompetencí a požadovanou lidskou kooperací za d ležitou sou ást u itelské profesionality, v sou asné pedagogické praxi brání jeho v tšímu rozší ení: Absence této organiza ní formy v rámci vlastního vzd lávání oslovených u itel na základní a st ední škole, a tím i nedostatek osobních prožitk. 3 Návrh úkol pro skupinovou práci je považován za nejobtížn jší ást plánované innosti. M la by zde být zajišt na pr b žná a záv re ná kontrola, zvýrazn n princip problémovosti, pop. vzájemné propojení poznatk z r zných p edm t (propedeutika projektového vyu ování). B žn dostupné u ební texty jsou spíše ur eny pro frontální nebo individualizovanou formu vyu ování. Až na n kolik p íru ek v podob inspiromat chybí literatura. 4 V pr b hu ešení diskutované tématiky jsme rovn ž sledovali postoje žák (aktivitu, zapojení, spolupráci, komunikaci aj.) p i skupinové práci. Jednalo se o sedm vyu ovacích hodin (3 ve 2. ro níku, 2 ve 3. ro níku a 2 ve 4. ro níku). Ve všech p ípadech lze hovo it o kooperativním u ení, žáci jsou na tuto organiza ní formu zvyklí, mají zformované pot ebné kooperativní dovednosti. Po shlédnutých hodinách následovaly rozhovory s oslovenými žáky a s vyu ujícími. D ti odpovídaly na otázky typu: Jak se ti spolupracovalo se spolužáky? Pracoval ve vaší skupin každý? Pomáhal jsi n komu nebo naopak? ešil bys rad ji úkol sám? Co ti na práci vadilo? U itelé uvád li své zkušenosti se skupinovým vyu ováním, soust edili se na nejdiskutovan jší otázky z této oblasti: jak žáky adaptovat na tento druh u ební innosti jak pomoci za len ní slabšího žáka do práce jak pomáhat k ú asti na ešení spole ného úkolu ostýchav jším žák m jak snížit hlu nost jak zajistit pr b žnou a záv re nou kontrolu jak a kdy zasahovat do práce skupiny aj. Na odpov di žák je zapot ebí nahlížet s v domím, že pro d ti tohoto v ku je n kdy obtížné adekvátn verbáln postihnout své pocity, navíc nejsou zvyklé sd lovat 3 D. K. v této souvislosti uvádí: Mrzí m, že jako dít jsem se se skupinovou prací ve škole nikdy nesetkala. Možná i proto jsem s jejím za azením dlouho váhala. Je známá zkušenost, že to, co lov k sám nezažije, obtížn ji p edává ostatním. Chybí mu profesní jistota, pot ebné kompetence. 4 Dokladem mohou být zvýšené vlny zájmu o skupinovou práci, které se projevily reflexí zkušeností z prezentovaných konkrétních nám t pro tento organiza ní model ve výuce v didaktických asopisech. Tento argument uvádí v knize Kooperativní u ení a vyu ování H. Kasíková (srv. [2]). 133

134 hodnotit své pozice v kolektivu. I p es tyto okolnosti lze dosp t k záv r m, které mohou mít širší platnost. Postihují je následující odpov di. Lucka: Když je to lehké, tak rad ji po ítám sama. Když je to t žké, tak ve skupince nebo aspo ve dvojici, protože se m žeme poradit. Marek: Matika m moc baví a na všechno si chci p ijít sám. A taky se m žu víc soust edit. Kristýnka: Ráda pracuji ve dvojici, tam se domluvíme. Když je nás víc, tak se n kdy hádáme kdo bude psát, kdo bude íst. Jirka: Když jsem sám, tak mn to moc nep emýšlí. Tomáš: Rad ji eším úkoly ve skupince, protože tam jsou kamarádi. Michalka: Já se u tabule n kdy bojím, že to vypo ítám špatn. Když ale jsme ve skupince, tak strach nemám. Názory v tšiny dotazovaných pedagog na skupinové vyu ování, na to, jak u žák postupn formovat pot ebné kooperativní dovednosti, kdy s touto u ební inností za ít, jak vytvá et skupiny 5 apod. výstižn postihuje u itelka M. B. íká: Se skupinovou prací za ínám již v 1. ro níku. 6 Zpo átku ale nejde o u ení ve vlastním slova smyslu. D ti si musejí na tuto formu zvyknout, nau it se navzájem poslouchat, dohodnout se, požádat druhého, nevyk ikovat, odpovídat celou v tou, aby se domluvily. Tyto jednoduché dovednosti nutné pro kooperativní práci je vhodné žáky u it v rámci dramatické výchovy (nám ty: Jak se jmenuji, jaké zví átko mám rád, co m baví aj.). 7 Následovat mohou r zné hry, t eba stav ní z kostek LEGA (nebrat si, p j it, ne já, já, já, pracovat tak, aby se skupinky navzájem nerušily aj.). D ti postupn dospívají k své úloze ve skupin, k tomu, že tu nejsou samy za sebe. Jedinec nem že usp t, aniž i ostatní usp jí musí koordinovat své úsilí s úsilím druhých. Když se žáci nau í navzájem se domluvit, spolupracovat, m žeme za ít se složit jšími úkoly se skute ným u ením. 8 P irozen, že hned nep jde o problémové úlohy, ale spíše o takové, jejichž správné vy ešení vyžaduje souhru celého kolektivu. 9 Skupinová práce m že p inést i samotnému u iteli (krom již výše uvedeného) poznání svých sv enc z netradi ních úhl pohledu. Najdou se takoví žáci, kte í se zde najdou, pokud jde o projevení cít ní, mají výraznou pot ebu pomáhat Problematikou uplatn ní skupinové práce a zejména rozd lováním žák do skupin jsme se blíže zabývali v p ísp vku Jak rozd lit žáky do skupin v hodinách matematiky a Vytvá ení skupin žák v matematice (více viz [4], [5]). 6 Je t eba totiž vycházet z toho, že tyto dovednosti nejsou pro školní innosti v tšinou zformované a je t eba na n žáky p ipravovat. P ipome me také, že k tomu, aby žáci um li pracovat kooperativními zp soby, musejí zvnit nit zcela odlišné formy, než jsou p ízna né pro tradi ní vyu ování. 7 Schopnost kooperace je výsledek zkušenosti a kultury a nem la by být závislá na školním v ku. Bylo prokázáno, že kooperativní zp soby práce nejenže se mohou zavád t již od po átku školní docházky, ale jsou pro vývoj dít te stimulující. Pro? (více viz [2]). 8 Srv. Vrstevníci jsou asto schopni u it své spolužáky efektivn ji než speciáln trénovaní experti (podle [2]). 9 Žáci se rozd lí do dvou (pop ípad více) stejn po etných družstev. Jejich úkolem je se adit se vzestupn podle velikosti ísel, která každý ú astník obdrží. Skupinám zadáváme stejná ísla (z probíraného íselného oboru), kontrola m že probíhat tak, že jednotlivá družstva jejich lenové p e tou uspo ádanou adu ísel. Je zajímavé, že pokud proti sob nastoupí homogenní družstva z hlediska pohlaví, ast ji zvít zí d v ata (srv. [8]). 10 Žákyn, která se v tradi n vedených hodinách p íliš neprojevovala, byla spíše pasivní, se p i práci ve skupin ukázala jako velice empatická, dostala p íležitost pomoci ostatním. 134

135 Záv r Pot eba v tšího rozší ení kooperativního u ení souvisí jednak se sou asnými spole enskoekonomickými podmínkami, jednak s požadavky aktuálních školských dokument, jež orientují vzd lávání na ešení problém, komunikaci a spolupráci. Práv tato organiza ní forma p ispívá k jejich ú inné realizaci, k formování deklarovaných kompetencí. V p ísp vku se snažíme pomocí statistického šet ení a na základ vlastních zkušeností všimnout n kterých obecn ji platných p í in, které brání širšímu uplatn ní popisovaného vyu ovacího modelu. Jsme toho názoru, že jednou z cest, která m že vést k v tší podpo e humanistické dimenze vzd lávání, je pochopení, že systém kooperativního u ení je prosp šný ve vztahu k cíl m a proces m vyu ování i jeho aktér m žák m a u itel m. Usilujeme o to nacházet ono pochopení u student budoucích u itel, a to zejména prost ednictvím vlastních prožitk v rámci seminá didaktiky. Nejú inn jší je, když motivace vede k realizaci t chto forem v hodinách pedagogické praxe. Jana V.: Na hodinu matematiky ve 3. ro níku jsem se pe liv p ipravovala. Snažila jsem se, aby byla pestrá, necht la jsem u it frontáln. Odhodlala jsem se za adit i skupinové vyu ování. Uv domovala jsem si, že si mohu zkomplikovat situaci, ale ze všeho jsou p ece nejd ležit jší d ti. I když tato ást hodiny byla pro m nejnáro n jší, nelitovala jsem. Myslím, že m tato, t ebaže malá zkušenost, trošku posunula. (z analýzy hodiny matematiky) Literatura 1. HEJNÝ, J. KU INA, F., Dít, škola a matematika. Portál, Praha, ISBN KASÍKOVÁ, H., Kooperativní u ení a vyu ování. Karolinium, Praha ISBN KASÍKOVÁ, H., U me se spolupráci spoluprací. Moderní vyu ování,. 8, ISSN KREJ OVÁ, E., Jak rozd lit žáky do skupin v hodinách matematiky. Moderní vyu ování,. 7, ISSN KREJ OVÁ, E., Vytvá ení skupin žák v matematice. Komenský, ro. 126,. 9/10, ISSN KU INA, F. a kol., Kultivace kompetencí u itele matematiky. UHK, Pedagogická fakulta, 7. MAREŠ, J. a kol. Pedagogický slovník. Portál, Praha ISBN PEASE, A., - PEASEOVÁ, B., Pro muži neposlouchají a ženy neumí íst v mapách. Alman, Brno ISBN Rámcový vzd lávací program pro základní vzd lávání. VÚP, Praha ISBN Kontaktní adresa RNDr. PaedDr. Eva Krej ová, CSc. Katedra matematiky Pedagogické fakulty,univerzita Hradec Králové Rokitanského 62, Hradec Králové Tel.: eva.krejcova@uhk.cz 135

136 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V ŽÁCI, U ITELÉ, RODI E A MATEMATIKA Eva KUBÁTOVÁ, Bohumil NOVÁK Abstrakt P ísp vek informuje o jedné netradi ní prezentaci matematických aktivit pro žáky primární školy a jejich rodi e. ešení nestandardních úloh, hry a manipulativní innosti nabídly žák m i jejich rodi m p íležitost ke zm n pohledu na matematiku ve škole. PUPILS, TEACHERS, PARENTS AND MATHEMATICS Abstract The contribution gives information about an unusual presentation of mathematical activities for elementary school pupils and their parents. Solving non-standard tasks, games, and manipulative activities gave pupils and their parents a chance to shape their perception of school mathematics. 1. Úvod Nejkrásn jší škola, nejkvalitn jší u itel, výborné u ebnice i aktivizující metody vyu ování nic nezmohou u žáka, který se nechce u it. Touto v tou uvádí pojednání o efektivit matematického vyu ování H. Siwek (2005). Za jeho základní p edpoklad považuje otázky motivace zd raz uje roli motiva ních initel (u ebních pom cek, didaktických her a nestandardních úloh). Mají-li se žáci n emu nau it, musí se chtít u it. V pedagogické praxi sehrává motivace klí ovou roli prop j uje u ebním innostem žáka subjektivní smysl. Obvykle se považuje za výsledek interakce mezi osobností žáka, u itelem, spolužáky, u ivem aj. (Kalhous, Obst, 2002). V našem p ísp vku informujeme o jedné z mimovyu ovacích aktivit, realizované na základní škole v P erov. Jejím smyslem bylo pokusit se p edstavit žák m a jejich rodi m matematiku jinak, než jako nudný, nezáživný a neoblíbený školní p edm t, který jim v lepším p ípad nevadí, pro n které z nich je nebo byl dokonce represivním prost edkem. ešení nestandardních úloh, hry a další motiva ní innosti se mohou stát p íležitostí ke zm n pohledu na matematiku (podobn jako nap íklad Jarmark chemie, fyziky a matematiky po ádaný již n kolik let se zna ným ohlasem ve spolupráci UP a m sta Olomouce, který nám byl v jistém smyslu inspirací). 2. Co a jak jsme p ipravili Filozofii akce s pracovním názvem 120 minut s matematikou lze obecn vyjád it takto: získat zájem žák 5. ro níku (naší t ídy) o to, aby se p edvedli, aby prezentovali spolužák m ze školy to, co poznali a nau ili se v hodinách matematiky, 136

137 výtvarné výchovy a pracovního vyu ování (jako b žn využívané motiva ní a aktiviza ní zpest ení výuky), ukázat rodi m alespo ást z toho, co umí jejich d ti - jak m že vypadat konstruktivisticky orientované vyu ování matematice založené na p edm tové integraci. Podmínkou ovšem je, že se musejí p ijít podívat a prožít spole ný zážitek se svými d tmi, zapojit do p ípravy a realizace studenty u itelství jako supervizory nad innostmi na jednotlivých stanovištích. Podstatnou stránkou našeho projektu bylo tedy vtažení p ti studentek 3. ro níku u itelství pro 1. stupe ZŠ. Studentky získaly v zimním semestru první zkušenosti s výukou na pedagogické praxi a p ijaly myšlenku svého aktivního podílu velmi p ízniv. V rámci seminá z didaktiky, zpracování seminárních a diplomových prací se seznámily s adou nám t, které rozpracovaly do konkrétní realiza ní podoby. Hrátky jsme uspo ádali v odpoledních hodinách, v dob mimo vyu ování v budov školy (t ídách a chodb v p ízemí). Na osmi stanovištích byly p ipraveny soubory her, didaktických pom cek a materiál k innosti zájemc p íchozích žák a jejich rodi. Mohli si vybrat z aktivit, jejichž úsp šné absolvování bylo vždy zaneseno do záznamového aršíku ú astníka a odm n no bonbonem: 1. P ekvapivé skládání - geometrické skládanky t les bez lepení, hlavolamy typu tangram i Kolumbova vejce. 2. Kouzelný papír - origami (rozkvétající leknín, krabi ka, pejsek, ). 3. Lámání hlav nad zápalkovými úlohy (p emíst te zápalky tak, aby ). 4. Záhada pyramid - íselné pyramidy, hrozny a jiné úlohy o íslech. 5. Zábavné úlohy zam ené na rozvoj logického myšlení. 6. Matematický klokan - 4 úlohy z ro níku 2004 byly p edm tem sout že jednotlivc. 7. Odhadni po et (korálk, fazolí a jiných drobných p edm t v uzav ených sklenicích, slov na stránce knihy a rukou psaného textu). 8. Knihovna (prohlídka publikací s matematickými hrami a nestandardními úlohami). Samotnému pr b hu akce p edcházela systematická p íprava žák naší t ídy ve vyu ovacích hodinách, spo ívající v postupném získávání zkušeností s interpretací zadání úloh, s rozvíjením dovednosti argumentovat p i obhajování vlastního zp sobu ešení, dovednosti komunikovat p i kooperaci nad ešením problém nejd íve ve dvojicích, pozd ji ve skupinách i v rámci celé t ídy. P ipravovali se k tomu, aby mohli alespo na dv hodiny zm nit svou roli: místo role u ícího se žáka zaujali roli toho, kdo pomáhá, vysv tluje. Koncentrovan jší p íprava probíhala v posledním týdnu, kdy bylo t eba doladit n které formální skute nosti - vytvo ení ozna ení sebe sama jako p íslušníka první pomoci p i pln ní jednotlivých úkol návšt vníky, pouta k ozna ení jednotlivých stanoviš a mnohé další p ípravné práce. 3. Jaké poznatky a zkušenosti jsme získali Již v pr b hu odpoledne jsme vnímali pr b žné ohlasy ú astník. Do p ípravy a organizace se zapojily v n jaké podob všechny d ti z naší t ídy, bez ohledu na jejich školní úsp šnost a matematické znalosti. Projevily o akci zájem, následn hodnotily toto odpoledne jako plné radosti a zábavy. Krom spontánních výpov dí v pr b hu a po 137

138 skon ení jsme dali prostor k vyjád ení p íchozím žák m i rodi m na nást nné tabuli s nadpisem Co se mi zde nejvíce líbilo (a nelíbilo). Z tém zcela popsané tabule uvádíme alespo dv vyjád ení rodi : Líbily se nám všechny úkoly, protože se lov k musí zamyslet. I když se to nepovede, tak to nutí p emýšlet. Mn se nejvíce líbily ty šikovné d ti, které mi napovídaly, když jsem nev d la co s tím. Zám r akce i její vyhodnocení jsou dob e vystiženy také ve slovním komentá i d tí organizátor v písemných reflexích následujícího dne. V tšina žák vyjád ila pot šení plynoucí z kladného zážitku jak v roli ešitel, tak v roli první pomoci, tj. zadavatel a vyhodnocovatel úloh na jednotlivých stanovištích. Líbilo se mi, že u nás bylo strašn moc zákazník, takže nám nejvíc ubývalo bonbón. Vojta tímto sd lením dal najevo nejen radost ze zájmu o akci samotnou, konkrétn pak o návšt vu jejich stanovišt, ale prvek radosti nad rozdáváním bonbón sebou nesl i radost nad úsp šností ešitel. M se nejvíc líbilo, jak k nám p išel ten starý pán. Svým postojem Petr vyjad uje nejen pot šení nad zájmem o jeho stanovišt, ale v následujícím ústním komentá i poté rozšifroval sv j postoj jako pot šení nad možností zprost edkovat radost z poznání i dosp lému lov ku ( moc mu to totiž nešlo ). Líbilo se mi skládání, protože mi to kone n jde. I tento postoj Venduly vyjad uje jednu ze základních premis kladného vnímání, tj. vlastní úsp šnost. Tato úsp šnost nemusí znamenat výhru ve smyslu býti první, ale výhru nad sebou samým i p isp ní ke zdaru dobré v ci. U itelce p inesl pr b h akce také n které poznatky o žácích p edevším v oblasti zp esn ní osobnostních charakteristik a sociálních vztah. Nap íklad Terezka, spíše tichá, hloubavá, ve vyu ování málo aktivní se stala za p ítomnosti svých rodi v d í osobností svého stanovišt. Jinak prosp chov pr m rný Ondra pat il k nejob tav jším, Jana se projevila jako výborná organizátorka. Rovn ž pro studentky u itelství byla školní akce užite nou zkušeností. V následujícím semestru je eká pedagogická praxe ve t ídách stejných v kových skupin jako byli naši ú astníci. Nejen že globáln hodnotily d ti jako šikovné, ale registrovaly a posuzovaly jejich díl í projevy. Na rozdíl od u itelky neznaly tyto d ti v souvislostech školního vyu ování, neum ly posoudit jejich skute né schopnosti a možnosti. Proto pro n byla podn tná spole ná reflexe s u itelkou, na níž vzájemn prezentovaly své post ehy a názory. Uve me alespo dva p íklady. Radek, velmi tichý, projevil velkou radost nad složením vlastního leknínu. Možná pro danou situaci docela pochopitelný a o ekávaný projev nad vlastním úsp chem. Toto chování je pro Radka typické - v hodinách bývá velmi tichý, pokud si neví rady se zadaným úkolem i tehdy ml í a snaží svoji bezradnost obejít, p ejít. P i snaze pomoci reaguje zvýšenou ustrašeností. I p i díl ím úsp chu projevuje radost a snaží se pokra ovat samostatn. Toho ovšem není vždy schopen. Proto projevoval i p i ešení na svém stanovišti radost na spln ním úkolu, který pro ostatní d ti byly v tšinou bezproblémové a p ekvapivé až ve chvíli, kdy nastalo rozvíjení leknínu. Lucka, která pat í v matematice mezi slabší, dokázala bez problém zvládnout své stanovišt nejen organiza n, ale také po odborné stránce fundovanými pokyny a radami. Navíc zde mohla projevit pro ni typickou ochotu pomoci. 138

139 4. Záv r Název našeho lánku je zám rnou parafrází názvu známé knížky. Akci, kterou jsme stru n popsali, považujeme za jeden z možných p ísp vk ke zm n klimatu provázejícího matematické vyu ování v konstruktivisticky orientovaném duchu. Charakterizovala ji v etap p ípravy i realizace innost zjevná manipulativní i latentní myšlenková, provázená vzájemnou komunikací, hledáním a obhajováním vlastních postup, korektním, opodstatn ným používáním vlastních argument i p ijímáním cizích. Jejím smyslem byla p edevším motivace žák pro matematiku, rozvoj pozitivního vnímání matematiky jako školního p edm tu na pozadí p edm tové integrace, možnost p im t žáky vtipnou a nenásilnou formou u it se matematiku. Literatura 1. FISHER, R. U íme d ti myslet a u it se. Praha: Portál ISBN HEJNÝ, M., KU INA, F. Dít, škola a matematika. Konstruktivistické p ístupy k vyu ování. Praha: Portál ISBN KALHOUS, Z. OBST, O. aj. Školní didaktika. Praha: Portál ISBN X. 4. SIWEK, H. Dydaktyka matematyki. Teoria i zastosowania v matematice szkolnej. WSiP Warszawa ISBN Kontaktní adresa Mgr. Eva Kubátová, Ph.D., Bohumil Novák, doc. PhDr., CSc., Základní škola, Želatovská 8, P erov Katedra matematiky Pedagogické fakulty UP, Žižkovo nám. 5, Olomouc Telefon: ekubatova@ .cz,bohumil.novak@upol.cz 139

140 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V PO STOPÁCH ROZVÍJENÍ KOMPETENCÍ U ITEL ; POHLEDY ZEVNIT I ZVENKU Jana MACHÁ KOVÁ, Marie TICHÁ Abstrakt Za jádro profesního r stu u itel považujeme kultivaci jejich oborov didaktické kompetence. To znamená kultivaci znalosti oboru a jeho didaktického zpracování i dovednost jeho realizace v praxi. Jednou z cest je provád ní kvalifikované pedagogické reflexe. V p ísp vku jsou ukázány rozdíly v individuálních reflexích u itel, kte í mají r znou míru zkušeností s provád ním reflexe a je nazna en p ínos kolektivní reflexe p i zvyšování profesionální kompetence u itel. Východiskem p ísp vku jsou ukázky individuálních reflexí videozáznamu jedné vyu ovací episody. FOLLOWING THE PATH OF TEACHERS COMPETENCE EMPOWERING Abstract As the core of the professional growth of teachers we understand the cultivation of their subject-didactical competence. It means empowering the knowledge of subject and its didactical elaboration as well as practical capability. One of the ways is the realisation of qualified pedagogical reflection. In the contribution we show the differences in individual written reflections of teachers who have various degree of experience with conducting reflection. The contribution of the joint reflection to the improvement of professional competence of teachers is outlined. The paper starts with examples of individual reflections of video record of one teaching episode. P ísp vek navazuje na p ednášku proslovenou na konferenci Cesty (k) poznávání v matematice primární školy v Olomouci v roce 2004 (Tichá - Hošpesová, 2004). Jsou v n m ukázány další sm ry naší práce v oblasti hledání cest jak zkvalit ovat kompetence u itel primární školy. Co rozumíme pod ozna ením kompetence u itele Cílem školního vzd lávání je utvá ení a rozvíjení souboru kompetencí žák. Kompetentní žáky m že vychovat jen kompetentní u itel. Pod ozna ením kompetence u itele rozumíme soubor profesních dovedností, které u itel pot ebuje ke kvalitnímu vykonávání své práce. Pat í k nim také um ní kvalifikovan reagovat na projevy žák ve vyu ování, na jejich otázky, neo ekávaná ešení a také schopnost využít p ínos žák. Helusovo vymezení a jeho klasifikace kompetencí u itele pokrývá všechny aktivity, které se p i vyu ování objevují (Helus, 2001). Mezi ty i základní adí (a) kompetenci oborov didaktickou, spo ívající v kvalifikované orientaci na v decký obsah a jeho 140

141 realizaci ve vztahu ke konkrétní t íd a (b) kompetenci kvalifikované pedagogické sebereflexe spojenou se schopností projektovat své celoživotní vzd lávání. Pro reflexe Na reflexi je možné se dívat jednak jako na jednu z kompetencí, jednak jako na jeden ze zp sob p echodu od intuitivní k uv dom lé a zd vodn né innosti, tedy jednu z cest, jak kultivovat kompetence. Reflexi spojenou s interpretací u ebních situací tedy m žeme pokládat za nejlepší zp sob, jak rozvíjet profesní myšlení u itel a jak ukazovat funk nost didaktické teorie pro praxi. (Slavík, 2004). P ívlastkem kvalifikovaná ozna ujeme pedagogickou reflexi, která obsahuje úvahy o cíli a obsahu vyu ování, metodách práce a jejich realizaci. Neznamená jen zp tný pohled. Zahrnuje popis a analýzu klí ových prvk a jev i vlastních zkušeností, jejich hodnocení a uspo ádávání, hledání p í in ur itého konkrétního jednání i možností jiného a rozhodování o nové strategii (Slavík - Si or, 1993). Reflexe je d ležitý aspekt ak ního výzkumu, jehož hlavními aktéry jsou u itelé (Jaworski, 2003; Nezvalová 2003; Schön, 1983). Pro pohledy zevnit i zvenku Zpravidla se uvažuje o tom, že od u itele, který realizoval vyu ovací hodinu, dostaneme pohled zevnit. Pohledy zvenku m žeme o ekávat od u itel -praktik i dalších osob, které m ly možnost hospitovat ve vyu ování a mohou tak sledovat vyu ování z odstupu. Na druhou stranu i u itel, který vyu oval, pot ebuje získat odstup, mít možnost se na sebe podívat zvenku (z nadhledu), získat jiný úhel pohledu. Proto jsme za ali po izovat videozáznamy vyu ování. Sou asn s po izováním videozáznam po izujeme i p epis zaznamenaných rozhovor. Pro spole ná reflexe Reflexe je asto chápána ve smyslu sebereflexe, jako proces individuální, osobní. Podle našich zkušeností získaných v rámci ešení projektu Comenius (Tichá - Hošpesová, 2004) nesta í z stat jen u sebereflexe. Je t eba vlastní pohled konfrontovat s pohledy jiných osob. Proto jsme za ali realizovat vedle individuální také spole nou kooperativní reflexi, abychom u itel m názory jiných osob zprost edkovali a umožnili jim hlubší pohled na jejich vlastní innosti ve vyu ování. Individuální reflexi provádí (a) u itel, který vyu oval i (b) u itel nebo výzkumník, který sledoval vyu ování p ímo nebo má k dispozici videozáznam a podrobný p epis komunikace, která ve vyu ování prob hla. Spole nou reflexi provádí (a) skupina u itel, p ípadn (b) skupina, jejímiž leny jsou u itelé i výzkumníci; východiskem jsou jim p itom individuální reflexe. Jeden p íklad Ukažme si p íklad r znorodosti individuálních reflexí jednoho vyu ovacího experimentu. Inspirací pro vyu ovací experiment byl p ísp vek R. Steinberg uvedený na konferenci SEMT 03. Autorka v n m ukázala, jak n kolik u itel posuzovalo správnost dvou ešení úlohy Spravedliv rozd l 3 pizzy ty em d tem. U itelka se rozhodla zadat stejný úkol svým žák m 4. ro níku (je to skupina dobrých žák ). Nejprve uvedla žáky do situace, rozdala pracovní listy a zadala úkol: 141

142 Paní u itelka v jedné škole zadala tuto úlohu Spravedliv rozd l 3 pizzy ty em d tem. D ti tu úlohu ešily tak, jak máte napsáno na pracovním list. A vy byste m li rozhodnout, které z následujících ešení úlohy je správné a své rozhodnutí od vodnit. ¼ ¼ ¼ (a) Každou pizzu rozd líš na 4 stejné ásti. Každé dít dostane jednu tvrtinu z každé pizzy. Dostane t i tvrtky, to jsou t i tvrtiny. (b) Každou pizzu rozd líš na 4 stejné ásti. Dohromady je to 12 kousk. Každé dít dostane t i kousky. To je t i z dvanácti. Odpov je t i dvanáctiny. Je možné, aby se ty t i tvrtiny rovnaly t m t em dvanáctinám? Zkuste mi íct, co si myslíte, že je správn, co není správn a pro. Žáci postupn sd lovali své úvahy, korigovali a up es ovali je a b hem 16 minut došli ke správné odpov di. Bezprost edn po realizaci experimentálního vyu ování, zpracování videozáznamu a po ízení p episu vyu ující a dv vysokoškolské u itelky VŠ1, VŠ2 vypracovaly individuální reflexe experimentu. U itelka experiment realizovala, VŠ1 episodu sledovala ve t íd a po ídila videozáznam, VŠ2 se vyu ování nezú astnila, podílela se však na po ízení p episu rozhovor. Všechny t i m ly zkušenosti s prací s videozáznamem a provád ním reflexí (Tichá - Hošpesová, 2004). Zkušenost s provád ním reflexí se odrazila (a) v soust ed ní se na ur ité jevy, resp. na krátký úsek videozáznamu, (b) ve snaze o napsání strukturované výpov di, (c) ve snaze zachytit momenty sv d ící o p ínosu reflexí pro u itele, výzkumníky i žáky. U itelka se soust edila na význam kolektivní reflexe pro u itele jako innosti, která umož uje: (a) uv domit si významné jevy, které by sama nepost ehla, (b) hlubší pochopení úvah žák, (c) evidenci a vysv tlení nejasností. Uvažovala také o obecných otázkách spojených s realizací kolektivních reflexí ve škole (Jak p esv d it u itele o užite nosti spole ných kvalifikovaných reflexí. Jak vytvo it takové klima, aby u itelé cítili pot ebu spole n reflektovat....). Autorka první reflexe (VŠ1) zd raznila, že se vždy zam uje na zjiš ování, kde a pro vznikají žák m problémy s porozum ním, jak je možné odstranit jejich p í iny a nedostatky reedukovat. Zam ila se jednak na práci u itelky, jednak na práci žák. V práci u itelky sledovala: co d lala, pro, jak bylo možné postupovat jinak. U žák se zam ila na (a) úrove pochopení matematického obsahu, (b) vytvá ení prekoncept, (c) charakter úvah, (d) zp sob komunikace. Evidovala obtíže žák, zvlášt (a) rušivý vliv dosavadních znalostí, (b) formální poznatky bez porozum ní (c) reprezentace. Autorka druhé reflexe (VŠ2) sv j p ístup k reflexi charakterizovala jako sledování toho, jak se žák poznává v sociálním kontextu t ídy. Nejprve charakterizovala celkový dojem z vyu ování: (a) žáci jsou vysp lí, (b) u itelka dob e strukturovala hodinu. Posléze se zam ila na sledování toho, co se skute n stalo. Snažila jsem se pochopit: (a) jaká úvaha asi p edcházela konkrétní výpov di žáka, (b) jak se žáci vzájemn ovliv ovali, (c) jakými prost edky dosáhla u itelka toho, že velká ást žák byla aktivních. Své úvahy uzav ela sérií otázek na p í iny chování a jednání žák i u itelky. 142

143 Rozdíly v reflexích Chceme zkvalit ovat svoje reflexe a také pro jejich provád ní motivovat další u itele. Pot ebujeme proto proniknout hloub ji do procesu reflektování vyu ovacího procesu. Rozhodly jsme se, že bude pot ebné porovnat naše reflexe s reflexemi u itel i dalších pracovník, kte í s nimi nemají tolik zkušeností jako my, autorky tohoto lánku. P edpokládaly jsme, že se tak výrazn ji projeví charakteristické rysy reflexí. O ekávaly jsme rozdíly, které...jsou zp sobeny odlišnými poznatky, zkušenostmi a osobnostními dispozicemi jednotlivc, nestejnou kvalitou interpretací, zvláštnostmi kauzálních atribucí... to vše má vliv na intuitivní výb r a použití posuzovacích kritérií... (Slavík - Si or, 1993, s.155). Požádaly jsme proto o individuální reflexi vyu ovací epizody další kolegyn a kolegy u itele z r zných stup škol. Poskytly jsme jim stejný materiál, který jsme m ly k dispozici my (videonahrávku a p epis rozhovor ) a požádaly je o vyjád ení a jeho písemné zpracování. Písemné výpov di této skupiny u itel m ly vesm s narativní charakter. Lze je charakterizovat jako nestrukturovaný záznam moment z vyu ování. (Jistá struktura se projevila pouze v jedné reflexi, jejíž autorka zjevn postupovala podle vlastní šablony.) Ukázala se nezkušenost u itel pracovat s videozáznamem a p episem rozhovor. U itelé si neuv domili pot ebu (a) sledovat videozáznam n kolikrát, (b) vybrat episody, které jsou z jejich hlediska zajímavé. Byli z ejm bezradní nad tím, jak popsat, analyzovat a uspo ádat pedagogickou zkušenost z reálné školní praxe (Slavík - Si or, 1993). Po seznámení se s individuálními reflexemi u itel jsme se s jejich autory setkaly. Pokusily jsme se navodit spole nou reflexi. P ipravily jsme proto osnovu, podle které jsme zamýšlely reflexi vést. P ed setkáním jsme u itel m daly k dispozici p eklad malé ásti publikace Praxisleitfaden (Scherer, Söbeke - Steinbring, 2004), kterou lze ozna it jako pr vodce reflektováním vyu ování. Charakteristické v naší diskusi s u iteli bylo, že každý z nich setrvával u svých kritérií. Naše snaha posunout ohnisko zájmu, p ipomenout další d ležité otázky a zjistit jejich nazírání na n zpravidla z stávala bez odezvy. U itelé se vraceli ke svému prvotnímu zájmu. Ukázalo se, že u itelé Sledují Zanedbávají, nepost ehnou Dodržování tradi ních zvyklostí jak má Matematické jádro, zám r u itele a jeho být postavena vyu ovací hodina po realizaci. Možné alternativy vyu ování. organiza ní stránce. Kompetence u itele. Výrazné, ale z hlediska zám ru u itelky asto podružné, momenty, které zaujmou na první pohled. Pohled do hloubky na mén z etelné, ale pro vývoj hodiny podstatné, momenty. Obecné didaktické (metodické) otázky. Konkrétní p íklady neporozum ní a jeho p í iny. Co lze považovat za chyby u itele. D vody, pro u itel u inil krok, který oni eventuáln považují za chybný. Zda u itel ud lal vše, co oni považují za Zda kroky, které oni považují za pot ebné, pot ebné. jsou v souladu se zám rem u itele. Jak probíhá komunikace ve vyu ování. Zda a jak žáci reagují na výpov di spolužák. Zajímavá byla reflexe matematika. V první ásti se zam il na matematické znalosti u itelky a jejich rozvíjení u žák. Poté se soust edil na didaktickou stránku. 143

144 Poznámky na záv r Práce, které nám u itelé p edali, zatím nelze ozna it jako kvalifikované pedagogické reflexe. Jde asto o jakési sd lování si dojm, které nemá pot ebnou strukturu a dokonce sklouzává do pouhého kritizování. U itelé si v tšinou nekladou otázky po p í inách (neobvyklého) jednání vyu ující. V našich reflexích i v reflexích u itelek, které s námi spolupracovaly na ešení projektu Comenius a získaly zkušenosti a dovednosti v reflektování vyu ování, je možné pozorovat snahu evidovat ur ité podstatné jevy a strukturovan je zachytit. Poda ilo se nám tak dosáhnout významný kvalitativní posun: tyto u itelky nez stávají jen u pouhého poukazování na chyby a nedostatky, ale uvažují, navrhují a zd vod ují alternativy, které p ispívají ke zkvalit ování vyu ování. Zcela jasn to ukazuje, že u itelé pot ebují pomoc v tom, jak reflektovat pedagogické situace. Studenti u itelství by m li být na reflektování vyu ování systematicky p ipravováni a seznamováni s p íslušnou literaturou (Švec, 2005). Literatura 1. HELUS, Z. (2001). ty i teze k tématu zm na školy. Pedagogika, v. 51, 1, JAWORSKI, B. (2003). Research practice into/influencing mathematics teaching and learning development: Towards a theoretical framework based on co-learning partnerships. Educational studies in mathematics, v. 54, 2-3, NEZVALOVÁ, L. (2003). Ak ní výzkum ve škole. Pedagogika, v. 53, 3, SCHERER, P. - SÖBEKE, E. - STEINBRING, H. (2004). Praxisleitfaden zur kooperativen Reflexion des eigenen Mathematikunterrichts. Manuskript: Universitäten Bielefeld & Dortmund. 5. SCH N, D. A. (1983). The reflective practitioner. London: Teple Smith. 6. SLAVÍK, J. (2004). Profesionální reflexe a interpretace výuky jako prost edník mezi teorií a praxí. Konference Oborové didaktiky v pregraduálním u itelském studiu. Brno: PdF MUNI, 7. SLAVÍK, J. - SI OR, S. (1993). Kompetence u itele v reflektování výuky. Pedagogika, v. 43, 2, ŠVEC, V. (2005). Pedagogické znalosti u itele: teorie a praxe. Praha: ASPI. 9. TICHÁ, M. - HOŠPESOVÁ, A. (2004). U íme se z praxe. In: M. Uhlí ová (ed.) Cesty (k) poznávání v matematice primární školy. Olomouc: UP, pedagogická fakulta, Poznámka: Výzkum byl podpo en grantem GA R 406/05/2444 a AV R, výzkumný zám r AV0Z Kontaktní adresy Jana Machá ková Matematický ústav AV R Žitná 25, Praha 1 Telefon: jana.ice@seznam.cz Marie Tichá Matematický ústav AV R Žitná 25, Praha 1 Telefon: ticha@math.cas.cz 144

145 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V VÝCHOVA K EVROPANSTVÍ V U IVU MATEMATIKY NA PRIMÁRNÍ ŠKOLE Jitka MÁJOVÁ Abstrakt P ísp vek pojednává o výchov k evropanství v u ivu matematiky na primární škole. tená e seznamuje s novým kurikulárním dokumentem a za len ním matematiky a výchovy k evropanství v n m. Druhou ást p ísp vku tvo í ukázka úloh z u ebnic matematiky, v nichž se objevují prvky výchovy k evropanství. EDUCATION TO THE EUROPEANISM IN MATHEMATICS AT THE PRIMARY SCHOOL Abstract This article treats of education to the Europeanism in mathematics at the primary school. The reader is acquaint with a new curricular document and with mathematics and education to the Europeanism incorporation into it. The second part of the document consists of exercises from mathematics books containing education to the Europeanism elements. eské školství v sou asné dob prochází adou reforem, z nichž nejvýznamn jší tvo í p echod od vzd lávacích program Základní škola, Obecná škola, Národní škola a mnoha alternativních program k Rámcovému vzd lávacímu programu pro základní vzd lávání. Ministerstvem školství, mládeže a t lovýchovy schválený program, závazný pro všechny základní školy od školního roku 2007/2008, je nyní velmi diskutovaným tématem nejen mezi pedagogickými odborníky. Jeho snadná dostupnost podn cuje i širokou ve ejnost (zvlášt pak rodi e sou asných žák základní školy) ke zkoumání a proniknutí do dané problematiky. P i d kladn jším studiu Rámcového vzd lávacího programu pro základní vzd lávání se tená seznámí se základními principy RVP ZV, tendencemi ve vzd lávání, které navozuje a podporuje RVP ZV, s pojetím a cíli základního vzd lávání a jednu z hlavních rolí tohoto dokumentu hrají také klí ové kompetence, ili souhrn v domostí, dovedností, schopností, postoj a hodnot d ležitých pro osobní rozvoj a uplatn ní každého lena spole nosti, kterých by m l žák dosáhnout. Jsou jimi: kompetence k u ení, kompetence k ešení problém, kompetence komunikativní, kompetence sociální a personální, 145

146 kompetence ob anské, kompetence pracovní. Nedílnou sou ástí RVP ZV je také vymezení vzd lávacího obsahu základního vzd lávání, který je orienta n roz len n do devíti vzd lávacích oblastí, a ty pak do jednotlivých vzd lávacích obor 1. Matematice je v nována vzd lávací oblast s názvem Matematika a její aplikace. V této se auto i zabývají nejen její charakteristikou, len ním a rozborem jednotlivých tématických okruh ( ísla a po etní operace; íslo a prom nná; Závislosti, vztahy a práce s daty; Geometrie v rovin a v prostoru; Nestandardní aplika ní úlohy a problémy), ale i cílovým zam ením této oblasti. Vzd lávání v ní sm uje k utvá ení a rozvíjení klí ových kompetencí p edevším tím, že žáka vede k: využívání matematických poznatk a dovedností v praktických innostech odhady, m ení a porovnávání velikostí a vzdáleností, rozvíjení pam ti prost ednictvím numerických výpo t a osvojováním si nezbytných matematických vzorc a algoritm, rozvíjení kombinatorického a logického myšlení, kritickému usuzování a srozumitelné a v cné argumentaci prost ednictvím ešení matematických problém, rozvíjení abstraktního a exaktního myšlení osvojováním si a využíváním základních matematických pojm a vztah, k poznávání jejich charakteristických vlastností a na základ t chto vlastností k ur ování a za azování pojm, provád ní rozboru problému a plánu ešení, odhadování výsledk, volb správného postupu k vy ešení problému a vyhodnocování správnosti výsledku k podmínkám úlohy nebo problému, rozvíjení spolupráce p i ešení problémových a aplikovaných úloh vyjad ujících situace z b žného života a následn k využití získaného ešení v praxi. RVP ZV však v oblasti vzd lávacího obsahu netvo í jen již zmín ných dev t vzd lávacích oblastí. Všemi t mito se prolínají tzv. pr ezová témata (tzn. okruhy aktuálních problém sou asného sv ta), která jsou d ležitým formativním prvkem základního vzd lávání, vytvá ejí p íležitosti pro individuální uplatn ní žák i pro jejich vzájemnou spolupráci a pomáhají rozvíjet osobnost žáka p edevším v oblasti postoj a hodnot. Pr ezová témata tvo í povinnou sou ást základního vzd lávání, avšak jejich rozsah a zp sob realizace stanovuje Školní vzd lávací program (ŠVP). Žák se tedy b hem vzd lávání na základní škole seznámí s : Osobnostní a sociální výchovou, Výchovou demokratického ob ana, Výchovou k myšlení v evropských a globálních souvislostech, Multikulturní výchovou, Environmentální výchovou a Mediální výchovou. 1 Rámcový vzd lávací program pro základní vzd lávání, str. 18, dostupné na WWW: 146

147 Mnou zkoumaná problematika, tedy výchova k evropanství, je nejvýznamn ji zastoupena v tématech: Výchova demokratického ob ana, v tématu, které má mezioborový a multikulturní charakter, jež u žák podn cuje smysl pro spravedlnost, toleranci a odpov dnost, rozvíjí jejich kritické myšlení, v domí vlastních práv a povinností a porozum ní demokratickému uspo ádání spole nosti. Žáka má vybavit základní úrovní ob anské gramotnosti, tzn. um ním orientovat se v problémech a konfliktech demokratické a pluralitní spole nosti. Toto pr ezové téma má blízkou vazbu zejména na vzd lávací oblasti lov k a spole nost a lov k a jeho sv t. Výchova k myšlení v evropských a globálních souvislostech, v oblasti, která zd raz uje ve vzd lávání evropskou dimenzi a podporuje globální myšlení a mezinárodní porozum ní, rozvíjí v domí evropské identity p i respektování identity národní, seznamuje žáky s perspektivami života v evropském a mezinárodním prostoru a s možnostmi, které jim tento prostor poskytuje. Výchova k myšlení v evropských a globálních souvislostech prolíná zejména vzd lávacími oblastmi Jazyk a jazyková komunikace, lov k a spole nost, lov k a jeho sv t, Um ní a kultura a lov k a zdraví. Multikulturní výchova, v tématu, které žák m umož uje seznamovat se jak s vlastní kulturou, tak i s rozmanitostmi kultur ostatních, jejich tradicemi a hodnotami. U menšinového etnika rozvíjí jeho kulturní specifika, majoritní v tšinu seznamuje se základními specifiky ostatních národností žijících ve spole ném stát. U obou skupin pak pomáhá nacházet sty né body pro vzájemné respektování, spole né aktivity a spolupráci. Toto pr ezové téma se propojuje p edevším se vzd lávacími oblastmi Jazyk a jazyková komunikace, lov k a spole nost, lov k a p íroda, Um ní a kultura, lov k a zdraví a také Informa ní a komunika ní technologie. A jak se projevuje výchova k evropanství v matematickém vzd lávání? Z výše uvedeného vyplývá, že sice výchova k evropanství primárn do matematiky nepat í, ale vlivem pr ezových témat se v ní m že a ve skute nosti také objevuje. D kazem toho je ucelená ada u ebnic matematiky pro 1. stupe základní školy z nakladatelství Fortuna. Prvky výchovy k evropanství jsou v u ebnicích za azeny pr b žn a velmi nenásilnou formou. Evropská tématika je za len na do úloh spíše jako zajímavost, kterou má u itel i žáci možnost dále rozvíjet. Nap. pro nácvik s ítání a od ítání p irozených ísel a rýsování a d lení úse ek se auto i rozhodli do u ebnice 2 za adit následující úlohy: 1. Nejdelší tok na našem území má eka Vltava (433 km). Pramení na Šumav ve výšce 1172 m a vlévá se do Labe u M lníka ve výšce 155 m nad mo em. Jaký je výškový rozdíl mezi pramenem a soutokem? Jen 84 km Vltavy je splavných. Jaká ást Vltavy není splavná? 2 COUFALOVÁ, J., P CHOU KOVÁ, Š. et al. Matematika pro pátý ro ník základní školy, ást první, str. 15,

148 Labe pramení v Krkonoších ve výšce 1386 m nad mo em. Jaký je výškový rozdíl mezi pramenem Labe a pramenem Vltavy? Jaký je výškový rozdíl mezi pramenem Labe a soutokem s Vltavou? U H enska opouští Labe naši republiku a v n meckém Hamburku se vlévá do Severního mo e. Celková délka toku Labe je 1165 km. Na našem území má Labe délku 379 km. Jaká je délka Labe mimo naše území? 2. P ibližn p ed 2500 lety vykopali na ostrov Samos v ecku tunel dlouhý 1 km. Z každé strany ho razila jedna skupina kopá a p esn uprost ed se setkali. Kolik metr prorazila každá skupina? Znázorn te tunel úse kou a pomocí kružítka a pravítka najd te místo setkání. V obou t chto úlohách se u iteli nabízí široká škála možných dopl ujících otázek i úkol (nap. práce s mapou, seznámení žák s jednotlivými státy, dramatizace), kterými m že u žák dále prohlubovat pocity evropanství. Z hlediska výchovy k evropanství je tedy ada u ebnic z nakladatelství Fortuna naprosto vyhovujícím materiálem, který dozajista najde své uplatn ní i v následujícím období, tzn. v období zast ešeném RVP ZV. Jinou, z mých zkušeností, hojn ji využívanou adu u ebnic tvo í u ebnice matematiky z nakladatelství Prodos. V t chto se prvky výchovy k evropanství sice vyskytují také, ale v daleko menší mí e. Chce-li u itel, pracující s t mito u ebnicemi žák m zprost edkovat v matematice n jaké poznatky o evropanství, musí se spoléhat p edevším na dopl kové materiály. Jsou-li totiž za azeny ur ité prvky evropanství v úlohách, musí je u itel asto dotvá et. P íkladem je následující úloha 3, která svým grafickým pojetím p ímo poukazuje na výchovu k evropanství, autory je však tato problematika zcela opominuta: 3 MOLNÁR, J., MIKULENKOVÁ, H. Matematika 2. ro ník, 1. díl, str

149 Je z ejmé, že p íležitostí k za azení prvk výchovy k evropanství do u iva matematiky na primárním stupni základních škol je mnoho. Záleží však na ochot a možnostech u itele i žák, jak se k této problematice postaví a jak se s ní vyrovnají. Literatura 1. COUFALOVÁ, J., P CHOU KOVÁ, Š. et al. Matematika pro pátý ro ník základní školy, ást první. 1.vyd. Praha: Fortuna, s. ISBN MOLNÁR, J., MIKULENKOVÁ, H. Matematika 2. ro ník, 1. díl. Olomouc: Prodos, s. ISBN Rámcový vzd lávací program pro základní vzd lávání [online]. Praha: VÚP, Dostupné na WWW: Kontaktní adresa Mgr. Jitka Májová Katedra pedagogiky s celoškolskou p sobností, UP v Olomouci Žižkovo nám. 5, Olomouc, Telefon: jitka.m@atlas.cz 149

150 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V ENTROPIE VE VÝUCE MATEMATIKY NA 1. STUPNI ZÁKLADNÍ ŠKOLY Jan MELICHAR Abstrakt Entropie je chápána jako míra neur itosti. P i zadávání úloh v matematice má zadání ur itou entropii. P i p idání podmínek úlohy se entropie zmenšuje a ešení úlohy se up es uje, m že se i m nit po et možností ešení. Je ukázáno zadání matematických úloh a jejich ešení p i zm n entropie. ENTROPY IN THE EDUCATION OF MATHEMATICS AT ELEMENTARY SCHOOLS Abstract Entropy means an extent of indeterminateness. Each assignment of mathematical task contains certain entropy. When conditions are added to the task, the entropy of the task is smaller and the problem solution becomes more specific and the amount of possible solutions can changed. The article shows examples of assignment of mathematical tasks and their solutions in relation to changes in entropy. Entropie V teorii vyu ování matematice je možné využít termínu entropie, což je dle Slovníku spisovné eštiny pro školu a ve ejnost (2.) míra neur itosti n jakého systému. O pojmu entropie v didaktice matematiky se zmi uje Doc. Pavel Kv to ve své publikaci Kapitoly z didaktiky matematiky II (str. 10) (3.). Podívejme se spolu se mnou na zadání úloh v matematice a na míru neur itosti p i jejich ešení. Matematické úlohy budeme považovat za ur itý systém. Nap íklad zadáme-li slovní úlohu na sjednocení dvou množin s neprázdným pr nikem : Ve t íd je 37 žák. Každý z nich umí lyžovat nebo umí bruslit. Lyžovat umí 20 žák, bruslit umí 31 žák. Znázorn te a ur ete, kolik je ve t íd žák, kte í um jí lyžovat a um jí bruslit (obojí). Názorn vidíme, že všichni žáci t ídy, kte í um jí lyžovat a bruslit, náleží do pr niku množin lyžujících a bruslících žák. Celkem je jich 14. Úloha má práv jedno ešení. Zadáme-li úlohu s vynecháním v ty Každý z nich umí lyžovat nebo umí bruslit tedy: Ve t íd je 37 žák. Lyžovat umí 20 žák, bruslit umí 31 žák. Znázorn te a ur ete, kolik je ve t íd žák, kte í um jí lyžovat a um jí bruslit (obojí), musíme zvažovat, kolik je ve t íd žák, kte í neum jí lyžovat a neum jí bruslit. Takových žák není, pak jde o p vodní úlohu. Takový žák m že být jeden, mohou být dva, t i, ty i, p t, šest. Více jich být nem že. Úloha má p i tomto zadání úlohy celkem sedm ešení. Lze tedy 150

151 odpov d t, že záleží na po tu žák, kte í neum jí lyžovat a neum jí bruslit a po et žák, kte í um jí lyžovat a bruslit je 14 nebo 15 nebo 16 nebo 17 nebo 18 nebo 19 nebo 20. V p ípad, že 6 žák neumí lyžovat a neumí bruslit jsou lyžující žáci podmnožinou žák bruslících. První slovní úloha má menší entropii, nebo ešení úlohy je práv jedno, Druhá slovní úloha má v tší entropii, nebo míra neur itosti je v tší a úloha má 7 možných ešení. Podívejme se na geometrické u ivo. Zadáme-li úlohu : Ur ete po et p ímek, které jsou ur eny práv dv ma r znými body, tak víme, že taková p ímka je práv jedna, nebo dva r zné body leží práv v jedné p ímce a též dva r zné body leží v téže rovin. Zadám li úlohu: Ur ete po et p ímek, které jsou ur eny práv t emi r znými body, tak musíme zvažovat, zda body leží práv v jedné p ímce a nebo neleží práv v jedné p ímce. V prvním p ípad je taková p ímka práv jedna a ve druhém p ípad jsou p ímky t i. T i body, které neleží práv v jedné p ímce leží práv v jedné rovin. Zadáme-li úlohu : Ur ete po et p ímek, které jsou ur eny práv ty mi r znými body, tak musíme zvažovat : 1) ty i r zné body leží práv v jedné p ímce, pak je taková p ímka práv jedna, 2) T i r zné body leží práv v jedné p ímce a jeden bod ne, pak tyto body leží práv v jedné rovin a takové p ímky, které spl ují podmínky úlohy jsou ty i, 3) ty i r zné body leží v práv v jedné rovin a t i r zné body neleží práv v jedné p ímce, pak po et p ímek je šest, 4) ty i r zné body neleží práv v jedné rovin a t i r zné body neleží práv v jedné p ímce, pak po et p ímek je též šest. Po et p ímek je stejný jako v p ípad 3). Vidíme, že p idáním po tu bod je entropie stále v tší a v tší. ím je v tší enropie zadané úlohy, tím více informací obsahuje odpov na otázku úlohy. Jestliže úloha obsahuje p íliš velkou entropii, pak problém, který mají žáci ešit nevyvolává aktivní myšlenkovou innost a vede žáky k bezradnosti, pokud je entropie p íliš malá tak úloha pro žáky není problémem, žáci znají okamžitou odpov. Nap íklad na úlohu Ur ete po et p ímek, které jsou ur eny práv dv ma r znými body, žáci znají okamžitou odpov : Taková p ímka je práv jedna. Literatura: 1. MELICHAR J. a kol. Matematika pro 4. ro ník základní školy. 1.vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, s Slovník spisovné eštiny pro školu a ve ejnost. 1. vyd. Praha: Academia, s KV TO P. Kapitoly z didaktiky matematiky II. 1. vyd. Ostrava: Pedagogická fakulta, s Kontaktní adresa Prof. RNDr. Jan Melichar, CSc. Katedra matematiky Pedagogické fakulty Univerzity J. E. Purkyn Ho ení 13, Ústí nad Labem, eská republika Telefon: melichar@pf.ujep.cz 151

152 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V POSTAWY STUDENTÓW PEDAGOGIKI WOBEC UCZNIOWSKICH B DÓW Barbara NAWOLSKA, Joanna D O Abstrakt Artyku porusza problem przygotowania studentów pedagogiki wczesnoszkolnej do uczenia matematyki w klasach m odszych. Prezentuje ró ne ich postawy wobec b dów pope nianych przez uczniów podczas rozwi zywania zada. THE ATTITUDES OF STUDENTS EARLY EDUCATION TOWARDS PUPILS MISTAKES Abstract This paper discusses one of the aspects of preparing students of early education to teach mathematics in classes with young pupils. It presents examples of students reactions to pupils mistakes. eby wyleczy z b du, trzeba wiedzie, czego ten b d jest symptomem i jakie s jego ród a Krygowska Nauczyciel znaj cy natur matematyki i prawid owo ci zwi zane ze specyfik uczenia si a tego przedmiotu powinien umie reagowa na b dy uczniów oraz przygotowywa dzieci do ich pokonywania. B d informuje nauczyciela o sposobie rozumienia danego poj cia przez ucznia niejednokrotnie w stopniu wi kszym ni poprawna odpowied, która mo e by wynikiem stosowania niepoprawnej regu y. W szkole dzieci cz sto boj si b du, gdy jest on podstaw selekcji. Obawa przed b dem powoduje niejednokrotnie strach przed matematyk, a taka atmosfera nie jest korzystna. Nauczyciel powinien zatem by przewodnikiem dziecka w konstruowaniu jego wiedzy, winien s ucha dzieci, akceptowa to co mówi, asystowa przy tym co czyni, a wszystko to powinno odbywa si w atmosferze bezpiecze stwa. Pope nianie b adów staje si wówczas istotn cz ci procesu uczenia si. Ucze ma bowiem prawo do b du W polskich szko ach w klasach m odszych daje si zauwa y ukierunkowanie nauczycieli na zapobieganie b dom. Preferuje si wspóln prac przy tablicy pod kierunkiem nauczyciela czuwaj cego nad poprawno ci wszelkich uczniowskich dzia a (por. Klus Sta ska, 2005) Takie zachowanie nie pozwala na ujawnianie si jakiegokolwiek b du, a je eli si on ju pojawi nauczyciel natychmiast go poprawia (np. ciera tablic, poleca dobremu uczniowi skorygowa b d). Dziecko, które ten b d pope ni o, niejednokrotnie nie wie co zrobi o le, ani dlaczego i wcale nie umie swojego w asnego b du poprawi. Zostaje pozostawione samo sobie bezradne i przekonane, e nigdy si matematyki nie nauczy. To mo e by ród em jego pora ek. 152

153 Niepokoj ce s te takie zachowania, w których nauczyciel poprzestaje na poziomie abstrakcji i próbuje pomóc dziecku odwo uj c si tylko do wiedzy formalnej, która nie jest zwi zana z realnym wiatem, a co za tym idzie nie wi e si z uczniowskimi do wiadczeniami. Mo na przypuszcza, e tacy nauczyciele preferuj styl nauczania, w którym wa na jest odpowied na pytanie Jak? a nie odpowied na pytanie Co? ani Dlaczego? (por.hejny, 1997). Tak uczone dziecko w przypadku gdy zapomni gotowej procedury, regu y zasady, nie umie odwo a si do rzeczywisto ci i staje si bezradne. Matematyka szkolna nie jest i nie mo e by czystym tworem umys u lecz powinna mie swoje ród o w wiecie rzeczywistym. Wszak powsta a, aby ten wiat opisywa i u atwia rozwi zywanie problemów. Nauczyciel w toku swojej pracy nie mo e stwarza atmosfery l ku przed b dem, ani te omija b _eadów, wr cz przeciwnie, musi tak post powa, aby b dy mog y si ujawnia i by w dalszej kolejno ci stawa y si podstaw otwartej dyskusji. B d nie spe ni pozytywnej roli je eli zostanie poprawiony przez nauczyciela lub kogo innego ni ten kto go pope ni. B d nieujawniony i tkwi cy w umy le dziecka stanowi powa ne niebezpiecze stwo dla jego dalszej edukacji matematycznej (por. Ciosek 1992). W a ciwa reakcja nauczyciela na b d ucznia wymaga: 1. Zidentyfikowania b du i refleksji nad jego ród em. 2. U wiadomienia dziecku nieadekwatno ci strategii (wa ne by dziecko rozpozna o w asny b d - mo na tu wywo a konflikt mi dzy tym co ono s dzi a rzeczywisto ci ). 3. Powrotu do tego co pewne i dalsze stopniowe nauczanie, by nie by o du ych skoków lub luk. (dziecko poprawi b d nawet tego nie zauwa aj c, bo rozumienie pojawi si tam gdzie by y braki; w tym celu mo na zredukowa abstrakcj, gdy ma ono tendencj do manipulowania symbolami; stale te trzeba u ywa konkretnych materia ów, bo to pomaga w rozwoju rozumienia Nie ka dy b d ucznia da si przewidzie i dlatego niemo liwe jest wcze niejsze przygotowanie odpowiedniej reakcji nauczyciela na ka dy b d. Cz sto reakcja musi by natychmiastowa i spontaniczna, dlatego wymaga to od nauczyciela postawy twórczej, wyczucia pedagogicznego, psychologicznego i matematycznego. Podczas hospitowania zaj szkolnych w klasach m odszych mog y my zaobserwowa ró norodne b dy uczniów oraz reakcje nauczycieli. St d pomys sprawdzenia jak w analogicznych sytuacjach mog zareagowa nasi studenci, zw aszcza, i w ich kszta ceniu, po wi camy sporo uwagi problematyce b dów i reakcji na nie. Studenci mieli na pi mie przedstawi swoj reakcj na zaprezentowany b d uczniowski. Po sprawdzeniu prac, ka dy student mia mo liwo ponownego przyjrzenia si swojej pracy i dyskusji nad zaproponowanym przez siebie rozwi zaniem metodycznym. Zale a o nam na tym aby studenci nie mówili dziecku wprost, e pope ni o b d, lecz by swoj uwag, zachowaniem, odpowiednim pytaniem sprawili, i ucze sam go zauwa y i by w tej sytuacji samodzielnie lub przy niewielkiej pomocy nauczyciela umia ów b d poprawi. W ten sposób chcia y my sprawdzi jak studenci rozumiej poj cia, które maj kszta towa w przysz o ci u swoich uczniów oraz jak reaguj na b dy uczniów i czy potrafi je wykorzystywa do kszta cenia matematycznego. Oto jeden z problemów z jakim przysz o si zmierzy studentom: Jak zareagujesz w sytuacji, gdy mno enie ucze wykona nast puj co: = ( ) ( ) = = =

