Predikátová(a výroková) logika slidy k přednášce Logika a teorie množin(nump016, NMUE023) ZS 2012/13 Petr Glivický petrglivicky@gmail.com Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Univerzita Karlova v Praze Ke stažení na http://www.glivicky.cz
Doporučená literatura Elektronická: tytoslidy:-)adalšímateriálykpřednášcedostupnénamém webu primární a požadavkům na zkoušku plně dostačující zdroj(budou průběžně doplňovány) skripta doc. Mlčka http://ktiml.mff.cuni.cz/ mlcek (částečně přesahují náplň přednášky) slidy Petra Pajase http://ufal.mff.cuni.cz/ pajas/vyuka/logika.pdf trochu jiný styl výkladu, rovněž obsahově mírně posunuto Tištěná:(značně přesahuje rámec přednášky) Vítězslav Švejdar, Logika, neúplnost, složitost a nutnost Wilfrid Hodges, Model theory
Matematická logika Matematická logika objasňuje vztah jazyka(syntaxe) a významu(sémantiky) formalizuje a precizuje základní pojmy tvrzení, axiom, teorie, důkaz, pravdivost, model syntaxe je vybudována jako kalkulus konečných sekvencí symbolů(v rámci teorie množin; pro konečné jazyky stačí předpokládat aritmetiku přirozených čísel) sémantika je založena na pojmu struktury, vybudována v rámci teorie množin
Předběžnosti Kapitola 1: Předběžnosti
Předběžnosti Uvedeme nyní základní pojmy, které nám umožní přesně formalizovat syntaxi a sémantiku logiky. Uvedený výklad lze chápat jako prováděný v rámci nějaké(i naivní) teorie množin. Třída daná množinovým vztahem V je soubor všech objektů (množin) x, o nichž V(x) platí, zapisujeme ji jako {x; V(x)}. Není-li třída množinou, nazývá se vlastní třída. Například V = {x;x =x}jetřídavšechmnožin.skutečnost,žemnožinaxje prvkemtřídyyresp.množinyy,zapisujemejakox Yresp.x y. Symboly,,, značípořaděprázdnoumnožinu(danou vztahem = {x;x x}),sjednocení,průnikarozdílmnožin. Zápis {x 0,...,x n 1 }značímnožinuobsahujícíprávěn-prvků x 0,...,x n 1,speciálně {x,y}jeneuspořádanádvojicemnožinx,y a {x}jesingletonx,tj.množinasjedinýmprvkemx.
Předběžnosti Množinyx,yjsoudisjunktní,je-lix y =.Množinaxje podmnožinoumnožinyy,je-liz y,prokaždéz x;značímeto x y.množinavšechpodmnožinysenazývápotenceyaznačí se P(y) = {x;x y}.sjednocením(téžsumou)množinyxje množina x = {z;z ypronějakéy x}. Uspořádanádvojicemnožinx,yseznační (x,y),definujesejako (x,y) = {x,{x,y}}.indukcídefinujemeuspořádanoun-tici (x 0,...,x n 1 )pron >2: (x 0,...,x n 1 ) = ((x 0,...,x n 2 ),x n 1 ). KartézskýsoučinX Y množinx,y jemnožina {(x,y);x X,y Y}.KartézskámocninamnožinyXje definovánainduktivněx 0 = {0},X 1 =X,X n =X n 1 X.Pro n 2jsoupakprvkyX n právěn-tice (x 0,...,x n 1 )sx i X.
Předběžnosti Disjunktnísjednocenímnožinx,yznačímex y,jedefinováno jakomnožina ({ } x) ({{ }} y). Relace je jakákoli množina uspořádaných dvojic(i prázdná). Místo (x,y) RpíšemeněkdyR(x,y)čixRy.DefiničníoborrelaceR jemnožinadom(r) = {x;pronějakéyje (x,y) R},oborhodnot relacerjemnožinarng(r) = {y;pronějakéxje (x,y) R}. ExtenzeprvkuxvrelaciRjemnožinaR[x] = {y;(x,y) R}. RelaceRjenamnožiněX reflexivní,pokudr(x,x)prox X, symetrická,pokudr(x,y)implikujer(y,x)prox,y X, tranzitivní,pokudr(x,y)ar(y,z)implikujer(x,z)pro x,y,z X.