154 Przedstawimy ró ne reakcje studentów na zaprezentowany b d uczniowski: Postawa I (rozumienie poj cia). Przyk ad.1 (iloczyn jako sytuacja: wiele razy po tyle samo ) a/ Studentka odwo uje si do poj cia mno enia jako sytuacji wiele razy po tyle samo i proponuje uczniowi nast puj c konkretyzacj 'ea. W klasie jest 28 osób (20 ch opców i 8 dziewczynek). Skarbnik zbiera od ka dego ucznia po 42 z na wycieczk. Ile pieni dzy zbierze? U: N: Gdyby skarbnik liczy tak jak ty to co by obliczy? U: Ch opcy zap acili po 40 z, a dziewczynki po 2 z. N: Po ile wszyscy mieli zap aci? U: Po 42 z. N: Jak zatem skarbnik powinien policzy pieni dze? Policz pieni dze zebrane od ch opców. U: N: Policz pieni dze zebrane od dziewczynek. U: N: Czy to ju koniec oblicze? U: Nie, musz policzy to razem = ( ) ( ) = od ch opców od dziewcz t Postawa studentki wobec b du ucznia jest poprawna. Odwo uje si do znanego uczniowi poj cia mno enia. Proponuj c przyk ad ze zbiórk pieni dzy autorka redukuje abstrakcj i wykorzystuje do wiadczenie zdobyte przez dziecko w yciu codziennym. To pozwala uczniowi zauwa y na czym polega jego b d i samodzielnie go poprawi. b/ Inna studentka podobnie jak w przyk adzie a/ odwo uje si do poj cia mno enia jako konkretnej sytuacji wiele razy po tyle samo. Proponuje uczniowi rozwa enie przyk adu, w którym 28 klas zbiera o makulatur i ka da klasa uzbiera a 42 kg. Pyta ile kilogram_f3w makulatury zebra y cznie wszystkie klasy. Kieruj c czynno ciami ucznia proponuje mu aby policzy najpierw ile makulatury zebra o 20 klas a ile 8. Nast pnie pozwala uczniowi samodzielnie obliczy iloczyny oraz 8 42 rozdzielaj c 42 kilogramy makulatury na dwie paczki: jedn z 40 kg i drug z 2 kg. W ten sposób ucze sam oblicza: = ( ) ( ) = od 20 klas od 8 klas Przyk ad 2 (iloczyn jako pole prostok ta) Studentka odwo uje si do poj cia mno enia jako pola prostok ta i proponuje uczniowi nast puj c konkretyzacj. N: Narysuj prostok t o wymiarach 28 na 42 i policz ile jest w nim kwadratów jednostkowych. U: (rysuje) N: Dla u atwienia podzielmy go na mniejsze prostok ty. U: (dokonuje podzia u zgodnie z sugesti rozk adu liczby dwucyfrowej na dziesi tki i jedno ci). 154

155 Rysunek sugeruje sposób liczenia. Ucze zauwa a, e na iloczyn sk ada si suma czterech iloczynów , a nie jak w jego propozycji tylko dwóch Dzi ki tej konkretyzacji ucze zauwa a b d i ma mo liwo samodzielnej poprawy. Postawa II ( rób wed ug wzoru ) Przyk ad. N: Wyobra sobie, e liczby to: A, B, C, D. Musisz pomno y ka d liter z ka d, adnej nie mo esz omin. ( A + B ) ( C + D ) = A C + A D + B C + B D N: Zast p litery odpowiednimi liczbami i porównaj ze swoim pierwszym zapisem. Studentka nie sprawdza czy ucze rozumie poj cie mno enia, nie redukuje abstrakcji, nie odwo uje si do do wiadcze dziecka jedynie poleca zastosowa znany sobie wzór (mnó ka dy z ka dym): Tym sposobem podaje dziecku instrukcj do wykonania, pokazuje JAK? a nie CO? ani DLACZEGO? Ucze ma tylko zapami ta i zastosowa przepis bez jakiegokolwiek zrozumienia. Taka wiedza jest bezu yteczna. W sytuacji gdy pami zawiedzie, ucze nie b dzie w stanie odtworzy potrzebnego fragmentu wiedzy. B dzie bezradny. Postawa III ( rób tak jak ja ) N: Tak nie mo na liczy.trzeba policzy najpierw ile jest 28 40, potem ile jest 28 2, a potem przedstawi to w jednym zapisie: = = = 1176 Studentka zignorowa a ucznia, wcale nie wykorzysta a jego pomys_b3u tylko zaprezentowa a w asne rozwi zanie: Nie wiadomo jednak jak obliczy a iloczyny i Nie pomog a uczniowi, jedynie narzuci a w asny sposób rozwi zania (zbyt trudny dla dziecka, gdy proponowane przez ni obliczenia wykraczaj poza zakres tabliczki mno enia). W tym przypadku ucze nie mia szansy zauwa y ani co le zrobi, ani nie dosta szansy na popraw swojego b du. Podsumowanie Przedstawione przyk ady ujawniaj ró ne postawy studentów wobec uczniowskich b dów. Niektórzy, aby pomóc dziecku odwo uj si do konkretnych sytuacji. Wskazuj trafne przyk ady, które pomagaj uczniowi odkry b d, a jednocze nie sugeruj poprawny sposób rozwi zania. Dzi ki nim ucze uzyskuje skuteczn pomoc i ma szans samodzielnej poprawy b du z pe nym rozumieniem swoich dzia a. W takiej sytuacji ma szans nauczy si matematyki. Jednak e nie wszyscy prezentuj tak po dane postawy. Cz sto steruj uczniem w celu doprowadzenia go do oczekiwanego przez siebie rezultatu ( rób tak jak ja, 155

156 przypomnij sobie prawo (regu ) i zastosuj je, zgadnij o co mi chodzi ), stosuj skróty my clowe oczywiste dla nauczyciela, a by mo e niezrozumia e dla ucznia. Dla tak uczonych dzieci jak zauwa a Hejny raz na zawsze szkolne liczenie zostanie zredukowane do zapami tania zbioru faktów i regu. aden nowy kawa ek wiedzy nie po czy si z ju istniej c. Co wi cej, wi kszo takich dzieci b dzie odrzuca wszelkie rodzaje wyja nie w matematyce. Ich strategia docelowa uczenia si b dzie oparta na prze wiadczeniu, e uczenie si arytmetyki polega na zapami taniu nowych danych i regu. Wszystko inne jest strat czasu (1997, s.21). Literatura 1. Booker G. (1989), Rola b dów w konstrukcji matematycznej wiedzy. Dydaktyka Matematyki 11, s Ciosek M. (1992), B dy pope niane przez ucz cych si matematyki i ich hipotetyczne przyczyny, Dydaktyka Matematyki 13, s Hejny M. (1997), Rozwój wiedzy matematycznej, Dydaktyka Matematyki 19, s Klus Sta ska D, Nowicka M. (2005), Sensy i bezsensy edukacji wczesnoszkolnej. WSiP, Warszawa. 5. Kopaczy ska I., (2000). Prawo do b du w procesie oceniania szkolnego jako element zintegrowanego systemu kszta cenia. [w:]: H. Kos tka, J. Ku ma (red.). Teoretyczne i praktyczne aspekty kszta cenia zintegrowanego. Wydawnictwo Naukowe AP, Kraków, s Kontaktni adresa Barbara Nawolska, doktor Instytut PPiS, Akademia Pedagogiczna, Kraków, ul. Ingardena 4 bnawol@ap.krakow.pl; bnawol@vp.pl Joanna d o doktor Instytut PPiS, Akademia Pedagogiczna, Kraków, ul. Ingardena 4 jzadlo@ap.krakow.pl; joannazadlo@poczta.onet.pl 156

157 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V OBRAZOVÉ REPREZENTACE V ŽÁKOVSKÉM EŠENÍ JEDNÉ SOUT ŽNÍ ÚLOHY Bohumil NOVÁK, Eva KUBÁTOVÁ Abstrakt Kvalifikovaný pohled u itele na ešení matematických u ebních úloh žákem primární školy je jedním z faktor, které mohou p isp t ke zkvalitn ní vyu ování matematice. V p ísp vku jsou prezentovány a diskutovány ukázky obrazových reprezentací, které použili žáci 5. ro níku ZŠ p i ešení jedné slovní úlohy ze sout že Matematický klokan. VISUAL REPRESENTATIONS IN PUPILS SOLUTIONS OF A COMPETITION PROBLEM Abstract A qualified teacher s view of primary school pupils solutions of mathematical problems is a factor which can help in improving teaching mathematics. In the contribution there are presented and discussed examples of visual representations used in solutions of a specific exercise of Mathematical Kangaroo by the 5th grade primary school pupils. 1. Úvod Pedagogický konstruktivismus a další sou asné humanisticky orientované pedagogické koncepce v nují pozornost žákovi jako hlavnímu aktéru vyu ovacího procesu. Na výsledcích experimentálních výzkum se dokládají epistemologické p ekážky u ení, poukazuje se na individuální obtíže žák p i u ení se matematice, hledají se zdroje jejich obtíží a chyb. V uvedených projektech je redefinována role u itele od u itele jako hlavního zdroje informací pro žáka k roli u itele jako facilitátora, který uplatn ním svých rozvinutých psychodidaktických a komunika ních kompetencí vytvá í vhodné pracovní prost edí a žákovi tak pomáhá v osvojování poznatk jako jeho vlastních individuálních konstrukt. U iteli primární školy poskytují p íležitost pro následnou individuální nebo kooperativní (kolektivní) reflexi také žákovská ešení u ebních úloh. Detailn jší pohled umož uje nejen detekci a identifikaci typických použitých postup (strategií) ešení, ale také odhalení zvláštních výkon žák. Pro u itele p ináší tato analýza otázky typu: Které obtíže mohou vyvstat p i porozum ní žákovským produkt m? Jaké interpretace žákova výkonu jsou možné? Které ne ekané obtíže se p itom objevily (odchylky od dosavadních vlastních zkušeností u itele nebo od údaj uvád ných v literatu e)? 157

158 2. Teoretické a metodologické východisko Jako vhodný materiál k následné analýze jsme využili žákovských ešení úloh ze sout že Matematický klokan v roce V tomto lánku v nujeme pozornost ešení jedné slovní (kontextové) úlohy n kolika žáky 5. t ídy, v níž vyu uje spoluautorka p ísp vku (celý výzkum je popsán a interpretován v práci Kubátová, 2005). Stejn jako v ad dalších výzkum (uve me alespo p ístup Prídavkové, 2004 ke zkoumání ešitelských strategií student u itelství) má náš pokus umožnit hloub ji proniknout pod povrch žákova ešení, p isp t k objevení a popisu jeho myšlenkových proces. Povšimneme si pouze jednoho aspektu souvisejícího s žákovským ešením zp sob uplatn ní obrazového záznamu. (Je t eba uvést, že vzhledem k charakteru úloh v sout ži sloužily písemné záznamy žák pouze jako soukromé a nepovinné poznámky žák. Nebylo je tedy možno považovat za závaznou a požadovanou sou ást ešení slovní úlohy.) P edm tem naší analýzy se stala ešení úlohy, ozna ovaná jako zmocn ní se úlohy s porozum ním (Cannizzaro, 1995). Grafický model/obrazový záznam zde vzniká jako produkt ešitele. Je spontánním projevem jeho vizuální gramotnosti, jeho schopnosti vytvá et a používat obrazy, p evést situaci úlohy vyjád enou textem do obrazové podoby (Mareš, 1995). Obrazovou reprezentací rozumíme jakýkoliv autentický obrazový záznam ešitele, vztahující se k úloze, jímž ešitel zachytí informace uvedené v zadání ve form schématu nebo obrázku, které s r znou mírou v rnosti odpovídají kontextu slovní úlohy (Novotná, 2004 používá v této souvislosti termín obrazová legenda). Obrazový záznam (nákres, obrázek, ná rtek), v n mž jednotlivé elementy úlohy a vztahy mezi nimi vystupují v podob externích reprezentací poznatk umož ujících mentální reprezentaci ešených problém, má obvykle charakter znázorn ní konkrétních objekt (p edm t fyzikálního sv ta) nebo jejich zástupc (postavy, kroužky, árky, ). Obvykle je p i ešení slovní úlohy kombinován s jiným znakovým systémem (referen ním jazykem) - numerickým (pomocí symbol ísel i po etních operací) nebo slovním (vyjád ením v p irozeném jazyce). 3. Obrazové reprezentace v žákovském ešení úlohy Vybrali jsme úlohu, kterou bylo možné ešit i v aritmetickém rámci, bez obrazového záznamu ešení. Zadání úlohy však dovolovalo nebo p ímo nutilo žáky k pokus m o provedení vlastního osobitého zp sobu záznamu. Petr a Jakub spolu chodí do jedné t ídy. P i hodin t lesné výchovy se celá t ída se adila podle velikosti do jedné ady. Za Petrem stálo 16 spolužák. Jedním z nich byl Jakub. P ed Jakubem stálo 14 spolužák. Mezi Petrem a Jakubem stálo 7 d tí. Kolik žák stálo v ad? Pokusíme se o interpretace obrazových reprezentací, uplatn ných jednotlivými žáky. Liší se navzájem zp sobem záznamu a po adím zpracování informací - pro vlastní ešení t í relevantních podmínek úlohy: a) za Petrem stálo 16 spolužák, jedním z nich byl Jakub, b) p ed Jakubem stálo 14 spolužák, c) mezi Petrem a Jakubem stálo 7 d tí. V naší analýze jsme se setkali se záznamy, kterých ešitelé využili ke správnému ešení úlohy, nebo které ke správnému ešení nevedly. 158

159 4. 1 Obrazové reprezentace vedoucí ke správnému ešení Jirka Nejprve nakreslil postavu Petra (ozna il písmenem P a kroužek znázor ující hlavu za ernil ) a za ním ve sm ru zleva doprava - vyzna il 16 postav spolužák. Poté evidoval t etí podmínku úlohy ( mezi Petrem a Jakubem stálo 7 d tí ) a vyzna il postavu Jakuba (ozna il písmenem J a vybarvil kroužek ozna ující Jakubovu hlavu). Obrazový záznam poslední podmínky úlohy (v textu ovšem uvedené jako druhé p ed Jakubem stálo 14 spolužák ) již umožnil p e íst z obrázku ešení úlohy: na obrázku je celkem 23 žák, jejichž azení respektuje všechny podmínky úlohy. Správné grafické ešení transformoval do podoby íselného údaje (23) a nadepsal nad obrázek. Tomáš Další správné ešení úlohy je obdobn jako u p edchozího ešitele založeno na záznamu výchozích podmínek. Místo schematického znázorn ní postav d tí je však užito abstraktn jšího znázorn ní pomocí ar, reprezentujících jednotlivé žáky v ad. Výchozí a pro popis postupu ešení úlohy významnou informací je vzájemné postavení Petra a Jakuba: Hanka V jejím ešení se objevuje kombinace znázorn ní schematizovaných postavi ek a jiných, abstraktn jších symbol (k ížk ). Stejn jako u p edchozího ešitele bylo druhým krokem ešení p edb žné, nahodilé ozna ení pozice Jakuba (t etí k ížek zprava) a teprve poté následovala korekce jeho postavení po zaregistrování dalších informací. P vodní chybné ozna ení Jakuba sice není p eškrtnuto, ale p i respektování zbývajících podmínek zadání úlohy (a tedy i zm n né pozice Jakuba) vede záznam ke správnému ešení Obrazové reprezentace vedoucí k nesprávnému ešení Marek Ke znázorn ní d tí stojících v ad použil kroužky. Rozlišil p itom bezejmenné d ti (ozna ené prázdnými kroužky) a Petra a Jakuba (ozna il je vypln nými kroužky a nadepsal jmény). Svým zna ením je situace obdobná jako u ešení Jirky, s tím rozdílem, že je zde zam n na pozice obou chlapc (vpravo, vlevo). 159

160 P i vyzna ení po tu spolužák stojících za Petrem došlo k chyb. Místo v úloze vystupujících 16 žák jich bylo vyzna eno pouze 15, což v kone ném d sledku p es další správn vyzna ené podmínky úlohy - vedlo k nesprávnému p e tení po tu žák v ad a tedy k nesprávnému ešení úlohy. Ani ka Užila kombinace obrazového a numerického záznamu. Vykazuje znaky vyšší abstrakce, vztahy mezi pozicemi Petra a Jakuba jsou vyjád eny šipkami. ešení považujeme za zajímavé p edevším proto, že ilustruje úskalí nedostate n zvládnutého použití abstraktn jší symboliky písemného záznamu v kontextu celého ešení. Ze záznamu je patrné, že intuitivn zaregistrovala a správn ozna ila vzájemnou pozici obou chlapc. P esto správn symbolicky zakresleného vztahu p i dalším postupu ešení úlohy nevyužila a prost se etla všechny t i kvantitativní údaje zadání ( ). Domníváme se, že vyzna ení postav považovala za zdlouhavé a zbyte né, ale p i dalším ešení nezvládla pracovat s abstraktní symbolikou, kterou si pro záznam úlohy zvolila. ešení je nesprávné. Ota Ke znázorn ní podmínek úlohy v zadání je užito úse ek úse kou jsou vyjád eny ady žák stojících za Petrem, p ed Jakubem i mezi ob ma chlapci. Situace je obrázkem vyjád ena správn (v etn uvedení íselných vztah ), nesprávný je numerický výpo et. K sou tu obou vypo tených rozdíl ( ísl m 9 a 7) bylo nutno ješt p i íst po et 7 d tí, stojících mezi ob ma jmenovanými chlapci. Obtížné a zárove klí ové pro žáky bylo vytvo ení p edstavy žák dané t ídy stojících v ad. asto se opakující motiv schematických postav zachycených z elního pohledu reflektuje reálnou zkušenost d tí s azením nap íklad v t lesné výchov. Žádná z obrazových reprezentací by pak nemohlo spl ovat podmínku stát za svým spolužákem (v zástupu), ale pouze vedle n ho (v ad ). P edložky p ed a za vlastn vyjad ují pozici vedle - jednou vpravo, pak vlevo. Výjimkou je obrazový záznam Zuzky. A jsou v n m žáci zaznamenáni symbolicky, stojí skute n v zástupu, tedy za sebou. 160

161 Zuzka. První pokus se opíral o záznam vpravo (následn p eškrtnutý). V p vodním Zuz in zpracování chybí vztah mezi postavením Petra a Jakuba správn vyjád ený po tem spolužák stojících mezi nimi (místo správných 7 je znázorn no nesprávných 14). Ve druhém pokusu o ešení Zuzka jakoby zpracovávala informace od konce. Mezi Petrem a Jakubem je správn zazna eno 7 žák, p ed ním stojí 14. Není ale respektována další podmínka (za Petrem je 16 žák ). Ze znázorn ní je z ejmé, že ešení je nesprávné, i když v odpov di je uveden údaj správný. Ke správnému íselnému vyjád ení výsledku (23) dosp la na základ nesprávného úsudku se tením Petra, 7 žák stojících mezi ním a Jakubem, Jakuba a 14 žák stojících za Jakubem. Detailní analýza ešení Zuzky a jejího obrazového záznamu p esv d iv ukazuje význam práce u itele s žákovskými pracemi zam ené na identifikaci a interpretaci chybného ešení. Dan Nesprávné ešení je kombinací obrazového záznamu a numerického výpo tu. Obrázek je pouhou ilustrací kontextového prost edí úlohy. Dan zaznamenal nejen adu žák, ale prost edí t lesné výchovy vyjád il fotbalovým h išt m v etn oznámení vyu ující o následujícím programu (fotbalovém utkání) a emotivních souhlasných výk icích žák. 161

162 6. Záv r Cílem našeho šet ení nebylo posuzovat správnost i nesprávnost ešení úlohy, ale pouze zachytit autentické podoby obrazových reprezentací a pokusit se interpretovat myšlenkový postup žáka. Domníváme se, že nazna ený p ístup m že být p esto využit p i analýze chybného výkonu žáka ve smyslu identifikace a interpretace chyby. V obrazových reprezentacích použitých jednotlivými žáky se z eteln projevuje síla kontextové stránky úlohy (nákresy reálných postav i p edm t v reálných situacích, zadaných v úloze), která p i uchopení úlohy hraje dominantní roli. Žáci 5. ro níku použili znázorn ní úse kami spíše výjime n (Ota). Jednotlivé informace transformují do obrazové podoby postupn, v po adí, daném formulací zadání úlohy. P itom se projevují obtíže, vedoucí asto k nesprávnému ešení (nesoulad mezi mentální a externí, tj. obrazovou reprezentací, mezi obrazovým, numerickým a slovním vyjád ením, nepostižení vzájemné souvislosti jednotlivých díl ích informací ze zadání). Jak nazna uje Nezvalová (2000), jedním z element reflexe a sebereflexe innosti u itele se m že stát celý komplex problém souvisejících s prací s u ebními úlohami v matematickém vyu ování: výb r úloh z hlediska jejich didaktických funkcí ve vyu ování, design i aranžmá úloh, zp sob reprezentace jejich matematických obsah, stupe obtížnosti a další aspekty v etn reflexe komunika ních a interak ních struktur, které ve vyu ovací hodin p i ešení úloh vznikají (interakce žák u itel, žák žák). Literatura 1. CANNIZZARO, I. On Insight in Problem Solving Aktivity. In: International Symp. Element. Math. Teaching. Prague: 1995, pp GAVORA, P. Žiak a text. Bratislava: SPN, ISBN KUBÁTOVÁ, E. U ební úlohy ze sout že Matematický klokan a jejich ešení žákem primární školy. Olomouc, Diserta ní práce. Univerzita Palackého v Olomouci, Pedagogická fakulta. 4. MAREŠ, J. U ení z obrazového materiálu. Pedagogika, 1995, ro. XLV,. 4, s NEZVALOVÁ, D. Reflexe v pregraduální p íprav u itele. Olomouc: UP, ISBN NOVOTNÁ, J. Zpracování informací p i ešení slovních úloh. In: HEJNÝ, M., NOVOTNÁ, J., STEHLÍKOVÁ, N. (eds.) Dvacet p t kapitol z didaktiky matematiky, 2. díl, s Praha: Univerzita Karlova Pedagogická fakulta, ISBN PRÍDAVKOVÁ, A. Matematická úloha ako prostriedok rozvoja poznávacích funkcií. In: Acta Paedagogicae. Annus III. Prešov Olomouc. Acta Fac. Paed. Univ. Presoviensis. Prešov: 2004, s ISBN Kontaktní adresa Bohumil Novák, doc. PhDr., CSc., Mgr. Eva Kubátová, Ph.D., Katedra matematiky Pedagogické fakulty UP v Olomouci, Žižkovo nám. 5, Olomouc Telefon: bohumil.novak@upol.cz, ekubatova@ .cz 162

163 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V PO ÍTADLÁ A VÝVOJ ALGORITMOV ZÁKLADNÝCH ARITMETICKÝCH OPERÁCIÍ Edita PARTOVÁ Abstrakt V príspevku sú uvedené ukážky algoritmov základných aritmetických operácií na rôznych po ítadlách. Skúmaním po ítania na týchto po ítadlách budúci u itelia 1. st ZŠ môžu objavi pôvod v sú asnosti používaných algoritmov, a tento poznatok neskôr uplatni vo vlastnom vyu ovaní. ABACUS AND THE DEVELOPMENT OF ALGORITHMS OF BASIC OPERATIONS WITH WHOLE NUMBERS Abstract The article describes several types of algorithms of operations with different calculators. Using of counters can help elementary school teachers to understand these algorithms and to develop children s computation skills. Úvod U ivo o základných operáciách a ich algoritmoch je na 1. stupni základnej školy jedným z najrozsiahlejších tematických celkov. Vyu ovacie ciele uvedené v u ebných osnovách sú zamerané na poznanie a pohotové používanie písomných a pamä ových algoritmov, preto je pre budúceho u ite a pre 1. st. ZŠ dôležité pochopi tieto algoritmy, vysvetli ich podstatu žiakom a asto aj posúdi i žiakom objavený a používaný algoritmus je správny. V sú asnosti v odbornej literatúre sa uvádzajú už trojaké algoritmy základných operácií: pamä ové, elektronické a písomné - v tomto poradí. Preto považujeme za nutné oboznámi študentov s algoritmami po ítania na elektronických po ítadlách. ale aj spôsobom po ítania na mechanických po ítadlách vrátane zahrani ných a historických. Algoritmy, ktoré v sú asnosti používame vo vyu ovaní aj v praxi boli pravdepodobne objavené pomocou po ítadiel, preto je dobré ak študent elementaristiky má možnos sa oboznámi s metódami po ítania na rôznych po ítadlách. Vidíme to aj v sú asnosti, ke napríklad rôzne kalkula ky vyžadujú rôzne algoritmy (aritmetická, algebrická) alebo kalkula ka na mobilnom telefóne vyžaduje iný postup ako klasická kalkula ka. Princíp po ítania na mechanických po ítadlách U nás ale dá sa poveda, že v celej strednej Európe je najrozšírenejšie tzv guli kové po ítadlo, na školách sa používa stovkové aj dvadsiatkové. S ítanie a od ítanie na tomto po ítadle vyžaduje ovládanie desatinného rozkladu ísla, všetky rozklady desiatky na dva s ítance a rozklady jednociferných ísel na dva s ítance. Na obrázku 163

164 1 je ukážka základného spoja s ítania a od ítania s prechodom cez desiatku: 7+6, V tomto je štandardný postup pre s ítanie: 7+6 =7+(3+3) = (7+3)+3 =10+3=13 a pre od ítanie: 13-6= (10+3) (3+3) = = 10-3=7. pri praktickom po ítaní niektoré úkony robíme spamäti a niektoré posúvaním gu ô ok. obrázok 1 Niektoré po ítadlá sú vyrobené tak. že 5 a 5 gu ô ok je zafarbených rôznou farbou. Farebnos nie je samoú elná, ale znázor uje alší možný postup po ítania. Ak ide o s ítanie dvoch jednociferných ísel vä ších ako 5 je možné postupova takto: = (2 + 5) + (5 +3) = 2+(5+5)+3=2+10+3=10+2+3=10+5=15.V takomto prípade sú s ítance rozložené na 5+x, pri om x 5, teda sta í si zapamäta rozklady 5 a základné spoje do 5. ínsky Suan Pan sa skladá z guli iek navle ených na bambusove ty e, ktoré sú upevnené v ráme. Stredná vodorovná ty delí po ítadlo na dve asti a slúži na vyzna enie ísel s ktorými pracujeme. Guli ky v hornej asti majú hodnotu 5, v dolnej asti majú hodnotu 1. V rôznych st pcoch sa vyzna ujú íslice rôznych rádov. Napriklad íslo 7 sa znázor uje tak, že sa prisunie k strednej prie ke 1 guli ka z hornej asti a 2 guli ky z dolnej asti. Na tomto po ítadle sa aj niektoré základné spoje znázor ujú odlišným spôsobom ako na našom guli kovom po ítadle. a) b) c) obrázok 3 obrázok 2 Uvažujme o úlohe Najprv prisunieme 3 jednohodnotové guli ky k strednej prie ke ale už nemôžeme prida alšie 4, preto úlohu riešime pridávaním jednej pä hodnotovej guli ky a odoberaním 1 jednohodnotovej. Uvedieme ukážku riešenia úlohy na ínskom po ítadle (obrázok3). Bielou farbousú vyzna ené guli ky, ktoré boli presunuté. Na tomto príklade vidíme znázornenie nahradenia dvoch pä hodnotových guli iek rádu jednotiek za jednu jednohodnotovú guli nu rádu desiatok. Matematický zápis úlohy lepšie ukáže odlišnos v spôsobe uvažovania: = = 30+ ( ) = V tomto prípade sme nepotrebovali rozklad ísla 6, ale jednoducho sme znázornili základny spoj 7+6=13. Potom treba rozloži 13 na 10+3 a desa jednotiek zameni za jednu desiatku. 164

165 ínsky abakus sa dostal do Japonska, a asom sa zmenil na Soroban, ktorý obsahuje v hornej asti rámika jednu pä hodnotovú a v dolnej štyri jednohodnotové gu ô ky na každej ty i. V roku 1938 bola technika používania Sorobanu zaradená do základných škôl a tento stav pretrváva aj v sú asnosti. Úloha sa rieši na sorobane takto: vyzna íme na po ítadle (obr.4a). V st pci jednotiek nemôžeme prida 5 gulô ok, preto pridáme 1 jednohodnotovú gu ô ku v st pci desiatok a odoberieme 1 pä hodnotovú v st pci = 62 jednotiek (obr.4 b). Nasleduje pridávanie 3 desiatok, o riešime tak, že pridáme 1 pä hodnotovú guli ku v st pci desiatok a) b) c) Obr.4 riešenia danej úlohy môžeme vyjadri : 27+35= =27+(10-5) +30= 32+30=32+(50-20)=62. a zárove od ítame 2 jednohodnotové guli ky toho istého rádu (obr.4c). Tento algoritmus je pod a skúseností s našimi po ítadlami (guli kové po ítadlo, prsty) príliš komplikovaný. Akonáhle použijeme soroban, algoritmus sa stane logickým a jednoduchým. Matematický zápis V Európe sa dlhé stáro ia používala rímska íselná sústava. Táto sústava je aditívna, nie je pozi ná, nepozná znak 0. ísla sa zapisujú opakovaním znakov. Znaky I, X, C, M sa môžu opakova najviac 3-krát, ale znaky V L, a D sa nemôžu opakova. Ak sa má opakova znak štvrtýkrát odpo ítame jeden znak od znaku o 1 rád vyššieho rádu, napr. 4 = IV, 90 = XC. itate ovi sú pravdepodobne známe obrazy znázor ujúce rímske guli kové po ítadlo. Na doske boli vyzna ené linky na ktoré pri po ítaní kládli kamienky. Jednotlivé linky ozna ovali mocniny desiatok. Medzi linkami sa vyzna ovali pä násobky mocnín desiatok. Spôsob po ítania je ilustrovaný na obr.4. Matematicky by sme mohli vyjadri tento spôsob zápisom = 20 + (2+5) = (20+30) + (5+5)+ 2 = = =62. Pri od ítaní postupujeme obrátene : LXII-62 ( ), jedna pä desiatka sa rozloží na 5 desiatok. odoberieme 3 desiatky, zo zvyšných 3 desiatok jednu desiatku rozložíme na 2 pä ky a jednu 5 odoberieme. výsledok je 2 desiatky 1 pä ka a 2 jednotky, o je = 62 M C X I Obr.4 165

166 V školskej matematike sa používa pomôcka skladajúca sa z kociek. Základné kocky po10 tvoria ty inky, tie po10 dosky a dosky po10 ve kú kocku. Táto pomôcky je známa aj na Slovensku, ale najmä v zahrani í (USA, Anglicko, Japonsko) je sú as ou vybavenia škôl objavuje sa v u ebniciach a na internete je dostupná v nieko kých interaktívnych verziách. Predovšetkým sa používa pri objasnení pozi ného zápisu ísel, ale takmer všade sa demonštruje touto pomôckou aj s ítanie a od ítanie s prechodom cez desiatku. Aj v reálnom aj v elektronickom tvare sa ahko dá znázorni vznik jednej desiatky zlú ením jednotiek a premiestnenie tejto desiatky na miesto desiatok. Podobne pri od ítaní skuto ne môžeme rozmeni desiatku na jednotky a tie premiestni na miesto jednotiek. N obrázku 5 je znázornené íslo124. stovky desiatky jednotky obrázok 5 Pravdepodobne preto je vo vymenovaných krajinách rozšírenejšia metóda na od ítanie s prechodom cez desiatku rozmie aním lebo to priamo vychádza z používania po ítadla. Elektronické po ítadlá Na koniec sa uvažujme o algoritmoch s ítania a od ítania na kalkula ke. Zdanlivo ide o mechanické stlá anie tla idiel, bez nároku na matematické uvažovanie. V skuto nosti pri po ítaní na kalkula ke sú potrebné mnohé poznatky o operáciách, ale úplne iné ako napr. pri písomnom algoritme alebo pri po ítaní na guli kových po ítadlách. Predovšetkým je tu problém skrytého procesu po ítania, nevidíme ako pracuje kalkula ka, preto je nutné vopred rádovo odhadnú výsledok. Tento odhad dáva prvotnú informáciu o správnosti výsledku. Odhad, samozrejme, nenahradí skúšku správnosti, ktorá má mimoriadny význam pri po ítaní na kalkula ke. K tomu, aby sme vedeli urobi skúšku správnosti je nutné pozna vz ahy medzi operáciami navzájom inverznými. Na školách pravdepodobne naj astejšie sa stretávame s problémom rešpektovanie nadradenosti operácií na kalkula kách. Niektoré rešpektujú prednos násobenia a delenia (algebraické kalkula ky) niektoré nie (aritmetické kalkula ky). vlastnostiam kalkula ky musíme prispôsobi aj postup zadávania ísel a zátvoriek. alšou požiadavkou pri po ítaní na kalkula ke je spôsob opravy nesprávne zadaného ísla. Tento poznatok je dôležitý najmä, ak ide o tzv. re azové po ítanie. Najnovšie elektronické po ítadlo, ktoré študenti používajú je kalkula ka na mobilnom telefóne. Na 166

167 mobile vä šinou je možné z klávesnice zadáva len ísla a opera né znaky sa zadávajú z displeja posúvaním kurzora. Záver Uvedené ukážky považujeme za dostato ne podnetné k tomu, aby presved ili itate a o užito nosti skúmania rôznych algoritmov. Stále dôraznejšie sa objavuje vo vyu ovaní matematiky požiadavka presúva ažisko vyu ovania z odovzdávania faktografických poznatkov na osvojenie metód uvažovania a riešenia problémov. Oboznámenie sa s rôznymi algoritmami operácií vo vyu ovaní elementárnej matematiky môže zna ne prispie k plneniu týchto cie ov. V rámci matematickej prípravy u ite ov elementaristov na našej fakulte už pä rokov ponúkame kurz Vývoj prirodzených ísel. Približne polovicu kurzu venujeme práve po ítadlám. Študenti považujú prácu s po ítadlami za hra ku dovtedy kým nemusia rieši konkrétnu úlohu. Pri h adaní riešenia sa asto stretávame s objavnými výkrikmi a konštatovaniami to je zaujímavé, to je komplikované, už tomu rozumiem, dokonca niektorí študenti si vyrobia po ítadlo. Tieto poznatky by sa nemali obmedzi len pre študentov ktorí si vyberú kurz Vývoj prirodzených, preto sa snažíme v rámci didaktiky matematiky demonštrova niektoré algoritmy základných operácií s prirodzenými íslami na rôznych po ítadlách. Študenti sa takto nau ia uvažova o problémoch po ítania, ktoré sa môžu vyskytnú pri vyu ovaní na základnej škole. V rámci projektu KEGA 3/3073/05 v spolupráci s PdF PU v Prešove a FSŠ UKF v Nitre pripravujeme elektronickú u ebnicu didaktiky elementárnej matematiky, do ktorej ur ite zaradíme prácu s po ítadlami. Už v sú asnosti existuje mnoho interaktívnych po ítadiel na internetových stránkach, ale vä šinou nie v sloven ine. Naša u ebnica si kladie za cie rozobra metódy po ítania z poh adu u iva 1.st. ZŠ. Veríme, že prinesie všetkým itate om užito né poznatky. Literatúra 1. Hejný, M. a kol.: Teória vyu ovania matematiky 2.SPN, Bratislava, 1988, ISBN Ifrah,G.:The universal history of numbers. John Wiley & Sons, Inc.2000, ISBN Kontaktní adresa Partová, Edita, Doc., RNDr. CSc. Univerzita Komenského v Bratislave, Pedagogická fakulta, Katedra matematiky Ra ianska Bratislava partova@fedu.uniba.sk 167

168 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V THE 2003 TEST IN MATHEMATICS FOR 9TH GRADE IN OSLO Vivi PEDERSEN, Gunnar GJONE Abstract Every year the city of Oslo has a special test for pupils in mathematics. The test we focus on was given in grade 9 in the spring of In this paper we present the results of pupils performance on some selected problems from the test given. We had constructed the test, and got the school authorities permission to include some problems of a more diagnostic character, to give information on possible misconceptions in mathematics. We have surveyed the results for 440 pupils, and this gives us a fairly reliable measure of performance among the pupils in Oslo. TESTOVÁNÍ MATEMATICKÝCH ZNALOSTÍ ŽÁK V OSLU Abstrakt Každým rokem se v Oslu provádí speciální testování sloužící k ov ování matematických znalostí žák. Test, na který se v p ísp vku zam íme, byl zadán na ja e roku 2003 devátému ro níku základní školy a v lánku uvádíme výsledky žák pouze ve vybraných úlohách tohoto testu. Náš test, jenž byl schválen školními orgány, zahrnoval jisté problémy diagnostického charakteru a jeho ú elem bylo získání informací o p ípadných nesprávných matematických p edstavách. Prozkoumali jsme výsledky 440 žák a dostali tak pom rn spolehlivý odhad matematických znalostí žák na území celého m sta Oslo. Introduction In Norway we have a compulsory school which with a few exceptions are organized and run by the authorities. The compulsory education is divided into two stages, primary stages comprising grades from1 to 7 and lower secondary stage comprising 8 to10. In 1997 the compulsory school was extended from 9 to 10 years. The students now start at school when they are six years old, and all the children in Norway have the same curriculum in the first ten years. After that they can choose different ways in upper secondary school. In our curriculum in mathematics the practical use of mathematics is very important and pure mathematics has a smaller place in lower secondary school. We do not have too much theory of algebra and equations, but we have a lot of word problems concerning problems from the practical life, relationships in society. In the new curriculum exploration and investigation are key-words, and this means that it is important for the students to work with investigation in the lessons. The curriculum invites the students themselves to look for a pattern to see if they are able to find the algorithms. 168

169 The Structure of the Subjects: Main stages Lower Mathematics in secondary everyday life stage (8-10) Intermediate Mathematics in stage (5-7) Primary stage (1-4) everyday life Mathematics in everyday life Numbers and Algebra Geometry Handling Data Numbers Geometry Handling Data Numbers Space and Shapes Intermediate Graphs and functions Stage 8-10 have for the 3 years a total of 11 weekly lessons (e.g ) Stage 5-7 have for the 3 years a total of 11,5 weekly lessons Stage 1-4 have for the 4 years a total of 14 weekly lessons For an overview of the curriculum in English, see Norwegian Ministry of Church, Education and Research (1997). In the city of Oslo a special test of mathematics is given every year. The purpose of this test was initially to increase quality in mathematics education. The structure of the test The test consists of 3 parts, Part 1, 2 and 3. The total amount of time for the whole test was 5 hours. The pupils could use calculators during the whole test. For most students this was a simple 4-function calculator provided by the school. Part 1 consists of shorter problems and the pupils are supposed to write the answer on the problem sheet. For the other parts the pupils wrote up their solutions on separate sheets of paper. The tests were graded by the teacher. The test for 2003 We were engaged by the school council on Oslo to make the test for the year When we took the responsibility for constructing the test, we also included so-called diagnostic problems to get information on possible misconceptions among the students (Gjone, 1999). The pupils had the test in April. For the test we were asked to provide the school authorities with some data on pupils performance. For this project we asked to have Part 1 returned to us, so that we could go through the test looking for different types of answers that might show misconceptions. Also the school authorities in Oslo were interested in getting an overview of pupils performance on different types of problems. This paper is an extract of our report to the school authorities. We surveyed 440 pupils. We developed a coding scheme for the different alternatives we found for solutions. The coding was inspired by a similar coding used in some diagnostic tests in Norway. We have selected some of what we consider to be interesting problems that gave diagnostic information. Overview of problems and alternative solutions. Problem 4 In these problems the students should continue the pattern of the numbers. The numbers were chosen to see if they managed the transition to go above 1,0 when adding 0,3. 169

170 Write the following numbers in this sequence a) 0,3 0,6 0,9 Frequency Percent No answer 3,7 Correct ,8 0,12 and 0, ,8 1,1 and 1,4 4,9 12 and ,3 Other answers 42 9,5 Total ,0 Table 1. Frequencies of different answers for problem 4a) As shown in the table above almost half of the pupils managed the correct answer, but one third of them carried out the expected mistake, they did not managed to go further from 0,9. One possible explanation is that the pupils look at the decimals as a pair of whole numbers instead of one number. Most of the pupils tried to solve this problem, hence few no answers Write the following numbers in this sequence b) 1,15 1,13 1,11 Frequency Percent No answer 5 1,1 Correct ,9 1,9 and 1, ,5 0,9 and 0, ,9 Other answers 33 7,5 Total ,0 Table 2. Frequencies of different answers for problem 4b) The different answers in this problem show similar difficulties as in the first 2 problem. In the answers 1,9 and 1,7 they do not manage to distinguish between and in the calculations. Also other interpretations are possible e.g. that they see decimals as pairs of natural numbers. Problem 6 (Students can choose to answer problem a or problem b) a) Solve the equation: 5x 9 2x 24 Frequency Percent No answer 54 17,5 Correct ,5 3x= ,6 7x=33 eller x=33/7 15 4,9 7x=15 8 2,6 Other answers 80 26,0 Total ,0 Table 3. Frequencies of different answers for problem 6a) 170

171 b) Solve the equation and make a test that shows you have the right answer. 2x 4( x 1) 3x 8 Frequency Percent Correct 57 43,2 Correct no test 27 20,5 Correct, wrong test 17 12,9 x=3 3 2,2 Other answers 28 21,2 Total ,0 Table 4. Frequencies of different answers for problem 6b) As mentioned earlier the alternative a) was meant to be easier than problem b). It shows that in our group of pupils it was 308 that tried to solve alternative a), but only 132 tried the harder problem. The frequencies are calculated for each group and it shows that the percents making it correct are nearly the same for each group. In problem b) the pupils should also make a control of the calculation. If we look only at the correct solution of the equation in problem b) almost 2/3 of the pupils have a correct solution. Problem 8 Give an estimate with a decimal number how large part of the rectangle is marked grey. Put a circle around the right number. 6,15 0,6 6,9 0,4 Frequency Percent No answer 8 1,8 Correct ,9 0, ,7 6, ,7 6,9 28 6,4 Other answers 2,5 Total ,0 Table 5. Frequencies of different answers for problem 8 The difficulties of this problem is the relationship between decimal and fractions. Only about half of the pupils have a correct solution. The pupils that have marked more than one solution are in the category other answers. Several pupils marked the answer 6,15 which can be explained that they look at decimals as pair of numbers. The answer 6,9 can be given for the same reason, but here they have looked at the ratio between the white and the gray squares. Other pupils have answered 0,6 which might be interpreted that they counted the grey squares and not looked at the whole figure. 171

172 Problem 9 In this problem there are 3 questions. The two first questions are to control that the students know how to calculate without a calculator. Since the pupils are able to use a calculator in the whole test, they shall in this problem demonstrate how they carry out the calculations. The third question concerns writing a story to go with a calculation. Show how you will perform the calculations without a calculator. a) 2691 : 23 About 2/3 of the pupils solved this problem correctly, but we should notice that 80 pupils did not give any answer or only wrote the text of the problem. (Totally close to 20 %) Show how you will perform the calculations without a calculator. b) 14 9,90 Frequency Percent No answer 46 10,5 Correct ,0 Correct without calculations 5 1,1 Only one decimal in the answer 74 16,8 Wrong answer, correct method 3,7 Only stated the problem formulation 6 1,4 Other answers 64 14,5 Total ,0 Table 7. Frequencies of different answers for problem 9b) Since this problem is not connected with measure we accepted one decimal in the answer, hence ¾ had a correct answer. But even in this problem many pupils that did not try at all. The third problem was of a different type. Here the pupils should make a text which gave the expression (multiplication or division) in problem a) or b) as a result. They could choose if they want to use the calculation in a) or b) c) Make a situation (text) which will have the calculation in problem a) or in problem b) as a result. You might freely choose which units to use. Frequency Percent No answer 51 11,6 Meaningful problem, 9A with money ,5 Meaningful Problem,9A other context 20 4,5 Meaningful Problem 9B, with money ,3 Meaningful Problem, 9B other context 8 1,8 Problem, used other numbers 29 6,6 Other answers 47 10,7 Total ,0 Table 8. Frequencies of different answers for problem 9c) More than 70% of the pupils solved this problem. Most of the pupils used money in the context. (This was to be expected since 9,90 is a common amount used for prices). 172

173 Problem 11 In this problem the pupils should draw the graphs of two functions. In the first problem the function was given on standard form, in the second function the form was somewhat non-standard for these pupils. Here you have two functions. Draw the graphs. a) y = x + 3 b) y = 5 x Frequency Percent No answer ,5 Correct graph ,0 Intersection correct y axes, increase wrong 10 2,3 Drawn the graph y=x 24 5,5 Only marked coordinates (0,5) 8 1,8 Marked other coordinates on graph 12 2,7 Marked coordinates not on the graph 50 11,4 Total ,0 Table 10. Frequencies of different answers for problem 11b) Many pupils did not try at all to solve the problems, especially part b). We observe that there were no big differences in frequencies for correct answers in a) and b). Some comments: In problem a) about 16,6 % of the pupils have only marked separate points instead of a connected graph. In problem b) the corresponding number of pupils was 15, 9 %. We interpret this as showing some uncertainty on what a graph is. Some of the pupils have also drawn the graph for the function y = x (8% in problem a), and 5, 5 % in problem b)). This strengthens our assumption that the pupils did not know what we mean with a graph for a function. Concluding discussion The test had several different purposes. One purpose was to identify problematic issues in mathematics. Another was to give input to teachers about student misconceptions. A third purpose was to get an overview how the situation is inside Oslo. We remark that graphical representation of functions (Problems 11a) and 11b) ) appears as problematic. This is no surprise, since several investigations show that this is a problematic area in school mathematics at this stage in Norway. A third purpose was to look at the situation inside Oslo. We also looked at the data from 3 different schools and found that there was a systematic difference in performance. We have not presented these data here, since this is more of a local issue. A test like this will give us data concerning pupils, teachers and schools. However, it will be necessary to perform further analysis to get more reliable information. References 1. Gjone, G. (1999) Pupils alternative conceptions in mathematics. In Cihlá, J. (ed.) Chech Polish Mathematical School 99. Acta Universitatis Purkynianae Norwegian Ministry of Church, Education and Research (1997) Norwegian curriculum in mathematics 3. grades

174 Contact address Gunnar Gjone Dept of Teacher Training and School Development, University of Oslo. P.O. Box 1099 Blindern NO-0317 Oslo Norway Tel: Vivi Pedersen Dept of Teacher Training and School Development, University of Oslo. P.O. Box 1099 Blindern NO-0317 Oslo Norway Tel:

175 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V REPREZENTACE P IROZENÉHO ÍSLA Šárka P CHOU KOVÁ Abstrakt V pr b hu celého školního roku probíhala v prvním ro níku základní školy ada na sebe navazujících experiment, jejichž cílem bylo zmapovat proces vytvá ení pojmu p irozeného ísla u žák prvního ro níku. Experimentátorka se zam ila na r zné reprezentace p irozeného ísla, nebo ty hrají významnou roli v procesu porozum ní. Každý u itel by m l tedy práci s reprezentacemi v novat maximální pozornost. REPRESENTATIONS OF NATURAL NUMBER Abstract During the whole school year the first grade pupils participated in a series of consequential experiments. The goal was to map out the process that the concept of natural number is formed in. The experimenter focused on various representations of natural number as these play an important role in the process of understanding, Therefore every teacher should pay close attention to the work with the representations. Úvod P i p íprav budoucích u itel bychom nem li zapomínat na práci s reprezentacemi. Ty totiž mají významnou roli v procesu chápání p irozeného ísla a uplat ují se tém ve všech fázích vývoje íselných p edstav lov ka. Vývoj íselných p edstav Prvotní íselné p edstavy se ve v domí dít te za ínají objevovat kolem druhého roku jeho života na základ životních zkušeností (Hejný, Stehlíková, 1999). Hovo íme o vyno ování Sv ta ísel ze Sv ta v cí. Sv t v cí malého dít te tvo í jeho p edstavy o v cech, událostech, vztazích okolního sv ta (rodi e, kostky, plá ). Sv t ísel je tvo en p edstavami o íslech a íselných vztazích. Proces vyno ování Sv ta ísel ze Sv ta v cí má dv složky verbální a sémantickou. Verbální složka se týká slov íslovek. Dít pochopí, že zvuky slova jedna, dva, t i pat í k sob, ale neumí je správn (smyslupln ) používat. Sémantická složka se týká významu íslovek a tento proces má n kolik stádií: 1. stádium otev ení Sv ta ísel dít je schopno rozlišovat mezi jednotným a množným íslem (jedna vs. mnoho) 2. stádium separovaných p edstav dít má p edstavu, co jsou ty i kostky, ty i autí ka, ale tyto p edstavy chápe odd len, neví, že po ty t chto v cí se sob rovnají 175

176 3. stádium univerzálních p edstav dít je schopné po etní situace ešit pomocí univerzálních model, jako jsou prsty, kuli kové po itadlo, fazole 4. stádium abstraktních p edstav dít manipuluje s p edstavou ísla bez univerzálního modelu Proces vyno ování Sv ta ísel ze Sv ta v cí nelze usp chat, nem žeme p esko it i zkrátit žádné z uvedených stádií a urychlit tak cestu ke vzniku abstraktních p edstav. Tento postup vede k formálnímu poznání. D ležitou roli v procesu porozum ní hraje práce s reprezentacemi. Bertrand (1998) hovo í o externích a mentálních reprezentacích, p i emž bychom m li žák m poskytnout takové externí reprezentace poznatk, které by jim umožnily vytvá et si vlastní mentální reprezentace problém, jež eší. Hartl a Hartlová (2000) mluví o reprezentaci vn jší a vnit ní. Vn jší (externí) reprezentace je taková ást fyzikálního sv ta, která umož uje žákovi hloub ji proniknout do kulturního sv ta nebo rozvinout jeho sv t duševní. Vnit ní (interní) reprezentace p edstavuje obraz jevu v žákov duševním sv t, jeho novou p edstavu. Americký psycholog Bruner (Hejný, Ku ina, 2001) rozlišuje reprezentaci enaktivní, ikonickou a symbolickou. Enaktivní reprezentace souvisí s inností dít te (postavení komínu ze ty kostek je enaktivní reprezentace p irozeného ísla 4). Ikonickou reprezentaci p edstavují obrázky, schémata ( ty i te ky na hrací kostce p edstavují ikonickou reprezentaci p irozeného ísla 4). Symbolická reprezentace je dána formou matematických znak ( íslice 4 je symbolickou reprezentací p irozeného ísla 4). Pokud dít provádí enaktivní reprezentaci p irozeného ísla, manipuluje s r znými p edm ty, o kterých m že mluvit (Hejný, Ku ina, 2001). Enaktivní reprezentace daného ísla je tedy spojena s jeho auditivní reprezentací. Písni ka Jedna, dva, t i, ty i, p t je auditivní reprezentací p irozeného ísla 5. P i manipulaci dít p edm ty vidí a dotýká se jich. M žeme hovo it o vizuální a taktilní percepci ísel. T íd ní íselných p edstav Následující tabulka uvádí t íd ní íselných p edstav (Hejný, Stehlíková, 1999). T ída Podt ída Ilustrace Identifikátor jméno tramvaj íslo 4 adresa byt íslo 4 Mnohost po et 4 kostky veli ina 4 l vody porovnávání aditivní o 4 m delší multiplikativní ty násobek hmotnosti Operátor aditivní o 4 roky více zm ny multiplikativní zvýší se ty násobn ásti multiplikativní tvrtina kolá e íslo jako identifikátor pomáhá p i ozna ování objekt. Pokud je strukturovaný soubor objekt ozna en ísly tak, že mezi strukturou objekt a strukturou íselných znak není žádná souvislost, íslo má funkci jména. Tramvaj íslo 4 ozna uje ur itou tramvajovou linku bez souvislosti s po adím i po tem t chto linek. Jestliže mezi strukturou objekt a strukturou íselných znak existuje p esn daná souvislost, hovo íme o ísle jako adrese. Byt íslo 4 p edstavuje tvrtý byt v posloupnosti byt v dom, ísla byt tvo í strukturu. 176

177 Chápeme-li íslo jako mnohost, uplat uje se jeho schopnost popisovat kvantitativní jevy. Po et je množství, jehož jednotkou je kus. Pokud dít porozumí po tu, vytvá í si sv j sv t ísel. Veli ina je množství, které má jinou jednotku než kus. íslo ve funkci operátoru vypovídá o porovnávání, zm n nebo ásti. Experimenty na základní škole V pr b hu celého školního roku probíhala v prvním ro níku základní školy ada na sebe navazujících experiment. Jejich cílem bylo zmapovat proces vytvá ení pojmu p irozeného ísla v prvním ro níku základní školy. Experimentátorka pracovala s každým žákem odd len od ostatních žák v kabinetu v sousedství t ídy. Na pracovním stole m l žák p ipravené karty s ísly oto ené lícem dol a modifikované i originální Cuisenairovy hranolky. Hranolky se od sebe lišily délkou a reprezentovaly p irozené íslo 1 (jednotkové hranolky), p irozené íslo 2 (dvojkové hranolky), p irozené íslo 3 (trojkové hranolky) nebo p irozené íslo 4 ( ty kové hranolky). Byly použity proto, aby byl p i manipulaci odstran n vliv jemné motoriky dít te. Žáci m li tedy zadanou symbolickou reprezentaci ísel a jejich úkolem bylo provést enaktivní reprezentaci t chto ísel. V následujícím textu jsou uvedeny ukázky, na kterých jsou demonstrovány výše popsané fenomény. Alice Evidence: Alice oto í kartu s íslem 4. Pravou rukou vezme jeden trojkový hranolek a položí ho na kartu s íslem (1 s). Pak stejnou rukou p idá hranolek dvojkový (3 s) a levou rukou p idá ješt jeden jednotkový hranolek (3 s). Hranolky uspo ádá do tvaru s p dorysem obdélníka. P emýšlí, do pravé ruky vezme z karty jednotkový hranolek, do levé ruky dvojkový hranolek (6 s). Jednotkový hranolek vrací na kartu, dvojkový hranolek na hromádku s dvojkovými hranolky (1 s). Komentá : P i reprezentaci ísla 4 se Alice dopustila chyby. Nep emýšlela nad hodnotou hranolku. Trojkový hranolek byl ze všech nabízených hranolk nejv tší, íslo 3 je menší než íslo 4, tedy se vejde do ísla 4 a ješt je t eba n jaký hranolek doplnit. D ležité mohlo být také hledisko vzdálenosti trojkový hranolek byl nejblíže její pravé ruce. Zpo átku vnímala Alice íslo kvalitativn (3 s). B hem taktilního kontaktu s jednotkovým a dvojkovým hranolkem dochází ke strukturaci, dívka za íná íslo chápat kvantitativn. Na toto kvantitativní chápání je t eba 6 s. Boris Evidence: Boris oto í kartu s íslem 11. O ima sleduje hromádky hranolk zleva doprava (3s). Vrátí se k hromádce se ty kovými hranolky. Pravou rukou vezme jeden ty kový hranolek a položí na kartu. Drží na n m ruku. Podívá se na hromádku se ty kovými hranolky, pak na hromádku s p tkovými hranolky. ty kový hranolek vrátí pravou rukou na hromádku (7s). Pravou rukou vezme jeden p tkový hranolek a položí na kartu. ekne. P t. (2s). Pravou rukou vezme jeden šestkový hranolek, ekne: Plus šest, hranolek položí na kartu a ekne: je jedenáct. (3s). Komentá : P i reprezentaci ísla 11 došlo k vizuální percepci ísel, která byla reprezentována Cuisenairovými hranolky. Boris provád l taktilní dokumentaci ty kového hranolku. B hem taktilního kontaktu se ty kovým hranolkem dochází ke strukturaci, Boris tento ty kový hranolek nahradil hranolkem p tkovým. Enaktivní reprezentace ísla 11 je spojena s auditivní reprezentací tohoto ísla. 177

178 Celestýna Evidence: Celestýna oto í kartu s íslem 4. Potichu p e te íslo. P emýšlí t ká o ima po jednotlivých hromádkách hranolk, pak se zam í na hromádky s jednotkovými a dvojkovými hranolky, natahuje po jednom jednotkovém hranolku levou ruku, stáhne ji, p ejde ke dvojkovým hranolk m, nakonec se vrátí k jednotkovým hranolk m a levou rukou z nich jeden vybere (20 s) a položí na kartu s íslem (3 s). Poté postupuje zleva doprava po jednotlivých hromádkách a levou rukou vybere vždy jeden hranolek a dá na kartu dvojkový (6 s), trojkový (4 s), po váhání (6 s) p idá jeden jednotkový (3 s). Všechny hranolky dívka uspo ádá ob ma rukama do tvaru s p dorysem obdélníka. Komentá : U Celestýny se projevuje fenomén interference mezi mnohostí (po tem) a adresou, z hlediska jazykového se jedná o interferenci mezi íslovkou základní a íslovkou adovou. Interpretace úlohy se tvo í v pr b hu prvních pohyb a dochází k vyt sn ní jedné podmínky podmínkou druhou. Celestýna provádí taktilní dokumentaci. Toto první seznámení zabere mnoho energie a zbylá energie nesta í na vlastní po ítání. Jednotkovým hranolkem dívka za íná proto, že je první zleva a je to zárove nejmenší prvek ze všech nabízených prvk. Lze íci, že Celestýna svým zp sobem použila p i reprezentaci ísla 4 strategii po ítání po jedné. Po provedení reprezentace provád la kontrolu po tu hranolk jejich po ítáním po jedné. Zam íme se na reprezentace p irozeného ísla 5 v pr b hu n kolika experiment, jak ukazuje následující tabulka. 1. experiment 2. experiment 3. experiment Daniel Emil Filip Gustík Hynek Ivan Jana Karla Lída Mirka Natálie Ota První experiment probíhal v listopadu. D ti dovedly s ítat a od ítat ísla v oboru do 5 a již znaly uspo ádanou adu ísel do 10. P i experimentu pracovaly s jednotkovými, dvojkovými a trojkovými Cuisenairovými hranolky. Polovina d tí, které se experimentu zú astnily, chápala p irozené íslo 5 jako proces, pro jeho reprezentaci použila více než dva hranolky. U jedné dívky se projevila interference mezi mnohostí (po tem) a adresou. I ona však chápala íslo jako proces. Druhá polovina d tí použila p i reprezentaci pouze dva hranolky nejv tší z nabízených hranolk, tj. hranolek trojkový, a hranolek dvojkový. Reprezentace ísla 5 byla (resp ). Druhý experiment se uskute nil v b eznu. D ti s ítaly a od ítaly v oboru do 20 bez p echodu desítky. P i reprezentaci m ly k dispozici stejné hranolky jako v experimentu 178

179 p edchozím, tedy jednotkové, dvojkové a trojkové. Výsledky experimentu ukázaly, že pouze t i d ti chápou p irozené íslo 5 jako proces, ostatní použily k reprezentaci trojkový a dvojkový hranolek, tedy reprezentace byla Vzaly nejv tší trojkový hranolek a hranolek dvojkový. T etí experiment prob hl v dubnu. D ti používaly jednotkové, dvojkové, trojkové a ty kové hranolky. Možnost použít ty kový hranolek z ejm ovlivnila reprezentaci ísla. Pouze jeden žák reprezentovat p irozené íslo 5 sou tem 2 + 3, ostatní vzali nejv tší ty kový hranolek a hranolek jednotkový. Z pohledu teorie p irozených ísel chápaly d ti íslo 5 jako následovník ísla 4, tedy jako prvek Peanovy množiny. Reprezentace byla provedena jako Záv r Experimenty nazna ily, že enaktivní reprezentace p irozeného ísla je v prvním ro níku asto spojena s jeho auditivní reprezentací. Pro pochopení ísla je d ležitá také taktilní percepce. Než d ti získaly vhled do ísla, chápaly íslo jako proces. To se p i enaktivní reprezentaci ísla projevilo tak, že d ti používaly více než dva Cuisenairovy hranolky. Pokud do ísla získaly vhled, více než t i tvrtiny d tí volily pro reprezentaci nejv tší z nabízených hranolk, které doplnily dalším vhodným hranolkem. Literatura 1. Bertrand, Y.: Soudobé teorie vzd lávání. Portál, Praha Gervasoni, A.: Children Learning Number. In: Proceedings of Conference Targeting Excellence; Continuing the Journey, Education Victoria, Melbourne Hartl, P., Hartlová, H.: Psychologický slovník. Portál, Praha Hejný, M., Ku ina, F.: Dít, škola a matematika. Konstruktivistické p ístupy k vyu ování. Portál, Praha 2001, ISBN Hejný, M., Stehlíková, N.: íselné p edstavy d tí. Pedagogická fakulta UK, Praha 1999, ISBN Kontaktní adresa Mgr. Šárka P chou ková katedra matematiky FPE Z U Plze, Klatovská 51, tel , pechouck@kmt.zcu.cz 179

180 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V PROSTOROVÁ P EDSTAVIVOST A SÍ T LESA Jaroslav PERNÝ Abstrakt P ísp vek se týká n kterých možností rozvíjení prostorové p edstavivosti žák jako významné kompetence, kterou je možno p isp t p i výuce matematiky k rozvoji osobnosti žák primární školy. Jedná se o úlohy, ve kterých se uplat uje prostorová p edstavivost p i mentální manipulaci, kdy žák hravou formou ze sít t lesa se utvá í t leso. SPACE IMAGINATION AND NET OF A SOLID Abstract The contribution deals with selected options for development of space imagination of pupils as an important competence, which can support role of mathematics in development of primary school pupil s personality. We talk about tasks, in which space imagination is implemented during mental manipulation, when pupil creates a solid from a net of solid in a playful manner. Úvod V nov zavád ném Rámcovém vzd lávacím programu jsou za základní považovány klí ové kompetence žáka a domnívám se, že pro získání n kterých je nejp íhodn jším prost edím školská matematika. Jednou z t chto významných kompetencí d ležitou i pro životní praxi lov ka je geometrická a zejména prostorová p edstavivost. Její úrove je možno zám rn rozvíjet práv p i výuce matematiky a to na r zných stupních škol, p im eným zp sobem i u žák v primární škole. S tím souvisí i kvalitn jší p íprava u itel matematiky v této oblasti a to i u itel elementární školy, nap íklad v tom, že se sami úlohám na prostorovou p edstavivost nebudou vyhýbat, že se t mito úlohami ze spontánní stereometrie budou zabývat. Hlavní ást Snažím se zjiš ovat a experimentáln ov ovat, jaké typy úloh pro rozvoj prostorové p edstavivosti je možno využívat již na 1.stupni ZŠ. M ly by to být úlohy, které nevyžadují znalost zobrazovacích metod, které ješt tito žáci neznají, ale využívají aktivní prostorovou orientaci žák a mentální manipulaci s objekty. Jde o úlohy, které lze bez v tší návaznosti na u ivo voln za azovat i do negeometrického vyu ování jako rozcvi ky i relaxa ní innosti. Jednou z možností je úlohová situace, kdy žák pouze v p edstav manipuluje se sítí a skládá z ní p íslušn t leso. V našem p ípad jde o neúplnou sí krychle ( vnit ku, 180

181 bez jedné st ny), která je p edstavena jako sí krychlového pokoje, do kterého se díváme chyb jící st nou a snažíme se v p edstav sí orientovat, tj. ur it, která st na je naho e, která dole, atd. Jako jediný orienta ní výchozí bod je nákres dve í na jedné ze st n sít. Žák má doplnit na další st ny sít "stropní sv tlo", "koberec na podlahu", "okno" a "sk í " na bo ních st nách. Vysv tlení a nácvik: Žákovi je p edložen neúplný papírový model krychle bez bo ní st ny jako pokojík, kde jsou strop, podlaha a bo ní st ny pokresleny obrázky p edm t, které tam "pat í". Pak je tento model rozložen do sít, aby si žák uv domil, co bude jeho úkolem. Nap.: odpovídá: Na podlaze je koberec, na strop je sv tlo, na bo ních st nách postupn jsou dve e, okno a sk í. Žák v úkol je ale obrácený. Na neúplnou sí, kde jsou nakreslené pouze dve e, má doplnit zbývající obrázky objekt tak, aby po složení sít do pokoje v n m byly správn umíst ny. P itom žák musí sí skládat do "pokoje" pouze v p edstav mentální manipulací. Po dokreslení obrázk do sít nebo n kolika sítí se m že p esv d it o správnosti umíst ní objekt. Ukázky zadaných neúplných sítí: 181

182 Jinou možností je úlohová situace, kdy žák pouze v p edstav vytvá í model t lesa z p edložené sít, na které mají vn jší st ny odlišné symboly a p i azuje této síti jedno ze zobrazených i vymodelovaných t les. Protože byl tento soubor zadán i nejmladším žák m, byly kv li motivaci místo geometrických t les použity i sít a modely dome k. Snahou je sí orientovat a ur it, které ze st n t les vidíme vp edu, vpravo, vlevo. Vysv tlení a nácvik: Kterou krychli m žeš sestavit z této sít? A B C D ešení: B Žáci pak eší úlohy r zné obtížnosti ve dvou variantách: p i azování dome k a p i azování krychlí. Úlohy sledují, jak žák zvládá myšlenkové složení sít t lesa, tj. mentální manipulaci se sítí, jak rychle a jak správn vylou í nebo ur í z nabízených t les to správné. Po zapsání ešení úlohy nebo úloh se žák m že p esv d it o správnosti svých p edstav. Ukázky úloh: Který dome ek vznikl složením skláda ky A B ešení: B a D C D 182

183 Který dome ek vznikl složením skláda ky Kterou hrací kostku sestavíš z této sít? ešení: A a D C Záv r Šet ení potvrzují, že s rozvíjením prostorové p edstavivosti je možno p im eným zp sobem za ít již u žák primární školy a že je vhodné takovéto úlohy za azovat do vyu ovacích hodin matematiky i když není p ímo probíráno geometrické u ivo. Žáci takové úlohy vítají, jsou pro n p íjemným zpest ením a vhodnou motivací. Je žádoucí, aby se budoucí u itelé matematiky i elementárních škol v co nejv tší mí e setkávali s obdobnými úlohami a nám ty, které mohou napomoci rozvíjet prostorovou p edstavivost. Literatura 1. Kopecká, H.: Rozvíjení prostorové p edstavivosti hrou. DP TUL Liberec Michnová, J.: Krychlové hlavolamy. Dva dny s didaktikou matematiky, Praha Perný, J.: Tvo ivostí k rozvoji prostorové p edstavivosti. TU Liberec Kontaktní adresa: Doc. PaedDr. Jaroslav Perný KMD, FP TU v Liberci, Hálkova, Liberec 1 Tel jaroslav.perny@tul.cz 183

184 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V FUNKCJA I JEJ RÓ NE PREZENTACJE W SZKOLNEJ STOCHASTYCE A OPERATYWNY CHARAKTER MATEMATYKI Adam P OCKI Abstrakt lánek pojednává o problematice abstraktních funkcí - p íkladech funkcí v kombinatorice a statistice. Funkce reprezentují výsledky r zných operací. FUNCTION AND IT S PRESENTATION IN PROBABILITY IN SCHOOL AND OPERATIVE CHARACTER OF MATHEMATICS. Abstract The paper about a problem of abstract function concerning examples of function in combinatory and probability. Function is presenting as result of some operations. Wprowadzenie Funkcja jest poj ciem wsz dzie obecnym". Praca dotyczy procesu kszta towania tego poj cia matematyki szkolnej. W stochastyce (rozumianej jako fuzja kombinatoryki, rachunku prawdopodobie stwa i statystyki matematycznej) pojawiaj si rozmaite i ciekawe funkcje, gdy chodzi o dziedzin, sposoby ich okre lania i formy ich prezentacji (graf strza kowy, tabela. wype niony kupon w grze losowej), a tak e ich rodowód. W matematyce definiuje si funkcj ze zbioru A w zbiór B b d jako jednoznaczne przyporz dkowanie, b d jako szczególn relacj, tj. jako szczególny podzbiór iloczynu kartezja skiego A B. Pierwsze uj cie ma charakter operatywny (przyporz dkowanie jako czynno ), drugie uj cie jest statyczne. Zgodnie z postulatami czynno ciowego nauczania matematyki (por. [8], s. 15) proces kszta towania poj cia funkcji ma si opiera na: o matematycznej analizie operacji tkwi cych w tym poj ciu, w tym tak e na wyró nianiu czynno ci, które prowadz do konstrukcji jego desygnatów i o wykonywaniu ró norodnych wicze, które pozwalaj uczniowi przeby drog od czynno ci konkretnych, poprzez wyobra one do abstrakcyjnych. W pracy zwraca si uwag na aktywno ci fizyczne, które w procesie kszta towania poj cia funkcji mog poprzedza aktywno ci wyobra eniowe i aktywno ci typu logicziio-maternatycznego (por. [4], s. 6). Poka emy, jak mo na na lekcji tworzy funkcj ze zbioru w zbiór w trakcie ci gu konkretnych czynno ci. Osobliwo ci pewnych funkcji w rachunku prawdopodobie stwa [ROZK AD PRAWDOPODOBIE STWA NA ZBIORZE] Niech 184

185 = { 1, 2,..., 3 }, gdzie s N 2. Ka d nieujemn funkcj p: R. spe niaj c warunek: p( 1 ) + p( 2 ) + p( 3 ) p( s ) = 1, nazywamy rozk adem prawdopodobie stwa na zbiorze, a par (,p) nazywamy przestrzeni probabilistyczn. Je eli p( ) = s 1 dla ka dego, to funkcj p nazywamy klasycznym rozk adem prawdopodobie stwa na zbiorze, a par (,p) nazywamy klasyczn przestrzeni probabilistyczn. Rys. l Tangram [ROZK AD PRAWDOPODOBIE STWA JAKO POLE - TANGRAM] Rysunek l przedstawia tangram. Powsta on przez narzucenie sieci na kwadrat (za ó my, e jest to kwadrat jednostkowy). Jej oczkami s trójk ty: T 1, T 2, T 3, T 4, T 5 oraz kwadrat K i równoleg obok R. Przypiszmy ka dej figurze tangramu jej pole. Na zbiorze T figur tego tangramu zostaje okre lona funkcja p T. Jest funkcja p T jest rozk adem prawdopodobie stwa na zbiorze T. Para ( T, p T ) jest zatem przestrzeni probabilistyczn. Aby okre li przestrze probabilistyczn wystarczy na kwadrat o polu l narzuci sie, której oczkami s figury maj ce pole. Funkcja p, która ka demu oczku owej sieci przypisuje pole figury F, jest rozk adem prawdopodobie stwa na zbiorze oczek tej sieci. Mamy wi c geometryczn ide tworzenia przestrzeni probabilistycznych. [DO WIADCZENIE LOSOWE] Do wiadczeniem losowym nazywamy eksperyment, zjawisko, do wiadczenie, o przebiegu i wyniku którego decyduje przypadek, przy czym zbiór mo liwych wyników tego do wiadczenia jest co najwy ej przeliczalny i dla ka dego wyniku mo na okre li a priori, wzgl dnie oszacowa a posteriori, prawdopodobie stwo, z jakim do wiadczenie mo e zako czy si tym wynikiem. Niech U b*c oznacza urn, w której jest b kul bia ych i c czerwonych. Do wiadczeniem losowym jest rzut monet, b d n-krotny rzut monet, rzut kostk, b d n-krotny rzut kostk, losowanie dwóch kul z urny U 3*2, dwukrotne losowanie bez zwracania kuli z tej urny, b d dwukrotne losowanie ze zwracaniem. Do wiadczeniem losowym jest rozk adanie w rz dzie potasowanych kart przy uk adaniu pasjansa. W rachunku prawdopodobie stwa, jako dziedzinie matematyki, mówi si tylko o rzucie symetryczn monet, czy symetryczn kostk, a wi c o do wiadczeniach, które W. Feller nazywa pomy lanymi (por. [2], s ). Bior c pod uwag psychofizyczne uwarunkowania ucznia (jego my lenie jest konkretno-obrazowe), mówimy na lekcji o do wiadczeniach losowych realnych (a wi c o rzucie z otówk, o rzucie konkretn kostk ), bo takie ucze zna z gier i zabaw. Na lekcjach geometrii w szkole podstawowej mówimy o kartce papieru, czy o blacie sto u, jako o prostok cie, pi k nazywamy kul. a pude ko od zapa ek jest przyk adem prostopad o cianu. 185

186 [MODEL DO WIADCZENIA LOSOWEGO] Przestrze probabilistyczn (,p) nazywamy modelem do wiadczenia losowego, je li jest zbiorem wszystkich wyników do wiadczenia, a funkcja p przypisuje ka demu wynikowi prawdopodobie stwo, z jakim do wiadczenie mo e si nim zako czy. Niech U b dzie losowaniem kuli z urny U, w której jest jedna kula bia a, dwie czerwone i trzy zielone. S trzy wyniki tego losowania: b : wylosowana kula b dzie bia a, c : wylosowana kula b dzie czerwona, z : wylosowana kula b dzie zielona. Je li p U jest funkcj, która przypisuje wynikowi jego prawdopodobie stwo, to p U ( b ) = , p U ( c ) = 6 = 31, p U ( z ) = 6 = 21. Przestrze probabilistyczna ( U,p U ), gdzie U = { b, c, z }, jest modelem losowania U. Przypisane wynikowi prawdopodobie stwo jest jego pewn miar, któr mo emy interpretowa jako pole (zob. rysunek 2). [TANGRAM PRZESTRZENI PROBABILISTYCZNEJ] Niech (,p) b dzie przestrzeni probabilistyczn. Elementy zbioru interpretujmy jako figury p aszczyzny, powsta e jako oczka sieci narzuconej na kwadrat o polu l w taki sposób, e liczba p( ) jest polem oczka. Takie geometryczne przedstawienie przestrzeni probabilistycznej (,p) nazywamy jej tangramem (por. [7]). Rys. 2 Tangram przestrzeni probabilistycznej ( U,p U ) Rys. 3 Liczba reszek w trzykrotnym rzucie monet jako funkcja Modelem rzutu kostk jest klasyczna przestrze probabilistyczna (,p K ), gdzie K = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } i p K ( 1 ) = p K ( 2 ) = p K ( 3 ) = p K ( 4 ) = p K ( 5 ) = p K ( 6 ) = 61. Symbol j oznacza tu wynik: wypadnie j oczek. Modelem do wiadczenia losowego jest klasyczna przestrze probabilistyczna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego wyniki s jednakowo prawdopodobne. Wynik do wiadczenia wieloetapowego jest ci giem wyników kolejnych etapów. Konstrukcja zbioru wyników do wiadczenia losowego mo e by dzia alno ci matematyczn. Chodzi tu o dobór matematycznych narz dzi kodowania wyników i prezentacji ich zbioru. [ZMIENNA LOSOWA] Cz sto z ka dym wynikiem do wiadczenia losowego kojarzymy pewn liczb. Je li para (,p ) jest modelem do wiadczenia losowego, to funkcja X : R nazywa si zmienn losow w przestrzeni probabilistycznej (,p ). 186

187 Ka demu wynikowi rzutu trzema kostkami przypiszmy liczb cznie wyrzuconych oczek. Je li za chwil rzucimy trzema kostkami, to w tym momencie liczba wyrzuconych oczek jest zmienn losow. Liczba reszek wyrzuconych (za chwil ) w n-krotnym rzucie monet jest zmienn losow X. Na rysunku 3 t funkcj X okre lono grafem strza kowym (r oznacza wynik: wypadnie reszka, o za wynik: wypadnie orze ). Osobliwo ci zmiennej losowej jako funkcji jest to, e: - w jej s ownym okre laniu istotny jest czas, - przypisuje ona warto liczbow rezultatowi pewnej konkretnej czynno ci, - aby znale warto owej funkcji ucze wykonuje t czynno (rzuca trzema kostkami i zlicza, ile cznie wypa o oczek, powtarza rzut monet n razy i zlicza, ile razy wypad a reszka). [GRA LOSOWA TYPU TOTO LOTKA] Niech przestrze probabilistyczna (,p ) b dzie modelem do wiadczenia losowego. W grze przeprowadza si do wiadczenie, ale zanim to nast pi gracz stawia na to, jakim zako czy si ono wynikiem i wygrywa punkt je li typowanie oka e si trafne. Czasami zamiast wyniku obstawia si w takiej grze liczb, która jest temu wynikowi przypisana, a wi c obstawia si warto zmiennej losowej. Przyst puj c do takiej GRY LOSOWEJ TYPU TOTO LOTKA nale y odpowiedzie na dwa pytania: 1. Na co mo na stawia? i 2. Na co warto postawi? Pytanie 1. dotyczy zbioru, pytanie 2. dotyczy funkcji p. Rozstrzyganie, czy istnieje racjonalna decyzja co do obstawianego wyniku, sprowadza si do okre lenia przestrzeni probabilistycznej (,p ) jako modelu do wiadczenia. Podejmowanie decyzji co do obstawianego wyniku mo na sprowadzi do wype niania odpowiedniego kuponu. Wype niony kupon staje si prezentacj obstawianego wyniku. Konstrukcja takich kuponów, a zarazem kodowanie i dekodowanie pewnych tre ci (zw aszcza kombinatorycznych) jest aktywno ci matematyczn (por. [5] i [?]). 1. Klasyfikacja zbioru generowana przez funkcj okre lon na tym zbiorze [KLASYFIKACJA KAMIENI DOMINA GENEROWANA PRZEZ PEWN FUNKCJ ] Niech D K oznacza zbiór 28 kamieni klasycznego domina szóstkowego. Z pomieszanych i odwróconych kamieni domina zostanie za chwil wylosowany jeden kamie (do wiadczenie losowe D ). Zanim to si stanie ka dy ucze stawia na to, ile oczek b dzie na wylosowanym kamieniu. Punkt wygra ucze, którego typowanie oka e si trafne. Wynikiem losowania jest kamie. Liczba oczek na wylosowanym kamieniu jest zmienn losow X. Jej warto ci tworz zbiór X = {0,1,2,..., 12}. Niech {X = j} oznacza zbiór tych kamieni, na których jest j oczek. Ten zbiór jest zdarzeniem, którego prawdopodobie stwo oznaczmy przez P(X = j). Jest to prawdopodobie stwo, z jakim zmienna losowa X przyjmie warto j. Aby wy oni racjonaln strategi w grze, wystarczy rozstrzygn, która warto zmiennej losowej X jest jej mod, czyli warto ci najbardziej prawdopodobna. 187

188 Rys. 4 Klasyfikacja zbioru kamieni domina jako zbiór ilorazowy D K /R Ka dy kamie domina jest jednakowo prawdopodobnym wynikiem losowania D. Nale y wi c rozstrzygn, ile z tych wyników sprzyja zdarzeniu {X = j} dla j X. Mowa tu o klasyfikacji zbioru D K (rys. 4), któr ucze fizycznie tworzy, grupuj c kamienie o jednakowych sumach liczb oczek. Je eli P(X = j) = p X (j), to p X jest funkcj okre lon nast puj co: Jest tu Para (,p ) jest nowym modelem do wiadczenia D. Najbardziej prawdopodobn warto ci zmiennej losowej X (czyli jej mod ) jest liczba 4 i na t liczb najbardziej op aca si stawia. Rozwa my relacj R w zbiorze D K tak, e (a, b) R X(a) = X(b] dla a, b D K. Relacja R (jako podzbiór zbioru D K x D K ) jest relacj równowa no ciow w zbiorze D K. Generuje ona zatem klasyfikacj zbioru D K.Ta klasyfikacja jest zbiorem ilorazowym G K /R = {{X = 0},{X = 1},{X = 2},{X = 3},..., {X = 11},{X = 12}}, gdzie {X = k} = {a D K : X(a) = k}. Klas abstrakcji {X = k} tworz kamienie, na których jest cznie k oczek. Je eli mówimy o warto ci funkcji X dla kamienia, który zostanie (za chwil!) wylosowany, to: funkcja X jest zmienn losow w klasycznej przestrzeni probabilistycznej (,p), gdzie = D K, klasa abstrakcji {X = k} jest (dla k = 0, 1,2,..., 12) zdarzeniem: {na wylosowanym kamieniu b dzie cznie k oczek}. zbiór ilorazowy D K /R = {{X = k} : k = 0,2, 3,..., 12} jest uk adem zupe nym zdarze w tej przestrzeni (zob. rys. 4). Te rozwa ania pozwalaj zatem odkrywa, e ka da funkcja f : A > B generuje klasyfikacj zbioru A, 188

189 ka da zmienna losowa X w przestrzeni probabilistycznej (,p) generuje w tej przestrzeni pewien uk ad zupe ny zdarze. Klasyfikacja zbioru D K na rysunku 4, przedstawia zbiór ilorazowy D K /R, a zarazem uk ad zupe ny zdarze generowany przez zmienn losow X. 2. Funkcje w kombinatoryce i ich osobliwe prezentacje Niech S oznacza dowolny zbiór s-elementowy, k za ustalon liczb naturaln. [WARIACJA ZBIORU] Ka dy k-wyrazowy ci g o wyrazach ze zbioru S nazywamy k-wyrazow wariacj zbioru S. Symbol S k oznacza zbiór wszystkich k-wyrazowanych wariacji zbioru S. Niech S = {1,2,3,4,5,6}. Wynik k-krotnego rzutu kostk jest k-wyrazow wariacj zbioru S. Jej j-ty wyraz jest liczb oczek wyrzuconych w j-tym rzucie. Je li oznacza zbiór wyników fc-krotnego rzutu kostk, to U = {1.2,3,4. 5,6}^. Wszystkich wyników k-krotnego rzutu kostk jest 6 k. Rzu pi razy kostk. Protokó z przebiegu tego do wiadczenia losowego mo emy sporz dzi wype niaj c tabel na rys. 5. Wype niona tabela na rys. 5 prezentuje zarazem ci g jako wynik pi ciokrotnego rzutu kostk. Ci g, a wi c funkcja ze zbioru {1,2,3,4,5} w zbiór {1,2,3,4,5,6} (tj. zbiór liczb oczek na kostce), powsta w trakcie konkretnych operacji. Rys. 5 Protokó z przebiegu pi ciokrotnego rzutu kostk Za ó my, e w grze typu TOTO LOTKA stawia si na wynik pi ciokrotnego rzutu kostk. Matematycznym zadaniem staje si tu konstrukcja kuponu do obstawiania wyniku tego do wiadczenia. Wype nianie kuponu jest okre laniem funkcji ze zbioru {l,2,3,4,5} w zbiór {l,2,3,4,5,6}. Rys. 6 Wype nione kupony jako prezentacja trzech wyników pi ciokrotnego rzutu kostk Na rysunku 6 mamy wype nione trzy kupony do powy szej gry. Rozszyfrowanie wype nionego kuponu jest kolejnym zadaniem. Chodzi w nim o dekodowanie informacji z jej symboliczno-ikonicznego zapisu. Pierwszy z tych kuponów prezentuje wynik zakodowany w tabeli na rys. 5. [OBSTAWIANIE WYNIKU n-krotnego RZUTU MONET ] Zajmijmy si kuponem do gry, w której przed n-krotnym rzutem monet gracz stawia na jego wynik. Ten wynik jest n-wyrazow wariacj zbioru {o, r}. 189

190 Rys. 7 Wype niony kupon do gry. w której stawia si na wynik pi ciokrotnego rzutu monet Na rysunku 7 mamy wype niony kupon do obstawiania wyniku pi ciokrotnego rzutu monet. Pytanie, jakiego wyniku jest on prezentacj, dotyczy dekodowania rysunku 7. Pytanie, ile jest mo liwych wyników pi ciokrotnego rzutu monet sprowadza si do pytania, na ile sposobów mo na wype ni taki kupon. [WARIACJA BEZ POWTÓRZE ] Ka dy k-wyrazowy ró nowarto ciowy ci g o wyrazach ze zbioru S (k s), nazywamy k-wyrazow wariacj zbioru S. [OBSTAWIANIE WYNIKU ROZK ADANIA PI CIU KART PIKOWYCH] Po potasowaniu 13 kart pikowych zostanie roz o onych w rz dzie 5 kart. Zanim to nast pi, gracz typuje, jaka karta trafi na pierwsze, jaka na drugie itd., jaka na pi te miejsce. Za pi trafie uzyskuje si g ówn wygran. Rys. 8 Kupon do obstawiania wyniku rozk adania w rz dzie pi ciu z 13 kart Kupon do tej gry losowej mamy na rysunku 8. Aby zrozumie ide obstawiania wyniku za pomoc owego kuponu, najpierw po roz o eniu pi ciu z trzynastu kart pikowych protoko ujemy na tym kuponie uzyskany na lekcji wynik (kodowanie), potem odczytujemy jaki wynik przedstawia wype niony kupon (dekodowanie). Wynik rozk adania kart jest pi ciowyrazow wariacj zbioru trzynastu kart. Wype niony kupon jest jej ikoniczno-symboliczn prezentacj. Motywacji do zliczania takich wariacji dostarcza (inspirowane tak gr ) pytanie: Ile takich kuponów wystarczy wype ni, aby by pewnym g ównej wygranej? Maj c na uwadze ci g, jaki powstaje w trakcie rozk adania kart, ostatnie pytanie sprowadza si do pytania: Na ile sposobów mo na taki ci g stworzy (skonstruowa )? Bior c po uwag kupon jako prezentacj tego ci gu, pytanie jest równowa ne z pytaniem: Na ile sposobów mo na wype ni taki kupon? Forma tych ostatnich pyta uwzgl dnia operatywny charakter matematyki. Wzór na liczb pi ciowyrazowaycli wariacji bez powtórze zbioru 13 kart wynika wi c z faktu, e wariacje, które zliczamy, powstaj etapami. [PERMUTACJA ZBIORU] Ka d s-wyrazow wariacj bez powtórze s- elementowego zbioru S nazywamy permutacj zbioru S. [STAWIANIE NA WYNIK ROZK ADANIA W RZ DZIE TRZYNASTU KART] Rekwizytem w grze jest zestaw 13 kart pikowych, które po potasowaniu zostan roz o one w rz dzie. Zanim to nast pi gracz typuje, jakie karty trafi na kolejne 190

191 miejsca. Je li wynik rozk adania jest ju znany, to gracz zdobywa tyle z otówek, w ilu przypadkach trafnie wytypowa miejsce dla karty. Wynik losowego rozmieszczania w rz dzie trzynastu kart pikowych jest permutacj zbioru {A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K}. Ta permutacja jest porz dkiem wprowadzonym w zbiorze 13 kart. Kupon (jako propozycje prezentacji takiej permutacji) mamy na rysunku 9. Na tym kuponie stawia si krzy yki, przy czyni w ka dym wierszu i w ka dej kolumnie tylko jeden. Wype niony kupon na rys. 9 przedstawia peramtacj (8,2,4,A,5,9,7,Q,10,3,6,J,K). Rys. 9 Obstawiony wynik rozk adania w rz dzie 13 potasowanych kart Za ó my, e za udzia w opisanej grze gracz p aci l z i e za 13 trafie wygrana wynosi a z. Przed rozk adaniem w rz dzie 13 kart gracz mo e wype ni tyle kuponów z rysunku 9, ile tylko zechce. Rodz si teraz pytania: 1. Ile takich kuponów musi gracz wype ni, aby by pewnym g ównej wygranej? 2. Za ó my, e wype nienie jednego kuponu trwa 30 sekund. Ile czasu trwa b dziewype nianie wszystkich kuponów? 3. Czy to by si op aca o? Wszystkich wyników jest 13! a wi c W pytaniu 2. chodzi o czas potrzebny na wype nianie kuponów. Ka de z powy szych poj kombinatorycznych jest szczególn funkcj. Rozwa ania ukazuj, jak rozmaite formy prezentacji tych funkcji wykorzysta w procesie kszta towania poj cia funkcji. Dzi ki kartom, z których tworzy si wariacje bez powtórze lub permutacje, ucze do wiadcza ich istoty (ró no-warto ciowo ). Te obiekty kombinatoryki tworzy si za pomoc kart nie tylko w grach karcianych (BRID, POKER), ale tak e przy uk adaniu pasjansów, czy stawianiu kaba (a wi c wró eniu). Literatura 1. Cundy H. M., Rollet A. P. Modele matematyczne, PWN, Warszawa W. Feller, Wst p do rachunku prawdopodobie stwa, PWN, Warszawa Z. Krygowska, Elementy aktywno ci matematycznej, które powinny odgrywa znacz c rol w matematyce dla wszystkich, Dydaktyka Matematyki 6 (1986). 4. J. Piaget, Narodziny inteligencji dziecka, PWN Warszawa P ocki, Lotto type gam coupons and icon presentation of the combinatorics notions, Mathematica, Pedagogical Faculty Catholic University in Ru omberok, Ru omberok 2004 (s ). 191

192 6. P ocki, Dydaktyka stochastyki. Rachunek prawdopodobie stwa, kombinatoryka i statystyka matematyczna jako nowy element kszta cenia matematycznego, Wydawnictwo Naukowe NOVUM. P ock P ocki. Tangramy a pravdepodobnostni prostory, University of South Bohemia Mathematics Report, ser. 14, Ceske Budejovice 2005 (s ). 8. H. Siwek, Czynno ciowe nauczanie matematyki, WSiP, Warszawa Kontaktní adresa Prof. Adam P ocki Ul. Podchor ych Kraków Poland adplocki@ap.krakow.pl 192

193 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V DIDAKTICKÉ PROSTRIEDKY PRE PRÁCU S NADANÝMI ŽIAKMI Alena PRÍDAVKOVÁ Abstrakt V rámci novovytváraného konzulta ného pracoviska na Katedre matematickej edukácie PF PU, budú pedagogickej verejnosti poskytované informácie a konzultácie aj z oblasti práce s nadanými žiakmi. Materiály sa budú týka problematiky identifikácie matematicky nadaných žiakov a prostriedkov, ktoré možno využíva pri práci s týmito žiakmi. DIDACTICAL TOOLS FOR THE WORK WITH TALENTED PUPILS Abstract Newly opened consulting workplace at the Department of Mathematical Education at the Pedagogic Faculty of Presov University will provide information and consultation in the area of work with talented pupils to pedagogical public. The materials will contain the identification of talented pupils and tools which can be used for work with these pupils. Brincková (2005, s.98) uvádza, že U ite ské povolanie je doposia považované za vyvíjajúcu sa profesiu. S tým súvisí aj fakt, že u itelia by mali by schopní samostatne vyh adáva nové zdroje poznatkov a získané informácie následne aktívne využíva vo svojej práci. U ite by nemal vo svojej profesii stagnova, ale prostriedky svojho pedagogického pôsobenia by mal aktualizova a prispôsobova ich potrebám vyplývajúcich z praxe. Jedným z riešení uvedenej situácie je vytvorenie konzulta ného pracoviska na Katedre matematickej edukácie PF PU v Prešove, prostredníctvom ktorého budú pedagogickej verejnosti poskytované informácie a konzultácie aj z oblasti primárneho matematického vzdelávania. Jedným z cie ov innosti vytváraného pracoviska je efektivizácia alšieho vzdelávania u ite ov elementaristov. V tomto kontexte budú v stredisku vyšpecifikované viaceré oblasti pre poradenstvo, pri om jednou z nich bude aj problematika práce s nadanými žiakmi. Gerová (2000) uvádza, že u itelia v praxi venujú osobitnú starostlivos žiakom so záujmom o matematiku, len výnimo ne. Prí in, ktoré stoja za touto situáciou je mnoho. Jednou z nich je aj skuto nos, že (Laznibatová, 2001) u itelia prejavujú nízku mieru ochoty v oblasti vypracovávania nových u ebných materiálov, pracovných listov a úloh, ktoré by prispievali k rozvoju prirodzených schopností nadaných žiakov. V tejto súvislosti budú, ako sú as aktivít pripravovaného pracoviska, vytvárané a následne v elektronickej forme publikované materiály týkajúce sa didaktických 193

194 prostriedkov pre prácu s nadanými žiakmi. Pôjde o zdroj informácií pre u ite ov aj pre rodi ov pracujúcich so žiakmi mladšieho školského veku, ktorí sú nadaní v matematike. Kreované materiály sa budú týka dvoch oblastí: technológií ur ených na identifikáciu žiakov nadaných na matematiku a didaktických prostriedkov pre prácu s nadanými žiakmi. Technológie na identifikáciu žiakov nadaných na matematiku V oblasti s uvedeným názvom budú prezentované informácie týkajúce sa existujúcich technológií využívajúcich sa pri procese vyh adávania nadaných žiakov. Pôjde o také nástroje, kde sa vyskytujú úlohy z matematiky. Návrh takéhoto druhu technológie, ako jednej z možností na identifikáciu žiakov nadaných na matematiku je opísaný v prácach: Prídavková (2000c, 2002). Sú as ou materiálov budú konkrétne typy úloh ur ených na tento ú el. (napr. Prídavková, 2005b) Didaktické prostriedky pre prácu s nadanými žiakmi V tejto asti budú pedagogickej verejnosti sprístupnené informácie o rôznych didaktických prostriedkoch, ktoré slúžia na zvýšenie efektívnosti vyu ovania matematiky z poh adu rozvoja nadania na matematiku. Medzi didaktické prostriedky zara ujeme metódy a formy práce, didaktické pomôcky a predovšetkým matematické úlohy. Výstupom budú návrhy úloh, ktoré je možné využi jednak pri práci priamo na vyu ovaní matematiky, ale aj napríklad v matematickom krúžku, t. j. v ase mimo vyu ovania. Budeme ma pritom na zreteli, aby navrhované úlohy prispievali k rozvoju konkrétnych zložiek nadania a matematických schopností žiakov. Úlohy budú tematicky zamerané napríklad na oblasti: výroková logika, priestorová predstavivos, íselné postupnosti, numerácia v obore prirodzených ísel, rôzne typy slovných úloh, ktoré predstavujú zvláštnu kategóriu matematických úloh (Tomková, 2004, s. 177), jedno ažky, konštruk né úlohy a pod. Priestor bude vytvorený aj pre úlohy z kombinatoriky, nako ko, ako uvádza Scholtzová (2003), v kombinatorike sa vyskytujú aktivity, ktoré sú vhodné pre výborných žiakov. Sú as ou spomínanej oblasti budú aj podnety z histórie vývinu niektorých matematických pojmov. Považujeme to za dôležité, nako ko Porozumenie a pochopenie historického vývoja matematiky je pre efektívne vyu ovanie takmer nevyhnutné. (Hanzel, 2003, s. 14) Ako už bolo spomenuté, v rámci konzulta ného pracoviska budú poskytované aj informácie a námety pre záujemcov na prácu s nadanými žiakmi mimo vyu ovania. V tejto asti budú prezentované návrhy napríklad na prácu v matematickom krúžku: súbory úloh, príklady aktivít a rôznych inností. Skúsenosti s prácou v tejto oblasti prezentovali Mokriš (2004), Prídavková (2000a). Uvedená problematika je, pod a Šim íkovej (2005), jednou z kompetencií za ínajúcich u ite ov elementaristov. Nemali by sme zabúda, že na prácu so žiakmi nadanými na matematiku je dôležité pripravova aj budúcich u ite ov. Touto problematikou - prípravou budúcich u ite ov elementaristov pre prácu s nadanými žiakmi sa zaoberajú mnohí odborníci ako napríklad Gerová (2000, 2001, 2005), Ková ik (2000), Prídavková (2000b, 2002a), Sobôtková (2001). Predkladanými návrhmi sa snažíme u u ite ov elementaristov zvýši ich záujem o prácu so žiakmi, ktorí prejavia nadanie v oblasti matematiky. Myslíme si, že v danej oblasti je aj na alej potrebné vytvára nové metódy a formy jednak na identifikáciu týchto žiakov, ale aj na výchovu a rozvoj ich nadania. 194

195 Literatura 1. BRINCKOVÁ, J. Osobnostne orientované matematické vzdelávanie u ite ov elementaristov v EÚ. In Príprava u ite ov elementaristov a európsky multikultúrny priestor. Zborník príspevkov z medzinárodnej vedeckej konferencie. Prešov: PF PU v Prešove, s ISBN GEROVÁ. Tvorivé dielne z matematiky v príprave študentov 1. stup a ZŠ. STUDIA MATEMATICA II - ACTA UNIVERSITATIS PURKYNIANAE Matematika v p íprav u itelu elementární školy. Zborník príspevkov z medzinárodnej vedeckej konferencie. Ústí nad Labem: UJEP Ústí nad Labem, s ISBN GEROVÁ,. Niektoré stratégie riešenia matematických problémových úloh na 1. stupni základnej školy. In Matematika v škole dnes a zajtra. Zborník príspevkov z medzinárodnej konferencie. Ružomberok: PF KU v Ružomberku, s GEROVÁ,. Problémy študentov elementaristov pri riešení slovných úloh. In Príprava u ite ov elementaristov a európsky multikultúrny priestor. Zborník príspevkov z medzinárodnej vedeckej konferencie. Prešov: PF PU v Prešove, s ISBN HANZEL, P. Grécka matematika a jej využitie v školskej matematike. In Od innosti k poznatku. Zborník príspevkov z vedeckej konferencie s medzinárodnou ú as ou. Plze : FP Z U v Plzni, s ISBN KOVÁ IK, Š. Príprava študentov Pedagogickej fakulty UMB v Banskej Bystrici pre prácu s nadanými žiakmi. In Príprava u ite ov elementaristov na prahu nového tisícro ia. Zborník príspevkov z medzinárodnej vedeckej konferencie. Prešov: PF PU v Prešove, s ISBN LAZNIBATOVÁ, J. Nadané die a, jeho vývin, vzdelávanie a podporovanie. Bratislava: IRIS, ISBN MOKRIŠ, M. Neštandardné úlohy z geometrie. In M I F didaktický asopis u ite ov matematiky, informatiky a fyziky. MPC v Prešove, 2004,. 23, s ISSN PRÍDAVKOVÁ, A. Práca so žiakmi nadanými na matematiku v matematickom krúžku. In Matematika v škole dnes a zajtra. Zborník príspevkov z medzinárodnej konferencie. Ružomberok: PF KU v Ružomberku, 2000a. s PRÍDAVKOVÁ, A. Príprava študentov u ite stva pre 1. stupe ZŠ na prácu so žiakmi s nadaním na matematiku. In Príprava u ite ov elementaristov na prahu nového tisícro ia. Zborník príspevkov z medzinárodnej vedeckej konferencie: Prešov: PF PU v Prešove, 2000b. s ISBN PRÍDAVKOVÁ, A. Spôsob identifikácie žiakov 4. ro níka ZŠ s nadaním na matematiku. In STUDIA MATEMATICA II - ACTA UNIVERSITATIS PURKYNIANAE Matematika v p íprav u itelu elementární školy. Zborník príspevkov z medzinárodnej vedeckej konferencie. Ústí nad Labem: UJEP Ústí nad Labem, 2000c. s ISBN PRÍDAVKOVÁ, A. Identifikácia a výchova žiakov nadaných na matematiku. In ACTA PAEDAGOGICAE Annus II. ACTA FACULTATIS PAEDAGOGICAE UNIVERSITATIS PRESOVIENSIS. Prešov: s ISBN PRÍDAVKOVÁ, A. Príprava u ite ov elementaristov na prácu so žiakmi nadanými na matematiku. In Príprava u ite ov elementaristov a európsky multikultúrny 195

196 priestor. Zborník príspevkov z medzinárodnej vedeckej konferencie. Prešov: PF PU v Prešove, 2005a. s ISBN PRÍDAVKOVÁ, A. Rozvíjanie matematických schopností u žiakov na 1. stupni základnej školy. In Komenský odborní asopis pro u itele základní školy, 130. ro ník zá í 2005b,.1, s , ISSN SCHOLTZOVÁ, I. Prvé dotyky s kombinatorikou- pre o, kedy a ako. In Od innosti k poznatku. Zborník príspevkov z vedeckej konferencie s medzinárodnou ú as ou. Plze : FP Z U v Plzni, s ISBN SOBÔTKOVÁ, Ž. Príprava študentov u ite stva 1. stup a ZŠ na prácu so žiakmi nadanými na matematiku. In Matematika v príprave u ite ov 1. stup a základnej školy. Zborník príspevkov z medzinárodnej vedeckej konferencie. Banská Bystrica: PF UMB Banská Bystrica, s ISBN ŠIM ÍKOVÁ, E. Matematické kompetencie za ínajúceho u ite a elementaristu. In V tomto zborníku. 18. TOMKOVÁ, B. Tvoríme príbehy. In História, sú asnos a perspektívy u ite ského vzdelávania. Zborník príspevkov z medzinárodnej konferencie. Banská Bystrica: PF UMB, s ISBN Príspevok bol spracovaný ako sú as grantového projektu Moderné informa nokomunika né technológie ako prostriedok alšieho vzdelávania u ite ov-elementaristov v matematike (MŠ SR KEGA 3/3027/05). Kontaktní adresa RNDr. Alena Prídavková, PhD. Katedra matematickej edukácie PF PU Ul. 17. novembra 1, Prešov, Slovensko Telefon: pridav@unipo.sk 196

197 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V MATEMATICKÁ EDUKÁCIA V KONTEXTE POSTUPU ŽIAKA Z PRIMÁRNEHO NA SEKUNDÁRNY STUPE VZDELÁVANIA Alena PRÍDAVKOVÁ, Iveta SCHOLTZOVÁ Abstrakt Problematika postupu žiaka na sekundárny stupe vzdelávania je aj z poh adu matematiky aktuálna a dôležitá. Identifikácia rôznych faktorov, ktoré vplývajú na plynulos prechodu v rámci matematickej edukácie je jedným z determinujúcich inite ov ovplyv ujúcich pôsobenie u ite a matematiky. MATHEMATICAL EDUCATION IN THE CONTEXT OF PUPILS TRANSITION BETWEEN PRIMARY AND LOWER SECONDARY STAGES Abstract The issue of pupils progression to lower secondary stage of education is important and particularly topical from the mathematical perspective. Identifying a variety of factors that affect the fluency of such transition within mathematical education is determining in teachers work. V sú asnej koncepcii vyu ovania je základná škola vnímaná ako jednoliaty celok. Napriek tomu sa pri prechode žiakov z 1. stup a na 2. stupe základnej školy vynára mnoho problémov, ktoré nemožno zanedbáva. Hvozdík (1986) uvádza, že školská dochádzka žiakov v prvých štyroch ro níkoch základnej školy je relatívne uzavretou etapou v školskom vývine žiaka. Žiak si zvykol na štýl práce i na režim života v škole. Vybudoval si vlastnú poves, s ktorou prichádza na 2. stupe. Cie om pôsobenia u ite a z pedagogicko-psychologického h adiska je zabezpe i plynulos tohto prechodu. Prechod žiakov zo 4. do 5. ro níka ZŠ znamená v ich školskej práci, ale aj v živote ve kú zmenu. Kým doteraz u ite videl žiaka sám globálne, teraz je tu iný prístup každého vyu ujúceho, iný poh ad, iné usmer ovanie, iné nároky, iné hodnotenie. (Brincková, 2003, s. 131) Ide o prechod zo spôsobu vyu ovania jedným (triednym) u ite om na odborné vyu ovanie realizované viacerými u ite mi, z ktorých jeden je triednym u ite om. Pod a sú asnej koncepcie výchovno-vzdelávacej sústavy sa u nás za ína na základnej škole odborné vyu ovanie v piatom ro níku (okrem vyu ovania cudzích jazykov). V sú asnosti je prechod z primárneho na sekundárny stupe vzdelávania realizovaný postupom žiaka zo 4. do 5. ro níka ZŠ. V mnohých prípadoch to však znamená aj zmenu školského zariadenia. Môže to by prestup z málotriednej školy na plneorganizovanú základnú školu alebo zmena školy v dôsledku nástupu do špecializovanej triedy v 5. ro níku, napr. športovej, ale aj s rozšíreným vyu ovaním 197

198 matematiky, tzv. matematickej. Ešte výraznejšou zmenou býva nástup na osemro né gymnázium. Ak chceme zabezpe i plynulos prechodu z primárneho na sekundárny stupe vzdelávania z vedomostnej stránky, je potrebné dba na to, aby sa každý nový poznatok žiaka mnohostranne spájal s jeho predchádzajúcimi poznatkami a skúsenos ami. Kontinuitu matematického vzdelávania ur ite ovplyv uje viacero faktorov. Medzi nich môžeme zaradi v prvom rade vedomostnú úrove žiakov, osobné postoje žiakov k vyu ovaniu matematiky i odbornú a pedagogickú erudíciu u ite ov. Je potrebné, aby u ite na 1. stupni základnej školy, ktorý chce dobre pripravi svojich žiakov na alší stupe vzdelávania, poznal jeho obsah a požiadavky. V prostredí jednej základnej školy je to možné realizova vzájomnými konzultáciami a hospitáciami u ite ov. Z poh adu matematického vzdelávania zložitejšia situácia nastáva v prípade, ak žiak prechádza z 1. stup a základnej školy na 2. stupe do matematickej triedy alebo do prímy osemro ného gymnázia. Žiaci sú, vo vä šine prípadov, vyberaní a následne do týchto tried zaradení na základe výsledkov prijímacieho konania. Sú as ou prijímacích skúšok sú pritom aj testy z matematiky. Jednou z možností, ako tento problém rieši, je identifikácia tém a analýza úloh, ktoré sa vyskytujú v prijímacích resp. vstupných testoch matematických tried a osemro ných gymnázií. Na základe analýzy úloh vyskytujúcich sa v testoch z matematiky ur ených pre žiakov 4. ro níka ZŠ, na výber do tried s rozšíreným vyu ovaním matematiky resp. do osemro ných gymnázií, bolo vymedzených devä skupín úloh. (Prídavková, 2000) Skupiny úloh boli vyšpecifikované z poh adu ich obsahu. Uvádzame ich stru nú charakteristiku. 1. Numerácia v obore prirodzených ísel úlohy na zápis, porovnávanie prirodzených ísel a na po tové výkony s prirodzenými íslami. V tejto skupine sú zaradené aj úlohy, kde je potrebné na základe vopred sformulovaných podmienok vytvori dané n - ciferné íslo (resp. ísla) alebo ur i po et íslic (cifier) daného ísla. V takom prípade úlohy majú asto charakter úloh z oblasti kombinatoriky. Ide o divergentné úlohy z poh adu existencie viacerých prístupov k procesu ich riešenia, nako ko je možné využi rôzne stratégie riešenia. Dôležité je rozumie základným pojmom z numerácie prirodzených ísel íslica a íslo aj viacciferné. 2. Hry s íslami - ide o úlohy, kde je potrebné z daných íslic (rovnakých alebo rôznych), použitím znakov po tových operácií, prípadne aj zátvoriek vytvori matematickú úlohu tak, aby jej výsledkom bolo dané íslo, t. j. aby vznikol korektný matematický zápis. Poradie íslic sa nemení ostáva identické s poradím zo zadania úlohy. Sú to úlohy divergentného charakteru, nako ko v mnohých prípadoch existuje viac rôznych riešení. Pri riešení úloh tohto typu je potrebné vedie aplikova pravidlo, ktoré hovorí o tom, že operácie násobenie a delenie majú prednos pred s ítaním a od ítaním. Pri použití zátvoriek je treba rešpektova pravidlá pre po ítanie hodnôt výrazov so zátvorkami. 3. íselné postupnosti úlohy, pri riešení ktorých ide o nájdenie a vysvetlenie pravidla, pod a ktorého je íselná postupnos prirodzených ísel vytvorená a na základe toho je potrebné následne doplni vynechané íslo alebo ísla, ktoré nasledujú. V niektorých prípadoch existuje aj viac rôznych pravidiel i princípov pre vytváranie danej postupnosti. 4. Úlohy kombinatorického charakteru do tejto skupiny sme zaradili úlohy, kde je potrebné vytvori viacciferné íslo s vopred danými vlastnos ami, pri om dôležité 198

199 je nájs pravidlo pre vytváranie ísel z daných íslic, rešpektujúc podmienky uvedené v zadaní úlohy. alej sú tu zaradené aj úlohy na vypisovanie všetkých možností, pri om predpokladom pre úspešné vyriešenie úlohy je nájdenie pravidla alebo systému vypisovania jednotlivých možností. 5. Slovné úlohy - úlohy, pri riešení ktorých sa prejavujú zru nosti v po tových operáciách s prirodzenými íslami a pri riešení rovníc a nerovníc, slovné úlohy na priamu úmernos, úlohy, kde sa vyskytuje premena fyzikálnych jednotiek, výpo et obvodov a obsahov niektorých rovinných geometrických útvarov a pod. 6. Slovné úlohy vedúce k riešeniu diofantickej rovnice - t. j. lineárnej rovnice s dvoma neznámymi. Úlohy takého druhu je možné rieši využitím metódy pokus omyl, pri om sú dosadzované konkrétne vstupné hodnoty a nasleduje overovanie podmienok uvedených v úlohe. Na miesto jednej neznámej je dosadená konkrétna íselná hodnota a hodnota druhej neznámej je dopo ítaná. V týchto úlohách zvy ajne existuje viacero rôznych riešení a rôzne stratégie na ich nájdenie. 7. Úlohy z výrokovej logiky ide o slovné úlohy, kde vz ahy a podmienky medzi údajmi sú formulované pomocou jednoduchých alebo zložených výrokov. Pomáhajú rozvíja logické myslenie a schopnos tvorby správneho úsudku. V týchto úlohách sa rozvíja propedeutika pojmu pravdivostná hodnota zložených výrokov. Pri ich riešení je možné využi rôzne stratégie: logický úsudok, znázor ovanie jednotlivých vz ahov využitím zápisov v tabu ke alebo použitím grafického znázor ovania. 8. Úlohy na priestorovú predstavivos tu sú zaradené úlohy na zis ovanie po tu rovinných geometrických útvarov na obrázku (trojuholníkov, štvorcov, obd žnikov), alej úlohy na rozdelenie útvaru na daný po et astí(rovnakého tvaru, rovnakej ve kosti a pod.) tzv. rezné problémy. Pri riešení úloh tohto typu sa rozvíja priestorová predstavivos v E 2. Do tejto skupiny sme zaradili aj úlohy na zis ovanie úrovne priestorovej predstavivosti v E 3 úlohy na farbenie stien kocky, na pohyb po kocke a pod. 9. Konštruk né úlohy úlohy, pri riešení ktorých je potrebné h ada vz ahy medzi danými a neznámymi údajmi, úlohy na rysovanie rovinných geometrických útvarov, ak ich rozmery nie sú dané priamo (je potrebné ich najprv vypo íta ). Pri analýze testov z matematiky na prijímacie skúšky na osemro né gymnáziá (Scholtzová, 2001), bolo tiež zistené, že vo viac ako 50% analyzovaných testov sa vyskytli kombinatorické úlohy. Tento fakt sved í o tom, že pri výbere žiakov do osemro ných gymnázií sa od uchádza ov vyžaduje nie len ur ité množstvo vedomostí a zvládnutie základných matematických zru ností, ale sa od nich o akáva aj flexibilita, originalita a tvorivos. Všetky tieto zložky musia žiaci uplatni pri riešení neklasických, teda aj kombinatorických úloh. V testoch pre osemro né gymnáziá sa objavovali takéto typy kombinatorických úloh (poradie je stanovené pod a po tu výskytov): 1. zostavi dvojciferné až sedemciferné íslo z danej množiny íslic pri uvedení rôznych podmienok; 2. z obrázka ur i po et všetkých trojuholníkov resp. štvoruholníkov; 3. stanovi, ko kokrát bola použitá ur itá íslica pri o íslovaní strán knihy, resp. vytvorení štartových ísel; 4. vykona operácie medzi prirodzenými íslami prostredníctvom grafu vo význame vyzna enia cesty; 5. ur i d žky strán všetkých trojuholníkov, ak je daný ich obvod; 6. zaplati danú sumy mincami resp. bankovkami rôznej hodnoty; 199

200 7. úlohy na použitie stromu logických možností; 8. úlohy na podanie rúk, resp. všetky cesty medzi bodmi; 9. ur i po et všetkých úse iek v obrázku; 10. ur i po et zápasov v turnaji; 11. zostroji všetky trojuholníky z daných bodov; 12. úlohy na ur enie poradia (usadenie na miesta, bežci v cieli); 13. magické štvorce resp. trojuholníky; 14. zostavi kombinácie oble enia. Je ve mi dobré, že vä šina uvedených úloh nemala iba klasickú matematickú formuláciu, ale vyjadrovala nejakú reálnu životnú situáciu, resp. bola vyjadrená vo forme príbehu, naj astejšie rozprávkového. Takýto spôsob zadávania úloh je pre žiakov tejto vekovej kategórie ur ite primeraný a vhodný. Zistené skuto nosti sú v zhode s tým, o uvádzajú Prídavková - Šveda (2000), t.j. že kombinatorické úlohy boli vymedzené ako jedna z deviatich skupín úloh, ktoré sa v testoch vyskytujú. Kontinuita matematického vzdelávania a hlavne pozitívny vz ah žiaka k matematickému vzdelávaniu závisí aj od osobnosti u ite a, jeho pedagogického taktu a didakticko metodickej vyspelosti. U ah i žiakom prechod a zabezpe i plynulos vyu ovania matematiky a dobré výsledky môže len dobrý u ite, ktorý si v plnej miere uvedomuje rozdiely v práci na oboch stup och a predmetom jeho práce nie je len u ivo matematiky, ale taktiež samotný žiak. (Rumanovská Šedivý, 1991, s. 210) V rámci pripravovaného konzulta ného strediska pre otázky matematického vzdelávania, ur eného v prvom rade pre u ite ov elementaristov, budú v elektronickej podobe publikované materiály napomáhajúce k vytváraniu kontinuity matematickej edukácie medzi primárnym a sekundárnym stup om vzdelávania. alšie oblasti, ktorým bude venovaná pozornos uvádzajú Mokriš (2006), Šim íková (2006), Tomková (2006) a Ze ová (2006). Literatura 1. BRINCKOVÁ, J. Integrované tematické vyu ovanie pomáha rozvíja samostatnos žiakov ZŠ vo vyu ovaní matematiky. In Od innosti k poznatku. Zborník príspevkov z vedeckej konferencie s medzinárodnou ú as ou. Plze : Fakulta pedagogická Z U v Plzni, s ISBN HVOZDÍK, J. Základy školskej psychológie. Bratislava: SPN, MOKRI, M. Sú až z matematiky a matematická edukácia. In V tomto zborníku. 4. PRÍDAVKOVÁ, A. Spôsob identifikácie žiakov 4. ro níka ZŠ s nadaním na matematiku. In STUDIA MATEMATICA II - ACTA UNIVERSITATIS PURKYNIANAE Matematika v p íprav u itelu elementární školy. Zborník príspevkov z medzinárodnej vedeckej konferencie. Ústí nad Labem: Univerzita J. E. Purkyn Ústí nad Labem, s ISBN PRÍDAVKOVÁ, A. ŠVEDA, D. Výber žiakov 4. ro níka ZŠ do tried s rozšíreným vyu ovaním matematiky. In Matematika, fyzika, informatika, ro. 9, máj s RUMANOVSKÁ, H. ŠEDIVÝ, O. Pedagogicko-psychologické a metodické problémy vyu ovania matematiky pri prechode žiakov zo 4. do 5. ro níka základnej 200

201 školy. In Zborník Pedagogickej fakulty UKF v Nitre 5, Matematika. Nitra: PF UKF, s SCHOLTZOVÁ, I. Kombinatorické úlohy v prijímacích testoch na stredné školy. In Matematika v škole dnes a zajtra. Zborník príspevkov z konferencie. 1. vyd. Ružomberok: Katolícka univerzita v Ružomberku, s ŠIM ÍKOVÁ, E. Matematické kompetencie za ínajúceho u ite a elementaristu. In V tomto zborníku. 9. TOMKOVÁ, B. Problémy u ite ov preelementaristov pri rozvíjaní matematických predstáv. In V tomto zborníku. 10. ZE OVÁ, V. Matematický diktát jedna z ciest rozvoja matematickej gramotnosti žiaka primárnej školy. In V tomto zborníku. Príspevok bol spracovaný ako sú as grantového projektu Moderné informa nokomunika né technológie ako prostriedok alšieho vzdelávania u ite ov-elementaristov v matematike (MŠ SR KEGA 3/3027/05). Kontaktní adresa RNDr. Alena Prídavková, PhD. RNDr. Iveta Scholtzová, PhD. Katedra matematickej edukácie PF PU Ul. 17. novembra 1, Prešov, Slovensko Telefon: pridav@unipo.sk scholtzi@unipo.sk 201

202 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V KONSTRUKTIVISMUS V ODHALOVÁNÍ METODY ÍSLOVÁNÍ Jana P ÍHONSKÁ Abstrakt Metodu íslování v tšina žák odmítá jako obtížnou nechápou ji, neznají trik, který usnadní ešení. V p ípad objevení triku je tato metoda velmi jednoduchá a výhodná. V p ísp vku ilustrujeme postup, jak poskytovat radu/y pro objevení pravidla této metody. Vycházíme ze získaných žákovských ešení, jejich použitých metod ešení a nabízíme díl í kroky pro objevení výsledného pravidla CONSTRUCTIVISM IN FINDING OUT THE NUMBERING METHOD Abstract The numbering method the most of pupils refuses like difficult misunderstand it, ignore trick that will make solution easy. In the event of manifestation trick is this method very simple and advantageous. In contribution we illustrate progress, how offer counsel/y for finding rules of that method. We offer sub step for manifestation resulting rules go out from gained pupil s solutions and their used methods solving. Úvod astou úlohou, se kterou se setkáme p i ešení matematických hádanek, h í ek i jiných matematických problém, je ur it po et cest, které vedou mezi dv ma místy v jistém bludišti. Taková úloha m že být užite ná v p ípadech, kdy hledáme n jakou nejlepší cestu, a tu pak m žeme ze všech možných cest vybrat, zejména tehdy, není-li jich mnoho. Úlohu má ale smysl ešit pouze za p edpokladu, že je p edepsán sm r postupu. V opa ném p ípad by se po n které hran dalo procházet vícekrát a po et cest by byl neomezený. Jednou z užite ných metod, jak úlohu vy ešit, je využití metody íslování, p i níž zaznamenáváme po et cest vedoucích do konkrétního místa p i zachování jistých pravidel procházení plánkem, resp. bludišt m. Pro ešení t chto úloh se nabízí využití h-diagram. 1. Po et cest v grafu Ilustrujme na jednoduchém p íklad, jak je možné nalézt po et všech cest vedoucích mezi dv ma konkrétními místy. Pokud budeme úlohu formulovat s využitím grafové terminologie, pak nás zajímá, Obr. 1.1 Zadanýgraf a ur ení po tu cest 8 202

203 Obr. 1.2 Po et cest v zadaném grafu kolik r zných cest, lišících se alespo v jedné hran, prochází daným grafem mezi zadanými uzly. Situace je zachycena na Obr. 1.1 a Obr. 1.2: Postupujeme tak, že po et cest vedoucích do ur itého uzlu vepisujeme p ímo do kroužku tohoto uzlu dle následujících pravidel: 1. Do uzlu, z n hož mají cesty vycházet, vepíšeme vždy jedni ku. 2. Po et cest, které vedou do daného uzlu sít, je dán sou tem po tu cest, které vedou do t ch uzl sít, z nichž vede orientovaná hrana do daného uzlu. Podstatnou redukci zadání významných relací, jejich grafových reprezentací a diagramových znázorn ní dovolují h-asseovské diagramy (dále jen h-diagramy). P i jejich zavedení vycházíme z orientovaných graf poset (poset je áste n uspo ádaná množina binární relace na dané množin M ). Posety mají t i významné vlastnosti. Jsou reflexivní, antisymetrické a tranzitivní, [2]. P echod k p íslušnému h-diagramu znamená zjednodušení [1]: odstraníme všechny smy ky v uzlech, odstraníme všechny tranzitivní hrany, uspo ádáme uzly do úrovní (zdola nahoru, zprava doleva) podle po tu jejich p edch dc, odstraníme všechny šipky. Ilustrujme využití h-diagramu na p íklad bludišt z obr Plánek, který p edstavuje rozmíst ní budov v ásti sídlišt, je p ekreslen za pomoci h-diagramu. Uzly diagramu odpovídají jednotlivým k ižovatkám v plánku. P itom je zachováno pravidlo procházení sídlišt m z levého horního rohu k pravému dolnímu rohu, sm r procházení povolen pouze dol a doprava. Do prázdných kole ek uzl je pak možné vepsat po et cest dle pravidla uvedeného výše. Obr. 1.3 Plánek sídlišt s p íslušným h-diagramem 203