Předběžnosti Relace R, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní na X a dom(r) =rng(r) =X,senazýváekvivalencenaX. Je-liRekvivalencenaX,nazývámemnožinuR[x]faktorčitřída ekvivalenceprvkuxdlerax/r = {R[x];x X}faktorizaceX dler.prorůznéfaktorya,b X/Rjea b = adále X/R =X,říkáme,žeX/RtvořírozkladXdleR. Existuje-liprokaždéx dom(r)jedinéysr(x,y),říkáme,žer jefunkce.píšemepakr(x)místoy(pakr(x) =yznačír(x,y)) aynazývámehodnotoufunkcervx.zápisf :X Y čtemef jefunkcezxdoy aznačí,žef jefunkcesdom(f) =Xa rng(f) Y.Funkcef jeprostá,kdyžprox yzdom(f)je f(x) f(y),ajenay,kdyžrng(f) =Y.Dálef :X Y je bijekcexay,je-liprostáanay.
Předběžnosti Proprostoufunkcif :X Y jef 1 = {(y,x);(x,y) f} inverznífunkcekf.profunkcef :X Y ag :Y Zjejejich složeníf gznačenétéžgf definovánojako (f g)(x) =g(f(x)). ObrazmnožinyApřesfunkcif jemnožinaf[a] = {b;f(a) =bpro nějakéa A}. MnožinuvšechfunkcízXdoY značíme X Y. Někdyprofunkcif sdom(f) =Ipíšemef i místof(i)a f i i I místof;říkámepak,žef i jei-týčlensouboru f i i I sindexovou množinoui.místo rng(f)pakpíšeme i I f iči {f i ;i I}. Přirozenáčíslajsoudefinovánaindukcívztahemn={0,...,n 1}, tedyspeciálně0 =,1 = {0} = { },2 = {0,1} = {,{ }}. Množinu všech přirozených čísel značíme N či též ω.
Předběžnosti Konečná posloupnost neboli sekvence je každá funkce x s dom(x) =npronějakén N.Sekvencixzapisujemenejčastěji jakosouborsindexovoumnožinoun,tj. x i i n čiekvivalentně x 0,...,x n 1 nebojenx.je-lidom(x) =n,říkáme,ženjedélka xaznačímejil(x).dálekonkatenacex ysekvencíx,ydélekm,n jesekvence x 0,...,x m 1,y 0,...,y n 1.Je-lizsekvencesekvencí, l(z) =n,jekonkatenacízsekvence z =z 0... z n 1. xjesekvencevmnožiněx,je-lirng(x) X.Množinuvšech sekvencívxdefinujemejakox = n N n X. Sekvenci x 0,...,x n 1 n Xdáleztotožňujemesticí (x 0,...,x n 1 ) X n apodobně n XztotožňujemesX n.
Předběžnosti Říkáme,žemnožinaxmámenšíneborovnouvelikostnežya značímetox y,kdyžexistujeprostáfunkcef :x y.množina xmástejnouvelikostjakoy,značímex y,kdyžexistujebijekce f :x y.množinaxmámenšívelikostnežy,značímex y, kdyžx yaneníx y. DleCantor-Bernsteinovyvětyx yay ximplikujex y. Kekaždémnožiněxexistujetzv.kardinálníčíslo κ,pronějžx κ, píšemepak x = κa x nazývámevelikostčikardinalitax.je-lix konečná, je x přirozené číslo. Dáleznačíme N = ωaříkáme,žexjespočetná,je-li x = ω(tj. x N).Není-lixspočetná,jenespočetná.Množina Rje nespočetná, její velikost značíme c a nazýváme ji velikost kontinua či jen kontinuum.
Předběžnosti Na třídě Cn všech kardinálních čísel lze zavést lineární uspořádání <,pro κ,λ Cnpakplatí κ < λ κ λ κ λakaždá neprázdná podmnožina Cn má nejmenší prvek. Nejmenší kardinální číslovětšínež κznačíme κ +,jetokardinálnínásledník κ. Součet, součin a mocnina kardinálních čísel se definují jako κ+λ = κ λ, κ λ = κ λ aκ λ = λ κ.pakplatí: 1 κ+λ = κ λ =max(κ,λ),pokud(*), 2 κ λ+µ = κ λ κ µ, (κ λ ) µ = κ λ µ, P(x) =2 x > x 3 κ n = κje-li κ ωan >0, i I x i I sup{ x i ;i I}, 4 N = Z = Q = ω < c =2 ω = R = P(ω) = ω 2. (*)výšeznačípodmínku:jednozκ,λjenekonečnéaκ,λ >0.
Předběžnosti Pron Njen-árnírelacenebolirelacearity(četnosti)nnaX jakákolimnožinar X n.speciálnětedy1-árnírelacenaaje podmnožinaaa0-árnírelacenaajepodmnožinaa 0 = { },tj. =0nebo { } =1.0-árnía1-árnírelacenenítedyrelacevdříve uvedeném smyslu, tj. není to množina uspořádaných dvojic. Totální funkce arity(četnosti) n neboli totální n-ární funkce z X do Y jefunkcef :X n Y.Je-livpředchozímX =Y,nazývámeF n-árníoperacenadx.speciálně0-árnífunkcefjetvaru {(,y)} pronějakéy Y,takovoufunkciztotožňujemesyaříkáme,žeF jekonstantayvy. AriturelaceRresp.funkceFznačímear(R)resp.ar(F).Relaciči funkci četnosti 0 resp. 1 resp. 2 nazýváme též nulární resp. unární resp. binární.
Základy syntaxe Kapitola 2: Základy syntaxe
Základy syntaxe Jazyk L predikátové logiky je tvořen logickými a mimologickými symboly, případně ještě symbolem rovnosti =. Logické symboly jsou proměnnév 0,v 1,...tvořícínekonečnouspočetnoumnožinu Var(značímeječastox,y,z,...) logické spojky (negace) a (implikace) obecnékvantifikace x provšechnyproměnnéx Ostatnílogickéspojky, &, aexistenčníkvantifikace x zavádíme jako zkratky.
Základy syntaxe Mimologické symboly mohou být dvou typů: relační,tvořícímnožinu R L, funkční,tvořícímnožinu F L. Přitom R L a F L jsoudisjunktní(mohoubýtiprázdné)a neobsahují žádný logický symbol ani symbol =. Je-li jazyk L zřejmý z kontextu nebo nepodstatný, vynecháváme index L. KaždémumimologickémusymboluS S,kde Sje Rči Fje navícjednoznačněpřiřazenajehočetnost(arita)ar S (S) N, mámetedyar S : S N.Funkčnísymbolyarity0nazývámetéž konstantní symboly.
Základy syntaxe Symbol = není logický ani mimologický. Pokládáme ho za relační symbol arity 2. Je-li =symbolemjazykal,říkáme,žejdeojazyksrovností,jinak je bez rovnosti. Není-li dále výslovně uvedeno jinak, je každý jazyk s rovností. Postulujeme dále také, že každý jazyk obsahuje alespoň jeden relační symbol(mimologický nebo =).
Základy syntaxe SignaturajazykaLjedvojice (R L,F L ),kde R L = (R L,ar RL )a F L = (F L,ar FL ). Jazykjeurčensvojísignaturouainformací,zdajesrovnostíčibez rovnosti. Proto obvykle ztotožňujeme jazyk s jeho signaturou. Často používáme volnější zápis signatury jazyka ve formě posloupnosti(v libovolném pořadí) jeho mimologických symbolů, k níž slovně dodáváme typy a arity uvedených symbolů. Můžeme tak například definovat jazyk L následovně: Příklad:NechťL= 0,1,+,,<,kdesymboly0,1jsounulární funkční, +, binárnífunkčnía<binárnírelační.pak R L = {<}, F L = {0,1,+, },ar RL (<) =2,ar FL (0) =ar FL (1) =0,ar FL (+) = ar FL ( ) =2.
Základy syntaxe Pojem jazyka je pojmem čistě syntaktickým(patřícím na stranu syntaxe). Významy(realizace) jednotlivých symbolů zde nejsou nijak stanoveny. Např. binární funkční symbol + nemusí mít nutně význam sčítání. Příklad: Aditivní jazyk teorie grup je definovaný jako L g+ = 0,,+,kde0jekonstantnísymbol, unárnífunkčnía+binární funkční symbol. Tento jazyk je jazykem grupy Z celých čísel, kdevýznamy(nebolirealizace)symbolů0,,+jazykal g+ jsoupo řadě nula, opačnýprvek, součet. Jevšaktakéjazykemmultiplikativnígrupy R + kladnýchreálných čísel, kde výzamy symbolů 0,, + jsou postupně 1, převrácená hodnota (tj.funkce () 1 ), součin.