204 S grafy a diagramy, resp. s (h-)diagramy, se d ti setkávají již od útlého v ku. Z hlediska využití diagram v jiných p edm tech je možné vzpomenout klasifikaci druh v t v eském jazyce, asové osy v d jepise, následné operace v chemii apod. [1]. 2. Objevení metody íslování Metodu íslování v tšina žák odmítá jako obtížnou nechápou ji, neznají trik, který usnadní ešení. V p ípad objevení triku je tato metoda velmi jednoduchá a výhodná. V následujícím textu ilustrujeme postup, jak lze žáky dovést k objevení pravidla této metody. Vycházíme ze získaných žákovských ešení, která byla analyzována se studenty primární matematiky, jejich použitých metod ešení a nabízíme díl í kroky pro objevení výsledného pravidla. Ilustrujeme díl í pomocné úlohy, které studenti jako experimentáto i nabízeli žák m. Zadaná úloha: Kolik možných cest vede od školy v levém horním rohu do domu v pravém dolním rohu obr. 2.1 (sm r ch ze je možný pouze ve sm ru šipek)? Obr. 2.1 Plánek sídlišt Schéma sídlišt je velmi nepravidelné, což samo o sob iní úlohu obtížnou. Proto jsou žák m zadávány díl í, pomocné úlohy, které vedou k postupnému objevení metody íslování. Díl í kroky nápov dy, resp. pomoci, je možné shrnout do níže uvedených bod : 1. Nejprve nabídneme pravidelné schéma. Startovním místem za átkem pohybu je místo A. (obr. 2.2) A B C D E F G H I J K L Obr. 2.2 Pravidelné schéma Následují pomocné úkoly, které mají žáci ešit. 2. Najd te všechny k ižovatky, do nichž se dostanete ne více než t emi cestami. 3. Najd te všechny k ižovatky, do nichž se dostanete ne více než ty mi cestami. 4. Zjist te po et cest, vedoucích z A (start) do F, I, J. 5. Najd te po et cest vedoucích z A do G. 6. Zjist te po et cest z A do K. 204

205 7. Do které k ižovatky se dostaneme p ti cestami? Na úrovni t etího bodu by m lo docházet k objevování daného pravidla. Na úrovni sedmého bodu by m lo dojít k úplnému objevení pravidla metody íslování. Ilustrace žákovských ešení, na jejichž základ bylo sestaveno uvedené schéma, jsou zobrazeny na následujících obrázcích (obr.2.3, 2.4, 2.5). Obr. 2.3 Ukázka. 1 Obr. 2.4 Ukázka. 2 Obr. 2.5 Ukázka. 3 Z ukázky na obr.2.5 je nejen patrný postup, který žák volí pro procházení bludišt m, ale výrazné je zejména využití barvy. Zvolený systém pro nalezení všech cest, vyplývá z barevného zna ení cest (všímáme si po adí barev uvedených nalezených cest). Dále je patrné propojení procesuálního (kreslení jednotlivých cest linií) a konceptuálního (obraz po tu cest, jejich zápis, umíst ní pozice) pojetí úlohy. Toto propojení usnad uje nalezení správného ešení nejprve procesuáln žák zakreslí danou cestu, poté zapíše celkový po et cest vedoucích do daného místa Obr. 2.6 Studentský návrh Jak již bylo e eno výše, konkrétní žákovská ešení byla rozebírána v rámci seminárních prací student u itelství národní školy. Cílem seminární práce bylo též sestavení n kolika pomocných úloh, na základ nichž by žáci byli schopni metodu íslování samostatn objevit, tyto úlohy experimentáln ov it a následn zadat úlohu typov shodnou s úlohou z obr Uve me alespo jednu ukázku (obr. 2.6) z t chto seminárních prací, která nabízí jednu z možností, vedoucí k objevení pravidla íslování. 205

206 Porovnáme-li jednotlivá žákovská ešení (obr ), která byla získána již v d ív jších etapách experimentu ( , [3]), se studentskými návrhy pro nalezení zmín ného pravidla, nacházíme celou adu spole ných prvk. Tyto pak umož ují vytvo ení jistého schématu ešení a sestavení díl ích krok, které by m ly ve svém záv ru p ivést žáka k objevení metody íslování. V ukázce na obr. 2.7 ilustrujeme jedno z žákovských ešení zadaných pomocných úloh. Žák sice nepoužívá barev pro ozna ování cest, nicmén postup nalézání všech možných cest je evidentní na základ záznamu pozorování pr b hu ešení a rozhovoru se žákem. Obr. 2.7 Žákovské ešení 3. Záv r Uvedené ukázky demonstrují díl í možnosti pro práci se žáky k objevení metody íslování. Jsou i nám tem pro následné využívání k zakreslování zadané situace pomocí h-diagram. H-diagram je užite ný nejen p i práci s r znými bludišti, ale v podstat ve velké v tšin u ebnic matematiky (a nejen u ebnic) je zmín ných diagram využito k znázorn ní vztah následných operací, nap. s ítání v pozi ních soustavách. Využít je lze nap. v p ehledovém uspo ádání typ rovnic, íselných obor, v klasifikaci pojm. V podstat i vývojové diagramy jsou jistým typem h-diagram. Proto si tento problém zasluhuje svoji pozornost a otevírá nové sm ry pro aplikaci vhodných metod z vyšší matematiky ve školské matematice. Literatura 1. BALAKRISHNAN, V. K. - Introductory Discrete Mathematics. Prentice-Hall, Englewood Cliffs P ÍHONSKÁ, J. - VILD, J.: Hasseovské diagramy ve výuce. In: Sborník Mezin. konf. kateder matem. p ipr. u itele matematiky. TU v Liberci 2000, s ISBN P ÍHONSKÁ, J.: Graf jako nástroj porozum ní matematickým myšlenkám (didaktická analýza). Diserta ní práce, PedF UK. Praha Kontaktní adresa RNDr. Jana P íhonská, Ph.D. KMD, FP TU v Liberci Hálkova 6, Liberec Telefon: jana.prihonska@tul.cz 206

207 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V MATEMATIKA A VÝCHOVA K ROVNÝM P ÍLEŽITOSTEM PRO MUŽE A ŽENY?! Miluše RAŠKOVÁ Abstrakt P ísp vek se zamýšlí nad možnostmi výchovy k rovným p íležitostem pro muže a ženy ve vyu ování matematice v primární škole. Uvádí n které p íklady pro konkrétní využití v pedagogické praxi. MATHEMATICS AND EDUCATION TOWARDS EQUAL OPPORTUNITIES FOR MEN AND WOMEN?! Abstract The contribution focuses on educational possibilities towards equal opportunities for men and women in mathematics teaching at primary school. It gives some examples for specific application in pedagogical practice. Úvodem Jednou z priorit základního vzd lávání d tí v podmínkách primární školy (Rámcový vzd lávací program pro základní vzd lávání, 2002) je bezesporu výchova kulturního lov ka. Co si pod tímto termínem m žeme p edstavit? lov ka vzd laného, komunikativního a tvo ivého, schopného spolupráce, ekologicky myslícího, mravn odpov dného, zvídavého, sebezdokonalujícího se, rozumn a citliv reagujícího v konkrétních životních situacích, svobodn jednajícího a s touhou dále se vzd lávat? Všichni vychovávající si kladou otázku, jak takového lov ka vychovat a zda je to v bec v jejich silách. V primární škole mají vyu ující stanovené obecné vzd lávací cíle a v souvislosti s nimi je vymezen podíl jednotlivých vzd lávacích oblastí k jejich dosažení. Matematika je jednou ze základních vzd lávacích oblastí, která je založena na aktivních innostech typických pro práci s matematickými objekty a pro užití matematiky v reálných situacích. Matematické vzd lání pomáhá d tem nejen vnímat reálný sv t a orientovat se v n m, ale p ispívá i k formování volních a charakterových vlastností, vede ke kázni ve vyjad ování a k efektivit organizace vlastní práce. Výchova k vytvá ení rovných p íležitostí pro muže a ženy pat í ke klí ovým témat m sou asného eduka ního procesu v podmínkách primárního vzd lávání. Tato výchova je integrální sou ástí komplexní výchovy v primární škole a je kladen d raz na její d sledné uplat ování v pedagogické praxi. Problematika vytvá ení rovných p íležitostí pro muže ženy vychází z teorií o biologické odlišnosti mezi muži a ženami, 207

208 z teorií kulturního p sobení spole nosti a z teorií o tom, zda je možné i žádoucí odstra ovat sociální rozdíly mezi muži a ženami. Jak spolu souvisí matematika a výchova k rovným p íležitostem pro muže a ženy ve vztahu s výchovou kulturního lov ka? Gender Lidské pohlaví jako biologická danost je základem pro konstrukci spole enské kategorie s názvem gender ( eský ekvivalent rod ). Odborníci (HARTL, 2004, LINKOVÁ, 2002, RENZETTI, CURRAN, 2003 aj.) tuto kategorii definují ve smyslu souboru rolí, jež daná spole nost a kultura p isuzuje mužskému a ženskému biologickému pohlaví, jako historicky situovaný sociální proces, koncept, který umož uje zkoumat spole ensko-historické konstrukce mužskosti a ženskosti. Podle Stollera (In OAKLEYOVÁ, 2000, s. 122) je gender pojem, které má spíše psychologické a kulturní konotace a biologickým pojm m mužský a ženský odpovídají názvy genderu maskulinní a feminní. Ty mohou být zcela nezávislé na biologickém pohlaví. Gender je podíl maskulinity a feminity u dané osoby, u lidí jsou p ítomny ob tyto kvality, u normálního muže p evažuje maskulinita, u normální ženy feminita. Podle Oakleyové (2000, s.121) je pohlaví biologický termín, gender je pojem psychologicko-kulturní. Každý lov k je od svého narození díky genderové socializaci determinován a je spjat se svou genderovou rolí (nap. výb r jména, p isuzování barev p i oblékání, výb r hra ek, o ekávané specifické vzorce chování, pozd ji úsp šnost i neúsp šnost ve školním vzd lávání, výb r zam stnání, uplatn ní v zam stnání a finan ní ohodnocení atd.). Genderové role i genderovou identitu si lov k neosvojuje mechanicky, ale na základ nejr zn jších zp sob identifikace. D ležitou roli p i získávání p edstavy o genderových rolí hraje rodina, kontakt s vrstevníky i jinými lidmi, vliv médií, knih, film, asopis aj. Je nutné podotknout, že v r zných kulturách existují r zné varianty genderových rolí a každá spole nost v í, že práv její vymezení odpovídá biologické dualit pohlaví. Obecn platí, že muži a ženy mají odlišné vlastnosti (emocionální racionální) i jiné charakteristické rysy (krása síla), jsou jim bližší rozdílné sféry pracovní innosti (soukromé ve ejné) a sociální nerovnosti mezi nimi jsou p ipisovány rozdílné biologické p irozenosti obou pohlaví. Jakou roli hraje pohlaví dít te v p ístupu vyu ujících matematiky k dívkám a chlapc m? Pro odpov na tuto otázku je nutné se zamyslet nad n kolika aspekty. Pohlaví dít te a p ístup vyu ujících k dívkám a chlapc m Vyu ující si musí uv domit, že lov k není žádný hermafrodit, ale že se vymezuje podle pohlaví. Musí p ijmout fakt odborník (BADINTER, 1999, JARKOVSKÁ, 2005, OAKLEYOVÁ, 2000 aj.), kte í poukazují na to, že chlapec (muž) a dívka (žena) zdaleka netvo í dv odd lené kategorie. I když je prokázána biologická rozdílnost obou pohlaví, existuje jednota mužského a ženského pohlaví, která vykazuje základní podobnosti mezi nimi a kontinuitu jejich vývoje. Vyu ující by m li být vzd láni a v d t, že intelekt lov ka se posuzuje podle n kolika složek a rozdíly mezi dívkami a chlapci se projevují ve schopnostech verbálních, numerických, prostorových, analytických a ve tvo ivosti a že se intelektuální vývoj u d tí liší v souvislosti s odlišným vývojem dívek a chlapc. Stejn tak by m li vyu ující v d t, že hlavní rozdíl mezi dívkami a chlapci ve vztahu 208

209 k matematice nespo ívá v samotných matematických schopnostech, ale v mí e, v jaké se s matematikou setkávají. Faktem však je, že po tém celé období primární a základní školy, kde dívky a chlapci absolvují výuku matematiky ve stejném rozsahu, je rozdíl ve výkonnosti jen velmi malý i žádný. Vyu ující nesm jí zapomínat na to, že dívky a chlapci jsou rozdíln socializováni. To znamená, že o ekáváme v jejich chování uplatn ní jistých genderových norem, které jsou typické pro dívky nebo chlapce. Navíc bývají dívky a chlapci podporováni prost ednictvím t chto norem v rozvoji jiných dovedností a jiných projev chování. Vyu ující by si m li dávat pozor na svoje schopnosti vnímání a posuzování projev dívek a chlapc. Jestliže se dívka chová jinak než tzv. typicky dív ím zp sobem, pak to nebývá posuzováno jako p irozené, ale spíše jako výjimka. Vyu ující by si m li být v domi toho, že pro d ti je p íslušnost k ur itému pohlaví d ležitým orienta ním bodem, i když ješt nemají úpln jasnou p edstavu o genderov specifických významech svého chování. Proto je velmi d ležité, aby všichni vyu ující profesionáln zvládli problematiku výchovy k rovným p íležitostem pro muže a ženy, tj. aby k d tem p istupovali rovnocenn a aby je vychovávali a vzd lávali bez ady p etrvávajících mýt, p edsudk i stereotyp. Možné mýty, p edsudky i stereotypy uplat ované vyu ujícími v matematice Uplat ování rozdílného p ístupu vyu ujícího k dívkám a chlapc m asto pramení z ur itého p esv d ení, které se pak odráží v projevu rozdílného jednání (event. chování) vyu ujícího v i dívkám a chlapc m K ad nešvar, kterých se vyu ující matematiky mohou dopustit ve své praxi, lze nap íklad p i adit: - P esv d ení o odlišném matematickém nadání dívek a chlapc, které m že vyu ující zablokovat v nep edsude ném posuzování d tí. - P esv d ení o tom, že chlapci dospívají pozd ji než dívky, což m že p ivést vyu ující k záv ru, že je u chlapc nutná v tší tolerance k chybám nebo špatným výsledk m. - P esv d ení o nutnosti v novat v tší pozornost chlapc m z d vodu jejich menší ukázn nosti, které m že vyu ující vést ke snaze více zam stnat chlapce, aby p i vyu ování nevyrušovali (nap. zadávat chlapc m složit jší úkoly, aby udrželi jejich pozornost apod.). - P esv d ení o tom, že dobré výsledky dívek jsou d sledkem jejich píle a ukázn nosti a dobré výsledky chlapc jsou výsledkem jejich inteligence. - Odlišný zp sob komunikace s dívkami a chlapci, která se projevuje u vyu ujících tím, že uplat ují rozdílnou frekvenci i obsah p i vzájemné interakci. Vyu ující zpravidla v nují chlapc m více pozornosti, ast ji je vyvolávají, ast ji jim tolerují drobné proh ešky (nap. vyk ikování p i vyu ování) nebo více dbají na opravování jejich chyb. Zajímavé je, že se mohou uchylovat ke stereotyp m nejen vyu ující, ale mohou je podporovat i jiné faktory. Jedním z nich je fakt, že matematika a s ní spojené innosti se zam ují spíše na mužský než ženský sv t. Podle upozorn ní ady odborník (OAKLEYOVÁ, 2000, RENZETTI, CURRAN, 2003 aj.) nap íklad slovní úlohy bývají formulovány terminologií vztahující se k oblastem tradi n mužských inností a zájm. 209

210 Jak lze stereotyp m p edcházet Výsledky zahrani ních výzkum (SPENDER, 1984, BASOW, 1998) poukazují na tendence, které vykazují interakce vyu ujících s d tmi v závislosti na tom, jestli jednají s dívkami nebo s chlapci. Z tohoto d vodu je velmi d ležité, aby si i nadále vyu ující kladli otázky, které souvisejí s principem rovných p íležitostí pro dívky a chlapce. Pro p edcházení užívání stereotyp ze strany vyu ujících lze vyvodit ur ité záv ry, jež je nutné si zapamatovat a za ít je d sledn v pedagogické praxi uplat ovat. K základním pravidl m, jak stereotyp m p edcházet, pat í: A) D sledn uplat ovat rovnocenný p ístup k dívkám i chlapc m, který lze podpo it nap íklad vzájemnou spoluprací dívek a chlapc p i nejr zn jších u ebních aktivitách (smíšené skupiny d tí) a nepodporovat kolektivní sout žení mezi ist dív ími i chlapeckými skupinami. B) Zadávat dívkám i chlapc m stejné innosti se stejnou obtížností úkol apod. a nevymezovat žádné typické innosti, které by byly ur eny pouze dívkám nebo chlapc m. C) Spravedliv a bez rozdíl hodnotit chování i výkony dívek a chlapc, nikdy nechválit chlapce za intelektuální výkon a dívky za pilnost, snahu apod. Je nep ípustné, aby byli dívky a chlapci za stejné innosti posuzováni rozdíln! D) Podporovat u d tí stejným dílem oblast nadání, pracovat s reálným potencionálem dívek i chlapc a nev it mýt m, že chlapci jsou nadan jší na matematiku než dívky. Podporovat u dívek a chlapc i zájem o matematiku a podporovat i povzbuzovat je v u ení. E) Rovnom rn komunikovat s d tmi, vstupovat do vzájemné interakce s dívkami a chlapci ve stejné asové frekvenci a obsahu. Pro vyu ující je opravdu nesmírn t žké, oprostit se od všech možných stereotyp, nebo jsou též produktem i sou ástí genderové spole nosti. Podle Jarkovské (2005, s.139) princip rovných p íležitostí pro chlapce a dívky ve vzd lávání není ani tak cílem, kterého by bylo možné za ur itých podmínek dosáhnout, ale jde o zp soby nabourávání genderových stereotyp, reflexi genderové struktury spole nosti, p ípadn t ídy a podporu individuálních voleb d tí, které ne vždy kopírují genderové normy dané spole nosti. Záv rem Zamýšlet se nad možnostmi spojení matematiky a výchovy k rovným p íležitostem pro muže a ženy není žádnou okrajovou záležitostí, protože problematika demokratického p ístupu vyu ujících k d tem pat í mezi priority sou asné pedagogické praxe. Naše republika je sou ástí Evropské unie, která od svých lenských stát vyžaduje dodržování lidských práv a zásad rovných ob anských princip. Každá kulturní spole nost (tedy i eská republika) má snahu odstra ovat sexistický a diskrimina ní p ístup ve všech oblastech, logicky i ve školství. Za zmínku stojí, že Evropská unie kritizuje eskou republiku za slabou podporu rovných p íležitostí pro muže a ženy. Snahy vyu ujících pro zdárné vytvá ení rovných p íležitostí pro muže a ženy jsou hodny velkého ocen ní, nebo je faktem, že se stále v našem reálném život setkáváme s diskriminací a zvýhod ováním ur itých skupin obyvatelstva p ed jinými. Podle slov Oakleyové (2000, s.158) nesmí být naše spole nost organizována jen na základ rozdíl mezi muži a ženami, nýbrž na základ jejich podobnosti. Budou-li se tyto rozdíly jako dva extrémy maskulinity a feminity stále znovu objevovat, budou tak potvrzovat víru, že pramení z biologické podstaty. A už existuje jakákoli biologická 210

211 p í ina, vlivná nebo nepodstatná, má takto tendenci být ím dál tím irelevantn jší a pok ivený pohled na její význam se stále více stává racionalizací toho, co je ve skute nosti pouze p edsudkem. Z tohoto hlediska jsou lidské bytosti pravd podobn mnohem více determinované genderov diferencovanou výchovou, než jsou schopny nebo ochotny si p iznat. Literatura 1. BADINTER, E. XY. Identita muža. 1.vyd. Bratislava: Aspekt, s.isbn BASSOW, S. A. Student evaluations: The role of gender bias and teaching styles. In COLLINS, L.H., CHRISLER, J. C. Arming Athena: Career Strategies for Women in Academia. Tousand Oaks: Sage, HARTL, P. Stru ný psychologický slovník. 1.vyd. Praha: Portál, s. ISBN JARKOVSKÁ, L. Gender v eském školství teorie a praxe. In RVP v praxi u itele výchovy k ob anství se zam ením na potírání rasové a národnostní nešnášenlivosti. 1.vyd. Olomouc: Univerzita Palackého, 2005, s ISBN LINKOVÁ, M. a kol. Sklen ný strop. Pozice žen ve v d. 1.vyd. Praha: Národní kontaktní centrum Žena a v da, s. ISBN OAKLEYOVÁ, A. Pohlaví, gender a spole nost. 1. Vyd. Praha: Portál, s. ISBN Rámcový vzd lávací program pro základní vzd lávání. Praha: Výzkumný ústav pedagogický, s. 8. RENZETTI, C. M., CURRAN, D. J. Ženy, muži a spole nost. 1.vyd. Praha: Nakladatelství Karolinum, s. ISBN SPENDER, D. Sexism in teacher education. In ACKER, S., PIPER, D. W. (eds.): Is higher education unfair to women? Surrey: University of Guilford, STOLLER, R. Sex and Gender. Science House, Velký sociologický slovník. 1.vyd. Praha: Nakladatelství Karolinum, ISBN (1.sv.). Kontaktní adresa PaedDr. Miluše Rašková, Ph.D. Katedra primární pedagogiky PdF UP Žižkovo nám. 5, Olomouc Telefon: raskovam@pdfnw.upol.cz 211

212 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V INTERPRETA NÁ DOMINANTA RIEŠENIA SLOVNEJ ÚLOHY Janka RUPPELDTOVÁ Abstrakt Analýzou riešení slovných úloh žiakov 4. ro níka základnej školy boli zistené niektoré kognitívne fenomény. Skúmané boli iba prípady nevizuálnych interpretácií úlohy. Osobitný zrete je venovaný riešeniam, v ktorých pozornos žiaka bola zameraná na ur itý fragment - interpreta nú dominantu. AN INTERPRETATION DOMINANT OF A WORD PROBLEM SOLUTION Abstract While analysing fourth graders solutions of word problems several cognitive phenomena were identified. Cases of non-visual word problem interpretations were studied. A special attention is focused on the solutions where a pupil concentrated on a particular fragment of the word problem called the interpretation dominant. 1. Úvod Cie om lánku je popis rôznych spôsobov nevizuálnej interpretácie slovnej úlohy s operátormi zadanej procesuálne, ktorej sémantický typ má tvar O 1 + O 2 = + O 3 (Ruppeldtová, 2003). Formulácia jednej zo slovných úloh, ktoré boli v našom výskume použité ako výskumný nástroj, znela nasledovne: Úloha 3.a) ( íslovanie úloh je prebraté z pôvodného výskumu.) Peter si našetril nejaké peniaze. Najskôr z nich minul 9 Sk. Potom z alšieho vreckového si ušetril 14 Sk. Celkovo pribudlo alebo ubudlo Petrovi z našetrených pe azí? O ko ko? V tejto úlohe sú okrem íselne zadaných operátorov prítomné i stavy, ktoré sa objavia v mysli riešite a: S 1 = stav Petrových pe azí na za iatku, S 2 = stav Petrových pe azí po útrate, S 3 = stav Petrových pe azí na konci. V texte úlohy nachádzame 4 údaje: stav S 1 vyjadrený slovami nejaké peniaze ; operátor zmeny O 1 popísaný slovami minul 9 Sk, symbolicky S 1 S 2, ide o operátor zmeny so zápornou operátorovou orientáciou, stru ne záporný operátor (ozna enie ), operátor zmeny O 2, popísaný slovami ušetril 14 Sk ; symbolicky S 2 S 3, ide o operátor zmeny s kladnou operátorovou orientáciou, stru ne kladný operátor (ozna enie + ), operátor O 3 je celková zmena, symbolicky S 1 S 3, ktorá je vyjadrená otázkami; prvá otázka sa pýta na orientáciu operátorovej situácie (+), druhá na absolútnu hodnotu operátora (5 Sk); takže o akávaná odpove znie Petrovi celkovo pribudlo 5 Sk. 212

213 Náro nos takto zadanej slovnej úlohy spo íva v zaml anej hodnote po iato ného stavu S 1, v zápornom operátore zmeny O 1 a vo formulovaní odpovedí (Ruppeldtová, 2004). 2. Metodológia Výskumnú vzorku tvorili žiaci 4. ro níka v danom školskom roku z troch základných škôl v Bratislave. Podkladový materiál, ktorý je východiskom analýz, bol získaný v rokoch 2003 až as z neho bola pôvodne vytvorená pre potreby iného výskumu, zameraného na analýzu rôznych interpretácií mierne odlišných formulácií uvedenej slovnej úlohy s ozna ením 1.a) až 4.a). Odlišnosti sa týkali predovšetkým slovných vyjadrení, avšak jednotlivé varianty sa líšili absolútnymi hodnotami zadaných operátorov pri zachovaní ich operátorovej orientácie. Z h adiska našej sú asnej analýzy sú tieto odlišnosti podružné. Pre zrozumite nos textu v ukážkach uvádzame zadanie konkrétneho variantu. Riešite ské procesy žiakov analyzujeme metódou atomárnej analýzy (Hejný, 1992); (Jirotková, 1998); (Stehlíková, 2000); (Hejný, Michalcová, 2001); (Kratochvílová, Swoboda, 2003), (Hejný, 2003, 2005). Teoretický rámec štúdie je daný rozkladom slovnej úlohy do štyroch vrstiev (Hejný, 2003): vrstva príbehu i situácie: príbeh danej úlohy má procesuálny kontext; s danou situáciou úlohy sporením a mí aním pe azí sa žiak 4. ro níka stretáva v bežnom živote; vrstva objektov: v úlohe sa nachádzajú nasledovné objekty - Peter, našetrené peniaze, vreckové, ktorých podobjektami sú stavy S 1, S 2, S 3 (neznáme sumy našetrených pe azí) a operátory sumy pe azí pri zmenách, t.j. minul 9 Sk, ušetril14 Sk a celková zmena pribudlo 5 Sk alebo o 5 Sk viac; vrstva vz ahov, ktoré predstavujú sémantické informácie o objektoch, je tvorená vyjadreniami: najskôr minul 9 Sk (prvá zmena), potom ušetril 14 Sk (druhá zmena) a pribudlo 5 Sk (celková zmena); vrstva matematického modelu, nami zapísaného rovnicou: O 1 + O 2 = + O 3 ; pri zavedení neznámej x ako celkovej zmeny a zámene poradia operátorov model možno konkrétne zapísa v tvare: x = Interpreta ná dominanta a jej lokalizácia Analýza žiackych riešení sa týka nasledovných fenoménov: uchopovanie, interpretácia, stratégia, jazyk a odpove. V alšom sa zameriame najmä na uchopovanie a interpretáciu úlohy žiakmi. Uvedené pojmy sú charakterizované nasledovne: Uchopováním úlohy nazýváme proces, který probíhá ve v domí ešitele p i vnímání textu úlohy. Za íná okamžikem, kdy žák za ne úlohu íst a kon í okamžikem, když žák úlohu interpretuje ujasní si, co je jeho cílem, co chce dosáhnout. N kdy se ešitel k textu úlohy vrací, aby si up esnil, co prve nevid l jasn, nebo aby hledal jinou interpretaci, aby úlohy reinterpretoval. (Hejný, 2005) V závislosti od korektnosti i nekorektnosti uvedeného uchopovacieho procesu žiaci interpretujú príbeh úlohy, o sa prejaví v riešení a najmä v odpovedi na otázky úlohy. V mnohých prípadoch riešite uchopí úlohu nie v jej celistvosti, ale zdôrazní v nej ur itý fragment i epizódu. Tento fragment nazveme interpreta nou dominantou riešite a. 213

214 4. Deformovaná interpretácia Nasledujúce ukážky žiackych riešení ilustrujú niektoré interpreta né dominanty. ( ísla nachádzajúce sa na obrázkoch vpravo dole sú internými ozna eniami.): Obr. 1 Tá a Interpreta nou dominantou riešenia žia ky Táni je druhá informácia textu úlohy. Obr. 2 Viktor Riešenie žiaka Viktora pozostáva z dvoch ahov: prvý je zameraný na kalkuláciu a jeho interpreta nou dominantou je íslo 14; druhý je vyvolaný prvou otázkou textu (pri opakovanom ítaní textu) a jeho interpreta nou dominantnou je operátorová orientácia riešenia. Uvedený postup riešenia v dvoch ahoch bol evidovaný aj u alších žiakov. Napríklad v nasledujúcej ukážke riešenia Hanky v prvom ahu je správne vypo ítaná absolútna hodnota operátora O 3, ale v druhom ahu žia ka uvádza chybnú odpove. Obr. 3 Hana 214

215 Obr. 4 Filip Prvá otázka je Filipom interpretovaná ako osobitná úloha. Interpreta nou dominantou sa stáva pre neho idiom pribudlo alebo ubudlo, ktorý vytesní z vedomia slovo celkovo, o sa prejaví v druhej asti odpovede, kde Filip neuvádza orientáciu operátorovej situácie, t.j. vz ah, i o 5 (Sk) pribudlo alebo ubudlo. Obr. 5 Adam Stratégia riešenia vychádza z interpretácie danej situácie opísanej vo vnútornom jazyku žiaka Adama: nájdem S 1, potom S 3 a ich rozdiel bude h adané O 3. Uvedená stratégia je správna, ale nie je realizovate ná, pretože z daných údajov nemožno získa ani S 1 ani S 3. Preto Adam použije protetický výpo et. Z uvedeného je jasné, že pre Adama dominantami sú stavy, ktoré ležia mimo oblas vypo ítate ných údajov. 5. Správna interpretácia U mnohých žiakov dochádza k zavedeniu písmena x (resp. y), ktorým si žiak ozna uje neznáme íslo, alebo astejšie pre žiaka x predstavuje symbol pre íslo, ktoré je h adané v danom výpo te. V druhom prípade sa x vyskytuje v rôznych výpo toch, jeho hodnota sa mení pod a druhu operácie použitej vo výpo te (Hejný, 2005), a teda nemožno ho považova za znak formalizovaného jazyka. Napriek tomu nasledovná ukážka riešenia úlohy je príkladom korektného uchopenia a správnej interpretácie celého príbehu, jeho objektov a vz ahov. Obr. 6 Sláva 215

216 Riešite ský proces žia ky Slávky sme spracovali atomárnou analýzou: n Vnútorná re Písomný prejav Komentár Ubudlo Sleduje text tri vety, konštruuje si 01 (Vníma ítaný text) aj príbeh pribudlo 02 Aha, Celkovo (...) Prvá otázka je viac ako 9, teda pribudlo Aha, o ko ko, ale ke ja 04 neviem, ko ko mal Peter našetrené. 05 Kebyže je to iže, on bude ma potom x = 07 To ko ko mal y 08 Bez 9 o minul ale 9 09 Plus 14, ktoré ušetril No a o alej? S tým y to neviem nájs o ko ko? Dám tam tých 100 Druhá otázka; vnútorná výzva, ktorej jadrom je pochybnos i na stave S 1 záleží Generický model; Slávka už zrejme tuší, že na vstupe nezáleží. O i Slávky bežia po texte; ruka zapisuje tok myšlienok. Abstraktný model celej situácie Slepá uli ka všeobecnej stratégie, zapísaná je ako koncept; diev a ho vníma skôr ako proces; ten ide by po krokoch realizovaný 11 Takže, zistím, že ke x = X je znak pre proces po ítania 12 zo 100 minul najprv 9 = Má teda 91 x = Plus 14, ktoré ušetril Má teda napokon Takže tých pôvodných 100 narástlo na 105; o 5 viac. Ale i kebyže je tam oko vek, tak je to vždy o 5 viac Ale ve ja vôbec nemusím to y tam písa, je to priamo tých 14 mínus tých 9 19 Je to jasné Realizácia procesného abstraktného modelu (t.j. vz ahu x = y ) na generickom modeli. Výsledok generického modelu y Znak y je sémanticky ukotvený objektom stav Petrových pe azí, ale v rôznych asových momentoch. y =14-9 y = 5 Mohol.. Znak y je sémanticky ukotvený objektom operátor zmeny, stavu Petrových pe azí. Istota poznania je zrete ná z úh adnosti odpovede. Zdôraznená je invariancia výsledku (5 Sk) na stave S 1. Uvedené riešenie je ojedinelým prípadom presného analytického vh adu do popísanej situácie. Atomárna analýza nám umož uje ukáza proces riešenia, v ktorom za k ú ové považujeme nasledujúce momenty: Uchopovanie úlohy kon í spontánnou odpove ou na prvú otázku (01-03). Výzva o potrebe pozna S 1. Objavuje sa u viacerých riešite ov, ale v žiadnom inom prípade sme neevidovali takú presnú analýzu ako u tejto riešite ky (04). Neistota, i vlastne stav S 1 je potrebné pozna. Domnienka, že poznanie stavu S 1 nie je potrebné, je preverovaná (04). Preverovanie sa odohráva na paralelnom používaní generického modelu a abstraktného poznatku (05-17). Formulovanie odpovede, v ktorej je poznanie o tom, že na stave S 1 nezáleží, osobitne zdôraznené. 216

217 Z h adiska jazyka je zaujímavé použitie písmen x a y. Písmeno x je vnímané vnútri kalkulatívnej štruktúry, ako nie o, o treba vypo íta. Písmeno y je vnímané vnútri príbehu ako sémanticky ukotvené íslo. V avom st pci predstavuje stav, v pravom operátor. 6. Záver astou prí inou neúspechu žiaka pri riešení slovnej úlohy býva jeho neschopnos vytvori korektný model situácie popísanej úlohou. Korene tejto neschopnosti môžu by rozli né, ale vä šinou sa jedná o neschopnos žiaka uchopi opísanú situáciu komplexne. Nieko ko uvedených ilustrácií ukázalo na rôzne typy protetického uchopovania úlohy. alšie bádanie zameriame na typológiu rozli ných uchopovaní a prípadnú didaktickú aplikáciu výsledkov. Literatúra 1. Hejný, M. (1992). Analysis of students solutions of equations x 2 = a 2 and x 2 a 2 = 0. ADUC, 1992,. 1, s Hejný, M. (2003). Anatómia slovnej úlohy o veku. Disputationes Scientificae Universitatis Catholicae in Ružomberok, 2003, ro. 3,. 3, s Hejný, M. (2005). Rozmanitost ešení žák jako diagnostický nástroj eduka ního stylu. In: Zborník príspevkov z letnej školy z teórie vyu ovania matematiky PYTAGORAS 2005,. Ková ová pri Zvolene, EXAM testing, 2005, s Hejný, M.; Michalcová, A. (2001). Skúmanie matematického riešite ského postupu. Metodické centrum, Tomášikova 4, Bratislava. 5. Jirotková, D. (1998). Pojem nekone no v geometrických p edstavách student primární prdagogiky. Pokriky matematiky, fyziky a astronomí, 43,. 4. s Kratochvílová, J.; Swoboda, E. (2003). Aspects affecting pupil s thinking in mathematics during interaction researcher pupil. In Mariorri, M. A. (Ed.). Proceedings of CERME 03 [CD ROM]. Bellaria, Italy, Ruppeldtová, J. (2003). Aditívny operátor v slovných úlohách. Sborník z konference Od innosti k poznatku, Srní 2003, s Ruppeldtová, J. (2004). Náro nos a obtiažnos slovných úloh aditívneho charakteru. In: Sborník z konference s mezinárodní ú astí Cesty (k) poznávání v matematice primární školy, Olomouc 2004, s Stehlíková, N. (2000). Atomární analýza. In: Novotná, J. Analýza ešení slovních úloh. Karolinum, Praha. Výskum je previazaný na grantový projekt GA R 406/05/2444. Kontaktní adresa Janka Ruppeldtová, RNDr. Pedagogická fakulta, Univerzita J.A. Komenského, Bratislava, Slovenská republika jana.ruppeldtova@fedu.uniba.sk 217

218 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V ZNACZENIE PRACY DOMOWEJ Z MATEMATYKI W AKTYWIZOWANIU UCZNIÓW M ODSZYCH Jolanta SEIDEL Abstrakt Tekst zawiera teoretyczne omówienie znaczenia aktywno ci poznawczej i potrzeb aktywizacji m odszych uczniów w edukacji matematycznej. Ukazuje mo liwo ci wykorzystania w tym zakresie prac domowych z matematyki. Jest te propozycj przeciwstawiaj c dotychczasowym, szablonowym zadaniom domowym z matematyki takich prac, które prowadz do aktywizacji uczniów. Wyst puje w nich bowiem transfer szkolnej wiedzy matematycznej na sytuacje pozaszkolne, kszta tuj ce matematyk u yteczn. THE IMPORTANCE OF THE HOMEWORK ON MATHEMATICS IN ACTIVATION OF YOUNG LEARNERS Abstract The work contains the theoretical description of the importance of creative activity and the need for activation of young learners in mathematical education. It shows the ways in which homework can be used for that purpose. It is also a suggestion contrasting the former conventional homeworks on mathematics with those leading to the activation of students. Thus, the tranfer of mathematical knowledge on everyday situations occurs, which shapes the applied mathematics. W procesie dydaktycznym, jak twierdzi G. Treli ski (patrz: Kierstein, 2004) na matematyk mo na spojrze, uwzgl dniaj c jej trzy aspekty: jako matematyk gotow, gdzie fakty i regu y post powania podane s w gotowy sposób a ucze jedynie j przyswaja i odtwarza, matematyk u yteczn, gdzie poznane fakty i regu y matematyczne stosowane s przez ucznia w badaniu i opisywaniu otaczaj cej rzeczywisto ci, matematyk jako dzia anie, gdzie dzia anie ucznia to czynno ci stanowi ce pewn ca o, ukierunkowane na poznanie okre lonego zjawiska. Wspó czesna dydaktyka wprowadza wzgl dn równowag mi dzy czynno ciami nauczyciela i uczniów, mi dzy nauczaniem i uczeniem si. Nie mo na wi c ogranicza nauczania, rozumianego jako organizowanie i kierowanie uczeniem si uczniów, tylko do samej lekcji. Trzeba ten proces rozszerzy na uczenie si uczniów poza szko, w tym tak e w domu. Zatem wdra anie uczniów do aktywnego poznania matematyki mo e i powinno odbywa si w trakcie zaj szkolnych, ale przed u one jeszcze na aktywne poznanie matematyki u ytecznej poza szko to wdra anie wzmocni. 218

219 Nale y wi c zastanowi si nad organizowaniem samodzielnego poznania matematyki u ytecznej przez uczniów w warunkach domowych, stymuluj c w tym celu ich aktywno poznawcz i ukazuj c im jednocze nie transfer szkolnej, matematycznej wiedzy gotowej na sytuacje pozaszkolne. Aktywno i aktywizowanie uczniów m odszych Aktywno jest warunkiem rozwoju cz owieka i prawid owej regulacji jego stosunków z otoczeniem. Ma ona zawsze pewien kierunek, który pedagogika okre la jako cel (Dobro owicz,1995). Aktywno rozumiana jest przez W. Okonia jako samorzutna ch dzia ania wywo uj ca wewn trzne i zewn trzne przejawy dzia alno ci (1975). Przez w asn aktywno cz owiek zaspakaja ró norodne potrzeby i realizuje wynikaj ce z nich cele. Cel i aktywno to dwa ci le ze sob zespolone poj cia. Bez przejawiania aktywno ci nie mo na celu ani ustali, ani osi gn. Aktywno jednostki mog wywo ywa i ukierunkowywa nie tylko zadania formu owane przez ni sam, ale te zadania stawiane przez otoczenie zewn trzne. Warunkiem jednak jest to, e jednostka uznaje je zaswoje i pozwol jej zaspokoi okre lone potrzeby. Wspó czesna pedagogika przypisuje aktywno ci w asnej ucznia szczególn rol w procesie uczenia si. Ucze, który przejawia aktywno charakteryzuje si nast puj cymi zachowaniami: podejmuje dzia ania z w asnej woli i wewn trznej motywacji, realizuje w asne potrzeby lub cele za pomoc samodzielnie dobranych metod i rodków, samodzielnie i odpowiedzialnie kieruje swoj dzia alno ci, kontroluje i ocenia wyniki swojej pracy, przekszta ca swoje dotychczasowe do wiadczenie i tworzy nowe ich kombinacje, podejmuje nowe zachowania, wynikaj ce z wewn trznych prze y i do wiadcze, jest wra liwy na nowe bod ce zewn trzne, jest zdolny do my lenia dywergencyjnego. Na poziomie klas I-III uczniowie, poza w asn, spontaniczn aktywno ci, skierowan na do chaotyczne poznawanie otaczaj cej ich rzeczywisto ci, podlegaj zewn trznej inspiracji, ukierunkowanej na uporz dkowane zdobywanie wiedzy. Ta stymulacja aktywno ci w sposób zorganizowany stanowi jedno z wa niejszych zada szko y. Szczególne znaczenie w tym zakresie niesie praca domowa uczniów z matematyki, któr ucze wykonuje samodzielnie. W tym przypadku samodzielno ucznia nale y rozumie jako jego aktywno nie wspieran fachow pomoc nauczyciela. I nie oznacza to te, e ucze musi t prac wykona w samotno ci, w domu, w swoim pokoju i przy w asnym biurku. Osoby wspieraj ce lub wspó uczestnicz ce w wykonywaniu pracy domowej z regu y nie dysponuj w a ciwym przygotowaniem metodycznym, zatem ich rola ogranicza si winna do ukierunkowania my lenia, przypominania faktów, motywowania, zach cania i kontroli. Aktywizowanie uczniów poprzez prac domow Jak wiele zagadnie w pedagogice, tak i te problem nauki domowej nale y do kontrowersyjnych. Niejednoznacznie rozumiane jest samo poj cie tej formy zaj 219

220 uczniów ró nie zwanej, np. nauk domow, prac domow, zadaniem domowym, w asn nauk pozaszkoln. Z kolei sam czynno nazywa si odrabianiem pracy domowej, odrabianiem lekcji. Wspóln jednak p aszczyzn dla tych terminów jest fakt, e wszystkie one s u do okre lenia zaj pozaszkolnych, najcz ciej podejmowanych w domu, a wykonywane czynno ci nale do samodzielnego uczenia si ucznia poza szko. W zwi zku z tym nauka domowa ucznia ma na celu: pobudzanie aktywno ci poznawczej uczniów i rozwijanie ich samodzielno ci my lenia, wdra anie do samodzielnej pracy jako przygotowanie do samokszta cenia, opanowanie okre lonego w programie materia u nauczania wraz z umiej tno ci pos ugiwania si nim w praktyce ( Kujawi ski, 1990). Prace domowe s dla uczniów sprawdzianem ich kompetencji, sposobem prezentacji i autoprezentacji oraz samooceny, natomiast dla nauczyciela okazj do: - wyzwalania u uczniów postaw kreatywnych, - budzenia ich zainteresowa, - rozwijania sprawno ci uczenia si przez stosowanie ró nych technik, - kszta towania nawyków systematycznego, dok adnego i ch tnego podejmowania zada (Pu lecki, 2005), - kszta towania postawy aktywnej i prospo ecznej. W pierwszych latach nauki w szkole dziecko nie ma wykszta conego nawyku samodzielnego uczenia si ani w szkole, a tym bardziej w domu. Do takiej pracy trzeba je stopniowo od najm odszych lat przygotowywa i wdra a, bowiem wytworzone w pierwszych latach nawyki s najtrwalsze. Praca domowa z matematyki w klasach I III Efektywna nauka domowa z matematyki w klasach I-III jest drug /po lekcji/ wa n form edukacji matematyczne ( Stucki, 1998). Umo liwia ona pog bienie i utrwalenie wiedzy matematycznej ucznia, wdra a do samodzielno ci w my leniu i dzia aniu oraz do pos ugiwania si wiedz w sytuacjach yciowych, rozwija systematyczno, wol i dok adno, inicjatyw i pomys owo, budzi wiar we w asne si y a tak e kszta tuje w a ciwy stosunek do pracy. Dla spe nienia wy ej wymienionych celów potrzebna jest ca a gama zada domowych. Najcz ciej stosowan, tradycyjn form prac domowych s zadanie z Kart pracy lub Zeszytu wicze. Zadania te w zasadzie nie odbiegaj zakresem tre ci i form od tych, które by y realizowane na lekcji, a nierzadko stopie ich trudno ci jest wy szy. Praca domowa wtedy jest przez uczniów traktowana jako nudny obowi zek, a sama matematyka jawi si uczniom jako nieciekawa, trudna i zmuszaj ca do wysi ku. Tego typu zadania s u y powinny g ównie wiczeniu i utrwalaniu umiej tno ci matematycznych, nie uwzgl dniaj jednak indywidualnych potrzeb uczniów. Prace domowe z matematyki mog te wyzwala aktywne postawy prospo eczne. Ju ucze klas ni szych mo e pracowa w domu z niewielk grup kolegów, przygotowuj c projekt, dziel c zadania i egzekwuj c ich wykonanie. Przez wspóln prac w o on w przygotowywany projekt uczniowie ucz si odpowiedzialno ci za wykonanie przydzielonego przez grup rówie nicz zadania. Innym przyk adem mo e by praca domowa, której tre wi e si z prac wykonywan na rzecz rodziny, rodze stwa czy s siada. Dziecko m odsze ucz c si w ten sposób matematyki: 220

221 - b dzie pracowa aktywnie w twórczy sposób szczególnie wtedy, kiedy opracowywane zagadnienie podbudowane b dzie du ym adunkiem nieoczekiwanych wra e i uczu, - b dzie odczuwa o zadowolenie ze swego dzia ania. - b dzie dostrzega o jej u yteczno, - b dzie korzysta o z wiedzy matematycznej w sytuacjach yciowych swoich i najbli szych, - b dzie tworzy o w asne pomys y rozwi zania yciowych problemów, - b dzie podejmowa o decyzj o zakresie realizacji pracy /praca obowi zkowa i dla ch tnych/, - z wi kszym zainteresowaniem b dzie przyst powa o do wykonywania zadanej pracy domowej. Aby rozwijanie matematycznej aktywno ci poprzez prace domowe przebiega o prawid owo i skutecznie, trzeba przestrzega pewnych warunków. Nale y ju na zaj ciach szkolnych stwarza takie sytuacje, które zapewniaj ucz cym si uczniom poczucie swobody, bezpiecze stwa i podmiotowo ci, a tak e samodzielno wiadomie podejmowanych dzia a oraz spo eczn i osobist ich u yteczno (Kruszko, 1996). Du e walory dydaktyczne i wychowawcze ma wykorzystanie efektów samodzielnej, domowej pracy uczniów w realizacji kolejnych tre ci matematycznych na zaj ciach (Kujawi ski, 1998). atwiej w ten sposób pobudzi i doceni aktywno dzieci, gdy ich wysi ek okazuje si niezb dny w zrozumieniu logicznego ci gu tre ci matematycznych realizowanych w szkole. Praca domowa z matematyki - nie tylko problem uczniów Dlaczego praca domowa szczególnie z matematyki wzbudza tak wiele negatywnych emocji u uczniów i ich rodziców? Dlaczego wspó cze ni rodzice irytuj si, odbieraj c prac domow ich dzieci jako dodatkowy obowi zek narzucony im przez szko, albo przeciwnie, realizuj w ten sposób swój nadmierny ambicjonalizm? Rola rodziców w rozwijaniu aktywno ci i samodzielno ci dzieci m odszych jest wa na. Rodzic, jednak powinien by konsultantem a nie wykonawc pracy domowej dziecka, a uczestnictwo w tym procesie powinno mie charakter wspieraj cy dobr organizacj pracy dziecka ucznia, a w tym g ównie: - wykazywa zainteresowanie sprawami szkolnymi dziecka, zach ca do nauki, dostrzega sukcesy i pora ki, - zach ca dziecko do podejmowania kolejnej ju tego dnia aktywno ci wzmacnianej wysi kiem umys owym, a nawet fizycznym. - zorganizowa sta e miejsce pracy, urz dzone tak, aby dziecko lubi o w nim przebywa, - tak racjonalnie organizowa zaj cia poszczególnych cz onków rodziny, aby dziecko przyzwyczai o si do wykonywania pracy domowej o sta ej porze dnia, - stwarza spokojn atmosfer w otoczeniu, - dba o dobr kondycj psychofizyczn dziecka. Propozycje aktywizuj cych prac domowych z matematyki w klasach I-III Klasa I 1. Doskonal c technik rachunkow w zakresie do 20 uczniowie koloruj w domu odpowiednie obszary rysunku odpowiednimi kolorami, otrzymuj sylwet grzyba 221

222 /muchomora/. W atlasie grzybów odnale jego nazw i dowiedzie si, czy jest on jadalny. 2. Z zebranych w parku owoców jesieni na trzech sznureczkach nawlecz po 10 owoców, na ka dym innego rodzaju. 3. Zmierz w centymetrach d ugo stopy ka dego domownika. Dowiedz si, jaki numer butów maj cz onkowie rodziny. 4. Przygotuj z mam surówk na obiad. Na wadze kuchennej odwa jej cztery sk adniki, po 10 dag ka dy. 5. Zrób 5 przysiadów, tata ma zrobi dwa razy wi cej a mama o 2 wi cej. Sprawd, czy rodzice wykonali w a ciw ilo przysiadów. Klasa II 1. Zaj cia szkolne zaczynaj si o godzinie Zmierz, ile czasu zajmuje ci poranna toaleta, niadanie, ubranie si i u o enie swoich rzeczy, droga do szko y. O której godzinie musisz wsta, aby nie spó ni si na lekcje. 2. Razem z trzema kolegami zaplanujcie wycieczk do muzeum i obliczcie jej koszty. Ustalcie razem, jakie ceny i czego musicie uwzgl dni w planowaniu. 3. U ó trzy zadania na temat form czynnego sp dzania czasu wolnego, do podanej formu y: = 4. Oblicz, ile litrów wody zu ywa twoja rodzina do mycia z bów. Czy wod mo na oszcz dzi i jak? 5. Przez tydzie codziennie o godzinie 7.30 odczytaj i zanotuj temperatur powietrza. W jakim dniu temperatura by a najwy sza, a kiedy najni sza? Klasa III 1. Z paragonu za dzisiejsze zakupy wynotuj produkty spo ywcze, drogeryjne, rodki czysto ci i higieny. Oblicz, za które zakupy mama zap aci a najwi cej? 2. Z opakowa produktów spo ywczych dowiedz si, jaki jest ich ci ar i wybierz takie, które zabra by na wycieczk piesz z plecakiem. 3. Oblicz koszt wyjazdu samochodem na wycieczk z twojej miejscowo ci do Warszawy. 4. Zrób zakupy s siadce i oblicz, czy w a ciw otrzyma e reszt. 5. Oblicz comiesi czne, czne koszty rtv, telefonów i Internetu w twoim domu. Literatura 1. Dobro owicz W. (1995): Psychodydaktyka kreatywno ci. Warszawa 2. Kierstein Z.(2004): Aktywne metody w kszta ceniu matematycznym. Opole 3. Kruszko K. (1996): Samodzielno uczniów klas pocz tkowych w nauce domowej. ycie Szko y, nr 1 4. Kujawi ski J.(1990): Doskonalenie pracy lekcyjno-domowej w klasach pocz tkowych. Warszawa 5. Kujawi ski J.(1998): Wspó dzia anie partnerskie w szkole. Pozna 6. Oko W. (1975) Trzy kategorie dzia alno ci twórczej dzieci i m odzie y. Kwartalnik Pedagogiczny, nr 4 7. Pu lecki W.(2005): Praca domowa najm odszych uczniów. Kraków 8. Stucki E.(1998): Nauczanie matematyki w klasach ni szych, cz. I. Bydgoszcz 9. Szpiter M. (1998): Znaczenie nauki domowej. ycie Szko y, nr Wielgosz E. (2001): Jak rozwija aktywno uczniów klas I III. ycie Szko y, nr 7 222

223 Kontaktní adresa Jolanta Seidel doktor Uniwersytet Kazimierza Wielkiego Zak ad Pedagogiki Wczesnoszkolnej ul. Chodkiewicza Bydgoszcz tel , tel. kom. (0048) , 223

224 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V JEDNA CESTA OD ODBORNÝCH K DIDAKTICKÝM KOMPETENCIÁM U ITE A - ELEMENTARISTU Iveta SCHOLTZOVÁ Abstrakt Pregraduálna matematická príprava budúcich u ite ov pre primárny stupe vzdelávania smeruje od odborných k didaktickým kompetenciám. Túto skuto nos by mala demonštrova štátna skúška z matematiky s didaktikou. Kreovanie nového modelu štátnej skúšky a prvé skúsenosti s jeho aplikáciou prinášajú inšpiratívne podnety pre pregraduálne ale aj postgraduálne vzdelávanie u ite ov-elementaristov. ONE ROUTE FROM SUBJECT-SPECIALIST TO INSTRUCTIONAL- DIDACTICAL COMPETENCES OF TEACHER IN ELEMENTARY STAGE Abstract In the paradigm of undergraduate mathematical training of prospective elementary teachers there is a passage from subject knowledge to curriculum and instruction related competences. The fact endorsed by a new model of state examination of Mathematics and Didactics. The process of creating the new model, as well as first experience with its implementation breed inspirational inducement for both undergraduate as well as postgraduate teacher training. Od akademického roka 2003/2004 prešla Katedra slovenského jazyka a literatúry na Pedagogickej fakulte Prešovskej univerzity v Prešove od tradi ne preferovaného modelu štátnych skúšok k inovovanému, k podobe komunika nej rozpravy o prezentovanom integrovanom projekte študenta. (Hlebová, B., 2005) Pozitívne ohlasy na takto realizovanú štátnu skúšku potvrdili už dlhšie sa vynárajúcu myšlienku v prostredí lenov Katedry matematiky PF PU o potrebe inovova obsah aj formu štátnej skúšky z matematiky s didaktikou tak, aby vo vä šej miere reflektovala na potreby praxe. Tieto skuto nosti sa vynorili aj pri príprave grantového projektu Moderné informa no-komunika né technológie ako prostriedok alšieho vzdelávania u ite ov-elementaristov v matematike, hlavne v súvislosti s problémami, s ktorými sa po príchode do praxe stretávajú za ínajúci u itelia (Šim íková, 2006). Bolo tiež zistené, že budúci u itelia-elementaristi majú niekedy ažkosti aj s riešením úloh, ktoré sa nachádzajú v u ebniciach a pracovných zošitoch pre 1. stupe ZŠ (Mokriš, 2005). V minulosti boli otázky, na ktoré študent odpovedal na štátnej skúške, vytvárané nasledovne: jedna téma z aritmetiky (z 1. ro níka vysokoškolského štúdia) a na u, pod a možnosti, nadväzujúca téma z didaktiky matematiky (3. ro ník); druhá téma 224

225 z algebry alebo geometrie (2. ro ník) plus nadväzujúca téma z didaktiky matematiky (3. ro ník). Študent takto prezentoval v prvom rade svoje vedomosti a len vo ve mi obmedzenej forme aj nejaké zru nosti. Vzh adom na rozsah otázky, akoby štyri iastkové problémy, z asového h adiska bol vytvorený malý priestor na diskusiu a hlbší ponor do problematiky. Môžeme sa uspokoji s pripravenos ou študenta, ktorý uvedie perfektne nau ený príklad dôkazu matematickou indukciou, ale nevie identifikova asociatívny zákon pri s ítaní s prechodom cez 10? (Partová, 2005, s. 378) Myslíme si, že nie. Potreba inovova štátnu skúšku z matematiky s didaktikou bola determinovaná viacerými faktormi a medzi nimi vystúpili do popredia tieto: 1. obsah kopírujúci iastkové skúšky po as štúdia; 2. preferencia odbornej matematickej asti na úkor didaktickej interpretácie; 3. nekomplexnos poh adu na problematiku vyu ovania matematiky na 1. stupni základnej školy; 4. nedostato né prepojenie na požiadavky praxe; 5. forma priebehu štátnej skúšky ve mi podobná iastkovým skúškam. Výsledkom analýzy tak boli v prvom rade inovované tézy na štátnu skúšku z matematiky s didaktikou z disciplín Aritmetika, Algebra, Geometria a Didaktika matematiky (a Propedeutika matematických predstáv v predškolskom veku pre študijný odbor Predškolská a elementárna pedagogika). Hlavná zmena nastala v tom, že vychádzajúc z téz, bolo vytvorených v študijnom odbore U ite stvo pre 1. stupe 26 tém integrovaných vyu ovacích projektov a v odbore Predškolská pedagogika 4 témy. Študent si na štátnej skúške zvolí ( vytiahne ) jednu tému a jeho úlohou je prezentova svoju spôsobilos v troch rovinách: 1. Teoretické východiská k danej problematike prezentova odborné poznatky z matematiky, ktoré sú fundamentom pre vyu ovanie danej problematiky na 1. stupni ZŠ. 2. Didaktická interpretácia problematiky na 1. stupni ZŠ preukáza poznanie didaktickej interpretácie danej problematiky vo vyu ovacom procese na 1. stupni ZŠ u ebné osnovy, u ebnice, pracovné zošity, metodika zavedenia jednotlivých pojmov, typické príklady a úlohy. 3. Didaktické spracovanie modelu vyu ovacej jednotky návrh vyu ovacej hodiny (alebo jej asti) s danou problematikou. Kognitívne a afektívne ciele, metódy a formy. Motivácia, konkrétne príklady a úlohy, u ebné pomôcky, elementy integrovaného tematického vyu ovania at. Na štátnej skúške boli pre študenta k dispozícii (tak, ako je to u u ite a v praxi): U ebné osnovy U ebnice a pracovné zošity Metodické príru ky. Študent si môže na štátnu skúšku donies a pri svojej odpovedi použi vlastnoru ne vyrobenú u ebnú pomôcku, ktorá má zefektívni sprístupnenie danej problematiky žiakom vo vyu ovacom procese na 1. stupni ZŠ. Nebolo prípustné, aby na štátnej skúške z matematiky s didaktikou matematiky boli používané písomné prípravy vypracované vopred - doma. (Na rozdiel od štátnej skúšky zo slovenského jazyka a literatúry, kde si študent vopred vypracuje 20 integrovaných projektov písomných príprav a tie si prinesie na štátnu skúšku (Hlebová, 2005)). 225

226 Ukážka jednej otázky tak, ako bola k dispozícii pre študentov na štátnej skúške z matematiky s didaktikou: KRUŽNICA A KRUH Teoretické východiská Definície pojmov kružnica a kruh. asti kružnice a kruhu. Vzájomná poloha priamky a kružnice, dvoch kružníc v rovine. Didaktická interpretácia na 1. stupni ZŠ Propedeutika pojmov kružnica a kruh vo vyu ovaní matematiky na 1. stupni ZŠ. Metodika zavedenia pojmov kružnica a kruh. Vlastnosti kružnice a kruhu. Metodika rysovania kružníc. Didaktické spracovanie modelu vyu ovacej jednotky Návrh vyu ovacej hodiny (alebo jej asti) s danou témou. Kognitívne a afektívne ciele, metódy a formy. Motivácia, konkrétne príklady a úlohy, u ebné pomôcky, elementy integrovaného tematického vyu ovania at. Takto realizovaná štátna skúška z matematiky s didaktikou, na rozdiel od minulosti, u mnohých študentov nebola len prezentáciou a memorovaním získaných poznatkov. Bol vytvorený as a priestor na tvorivú prezentáciu zru ností každého študenta ako budúceho u ite a matematiky na 1. stupni základnej školy. Bola snaha smerova k tomu, aby budúci u ite elementarista pri vyu ovaní matematiky ovládal umenie dedukova a umenie komunikova (Brincková, 2005). Cie om komunikácie medzi študentom a lenmi skúšobnej komisie bolo vies dialóg o téme, zisti h bku vedomostí študenta a hlavne mieru jeho pripravenosti na ich využitie v pedagogickej praxi. Niektoré konkrétne postrehy z priebehu štátnych skúšok sumarizovala Tomková (2005). Prvé hodnotenie inovovanej štátnej skúšky z matematiky s didaktikou je ur ite pozitívne. Vyskytli sa však aj niektoré problémy. 1. Študenti na prijate nej úrovni zvládli prvú as teoretické východiská. 2. Vä šie ažkosti mali študenti s prezentáciou danej témy v kontexte didaktickej interpretácie na 1. stupni základnej školy. Niektorí podcenili prípravu v zmysle preštudovania u ebníc, pracovných zošitov a metodických príru iek. Ukázalo sa, že mnohí ich dostato ne nepoznajú a nevedia sa v nich orientova. V takomto prípade im nepomohlo ani to, že ich mali k dispozícii. 3. Tretia as didaktické spracovanie modelu vyu ovacej jednotky spôsobovala mnohým najvä šie problémy. Ukázalo sa, že napriek tomu, že študent pozná teoretické východiská danej problematiky a vie, o sa u í na 1. stupni základnej školy, astokrát nedokáže na prijate nej úrovni odovzda toto všetko žiakovi v eduka nom procese. 4. V rámci predmetu Vybrané kapitoly z matematiky (4. ro ník zimný semester) bol vytvorený priestor na konzultácie o štátnych skúškach. Zo strany vyu ujúcich bolo zdôraz ované, aby študenti pri svojej príprave nepodcenili druhú a hlavne tretiu as otázok. Bol vytvorený priestor na prezentáciu pripravených modelov vyu ovacej jednotky. Napriek tomu zo strany študentov bola podcenená táto as prípravy. U mnohých bolo evidentné, že si dostato ne vopred nepremysleli a nepripravili, ktorú as u iva a ako by prezentovali. To sa prejavilo aj v to, že len ve mi málo študentov si donieslo vlastnoru ne vyrobenú u ebnú pomôcku, ktorá im mohla napomôc pri prezentácii didaktického spracovania modelu vyu ovacej jednotky. 226

227 5. Objavili sa však aj odpovede, z ktorých bolo zrejmé, že študent našiel cestu od odborných k didaktickým kompetenciám budúceho u ite a-elementaristu. Premyslená štruktúra, nadväznos všetkých troch astí, integrácia elementov z iných predmetov (slovenský jazyk a literatúra, prvouka, prírodoveda, vlastiveda, výchovy hudobná, telesná, výtvarná), uplatnenie poznatkov z pedagogiky a psychológie to všetko dokumentovalo, že pregraduálna príprava splnila svoj cie. Nie všetci budúci u itelia však už na vysokej škole objavia tie správne cesty k svojim žiakom a k sprístupneniu matematiky. Táto skuto nos nás viedla k príprave projektu Moderné informa no-komunika né technológie ako prostriedok alšieho vzdelávania u ite ov-elementaristov v matematike. V jeho rámci pripravujeme na Katedre matematickej edukácie Pedagogickej fakulty Prešovskej univerzity pracovisko, ktoré bude poskytova konzulta né služby pod a individuálnych požiadaviek u ite ov z praxe s využitím najmodernejších informa no-komunika ných technológií ( Internet video a audio kontakt v reálnom ase, , diskusný klub; fax). V priebehu prípravy konzulta ného strediska boli vyšpecifikované niektoré oblasti, ktorým bude venovaná pozornos, ako to uvádzajú Mokriš (2006), Prídavková (2006), Šim íková (2006), Tomková (2006), Ze ová (2006). alšie námety sa ur ite objavia pri komunikácii a konzultáciách s u ite mi z praxe. Veríme, že tieto naše aktivity, zmena obsahu a formy štátnych skúšok z matematiky s didaktikou a zriadenie konzulta ného strediska, prispejú k tomu, aby matematika bola vhodným prostredím pre rozvoj osobnosti žiaka primárnej školy. Literatura 1. BRINCKOVÁ, J. Deduktívne prístupy v didaktickej príprave u ite a matematiky z poh adu medzinárodnej spolupráce. In Induktívne a deduktívne prístupy v matematike. Zborník príspevkov z konferencie. Trnava: Trnavská univerzita, s ISBN HLEBOVÁ, B. Príprava študentov na inovované štátne skúšky zo slovenského jazyka a literatúry. In Slovo o slove. Zborník katedry komunika nej a literárnej výchovy Pedagogickej fakulty Prešovskej univerzity. 1. vyd. Prešov: Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra komunika nej a literárnej výchovy, s ISBN X. 3. MOKRIŠ, M. Matematické vedomosti a zru nosti študentov elementaristov. In Induktívne a deduktívne prístupy v matematike. Zborník príspevkov z konferencie. Trnava: Trnavská univerzita, s ISBN MOKRIŠ, M. Sú až z matematiky a matematická edukácia. V tomto zborníku. 5. PARTOVÁ, E. Sú asný stav inovácie matematickej prípravy u ite ov elementaristov. In Príprava u ite ov elementaristov a európsky multikultúrny priestor. Zborník z medzinárodnej vedeckej konferencie, Prešov Prešov: PF PU, s ISBN PRÍDAVKOVÁ, A. Didaktické prostriedky pre prácu s nadanými žiakmi. V tomto zborníku. 7. ŠIM ÍKOVÁ, E. Matematické kompetencie za ínajúceho u ite a elementaristu. In V tomto zborníku. 227

228 8. TOMKOVÁ, B. Nová forma štátnych skúšok. Rukopis. Prezentovaný na konferencii Matematika v škole dnes a zajtra, , Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity v Ružomberku. 9. TOMKOVÁ, B. Problémy u ite ov preelementaristov pri rozvíjaní matematických predstáv. V tomto zborníku. 10. ZE OVÁ, V. Matematický diktát jedna z ciest rozvoja matematickej gramotnosti žiaka primárnej školy. V tomto zborníku. Príspevok bol spracovaný ako sú as grantového projektu Moderné informa nokomunika né technológie ako prostriedok alšieho vzdelávania u ite ov-elementaristov v matematike (MŠ SR KEGA 3/3027/05). Kontaktní adresa RNDr. Iveta Scholtzová, PhD. Katedra matematickej edukácie PF PU Ul. 17. novembra 1, Prešov, Slovensko Telefon: scholtzi@unipo.sk 228

229 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V MATEMATICKÝ DIKTÁT JEDNA Z CIEST ROZVOJA MATEMATICKEJ GRAMOTNOSTI ŽIAKA PRIMÁRNEJ ŠKOLY Iveta SCHOLTZOVÁ, Veronika ZE OVÁ Abstrakt Reálny život niekedy vyžaduje použi matematiku v situáciách, kedy sú informácie poskytnuté nielen v písomnej, ale aj vo zvukovej podobe. Matematické úlohy v škole sú však vä šinou zadávané písomne. Matematický diktát by mohol by jednou z ciest, ako žiaka pripravi na takéto životné situácie, a tak prispie k rozvoju jeho matematickej gramotnosti. MATHEMATICAL DICTATION THE METHOD OF DEVELOPING THE MATHEMATICAL COMPETENCE OF PUPILS AT PRIMARY SCHOOL Abstract In the real life it is always needed to use maths in such situations when informations are given not only in a written way, as well as in an acustic way. Mathematical excersises in school are mostly given in written form. Mathematical dictation might be one of ways how to prepare pupils for situations in real life and in this way it could contribute to mathematical competence. V roku 2003 sa na Slovensku prvýkrát uskuto nila štúdia OECD PISA s cie om zisti, ako sú mladí udia pripravení na život. Prostredníctvom špeciálne vytvorených testov bola skúmaná matematická gramotnos a miera, v akej je rozvinutá u 15-ro ných žiakov. Výsledkom štúdie bolo zistenie, že oproti iným krajinám Slovensko dosiahlo len priemerné výsledky. Domnievame sa, že tieto výsledky sú dôvodom na zamyslenie sa, i je vyu ovanie matematiky primerane efektívne a i rozvíja v dostato nej miere matematické kompetencie žiakov. Predpokladáme, že tieto nedostatky môžu ma pôvod už na prvom stupni základnej školy. Práve vhodne volené úlohy zadané formou matematického diktátu by mohli napomôc žiakom pri riešení matematických úloh v reálnom živote. Štúdia OECD PISA definuje matematickú gramotnos ako schopnos jedinca rozpozna a pochopi úlohu matematiky vo svete, robi zdôvodnené hodnotenia, používa matematiku a zaobera sa ou spôsobmi, ktoré zodpovedajú potrebám života konštruktívneho, zaujatého a rozmýš ajúceho ob ana. Úlohy, ktoré testovanie matematickej gramotnosti zah a, môžeme rozdeli do štyroch situácií: škola, zamestnanie a vo ný as, spolo nos a veda. Hlavné kritérium pre výber úloh na rozvoj matematickej gramotnosti je vzdialenos medzi žiakom a situáciou. (Z. Kubá ek, 2004) Žiak by mal vedie 229

230 narába s úlohami bližšími ale aj vzdialenými, no na prvom stupni základnej školy (ZŠ) sú pre žiakov vhodnejšie úlohy menej vzdialené. Matematický diktát je jednou z foriem preverovania vedomostí žiakov v matematike. Hlavným znakom diktátu je, že zadanie nie je ponúknuté v písomnej podobe, ale je zadané v zvukovej podobe, ím pripomína situáciu z reálneho sveta, kde žiak nemá k dispozícii písomný záznam problému, ktorý má vyrieši. Proces prijatia, spracovania a riešenia úlohy zadanej písomne sa líši od procesu riešenia úlohy zadanej ústne. Rozdiely sú zaznamenané v nasledujúcej tabu ke. Úloha zadaná písomne Žiak musí íta s porozumením. Vstupné údaje by si mal preh adne zazna i, ale ak to neurobí, v zadaní si ich môže nájs. Žiak nemusí písa v požadovanom tempe. Môže sa k zadaniu pod a potreby vráti. Úloha zadaná v zvukovej podobe Žiak musí pozorne po úva. Vstupné údaje si musí preh adne zazna i, zadanie už neskôr nemá k dispozícii. Žiak musí pracova v požadovanom tempe. Nemôže sa k zadaniu vráti. Z dôvodu rozdielov uvedených v tabu ke sme sa rozhodli zrealizova prieskum, v ktorom sme porovnávali výsledky žiakov v prípade, že im úlohy boli zadané formou testu (úlohy zadané písomne) a výsledky v prípade, že im boli úlohy zadané formou matematického diktátu (úlohy zadané ústne). Test a matematický diktát obsahovali úlohy, ktorými sme skúmali matematickú gramotnos žiakov vo štvrtom ro níku ZŠ. Žiakom bol najskôr zadaný test, ktorý obsahoval 4 úlohy s otázkami s krátkou odpove ou. Po tomto testovaní neboli žiakom poskytnuté návody na riešenie daných úloh ani ich výsledky. O mesiac neskôr bol tým istým žiakom zadaný matematický diktát s úlohami s podobným obsahom a s rovnakou stratégiou riešenia. Prvé testovanie trvalo 45 minút, druhé testovanie (matematický diktát) trvalo 35 minút. Skúmaný súbor tvorilo 155 žiakov 4. ro níkov základných škôl. Z toho bolo 79 diev at a 76 chlapcov. Pri hodnotení jednotlivých úloh, ako uvádza vo svojej analýze schopností študentov PF PU M. Mokriš (2005), sme sa zameriavali na schopnosti: spracova informáciu (porozumie zadaniu danej úlohy), nájs stratégiu riešenia, vhodne ju písomne vyjadri a uvedomi si reálnos výsledku. Úloha.1 Graf znázor uje po et predaných okolád v školskom bufete každý de v týždni. 80 PO ET PREDANÝCH OKOLÁD Pondelok Utorok Streda Štvrtok Piatok DE Z grafu zisti: a) Ko ko okolád predali v školskom bufete v utorok? b) Ko ko okolád predali v školskom bufete spolu za celý týžde? c) Ko ko zarobili spolu za okolády predané vo štvrtok a v piatok, ak je cena jednej okolády 15 korún? 230

231 V tejto úlohe sme analyzovali, i žiaci vedia vy íta potrebnú informáciu z grafu a i ju následne dokážu alej využi. Pri písaní matematického diktátu mali žiaci k dispozícii graf nakreslený na tabuli. S písomne zadanou úlohou si poradilo 23,23% žiakov, s matematickým diktátom 34,19% žiakov. Naj astejšie chyby, ktorých sa žiaci dopustili: V úlohe. 1 a) Žiak zapísal po et dielov daného st pca a nezapísal hodnotu, ktorá mu prislúcha. Žiak nezapísal údaj zo správneho st pca (namiesto stredy zapísal pondelok). V úlohe. 1 b) Naj astejšie sa žiaci dopúš ali numerickej chyby. Žiak s ítal po et dielov, nes ítal skuto né hodnoty. V úlohe. 1 c) Žiaci zapisovali po et okolád predaných v dané dni. Výsledné íslo nevynásobili cenou jednej okolády. Vyskytol sa typ odpovede , v ktorej žiaci k po tu okolád pripo ítali cenu jednej okolády. Úlohu sme zaradili k obsahovo bližším vo vz ahu k žiakovi. Žiak na 1. stupni ZŠ sa však s grafmi stretáva len ve mi sporadicky. V tejto úlohe sme nezistili významné rozdiely v úspešnosti písania matematického diktátu a písomne zadaného testu. Analýza však ukázala, že žiak informáciu z grafu pre íta vie, ale nevie s ou alej pracova. Úloha.2 Vlak vychádza zo stanice o 8:45. Cesta do cie ovej stanice mu trvá 6 hodín a 32 minút. Aký as budú ukazova hodiny, ke vlak dôjde do cie ovej stanice na as? Už aj žiaci na 1. stupni ZŠ by, pod a nášho názoru, mali vedie flexibilne pracova s asovými údajmi. Stretávajú sa s nimi takmer každý de, preto práca s týmito údajmi by nemala by pre nich problémom. Z h adiska spôsobu riešenia ide o divergentnú slovnú úlohu, ktorú sme zaradili k úlohám obsahovo žiakovi vzdialenejším. Pojmom divergentná úloha budeme rozumie takú úlohu, na riešenie ktorej existuje viac rôznych stratégií a metód. (A. Prídavková, 2004) Naj astejšie žiaci používali spôsob, pri ktorom samostatne zrátali hodiny a minúty a po et vypo ítaných minút premenili. Správny výsledok uviedlo v písomne zadanom teste 39,35% žiakov a v matematickom diktáte 56,13% žiakov. Naj astejšia chyba, ktorej sa žiaci dopustili, bolo neuvedomenie si reálnosti výsledku (zapisovali výsledný as v tvare 14:77; ; 77 hodín; 98 minút; 5 minút a pod.). Úloha.3 Janko a Ferko hrali po as týžd a basketbalový turnaj. Ko ko bodov získali, to ko si zapísali každý de do tejto tabu ky: JANKO FERKO Pondelok Streda Piatok Sobota Vyhráva ten z chlapcov, ktorý získal viac bodov. a) Ktorý z chlapcov vyhral? 231

232 b) O ko ko bodov mal ví az viac ako porazený? V tejto úlohe sme zis ovali, i žiaci dokážu zisti potrebné informácie z tabu ky a i tieto informácie dokážu alej využi. Pri zadávaní matematického diktátu bola tabu ka nakreslená na tabuli tak, aby bola pre všetkých žiakov dobre vidite ná. Z prieskumu vyplynulo, že 54,19% žiakov pri písomne zadanej úlohe a 66,45% žiakov pri matematickom diktáte dokáže informáciu z tabu ky vy íta, správne ju využi a dopracova sa k správnemu výsledku. Túto úlohu sme zaradili k úlohám obsahovo bližším žiakom. V nesprávnych riešeniach sa vyskytovali najmä numerické chyby. Úloha.4 u oriedková torta (recept pre 5 osôb) Potrebujeme: Na cesto: 200 g masla, 150 g práškového cukru, 1 vanilku, 5 vajec, 170 g hladkej múky, 1 puding s vanilkovou príchu ou, 1 balenie prášku do pe iva, 100 g nastrúhanej okolády, 100 g strúhaných orechov Na plnku: 2 smotany na š ahanie, 2 vanilky, 250 g u oriedok, 2 lyžice rumu Ko ko ktorých surovín musí tvoja mama použi, ak chce upiec tortu na oslavu tvojich narodenín, na ktorých bude 10 udí? V riešení sme od žiakov vyžadovali, aby presne napísali, ko ko ktorých surovín musia použi. Úlohu považujeme za obsahovo vzdialenejšiu vzh adom k žiakovi. V matematickom diktáte uviedlo správny výsledok 43,23% žiakov, v písomne zadanej úlohe boli žiaci úspešnejší. Správny výsledok uviedlo 69,03% žiakov. Naj astejšie sa žiaci dopustili týchto chýb: v matematickom diktáte sluchom nesprávne zachytené diktované íslo, vynechanie niektorej suroviny, zrátanie všetkých ísel v recepte, chyba vo výpo te. v písomne zadanej úlohe nesprávne opísaný údaj, chyba vo výpo te, zrátanie všetkých ísel v recepte, vynásobenie množstva každej suroviny desiatimi. Celkové porovnanie úspešnosti uvádzame v nasledujúcom grafe. Porovnanie úspešnosti 80,00% 70,00% 60,00% 50,00% 40,00% 30,00% 20,00% 10,00% 0,00% práca s grafom práca s asom práca s tabu kou práca s receptom písomne zadaná úloha ústne zadaná úloha Z grafu vidie, že v prvých troch úlohách došlo oproti písomne zadanej úlohe k zvýšeniu úspešnosti. Žiaci túto skuto nos pri závere ných rozhovoroch zdôvod ovali najmä tým, že zadanie si nemuseli pre íta, sta ilo len pozorne po úva. Pod a nášho názoru túto skuto nos mohli ovplyvni aj rôzne iné faktory: nepre ítanie textu s porozumením, opakované zadanie podobných úloh, neúmyselná slovná pomoc pri 232

233 zadávaní matematického diktátu, celková atmosféra v triede a pod. V poslednej úlohe sledujeme pokles úspešnosti. K tomu došlo, pod a nášho názoru, najmä preto, že úloha obsahovala vä šie množstvo íselných údajov, v zápise ktorých sa žiaci astejšie mýlili. Všeobecne žiaci ozna ili matematický diktát za ob úbenejší a pre nich zaujímavejší ako písomka alebo test. Myslíme si, že matematický diktát by mohol by medzistup om medzi písomne zadávanou úlohou v škole a situáciami, s ktorými sa žiaci stretávajú v reálnom živote a je pri ich riešení potrebné použi matematický aparát. Matematický diktát tým, že je zadávaný ústne, pripomína situáciu z reálneho života, motivuje žiakov k práci v danom tempe a podporuje iniciatívu a sebadôveru u žiakov, a tým má reálnu šancu zvyšova matematickú gramotnos žiaka. U ite om z praxe by bolo vhodné ponúknu databázu s úlohami z reálneho života, ktoré budú môc využíva na hodinách matematiky. V tomto školskom roku plánuje Katedra matematickej edukácie PF PU sprístupni internetovú stránku venovanú u ite om a rodi om, ktorej obsahom budú aktuálne informácie z prostredia matematického vzdelávania žiakov na 1. stupni ZŠ a žiakov predškolského veku. Zámerom tejto stránky je, okrem iného, aj vytvorenie takejto databázy. Literatura 1. KUBÁ EK, Z. a kol. Matematická gramotnos správa Bratislava: ŠPÚ, ISBN MOKRIŠ, M. Matematické vedomosti a zru nosti študentov elementaristov. In Zborník z konferencie: Induktívne a deduktívne prístupy v matematike. Trnava: Trnavská univerzita, s ISBN PRÍDAVKOVÁ, A. Skúmanie riešite ských stratégií úloh z matematiky. In Zborník z medzinárodnej konferencie: Cesty (k) poznávání v matematice primární školy. Olomouc: Univerzita Palackého, s ISBN X. 4. ZE OVÁ, V. Tvorba matematických diktátov v 3. a 4. ro níku základnej školy. Diplomová práca. Prešov: PF PU, Príspevok bol spracovaný ako sú as grantového projektu Moderné informa nokomunika né technológie ako prostriedok alšieho vzdelávania u ite ov-elementaristov v matematike (MŠ SR KEGA 3/3027/05). Kontaktní adresa RNDr. Iveta Scholtzová, PhD. Mgr. Veronika Ze ová Katedra matematickej edukácie, PF PU Ul. 17. novembra 1, Prešov, Slovensko Tel.: scholtzi@unipo.sk zelova@unipo.sk 233

234 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V K PROSTOROVÉ P EDSTAVIVOSTI ŽÁK PRIMÁRNÍHO VZD LÁVÁNÍ Slavomíra SCHUBERTOVÁ Abstrakt V p ísp vku je provedena analýza výsledk jednoho testu prostorové p edstavivosti. Test byl sestaven z úloh odpovídajících u ebnicím 5. ro níku. Zkoumání se podrobili žáci 5. a 6. ro níku ZŠ. Podrobn ji budou rozebrány n které chyby v odpov dích žák a u itel m budou nabídnuty nám ty pro další práci. CUBICAL IMAGINATION OF STUDENTS IN PRIMARY SCHOOL Abstract The text analyses the results of the cubical imagination test. The test was put together from exercises of the texbooks for fifth grade. This research was done in fifth and sixth grade of primary school. The errors will be analysed in detail and there will be offered subject to the teachers for further work. Cíle výzkumu: zjistit jaké p edstavy si žáci p inášejí na druhý stupe, poznat kvalitu geometrických p edstav žák, zjistit, jak žáci rozumí zadání úlohy. Výzkumu se zú astnili žáci 5. a 6. ro níku. Žák m byly sd leny pokyny k textu: pracujte v libovolném po adí, výsledky ešení pište do zadání, na jednotlivé úlohy máte dostatek asu. S n kterými žáky byl proveden následný rozbor úloh. ešitel m byla p i rozhovoru nabídnuta možnost manipulovat s kostkami, stav t modely krychlí z papíru. U itel pracoval s jednotlivými žáky vždy sám, využíval hravosti d tí. Bylo vytvo ené podn tné a motiva ní prost edí. D ti experimentovaly s vlastnoru n vyrobenými sít mi, aby vylou ily nesprávné možnosti a našly správné ešení odpovídající zadání úlohy. Tvorbou vlastních sítí si ešitelé rozvíjeli své motorické schopnosti, manuální schopnosti, došlo k rozvoji kognitivních dovedností. Žáci byli vedeni k ešení r zných životních zkušeností s p edm ty nenechat se odradit po áte ním neúsp chem. V pr b hu ešení úloh žáci precizovali svoje p edstavy pomocí preceptor hmat a zrak. Zajímavé bylo poznání, že žáci slabší byli p i manipulativní innosti daleko byst ejší a dosp li k správnému ešení pomocí model práce je zaujala. Žáci se drželi pouze návodu u itele vyrob si papírový model ke správnému výsledku dosp li zcela 234

235 samostatn. Pomocí vizuálních informací dochází ke kultivaci p edstav nejen geometrických. Zadání testu: Úloha 1) Zadání: Na prvním obrázku je sí kvádru. Který z kvádr má takovou sí? Napiš ano ne. Správné ešení: a) ne b) ano c) ne d) ano Úloha 2) Zadání: Dokresli sí hrací kostky z obrázku, když víš, že sou et te ek v prot jších st nách je vždy 7. Správné ešení: Úloha 3) Zadání: Hlavolam.Dokresli zna ky na jednotlivé st ny tak, aby oba obrázky byly sít mi téže krychle. Správné ešení: Úloha 4) Zadání: Z kolika kostek je postavena stavba? Stavba je z kostek. Správné ešení: Stavba je z 30 kostek. 235

236 Úloha 5) Zadání: Najd te v krychli tvar písmene L. Kolik písmen L v krychli najdete? Autorovo ešení: v krychli najdeme 24 možností písmen L Úloha 6) Zadání: Krychle, jejíž sí je na obrázku položena tak, že na zadní st n je možné p e íst písmeno B. Dopl te písmena na viditelné t i st ny. Správné ešení: Úloha 7) Zadání: Které z kostek pat í sí na obrázku? Správné ešení: sí pat í t etí kostce zleva. Vyhodnocení testu: Tabulka 1.: Po ty ešitel 5. ro ník 6. ro ník chlapci dívky celkem Tabulka 2.: Vyhodnocení odpov dí ešitel 5. ro ník 6. ro ník Úloha správn chybn ne ešeno správn chybn ne ešeno

237 Dopl ující komentá e k jednotlivým úlohám: Úloha 5) Najd te v krychli tvar písmene L Kolik písmen L v krychli najdete? Autorské ešení uvádí 24 možností. Rozborem chyb jsme zjistili, že n kte í žáci uvád jí 4 nebo 6 ešení, které lze považovat za správná. Problém spo ívá v porozum ní zadání úlohy a vysv tlení pojmu tvar písmene L, je možné tedy zadání doplnit písmeno L, tvo ené hranami krychle, m žete libovoln p emis ovat a otá et. Z tohoto d vodu jsem žák m jako správné ešení uznala již zmi ované výsledky a to 4 nebo 6 tvar písmene L. P epis autentického rozhovoru u itele (U) a žáka (Z): U: Najdeš i jiné ešení? Ž: A to mohu písmeno L oto it? U: Ano, i to je potom tvar písmeno L. Ž: Tak, to je více možností. U: Spo ítej všechny možnosti. Ž: Potom je to 24. Dosp li jsem tedy k autorskému ešení úlohy. U: Našel bys další tvary písmen, které na krychli m žeme hledat, jestliže využiješ kombinací hran, st nových a t lesových úhlop í ek atd.? Ž: Už mám písmeno H; N; V; T; I. Žáci byli schopni samostatn vytvo it obm ny zadané úlohy. Úloha 6) S touto úlohou m li žáci problémy. P i práci s chybujícími žáky, nebo s t mi, kte í se nepokusili o ešení úlohy, dojdeme k p ekvapivým výsledk m. Všichni oslovení ešitelé m li možnost pracovat s papírovou sítí podle zadání. Výsledek se dostavil až potom, co krabi ku oblékli do vyst ižené papírové sít. U: Vytvo z papíru sí této kostky. Ž: Tvo í sí zcela samostatn. U: Na sí napiš písmena tak, aby odpovídala zadání. Ž: Zapisuje p esný tvar písmen zcela samostatn bez pomoci u itele. U: Nyní obal kostku svojí sítí tak, aby písmeno B bylo na zadní st n. Ž: Provádí požadovanou innost. U: Nyní do zadání napiš ešení dopl písmena na viditelné st ny. Ž: Je schopen zcela samostatn dojít k správnému ešení. Úsp šnost ešení se výrazn zlepšila. U itel poskytl dopl ují informace a všichni žáci úlohu vy ešili správn, zcela samostatn. Došlo k propojení životních zkušeností nevím si rady, vytvo ím model. Je pot šitelné, že hlavn slabší žáci, kte í tvrdili, že úloha je t žká, zaujímali odmítavý postoj k ešení, byli v tvo ivé innosti více aktivní. U itel m l možnost pozorovat žáky v jiných situacích a zm nit sv j názor a postoj k t mto žák m. Úloha 7) Tato úloha byla pro n které žáky obtížná, ani p i následném rozhovoru. Nedovedli správn popsat, které ešení je možné. Teprve tehdy, když si vlastnoru n vyrobili sí podle zadání, vždy našli správné ešení. Bylo by patrn zajímavé ov it, jak by se zm nil výsledek, pokud by žáci opakovan dostávali obm n nou úlohu a s jakou úsp šností by potom úlohu ešili. 237

238 Na základ takto získaných vlastních zkušeností nabízím n kolik nám t k rozvíjení prostorové p edstavivosti žák primárního vzd lávání: žák m ne inily potíže ty úlohy, které si mohli prakticky vyzkoušet už d íve formou hry stavby z kostek krychlová t lesa, d ležitá je i atmosféra ve t íd tvo ivé a podn tné prost edí formou hry daleko více žáky motivuje, žáci by m li v d t, pro se to u í a k emu to pot ebují následná úloha z praxe - modeluj vybavení pokojí ku lze využít r zných krabi ek z domácnosti, v testu byla použita hrací kostka, kterou žáci b žn znají, sí na dopln ní však nepat í mezi tradi ní sít krychle a žáci s touto takzvan lehkou úlohou m li problémy, použití i netradi ních sítí nebo vytvo ení všech 11 možností sítí dané krychle, k jednodušší a rychlejší práci lze použít i tvere kovaný papír na tvorbu sítí krychle, tvorba krychlí a manipulace s modely t les není ztrátou asu, naopak žáci jsou schopni lépe udržet poznatky v mysli a vybavit si je a pracovat s nimi pouze pomocí p edstavy postupný vznik a manipulace umož uje analyticko syntetické chápání, k modelu se m že žák asto vracet, je pot eba se žák ptát i na porozum ní zadání, nebo i žákovské ešení nemusí být pouze chybné, žák na otázku odpovídá jak on porozum l zadání tvar písmena L, využití hry oblékání krabi ky od zápalek r znými modely sítí obm na úloh 1), 6), 7), ast jší využití v hodinách (a to nejen p i výuce geometrie) formou rozcvi ky, zachovat metodický postup zkušenost, model, ná rtek, p edstava, poskytnout žák m možnost vlastního p ístupu, pracovat diferencovan, vytvo it podmínky pro individuální práci s žáky. Každý u itel na základ vlastních zkušeností dokáže obohatit výuku geometrie žák m tak, aby se zm nil postoj žák a d ti se t šily na zajímavé hodiny, u ily se s radostí a pochopením. Do výuky lze za adit netradi ní úlohy, ukázky aplikací p esv d ující o užite nosti výkladu. Literatura 1. BACHELOVÁ, Z. Touha, trp livost, tvo ivost, talent. Interní materiál, MOLNÁR, J. Rozvíjení prostorové p edstavivosti (nejen) ve stereometrii. 1. vyd. Olomouc: UP, ODVÁRKO, O. KADLE EK, J. Krychle a kvádr. pracovní sešit, 1. vyd. Praha: Prometheus, ROSECKÁ, Z. a kol. Vyzkoušej sv j d vtip. 1. vyd. Brno: Nová škola, Kontaktní adresa RNDr. Slavomíra Schubertová Základní škola Olomouc, Zeyerova 28 Zeyerova ul.. 28, Olomouc Telefon: schubertova@zs-zeyerova.cz 238

239 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V EFEKTYWNO KSZTA CENIA MATEMATYCZNEGO DZIECI KLAS I-III W POLSCE Helena SIWEK Abstrakt Badania efektywno ci umiej tno ci matematycznych uczniów, przeprowadzone w ramach PISA pokaza y, e polscy uczniowie osi gn li niskie wyniki. Jedn z wa nych przyczyn jest prawdopodobnie zaniedbanie edukacji matematycznej dzieci w wieku 6-9 lat. To z kolei jest uwarunkowane s abym przygotowaniem nauczycieli klas pocz tkowych do nauczania matematyki. Te problemy powinny by przedmiotem kompleksowych bada porównawczych. EFFECTIVENESS OF MATHEMATICAL EDUCATION OF CHILDREN IN CLASS I-III IN POLAND Abstract The research of mathematical skills of students, carried out by PISA, proved that Polish students attained low results. One of important reason is probably neglecting mathematical education of children aged 6-9. And this is conditioned by weak preparation of persons teaching mathematics in class I-III. These problems should be the object of complex comparative research. Potrzeba bada umiej tno ci matematycznych we wczesnym nauczaniu Wyniki bada efektywno ci nauczania matematyki implikuj zmiany w tre ciach oraz metodach kszta cenia i stanowi zazwyczaj wa n podstaw kolejnych reform nauczania matematyki. W Polsce ostatnia reforma zacz a si w 1999 roku. Ale zmiany w praktyce szkolnej mo na by o zaobserwowa ju wcze niej. Zmiany te nie by y w szczególno ci korzystne dla kszta cenia kultury matematycznej i logicznej uczniów i studentów pedagogiki wczesnoszkolnej przysz ych nauczycieli. Poniewa obserwowano trudno ci z matematyk zarówno uczniów (na ka dym poziomie nauczania) jak i studentów pedagogiki, wi c u atwiano matematyk oraz zmniejszano liczby godzin. Zaowocowa o to niskimi w Polsce wynikami bada PISA. Jak pisze M. Legutko (2006) polscy uczniowie w roku uzyskali 490 punktów i zaj li 24. pozycj w ród 40 krajów wiata. Troch lepsze wyniki mia a S owacja 498 punktów i miejsce 21., o wiele wy ej uplasowa y si Czechy miejsce 13. z ilo ci punktów 516. Zazdro ci i na ladowa nale a oby Finlandi z miejscem 2. i wysok liczb punktów równ 544 oraz Hongkong Chiny z miejscem 1. i 550 punktami. Istniej uzasadnione obawy, e po roku 2008 Polska wypadnie jeszcze gorzej, poniewa badaniom b d podlega absolwenci systemu kszta cenia zintegrowanego. A jak wynika z doniesie na ró nych konferencjach krajowych, obecni uczniowie klas I-III osi gaj ni sze wyniki z matematyki ni ci sprzed reformy. 239

240 W Polsce szeroko zakrojone badania przeprowadzono w latach 80. XX wieku. Uczestniczy o w nich 4800 uczniów klas IV i 4800 uczniów klas VIII szko y podstawowej oraz 4344 uczniów klas IV liceów ogólnokszta c cych. G ówn metod badawcz by pomiar dydaktyczny z u yciem testów sprawdzaj cych wielostopniowych oraz testów koniecznych, sprawdzaj cych minimum umiej tno ci matematycznych. Test wielostopniowy zawiera zadania czterech typów: sprawdzaj ce zapami tanie (terminów, definicji, praw), rozumienie poj i twierdze matematycznych, stosowanie wiedzy w sytuacjach typowych i nietypowych, problemowych. Jak czytamy w sprawozdaniach z tych bada (Nowik, 1988), oko o 80 % badanych nie spe ni o wymaga programowych, za ocen bardzo dobry i dobry w ka dej grupie by o po kilka procent. Najni sze osi gni cia odnotowano przy rozwi zywaniu zada tekstowych, du e trudno ci mieli uczniowie z zadaniami geometrycznymi, z przekszta ceniami wyra e algebraicznych, zadaniami na rozumienie i zastosowanie wiadomo ci. W badaniach stwierdzono, e nieco wy sze wyniki osi gali uczniowie z tych klas, w których stosowano metod problemow, prac z podr cznikiem i wiczenia, urozmaicaj c metody na lekcji i w czaj c uczniów do dyskusji (Siwek, 2005). Mimo, e od tych bada min o oko o 20 lat, w czasie których zmienia y si programy, podr czniki, koncepcje kszta cenia nauczycieli, w dalszym ci gu jest le. Wyniki bada matematycznych umiej tno ci uczniów w sprawdzianach gimnazjalnych z 2003 roku s porównywane z wynikami 16-latków w programie PISA z tego samego roku, a wi c s s abe. Natomiast Czechy utrzymuj nadal wysoki poziom. Opisuj c przyk ad bada nad o wiat (Third International Maths and Science Study), zwi zanych z osi gni ciami uczniów z matematyki i przedmiotów przyrodniczych, których wyniki zosta y opublikowane w 1997 roku, S. Palka (2006, s ) podaje, e przy konstrukcji systemu, w którym 500 punktów odpowiada oby redniej mi dzynarodowej, ten wynik osi gn li uczniowie USA. Da o im to 28. miejsce. Najlepszy rezultat z pa stw europejskich uzyska y Czechy 564 punkty, najlepiej wypad Singapur. Jego uczniowie uzyskali 643 punkty, prawie dwukrotnie wi cej ni ich rówie nicy z Afryki Po udniowej, która zaj a ostatnie miejsce (w badaniach uczestniczyli 13-latkowie z 41 krajów wiata, Polska w nich nie uczestniczy a). Interesuj ce s dalsze obserwacje omawiane przez autora i sformu owany wniosek ko cowy: Badania nie potwierdzi y opinii, e z e wyniki s spowodowane niewystarczaj cymi rodkami finansowania, du liczb uczniów w klasie, ma liczb godzin przeznaczonych na realizacj danego przedmiotu, co oznacza, e decyduj cym czynnikiem dla efektywno ci kszta cenia szkolnego jest dobra praca nauczycieli i co za tym idzie, dobra praca uczniów. W tym stwierdzeniu znacz cego pedagoga, podkre laj cego zawsze wag wzajemnych relacji teorii z praktyk, odczytuj potrzeb bada nad prac nauczyciela i prac uczniów. Szczególnie istotne, w mojej opinii, by yby wszechstronne badania nad kszta ceniem nauczycieli klas pocz tkowych i kszta ceniem dzieci w wieku 6-9 lat i równoleg e badania testowe. Nasuwa si bowiem hipoteza, e to ci nauczyciele i ten etap kszta cenia w du ym stopniu wp ywaj na o wiele wy sze wyniki czeskich uczniów w porównaniu z polskimi. Obserwuj c plany studiów na nauczaniu pocz tkowym w Usti nad Labem i w Olomouc dostrzeg am, e studentów przysz ych nauczycieli o wiele lepiej przygotowuje si pod wzgl dem matematycznym w Czechach ni w Polsce. Studenci poznaj arytmetyk i geometri, podczas gdy u nas wyst puje tylko przedmiot: 240

241 podstawy nauczania pocz tkowego matematyki (i to nie zawsze), realizowany w sposób zbli ony do metodyki. Jest to problem wymagaj cy gruntownych bada. Na pocz tek mog yby to by badania w grupie krajów s siaduj cych ze sob, a potem w wymiarze globalnym. Typy bada w dydaktyce matematyki Badania w dydaktyce matematyki wykorzystuj w du ym stopniu metodologi bada pedagogicznych. Warto wi c skonfrontowa wyst puj ce w pedagogice (ogólnie w naukach spo ecznych) typy bada z potrzebami podyktowanymi specyfik matematyki i bada zwi zanych z jej nauczaniem. Mo na zauwa y, e rozwój metodologii bada w dydaktyce matematyki przebiega równolegle do bada w dydaktyce ogólnej. ledz c publikacje naukowe z dydaktyki matematyki mo na wyró ni cztery typy bada : Badania historyczne Studia nad dziejami edukacji matematycznej i my li dydaktyczno-matematycznej rozwijaj si od drugiej po owy XX wieku. Prowadz je nie tylko dydaktycy matematyki, ale matematycy, historycy matematyki, historycy o wiaty i wychowania. Przedmiotem bada jest na przyk ad rozwój kszta cenia matematycznego uczniów na przestrzeni wieków, zmiany w koncepcjach nauczania, rozwój poj matematycznych wyst puj cych w programach nauczania, zasad pararealizmu w dydaktyce matematyki, rozwój teorii z dydaktyki matematyki. Jako przyk ady niech pos u : artyku Glaesera (1985) o epistemologii liczb ca kowitych i Dudy (1982) o zasadzie równoleg o ci w powstawaniu poj matematycznych w historii i w umy le ucznia. O donios o ci bada relacji mi dzy historycznym rozwojem poj matematycznych a rozwojem tych poj w szkolnym nauczaniu, zapewne nie trzeba nikogo przekonywa. Badania teoretyczne Fundamentalne problemy edukacji matematycznej wymagaj powa nej refleksji teoretycznej i tworzenia norm oraz zasad dydaktyki matematyki. Teoria z dydaktyki matematyki powstaje z jednej strony dzi ki refleksji indukcyjnej uogólnienia wyników bada lub do wiadcze nauczycieli, z drugiej strony dzi ki refleksji dedukcyjnej adaptacji na potrzeby dydaktyki matematyki osi gni teoretycznych innych nauk. Teoria pozwala na poprawne formu owanie problemów badawczych i zapewnia prawid ow interpretacj osi gni tych wyników. Zawarta jest w monografiach z dydaktyki matematyki, które omawiaj cele nauczania matematyki, metodologiczne podstawy matematyki elementarnej, my lenie matematyczne i problem kultury logicznej i matematycznej, miejsce matematyki w programach ogólnych, relacje mi dzy matematyk szkoln a nauk, proces poznania poj matematycznych, rol nauczyciela w kszta ceniu matematycznym uczniów itp. Tutaj równie zalicza si problemy metadydaktyczne poj cie, przedmiot i zadania dydaktyki matematyki, relacje z innymi naukami matematyk, metodologi, dydaktyk ogóln, psychologi, socjologi, badaniami empirycznymi i praktyk. Badania empiryczne G ównym zadaniem bada empirycznych jest naukowa diagnoza stanu edukacji matematycznej, wykrycie jej uwarunkowa, powi za mi dzy elementami procesu edukacyjnego, charakterystyka procesów poznania matematycznego, ocena efektywno ci nauczania, weryfikacja projektów dydaktycznych itp. Badania empiryczne 241

242 wykorzystuj metodologi pedagogiki, psychologii, socjologii twórczo j przekszta caj c, i s najbardziej rozpowszechnionym rodzajem bada. Badania porównawcze Ten rodzaj bada wyst puje wówczas, gdy porównujemy szersze kompleksy zjawisk edukacyjnych i robimy to w sposób metodyczny, zgodny z celem poznawczym. Aby wykry podobie stwa i ró nice, trzeba wypracowa w a ciwy kwestionariusz badawczy i konsekwentnie go stosowa. Wyró nia si dwa typy bada porównawczych wertykalny (np. ewolucja tre ci matematycznych w edukacji) oraz horyzontalny (np. systemy kszta cenia matematycznego w ró nych krajach). Wspó cze nie ten rodzaj bada zyskuje na znaczeniu, poniewa potrzebne s analizy porównawcze: podr czników, koncepcji edukacji matematycznych na ró nych poziomach kszta cenia, celów nauczania matematyki w ró nych krajach, systemów kszta cenia nauczycieli itp. Koncepcje matematycznego kszta cenia nauczycieli klas pocz tkowych i umiej tno ci matematyczne uczniówmog yby by przedmiotem wszystkich rodzajów bada. Zapewne przyczyni yby si do powi kszenia naszej wiedzy na temat ich wzajemnych uwarunkowa. Powinny by to badania zespo owe odpowiadaj ce na apel Lotta (2006): Wszyscy, którym matematyka mi a, matematycy i nauczyciele matematyki, powinni si zjednoczy, je eli matematyka jako przedmiot i dyscyplina ma prze y. Niektórzy w ród nas widz ju jasno to zagro enie, niektórzy inni dopiero zaczynaj sobie u wiadamia te obawy. Literatura 1. Duda R., Zasada paralelizmu w dydaktyce, Dydaktyka Matematyki nr 1, Glaeser G., Epistemologia liczb wzgl dnych, Dydaktyka Matematyki nr 4, Legutko M., Porównanie wyników badania matematycznych umiej tno ci 16-latków w programie PISA i egzaminie gimnazjalnym w 2003 roku, (maszynopis artyku u dla Dydaktyki Matematyki ), Kraków Lott J. W., Mathematicians and Mathematics Educators Unite!, 2006, maszynopis artyku u, t um. W. Zawadowski. 5. Nowik J.(red.), Wyniki ogólnopolskich bada osi gni uczniów, nauczycieli i szkó, Matematyka, tom V, IKN, Warszawa Palka S., Metodologia. Badania. Praktyka pedagogiczna, Gda skie Wydawnictwo Psychologiczne, Gda sk Siwek H., Dydaktyka matematyki. Teoria i zastosowania w matematyce szkolnej, WSiP, Warszawa Kontaktní adresa Prof. Helena Siwek Ul. Podchor ych Kraków Poland smsiwek@cyf-kr.edu.pl 242

243 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V VYUŽITÍ MOTIVACE JAKO NÁSTROJE U ITELE K UPOUTÁNÍ ŽÁKOVY POZORNOSTI Radka Skalková Abstrakt Ve svém p ísp vku se zabývám problematikou motivace v matematice jako instrumentu u itele ke zvyšování žákova zájmu o probírané u ivo. lánek se opírá o poznatky, ke kterým jsem dosp la p i zpracovávání diserta ní práce. Práce je založena na konstruktivistickém p ístupu k vyu ování matematice. Vychází z p edpokladu, že lze najít a metodicky zpracovat takové motiva ní aktivity k obtížným tematickým celk m v matematice, které by usnadnily pochopení tohoto u iva, zvýšily jejich zájem o n j a áste n tak eliminovaly n které kognitivní prekoncepty žák vzhledem k matematice. MOTIVATION AS AN INSTRUMENT ON HOW TO ATTRACT PUPIL S ATTENTION Abstract This article aims to approach a well acknowledged subject of psychology, pedagogy and didactics of mathematics motivation. It is presented as an instrument of a teacher to build-up pupil s interest in mathematics with use of adequate methods. The theoretical part of the paper is based on an area of psychology, pedagogy and didactics of mathematics. The emphasis is on the constructivist view of an education and on the personality of a teacher. Výchozí p edpoklady Snad v každé odborné publikaci z oblasti pedagogiky nebo školní didaktiky se setkáváme aspo se zmínkou o d ležitosti motivování žák k u ení, pokud v ní není této problematice v nována p ímo samostatná kapitola. V pedagogické praxi totiž sehrává motivace jednu z klí ových rolí a m že podstatn zvyšovat efektivitu výchovn vzd lávacího p sobení. Motivace je jednou ze základních podmínek (n kte í auto i dokonce tvrdí, že tou nejd ležit jší) efektivního u ení, protože m že soub žn ovliv ovat n kolik faktor : koncentraci žák, uložení a uchování poznatk v pam ti, kvalitu u ení (výdrž, rychlost a hloubku) apod. Siln ovliv uje nejen kognitivní procesy žák a jejich výkony, ale u itel, který ve vyu ování uplat uje adekvátní zp soby vn jší a vnit ní motivace, klade pevné základy pozitivního rozvoje osobnosti žáka. Motivace prop j uje u ebním innostem žáka subjektivní smysl, ímž bezprost edn ovliv uje snahu a úsilí, které žák p i u ení vynakládá. V souvislosti s rozsáhlou reformou systému kurikulárních dokument po áte ního vzd lávání se v sou asné dob stává problematika motivace velice aktuální. Dosud si 243

244 m li žáci v pr b hu základní školní docházky osvojit p edepsaný vzd lávací obsah, p edstavující odborn vybranou sumu podstatných informací, inností a hodnot. V sou asném kurikulu by však osvojování konkrétního vzd lávacího obsahu nem lo být apriori pojímáno jako hlavní cíl vzd lávání, nýbrž spíše jen jako cíl díl í, který je v prvé ad prost edek k dosažení obecn jšího hlavního cíle vzd lávání. Tento nový hlavní cíl pak p edstavují jisté obecné p edpoklady každého lena spole nosti pro využívání konkrétních výsledk svého vzd lávání k praktickému jednání v r zných situacích. Nedochází zde ke snižování významu konkrétního vzd lávacího obsahu, ale k p esunu ohniska zájmu k n emu, co stojí nad ním. Jeden z nejvýznamn jších trend odpovídající požadavk m nového paradigmatu vzd lávání p edstavuje tzv. pedagogický konstruktivismus. Tento široký proud p ístup usiluje p edevším o to, aby byly prost edky vzd lávání (zejména metody a formy výuky) maximáln p izp sobeny p irozeným zákonitostem u ení žák a student. V oblasti didaktiky matematiky dosp l konstruktivistický p ístup ke vzd lávání již velice daleko, a to zejména díky monografii M. Hejného a F. Ku iny Dít, škola a matematika. Tito dva p ední oboroví didaktici v ní vycházejí z jednoduchého ale základního p edpokladu: pokud chápeme vzd lávací proces jako aktivní proces konstruování kognitivních struktur u jednotlivých žák (tedy jako proces kultivace žákova duševního sv ta), pak v n m motivace hraje klí ovou roli. Tém jedním dechem ale pokra ují realistickým konstatováním: Žáci, kte í jsou k u ení se matematice motivováni pot ebou poznávat, jsou na našich školách spíše výjimkou než pravidlem. Nej ast ji bývá hlavním motivem snaha získat dobrou známku, zalíbit se u iteli, n kdy t eba i ušlechtilá snaha ud lat lepší známkou radost nemocné mamince. (Hejný, Ku ina, 2001). Bohužel složitost psychologie motivace neumož uje vytvo it jednoduchý návod, který by z nemotivovaných d tí ud lal žáky toužící po studiu. Poskytuje však ur ité nezbytné základy, na nichž lze p i její didaktické aplikaci do b žných vyu ovacích hodin stav t. Postup zpracovávání Ší e zvolené problematiky neumož ovala provést komplexní výzkum, který by zachytil všechny pedagogické a psychologické stránky motivování žák v matematice. Formulace výzkumu byla komplikována více skute nostmi: motiva ní aktivity v matematice jako instrumenty u itele k upoutání žákovy pozornosti nejsou dosud všemi autory jednotn pojímány, chybí jejich p esná a konkrétní metodika, nejsou dostupné sbírky motiva ních aktivit apod. Po teoretickém zpracování motiva ní problematiky jsem se proto rozhodla zam it na možnosti u itel, kterými by mohli zvyšovat zájem žák o matematiku, a nabídnout jim k tomu konkrétní podklady k obtížn motivovatelným tematickým celk m. K tomu bylo nutné nejprve p edb žn zjistit vlastní názory u itel na motivování žák k u ení, a na záv r získat jejich reflexi na p edložené úlohy. Realizované empirické šet ení probíhalo v n kolika krocích: 1. Byl proveden p edvýzkum formou dotazníku na malém vzorku u itel matematiky, který m l zjistit p edb žné názory u itel na úrove motivování žák v hodinách matematiky. Sou ástí tohoto p edvýzkumu bylo také provedené šet ení obdobného charakteru se studenty 4. ro níku oboru U itelství matematiky pro 2. stupe základních škol. 2. Na základ teoretických znalostí a výsledk p edvýzkumu byla uskute n na dotazníkovým šet ením kvantitativní ást výzkumu. Byla zam ena 244

245 na vytypování obtížn motivovatelných tematických celk v jednotlivých ro nících 2. stupn ZŠ. 3. Pro získání ur ité zp tné vazby prob hl na záv r polostrukturovaný rozhovor s u iteli matematiky. Významným rysem provedené kvalitativn orientované empirické ásti byla zam enost na jednotlivce. Shrnutí dosažených výsledk V p edvýzkumu bylo zjišt no, že všichni u itelé poci ují velký nedostatek metodických materiál, které by jim pomáhaly budovat kladný vztah žák k matematice a zvyšovat zájem o ni. Dále bylo zjišt no, že n které názory u itel se liší podle délky jejich praxe. Tato skute nost nebyla dále opomenuta, i když sehrála pouze sekundární roli, protože primárním cílem z stalo vytvo ení souboru motiva ních aktivit, které by sloužily u iteli k upoutání žákovy pozornosti. Proto také hlavním cílem následn provedeného dotazníkového šet ení bylo vytypovat nejobtížn ji motivovatelné celky v matematice v každém ro níku. Pro úplnost byla v tomto výzkumu zjiš ována statistická závislost názor u itel na délce praxe. Potvrdila se p vodní hypotéza formulovaná na základ výsledk z p edvýzkumu, že názory na motivovatelnost se liší u u itel s delší pedagogickou praxí a u itel s praxí kratší. V aplika ní ást práce jsem se pokusila navrhnout motiva ní aktivity pro nejobtížn ji motivovatelné tematické celky v matematice, jež byly zjišt ny v provedeném výzkumu. Byla to tato témata: D litelnost p irozených ísel (6. ro ník), Shodnost trojúhelník (7. ro ník), Výrazy (8. ro ník) a Lomené výrazy (9. ro ník). Motiva ní aktivity byly sestaveny tak, aby umož ovaly u iteli snadnou orientaci a mohly být použity v b žných vyu ovacích hodinách jako instrument u itele k upoutání žákovy pozornosti. Jejich podoba má jednotnou strukturu: název p íslušné motiva ní aktivity, orienta ní asovou dotaci pot ebnou k její realizaci, zadání aktivity, stru nou charakteristiku a ešení. V poslední ásti jsou uvedeny motiva ních aktivity získané na základ volného rozhovoru se dv ma u iteli matematiky s r znou délkou praxe. Jeho cílem bylo získat reflexi odborník z praxe na využitelnost navrhovaných aktivit. I p es n která jejich rozporuplná hodnocení týkající se náro nosti n kterých p ipravených motiva ních aktivit, oba velice ocenili snahu a p vodní zám r diserta ní práce. Záv r Záv rem m žeme konstatovat, že jestliže je naším cílem zefektivn ní výuky matematiky na základních školách, m li bychom se zam it na postupy, kterými rozvíjíme nejen intelektový rozvoj vzd lávaného jedince, ale sou asn se všt pováním nových poznatk rozvíjet komplexní osobnost žáka. Pokud žákovy ukážeme, že probírané u ivo nemusí být nutným zlem, ale také prost edkem k dosažení zvoleného cíle (nejefektivn ji poukázáním na propojenost s praxí), musí bezpodmíne n dojít k požadovanému zvnit n ní p edávaných informací. Domnívám se, že tuto roli ve vyu ovací jednotce plní práv motivace a proto ji považuji za instrument, kterým m že u itel eliminovat hranice mezi žáky a matematikou. Sv j výchozí p edpoklad jsem se pokusila podložit konkrétními návrhy motiva ních aktivit. 245

246 Literatura 1. BERTRAND, Y. Soudobé teorie vzd lávání. Praha: Portál, ISBN DOULÍK, P., ŠKODA, J. Reflexe nad základními aspekty konstruktivistického pojetí výuky v p írodov dných p edm tech. Pedagogická revue, 2003,. 5, s FULIER, J., ŠEDIVÝ, O. Motivácia a tvorivos vo vyu ování matematiky. Nitra: Fakulta prírodných ved Univerzity Konštantína Filozofa v Nitre, ISBN HEJNÝ, M. a kol. Teória vyu ovania matematiky 2. Bratislava: SPN, ISBN HEJNÝ, M., KU INA, F. Dít, škola a matematika: konstruktivistické p ístupy k vyu ování.. Praha: Portál, ISBN CHRÁSKA, M. Základy výzkumu v pedagogice. Olomouc: Vydavatelství Univerzity Palackého, ISBN KALHOUS, Z., OBST, O. Školní didaktika. Olomouc: Vydavatelství Univerzity Palackého, ISBN X. 8. LOKŠOVÁ, I., LOKŠA, J. Pozornost, motivace, relaxace a tvo ivost d tí ve škole: teoretická východiska a praktické postupy, hry a cvi ení. Praha: Portál, ISBN X. 9. PR CHA, J. Moderní pedagogika. Praha: Portál, ISBN SKALKOVÁ, R. Motivace v matematice: motivace jako instrument u itele k upoutání žákovy pozornosti. 138 s. Olomouc: Univerzita Palackého. Pedagogická fakulta. Katedra matematiky, s. Vedoucí diserta ní práce doc. RNDr. Milan Kopecký, CSc. 11. VOLFOVÁ, M. Didaktická hra ve vyu ování matematiky: nám ty pro zájmovou innost v matematice. Hradec Králové: Gaudeamus a MAFY, ISBN ZELINA, M. Tvo ivost v matematice: metodický materiál pro u itele matematiky. Olomouc: Krajský pedagogický ústav Ostrava, ISBN Kontaktní adresa Mgr. Radka Skalková, Ph.D. ZŠ 8. kv tna 29, Olomouc Telefon: skalkovar@seznam.cz 246

247 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V ŠPECIFICKÉ PROBLÉMY TVORBY PEDAGOGICKÉHO SOFTVÉRU PRE ELEMENTÁRNU MATEMATIKU František SLANINKA Abstrakt Informa né a komunika né technológie vytvárajú nové možnosti vo výu be elementárnej matematiky. U ite matematiky tak môže tradi ný spôsob výu by obohati novými pomôckami. Medzi takéto pomôcky ur ite patrí aj pedagogický softvér pre výu bu elementárnej matematiky. Ako by ale takýto softvér mal vyzera? Na o by sa mal jeho tvorca orientova a oho by sa mal pri jeho tvorbe vyvarova? V lánku opisujem svoje skúsenosti s touto problematikou. SPECIFICAL PROBLEMS WITH PRODUCTION OF EDUCATIONAL SOFTWARE IN ELEMENTARY MATHEMATICS Abstract Development of information and communication technologies opened doors for new methods in education of mathematics. Teacher of mathematics can use new instruments. One of this is use the educational software. What are the essential problems in production of educational software? This report is about my experience with this problem. Úvod V posledných rokoch sme svedkami prudkého rozvoja informa ných a komunika ných technológií a ich postupného zavádzania na naše základné a stredné školy. Na školách sa otvárajú miestnosti s po íta ovým vybavením, žiaci si osvojujú základy práce s opera ným systémom Windows, práce s internetom a stretávajú sa aj s rôznymi vyu ovacími pomôckami. Vytvárajú sa tak nové možnosti aj pre vyu ovanie matematiky. Pedagogický softvér pre výu bu elementárnej matematiky je jednou z takýchto možností. Dostupnos pedagogického softvéru U ite, ktorý má možnos aj záujem obohati vyu ovanie matematiky o pomôcky v podobe pedagogického softvéru sa stretne s nieko kými problémami. V prvom rade je to dostupnos pedagogického softvéru. Pre u ite a je asi najschodnejšou cestou vyh adávanie rôznych pedagogických produktov na internete. Uvediem nieko ko základných problémov, s ktorými sa môže stretnú u ite pri jeho vyh adávaní na internete: podobných produktov je stále nedostatok 247

248 softvér nevyhovuje požiadavkám u ite a, pretože ten by musel svoju prácu prispôsobova nežiadúcim smerom aj ke sa u ite ovi podarí nájs vhodný softvér, asto nastanú komplikácie, pretože ten nie je kompatibilný so softvérovým vybavením na príslušnej škole softvér je v cudzom jazyku a preto by bolo jeho za lenenie do výu by zložité ve mi asto sa jedná len o skromné demo verzie širších softvérových balíkov. alšou možnos ou ako získa pedagogický softvér je jeho zakúpenie. Aj tu sa ale stretávame s podobnými problémami: nedostatok vhodných softvérových produktov problémy s kompatibilitou softvér je v cudzom jazyku pre školu je jeho zakúpenie finan ne nákladné. Azda najschodnejšou cestou sa tak zdá by spolupráca u ite a elementaristu s programátorom. Ke že v dnešnej dobe už pôsobí na školách ve a u ite ov matematiky a informatiky s programátorskými skúsenos ami, je takáto spolupráca možná. Aký by mohol by trend pri tvorbe pedagogického softvéru Poh ad programátora na to, ako by mal vyzera pedagogický softvér na vyu ovanie elementárnej matematiky je asto úplne odlišný od poh adu matematika elementaristu. Vo všeobecnosti je zvykom programátorov vytvára univerzálne programy, s množstvom funkcií, s množstvom ovládacích prvkov, programy, ktoré by mali slúži na viac ú elov. Ve mi asto sa tak stáva, že programy obsahujú množstvo funkcií pre rôzne oblasti aritmetiky, geometrie, alebo je dokonca daný softvér použite ný ako pri vyu ovaní aritmetiky, tak pri vyu ovaní geometrie. Na prvý poh ad by sa mohlo zda, že takýto produkt plní nieko ko funkcií a môže ho používa hne nieko ko u ite ov na prvom, druhom stupni základnej školy, i na strednej škole. Takéto viacú elové univerzálne výu bové programy sú ur ite zaujímavou pomôckou, ale majú závažné nedostatky: u ite, ktorý ho chce používa sa musí nau i pracova prakticky s celým programom napriek tomu, že chce využíva len jednu jeho as, o samozrejme pôsobí demotivujúco a odrádza od jeho používania o je dobré pre žiaka 1. stup a ZŠ, astokrát nevyhovuje pri vyu ovaní žiakov 2. stup a ZŠ, alebo pri vyu ovaní žiakov na strednej škole programy s množstvom tla idiel a funkcií sa stávajú hlavne pre žiakov na 1. stupni ZŠ nepreh adnými, o odrádza ako žiaka, tak u ite a elementárnej matematiky. Ve ký programový balík s množstvom funkcií sa preto pre u ite a matematiky pracujúceho na hodine s konkrétnym u ivom ukazuje by viac prí ažou ako pomôckou. Naopak jednoduchý výu bový program, ahko ovládate ný, ktorý je ur ený pre toto konkrétne u ivo sa javí ako dobrá pomôcka. Nevyhnutná sa preto zdá by spolupráca elementaristu s programátorom. o by malo by teda dôležité pri tvorbe pedagogického softvéru pre elementárnu matematiku? 1. Program musí sp a didaktický zámer, pre ktorý bol vytvorený. Tu je aj zrejmá výhoda spolupráce elementaristu a programátora. Okrem toho je takto možné tvori aj programové varianty, ktoré môžu by dôležité pre pochopenie špeciálnych situácií danej tematiky a ve ký univerzálny programový balík ich neobsahuje. 248

249 2. Ovládanie daného softvéru musí by o najjednoduchšie. Pravidlo v jednoduchosti je sila ur ite platí hlavne pri tvorbe pedagogického softvéru pre elmentárnu matematiku. 3. Program by mal obsahova iba funkcie potrebné pre konkrétnu as u iva. alšie funkcie, môžu žiakov zbyto ne rozpty ova a pôsobi vo ve kej miere chaoticky. 4. Program môže obsahova jednoduché lenenie pod a obtiažnosti, ale aj tu je možné jednotlivé obtiažnosti roz leni kvôli jednoduchosti na viac programov a pod a potreby sa im na hodine venova. 5. Prostredie programu by tiež malo by vhodné pre tú skupinu žiakov, ktorej je program ur ený. Žiak 1. stup a ZŠ by ur ite nemal pracova v prostredí na aké sme zvyknutí napríklad pri práci v systéme DOS. Tu je možná aj spolupráca s dizajnérom, i psychológom. Záver Pedagogický softvér sa môže sta v blízkej budúcnosti dôležitou pomôckou pri vyu ovaní matematiky, ale aj pri vyu ovaní iných predmetov na základných, stredných a vysokých školách. Pri jeho tvorbe preto môže by v budúcnosti prospešná spolupráca medzi rôznymi typmi škôl, i organizácií, ktoré sa môžu podie a na jeho tvorbe v rámci rôznych projektov a grantov. Literatúra 1. MARCINEK, T., PARTOVÁ, E. Informa né technológie vo vyu ovaní elementárnej matematiky: Infovek 2000, Bratislava 2001, ISBN Kontaktní adresa Mgr. František Slaninka Kabinet matematiky a informatiky PdF UK Bratislava Univerzita Komenského v Bratislave Bratislava Ra ianska 59 slaninka@fedu.uniba.sk 249