Základy syntaxe Termy jsou(správně utvořené) funkční výrazy daného jazyka. Definice:MnožinuvšechtermůjazykaL=(R,F),téžL-termů, (značímeterm L )definujemejakonejmenšímnožinusplňující: i.var Term L (každáproměnnájeterm) ii.f(t 0,...,t n 1 ) Term L prot i Term L af F,ar(F) =n (aplikací funkčích symbolů na termy vznikají termy) Příklad:VjazyceL= 0,1,+,,<,kdesymboly0,1jsounulární funkční, +, binární funkční a < binární relační, jsou následující výrazypříkladytermů:x,0,x+1, (0+1) x +y z. Příklad:Termy1,1+0,0+1,1 1jsoučtyřirůznétermy,jelikož jsou to různé posloupnosti symbolů.
Základy syntaxe Poznámky k definici: Uvedená definice je příkladem tzv. induktivní definice termy jsou vytvářeny z proměnných aplikací konečně mnoha funkčních symbolů. Dle ii. speciálně pro konstantní(tj. funkční arity 0) symbol c jazykalplynec Term L. PoužitýzápisF(t 0,...,t n 1 )jezkratkouzaprefixnízápisv polskénotaci F t 0... t n 1,kterýnepoužívázávorky, čárky ani žádné další nepovolené symboly. Mnohdy používáme volnější zápisy termů v infixní či jiné notaci(např.x+ymísto +(x,y),formálně +,x,y ).
Základy syntaxe Atomické formule jsou nejjednodušší tvrzení daného jazyka. Definice:AtomickáformulejazykaL=(R,F),takéatomickáLformule,jetvaruR(t 0,...,t n 1 ),kdet i Term L arjerelační(tj. R RčiRje =),ar(r) =n.množinuvšechatomickýchformulí jazykalznačímeafm L. Příklad:VjazyceL= 0,1,+,,< (srovností),kdesymboly0,1 jsou nulární funkční, +, binární funkční a < binární relační, jsou následujícívýrazypříkladyatomickýchformulí:x <y,x =0,1<0, x +y <y 1,x+1 = (0+1) x +y z. Příklad:VjazyceL = p,u (srovností),kdepjenulárnírelačnía U unární relační symbol, jsou následující výrazy příklady atomických formulí:x =y,p,u(x).
Základy syntaxe Poznámky k definici: Dle definice je v každém jazyce L alespoň jeden relační symbol R.PakR(x 0,...,x ar(r) 1 )jeatomickáformulel,tedy AFm L. Speciálně pro nulární(tj. arity 0) relační symbol R jazyka L plyner AFm L. PoužitýzápisR(t 0,...,t n 1 )jezkratkouzaprefixnízápisv polskénotaci R t 0... t n 1. Mnohdy používáme volnější zápisy atomických formulí v infixníčijinénotaci(např.x+z <ymísto < (+(x,z),y), formálně <,+,x,z,y.
Základy syntaxe Definice:MnožinuvšechformulíjazykaL = (R,F),téžL-formulí, (značímefm L )definujemejakonejmenšímnožinusplňující i.afm L Fm L (každáatomickáformulejeformule) ii. (ϕ),(ϕ) (ψ), x (ϕ) Fm L jakmile ϕ,ψ Fm L ax Var (negace a univerzální kvantifikace formule je formule, implikace dvou formulí je formule) Příklad:VjazyceL= 0,1,+,,< (srovností),kdesymboly0,1 jsou nulární funkční, +, binární funkční a < binární relační, jsou následujícívýrazypříkladyformulí:x <y, (x =0), (1 <0) ( y (x +y <y 1)).
Základy syntaxe Poznámky k definici: Uvedená definice je opět induktivní formule jsou vytvářeny z atomických aplikací konečně logických spojek a kvantifikátorů. Použitézápisy (ϕ),(ϕ) (ψ), x (ϕ)jsouzkratkouza prefixnízápisvpolskénotaci ϕ, ϕ ψ, x ϕ,který nepoužívá závorky, čárky ani žádné další nepovolené symboly. Při této formalizaci ztotožňujeme atomickou formuli ϕ se sekvencí ϕ. Mnohdyvynechávámeněkterézávorky,symbol x zapisujeme rovněž jako ( x). Příklad: Píšeme potom například ( x)( R(x) P(y)) místo x (( (R(x))) (P(y))),formálně x,,, R,x, P,y.
Základy syntaxe Je-li L jazyk, kardinalita(neboli velikost) jazyka L je L =max( R L F L,ω).Tedy,má-liLjenkonečněmnoho mimologických symbolů, je L = ω, jinak je L velikost množiny jeho mimologických symbolů. Snadno se ukáže, že platí ω Term L L, AFm L Fm L L,přitomplatí =namísto,je-livl alespoň jeden relační symbol nenulové arity.