250 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V NABYWANIE KOMPETENCJI NAUCZYCIELSKICH W PRAKTYKACH PEDAGOGICZNYCH Maria SOBIESZCZYK Abstrakt W niniejszym opracowaniu zaprezentowano zagadnienie kompetencji pedagogicznych nauczyciela klas m odszych, w ród których wyró niono miedzy innymi kompetencje organizatorskie, komunikacyjne, inspiratorskie, integratorskie i poznawcze. Artyku prezentuje drog ich nabywania podczas odbywanych przez studentów praktyk pedagogicznych (ci g ych i ródrocznych) w trakcie trwania studiów. Jest prób zaprezentowania praktycznych dzia a studentów w tym zakresie. THE GAINING COMPETENCES DURING PEDAGOGICAL PRACTICE Abstract This survey presents the primary school teacher s pedagogical competences. Among the competences we can distinguish: organizational, communicative, inspirational and recognizing ones. The article presents gaining these competences during students pedagogical practices in the course of studies. This is also an attempt to present some practical students work in this field. WPROWADZENIE Zagadnieniem kompetencji zajmowano si ju wielokrotnie i ró nie je definiowano. W s ownikach s owo kompetencja najcz ciej definiowana jest jako w a ciwo, zakres usprawnie, zdolno osoby do wykonywania okre lonych dzia a, czy umiej tno ci. Wydaje si, e wyczerpuj c definicj kompetencji przytacza M. Czerepaniak-Walczak, która uwa a, e kompetencja podmiotu jest to szczególna w a ciwo, wyra aj ca si w demonstrowaniu na wyznaczonym przez spo eczne standardy poziomie, umiej tno adekwatnego zachowania si, w wiadomo ci potrzeby i konsekwencji takiego w a nie zachowania oraz przyjmowaniu na siebie odpowiedzialno ci za nie (1997, s. 89). Zadaniem nauczyciela klas m odszych jest wspieranie uczniów w uczeniu si, w stopniowym nabywaniu niezale no ci. Okazuje si, e kandydaci na nauczycieli uczniów m odszych, nie zawsze zdaj sobie spraw ilu ró nych umiej tno ci musz si nauczy, by móc wspiera swoich wychowanków. Trudno ci w pracy z zespo em klasowym koncentruj si wokó nast puj cych obszarów: stanem wiedzy ogólnej i merytorycznej poziomem wiedzy metodycznej i metodologicznej 250

251 umiej tno ciami w zakresie problemów z dyscyplin i skupianiem uwagi przez uczniów na jednym zadaniu. Na te zagadnienia zwraca m.in. uwag S. Palka, który uwa a, e w procesie kszta cenia wczesnoszkolnego jest miejsce zarówno dla klasycznego nauczania i przekazywania wiedzy, opanowywania umiej tno ci jak i dla wspomagania rozwoju uczniów, ich indywidualno ci, uzdolnie, potencja ów twórczych (2000, s. 26). Dlatego w a nie podczas studiów nale y tak organizowa zaj cia teoretyczne i praktyczne by przysz y kandydat do zawodu nauczycielskiego opanowa wiedz z ró nych obszarów poznania. Przyszli nauczyciele musz sobie zdawa spraw, e klasa szkolna jest dynamiczn grup. Grupa ta sk ada si z osób o ró nych zainteresowaniach, zdolno ciach, temperamentach, a tak e ró ny jest ich baga do wiadcze spo ecznych (np. wyniesionych z domu rodzinnego czy z przedszkola). Zdaniem M. Su wi o klas charakteryzuj nast puj ce cechy, o których powinien pami ta nauczyciel: Szybki bieg wydarze w klasie Ka dy jest widziany i s yszany przez innych W klasie realizuje si wiele zada i funkcji W klasie wiele zdarze zachodzi jednocze nie W klasie zachodzi wiele nieprzewidywalnych wydarze Klasa ma swoj histori - minione wydarzenia wp ywaj na tera niejszo (1998, s. 8-10). W konsekwencji takiego stanu rzeczy przyszli nauczyciel klas I III musz zdaniem wspomnianej autorki przygotowa si do pe nienia roli nauczyciela przynajmniej w czterech zakresach: 1. Nauczyciela jako fachowca/specjalisty 2. Nauczyciela jako kierownika/organizatora 3. Nauczyciela jako inspiratora 4. Nauczyciela jako integratora ( Su wi o, 1998, s.10 i dalsze). Nauczyciel uczniów m odszych do pe nienia roli fachowca/specjalisty musi posiada rozleg wiedz przedmiotow z ró nych dyscyplin i profesjonaln. Musi by w takiej kondycji intelektualnej i moralnej, która wyra a si w otwarto ci na informacje o sobie i o wiecie oraz umiej tno ci i gotowo ci do zaktualizowanego pos ugiwania si nimi (Czerepaniak-Walczak, 1997, s.92). Mówimy wówczas o jego kompetencjach poznawczych. Rola organizatora/kierownika zespo u wymaga takiej kondycji intelektualnej i moralnej, która wyra a si w projektowaniu oraz otwarto ci na zmiany uk adu elementów przestrzeni edukacyjnej, czyli w podejmowaniu samodzielnych decyzji oraz ponoszeniu odpowiedzialno ci za wykonanie zada (Czerepaniak-Walczak 1997, s,104). Wszystkie role nauczycielskie wymagaj przede wszystkim szerokich kompetencji komunikacyjnych, które M. Czerepaniak-Walczak okre la, jako wyczuwaln, dynamiczn w a ciwo nauczyciela-wychowacy umo liwiaj c mu samoekspresj i rozumienie innych oraz wiadom gotowo do konfrontowania i weryfikowania w asnych opinii i dotychczasowych znacze (1997, s. 98). W literaturze autorzy wskazuj tak e na umiej tno ci nauczyciela klas I III polegaj ce na inspirowaniu, motywowaniu uczniów do pracy, a tak e umiej tno ci negocjowania, zdolno ci racjonalnego os du sytuacji panuj cej w klasie i umiej tno ci kierowania tym zespo em (kompetencje inspiratorskie i integratorskie). Ponadto refleksja nad w asn prac, próby modyfikowania jej mo na uzna za kompetencj pedagogiczn (Su wi o 1998, Paris, Ayres 1997) 251

252 Kszta towanie tych wszystkich kompetencji staje si mi dzy innymi mo liwe dzi ki celowym i zaplanowanym dzia aniom w planie studiów kandydatów na nauczycieli uczniów w m odszym wieku szkolnym. Oczywi cie adna uczelnia wy sza kszta c ca nauczycieli nie jest w stanie zapewni przysz ym nauczycielom takiego poziomu i zakresu opanowania wiedzy i umiej tno ci. Ka da uczelnia jest jednak w stanie da przysz ym nauczycielom podstawy wiadomo ci z ró nych dyscyplin naukowych ( ), da - i to bardzo wa ne umiej tno ci metodyczne i wywo a motywacj do pracy w asnej przez ca e Zycie zawodowe, pracy zwi zanej z opanowywaniem wiedzy i umiej tno ci zawodowych z samokszta towaniem zawodowym (Palka, 2000, s. 32). Jedn z mo liwo ci jest organizowanie praktyk studentów w placówkach o wiatowych. NABYWANIE KOMPETENCJI NAUCZYCIELSKICH PODCZAS PRAKTYK CI G YCH I RÓDROCZNYCH Podczas pi cioletniego kursu kszta cenia na studiach dziennych, na kierunku Pedagogika w zakresie kszta cenia zintegrowanego student realizuje w Uniwersytecie Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy nast puj ce rodzaje praktyk, podczas których doskonali kompetencje nauczycielskie. S to dwa rodzaje praktyk: ródroczna praktyka pedagogiczna 90 godzin (3 semestry) Praktyki ci gle - (2 tygodnie praktyki asystenckiej po II roku, 4 tygodnie praktyki przedmiotowo metodycznej po IV roku i 3 tygodnie praktyki dyplomowej- w trakcie V roku studiów Praktyki maj charakter próbnej pracy studenta jako obserwatora procesu nauczania i wychowania oraz kreatora procesu edukacyjnego. Dzia ania studentów podczas praktyk powinny pozwoli na zapoznanie si z dzia alno ci zawodow nauczycieli klas I III, a w szczególno ci umo liwi studentom: Zebranie pog bionych wiadomo ci o szkole z punktu widzenia perspektyw przysz ej pracy zawodowej; Stworzenie p aszczyzny do konfrontacji wiedzy z zakresu specjalno ci zawodowej z rzeczywisto ci wychowawcz ; Stworzenie okazji do poznawania zespo u dzieci w klasach I III. Na tre ci praktyk sk adaj si wszystkie zjawiska, sytuacje i procesy zachodz ce w pracy dydaktycznej, opieku czej i wychowawczej w klasach I III. Praktyki obejmuj zarówno hospitacje, jak i samodzielne projektowanie i prowadzenie zaj. Praktyki dostarczaj wi c cennych do wiadcze oraz daj mo liwo poznawania rzeczywisto ci szkolnej. Studenci przygotowuj c si do hospitacji i zaj prowadzonych samodzielnie poznaj program nauczania w klasach I III, jak te problematyk wychowania dziecka w m odszym wieku szkolnym. Tre ci odbywanych praktyk s te obowi zki zwi zane z rol zawodow nauczyciela, jego odpowiedzialno ci za wychowanie dzieci, a tak e z jego udzia em w yciu rodowiska, w którym pracuje. ZADANIA STUDENTÓW W ZAKRESIE EDUKACJI MATEMATYCZNEJ W KLASACH I III. Poni sze zadania s realizowane w trakcie realizowanych praktyk ródrocznych i ci g ych. W zale no ci od roku studiów s one dostosowywane do omówionych ju zagadnie metodycznych i odpowiednio modyfikowane. 252

253 1. Prowadzenie dokumentacji gromadzenie sprawozda z hospitacji zaj, scenariuszy w asnych zaj próbnych, notatki z przeczytanej i opracowanej samodzielnie literatury np. w formie map mentalnych. 2. Prowadzenie obserwacji pracy nauczyciela instruktora, prowadzenie z instruktorem rozmów - np, na temat sposobów badania kompetencji dziecka (analiza arkuszy obserwacyjnych). 3. Projektowanie rodków dydaktycznych ( amig ówek matematycznych, liczmanów, plansz prezentuj cych zagadnienia matematyczne). 4. Konstruowanie gier planszowych samodzielnie i wspólnie z uczniami. 5. Tworzenie zestawu wicze rozwijaj cych matematyczne my lenie praca z uczniem zdolnym. 6. Próby innowacyjne tworzenie programów/ projektów autorskich. 7. Prowadzenie zaj wyrównawczo-kompensacyjnych opracowanie indywidualnych programów dla ucznia z ró nymi zaburzeniami w obr bie edukacji matematycznej. 8. Prowadzenie zaj pozalekcyjnych, kó ek matematycznych ciekawych spotka z matematyk. 9. Doskonalenie procesu oceniania uczniów wypracowanie w asnego sposobu oceniania bie cego uczniów (odznaki, medale, dyplomy), projektowanie kart samooceny uczniów oraz wzorów ocen opisowych (np dla ucznia przeci tnego, s abego i zdolnego). 10. Doskonalenie procesu zadawania prac domowych zadania otwarte, twórcze. 11. Prowadzenie bada okre laj cych przygotowanie dzieci do podj cia nauki w zakresie kszta towania poj matematycznych samodzielne opracowanie narz dzi badawczych, opracowanie wyników. 12. Konstruowanie bie cych sprawdzianów szkolnych, przeprowadzanie ich, opracowanie wyników i sformu owanie wniosków do dalszej pracy z dzie mi 13. Wyg aszanie prelekcji/pogadanek dla rodziców np. dotycz cych pomocy w zakresie odrabiania zada domowych. ZAMIAST ZAKO CZENIA My l, e okres pobytu w uczelni wy szej przysz ego nauczyciela dzieci w m odszym wieku szkolnym (ale tak e ka dego innego nauczyciela) jest okresem, w którym powinien on sobie u wiadomi, e nauczyciel dzia a zawsze w warunkach ustawicznie zmieniaj cej si rzeczywisto ci szkolnej, a o powodzeniu w jego karierze zawodowej b d decydowa y wielostronne umiej tno ci pedagogiczne. J. Kujawi ski sformu owa dla nauczycieli klas pocz tkowych nast puj c dyrektyw pedagogiczn, któr chcia abym zako czy niniejsze rozwa ania: tyle w edukacji wczesnoszkolnej ukierunkowanie w stylu demokratycznym aktywno ci edukacyjnej uczniów przez nauczyciela za pomoc metod nauczania i odpowiadaj cych im form pracy uczniów pod jego kierunkiem, ile to konieczne, a tyle wzajemnego wspomagania si edukacyjnego w stylu liberalnym za pomoc metod dwustronnego wspierania edukacyjnego oraz odpowiadaj cych im form wspó dzia ania partnerskiego nauczyciela i uczniów ze sob ile to potrzebne i mo liwe (2001, s. 122). Literatura 1. Czerepaniak-Walczak M. Aspekty i ród a profesjonalnej refleksji nauczyciela. Toru

254 2. Kujawi ski J. Twórczo metodyczna nauczyciela, Wydawnictwo Naukowe UAM Pozna Palka S. Obszary wiedzy nauczycieli klas pocz tkowych. W: W. Pu lecki (red.), Kszta cenie wczesnoszkolne na prze omie tysi cleci. PAN KNP Warszawa Paris S.G.., Ayres L.R., Stawanie si refleksyjnym uczniem i nauczycielem. WSiP, Warszawa Programy praktyk pedagogicznych na kierunku: Pedagogika specjalno : Kszta cenie Zintegrowane, Bydgoszcz, rok akademicki 2005/ Su wi o M. Kompetencje pedagogiczne w pracy z uczniami klas m odszych. W: M. Su wi o (red.), Wybrane problemy wczesnej edukacji., Olsztyn Kontaktní adresa Dr Maria Sobieszczyk, adiunkt Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Instytut Pedagogiki Zak ad Pedagogiki Wczesnoszkolnej ul. Chodkiewicza Bydgoszcz sobieszm@poczta.onet.pl 254

255 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V POMÁHA VYU OVANIE MATEMATIKY PRIPRAVOVA ŽIAKA NA ŽIVOT? Ondrej ŠEDIVÝ Abstrakt. V práci sú uvedené psychologické východiská pre možnosti rozvíjania priestorovej predstavivosti a zmoc ovania sa geometrických predstáv. V závere sú odporú ania na zefektívnenie vyu ovania geometrie na 1. stupni základnej školy a v príprave u ite ov pre 1. stupe základnej školy. DOES MATHEMATICS EDUCATION HELP TO PREPARE PUPILS FOR LIFE? Abstract. The psychological bases and their role in developing imagination in solid geometry are introduced in the paper. Their role is important in developing geometrical imagination, too. There are some recommendations for teaching this part of mathematics at the first classes of elementary education and in study programs of mathematics for future teachers of elementary schools as the outcomes of the paper. udstvo sa rozvíja v aka tomu, že udia majú schopnosti vytvára nové, lepšie, dokonalejšie, racionálnejšie, efektívnejšie, zdravšie myšlienky, postupy práce a produkty, ktoré skvalit ujú ich život. Táto schopnos sa nazýva tvorivos (tvorivé myslenie). Tvorivé myslenie to je množstvo, kvalita myšlienok, predstáv, symbolov, pohotovos vytvára myšlienky a predstavy, pružnos, kvalita myslenia, rôznorodos myšlienok a predstáv, schopnos produkova transformácie, zmeni funkciu predmetu alebo jeho astí, schopnos domyslie, rozpracova detaily riešenia, schopnos produkova (nachádza ) nové neobvyklé riešenia, odpovede, ktoré sa zakladajú na vzdialených asociáciách. lovek pri tvorivom myslení mal by vedie sprostredkova informácie v rôznych podobách (slovne, písomne, graficky) iným, a to tak v priamom styku, ako aj prostredníctvom rôznych technológií (vrátane informa ných a komunika ných). K tvorivému mysleniu, k tvorivosti napomáha (alebo je jeho sú as ou) priestorová predstavivos. Rozvinutá priestorová predstavivos napomáha loveku lepšie zvládnu a rieši rôzne problémy každodenného života, pomáha mu pri premene rôznych inností na efektívnejšie procesy. V tomto príspevku sa pokúsime položi dôraz na psychologické východiská pri rozvoji priestorovej predstavivosti a vyu ovania geometrie vôbec. Za tým ú elom vysvetlíme niektoré pojmy z poh adu sú asnej kognitívnej psychológie, ktoré bezprostredne súvisia s budovaním a rozvíjaním priestorovej predstavivosti. 255

256 Pozornos je nástroj, prostredníctvom ktorého aktívne spracovávame ohrani ené množstvo informácií z obrovskej zásoby údajov v dlhodobej pamäti, ako aj informácií dopadajúcich na naše zmyslové systémy. Sú as ou pozornosti sú vedomé i nevedomé procesy. S pozornos ou úzko súvisí vedomie, ktoré zah a ako pocit, že si nie o uvedomujeme, tak aj obsah toho, o si uvedomujeme. Rad kognitívnych procesov možno triedi pod a toho, i vyžadujú vedomú pozornos alebo ju nevyžadujú. Automatické procesy vykonávame takmer bez vedomej pozornosti, vyžadujú lem málo alebo žiadne úsilie, dokonca nevyžadujú ani zámer. Kontrolované (riadené) procesy sú naproti tomu nielen prístupné vedomej kontrole, dokonca ju vyžadujú. innosti tohto druhu prebiehajú po astiach, asovo vidite né krok za krokom. Mnohé automatické procesy v skuto nosti za ínajú ako procesy riadené, automatizujú sa až po nejakej dobe. Riadené procesy vyžadujú cielené úsilie, plnú vedomú pozornos, spotrebovávajú mnoho zdrojov pozornosti, prebiehajú krok za krokom, vyžadujú neprecvi ené náro né úlohy s mnoho premennými znakmi. Vrá me sa k pozornosti. Vedomá pozornos má tri hlavné funkcie: detekuje signály sem spadá bdelos a schopnos vyh adáva, v rámci ktorej musíme ur i, že sa nejaký podnet objavil, selektívna alebo výberová zvolíme podnety, ktorými budeme venova pozornos a ktoré budeme ignorova, delenie pozornosti uvážlivo rozde ujeme pozornostný potenciál. V rámci prvej funkcie je dôležité vyh adávanie, o je preh adávanie prostredia za ú elom zistenia nejakých znakov aktívne h adáme nie o, o om nie sme istí, kde sa to objaví. Pri vyh adávaní môžeme odpoveda falošným poplachom, ktorého prí inou bývajú rozpty ujúce podnety distraktory. Sú to necie ové podnety, ktoré vz a ujú pozornos od cie ového podnetu. Pre vyu ovanie geometrie (nielen pre vyu ovanie geometrie) je dôležité zrakové vyh adávanie a hmatové vyh adávanie. obr. 1 a, b, c, d 1 Miera náro nosti vyh adávania závisí od po etnosti vyobrazení. Na obr. 1 a, b nájdite T. Obr. 1a, b 1 Pozri J. Sternberg: Kognitivní psychologie, Portál, 2002, Praha. 256

257 Obr. 1c, d Na obr. 1c nájdite O, na obr. 1d nájdite T. Na obraze 1e nájdite ierny krúžok Pri pozorovaní a vnímaní je dôležité uvedomi si stálos ve kosti a stálos tvaru. Obe sú závislé na vnímaní vzdialenosti. Stálos ve kosti sa týka vzdialenosti predmetu vnímanej pozorovate om. Stálos tvaru sa naproti tomu týka vzdialeností jednotlivých astí predmetu vnímaného pozorovate om. Na obrázku vidíme dvere aj s rámom. Dvere sú zavreté, jednak málo alebo zna ne pootvorené, až otvorené. Nezdá sa však, že by dvere na jednotlivých obrázkoch menili tvar. Vskutku by bolo zvláštne, keby sme v priebehu ich otvárania vnímali, že sa mení tvar. Napriek tomu sa však tvar dverí dopadajúcich na sietnicu o í v priebehu otvárania dverí mení. 257

258 V alšom sa zameriame na rozdielnos poznatkov reprezentovaných v mentálnych obrazoch a poznatkov reprezentovaných symbolickou formou ako sú slová alebo iné symboly. Obrázky dobre reflektujú konkrétne a priestorové informácie tým, že sa podobajú predmetom, ktoré reprezentujú. Slová dobre reprezentujú abstraktné a kategorizujúce informácie tým, že symbolizujú javy, ktoré reprezentujú. Obrazová reprezentácia prináša všetky znaky javu simultánne. Všeobecne povedané, akéko vek pravidlá pre tvorbu a pochopenie obrázku vychádza z analogizujúceho vz ahu medzi obrázkom a javom. (predmetom), ktorý je obrázkom reprezentovaný. Predstavy sú mentálne reprezentácie tých vecí (predmetov, udalostí, javov), ktoré v okamžiku reprezentácie nie sú vnímané zmyslovými orgánmi. Predstavy môžu dokonca reprezentova veci, ktoré si lovek v mysli vytvoril, mimo mysle však neexistujú. Predstavivos sa týka mentálnych reprezentácií vo všetkých senzorických modalitách. Nás budú zaujíma najviac zrakové predstavy prípadne sluchové a hmatové predstavy. asto pri predstavách sa dostavuje problém vz ah celku a astí. Ak sa pozrieme na nasledujúci obrázok a potom ho zakryjeme, o sa nám z neho vybaví? Ur ite zostane 258

259 ako celok, možno si spomenieme na menšie trojuholníky, prípadne bude jeho sú as ou aj rovnobežník. Niektoré obrázky môžu pôsobi dvojzna ne. To znamená, že mentálne reprezentácie obrázkov nie sú totožné s ich vnemami. S predstavami môžeme mentálne manipulova. Stretávame sa s hypotézou funk nej ekvivalencie. Teda vizuálna predstavivos síce so zrakovým vnímaním nie je identická, je však s ou funk ne ekvivalentná. Vo vyu ovaní sa stretávame s úlohami, v ktorých sú nakreslené dva (resp. viac) obrázkov a máme rozhodnú, i útvary uvedené na obrázkoch sú vyobrazeniami toho istého predmetu. Napr. 259

260 Pri riešení tejto úlohy používame tzv. mentálnu rotáciu. Táto mentálna transformácia odpovedá obdobným transformáciám objektov a vnemov. Zraková predstavivos je funk ným ekvivalentom zrakového vnímania o do procesov, ktoré pre obidve funkcie zrakový systém používa. S týmito skuto nos ami môžu vzniknú možné otázky, napr. Sú vlastnosti predstáv analogické vlastnostiam vnemov? Konštrukcia zložitejších mentálnych predstáv trvá dlhšiu dobu než konštrukcia jednoduchších predstáv? Všeobecne je dokázané, že už v rannom veku dochádza k rozvoju základných priestorových schopností, ktoré tvoria základ geometrie. Sú as ou tejto schopnosti je aj priestorová predstavivos schopnos orientova sa v okolí a mentálne manipulova s predstavami rôznych objektov. Psychologické výskumy zistili: 2 rýchlos mentálnej rotácie sa s vekom zvyšuje, rotácia známych objektov je omnoho rýchlejšia než neznámych, mladšie a staršie deti rýchlejšie reagujú pri úlohách týkajúcich sa mentálnej rotácie ak majú príležitos precvi ova ich, precvi ovanie zrých uje reak né asy a vedie k tomu, že mentálna rotácia môže by až automatickým procesom, starnutie môže vies k pred ženiu reak ného asu, zraková predstavivos môže zah a dva vymedzené systémy mentálnej reprezentácie: jeden systém spracováva nepriestorové zrakové aktivity (napr. farba a tvar), druhý aktivity výlu ne priestorové (napr. umiestnenie, orientácia v priestore, porovnávanie ve kosti a vzdialenos ), pod a hypotézy dvojakého kódovania existujú dva odlišné kódy reprezentácie poznatkov jeden kóduje predstavy, druhý slová a ostatné symboly. Predstavy sú reprezentované v podobe analógií foriem, ktoré zmyslovo vnímame. Naproti tomu sú slová a pojmy kódované v symbolickej podobe, ktoré analógiou nie sú, používanie zrakových predstáv nemusí vždy ihne vies k úspešnému riešeniu niektorých úloh vyžadujúcich mentálnu manipuláciu abstraktných alebo dvojzna ných obrazcov pokia riešenie neu ah í ich kontext. o z týchto teoretických východísk môže ovplyvni koncepciu vyu ovania geometrie na 1. stupni ZŠ, aby vyu ovanie geometrie už na 1. stupni rozvíjalo priestorovú predstavivos a logické myslenie, a tým kládlo základy pre lepšie uplatnenie žiakov v živote? o by malo ovplyvni aj prípravu u ite ov pre 1. stupe ZŠ? 2 Sternberg, R.: Kognitivní psychologie, Portál 2002, Praha, str , citované práce: R. Shepard, R. Kail, Paivia. 260

261 1. Výu ba geometrie od 1. ro níka by mala vychádza výlu ne zo skúseností die a a. Za tým ú elom je potrebné zruši na 1. stupni ZŠ v koncepcii štruktúry geometrie delenie na planimetriu a stereometriu. Pri výu be treba vychádza z geometrických tvarov a útvarov. Predklada die a u (žiakovi) rôzne geometrické tvary a h ada v prostredí die a a reálne predmety týchto tvarov. Umožni zoznámenie sa s týmito tvarmi a útvarmi, necha ich manipulova s nimi, objavova spolo né znaky a rozdielne znaky, vyh adáva ich globálne vlastnosti. V tomto sa necha pou i históriou matematiky. 2. Toto možno uskuto ni len vtedy, ak školy budú ma k dispozícii rôzne modely, stavebnice a iné. Prípadne ak bude ochota u ite ov zhotovova niektoré u ebné pomôcky svojpomocne. 3. Nahrádza niektoré manuálne innosti výpo tovou technikou, využíva softvery dynamickej geometrie. 4. Vä šiu pozornos venova umiest ovaniu a orientácii v priestore. 5. Venova vä šiu pozornos porovnávaniu geometrických útvarov, skúma symetriu útvaru a zhodnos útvarov (bez nejakých vopred daných kritérií). 6. Súbežne s modelmi predklada obrazy geometrických útvarov. Vies žiakov k tomu, že existujú rôzne obrazy toho istého geometrického útvaru. 7. Súbežne s touto innos ou rozvíja grafické zru nosti žiakov kreslením iar a vytváraním rôznych obrázkov. 8. Meranie úse iek zavies prostredníctvom praktickej innosti žiakov. 9. Prepracova didaktiku výu by geometrie, s ou dôkladne zoznámi študujúcich u ite stvo 1. st. ZŠ. 10. Znovu zavies povinnos alšieho vzdelávania aj u ite ov 1. st. ZŠ v metodikách predmetov u ebného plánu 1. st. ZŠ. 11. Sú asne s tvorbou u ebníc vytvori dobré metodické príru ky. 12. Vo vyu ovaní geometrie viac rešpektova u ebné štýly, t.j. treba si uvedomi, že Každá udská osobnos je jedine ná, môže sa u i a má svoj individuálny štýl. U ebný štýl vo vzdelávaní zabezpe uje výsledky u iacich sa jedincov, ich sebadôveru a postoje k u eniu. U ebný štýl je kombináciou afektívnej, kognitívnej, environmentálnej a fyziologickej zložky každej osobnosti a charakterizuje, ako sa lovek u í. Literatúra 1. Sternberg, R. J.: Kognitivní psychologie. Portál Praha, Turek, I.: Inovácie v didaktike. Metodicko-pedagogické centrum v Bratislave, Bratislava ISBN Kontaktná adresa prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied UKF v Nitre Tr. A. Hlinku Nitra osedivy@ukf.sk 261

262 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V MATEMATICKÉ KOMPETENCIE ZA ÍNAJÚCEHO U ITE A - ELEMENTARISTU Edita ŠIM ÍKOVÁ Abstrakt V príspevku sa chceme zamera na stru né vymedzenie kompetencií za ínajúceho u ite a na prvom stupni základnej školy v oblasti matematickej edukácie. Zvláštnu pozornos venujeme problémom za ínajúcich u ite ov vo výu be matematiky. V závere sa pokúšame navrhnú možnosti pomoci týmto u ite om v ich alšom zdokona ovaní a odborno-metodickom raste. TEACHERS STARTING CAREER AND THEIR DUCATIONAL STRATEGIES IN MATHEMATICS Abstract The intent of this article is to provide an introduction to and definition of competences of commencing teacher at primary school in field of mathematical education. The author focuses on problems that commencing teachers of mathematics face and eventually proposes an array of recommendations to help the teachers grow both professionaly and methodicaly. Kompetencia Kompetencia je pod a slovníka cudzích slov právomoc, okruh pôsobnosti, dosah právomoci. V posledných rokoch sa toto slovo udomácnilo v odbornej pedagogickej literatúre na Slovensku, stalo sa populárnym v pedagogických dokumentoch, záväzných normách a v programoch alšieho vzdelávania u ite ov. V pregraduálnej príprave u ite ov, kde nie sú stanovené obsahové normatívy pre všetky pedagogické fakulty, to znamená neexistujú u ebné osnovy jednotlivých disciplín, si vysokoškolský pedagóg formuluje všeobecné a špecifické ciele tak, aby viedli ku o akávaným kompetenciám absolventa. O akávané kompetencie možno vymedzi a klasifikova na základe teoretických poznatkov odborníkov, ale v súlade s potrebami reálnej praxe. Naším cie om je zamera sa na analýzu kompetencií študenta a za ínajúceho u ite a v matematickej edukácii na prvom stupni základnej školy, aj ke je potrebné myslie na to, že príprava u ite a elementaristu je a musí by komplexná, integrovaná a mnohé problémy v jeho zru nostiach sa prelínajú súbežne vo viacerých vyu ovacích predmetoch. Kompetenciou ako pedagogickým problémom sa zaoberali viacerí autori (Helus, 1995; Belz-Siegrist, 2001; Turek, 2003). Existuje nieko ko rôznych poh adov na klasifikáciu k ú ových kompetencií. Pre naše potreby vyhovuje vymedzenie: odborno predmetové 262

263 didakticko psychologické kognitívne komunikatívne interpersonálne Analýza Odborno predmetové kompetencie za ínajúceho u ite a predstavujú kompetencie, ktoré by mal získa už v pregraduálnej príprave na vysokej škole. Okrem odborných poznatkov z matematiky potrebných pre edukáciu na prvom stupni zíkladnej školy potrebuje absolvent aj poznatky z matematiky pre život a pre výkon jeho zamestnania. Zdá sa, že hovoríme o banálnych veciach, ale z doterjaších mojich skúseností zo seminárov s u ite mi pôsobiacimi v pedagogickej praxi ( i za ínajúcimi u ite mi ) to v mnohých prípadoch samozrejmé a banálne vôbec nie je. Napríklad študent a za ínajúci u ite má vypestované ur ité vlastné algoritmy riešenia a tie žiada aj od žiakov, nepripustí diskusiu o inom postupe riešenia : s ítanie spamäti 37+25= = písomné násobenie U ite trvá iba na svojom postupe riešenia ( na jednom z uvedených ). asto sa obáva diskusie so žiakom o iných možnostiach riešenia, pretože by nedokázal reagova, respektíve iný algoritmus sám neovláda dokonale rýchlo. Postupy riešenia úloh chce ma v metodickej príru ke a najradšej sa o nich chce uisti aj vo výmene skúseností na seminároch pre u ite ov. Prídavková (2002, s.148) zistila: Budúci u itelia na 1. stupni ZŠ o akávajú, že formulácia úlohy má by vždy jednozna ná a nechcú si pripusti skuto nos, že jednu úlohu možno vníma rôznymi spôsobmi. Akonáhle je v úlohe náznak divergencie, v zmysle pochopenia úlohy nie sú ochotní nad úlohou uvažova a rieši ju. Na túto skuto nos poukázala aj B. Tomková (2005, s. 87): Vyzerá to tak, akoby študentom viac ako objavovanie, h adanie súvislosí a premýš anie vyhovovalo memorovanie poznatkov. To si vyžaduje kvalitnú odbornú prípravu i zmenu v myslení študenta. Scholtzová (2002, s. 176) uvádza, že: Práve sú asní študenti, vo svojej budúcej praxi u ite ov na 1. stupni základnej školy, budú formova prvé postoje žiakov k matematike. Je teda dôležité, aby poznali o najviac spôsobov, ktoré môžu napomáha pri vytváraní pozitívneho vz ahu žiakov k matematike. Didakticko psychologické kompetencie získava absolvent u ite skej prípravy a za ínajúci u ite predovšetkým v priamej pedagogickej praxi v každodennom kontakte so svojimi žiakmi. Plánovanie a príprava a) Študent a za ínajúci u ite má ve ký problém stanovi konkrétne ciele vyu ovacej jednotky. Týka sa to kognitívnych, afektívnych aj psychomotorických cie ov. Formuluje ich napríklad : oboznámi žiakov s pojmom obvod, precvi ovanie násobenia..., opakovanie písomného násobenia, žiak má vedie s íta a od íta dve dvojciferné ísla, rysovanie kružnice, kreslenie krivej iary at. Cie si nestanoví na za iatku prípravy, ale doplní ho až po jej skon ení, pretože sa viac zamýš a nad štruktúrou vyu ovacej hodiny. Okrem formulácie konkrétneho cie a je potrebné zoh adni aj alší didaktický aspekt, ktorým je súlad cie a s daným u ivom, 263

264 rešpektovanie skúseností žiakov a ich predchádzajúcich vedomostí v stanovených cie och. Napríklad - v u ive tretieho ro níka o trojuholníku stanovil študent ako špecifický cie spoji tri body v rovine rovnou iarou, alebo v u ive o obvode trojuholníka chcel prenáša pásikom papiera úse ky ( strany trojuholníka ) na priamku. b) alším problémom za ínajúceho u ite a v plánovaní vyu ovacej jednotky je rešpektovanie potrieb žiakov a zoh ad ovanie ich záujmov v eduka nom procese. Vidie to napríklad pri navodení rôznych matematických situácií a riešení úloh - v u ive o násobení vytvorí matematickú situáciu na dvore, kde gazdiná postavila zvieratkám príbytky a do každého z nich umiestnila po tri zvieratká ( spolu v jednom sliepky, zajace... ), o je absolútne neprirodzené a nereálne a zárove pre žiakov tretieho ro níka námetovo neprimerané. Alebo u ite študent sadí mrkvu do jamôk, žiakom delí karti ky s obrázkami a podobne. Chýbajú úlohy zo života, v ktorých by žiak cítil prirodzenú potrebu u i sa matematiku. c) Študenti i za ínajúci u itelia tiež asto zabúdajú na predchádzajúce skúsenosti žiakov ( na ich poznatky a vedomosti ), ktoré môžu využi pri sprístup ovaní nového u iva. Napríklad pri s ítaní a od ítaní dvojciferných ísel bez prechodu cez základ , u ite opakoval s ítanie a od ítanie v obore do 20 ako východisko pre toto nové u ivo. Vnímame to ako nelogické, ke že sa žiaci na predchádzajúcich vyu ovacích hodinách u ia s íta a od íta dvojciferné íslo s celými desiatkami 38+30, d) Osobitným problémom je tiež príprava u ebných pomôcok na vyu ovaciu hodinu. Študent u ite si pripraví materiály a pomôcky, ktoré potrebuje v eduka nom procese, ale zabúda si ich uloži pod a poradia použitia, respektíve niektoré z nich si vopred pripravi na tabu u, magnetickú tabu u, žiakom na lavice a podobne. Potom ich vyberá priebežne po as vyu ovacej hodiny a tým zna ne znižuje efektivitu využitého pracovného asu. K samotným pomôckam a materiálom je nutné podotknú aj to, že sú asto asovo náro né na prípravu, pritom sú v konkrétnej praxi využité iba raz, lebo strácajú svoju didaktickú i motiva nú hodnotu. Naprílad ve ké plagáty s náro nejšími kresbami na tvorenie dvojíc predmetov alebo spájanie úlohy s výsledkom. e) Pri písaní príprav si za ínajúci u ite zabúda zapísa všetky dôležité informácie, ktoré mu majú u ah i priebeh vyu ovacej hodiny vyrieši všetky úlohy kvôli rýchlej kontrole výsledkov, urobi nákresy, ktoré si potrebuje pripravi na tabu u, poznámky a úlohy pre žiakov na prácu naviac (ak zostane potrebný as) a podobne. Príliš verí vo svoje schopnosti a ke že je pre neho u ivo jednoduché, myslí si, že všetko hravo zvládne. Až v priamom kontakte so žiakmi odha uje problematické miesta v didaktickej rovine. f) Za ínajúcemu u ite ovi chýba pri plánovaní vyu ovacej jednotky predvídavos a tá sa týka situácií, ktoré sa môžu vyskytnú na vyu ovacej hodine ( o ma môže prekvapi, zasko i ), ale aj toho, aké úlohy má žiakom zada v závere, aby sa mohli pripravi na alšiu vyu ovaciu hodinu. Realizácia vyu ovacej jednotky Ve mi náro nou prácou nielen za ínajúceho u ite a je prispôsobi stratégiu osvojovania vedomostí a zru ností potrebám, záujmom, schopnostiam žiakov. Kyriacou ( 1996 ) uvádza, že za ínajúci u itelia sa najviac zameriavajú na potreby žiakov s priemernými schopnos ami a potreby žiakov s podpriemernými a nadpriemernými schopnos ami sú potlá ané, u ite sa im nevenuje v plnej miere. V matematike je tento jav vidite ný najviac vtedy, ak niekto vyrieši zadanú úlohu rýchlo, správne, dostane tak síce prácu naviac, ale úlohu toho istého typu. U ite sa nezamýš a nad tým, ako 264

265 rozvinú osobnos takéhoto žiaka, nestimuluje ho kvalitou, iba kvantitou. Opa ne, ten, kto má podpriemerné schopnosti, dostane na riešenie iba menšie množstvo úloh oproti ostatným žiakom. Aj takýto žiak však potrebuje stimuláciu viac úloh primeraných jeho schopnostiam. U ite preto musí sledova prácu žiakov, zisti v om robia pokroky a otázkami sledova, v om robia pokroky. Okrem schopností žiakov musí za ínajúci u ite bra do úvahy aj ich záujmy a potreby. Pri tvorbe matematických úloh budeme vybera také oblasti zo života detí, o ktoré majú záujem a o potrebujú pre život. Za ínajúci u ite asto nedokáže odhadnú oblas záujmov svojich žiakov, naj astejšie formuluje rozprávkové príbehy obsahovo neprimerané danej vekovej kategórii žiakov, napríklad pre žiakov štvrtého ro níka základnej školy využil rozprávku o medovníkovom dom eku pri sprístup ovaní u iva Ve ká násobilka. Nemožno celkom odmietnu tento rozprávkový príbeh, ale využi námet rozprávky možno v rozvinutej dramatickej hre, napríklad o ježibabe ako vynikajúcej cukrárke a podobne. K problémom v realizácii vyu ovacej jednotky u za ínajúcich u ite ov ur ite patrí jeho samotné vystupovanie, verbálna komunikácia, kladenie otázok, ktoré nemám v úmysle v tomto príspevku obšírnejšie analyzova, pretože ide o kompetencie prelínajúce sa u ite skou prípravou vo všeobecnosti, nielen v matematike. Ve mi dôležitou oblas ou matematickej edukácie je zadávanie úloh. K u ebným úlohám patria praktické cvi enia, bádate ské innosti, riešenie problémov, práca s pracovným listom, ale aj práca s po íta om, hranie rolí, diskusie v malých skupinách. Za ínajúci u ite má problém stru ne, jednozna ne zhrnú to, o o akáva od žiakov, hovorí zoširoka, asto povie, o presne má žiak urobi prezradí postup riešenia, ím nedá priestor na uvažovanie. Ak sa po as riešenia vyskytuje problém u viacerých žiakov, snaží sa každému z nich individuálne vysvetli, o je potrebné, a tým stráca as. Najviac problémov sa vyskytuje pri riešení slovných úloh analýza textu tvorbou primeraných otázok, zápis slovnej úlohy. Pri práci s pracovnými listami sa za ínajúci u ite snaží pracova spolo ne so všetkými žiakmi naraz, obáva sa, že žiak urobí iná, ako chce on, alebo spraví úlohu chybne. Neuvedomuje si, že práve pracovný list slúži na to, aby žiak objavoval riešenia a vysporiadal sa s vlastnou chybou. Naj astejšie sa to vyskytuje v zaujímavých úlohách a v projektových stranách. V týchto innostiach zárove môže u ite využi aktívne u enie žiakov, ktoré je protikladom výu by výkladom, vysvet ovaním. Je to však tiež asto v rozpore s presved ením mnohých za ínajúcich u ite ov, že výklad a vysvet ovanie sú najefektívnejšie metódy matematickej edukácie. Aj Mokriš (2005, s.175) uvádza: Preto pri vzdelávacej innosti v matematike (ale aj v ostatných disciplínach) by mala by venovaná pozornos využívaniu výskumných eduka ných metód, rozvoju kritického myslenia a využívaniu inova ných metód vo vyu ovacom procese. K didakticko psychologickej kompetencii u ite a patrí aj schopnos riadi eduka ný proces. Táto kompetencia u ite a znamená organizova innosti v triede tak, aby boli žiaci maximálny as vyu ovacej jednotky aktívni, produktívni. Za ínajúci u ite pri pozorovaní skúseného u ite a v jeho práci po as vyu ovania nevenuje pozornos týmto schopnostiam, a tým nezíska konkrétne poznatky a informácie z danej oblasti. Zamýš a sa nad tým až vtedy, ke nastanú problémy. Napríklad vyu ovaciu hodinu matematiky za a presne pod a asového rozvrhu a presne ju aj ukon i, rýchlo v úvode skontrolova u ebné pomôcky, vynúti si pozornos žiakov a vyvola napätie, zvedavos (...ur ite sa pamätáte, o sme riešili na minulej hodine, dnes budeme...,...nau ili sme sa rysova kolmice, dnes sa ich nau íme využi..., v era sme sa dostali na tretiu križovatku ciest, dnes sa pokúsime dosta z bludiska von... ). Okrem otvorenia vyu ovacej hodiny matematiky je dôležitá aj plynulos vyu ovania. Po zadaní 265

266 matematickej úlohy sa u ite nemôže vráti k predchádzajúcemu u ivu na zopakovanie, alebo preruši prácu žiakov pri jej riešení, lebo zistí, že im potrebuje k tejto úlohe poskytnú ešte alšie dôležité informácie.plynulos vyu ovacej hodiny si môže za ínajúci u ite zabezpe i logickou nadväznos ou poradia inností. alšie kompetencie za ínajúceho u ite a v tomto príspevku nemienim hlbšie analyzova, pretože práve táto problematika je sú as ou výskumu v rámci riešenia projektu KEGA v rokoch na Katedre matematickej edukácie Pedagogickej fakulty Prešovskej univerzity. Môj aktuálny príspevok tvorí v podstate vstup k širokej problematike kompetencií u ite a v matematickej edukácii a výsledky výskumu v nasledujúcom období prinesú zaiste nové poznanie, na základe ktorého bude možné vyslovi alšie závery a zovšeobecnenia. Získavanie k ú ových kompetencií je celoživotný individuálny proces, ktorý slúži na rozvoj osobnosti. Literatura 1. BELZ, H.-SIEGRIST, M. Klí ové kompetence a jejich rozvíjení. 1. vyd. Praha: Portál, s. ISBN KYRIACOU,CH. Klí ové dovednosti u itele.2.vyd. Praha: Portál, s. ISBN MOKRIŠ, M: Matematické vedomosti a zru nosti študentov elementaristov. In: Zborník zborník príspevkov z medzinárodnej konferencie Induktívne a deduktívne prístupy v matematike konanej v d och v Smoleniciach. Trnava: Trnavská univerzita, 2005, s ISBN PRÍDAVKOVÁ, A. Sonda do matematického myslenia budúcich u ite ov na 1. stupni ZŠ. In: Zborník príspevkov z medzinárodnej konferencie Podíl matematiky na p íprav u itele primární školy konanej v d och apríla 2002 v Olomouci. Olomouc: Univerzita Palackého, 2002, s ISBN SCHOLTZOVÁ, I. Inova né trendy vo vyu ovaní matematiky na 1. stupni základnej školy. 1. vyd. Prešov: MPC, s. ISBN TOMKOVÁ, B. Pre o vítam zmenu programov pri nových formách štúdia? In: Tradice a perspektivy výchovy a vzdelávání.1. vyd. Olomouc: Nakladatelství, 2005, s ISBN TUREK, I. K ú ové kompetencie. 2. vyd. Prešov: MPC, s. ISBN Príspevok bol spracovaný ako sú as grantového projektu Moderné informa nokomunika né technológie ako prostriedok alšieho vzdelávania u ite ov-elementaristov v matematike (MŠ SR KEGA 3/3027/05). Kontaktní adresa PaedDr. Edita Šim íková Katedra matematickej edukácie Pedagogická fakulta Prešovskej univerzity v Prešove Ul. 17. novembra 1, Prešov, SR Telefon: editasim@unipo.sk 266

267 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V PROBLÉMY U ITE OV PREELEMENTARISTOV PRI ROZVÍJANÍ MATEMATICKÝCH PREDSTÁV Blanka TOMKOVÁ Abstrakt Rozvíjanie matematických predstáv u detí predškolského veku vyžaduje od u ite ov preelementaristov pedagogicko-psychologické vedomosti, rovnako ako vedomosti z matematiky. Aké pedagogické dokumenty u itelia využívajú? Výsledky prieskumu zameraného na podmienky rozvoja matematických predstáv u u ite ov preelementaristov. Príprava konzulta né stredisko. THE PROBLEMS PRE SCHOOL TEACHERS WHILE DEVELOPING MATHEMATIC IMAGINATIONS Abstract Mathematical education forms an inseparable part of the process of education since pre school age. The paper is devoted to a problems of the development concepts mathematics. Úvod Matematika býva vo všeobecnosti považovaná za ve mi náro ný a nie práve ob úbený predmet. U ite matematiky by preto okrem teoretických matematických vedomostí mal disponova aj pedagogickými vedomos ami a schopnos ami. Bolo by dobré, aby pedagóg...ukázal de om predškolského a mladšieho školského veku krásu matematiky a jej užito nos pre život. (Scholtzová, 2005, s.161.) V náro nejšej pozícii, oproti u ite ovi matematiky 2. stup a, je u ite elementarista, prípadne u ite preelementarista. Jeho výhodou je schopnos prepojenia jednotlivých predmetov, prípadne zložiek výchovy akási integrácia riešenia problémov a uchopovania vedomostí. Jeho nevýhodou je absencia hlbších, dôkladnejších teoretických základov z odboru v našom prípade z matematiky, ktorá sa prejavuje obavou u ite a, že...nedokáže vyrieši úlohy, ktoré sú ur ené žiakom 1.stup a a ani vysvetli postup pri ich riešení (Prídavková, 2000, s.246.). Prípadne dochádza k tomu, že...u ite trvá iba na svojom postupe riešenia... a asto sa obáva diskusie so žiakom o iných možnostiach riešenia, pretože by nedokázal reagova, respektíve iný algoritmus sám neovláda.... (Šim íková, 2006) U ite preelementarista Hlavným cie om predškolskej výchovy je všestranný rozvoj osobnosti die a a. Štrukturovanie obsahu výchovno-vzdelávacieho procesu tu vychádza z našich pedagogických tradícií. Prejavuje sa zachovaním vnútornej logiky výchovných zložiek 267

268 (telesná výchova; pracovná výchova; prosociálna výchova; rozumová výchova a jej sú asti: rozvíjanie poznania, jazyková výchova a matematické predstavy; estetická výchova a jej sú asti: výtvarná, hudobná a literárna výchova). Rozsah a h bku obsahu, ktorý si majú deti osvoji, je problematické vopred presne vymedzi a naplánova, a práve v tom spo íva náro nos vedenia výchovnovzdelávacieho procesu v materskej škole oproti vyšším stup om škôl a pedagogické majstrovstvo u ite ky. Každoro ne vydáva štátna školská inšpekcia správu o úrovni vzdelávacích výsledkov 5 6 ro ných detí v materských školách v danom školskom roku. V roku 2004/2005 bola hodnotená úrove vzdelávacích výsledkov z matematických predstáv a grafomotorických zru ností. Záverom sa v správe nachádzajú odporú ania, ktoré Štátna školská inšpekcia adresuje materským školám, zria ovate om a metodickopedagogickým centrám. V školskom roku 2004/2005 boli materským školám adresované tieto odporú ania: Obsah výchovy a vzdelávania z matematických prestáv plni súbežne zo všetkých troch kategórií. Matematické predstavy rozvíja s využitím progresívnych foriem a metód práce v praktických manipula ných innostiach, posil ova u detí sebadôveru, rozvíja samostatnos a rozhodnos pri riešení konkrétnych problémov. ( Ako sú naši u itelia preelementaristi pripravení na túto úlohu? O o sa v práci môžu opiera? Medzi základné pedagogické dokumenty, ktoré u itelia preelementaristi pri svojej práci používajú patrí Program výchovy a vzdelávania detí v materských školách (ekvivalent eského Rámcového programu), ktorého autorkou je K. Guziová a spoluatormi pre rozvoj matematických predstáv sú V. Uher íková a I. Ivan Haverlík. Za jeden z kardinálnych problémov pri vytváraní inností a aktivít zameraných na rozvoj matematických predstáv považujeme problém Formulácie cie a. Nejde nám ani tak o formuláciu všeobecných cie ov, prípadne cie ov jednotlivých výchovných zložiek uvedených v Programe, ako skôr o to, aby u ite vedel naformulova o o akáva od detí na konci d a. Myslíme si, že práve toto uvedomenie si o akávania konkrétnych matematických kompetencií je prvým krokom pri príprave u ite a a slúži aj pri sebareflexii. Po mnohých diskusiách s u ite mi preelementaristami sme dospeli k záveru, že konkrétny cie ozna ujú ako úlohu daného d a. Formulácie týchto úloh majú uvedené priamo v Programe výchovy a vzdelávania a je potrebné ich iba TRANSFORMOVA (meni ) na ciele špecifické a iastkové (Kostrub, 2002, s.27). Nepresnosti pedagogickej dokumentácie Ako sú teda formulované úlohy v Programe výchovy a vzdelávania? U i deti rozhodova o pravdivosti alebo nepravdivosti aj pri formuláciách v tvare negácie: tento predmet nie je žltý je to pravda? Vedie rozhodnú o pravdivosti alebo nepravdivosti rôznych tvrdení s využitím vz ahov usporiadania (napr. myška je vä šia ako slon je to pravda?).(guziová, 1997, s.) Rozdiel formulácii týchto úloh je zrejmý. Kým prvá je formulovaná s oh adom na innos u ite a, druhá s oh adom na výkon die a a. To je jedna sporná stránka veci. Ako je to s presnos ou terminológie? (Najvä šie obavy u ite ov preelementaristov) 268

269 Vedie spo íta a odpo íta napríklad rovnaké geometrické tvary. Vedie zaznamenáva pohyb pomocou šípok z jedného miesta na iné, vopred ur ené miesto pomocou šípok, na štvorcovej sieti so štvorcami 1cm x 1cm na zmazate nej fólii a nau i sa tiež rôzne hry na nej (napr. krúžok a krížik piškvorky). Porovnáva hrany dvoch predmetov pomocou šnúrky alebo prúžku papiera. (Guziová, 1997, s. ) Terminologická nepresnos ale nie je len problémom Programu výchovy a vzdelávania detí v materských školách. Nedávno bol v rámci Projektu Phare Zlepšenie podmienok sebarealizácie Rómov vo vzdelávacom systéme SK riešený a zverejnený Pracovný materiál pre nultý ro ník zameraný na rozvoj matematických predstáv. V tematickom celku Porovnávanie a triedenie (pod a ve kosti, tvaru, množstva) nachádzame v rámci pojmov aj nasledovné: Porovnávanie a triedenie pod a tvaru: okrúhly okrúhlejší; hranatý hranatejší) Pri práci majú u ite om elementaristom a preelementaristom pomáha aj metodické príru ky. Žia, metodická príru ka pre u ite ov predškolských zariadení dosia neexistuje, aj ke Program výchovy a vzdelávania sa v MŠ používa od roku Zvyšovanie úrovne vzdelávanie u ite ov preelementaristov zabezpe ujú hlavne metodicko pedagogické centrá formou školení a kurzov, ktoré sú ale niekedy málo efektívne. Dôvody sú rôzne: zabezpe ujú školenie len úzkej skupiny u ite ov (rozhoduje asový faktor, informovanos, at.) aktuálnos riešenia problémov je relatívna od vzniku problému, prípadne jeho zistenia, cez návrh a schválenie spôsobu riešenia až po samotné riešenie formou školenia ubehne asto dlhší asový úsek školenia by mali by postavené na báze záujmu a dobrovo nosti u ite ov, inak je ich využitie asto minimálne, a pod. Ako zefektívni tento proces vzdelávania? Po zvážení týchto faktov, komparáciou možností vzdelávania u ite ov elementaristov a preelementaristov u nás i v zahrani í a s uvedomením si toho, že... vysoká škola je inštitúcia poskytujúca službu vzdelávania (Hanzel, 2004) pristúpila Katedra matematickej edukácie k vytvoreniu konzulta ného strediska schopného ponúka služby so zameraním na matematiku, didaktiku matematiky a tvorbu matematických predstáv u detí predškolského veku, v rôznych formách. Ide o: konzultácie a komunikáciu prostredníctvom internetu, u; vytvorenie diskusného klub u ite ov-elementaristov; kontaktné konzultácie; písomný kontakt Príprava a tvorba tohoto strediska prebieha v rámci projektu KEGA. Prínos projektu vidíme v nieko kých rovinách: Na akademickej pôde sa vytvorí pracovisko aktuálne reagujúce na potreby praxe s využitím najmodernejších informa no-komunika ných technológií. Prostredníctvom konzulta ného strediska sa tiež u itelia z praxe budú môc oboznámi s výsledkami vedecko-výskumnej práce vysokoškolských pedagógov. 269

270 Pracovníci konzulta ného strediska vysokoškolskí pedagógovia získajú nové podnety pre pregraduálnu prípravu budúcich u ite ov-elementaristov. Hlavný prínos vidíme v tom, že sa vytvorí prirodzené prepojenie pregraduálneho a postgraduálneho vzdelávania u ite ov-elementaristov v matematike. Realizácia prieskumu a jeho prvé výsledky V rámci pilotného prieskumu zameraného na otázku záujmu u ite ov o konzulta né stredisko predmet záujmu u ite ov sme zorganizovali pilotný prieskum. Pripravili sme si cca 30 dotazníkov pre u ite ov preelementaristov. Aké boli reakcie? - 5 u ite ov (1 MŠ) okamžite odmietlo dotazník vyplni (dôvod: asová zaneprázdnenos ) - 21 u ite ov dotazník odovzdalo (4?) Zistenia: Všetci respondenti boli ženy. Z nami skúmanej vzorky ich 18 malo ukon ené stredoškolské vzdelanie a 3 vysokoškolské vzdelanie. D žka praxe bola u vä šiny opýtaných viac ako 20 rokov (16 respondentov), tri mali prax v d žke rokov, jedna rokov a jedna 5 10 rokov. Všetky mali absolvované školenia zamerané na prácu v predškolských zariadeniach. Iba 8 z nich absolvovalo školenia zamerané na rozvoj matematických predstáv. Všetky priznávajú používanie Programu výchovy a vzdelávania detí v materských školách pri rozvíjaní matematických predstáv. 16 pomocou neho formuluje ciele, 16 pomocou neho formuluje úlohy, 5 pomocou neho vytvára námety pre prácu s de mi. Pri rozvíjaní matematických predstáv ich 14 erpá námety z Programu (?), 19 z vlastných skúseností ( o tie dve?), 12 z asopisov, 8 sa radí z kolegy ou, 4(?) využívajú inú literatúru (prevažne Portál), nikto nevyužíva internet, 5 priznáva erpanie námetov z asopisov ako V ielka, Vrab ek a pod.. Viac ako polovica respondentov (17) má pocit, že námetov z oblasti matematických predstáv je málo. Aké školenie (so zameraním na rozvoj matematických predstáv) by chceli absolvova? Až 15 požaduje praktické ukážky, 1 nepotrebuje pomoc. Respondenti zvä ša nemajú vyhranenú jednu problematiku. Naopak privítali by akéko vek ukážky z rozvoja matematických predstáv o z toho vyplýva? Potreba bližšieho vysvetlenia zámerov autorov Programu výchovy a vzdelávania (absentujúca metodická príru ka) Potreba konzulta ných stredísk reagujúcich okamžite na problémy praxe Potreba ukážok z praxe Potreba bezprostredného kontaktu s u ite om preelmentaristami pri riešení problémov 270

271 Závery: o môžeme ponúknu? zmenu prístupu v práci so študentmi - vä šia samostatnos - schopnos celoživotného vzdelávania - potreba celoživotného vzdelávania konzultácie pre u ite ov preelementaristov príprava konzulta ného strediska príprava diskusného fóra príprava metodických listov rozbor pedagogických dokumentov formulácia cie ov a úloh matematického charakteru Literatura 1. GUZIOVÁ, K. Program výchovy a vzdelávania detí v materských školách. 1. vyd. Tren ín: udoprint, s. ISBN HANZEL, P. Možnosti elektronickej podpory vzdelávania v príprave u ite ov pre 1.stupe ZŠ. In. Cesty (k) poznávání v matematice primární školy. Olomouc: UP Olomouc, ISBN X. 3. KOSTRUB, D. Problematika cie a v po iato nej edukácii. 1. vyd. Prešov: Rokus, s. ISBN MOKRIŠ, M. Sú až z matematiky a matematická edukácia. V tomto zborníku, PRÍDAVKOVÁ, A. Príprava študentov u ite stva 1.stup a ZŠ na prácu so žiakmi nadanými na matematiku. In:Príprava u ite ov elementaristov na prahu nového tisícro ia. 1. vyd. Prešov: PRIVATPRESS, s ISBN SCHOLTZOVÁ, I. Filozofická a obsahová transformácia matematického vzdelávania v štúdijnom odbore Predškolská a elementárna pedagogika. In História, sú asnos a perspektívy u ite ského vzdelávania. 2.diel. 1.vyd.B.Bystrica: UMB, s ISBN ŠIM ÍKOVÁ, E. Matematické kompetencie za ínajúceho u ite a elementaristu. V tomto zborníku, Príspevok bol spracovaný ako sú as grantového projektu Moderné informa nokomunika né technológie ako prostriedok alšieho vzdelávania u ite ov elementaristov v matematike MŠ SR KEGA 3/3027/05. Kontaktní adresa Mgr. Blanka Tomková Katedra matematiky, Pedagogická fakulta PU Prešov Ul. 17. novembra 1, Prešov, Slovensko Telefon: tomkova@unipo.sk 271

272 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V EŠENÍ SLOVNÍCH ÚLOH POMOCÍ EXCELU Dana TRŽILOVÁ Abstrakt Slovní úlohy vyžadují mnohdy zapojení d vtipu p i svém ešení a proto nejsou u student u itelství 1.stupn ZŠ p íliš oblíbené. P ísp vek se zabývá problematikou jak použití po íta e ovlivní strategie student p i ešení slovní úlohy. Významnou roli zde hraje modelování a experimentování s modelem. Excel navíc zp ístup uje ešení slovní úlohy tím, že nabízí student m spíše práci s konkrétními ísly než s obecnými vztahy. SOLVING WORD PROBLEMS IN SPREADSHEET Abstract Word problems involve engagement of wit during their solving and that is why they are not very popular for the future teachers of elementary mathematics. This article deals with the problem how the use of computer affects strategy of students during solving word problem. Important part is modeling and experimentation. In addition Excel make accessible solving word problems by the offer work with concrete numbers. V sou asné dob se p i ešení slovních úloh pomocí po íta e dostává do pop edí problematika modelování. V p ísp vku se soust edíme na po íta ové modelování pomocí tabulkových procesor, nebo tabulkové procesory mají adu vlastností, které jsou vhodné pro modelování ve školní praxi. ešené úlohy byly odzkoušeny se studenty u itelství 1.stupn základní školy v rámci seminá e Po íta em podporovaná výuka Modelováním rozumíme zkoumání objekt pomocí jiných um le zkonstruovaných objekt, ve kterých se charakterizují pouze vybrané vlastnosti originálního objektu. Tento nov vytvo ený objekt se nazývá model. Danou problematiku jsme v seminá i uvedli na ešení klasické úlohy hledání pravoúhelníka s maximálním obsahem, p i níž studenti mohli zkoumat matematický model. Navrhovaná úloha má následující zn ní: D de ek koupil 32 metr pletiva na výb h pro ovce. Ur ete rozm ry výb hu, chceme-li aby to byl pravoúhelník s co nejv tším obsahem. Z hlediska modelování se jedná o p knou úlohu, která neobsahuje složitou matematiku. A koliv v tšina student správn odhadla výsledek úlohy, zaujalo je její ešení. Nejprve jsme spole n vytvo ili úloze odpovídající model: do jednoho polí ka jsme vložili velikost obvodu pravoúhelníka; vytvo ili jsme sloupec obsahující vý et celo íselných ší ek obdélníka (od 1 do 16); do dalšího sloupce jsme vložili vzorec po ítající délku pravoúhelníka ší ka = obvod / 2 délka; poslední sloupec obsahoval výpo ty p íslušných obsah pravoúhelníka. 272

273 Excel nám ukázal, že r zné pravoúhelníky vyhovují danému obvodu. Vyzkoušením r zných hodnot studenti objevili útvar, který má nejv tší plochu. Poté studenti samostatn ešili analogickou úlohu, kde na základ Heronova vzorce m li nalézt trojúhelník, který p i daném obvodu má minimální pop. maximální obsah (viz obr.1). Strana polovi ní A b C obvod obsah #NUM! #NUM! , , Obr.1: Výpo et obsah trojúhelníka o zvoleném obvodu na základ Heronova vzorce. Tyto dv první úlohy jsou vhodné k uvedení pojmu simulace. Využívá se zde interaktivního chování programu Excel automaticky se p epo ítávají všechny vzorce p i zm n vstupních prom nných. T žišt ešení matematických úloh v Excelu spo ívalo v sestavování jednoduchých model a experimentováním s nimi. Studenti za použití matematického aparátu postupn vyjad ovali situace zadané v úloze a zobec ovali své myšlenky až posléze dosp li vytvo ení matematického modelu. Tento postup budeme ilustrovat na následujícím p íkladu: Miloš má ve stavebnici 50 stejných kostek a staví z nich v že. První v ž postavil ze 3 kostek druhou v ž z dvakrát tolik kostek, t etí v ž z t ikrát tolik kostek atd. Mrzelo ho, že na poslední v ž už nem l dost kostek. Kolik kostek m l dát na první v ž, aby i poslední v ž byla celá a žádná kostka nezbyla? V první fázi ešení úlohy studenti objevili, že po ty kostek tvo ících v že v zadané úloze lze vyjád it aritmetickými posloupnostmi v níž se shoduje první len s diferencí. Zadali proto do Excelu první dva leny aritmetické posloupnosti a natáhli posloupnost do dalších bun k ve sloupci. Do tohoto sloupce rovn ž vložili vzorec po ítající sou et len posloupnosti (viz obr. 2). Podle výsledku sou tu ubírali, pop. p idávali leny posloupnosti tak, aby získali sou et nebližší íslu 50, tj. celkovému po tu kostek v Milošov stavebnici. Aby objevili žádanou posloupnost pokra ovali ve Obr.2: Posloupnosti ísel simulující postavené v že 273

274 vytvá ení posloupností s r znými prvními dv ma leny. V pr b hu této innosti byli vyzváni, aby zobecnili své ešení a sestavili tabulku vytvá ející libovolnou aritmetickou posloupnost a sou ty jejích len. Znamenalo to vložení a nakopírování vzorce pro aritmetickou posloupnost s diferencí rovnající se prvnímu lenu (tedy postupné násobky zvoleného prvního lenu) a p idání sloupce v n mž se po ítají sou ty len aritmetické posloupnosti. Takto vlastn vytvo ili tabulku modelující situaci zadanou v úloze (viz obr.3). Nyní sta ilo pouze zadávat první len (po et kostek tvo ící první v ž) a zjistit, zda se mezi sou ty objevilo íslo 50. Po experimentování s tabulkou byli studenti Celkem íslo v že posloupnost kostek Obr.3 Tabulka po ítající leny libovolné aritmetické posloupnosti vyzváni k realizaci totálního ešení. Tím rozumíme k vytvo ení analogické tabulky, která nyní bude obsahovat vý et všech možných v ží. Tato tabulka ukázala student m, že úloha má dv ešení první v ž m že obsahovat bu 5 nebo 50 kostek (viz obr.4) íslo v že Celkem po et použitých kostek Obr.4 : Totální ešení úlohy. 274

275 ešení následujících úloh ukázalo jaký vliv má použití po íta e na strategie, které student volí p i ešení klasické slovní úlohy. Vyskytující se postupy ešení úloh budeme demonstrovat na jedné z klasických úloh na zlomky ešené na základní škole. T i turisté si objednali k ve e i bramboráky. Neve e eli však spole n, ale postupn v tom po adí, jak se vraceli z túry. Když p išel k ve e i první turista, m l na stole p ipraven podnos s bramboráky. Ze zdvo ilosti sn dl o jeden bramborák mén než inila t etina jejich po tu,a odešel. Za chvíli p išel druhý turista. Domnívaje se, že p išel jako první, sn dl rovn ž o jeden bramborák mén než inila t etina zbylých bramborák. Také on odešel. Stejným zp sobem postupoval i t etí turista. Na podnose zbylo 11 bramborák. Kolik bramborák bylo p vodn na podnose? Úlohy byly studenty ešeny dv ma zp soby. První zp sob m žeme ozna it jako vytvo ení modelu úlohy a experimentování v jejím rámci. Studenti zde vytvo ili tabulku zachycující vztahy mezi veli inami vyskytujícími se v úloze a poté dosazovali vstupní údaje a pozorovali jejich vliv na hodnotu výstupních údaj (viz obr. 5). Takto po et bramborák p i p íchodu turisty sn dených turistou p i odchodu turisty 1.turista turista turista Obr.5. Tabulka pro experimentální hledání ešení experimentovali až do získání žádaného výsledku. Druhý zp sob m žeme ozna it totální ešení úlohy. Studenti sestavili íselné posloupnosti p íslušné vztah m v úloze a vyhledali pot ebné hodnoty (viz obr.6). po et bramborák 1.turista 2.turista 3.turista Zbylo 11 2, , , , , , , , , , ,,, 28 8, , , , , , , , , , , , , , , , ,,, Obr.6. Tabulka znázor ující totální ešení Záv rem lze íci že Excel se ukázal pro tyto studenty jako podn tné prost edí. Studenti neo ekávali ešení pop. radu od u itele, ale sami se snažili nalézt ešení. K samostatnosti student rovn ž p ispívalo že v Excelu práce s konkrétními ísly p evažuje nad prací s obecnými vztahy. 275

276 Literatura 1. KEELING, R.; WHITEMAN,S. Simply Spreadsheets. KW Publications ROTHERY A. Modelling with Spreadsheets. Chartwell-Bratt ŠMÍDOVÁ J., WOLFOVÁ M. : Sbírka úloh v Excelu pro u itele ZŠ. Západo eská univerzita v Plzni, 2001 Kontaktní adresa PaedDr. Dana Tržilová, CSc. pedagogická fakulta Jiho eské university Jeronýmova 10, eské Bud jovice Telefon: trzilova@pf.jcu.cz 276

277 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V EDUKA NÍ ROLE ICT Martina UHLÍ OVÁ Abstrakt P ísp vek vychází z širšího kontextu implementace informa ních a komunika ních technologií (dále ICT) po íta e a média vnímá z pohledu humanismu globálního v ku. V rámci edukace ICT vystupují jako nový fenomén, který dopl uje tradi ní a vytvá í nové vazby. Na základ existujících vazeb je generováno široké spektrum eduka ních rolí, které mohou technologie ve výukovém procesu zastávat. THE ICT EDUCATIONAL ROLES Abstract The frame of contribution is a large philosophical kontext of ICT implementation. Aplication of new information and communication technology at schools is connected with new ICT educational roles. The point of view is concentrated to new educational connection and to a set of new ICT educational roles. Žijeme v dob, kdy je na míst si uv domit nesamoz ejmost bytí. Nesamoz ejmá je naše sou asnost, tím spíše budoucnost. Naše sou asnost v sob nese možnost ady možných budoucností, je na nás, jakou alternativu budoucnosti budeme svým myšlením a aktivitami ze sou asnosti do budoucnosti vyvád t. V hrubých rysech existuje vize informa ní a znalostní spole nosti, existuje však dosti velký po et stup volnosti p i tlaku sou asnosti a p i realizaci t chto vizí pro pozitivní utvá ení budoucnosti. ím je aktivita blíže krystaliza nímu jádru nového typu spole nosti, tím je tato aktivita pro budoucnost závažn jší. Tímto krystaliza ním jádrem je vzd lávání a kultivace lov ka, kultivovaná a kompetentní interiorizace a implementace nových technologií a syntéza lidské kreativity a možností informa ních technologií a využití nového typu kreativity, zmnožené novými technologiemi, do všech oblastí života spole nosti a lov ka. Slova P. Saka (Sak, 2005) vystihují širší rámec problematiky procesu implementace informa ních a komunika ních technologií (dále jen ICT) do života sou asné spole nosti. ICT p edstavují zcela nový fenomén, jehož vnímání nelze zúžit pouze na technologické p ístupy, ale který je t eba vnímat v globálních souvislostech. B. Blížkovský (Blížkovský, 1999) hovo í o Humanismu globálního v ku, který chápe lov ka jako sou ást p írody i d jin; jako bytost rozumu a sv domí nese lov k odpov dnost za sou asný stav i za budoucnost sv ta v dimenzi sociální i p írodní. Po íta e a média jsou využívány k niternému obohacení lov ka a jeho kultury. J. Kapounová (Kapounová, Pavlí ek, 2002) podtrhuje, že nové technologie nep inesou 277

278 novou kvalitu samy od sebe, ale skrze toho, kdo je používá. V. Kuli (Kuli, 1992) poznamenává, že komunika ní technologie zp sobují, že lov k p ekra uje svoje asoprostorové kapacity. Na prahu t etího tisíciletí se po íta e staly zcela samoz ejmou sou ástí našeho každodenního života. Je již zcela z ejmé, že úsp ch jedince v informa ní globální spole nosti bude záviset od jeho schopností získat, analyzovat a využívat informace na úkor faktických encyklopedických znalostí. Škola jako nedílná sou ást spole nosti by m la reflektovat aktuální požadavky spole nosti a p ipravovat jedince v duchu formující se informa ní spole nosti. Nové ekonomické podmínky by m ly být iniciátorem p em ny tradi ní školy na moderní výukové prost edí vycházející z filosofie nového humanismu. Aby byly všechny zmín né požadavky spln ny, musí škola implementovat prost edky ICT nejen jako p irozený prvek svého eduka ního prost edí, ale také jako prost edek p echodu od transmisivního pojetí k pojetí konstruktivistickému. Implementaci ICT do eduka ní reality nelze chápat jako izolovaný jev spojený s vybavováním škol po íta i. Technologie by nem ly být cílem, nýbrž didaktickým prost edkem a moderním eduka ním prost edím podporujícím nazrálé zm ny. Za len ní multimediálních informa ních a komunika ních technologií lze tedy chápat: jako p ísp vek pro rozvíjení m nících se rolí u itele a žáka, jako p íležitost pro nové formy a metody školní práce v duchu konstruktivistických p ístup, jako p ísp vek k individuálnímu u ebnímu postupu žák (individuální tempo, náro nost u iva, gradace náro nosti, možnost opakování, zohledn ní individuálních vývojových vad apod), jako p ísp vek k rozvíjení individuálních u ebních styl (postup ) jednotlivc na základ iniciace r zných typ inteligence prost ednictvím specifických forem multimediální komunikace, jako prost edí s d razem na individuální odpov dnost žáka i u itele, jako prost edí pro integraci izolovaných p ístup k poznání, jako p íležitost k návratu k hodnotám. V kontextu tradi ního eduka ního schématu U itel Žák U ivo vystupuje nový prvek ICT, který je dynamickými vazbami propojen s prvky p vodními (obr.1). ICT vystupuje jako spojující lánek mezi u itelem a žákem, mezi u itelem a u ivem i mezi žákem a u ivem. Nové vazby by v žádném p ípad nem ly nahradit vazby p vodní, nýbrž by m ly být jejich komplementem v duchu nové kvality. Na tomto míst U itel Žák ICT U ivo Obr 1. Eduka ní schéma 278

279 je t eba si uv domit význam konkrétního prost edí (klimatu), na jehož pozadí se eduka ní situace odehrává, pro samotnou existenci a kvalitu nových vazeb. B. Brdi ka, významný eský propagátor inova ních výukových metod spojených s využíváním ICT, p irovnává eduka ní roli informa ních technologií obecn k akcelerátoru, který m že umoc ovat nejr zn jší výukové metody (Brdi ka 2004). Úsp šná implementace multimediálních informa ních a komunika ních technologií do výuky zahrnuje celou škálu možností jejich využití, a to jak u itelem, tak i žákem. Soub žn m žeme uvažovat možnosti práce školní i domácí, práce individuální i skupinové. Pokusme se nyní vymezit jednotlivé role, které mohou po íta e vstupující do školní výuky zastávat. Jsou to: role elektronického u itele, role experimentálního prost edí pro tvorbu a ov ování hypotéz, role informa ního a komunika ního média, role moderního didaktického prost edku, role herní platformy. Role elektronického u itele, tutora, který žáka programov vede. Tuto roli p ebírají p evážn takové výukové programy, které charakterizujeme jako uzav ená výuková prost edí. Jedná se o programy, které žáka vedou, ídí jeho innost, p edkládají problémy a úlohy, hodnotí práci žáka. Žák m že pracovat do jisté míry samostatn, u itel pak zastává roli rádce. V jiném p ípad u itel za le uje do výuky vhodné sekvence program. Existuje široká nabídka komer ních i freeawarových výukových program, které se zam ují na matematiku. K jejich klasifikaci jsme p istoupili s ohledem na p evažující typ úloh ( inností), které daný systém generuje. Výukové programy lze lenit na: programy na prezentaci látky, programy na procvi ování látky, programy komplexního charakteru. Všimn me si blíže jednotlivých typ program s ohledem na specifika výuky matematiky na 1. stupni ZŠ. Programy na prezentaci látky p evážn dopl ují výklad u itele. Možnost využití obrázk, fotografií, schémat, animací vytvá í prostor pro názorné vyu ování. Atraktivnost prost edí zvyšuje pozornost žák, jejich soust ed ní na výklad. Programy na procvi ování látky mají své uplatn ní p edevším p i individuální práci žáka s po íta em (v rámci výuky i mimo výuku). Vhodné jsou programy, kdy si žák volí tempo, stupe obtížnosti, m že žádat okamžitou kontrolu ešení, statistické vyhodnocení svého výkonu. Cílem programu je upevnit žákovy matematické znalosti a dovednosti, rozvíjet jeho schopnost aplikovat tyto v domosti v konkrétních modelových situacích. Programy komplexního charakteru v sob zahrnují charakteristiky obou p edcházejících. Role experimentálního prost edí pro tvorbu a ov ování hypotéz. Tuto roli na sebe p evážn p ebírají kognitivní výuková prost edí, která ozna ujeme jako otev ená výuková prost edí. Jedná se o otev ené systémy, které jsou jakoby prázdné - obsahují pouze nástroje pro práci, výuku ne ídí, nep edkládají úlohy ani nehodnotí. Žák je jak iniciátorem nám tu problému, tak i jeho ešitelem objevitelem. 279

280 K matematickým kognitivním výukovým prost edím adíme dle Vaní ka (Vaní ek, 2003): po íta ové algebraické systémy (nap. Maple, Derive, Mathematica), mikrosv ty (nap. Logo, Imagine, Baltík, Baltazar), prost edí dynamické geometrie (nap. Cabri, Sketchpad, Euklides), po íta ové laborato e (ISES, LegoDacta). V rámci prvního stupn nachází z uvedených systém uplatn ní mikrosv ty a prost edí dynamické geometrie. U itel p ebírá roli pr vodce a rádce. (N které konkrétní nám ty pro práci v programovém prost edí Baltík jsou uvedeny v p ísp vku Malý kouzelník a matematika (Uhlí ová, 2002)). Pro žáky prvního stupn je také dostupná práce v programovém prost edí tabulkových kalkulátor (nap. MS Excel), které v ad moment spl ují požadavky kladené na kognitivní prost edí v mezích po íta ových algebraických systém. Informa ní a komunika ní médium (multimediální encyklopedie, prost edí Internetu). Programy encyklopedického charakteru slouží jako zdroj dat a informací nejr zn jšího charakteru. Možnost komunikace podporuje sdílení informací mezi žáky, mezi žáky a u itelem i mezi u iteli navzájem, podporuje realizaci projektov orientované výuky. Moderní didaktický prost edek. Prost ednictvím prezenta ních aplikací, grafických program, tabulkových kalkulátor, textových editor je po íta multifunk ním nástrojem u itele i žáka. Herní platforma zahrnující didaktické výukové hry. Matematické hry jsou žáky nejvyhledávan jší skupinou matematických program. Netradi ní prost edí, simulace, napínavé sout že, neobvyklý nám t a zajímavé úkoly zp sobují, že si žáci asto ani neuv domují matematický základ ešené úlohy. K nejzpracovávan jším matematickým obsah m didaktických her pat í: orientace v rovin, orientace v prostoru, p edstavivost (labyrinty, Tetris, Block, Housenka apod.), numerace matematické výpo ty (Gordiho zábavné po ty, Pohádková matematika, Alík apod.), ov ování osvojených znalostí a dovedností, aplika ních schopností v praktických úlohách (simulace prost edí v domostních sout ží), rozvíjení logického myšlení (Logik, strategické hry), rozvíjení pam ti (pexeso, puzzle), rozvíjení kreativity žák (Mathbuilder, Block, Baltík). Záv rem je t eba zd raznit, že p es velkou ší i možností, z stávají multimediální informa ní a komunika ní technologie stále pouze prost edkem i nástrojem svého uživatele. Efektivnost jejich využití závisí p edevším na vhodnosti zvoleného softwaru, na adekvátnosti zvolených metod a forem práce u itele i žák. To, zda budou po íta e jen novodobým po ítadlem nebo se stanou prost edníkem nového poznání a kultivace lov ka závisí v neposlední ad na osobním postoji každého z u itel, z nás. 280

281 Literatura 1. BLÍŽKOVSKÝ, B., KU EROVÁ, S., KURELOVÁ, M. St edoevropský u itel na prahu u ící se spole nosti 21. století. 1. vyd. Brno: Konvoj, BRDI KA, B. Role internetu ve vyu ování. 1. vydání. Praha: Univerzita Karlova, s. 3. ERNOCHOVÁ, M. a kol. Využití po íta e p i vyu ování. 1. vydání. Praha: Portál, s. 4. KAPOUNOVÁ, J., PAVLÍ EK, J. Po íta e ve výuce a u ení. 1. vydání. Ostrava: Ostravská univerzita v Ostrav, s. 5. KU EROVÁ, S. lov k. Hodnoty. Výchova. Prešov: Mana Noc, SAK, P. Význam médií a nových informa ních a komunika ních technologií p i utvá ení znalostní a informa ní spole nosti. On line, dostupné na [ ] 7. SINGULE, F. Sou asné pedagogické sm ry a jejich psychologické souvislosti. Praha: SPN, SLAVÍK, J., NOVÁK, J. Po íta jako pomocník u itele. Praha: Portál, 1997, s UHLÍ OVÁ, M. Malý kouzelník a matematika. In: Sborník XX. v deckého kolokvia o ízení osvojovacího procesu. Vyškov: VVŠPV, S UHLÍ OVÁ, M 11. VANÍ EK, J. Psychologické aspekty užití kognitivních technologií ve vyu ování matematiky. On line, dostupné na [ ] P ísp vek byl zpracovaný jako sou ást grantového projektu FRVŠ 2006/1240 Multimédia ve výuce matematiky na 1.stupni ZŠ. Kontaktní adresa RNDr. Martina Uhlí ová Katedra matematiky PdF UP v Olomouci Žižkovo nám5, Olomouc Telefon: martina.uhlirova@.upol.cz 281

282 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V DZIECI CE PYTANIA O LICZBY Aleksandra URBA SKA Abstrakt Dziecko w drugim roku ycia nabywa werbalnej wiadomo ci siebie i zaczyna wchodzi w wiat liczb. Analiza dziennika mowy Jasia pozwala znale pytania, w których dziecko stawia hipotezy dotycz ce liczb. Tre pyta pokazuje, jak dziecko aktywnie i wiadomie buduje sw wiedz arytmetyczn. CHILDREN S QUESTIONS ABOUT NUMBERS Abstract A child in second year of its life acquires the sense of verbal self and begins to enter the world of numbers. The analysis of the register of Jasio s speech allows you to find questions in which a child makes hypothesis concerning numbers. The content of question shows that a child actively and consciously builds its arithmetical knowledge. 1 Uwagi wst pne... pytanie jest wa ne, ale stawiamy je dlatego, e ywimy nadziej na znalezienie odpowiedzi. Leszek Ko akowski Celem artyku u jest próba pokazania, e (i jak) dziecko, poprzez stawianie serii pyta i krytyczne przyjmowanie odpowiedzi, aktywnie zdobywa wiedz o liczbie. Na podstawie analiz bogatego materia u zawartego w dzienniku mowy Jasia*) scharakteryzowana zostanie wcze niej zdobyta przez Jasia wiedza o liczbach (2). Nast pnie zarysowany zostanie proces odkrywania przez dziecko nazywania, odczytywania i zapisywania liczb, to zagadnienie bardzo Jasia intryguje i fascynuje(3). 2 Ja zapoznaje si z liczbami w sposób okazjonalny Pierwsze wyobra enia liczbowe Jasia wy aniaj si z jego codziennych do wiadcze : obserwowanych, na ladowanych i wykonywanych czynno ci. Dziecko wy awia liczebniki wraz z zas yszanym kontekstem, obserwuje te w ró nych kontekstach liczby w zapisie symbolicznym. Na bogactwo do wiadcze liczbowych Jasia wp ywaj rozmaite codzienne sytuacje; w niektórych doro li (matka, ojciec, babcia) okazjonalnie przekazuj mu pewn wiedz o liczbach, w innych dziecko aktywnie samo negocjuje znaczenie poznanych liczebników. Z ma ym Jasiem ojciec cz sto bawi si w liczenie paluszków po czone z askotaniem. Ja [1 rok; 9 miesi cy. 23 dni] sam inicjuje tak zabaw z babci, podaje babci swoj nó k i prosi: babo licz dwa, trzy, pi. Po jakim czasie Ja sam liczy : palce u swoich nóg - jeden, dwa, pi, dziesi [2;1.11]; pieni dze - sze dziesi t pi, 282

283 osiem, dwa [3;4.0]; drobne przedmioty, rysowane kreski - jedena cie, dwana cie, jedena cie, dwana cie. Du o narysowa em dziewczynce, du o narysowa em. A jeszcze tu jedena cie, dwana cie, osiemna cie, dziewi tna cie, dziewi, osiem [2;7.25]. Ja u ywa liczebniki mówi c: o czasie - zostan dziesi, dwana cie, trzyna cie godzin [2;5.3]; o cenie - a ile to kosztuje? [...] Sto tysi cy [3;5.13]; o temperaturze - ja mam trzydzie ci siedem sze, a Hania ma trzydzie ci osiem sze, a babcia ma te gor czk [2;9.15]. Wymienia, w niezupe nie chaotycznej kolejno ci, liczebniki pierwszej i drugiej dziesi tki, czasem wi ksze; zna liczebnik sto dziesi i sto tysi cy (jako bardzo du y). Potrafi przeliczy poprawnie trzy klocki [3;8.26], Próbuje zastosowa procedur przeliczania do wi kszej liczby gumek - tak licz : jeden, dwa, trzy, pi, sze, dziewi [3;9.18]. Wie, e symbole liczb znajduj si na zegarze, a tak e, e oznaczone s nimi tramwaje. Ma sporo wiadomo ci o liczbach, pozna je w naturalnych sytuacjach i w takich sytuacjach próbuje ich u ywa. I oto nadchodzi pora na bardziej aktywne zdobywanie wiedzy, Ja zaczyna stawia powa ne pytania. Doro li nie zawsze doceniaj ich g boko, ale Ja si nie zra a, pyta wielokrotnie, zmienia form pytania i cierpliwie, konsekwentnie dr y temat liczb i porz dkuje swoj wiedz o nich. 3 Ja pyta, jak si odczytuje i jak si zapisuje liczby NR EPIZODU WIEK JASIA C lata; 11mies. 17 dni C l; 11m. 30 d 105 4; ;0.25 FRAGMENT EPIZODU Z OBSERWACJI JASIA Mama z babcia obliczaj procenty w zestawieniu. Ja na laduje je, kre li na kartce ró ne zygzaki i mruczy do siebie. J: Trzydzie ci, trzydzie ci sze, trzydzie ci sze pi dziesi t, trzydzie ci sze, trzydzie ci siedem, czterdzie ci. Babcia napisa a 30 i pokazuje Jasiowi. B: Co babcia napisa a? J: Trzy i kó eczko. B: To jest zero, to kó eczko. Ja mierzy mamie obwód szyi. J: Mierz ci szyj. Jak ty masz szyj? J: Cztery metry na centymetrze. M: Ale sk d! J: A ile metrów masz? M: Trzydzie ci cztery centymetry. J: Mamusia ma cztery metry na szyi, to znaczy, e trzydzie ci cztery centymetry. Ja próbuje czyta liczby na centymetrze krawieckim. J: Tu jedynka, tu czwórka, a tu jaki inny numer. Tego numeru nie znam. J: Wiem co : dwa jedynki i czwórka, babciu, ale czwórka w rodku, to sto czterdzie ci jeden. J: Wiem co wspania ego czego. Jest tu na centymetrze jedna jedynka, jedna dwójka i ten numer, co na gazecie, oo, ósemka. J: Oo, wiem co, to zero! Jest taki tramwaj, ma zero, bo ja widzia em, a taki ma y tramwaj to te widzia em, co ma same LICZBY, O KTÓRE PYTA JA 30, 36 36, , i O 4 m Ile? 34 cm 4 m to 34 cm 1, 4,? , 2 i 8 0! 283

284 135 4; ; ; ; ;2.4 siódemki. J: Jeden taki zwyk y numer, to jest czarna pi tka. J: Jedna ósemka i dwie jedynki. [Ja czyta od ko ca 118] Babcia podlicza wykazy. Ja wskazuje liczbe 10. J: To jest zero, a to jedynka, to razem jak? B: Dziesi tka. J: Tu pi tka, a to jaka litera? B: Dziewi dziesi t pi. M: A co to jest sto pi? J: Pi tka, zero, jeden. J: Taka litera, to si nazywa: pi tka, jeden, zero. J: Jaki ten numer, bo s dwa zera i jedna dwójka? B: Dwie cie M: A sto jak narysujesz? J: To by aby jedna jedynka i dwie zera. Ja kre li cyfry. J: Ja pisz takie zadanie. [odwrócone 1 i 3] J: Jak jeszcze do tego przyrysuje si dwa zera, to ile b dzie? M: Tysi c trzysta. J: Jak do trzyna cie si dorysuje jedno zero, to ile to jest? M: Sto trzydzie ci. Ja ogl da ksi eczk, zainteresowa y go numerowane stronice. J: Mamusiu, jak si nazywa taki numer, co ma jedynk i trójk? M :Trzyna cie. J: Mamusiu, jak si nazywa taki numer, co ma jedynk i szóstk? M: Szesna cie. J: Mamusiu,jak si nazywa taki numer,co ma jedynk i siódemk? M: Siedemna cie. J: Mamusiu, jak si nazywa taki numer, co ma jedynk i szóstk? M: Szesna cie. Ale to jest dziewi tka, jedynka i dziewi tka, wi c dziewi tna cie. J: A ja my la em, e to szóstka. J: Mamusiu, jak si nazywa taki numer, co ma dwie dwójki? M: Dwadzie cia dwa. J: Mamusiu, jak si nazywa taki numer, co ma dwójk i trójk? M: Dwadzie cia trzy. J: Mamusiu, jak si nazywa taki numer, co ma czwórk i dwójk? M: Dwadzie cia cztery. J: Mamusiu, jak si nazywa taki numer, co ma pi tk i dwójk? M: Dwadzie cia pi. J: Mamusiu, jak si nazywa taki numer, co ma szóstk i dwójk? M: Dwadzie cia sze. M: A po co to kre lisz, po ksi ce si nie kre li. J: Bo musz numery takie napisa. J: Mamusiu, jak si nazywa taki numer, co ma siódemk i dwójk? M: Dwadzie cia siedem. J: Mamusiu, jak si nazywa taki numer, co ma ósemk i dwójk? M: Dwadzie cia osiem. J: Mamusiu, jak si nazywa taki numer, co ma szóstk i dwójk? 5 8 i 11 0 i 1 5 i 9? 105 5, 0, 1 5, 1, 0 2 i 00 1 i 00 1 i ? 13 0? 1 i 3? 13 1 i 6? 16 1 i 7? 17 1 i 6? a 6 2 2? 22 2 i 3? 23 4 i 2? 24 5 i 2? 25 6 i 2? 26 7 i 2? 27 8 i 2? 28 6 i 2? 284

285 1197 4; ; ;11.28 M: To jest dziewi, a nie sze. Nareszcie sko czy a si ksi eczka. J: adnie by o z rachunków. M: A teraz opowiedz mi co o tych obrazkach. [Ja opowiada] J: Mamusiu, to te jest adne. Ja ogl da centymetr krawiecki babci. J: Jak si ko cz te dwie numerki [liczby z o one z dwóch cyfr], to 9 nie 6 ju jest ca kiem sto. 100 J: Jaki to jest numer dwójka i dwa zera? M: Dwie cie. J: A trójka i dwa zera? M: Trzysta. J: A pi tka i dwa zera? M: Pi set. J: A szóstka i trzy zera? M: Sze tysi cy. J: Czterysta dwadzie cia dziewi to jest czwórka, dwójka i dziewi tka, dlaczego? B: Bo tak si pisze liczb trzycyfrow. 2 i 00? i 00? i 00? 500 6i000? to 4, 2 i 9 Ja najpierw odczytuje odr bne znaki (trzy i kó eczko), ju miesi c pó niej odczytuje liczb trzycyfrow (141), wcze niej analizuj c budow tego zapisu. Fascynuje go umiej tno rozpoznawania cyfr, kojarzy odleg e czasowo epizody - wiem co wspania ego,... jest tu na centymetrze jedna jedynka, jedna dwójka i ten numer, co na gazecie, oo, ósemka. Pyta o odczytanie pojedynczych cyfr i liczb wielocyfrowych (jaka to litera?; jaki to numer?; ile to b dzie?). Prosi o pomoc w zapisywaniu liczb. Zadaje systematyczne serie pyta, by odkry zasad zapisywania/odczytywania liczb (epizod 248 i 1206). Ja zadaje ró nie pytania zmieniaj c terminologi, a doro li ró nie na nie odpowiadaj : cierpliwie, czasem obszernie, ale nie zawsze konsekwentnie, nie zawsze wnikaj c w intencje dziecka. Ja jednak dociera do zasady zapisywania liczb trzycyfrowych, mimo e wielokrotnie odczytuje kolejne cyfry w jednym z dwóch porz dków, ale widzi je w jednym poza s owami. Gdy zasad t nieco rozpozna, otwiera kolejne wrota na drodze poznania liczb, pyta - Dlaczego? Nie b dzie mu atwo tego dociec, na razie us ysza odpowied Bo tak.... Wnioski Ja jest aktywnym badaczem. Dzia a, wykorzystuje swe wiadomo ci, zadaje m dre pytania, modyfikuje je, stawia hipotezy i sprawdza je, porz dkuje swe do wiadczenia, sam dochodzi do nowego poznania. Cechuje go zapa, motywacja wewn trzna, odporno na trudno ci. Potrafi odczyta liczby trzycyfrowe przed uko czeniem 5. roku ycia ta umiej tno krystalizuje si u niego ca y rok, z trudem i samozaparciem o ni walczy. Ma wol i rado odkrywania, ma wiadomo swych mo liwo ci intelektualnych - wiem co wspania ego. Ja widzi pi kno w strukturze liczb - adnie by o z rachunków. Literatura 1. AJDUKIEWICZ, K. J zyk i poznanie. Warszawa: PWN, s

286 2. DEHAENE, S. The Number Sense: How The Mind Creates Mathematics. New York: Oxford University Press, GRUSZCZYK-KOLCZY SKA, E., URBA SKA, A. Edukacja matematyczna sze ciolatków. - Dzieci ce liczenie. Prawid owo ci pedagogiczne i psychologiczne. In: Wychowanie w Przedszkolu 5, 1992, HEJNÝ, M. O rozumieniu poj cia liczby. In: Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Rzeszowskiego 1. Rzeszów: 2001, PIAGET, J., SZEMI SKA, A. Genezis czis a u rebionka. In: Piaget J.: Izbrannyje psicho ogiczeskije trudy. Moskwa: Proswieszczenije, 1969, SMOCZY SKA, M. Krakowskie dane j zykowe dzieci w systemie CHILDES, In: SMOCZY SKA, M. (red.) Studia z psychologii rozwojowej i psycholingwistyki. Kraków: Universitas, 1998, URBA SKA, A. O aktywno ci matematycznej dziecka przedszkolnego na przyk adzie kszta towania poj cia liczb. In: Problemy Studiów Nauczycielskich 6, Kraków: Wydawnictwo Naukowe WSP, 1996, s URBA SKA, A. O poznawaniu liczb poprzez mow. In: Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego, Seria V, Dydaktyka Matematyki 27, Kraków: PTM, 2004, *)Wypowiedzi Jasia, pochodz z Szumanowskich dzienników mowy. Za ich udost pnienie serdecznie dzi kuj Pani Magdalenie Smoczy skiej, która Dzienniki wprowadzi a do komputera i opracowa a zgodnie z zasadami mi dzynarodowego formatu CHAT ustalonego w ramach systemu CHILDES [MacWhinney B.: 1995, The CHILDES Project: Tools for analyzing talk, Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates]. Adres kontaktowy Aleksandra Urba ska (dr) Akademia Pedagogiczna ul. Podchor ych, Kraków, Polska Telefon: alurb@ap.krakow.pl a.urbanska@onet.pl 286

287 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V POHLED ŽÁK NA MATEMATIKU A JEHO ZM NA Milena VA UROVÁ Abstrakt Pohled žák na matematiku se b hem školní docházky m ní. Pro adu žák se matematika stává neoblíbeným p edm tem, protože v ní nejsou úsp šní a nevidí její užite nost. Vztah k matematice výrazn ovliv uje u itel. PUPILS` OPINION ON MATHEMATICS AND ITS CHANGE Abstrakt Children like the maths at a primary school but later they change their opinion and maths becomes unpopular subject for them. Reason of that might be their lack of success in this subject and that they don`t see usefulness of the maths. The relation to maths is significantly influenced by the teacher. V p ísp vku navazuji na své vystoupení na setkání kateder p ipravujících u itele matematiky eské a Slovenské republiky v zá í 2004, kde jsem se zabývala názory žák 2. stupn základních škol a p edevším student st edních škol na užite nost a pot ebnost matematiky. Zde se budu v novat p edevším zm n postoj žák k matematice b hem povinné školní docházky. Jaký mají žáci vztah k matematice a jaké jsou jejich názory na užite nost a pot ebnost vyu ování matematice, na to jsme se dotazovali žák 4. až 9. ro ník n kolika základních škol a student ty st edních škol v Brn a okolí. Žáci odpovídali anonymn a m li dostatek asu zamyslet se nad tím, k emu budou matematické poznatky a dovednosti, které se nau ili, sami pot ebovat, a jaký je jejich vztah k matematice. Aby se p i této anket minimalizoval p ípadný vliv u itele matematiky, odpovídali žáci p evážn v hodinách eského jazyka formou krátké slohové práce. Není zám rem výsledky ankety zobec ovat; šlo nám o to, seznámit se s názory žák a student v konkrétních t ídách a využít je jako podn t k diskuzi v seminá ích. V n kterých p ípadech sloužily i jako impuls k sebereflexi u itel. Na tomto míst bude prezentováno n kolik post eh, které jsou dopln ny citacemi žák. Jsou vybrány odpov di žák, které jsou jednak úsm vné, ale i hodné zamyšlení. Je všeobecn známo, a naše šet ení to potvrdilo, že žáci 1. stupn ZŠ mají k matematice kladný vztah a v nižších ro nících pat í matematika stále k nejoblíben jším p edm t m. Obliba matematiky za íná klesat v 5. ro níku, což souvisí s tím, že u ivo je obtížn jší a žákovské výsledky a jejich úsp šnost v matematice se za ínají více diferencovat. Žáci jsou však stále p esv d eni o pot ebnosti matematiky a nepochybují o její d ležitosti pro budoucí povolání a pro život. Z odpov dí žák je však patrný vliv autority, u itele nebo rodi, a pozitivní vliv 287

288 z ejm sehrávají i mezip edm tové vztahy, p ípadn tematické projektové metody, které se na 1. stupni asto uplat ují. Jako p íklad uve me odpov di dvou žák : Matematika je d ležitá, protože ji v život budeme pot ebovat nap. v obchod, v architektu e, v bance, p i podnikání. Matematiku využíváme v život r zným zp sobem a n kdy o tom ani nevíme. Bez matematiky se v život neobejdeme dívka, 5. ro ník ZŠ I když je matematika dost t žká, vím, že je d ležitá. Ve škole je n kdy na nic, ale až lov k vyjde ze školy, tak za ne litovat, že se matematiku neu il víc. chlapec, 5. ro ník ZŠ V našem pr zkumu se sedmými ro níky po ínaje za ali ojedin le objevovat žáci, kte í považovali matematiku za zbyte nou, a jejich po et se s p ibývajícím v kem zvyšoval. Od osmé t ídy, kdy se za íná s algebrou a v geometrii jsou t žišt m zobrazení a konstruk ní úlohy, a kdy bu se probírané u ivo bezprost edn k b žnému životu nevztahuje, nebo si jeho uplatn ní v praxi žáci dostate n neuv domují, byli k smysluplnosti tohoto u iva matematiky velmi skepti tí. Tém všichni dotázaní žáci ZŠ i studenti gymnázií sice nesouhlasili s tím, že by matematika byla pro život zbyte ná, ale z nich tém dv t etiny za pot ebné považovali pouze kupecké po ty, tedy základní po etní výkony a procenta, výjime n n která témata z po etní geometrie. Užite nost dalších partií matematiky p ipoušt li pouze pro ty spolužáky, kte í se cht jí dále v novat matematice nebo budou matematiku pot ebovat p i studiu jiných obor (uvád li v tšinou pouze technické obory) a považovali je za zbyte né pro ostatní. ada žák uvád la, že matematiku pot ebují hlavn proto, aby ud lali p ijímací zkoušky na st ední školu. Podobn se vyjad ovali i n kte í studenti gymnázií matematiku budou pot ebovat k p ijímacím zkouškám na vysokou školu a k maturit. Za všechny uve me názor studenta 1. ro níku ty letého gymnázia: Každý lov k, který si íká vzd laný, by m l ovládat matematiku tak do 7. ro níku. Takový lov k by si m l poradit se základními logickými a matematickými problémy života. U ivo 8. a 9. ro níku už je jen nadstavba, kterou b žný lov k mnohokrát neužije. St edoškolské u ivo už nemá s praktickými znalostmi nic spole ného a o vysokoškolském ani nemluv. Je vhodné pouze pro toho, kdo chce pracovat v takovém oboru, kde ji využije. Pro normálního smrtelníka je to spíš plýtvání asem. Myslím, že by se na matematiku nem l klást takový d raz. Sice bych nerušil hodiny matematiky, ale nem la by být pokládána za nejd ležit jší p edm t. To, že matematické vzd lávání má obrovský vliv na rozvoj osobnosti, že rozvíjí myšlení, u í v cné a srozumitelné argumentaci, vede k p esnosti a kritickému usuzování, rozvíjí p edstavivost a intuici, u í ešit problémy atd. atd. se objevilo p edevším v úvahách žák a student, kte í mají k matematice kladný vztah a obvykle navšt vují t ídu se zam ením na matematiku. Hodn lidí si myslí, že jim sta í um t spo ítat, kolik bude stát nákup. Neuv domují si však, že nap. algebra rozvíjí logické myšlení. lov k, který umí matematiku velmi dob e, si dokáže vše promyslet a tím pádem se m že lépe rozhodnout.... V život nastávají situace, které jsou svoji strukturou rovnicím nebo jiným logickým p íklad m z matematiky velmi podobné. Jen chytrý m že vyhrát! Proto je matematika velmi d ležitá. chlapec, 9. ro ník matematická t ída. Myslím, že matematiku bezprost edn v život pot ebovat nebudu až na n jaká povolání, ale abych se dostal na st ední školu a pak na vysokou školu na to ji pot ebovat budu. Myslím, že je to jen prost edek k tomu, abych mohl rozvíjet sv j mozek a práv na matematice se ukáže, jak to dokážu. - chlapec, 8. ro ník ZŠ. 288

289 Ostatní si tuto významnou funkci matematiky uv domovali jen minimáln nebo to považovali pouze za deklamaci: Matematika je velmi d ležitá. Ale n které v ci mn p ipadají úpln ned ležité. Ta ka však íkal, že na t chto ned ležitých p íkladech si rozvíjíme logiku. Ale pro si tu logiku nerozvíjíme na pot ebn jších p íkladech? Nevím. dívka, 9. ro ník ZŠ....Ptala jsem se paní u itelky, na co mi bude t eba takový rozbor v trojúhelníku v život a ona ekla, že na rozvoj myšlení. Je to docela dobrá výmluva. Ale chápu, že aspo n co budu um t. dívka, 8. ro ník ZŠ. V názorech žák na užite nost matematiky se velmi z eteln odrážel jejich vztah k p edm tu a vztah k u iteli matematiky. Zvláš žáci základní školy asto spojovali užite nost matematiky s tím, jak jsou v matematice úsp šní: Na 2. stupni je matematika velmi t žká, ale když se snažím, tak m baví a je velmi snadná.... Jako p edm t m nikdy nebavila, protože jsem ji nechápal. Paní u itelka m taky nem la moc ráda, ale jak jsem se zlepšoval v hodinách a p i písemkách, tak m chválila a pomáhala mi. Te vím, že je matematika užite ná. chlapec, 9. ro ník ZŠ. K emu je mn matematika? tak to fakt nevím. V život ji ur it nikdy nepoužiji, protože mn totáln nejde a nebaví m. dívka, 8. ro ník ZŠ. Jako nejvýznamn jší faktor, který utvá í vztah žáka k matematice, se jednozna n projevil u itel. Následující dv ukázky ilustrují, jak výrazn m že ovlivnit vztah k náro né a málo oblíbené matematice svou osobností vyu ující, který je svým oborem nadšený a vnit n zaujatý: Matematika mi p edevším dává p kn zabrat. Ale uznávám, že je jednou z nejzákladn jších v d, kterou aspo trochu musí ovládat každý. Na téma, k emu je užite ná, odpovím slovy našeho profesora: Matematika není jen o tom um t spo ítat jednoduché úlohy podle ur itých p edem známých vzorc pro ešení, ale p edevším o ešení problém vymykajícím se t mto vzorc m. Pokud zvládnete vy ešit tyto p íklady v matematice, budete schopni ešit i neobvyklé problémy v život, a p iznejme si, t ch je v tšina. Bohužel nepat ím do skupiny lidí, kte í matiku ovládají, ale m j názor na matematiku se v poslední dob hodn zm nil. Vždy jsem si myslel, že je to blbost, ale poslední dobou m za íná bavit. chlapec, 1. ro ník ty letého gymnázia, zm ení na angli tinu. Matematika je na rozdíl od p edm t jako nap. biologie i d jepis, velice odlišná. Zatímco do biologie se musím šprtat, v matematice pot ebuji jen logicky uvažovat. Matematiku bych asi srovnala s n jakou sout ží, ve které velice p emýšlíte a ekáte, jestli výsledek bude správný. Nejvíc m naštve, pokud po ítám dlouhý p íklad nebo složitou rovnici a výsledek je špatný. Potom musím za ít znovu a p át si, aby výsledek tentokrát vyšel dob e. Na naší škole, dík p ísnému panu profesorovi, se v nuji matematice velice asto. Není to zrovna m j nejoblíben jší p edm t, ale p icházím na to, že se na n m stávám pomalu závislá. Nudit se, to je slovo, které díky tomuto p edm tu už neznám. Když mám as, otev u svoji sbírku úloh z matematiky a dokážu po ítat i t i hodiny. Je to te pro m velice zajímavý p edm t, ale nemyslím si, že n které složité vzorce a funkce budu v život pot ebovat. A na druhou stranu, lov k by nem l nechat sv j mozek zleniv t a m l by jej pr b žn cvi it. Na to je myslím matematika dobrý p edm t. A jak se íká, všechno je k n emu dobré. - dívka, 1. ro ník ty letého gymnázia. Záv rem lze shrnout, že žáci se zamýšlejí nad významem matematiky pro život a kriticky hodnotí výuku matematiky. Ti, kte í nemají k matematice vlastní vyhran ný pozitivní vztah, velmi asto ztotož ovali užite nost matematiky jen se zvládnutím 289

290 kupeckých po t. Významný formativní aspekt matematiky pro rozvoj osobnosti jim v tšinou unikal. V sou asn dob se velmi asto diskutuje o obsahu vyu ování matematice na základních a st edních školách o pot ebnosti a využitelnosti n kterých témat a o úkolech matematického vzd lávání v bec. Do diskuze vstupuje široká ve ejnost, nebo každý prošel kurzem matematiky ve škole a má k ní ur itý osobní vztah pozitivní, i negativní. Bohužel v médiích se prezentuje ast ji negativní postoj známých i vlivných osobností, což do jisté míry ovliv uje i názory d tí na matematiku. Vztah k matematice se formuje ve škole a ovliv uje ho p edevším u itel matematiky, svým p esv d ením o matematice, o charakteru vyu ování matematice a zp sobem výuky. Z výsledk ankety se dá usuzovat, že se sice z ejm ve škole mluví o užite nosti matematiky a jejím vlivu na rozvoj myšlení, ale žáci sami o tom p esv d eni nejsou. Mají pocit, že je školská matematika odtržená od b žného života, nevidí dostate n souvislost ešení matematických problém s p ístupem k ešení reálných problém. To je však záležitost u itel a jejich pregraduální p ípravy, aby dokázali inspirovat žáky a zam it se na rozvoj matematické kultury, aby vytvo ili radostné a stimulující klima ve t íd a umožnili tak žák m objevit krásu matematiky a prožít pocit úsp chu. Literatura 1. HEJNÝ, M., KU INA, F. Dít, škola, matematika. 1. vyd. Praha: Portál, s.r.o., s. ISBN HEJNÝ, M. Dominanty matematické p ípravy budoucího u itele. In: Cesty (k) poznání v matematice primární školy. Univerzita Palackého, Olomouc 2004, s ISBN X. 3. PR CHA, J. U itel. Sou asné poznatky o profesi. Praha: Portál, s.r.o., s. ISBN Kontaktní adresa RNDr. Milena Va urová, CSc. katedra matematiky Pedagogická fakulta Masarykovy univerzity Po í í 31, Brno Telefon: vanurova@ped.muni.cz 290

291 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V MODULAR ARITHMETIC Tomáš ZDRÁHAL Abstract The aim of the paper is to exhibit that modular arithmetic can serve primary school s pupils as a demonstration for features of concern in arithmetic. Modular arithmetic helps to understand that there can be various arithmetics for various purposes each with its own orders. As an application of modulo system casting out nines is shown. MODULÁRNÍ ARITMETIKA Abstrakt Cílem p ísp vku je ukázat, že modulární aritmetika m že žák m prvního stupn základní školy sloužit jako demonstrace základních rys aritmetiky. Modulární aritmetika pomáhá porozum t skute nosti, že mohou být r zné aritmetiky sloužící r zným ú el m, každá se svými vlastními pravidly. Jako použití modulárního systému je ukázána kontrola devítkou. Modular arithmetic is easily understandable for pupils from even primary schools because their experience: They are familiar for example with the fact that multiplies of EUR 2 will not produce an amount ending in EUR 1, and they know why. Moreover, especially for a small modulus m is modular (sometimes called congruent) arithmetic easy, since there are only m different numbers in the system. Therefore modular arithmetic can serve pupils as a demonstration for features of concern in arithmetic; modular arithmetic is designed for analyzing periodic events these ones pupils know as well: E. g. it is now 2 o clock. What time was 12 hours ago? On the other hand even the introduction to modular arithmetic calls for some arithmetic manipulation. Primary school s pupils can be panic at sight of a numeral in this case the teacher must proceed very carefully. He (she) has to remind the basic arithmetic gradually and incidentally, rather than as a subject in itself. Only then will be modular arithmetic beneficial to pupils understanding of the fact, that there can be various arithmetics for various purposes each with its own orders. The teacher can start with the 12-hour clock system. (In spite of the fact all is digital nowadays - hence watch is digital as well, also classical analog watch is known to our children very well.) This system is based on an ordinary clock face, only 12 is replaced with 0 and the minute hand is missing. Thus the clock face yields the finite sets C = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. The operation of addition for this clock system is defined in this way: Add by moving the hour hand in a clockwise direction. It is necessary for the teacher to show pupils some examples of addition of two numbers from the only set of numbers they have available, i.e. numbers from the set C. With the 291

292 teacher s help pupils will complete the 12-hour clock addition table, the table with 12 rows and 12 columns. Now the teacher can show we can also multiple clock numbers. For example, to find the product 3. 4 add 4 a total of 3 times. After some examples it is pupils turn they are asked to complete 12-hour clock multiplication table. When pupils are very well familiar with not only 12-hour clock system, but also with some other n-hour clock system (n should be number less than 12, let us say 2, 3, 4, 5, 7 in order not to be difficult for numeration), the teacher can introduce the notation of congruence: The integers a and b are congruent modulo m (where m is an integer greater than 1) if the difference a b is divisible by m; we write a b (mod m). It is time now to explain pupils that we can perform arithmetic in a modulo system just as we did in clock system with clock numbers. The teacher should start with operations in modulo system 12 since pupils know 12-hour clock system best. So, e.g. 5 (mod 12) + 4 (mod 12) (5 + 4) (mod 12) 9 (mod 12) or 10 (mod 12) + 4 (mod 12) (10 + 4) (mod 12) 14 (mod 12) ) 2 (mod 12). As for the last congruent equality, the teacher should explain pupils that better will be the procedure as follows: 10 (mod 12) + 4 (mod 12) (10 + 4) (mod 12) (12 + 2) (mod 12) 2 (mod 12) because 12 (mod 12) 0. And, similarly e.g. 10 (mod 12). 4 (mod 12) (10. 4) (mod 12) 40 (mod 12) ) 4 (mod 12). In generally, if a b (mod m) and c d (mod m), then following holds: a + c (b + d) (mod m) and a.c (b.d) (mod m). Now pupils are prepared for the one application of modulo system. Actually, this application is the main contribution of this article. Just pupils are very eager for any interesting application of bored mathematics. This application is a very old trick known as casting out nines and has some importance: by means of this application one could check results in arithmetic. The word check is in quotation marks because according to the method casting out nines one can say that the result is probably correct, since an incorrect result will still check as correct if it differs from the correct result by a multiple of 9. However, most incorrect outcomes differ from the correct ones only by one or two digits. Thus casing out nines catches most of the common types of mistakes. From nowadays point of view the practical signification of this method is not very big, because we live in the world of computers. On the other hand let us remember human adder, who are still working with paper and pencil: waiters (at least some of them), for example. So, alike many other number tricks, casting out nines depends on the idiosyncrasies of the number 9 in our 10-base system. First we show how this method works. Suppose a waiter had summed a column of prices on our bill: 124,50 138,00 72,50 335,00 Then as a check he would add together the digits in each price, reducing the amount modulo 9: 124,50 ( ) (mod 9) 12 (mod 9) 3 (mod 9) 138,00 ( ) (mod 9) 12 (mod 9) 3 (mod 9) 292

293 72,50 ( ) (mod 9) 14 (mod 9) 5 (mod 9) Now he would add these amounts to be sure they gave the same result as the total price modulo 9: (mod 9) 2 (mod 9) 335,00 ( ) (mod 9) 11 (mod 9) 2 (mod 9) Because the results are the same, the waiter probably added correctly! Of course, to be sure one must check the result in the common way, i.e. again add and compare. (It could be the second sum will be the same as the first one and in spite of it the result will be incorrect ) Let us have another adding 124,50 138,00 72,50 443,00 Summands are the same as above. As for the total price, we get 443,00 ( ) (mod 9) 11 (mod 9) 2 (mod 9) In spite of the fact the results are the same, the waiter didn t add correctly in this case as we can check easily. (We could see the mistake at first sight more than 400 for 3 items while 2 items are less than 150 and the third is less than 100.) The following theorem shows why casting out nines works. Theorem An integer written in base 10 (in decimal notation) is congruent modulo 9 to the sum of its digits. Proof. The integer x = x n x n-1 x 1 x 0 in decimal notation means x = x n.10 n + x n-1.10 n x x Holds 10 1 (mod 9), so 10 i 1 (mod 9) for each positive integer i. Then x x x n. 1 + x n x x 0. 1, thus the sum of the digits of number x; the proof is over. Because (as we have mentioned above) we can substitute congruent quantities for each other without the change of the results, adding sums of digits must produce a sum congruent to the sum of a column of numbers. Remark There is another interesting and for the youngest pupils also useful thing based on the fact that the number 9 is the greatest residua in the residual set D = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, of the decimal system. This fact we can use by multiplying by 9. Have a look at this task: Multiple 9.6. We can work like this: 9.6 = (10 1).6 = = = 10.(6 1) + 4 = = 54. Hence we have substituted the multiplication by 9 by a multiplication by 10 in the way as follows: Let us imagine the order set of digits 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 from the left to the right. What have we done? We have depressed the sixth digit in this row one and counted 5 to the left and 4 remaining to the right. Finally, we have used 5 as tens 293

294 digit, 4 as units digit and added: = 54 = (9.6). What is the most significant? Pupils could carry out all this just by their ten fingers! Bibliography 1. BENNET, A., NELSON, L.: Mathematics, an activity approach, Allyan and Bacon, Inc., Boston, London, Sydney, Toronto, GIOVANNI, S.: Nová matematika, SPN, Praha, MILLER, C., HEEREN, V.: Mathematical ideas, Scott, Foresman, Glenview, Illinois, Oakland, London, OPAVA, Z.: Matematika kolem nás, Abatros, Praha, TLUSTÝ, P.: Obecná algebra pro u itele, Jiho eská univerzita, eské Bud jovice, Contact address Tomáš Zdráhal Faculty of Education, Purkyn University in Ústí nad Labem eské mládeže 8, Ústí nad Labem, Czech Republic Faculty of Education, Palacký University in Olomouc Žižkovo nám. 5, Olomouc, Czech Republic Phone: zdrahalt@pf.ujep.cz zdrahalt@pdfnw.upol.cz 294

295 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V INTUITÍVNY POH AD NA NIEKO KO PROBLÉMOV Z PRAVDEPODOBNOSTI O AMI DETÍ Monika ŽILKOVÁ Abstrakt Príspevok sa zaoberá výsledkami výskumu niektorých intuitívne podložených mylných predstáv pri argumentovaní v pravdepodobnosti u žiakov a študentov rôznych vekových skupín. Cie om výskumu bolo lepšie porozumenie po iatkom a charakteru niektorých mylných predstáv založených na intuícii v pravdepodobnostnom argumentovaní. Predstavujeme a analyzujeme tvrdenia študentov na tri problémy z pravdepodobnosti. AN INTUITIVE VIEW OVER SOME PROBABILISTIC PROBLEMS THROUGH CHILDREN S EYES Abstract In this paper we refer to an investigation of some intuitively based misconceptions in probabilistic reasoning in children of different age groups. The purpose of our research was to obtain a better understanding of children s intuitive perception of some probabilistic problems. We introduce and analyze children s answers and justifications to three probabilistic problems. Výskum v oblasti argumentovania v neur itosti, konkrétnejšie zaoberajúci sa mylnými predstavami a domnienkami v pravdepodobnosti má dlhú a bohatú históriu tak u psychológov (Kahneman, Piaget, Inhelder) ako u matematikov a štatistikov (Fischbein, Freudenthal). Z tejto oblasti bolo publikovaných nieko ko prác zaoberajúcich sa rozvojom pravdepodobnostného myslenia, po ínajúc prácou Piageta a Inheldera: La Genése de l`idée de Hasard chez l`enfant (1951). Nesprávnym intuíciám v štatistike a v pravdepodobnosti je venovaná najmä publikácia Kahnemana, Slovica a Tverskeho: Judgment under uncertainty: Heuristics and biases (1982). Ku výskumu intuícií v pravdepodobnosti ich prame ov a povahy prispel Efraim Fischbein knihou The intuitive sources of probabilistic thinking in children (1975) ako aj alšími publikáciami z tejto oblasti. Základnou otázkou týchto štúdií je vz ah medzi prirodzeným intuitívnym prístupom jednotlivca ku situáciám v pravdepodobnosti a formálnym matematickým prístupom a riešeniam. Pojem intuícia chápeme v zmysle Fischbeina ako základné, globálne, syntetické neexplicitne podoprené ohodnotenie alebo prognózu. Takéto globálne poznanie je subjektívne prežívané ako zrejmé, posta ujúce, nesporné a priamo akceptovate né. Popri formálnych štruktúrach, sú to práve intuície a intuitívne modely, ktoré neustále ovplyv ujú naše myslenie, rozhodnutia a závery. 295

296 Uvádzame as výskumu (analýzu riešení troch úloh z desiatich), ktorého cie om bola analýza a lepšie porozumenie po iatkov a charakteru niektorých mylných predstáv založených na intuícii v pravdepodobnostnom argumentovaní. Metodológia Subjekty výskumu Výskumu sa zú astnilo 5 skupín študentov osemro ného a štvorro ného Gymnázia v Nitre: 27 študentov Sekundy (11-12 rokov), 25 študentov Kvinty (14-15 rokov), 15 študentov Septimy (16-17 rokov), 26 študentov 2.ro níka štvorro ného gymnázia (16-17 rokov), 14 študentov 3.ro níka štvorro ného gymnázia (17-18 rokov). Okrem študentov Sekundy, všetci študenti absolvovali výu bu u iva Pravdepodobnos v rámci základnej alebo strednej školy. Dotazníky Na výskum boli použité dva typy dotazníkov (typ A, B), z ktorých každý obsahoval 10 úloh z pravdepodobnosti. Obsahovo boli oba typy dotazníkov paralelné; dotazníky obsahovali rovnaké typy problémov ale rozdielnych formulácii. Každá úloha požadovala od študenta vysvetlenie jeho odpovede. Metóda výskumu Dva typy dotazníkov boli distribuované sú asne v rámci zvy ajnej vyu ovacej hodiny. Každý študent odpovedal na otázky len jedného typu dotazníka. istý as venovaný dotazníku bol 35 minút, 10 minút vyu ovacej hodiny bolo venovaných organiza nej asti výskumu. Výsledky výskumu Odpovede študentov sú rozdelené do jednotlivých skupín vzh adom na správnos i nesprávnos odpovede i vzh adom na výskyt rôznych nesprávnych intuícií. Ku jednotlivým skupinám sú v tabu kách priradené ich percentuálne zastúpenia v rámci jednotlivých vekových kategórií. V dôsledku nejednozna nosti odpovedí študentov, kedy sa v odpovedi sú asne so správnym (matematickým) odôvodnením objavuje aj protire ivé tvrdenie založené na nesprávnej intuícii, i sa sú asne objavuje v odpovedi viacero nesprávnych intuitívnych záverov, sú ty percent v rámci jednotlivých vekových kategórií nie sú rovné 100% (t.j. odpove bola zaradená sú asne do viacerých skupín uvedených v tabu ke). Úloha 1-A Stavíš na výsledok hodu dvoma mincami. Ak uhádneš výsledok, vyhrávaš. Na ktorý z troch možných výsledkov by si stavil: na oboch minciach padne rub, na oboch minciach padne líce, alebo na jednej minci padne rub a na druhej líce? Vysvetli svoje rozhodnutie. Úloha 1-B Hádžeš dvoma kockami. Ktorý výsledok je pravdepodobnejší: a) na jednej kocke padne 5 a na druhej 6 b) na oboch kockách padne 6? Alebo sú oba výsledky rovnako pravdepodobné? Analýza úlohy 1 Úloha 1 skúma porozumenie koncepcie zloženého javu. Výskum v tejto oblasti 296

297 ukázal, že predstavy spojené s úlohami na zložené javy v pravdepodobnosti predstavujú isté problémy (Fischbein, Gazit 1984; Lecoutre, Durand 1988). Problém v úlohe 1-B použili pri výskume Lecoutre a Durand a zistili, že vä šina študentov odpovedala nesprávne, že oba javy sú rovnako pravdepodobné. Rovnaká úloha bola použitá vo výskume Fischbeina, Nello a Marino (1991) na vzorke 618 študentov vo veku od 9 do 14 rokov, z ktorých len 130 študentov sa stretlo s u ivom pravdepodobnos. Ich výskum taktiež potvrdil, že iba malá as odpovedí študentov uviedla, že pravdepodobnosti týchto javov sú rôzne. Oba výsledky (6-6 alebo 5-6, R-R alebo R-L) boli u vä šiny skúmaných považované za ekvivalentné, bez uvažovania poradia jednotlivých výsledkov. Dokonca autori výskumu zaznamenali menej správnych odpovedí u starších študentov, ktorí sa v rámci vyu ovania už s u ivom pravdepodobnos stretli oproti mladším študentom, ktorí sa s týmto u ivom ešte nestretli. Z výsledkov nášho výskumu však vyplynuli opa né závery ako z výskumu spomenutých autorov. Vä šina študentov všetkých vekových kategórií odpovedala správne, že rôzne výsledky sú pravdepodobnejšie, hoci len u malého po tu študentov boli tieto tvrdenia podložené správnou kombinatorickou argumentáciou. Treba však poznamena, že tieto výsledky sa vz ahujú na ove a menšiu vzorky (107 študentov) ako aj na vzorku rozdielneho charakteru (vek od 11 do 18 rokov, okrem študentov sekundy všetci študenti už u ivo pravdepodobnos absolvovali), ím by bolo možné uvedené rozdiely vo výsledkoch výskumu vysvetli. Uvádzame podrobnejšiu analýzu študentských riešení: Prvú skupinu tvoria odpovede, v ktorých študenti tvrdia, že uvedené výsledky sú rovnako pravdepodobné. Tieto tvrdenia sú odôvodnené napr. rovnakými šancami každého ísla kocky (resp. strany mince) by hodené alebo tiež jednoducho náhodilos ou samotného javu. Podobné vysvetlenia týchto tvrdení boli zaznamenané aj v spomenutých výskumoch iných autorov, ako sme však uviedli, na rozdiel od výsledkov nášho výskumu sa tvrdenia o rovnakej pravdepodobnosti vyskytli u 60%- 80% skúmaných študentov. V našom výskume takéto tvrdenie uviedlo len 10%-30% skúmaných študentov. Vyskytli sa tiež odpovede subjektívneho charakteru, v ktorých študent uvažuje aj o istej možnosti zasahova do náhodného procesu, teda uvažuje o schopnosti hrá a ovplyvni náhodný proces ( myslím, že ke bude hrá hádza úplne rovnako, tak by mohli padnú aj dve šestky... ), alebo sa rozhoduje na základe osobných skúseností ( z osobných skúseností - love e nehnevaj sa - viem, že 6 padne málokrát za sebou ), alebo tiež istej dôvery i nedôvery v niektorý náhodný jav ( nedôverujem výsledkom 2x za sebou ten istý hod... ). Najpo etnejšou skupinou odpovedí sú však tie odpovede, v ktorých študenti tvrdia, že rôzne výsledky pri hode kockou i mincou sú pravdepodobnejšie. Odôvodnenie týchto presved ení však nie je vždy podložené primeranou matematickou (kombinatorickou) argumentáciou, ale istou obtiažnos ou v získaní rovnakého výsledku pri viacnásobnom pokuse ( 1 rub a 1 líce, pretože je malá pravdepodobnos, že ak hádžem viackrát mincou, padne rovnaká strana ). Úloha 1 Sekunda Kvinta Septima 2.ro.G 3.ro.G Rovnako pravdepodobné Rôzne výsledky - vä šia P Iná

298 Úloha 2-A Katarína a Eva hrajú hru s dvoma kockami. Ak sú et bodiek na oboch kockách po hode týmito kockami je 3 vyhráva Katarína, ak 6 vyhráva Eva. Kto má vä šiu šancu na výhru? Alebo sú šance oboch diev at rovnaké? Pre o? Úloha 2-B Katarína a Eva hrajú hru s dvoma kockami. Ak sú et bodiek na oboch kockách po hode týmito kockami je 7 vyhráva Katarína, ak 10 vyhráva Eva. Kto má vä šiu šancu na výhru? Alebo sú šance oboch diev at rovnaké? Pre o? Analýza úlohy 2 Úloha 2 opä skúma po atie zloženého javu. Nadväzuje na výskum Efraima Fischbeina, pri om sme sa snažili zisti prítomnos mylnej domnienky, že ve kos uvažovaného sú tu pri hode dvoma kockami bude podmie ova ohodnotenie pravdepodobnosti jednotlivých javov. Skúmali sme teda tendenciu študentov ohodnoti ten jav ako pravdepodobnejší, ktorý znamenal získanie vä šieho sú tu na kockách, bez oh adu na tvar pravdepodobnostného priestoru. V našom prípade sme túto skupinu odpovedí ozna ili ako vä šie íslo vä šia šanca na výhru. V úlohe 2-A sa pýtame na porovnanie pravdepodobností sú tov 3 a 6 ( íslo 6 je vä šie a zárove pravdepodobnos sú tu 6 je vä šia). V úlohe 2-B porovnávame sú ty 7 a 10 (v tomto prípade hoci 10 je íslo vä šie, pravdepodobnos sú tu 10 je menšia). V prípade výskumu Fischbein, Nello a Marino (1991) bola táto domnienka naozaj potvrdená. Vä šina študentov ozna ila vä šie íslo ako pravdepodobnejšie, bez oh adu na pravdepodobnostný priestor. V prípade otázky 2-A bolo íslo 6 ako vä šie íslo naozaj pravdepodobnejšie, a teda študenti odpovedali správne (60%-75%), aj ke na základe nesprávnych úvah. V prípade úlohy 2-B je však menšie íslo 7 pravdepodobnejšie, a teda relatívne málo (20%-50%) študentov odpovedalo správne. Z nášho výskumu však vyplynulo, že zatia o v prvom prípade sa naozaj vyskytli argumentácie typu 6 je vä šie íslo, a teda je jeho šanca vä šia, v prípade porovnania šancí sú tov 7 a 10 sa však vyskytla opa ná tendencia nazvaná ako menšie íslo vä šia šanca na výhru. V tomto prípade sa íslo 10 zdalo študentom príliš ve ké, a tak bola jeho pravdepodobnos ozna ená ako menšia ( Vyhrá Katarína, 10 je moc ve ké íslo. ). Argumentácia typu vä šie íslo vä šia šanca na výhru sa v prípade porovnania sú tov 7 a 10 v žiadnom z tvrdení študentov nevyskytla. alšou pozorovanou nesprávnou domnienkou v súvislosti s riešením úlohy 2 bola v oboch skupinách domnienka rovnakých šancí. Táto intuícia bola odôvodnená š astím, náhodilos ou tohto javu a nemožnos ou náhodný jav ovplyvni. V úvahách úplne chýbala tvorba pravdepodobnostného priestoru danej situácie. Najpo etnejšou skupinou odpovedí 54%-100% boli tvrdenia, ktoré ozna ili íslo 6 resp. íslo 7 za pravdepodobnejšie. Však ove a menší po et odpovedí bol zárove odôvodnený kombinatorickou argumentáciou, v ktorej študenti uvažovali jednotlivé elementárne javy aj vzh adom na ich usporiadanie. Vä šina odpovedí usporiadanie zanedbala. Z výsledkov uvedených v tabu ke vyplýva, že predpokladaná tendencia študentov smerom ku tvrdeniu vä šie íslo vä šia šanca na výhru bola významne zastúpená len v nižších ro níkoch. Táto tendencia vzh adom na porovnanie ísel 7 a 10 sa neobjavila vôbec, zatia o pod a výsledkov výskumu Fischbein, Nello a Marino (1991) bola vo všetkých vekových kategóriách zastúpená u viac ako 20% skúmaných študentov. V našom prípade sa objavil opa ný model, a to argumentácie založené na pravidle menšie íslo vä šia šanca na výhru. Z uvedeného možno konštatova, že študenti intuitívne ozna ili ako najpravdepodobnejšie tie sú ty, ktorých hodnoty nie sú 298

299 ani príliš ve ké ani príliš malé, teda ktorých hodnoty sa nachádzajú približne v strede pri usporiadaní všetkých možných hodnôt sú tov pri hode dvoma kockami pod a ve kosti. Úloha 2 Sekunda Kvinta Septima 2.ro.G 3.ro.G Rovnako pravdepodobné A Eva, B -Katarína všetky kombinácie vä šie íslo =vä šia šanca menšie íslo = vä šia šanca Úloha 3 Hrá i pokru sa udujú, pre o im pri hode tromi kockami astejšie padne sú et 11 ako sú et 12, ke pre každý z uvedených prípadov je 6 priaznivých možností: 11 = = = = = = = = = = = = Vysvetli im to. Analýza úlohy 3 Znenie úlohy 3 sme erpali z u ebnice matematiky pre 4. ro ník gymnázií a SOŠ zošit 4. Zbierka úloh od autorky Bedná ovej. V tejto zbierke úloh [1] možno nájs túto úlohu v príklade 13 na strane 35. Táto úloha skúma tzv. Paradox kocky (Székely, 1986), ktorý opä nasto uje koncepciu zloženého javu rovnako ako v predchádzajúcej úlohe. V tomto prípade však bez uvažovania pravdepodobnostného priestoru založenom na poradí elementárnych výsledkov nie je možné správne vysvetlenie daného paradoxu. V úlohe 2 bolo pre správny výsledok posta ujúce, ak študenti našli jednotlivé výsledky bez uvažovania poradia. Ako možno z tabu ky vidie, len ve mi málo študentov správne argumentovalo berúc do úvahy možné poradia elementárnych výsledkov. Naj astejšie sa vyskytujúcim vysvetlením daného paradoxu (20%-40%) boli tvrdenia, že možnos je ve mi málo pravdepodobná. Na odôvodnenie tohto faktu však študenti tvrdia, že je málo pravdepodobné hodi trikrát po sebe to isté íslo. V týchto odpovediach teda chýba korektná kombinatorická argumentácia. alšiu skupinu tvoria odpovede, v ktorých objavuje model íslo 6 menej pravdepodobné, v ktorých študenti uvádzajú, že na dosiahnutie sú tu 11 je potrebné hodi íslo 6 len v dvoch prípadoch, zatia o pri sú te 12 v troch prípadoch, a preto je sú et 11 padne astejšie, prípadne argumentujú, že na dosiahnutie sú tu 11 je potrebných menej vysokých ísel, o možno chápa ako argumentovanie pod a už spomenutého modelu menšie íslo vä šia šanca na výhru. Niektorí študenti v odpovediach uvádzajú, že tento paradox je len vecou š astia, i náhody, ke že vzh adom na rovnaký po et možností nevidia iné vysvetlenie. Iní tvrdia, že pravdepodobnosti musia by vzh adom na uvedené možnosti rovnaké. Tieto vysvetlenia sa vyskytli pomerne asto aj vo vyšších ro níkoch. Intuitívna potreba tvorby usporiadaní v rámci elementárnych výsledkov tohto náhodného javu úplne chýbala v troch vekových skupinách z piatich. V dvoch zvyšných (septima, 3.ro.G) bola úplná kombinatorická argumentácia zastúpená u menej ako 15% študentov. 299

300 Úloha 3 Sekunda Kvinta Septima 2.ro.G 3.ro.G Rovnako pravdepodobné Neviem vysvetli - náhoda všetky kombinácie << P x6 << P menšie íslo >> P Iná Záver Z uvedených analýz študentských riešení troch problémov týkajúcich sa pravdepodobnosti zloženého javu vyplýva, že rôzne usporiadania v rámci množiny elementárnych výsledkov nie sú vzaté do úvahy pri ur ovaní ve kosti pravdepodobnostného priestoru. Tento typ zloženého javu založeného na poradí sa prejavil ako intuitívne deficitný, a pravdepodobne neexistuje prirodzená intuícia pre jeho ohodnocovanie. Literatúra 1. Bedná ová, S.: Matematika pre 4. ro ník gymnázií a SOŠ. Zbierka úloh. Orbis Pictus Pictus Istropolitana, Bratislava Fischbein, E. (1975). The intuitive sources of probabilistic thinking in children. Dordrecht, The Netherlands: Reidel. 3. Fischbein, E. - Gazit, A. (1984). Does the teaching of probability improve probabilistic intuitions? Educational Studies in Mathematics, 15, Fischbein, E. Nello, M. S. Marino, M. S. (1991). Factors affecting probabilistic judgements in children and adolescents. Educational Studies in Mathematics, 22, Tversky, A. Kahneman, D. (1982). Judgment under uncertainty: Heuristics and biases. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 6. Székely, J. Gábor: Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics. Akadémiai Kiadó, Budapest 1986 Kontaktná adresa RNDr. Monika Žilková MTF STU Bratislava Paulínska 16, Trnava Telefón: monika.zilkova@stuba.sk 300

301 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V OSCILÁCIA MEDZI ABSTRAKCIOU A REALITOU Katarína Žilková Abstrakt Detské programovacie jazyky môžu plni úlohu nadštandardného, doplnkového prostriedku na rozvoj logického a abstraktného myslenia vo vzdelávaní mimoriadne nadaných detí základnej školy. Príspevok obsahuje autentický opis žiackeho riešenia iastkovej úlohy šachovej hry s využitím detského programovacieho jazyka Baltík. OSCILLATION BETWEEN ABSTRACTION AND REALITY Abstract Child programming languages can act as a supplementary, extra means to support logical and abstract thinking skills in education of gifted elementary school children. The contribution provides an authentic description of a child's solution of a partial chess game with help of child programming language Baltik. Symbióza h adacích stratégií Skúmanie vplyvu informa ných technológií na vedomosti a schopnosti žiakov 1. stup a základnej školy je mimoriadne relevantnou požiadavkou doby a momentálne nevy erpate nou témou pre didaktikov matematiky, pretože vývoj po íta ov a po íta ových programových produktov v posledných desa ro iach poskytol nové možnosti pre štúdium poznávacích procesov žiakov takmer všetkých stup ov škôl. V príspevku na na rtnutú tému napr. E. Partová konštatuje, že efektívnos informa ných technológií vo vyu ovaní spo íva v rozvíjaní abstraktného myslenia pomocou inností, ktoré tieto technológie predpokladajú: používanie symbolov, orientácia pod a návodu, práca pod a algoritmu, zapamätanie si algoritmu, triedenie pojmov pod a nadradenosti, h adanie ciest (Partová, 2004). Uvedené innosti patria k rozvoju algoritmických stratégií riešenia problémov, ktoré privedú žiaka od východiskového stavu k cie ovému. V procese výu by sa môžu ú elne tiež rozvíja tie heuristické pravidlá, ktoré stimulujú cie avedomé myšlienkové postupy vedúce k riešeniu asto krát ve mi náro nej úlohy. V príspevku je uvedená vlastná didaktická skúsenos, ktorá vznikla pri výchove a v matematickom vzdelávaní mimoriadne nadaných žiakov. Nadpriemerne nadaným žiakom nesta í len mechanické používanie vytvorených programových produktov, ale prejavuje sa u nich vysoký stupe aktivizácie a angažovanosti v možnosti vlastnej tvorby algoritmov, pri om prichádza k vzácnej symbióze využitia oboch h adacích stratégií jednak algoritmických, ale aj heuristických. Detské programovacie jazyky môžu plni úlohu nadštandardného, doplnkového prostriedku na rozvoj vyššej formy logického a abstraktného myslenia. Vo všeobecnej 301

302 charakteristike programovacieho jazyka s názvom Baltík sa dozvieme, že ide o výu bový multimediálny programovací a kresliaci nástroj pre deti a mládež, v ktorom môžu žiaci vytvára multimediálne prezentácie, výu bové programy a hry. Všetky príkazy sú namiesto textu zobrazené vo forme grafických symbolov, ím sa stal Baltík všeobecným medzinárodným programovacím jazykom. Uvedené atribúty detského programovacieho prostredia s názvom Baltík umož ujú v rámci projektu Tvorivá informatika s Baltíkom organizovanie medzinárodných detských programátorských sú aží. Nasledujúca konkrétna ukážka riešenia iastkového problému, ktorého sa zmocnila žia ka 4. ro níka základnej školy (zaradená do projektu alternatívnej starostlivosti o mimoriadne nadané deti), diskrétne pojednáva o tom, aký prínos môže ma programovanie v Baltíku pre rozvoj myslenia detí a aké fázy po as riešenia problému u nich prebiehajú. Jednalo sa o definovanie a riešenie ubovo nej projektovej úlohy, s cie om zú astni sa medzinárodnej programátorskej sú aže s názvom Baltík Stredobodom záujmu riešite ky sa stala spolo enská hra šach-mat. Svoj problém nazvala Mat jedným ahom. Cie om bolo simulova rozloženie šachových figúrok na šachovnici do pozície, z ktorej hrá jednozna ne ur í za iato né a koncové súradnice pohybu figúrky, ktorá zav ši šachovú partiu, t j. dáva MAT. Orienta no-analytická fáza Uvedomenie si cie a, ktorý chce riešite dosiahnu je základnou požiadavkou na identifikáciu a definíciu problému. Analýza vstupných podmienok (po iato ných údajov), vytváranie si vnútorného modelu problému, špecifikácia iastkových problémov (subproblémov) sú myšlienkové procesy orienta no-analytickej fázy (Ruisel, 2004, s ).. Analýza problému spo íva tiež v transformácii reálnej úlohy na matematický problém. Stanovenie cie a je komplexným problémom, na riešenie ktorého treba spolupôsobenie mnohých myšlienkových procesov a psychických aktivít. Žia ka si sama stanovila svoj cie, ktorým bolo vytvori program na nájdenie správneho ahu šachovej figúrky do matovej pozície. Z matematického h adiska sa budeme zaujíma len o parciálnu as daného cie a. Po as riešenia úlohy sa dostavil iastkový problém, ktorý sa dá zredukova do nasledujúceho zadania: Zisti, i šachové polí ko, ur ené svojou pozíciou (napr. E5), má ierny, alebo biely podklad! Na prvý poh ad sa úloha javí jednoduchou. Žia ka vyh adala na obrázku polí ko so súradnicami E5 a vyhlásila, že polí ko je ierne. Vzápätí sa však spýtala, ako to má poveda po íta u. Jej úvahy smerovali k tvrdeniam, že každé druhé polí ko je ierne a tie ostatné sú biele. Ako pomôcka jej bol poskytnutý návod, aby si zapísala do jedného st pca súradnice všetkých iernych polí ok a do druhého st pca súradnice všetkých bielych polí ok. Strategicko-opera ná fáza Po programátorských skúsenostiach, ktoré žia ka z iných aktivít mala, si hne uvedomila, že by bolo lepšie a ahšie, keby namiesto písmenkového ozna enia súradníc polí ok (a, b,..., h) boli použité ísla (1, 2,, 8). To predpokladalo prís na k ú transformácie písmenného ozna enia na íselné. Ke že Baltík dokáže pracova s re azcovými premennými, uložením písmen (a, b, c, d, e, f, g, h) do re azca a využitím funkcie, ktorá dokáže vyh ada pozíciu podre azca v re azci je transformácia zabezpe ená. alší problém sa vynoril po uvedomení si disproporcie medzi vertikálnym íslovaním šachových polí ok a skuto nými súradnicami polí ok 302

303 implementovanými v programe Baltík. Poloha každého objektu v Baltíkovi je explicitne ur ená internými súradnicami, ktoré sa vz ahujú na referen ný bod avý horný roh objektu. Jeho súradnice sú obe nulové. V našom prípade má napríklad šachové polí ko so súradnicami (A,8) Baltíkove súradnice (1,1). V tomto okamžiku zasiahol prítomný dospelý, ktorému sa zdalo, že problém je pre riešite ku príliš náro ný. Ponúkol jej matematický návod na prepo et vertikálnych súradníc. Žia ka však jeho ponuku neakceptovala so slovami: Na o by som to robila tak zložito! Okamžite predložila protinávrh takejto transformácie, a to obdobným spôsobom, ako riešila predchádzajúci problém. Definovala alšiu re azcovú premennú, ktorá obsahovala všetky vertikálne súradnice zapísané v opa nom poradí (8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1), a teda pri vyh adávaní pozície podre azca (napr. 8) v uvedenom re azci získala skuto nú súradnicu (1) šachového polí ka. ierne polí ka: a1: 8,1 c1: 8,3 e1: 8,5 g1: 8,7 b2: 7,2 d2: 7,4 f2: 7,6 h2: 7,8 a3: 6,1 c3: 6,3 e3: 6,5 g3: 6,7 Biele polí ka: b1: 8,2 d1: 8,4 f1: 8,6 h1: 8,8 a2: 7,1 c2: 7,3 e2: 7,5 g2: 7,7 b3: 6,2 d3: 6,4 f3: 6,6 h3: 6,8 Obr. 1: Autentická ukážka šachovnice naprogramovanej a zobrazenej v programe Baltík.. Po vyriešení tohto podproblému a zápise iernych a bielych polí ok v tvare usporiadaných íselných dvojíc vyslovila tvrdenie, že každé ierne polí ko má súradnicový sú et nepárny a biele polí ko párny. alší rozbor problému prebiehal dialógom: Otázka: Ako zistíš, že íslo je párne, alebo nepárne? Odpove : Párne sa dá deli dvomi, a nepárne sa nedá. Otázka: o to znamená, že nepárne sa nedá deli dvomi? Odpove : Ke ho budem deli dvomi, zostane mi vždy zvyšok. Otázka: Aký zvyšok?, Odpove : No, jednotka! Aha!!! Už viem, ako to urobím. Ke vydelím párne, zvyšok bude nula. To je jednoduché. Sta í mi s íta tie súradnice, potom ich vydelím dvomi a zistím, aký je zvyšok. Pod a zvyšku zafarbím polí ko. V strategicko-opera nej fáze riešite akumuluje poznatky o probléme, o pojmoch a operáciách. Na ich základe vytvára nové informácie ozna ované ako alternatívy riešenia (Ruisel, 2004, s ). Tvorba a výber jednotlivých alternatív prebieha vo viacerých etapách, až kým sa nevytvorí kone ný návrh riešenia. Ke že tento proces je výlu ne heuristický, nie je zaru ená správnos kone ného návrhu riešenia. Žia ka prešla cestou tvorby nových informácií, riešila iastkové úlohy, a tiež v sprievode obrovskej radosti z objavu o arila náhlym odhalením nového smeru h adania, t.j. vh adom. 303

304 Synteticko-overovacia fáza Overovanie vytvorených alternatív, ich hodnotenie pod a dostupných informácií, prijímanie, resp. ich odmietanie sú sú as ou synteticko-overovacej fázy. Dôležitým predpokladom úspešného zav šenia tejto etapy je uplat ovanie kritického a analytického myslenia. V našom prípade sú jednotlivé rty synteticko-overovacej fázy badate né už v predchádzajúcom h adaní alternatív riešenia subproblémov o transformácii súradníc a delite nosti. Úspešným riešením problému našej žia ky je však kompletná implementácia objaveného matematického riešenia v jazyku Baltíka a následné overenie správnosti riešenia. Z tohto poh adu je závere nou etapou informatická transpozícia. Obr.2:Symbol pre premennú, symbol pre rozhodovanie (otázka Ak ), symbol pre zvyšok po celo íselnom delení (modulo). Obr.3: Spojenie symbolov do logickej štruktúry. (Ulož do premennej s názvom 26 zvyšok po celo íselnom delení dvomi sú tu horizontálnej a vertikálnej súradnice šachového polí ka).. Fáza náhrady slovného jazykového vyjadrenia, resp. jeho prepis do programovacieho jazyka je samostatným problémom, ktorého postup riešenia znovu zodpovedá všetkým trom vyššie kategorizovaným fázam. Prvý krok spo íva v rozklade slovného riešenia problému na elementárne asti a ich prira ovanie symbolom Baltíka (obr. 2). V rámci jazykového vyjadrenia možno hovori o metóde poznania, alebo selekcie slov (Ruisel, 2004, s. 391). Spájanie (skladanie) symbolov do logických štruktúr zodpovedá generovaniu vetnej štruktúry, o v jazyku programátorov znamená tvorbu štrukturovaných logických viet (obr. 3). Vety musia sp a gramatické pravidlá programovacieho jazyka, dodržiava predpísanú syntax a sémantiku jazyka. Vety, ktoré riešia subproblémy sa zvyknú organizova, vzh adom na efektívnos a preh adnos, do vyšších celkov podprogramov (procedúr a funkcií). Na úrovni podprogramov je ve mi astá práca s formálnymi a skuto nými parametrami, s globálnymi a lokálnymi premennými. Všetky uvedené požiadavky na zápis programu musí ma riešite problému na pamäti, pri om sa neustále vracia k pôvodnému cie u. Náro nos spo íva v neustálej oscilácii medzi modelovacími prvkami informatickej transpozície, t. j. medzi vnútorným a vonkajším univerzom ( ižmár, 2003). Nakoniec naša žia ka vyriešila informatickú transpozíciu svojho objavu ( as zis ujúca zvyšok po delení dvomi na obr. 3), ale to bola len malá iasto ka celkovej sklada ky riešeného problému. Položi šachovú figúrku na polí ko šachovnice znamená, zisti o aký druh figúrky ide (pešiak, jazdec, veža,...), akú má figúrka farbu (biela, ierna), na akú pozíciu ju chceme položi (súradnice) a akú farbu má cie ové polí ko. Všetky tieto atribúty treba exaktne ur i a až nakoniec sa uvedená figúrka môže na polí ko vykresli. Obrázok. 4 ilustruje zložitos vykreslenia bieleho pešiaka na bielom pozadí. Výsledný žia kin produkt je zav šením trojro ného absolvovania nepovinného krúžku programovania v Baltíku, ktorý bol zaradený do projektu vzdelávania mimoriadne nadaných detí. Skúsenosti ukazujú, že možno súhlasi s tvrdením: Zaradenie symbolov rozvíja abstraktné myslenie detí, záleží len na vhodnej postupnosti v náro nosti (Partová, 2004). Pod vhodnou postupnos ou v náro nosti rozumieme individuálne zváženie kompetencií žiaka, ktorými disponuje, v o najširšom zmysle slova. 304

305 Obr. 4: as programu vykres ujúca bieleho pešiaka na bielom pozadí na polí ko so súradnicami, ktoré sú uložené v šuplíkoch (premenných) s íslami 16 a 17 (žiacka ukážka je autentická, bez jazykovej korekcie poznámok).. Matematický background-dôležitý predpoklad programovacej nadstavby Len prostredie bohaté na podnety rôzneho druhu t.j. inšpiratívne prostredie, podnecuje rozvoj tvorivého myslenia. Vysoká úrove tvorivosti je nutným predpokladom pre úspešné riešenia komplexných problémov. Tvorba algoritmov v detských programovacích jazykoch patrí k zložitejším problémom, pri ktorých sa aktivizuje mnoho myšlienkových procesov, spájajú sa heuristické a algoritmické techniky riešenia. Je to oblas aplikácie získaného matematického základu v novom prostredí, v prostredí symbolov, v prostredí nového štruktúrovaného jazyka, v prostredí modernom, prí ažlivom pre detského užívate a. Symbióza matematických, programovacích a tvorivostných techník je prínosná pre rozvoj logického, abstraktného, kritického a tvorivého myslenia. Literatúra 1. PARTOVÁ, E. Metódy a formy využívania pedagogického softvéru vo vyu ovaní elementárnej matematiky.. In: Cesty (k) poznávání v matematice primární školy, Olomouc: Univerzita Palackého, RUISEL, I. Inteligencia a myslenie. 1.vyd. Bratislava: Ikar, s. ISBN SPAGNOLO, F.- IŽMÁR, J. Komunikácia v matematike na strednej škole. Brno: Masarykova univerzita, s. ISBN X. Kontaktní adresa PaedDr. Katarína Žilková, PhD. Na Hôrke 33, Nitra katarina@zilka.sk 305

306

307 NERECENZOVANÁ ÁST

308 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V N KOLIK POZNÁMEK K P EDM TOVÉ INTEGRACI NA 1. STUPNI ZŠ Dana JAROŠOVÁ Abstrakt V p ísp vku charakterizujeme jeden z možných p ístup k p edm tové integraci matematiky s vlastiv dou realizované ve školním projektu na 1. stupni ZŠ. Reflexe zkušeností vychází z autentických výpov dí žák a dalších aktér projektu. SEVERAL REMARKS TO SUBJECT INTEGRATION AT THE FIRST STAGE OF ELEMENTARY SCHOOL Abstract In the article we discuss one of the possible attitudes to integration of mathematics and homeland study carried out as a part of a school project at the first stage of elementary school. The experience reflects authentic reactions of pupils and other participants. 1. Úvod Na multidisciplinární p ístupy ve vzd lávání je kladen stále v tší d raz. Mezip edm tová návaznost je jedním ze základních prvk školského vzd lávacího programu, na kterém dnes v tšina základních škol pracuje. A také od n j mnohé o ekává. Na základní škole má být poskytováno solidní všeobecné vzd lání, orientované na situace blízké životu, na zadávání konkrétních úloh a na praktické jednání (Belz, Siegrist, 2001). Projektové vyu ování je jednou z možností, jak spojit izolované p edm ty klasické výuky a zabývat se problémem komplexn, z r zných pohled a hledisek. Zam íme-li se na projekty, jejichž pilí em bude matematika. Pak již p i p íprav projektu zkoumáme možnosti integrace r zných tematických celk u iva matematiky i tématických celk u iva z jiných vyu ovacích p edm t (Kubínová, 2002). Na prvním stupni se nabízí p edevším vlastiv da, p írodov da a pracovní innosti. 2. Integrace matematiky a vlastiv dy V míst bydlišt a jeho nejbližším okolí malí žáci stráví v tšinu svého života. Proto se také u ivo vlastiv dy zam uje p edevším na domov, region a vlast. Zde je k dispozici nep eberné množství nám t vhodných pro zpracování projektu, nap íklad Metro v hlavním m st Plánování výlet Po et obyvatel a mnohé další. 308

309 Ve školním roce 2005/06 jsme p ipravili a realizovali projekt s názvem Za humny ve 4. ro níku na ZŠ ve Slavkov u Opavy. Projekt byl zam en na problematiku p edm tové integrace matematiky a vlastiv dy, konkrétn Dopravní spojení m st a obcí Za azování historických událostí. Byl zpracován soubor pracovních list pro samostatnou práci žák, z n hož uvádíme dv ukázky. První pracovní list je zam en na dataci historických událostí souvisejících se životem obce a regionu v minulosti, která se stala nám tem zadání n kolika matematických úloh porovnávání p irozených ísel, po etní výkony s p irozenými ísly. SLAVKOV Ve starých kronikách je poznamenáno: Vznik pískovcové sochy sv. Jana Nepomuckého je datován kolem roku Roku 1586 vznikl zámek (p estavbou p vodní tvrze), dnes je v n m Senior centrum. 25. zá í 1887 se na slavkovských lukách konal velkolepý tábor eského lidu ve Slezsku. Roku 1242 tudy táhli Tata i. Obec Slavkov byla založena roku Roku 1657 byl postaven kostel svaté Anny, jednolodní barokní stavba. Dopl te, kolik let uplynulo od které události a o íslujte je podle po adí od nejstarší k nejmladší. 1) Od vzniku pískovcové sochy sv. Jana Nepomuckého uplynulo. let. 2) P estavbou p vodní tvrze vznikl p ed.. lety ve Slavkov zámek, dnes je to Senior centrum. 3) P ed lety se na slavkovských lukách konal velkolepý tábor eského lidu ve Slezsku. 4) P ed lety Slavkovem táhli Tata i. 5) Od založení obce Slavkov uplynulo. let. 6) Kostel svaté Anny byl postaven p ed lety. Nám tem druhé ukázky z pracovního listu je ur ování vzdáleností mezi jednotlivými místy v regionu s mapou. SLAVKOV Zjist te z mapy: vzdálenost obce od Opavy a kterým sm rem od Opavy vesnice leží vzdálenost obce od Ostravy vzdálenost obce od Litultovic a vzdálenost od Dolních Životic 1) Slavkov leží.. km od Opavy. sm rem. 2) Od Ostravy je obec vzdálená km. 3) Vzdálenost ze Slavkova do Litultovic je. km. 309

310 4) Vzdálenost ze Slavkova do Dolních Životic je. km. To je jen malá ást nám t vhodných pro integraci. Sou ástí zmi ovaného projektu bylo také setkání s pracovníky obecních ú ad, kde žáci zjiš ovali nap íklad aktuální po et obyvatel obce, rozlohu, ale také výši poplatk ze ps a za vývoz domovního odpadu, se kterými dále operovali. Tato ást projektu byla žáky i rodi i velmi cen na. 3. Reflexe zkušeností žák a rodi Uvádíme n kolik typických autenticky zachycených názor žák a jejich rodi, které jsme získali po ukon ení a vyhodnocení projektu. Žákyn : Nejvíc m bavila vlastiv da, nebavilo m skládání dome k. Rodi e: Projekt m zaujal. Myslím si, že se jedná o zkvalitn ní a zpest ení výuky, zlepší se informovanost d tí o svém okolí. Žák: M bavilo po ítat. Rodi e: Jsem s prací v terénu spokojená, Lukáš byl touto prací nadšený. Žákyn : Nejvíce m bavilo: fotky, výlet, internet, graf. Rodi e: Katka byla úkoly, které jste plnili nadšená. U ivo bylo probráno zajímavou formou, d ti plnily úkoly z praktického života. Žák: Bavila m práce s mapou a výlet. Rodi e: Téma projektu bylo zajímavé. Líbilo se nám, že žáci využívali své znalosti i v praxi. 4. Záv r Ve zmi ovaném projektu bylo hlavním cílem za len ní regionálních prvk a spojení s praxí. U ivo zde bylo pouze prost edkem k dosažení díl ích cíl skupin. Žáci se setkali s novými typy úloh, poznali blíže své okolí a jeho historické památky, nau ili se jednat s osobami spole enského života. Z matematického hlediska rozvíjeli logické myšlení, nau ili se operovat s ísly nad 1000, nau ili se íst jednoduchý graf. Z vlastiv dného hlediska prohloubili znalosti práce s m ítkem, seznámili se s historickými souvislostmi vývoje obce a zaujali stanovisko k vývoji po tu obyvatel v souvislosti s d jinami eské republiky. Literatura 1. BELZ, H., SIEGRIST,M. Klí ové kompetence a jejich rozvíjení. 1. vyd. Praha: Portál: s. ISBN KUBÍNOVÁ, M. Projekty ve vyu ování matematice cesta k tvo ivosti a samostatnosti. 1. vyd. Praha: Univerzita Karlova, s. ISBN Kontaktní adresa Dana Jarošová Základní škola Slavkov Slezská 316, Slavkov u Opavy Telefon: d.jarosova@seznam.cz 310

311 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V SÚ AŽ Z MATEMATIKY A MATEMATICKÁ EDUKÁCIA Marek MOKRIŠ Abstrakt V príspevku charakterizujeme sú aže z matematiky, ktoré sú ur ené žiakom prvého stup a základnej školy na Slovensku. Analyzujeme mieru záujmu žiakov a navrhujeme možné trendy na odstránenie nežiaducich javov pri príprave žiakov na sú aže z matematiky. MATHEMATICAL COMPETITION AND MATHEMATICAL EDUCATION Abstract The paper presents characteristic of mathematical competitions for pupils of elementary school. The participant counts are analysed. Matematická sú až má svoje neoddelite né miesto v matematickej edukácii na primárnom stupni vzdelávania nielen na Slovensku ale aj v iných krajinách. Slúži na podchytenie záujmu žiakov o matematiku a je vhodným nástrojom na rozvíjanie matematických schopností. Matematické sú aže pre žiakov 1. stup a ZŠ, ktoré prebiehajú v aktuálnom školskom roku 2005/2006, sú: a) korešponden né: MAKS Matematický klokan Malynár Mamut b) klauzúrne: Matematická olympiáda Pytagoriáda. MAKS je celoslovenský matematický korešponden ný seminár pre žiakov základných a stredných škôl. V školskom roku 2005/2006 prebieha jeho 12. ro ník. Od školského roku 1998/1999 (5. ro ník) je vytvorená kategória pre žiakov 4. ro níka ZŠ (MAKS 4). Po as roka sa uskuto uje 5 kôl, v ktorých je pre žiakov zadaných vždy po šes úloh. Pravidlá umož ujú ú as aj sú ažnej dvojice. Možnos sú aži je spoplatnená. Nasledujúca tabu ka aj graf uvádzajú po ty sú ažiacich z celého Slovenska v jednotlivých kategóriách. ( Ro ník sú aže Šk. rok Po et zú astnených riešite ov Polrok MAKS MAKS MAKS MAKS MAKS MAKS / /

312 / / / / / 2005 celoro ne celoro ne po et sú ažiach Graf 1: Kategória MAKS ro ník sú aže Od 10. ro níka sú aže je zaznamenávaný pokles sú ažiacich (Graf 1). Tabu ka ukazuje, že je tomu tak aj v zostávajúcich kategóriách. V alšej asti príspevku budeme analyzova ostatné sú aže s cie om zisti, i aj tam sa prejavil pokles po tu zú astnených riešite ov. MATEMATICKÝ KLOKAN je medzinárodná matematická sú až pre žiakov základných a stredných škôl. Sú až pozostáva z jedného testu, ktorý píšu žiaci vo všetkých krajinách v rovnakom ase. Je organizovaná v nieko kých vekových kategóriách. Ich lenenie si jednotlivé krajiny prispôsobujú svojim školským systémom. Sú až je otvorená všetkým žiakom príslušných ro níkov. Testy pre jednotlivé kategórie zostavuje medzinárodný tím zložený z organizátorov sú aže v jednotlivých zú astnených krajinách. Ide o testy s výberom odpovede, ktoré sú takmer rovnaké vo všetkých krajinách. Nie sú však identické, nako ko jednotliví národní organizátori sú aže majú právo pozmeni v každom teste 5 úloh s prihliadnutím na odlišnosti v osnovách matematiky príslušnej krajiny. ( B. Novák E. Kubátová (2005) prezentujú názory na rôzne aspekty využitia tejto sú aže v eduka nej realite primárnej školy. Graf 2 ukazuje vývoj po tu ú astníkov vo všetkých kategóriách spolu na Slovensku: ( po et riešite ov Graf 2: MATEMATICKÝ KLOKAN / / / / / / /2005 školský rok 312

313 Z grafu 2 vyplýva, že v poslednom školskom roku bol zaznamenaný pokles celkového po tu ú astníkov. Žia nepodarilo sa nám získa údaje o tom, ako sa vyvíjal po et sú ažiacich v jednotlivých kategóriách do školského roku 2004/2005, ktoré by poskytli presnejší obraz o zapojenosti žiakov 1. stup a ZŠ do tejto sú aže. Údaje o po te zapojených škôl a po te sú ažiacich v ostatnom školskom roku v kategóriách K3, K4 sú uvedené tabu ke. ( Školský rok Kategória Po et zapojených škôl Po et zú astnených riešite ov K /2005 K alšie dve korešponden né matematické sú aže majú skôr charakter regionálnej sú aže, pretože sú ažiaci sú len z východoslovenského regiónu. Ich organizátorom je združenie STROM v spolupráci s Gymnáziom Poštová 9 v Košiciach. MALYNÁR je korešponden ný matematický seminár pre žiakov ro níka ZŠ a zodpovedajúcich tried osemro ných gymnázií. Vznikol v roku MAMUT je matematická sú až, ktorej sa môžu zú astni pä lenné družstvá zložené zo žiakov ro níka ZŠ. Každá škola môže vysla najviac dve družstvá. Nasledujúce tabu ky a graf charakterizujú mieru ú asti žiakov v týchto sú ažiach v ostatných štyroch školských rokoch. po et sú ažiacich Graf 3: Matematické sú aže MALYNÁR - MAMUT / / / /2005 školský rok MALYNÁR MAMUT Poznámka: Dáta boli získané spracovaním údajov dostupných na webových stránkach Údaje o po te sú ažiacich v sú aži MAMUT v školských rokoch 2001/2002 a 2002/2003 neboli dostupné. MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA je na 1. stupni ZŠ ur ená pre žiakov 4. ro níka a to od školského roku 1984/1985. Kategória Z4 pozostáva z domáceho (I. kolo) a školského kola (II. kolo). Pre kategórie Z5-Z9 je II. kolo okresné. Bližšie informácie o tejto najznámejšej sú aži je možné nájs na webovej stránke Uvádzame charakteristiku kategórie Z4 (je vyzna ená tu ným písmom) v Prešovskom kraji z poh adu miery zapojenia škôl a riešite ov: Ro n ík Šk. rok Kolo Po et zapojených škôl Po et zú astnených riešite ov Z4 Z5 Z6 Z7 Z8 Z9 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8 Z9 1997/ I. kolo II. kolo / I. kolo II. kolo / I. kolo II. kolo

314 / I. kolo II. kolo / I. kolo II. kolo / I. kolo II. kolo / I. kolo II. kolo / I. kolo N N II. kolo N N Poznámka: N znamená, že údaje sa nepodarilo získa Kategória Z9 bola vytvorená v školskom roku 1998/1999 Údaje boli získané z databázy Krajskej komisie Matematickej olympiády v Prešove PYTAGORIÁDA je postupová matematická sú až jednotlivcov, v ktorej pre žiakov 1. stup a ZŠ sú ur ené dve kategórie: P3 pre 3. ro ník a P4 pre 4. ro ník ZŠ. Sú až v týchto dvoch kategóriách je dvojkolová, I. kolo je školské a II. kolo je regionálne (okresné). Všetky kolá sú klauzúrne, t.j. konajú sa pod dozorom poroty v jednotnom termíne pre každú kategóriu na území celej SR. Každé kolo spo íva v riešení súboru 15 úloh po as 60 min. ( ) Údaje o po te zú astnených žiakov v kategórii P3 a P4 sa nám nepodarilo získa. Z prezentovaných údajov (Graf 1, 2, 3 a tabuliek) charakterizujúcich po et zapojených škôl a po et zú astnených riešite ov v jednotlivých matematických sú ažiach na 1. stupni ZŠ (aj ke nie sú úplné) je vidie pokles v ostatných rokoch, ale najmä však v školskom roku 2004/2005. Myslíme si, že to je dôsledkom nepriaznivého demografického vývinu na Slovensku, chýbajúcej motivácie žiakov a u ite ov, absentujúcej odbornej pomoci, ktorú v minulosti poskytovali okresní metodici. Preto sa domnievame, že žiakom aj u ite om je potrebné poda pomocnú ruku a takúto ambíciu má aj konzulta né stredisko, ktoré sa buduje za pomoci grantového projektu Moderné informa no-komunika né technológie ako prostriedok alšieho vzdelávania u ite ov elementaristov v matematike. V om chceme prostredníctvom návodných úloh k jednotlivým matematickým sú ažiam, synchrónnej a asynchrónnej elektronickej komunikácie u ah i prípravu žiakov primárnymi pedagógmi v tejto oblasti. Táto forma pomoci by mohla by prospešná za ínajúcim u ite om, rodi om, ale najmä najrizikovejšej skupine pedagógov, ktorými sú u itelia nemajúci adekvátne vzdelanie a na primárnom stupni pôsobia ako nekvalifikovaní. Analýza riešení úloh z u ebníc a pracovných zošitov pre 1. stupe ZŠ, z Pytagoriády a z Matematickej olympiády študentov PF PU ukázala, že budúci u itelia-elementaristi majú problém rieši úlohy matematickým aparátom primeraným vekovej kategórii žiakov mladšieho školského veku. (A. Prídavková, 2002, 2004a, 2004b; I. Scholtzová, 2000, 2002) V tomto kontexte je dôležitým determinantom aj príprava budúcich u ite ov elementaristov. V podmienkach PF PU v Prešove je tento priestor vytvorený v disciplínach Práca so žiakmi nadanými na matematiku (A. Prídavková, 2005), Problémové a zábavné úlohy z matematiky ako aj v predmete Rozvíjanie tvorivosti vo vyu ovaní matematiky. O cie och a obsahu týchto predmetov informuje I. Scholtzová (2005) U itelia 1. stup a ZŠ v ove a vä šej miere ako je ú as na matematických sú ažiach preferujú sú aženie priamo na hodinách matematiky. Vyplýva to z nieko koro ných skúseností z praxe z rozhovorov s u ite mi na metodických seminároch, zo závere ných prác 1. kvalifika nej skúšky a z hospitácií na vyu ovacích hodinách. Tento trend zdôvod ujú rôzne. Sú aženie pod a nich: zvyšuje motiváciu žiakov, aktivizuje innos žiakov, rešpektuje prirodzenú túžbu žiakov súperi medzi 314

315 sebou a umož uje diagnostikova vedomosti žiakov hravou formou a pomerne rýchlo. (E. Šim íková B. Tomková) V budúcnosti by bolo vhodné na alej monitorova ú as žiakov v matematických sú ažiach, pretože aj tento parameter ukazuje o kvalite primárnej matematickej edukácie. Literatura 1. NOVÁK, B. KUBÁTOVÁ, E. Reflexe matematické souteže v názorech student u itelství primární školy. In: Príprava u ite ov elementaristov a európsky multikultúrny priestor. Prešov: PF PU, s ISBN PRÍDAVKOVÁ, A. Sonda do matematického myslenia budúcich u ite ov na 1. stupni ZŠ. In: Podíl matematiky na p íprav u itele prímární školy. Olomouc: UP, 2002, s ISBN PRÍDAVKOVÁ, A. Matematická úloha ako prostriedok rozvoja poznávacích funkcií. In: ACTA PAEDAGOGICAE Annus III PREŠOV OLOMOUC. Prešov: 2004a. s ISBN PRÍDAVKOVÁ, A. Skúmanie riešite ských stratégií úloh z matematiky. In: Cesty (k) poznávaní v mat. prim. školy. Olomouc: UP, 2004b. s ISBN X. 5. PRÍDAVKOVÁ, A. Príprava u ite ov elementaristov na prácu so žiakminadanými na matematiku. In: Príprava u ite ov elementaristov a európsky multikultúrny priestor. Prešov: PF PU, s ISBN SCHOLTZOVÁ, I. Pripravenos študentov u ite stva pre 1. stupe ZŠ na riešenie elementárnych úloh z diskrétnej matematiky. In: Matematika v p íprav u itel elementární školy. Ústí nad Labem: UP, s ISBN SCHOLTZOVÁ, I. Analýza riešení kombinatorických úloh. In: Podíl mat. na p íprav u itele prim. školy.olomouc: UP, s ISBN SCHOLTZOVÁ, I. Matematika v magisterskom stupni štúdia v študijnom programe Predškolská a elementárna pedagogika. In: Induktívne a deduktívne prístupy v matematike. Trnava: PF TU, s ISBN ŠIM ÍKOVÁ, E., TOMKOVÁ, B. Sú aže na hodinách matematiky primárnej školy. In: Zborník príspevkov z medzinárodnej konferencie Matematika v škole dnes a zajtra konanej v Ružomberku. (v tla i) Príspevok bol spracovaný ako sú as grantového projektu Moderné informa nokomunika né technológie ako prostriedok alšieho vzdelávania u ite ov elementaristov v matematike (MŠ SR KEGA 3/3027/05). Kontaktní adresa Marek Mokriš, Mgr. Katedra matematickej edukácie Pedagogická fakulta PU v Prešove Ul. 17. novembra. 1, Prešov, Slovensko Telefon: mokrism@unipo.sk 315

316 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V MODUL TVORIVÉ DIELNE V LMS MOODLE Katarína SEBÍNOVÁ Abstrakt LMS Moodle používa na hodnotenie študentov viacero prostriedkov. Jedným z nich je aj modul Tvorivé dielne (Workshop). Je to innos, ktorá umož uje vzájemné hodnotenie úloh študentmi, rôznymi spôsobmi. lánok popisuje niektoré prvky tohoto modulu. MODULE WORKSHOP IN LMS MOODLE Abstract LMS Moodle uses a variety of evaluation tools. One of them is module Workshop. It is an activity, which allows participiants to assess each other s projects in a number of ways. In article are described some of elements of Workshop module. Úvod Prostriedkov, ktoré možno v LMS systéme MOODLE používa na hodnotenie, je viac, napr. Test (Quiz), Zadanie (Assignment), Písomná práca (Journal), Fórum (Forum), Tvorivé dielne (Workshop). Každý z týchto prostriedkov má vlastný mechanizmus hodnotenia študenta. Modul Tvorivé dielne je innos, pri ktorej študenti vytvárajú práce (projekty, úlohy) a hodnotia si ich navzájom. Študenti môžu hodnoti práce iných študentov alebo predložený vzorový projekt alebo vlastnú prácu.. Modul má širokú škálu rôznych nastavení a spôsobov hodnotenia. Obsahuje rôzne nástroje tak pre zber prác (projektov), jako aj pre zber hodnotenia. Autorom modulu je Ray Kingdon. Modul Tvorivé dielne má najbližšie k innosti v module Zadanie (Assignment). U ite pripraví zadanie nejakej innosti a študenti tému na základe pokynov spracujú a odovzdávajú vo forme súborov. U ite môže potom odovzdané súbory hodnoti. Pri hodnotení dáva v podstate len body s komentárom. Rozšírením tejto innosti mal by modul Zadanie hodnotené spolužiakmi (Peer Graded Assignment), v ktorom sa na hodnotení odovzdaných úloh mohli podie a aj žiaci navzájom. Tento modul sa nakoniec do ostrej verzie systému MOODLE nedostal, pretože funkcia hodnotenie spolužiakmi sa stala sú as ou práve Tvorivých dielní. 316

317 Úloha v module Tvorivé dielne Študenti spravidla spracovávajú nejakú tému, obvykle rozsiahlejšiu a dlhodobejšiu. Na hodnotenie je možné použi ove a komplexnejší prístup. Samotná úloha je komplikovanejšia, než bežná, obsahuje nieko ko fáz: Nastavenia úlohy Pri nastavovaní úlohy je treba jej hodnotenie rozdeli na nieko ko astí, t. j. vytvori položky hodnotenia, na základe ktorých sa bude celá študentova práca hodnoti. Tým sa docieli, že bodovanie úlohy je menej náhodilé a poskytne študentovi pravidlá, pod a ktorých bude hodnoti. Od u ite a závisí, aby vytvoril položky hodnotenia a sú asne vytvoril tak aj bodovaciu tabu ku. U ite môže poskytnú študentom ukážkové dokumenty (vzorové príklady), na ktorých si môžu študenti vyskúša hodnotenie. Sú to cvi né príklady, na ktorých sa študenti u ia hodnoti skôr, ako pustia do hodnotenia vlastných úloh. U ite by mal vzorové príklady ohodnoti. Získa tak zárove vzorové odpovede, ktoré použije pri posudzovaní vzorových úloh, ktoré vytvorili študenti. Až potom by malo nasledova zadanie ostrej úlohy študentom. Samozrejme, nie vždy je nutné využi možnos vzorových úloh na odskúšanie si hodnotenia. Povoli študentom odovzdávanie úlohy. Úloha je v tejto fáze pre študentov otvorená. Ak sú vytvorené vzorové príklady, u ite nastaví po et, ko ko z nich majú študenti ohodnoti. Akonáhle študenti ohodnotia požadovaný po et prác, môžu odovzda svoje vlastné vypracované úlohy. Ak sa v module nenachádzajú vzorové príklady, môžu študenti odovzda svoje úlohy okamžite. Ak sa úlohy ponechajú v tejto fáze, odovzdané práce sa hromadia. Je to do ur itej miery výhoda, pretože proces rozde ovania úloh v alších dvoch fázach je jednoduchší. Je možné však nastavi aj to, aby úloha prešla priamo z fázy Nastavenie úlohy priamo do fázy Vzia do úvahy zadania a hodnotenia. Potom je ve mi pravdepodobné, že študenti, ktorí odovzdajú úlohy skôr, budú hodnoti skôr odovzdané úlohy a študenti, ktorí odovzdajú úlohy neskôr, budú hodnoti neskôr odovzdané úlohy. Tento problém sa dá do zna nej miery ovplyvni pridaním ur itého asu omeškania pred tým, ako sa za ne hodnotenie spolužiakmi. Ke študent úlohu odovzdá, môže ju u ite ohodnoti. Toto hodnotenie môže by zapo ítané do kone ného po tu bodov študenta. Ohodnotenie prebiehajú vo fáze odovzdávania a hodnotenia úloh. Ak u ite hodnotil úlohu pred výpo tom kone ného hodnotenia, môžu by tieto jeho hodnotenia použité pri kone nom výpo te. Ak je táto možnos nastavená, akonáhle študent odovzdá svoju úlohu, zobrazia sa mu úlohy ostatných študentov, aby ich mohol hodnoti. Študenti, ktorí úlohu neodovzdali, majú povolené ju odovzda, ale nemajú prístup k odovzdaným prácam iných študentov.. V tejto fáze dochádza zárove k odovzdávaniu, opätovnému odovzdávaniu a hodnoteniu odovzdaných a znovu odovzdaných úloh. Vzia do úvahy zadania a hodnotenia. Pokia je nastavená len innos Povoli odovzdávanie úloh a Povoli hodnotenie, táto popisovaná fáza vôbec neprebehne. U ite tak môže rozdeli odovzdávanie úloh a ich hodnotenie samotnými študentmi do dvoch samostatných etáp a aka, kým všetci študenti neodovzdajú svoje práce. Je možné nastavi termín pre odovzdanie úlohy. Akonáhle tento termín vyprší, presúva sa alšia innos v module do fázy Povoli hodnotenie. 317

318 Ak však u ite ovi nevyhovuje takéto rozdelenie a nenastaví ho, potom úloha zostáva v tejto popisovanej fáze. Ak u ite povolí úlohy zárove odovzdáva aj hodnoti, mala by by nastavená tzv. Rovina naprie delením na hodnotu JEDNA, príp. DVE, aby sa tak umožnilo hladké pride ovanie hodnotenia. V tomto prípade však niektoré úlohy budú ohodnotené viac alebo menej krát ako vä šina odovzdaných úloh. Akonáhle študent nejaké úlohy ohodnotí, spolužiaci toto hodnotenie uvidia. Spolužiak, ktorý úlohu odovzdal, môže komentova hodnotenie, ak je takáto možnos nastavená. U ite môže pod a potreby hodnotenie študentov obodova a tento sú et použi pri výpo te kone ného po tu bodov. Povoli študentom hodnotenie. V tejto fáze pokra uje hodnotenie študentmi. Nie je už povolené odovzdáva alebo znovu odovzdáva úlohy. Študenti, ktorí neodovzdali svoje úlohy, sa dozvedia, že sa už nedá odovzdáva úlohy a nie sú im sprístupnené žiadne úlohy spolužiakov pre ohodnotenie. Aj v tejto fáze môže u ite na alej bodova hodnotenia študentov a tieto body použi pri kone nom sú te bodov študentov. Výpo et celkových známok. Po uplynutí doby pre odovzdávanie úloh, ich hodnotenie študentmi, sa presúva úloha do fázy, kedy študenti už hodnoti nemôžu. U ite má možnos dokon i hodnotenie vzorových príkladov, môže tiež obodova študentské hodnotenia prác ich spolužiakov. Nie je to však nevyhnutný krok. Ak bola každá odovzdaná úloha hodnotená dostato ným po tom študentov, tak bodovanie hodnotenia jednotlivých študentov ( bodovací výkon ) každého študenta sa môže zisti z pomerného po tu bodov. Akonáhle je bodovanie skon ené, u ite vypo íta kone ný po et bodov každého študenta. Tento kone ný po et bodov sa spravidla skladá z troch astí: hodnotenie práce u ite om priemerný po et bodov získaných z hodnotení od spolužiakov bodovací výkon študenta Táto as môže zah a priemerný po et bodov za seba hodnotenie. To sú body, ktoré udelil u ite za komentár študenta k hodnoteniam svojej úlohy. Kým u ite vypo íta výsledný po et bodov, pridelí týmto trom astiam váhu. Zobrazi celkové známky. V poslednej fáze úlohy uvidia študenti svoj kone ný po et bodov, ktoré im boli udelené za odovzdanú úlohu. U ite sa aj teraz ešte môže vráti do skorších fáz celej innosti a urobi nejaké úpravy, napríklad pre stanovenie váhy pre výpo et kone ného po tu bodov. Takto upravené bodovanie sa znovu zobrazí študentom. V každej fáze úlohy si môže u ite pozrie aktuálny stav úlohy v stránke Správa. Nachádzajú sa tu: vzorové príklady od u ite a, ak ich zadal hodnotenia od študentov: hodnotenia príkladov od u ite a hodnotenia vlastnej práce hodnotenia prác, ktoré odovzdali iní študenti úlohy, ktoré študenti odovzdali 318

319 U ite môže pomocou tejto stránky hodnoti a prehodnocova odovzdané práce, bodova a upravova bodovanie, maza odovzdané práce, má možnos sledova celé dianie okolo práce. Cie om modulu Tvorivé dielne je umožni študentom aplikova a budova ich poznanie (založené na predchádzajúcich aktivitách v kurze) prostredníctvom vytvárania svojich prác (projektov) a prostredníctvom hodnotenia prác (projektov), ktoré vytvorili ich spolužiaci. Využívajú pri tom množstvo hodnotiacich položiek alebo kritérií, ktoré stanovil u ite. Je zrejme zbyto né zdôraz ova, že u ite by mal vybera tieto kritéria pozorne tak aby sa dosiahol o najvyšší vzdelávací efekt. Modul Tvorivé dielne patrí k najzložitejším modulom v systéme MOODLE, vzh adom na množstvo nástrojov tak pre zber úloh ako aj pre zber a distribúciu vzájomného hodnotenia. Nie je jednoduchý ani na pochopenie ani na používanie. Navyše v našich podmienkach nie je bežné necháva študentov, aby si hodnotili navzájom svoju prácu. Práca v tomto module vyžaduje aktívnu ú as študentov. Literatura Kontaktní adresa Katarína Sebínová, RNDr. Katedra matematiky Pedagogická fakulta UMB Ružová Banská Bystrica Telefon: katarina.sebinova@umb.sk 319

320 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2006 MATHEMATICA V K MATEMATICKÝM P EDSTAVÁM V U ITELSTVÍ PRO MATE SKÉ ŠKOLY Anna STOPENOVÁ Abstrakt Studijní program bakalá ského prezen ního studia U itelství pro mate ské školy vychází z cílových kompetencí absolventa a jedním z p edm tových blok je blok všeobecn vzd lávací. Matematické vzd lávání je neodd litelnou sou ástí vzd lávání p edškolního pedagoga. TOWARDS MATHEMATICAL THINKING IN KINDERGARTEN TEACHING Abstract The full-time Bachelor study program in Kindergarten Teaching is based on the final needs of the graduate. One of the important sections of the study program is basic general knowledge. Mathematical knowledge is essential for the training of future preschool teachers. 1 Úvod Po úsp šné akreditaci bylo od studijního roku 2002/2003 na Pedagogické fakult UP v Olomouci otev eno nové t íleté bakalá ské studium v prezen ní form studijního oboru U itelství pro mate ské školy. Do studijního oboru byly za azeny povinné p edm ty Rozvoj matematických p edstav1 - letní semestr 1. ro níku, Rozvoj matematických p edstav 2 - zimní semestr 2. ro níku a volitelný p edm t Propedeutika matematiky. 2 Matematika v p edm tech studijního oboru U itelství pro mate ské školy Rozvoj matematických p edstav1 Povinný p edm t je za azen v letním semestru prvního ro níku, je zakon ený zápo tem a ohodnocený dv ma kredity. P edm t seznamuje studenty se základními pojmy elementární matematiky a jejich užitím p i vytvá ení a rozvíjení základních matematických p edstav. P i p sobení 320