Základy syntaxe Výskytemsekvence(symbolů) ηvsekvenci η jekaždápodsekvence η,kterájerovna η.je-li η = s,jdeovýskytsymbolusv η. Podterm termu t je každá jeho podsekvence, která je termem, podformulí formule ϕ každá její podsekvence, která je formulí. Výskytproměnnéxveformuli ϕjevázaný,je-livýskytemvnějaké podformuli ϕtvaru ( x )ψ.není-livýskytvázaný,jevolný. Proměnnájevolná[vázaná]ve ϕ,má-live ϕvolný[vázaný]výskyt. Příklad:Veformuli( x)(x =y x =z) (x =y)jeproměnná x volnáivázaná,výskytyx jsouvázané,výskytx volný.x není výskytemx,neboť ( x)jepouházkratkazajedinýsymbol x.
Základy syntaxe Formule ϕ je otevřená(bezkvantifikátorová), nemá-li v ní výskyt žádnýsymbol x,jeuzavřená(sentence),je-livníkaždývýskyt proměnné výskytem vázaným. Příklad:x <y +zjeotevřená,neníuzavřená ( x)( y)( z)(x <y +z)jeuzavřená,neníotevřená ( y)( z)(x <y +z)neníaniotevřená,aniuzavřená 0 <1+1jeuzavřenáiotevřená Termtjesubstituovatelnýzaproměnnouxdoformule ϕ,pokudx nemávolnývýskytvžádnépodformuli ϕtvaru ( y )ψtakové,žey mávýskytvt(tj.tehdy,kdyžnahrazenímvšechvolnýchvýskytůx ve ϕ termem t nevznikne nový vázaný výskyt nějaké proměnné). Příklad:Termy+znenísubstituovatelnýzaxdo ( y)(x =x).
Základy syntaxe Substitucetermutdoformule ϕzaproměnnouxseprovede simultánním nahrazením každého volného výskytu x ve ϕ termem t,je-litermtsubstituovatelnýzaxdo ϕ.výslednáformulese značí ϕ(x/t). Příklad:Termy+zjesubstituovatelnýzaxdoformulex =y ( x)(x =x). ϕ(x/y +z)jeformuley+z =y ( x)(x =x). Teorií pro jazyk L(též L-teorií) nazýváme jakoukoli podmnožinu T množinyfm L.PrvkyTnazýváme(mimologické)axiomyteorieT. Příklad:TeoriegrupjeteorieGvjazyceL g+ = 0,,+ smimologickýmiaxiomyx +(y +z) = (x +y)+z,x+0 =x,0+x =x, x + ( x) = 0, ( x) +x = 0. Je tedy G = {x + (y +z) = (x +y)+z,x +0 =x,0+x =x,x +( x) =0,( x)+x =0}.
Základy syntaxe Hilbertovský kalkulus predikátové logiky je formální systém precizující pojem důkazu. Je dán soustavou logických axiomů coby základních dokazatelných tvrzení a odvozovacích pravidel umožňujících odvodit z dříve dokázaných formulí další formule. Definice: Odvozovací pravidla jsou (modusponens)(mp)zϕaϕ ψodvoď ψ. (generalizace)(gen)zϕodvoď ( x)ϕprox Var. Pozor: Odvozovací pravidlo má jiný charakter než axiom ve tvaru implikace. Např. ϕ ( x)ϕ dokonce obecně není logicky pravdivá formule.
Základy syntaxe Definice: Logické axiomy hilbertovského kalkulu predikátové logiky projazykljsou Axiomy o logických spojkách (HK1) ϕ (ψ ϕ) (HK2) (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) (HK3) ( ϕ ψ) (ψ ϕ) kde ϕ,ψ,χ Fm L. Axiomy o kvantifikátorech (substituce) ( x)ϕ ϕ(x/t), je-li term t substituovatelný za xdo ϕ ( -zavedení) ( x)(ϕ ψ) (ϕ ( x)ψ),pokudxnení volnáve ϕ kde ϕ,ψ Fm L.
Základy syntaxe MnožinuvšechlogickýchaxiomůjazykaLznačímeLAx L.Je-liLs rovností, zahrnujeme mezi logické axiomy též axiomy rovnosti: Definice: Axiomy rovnosti pro jazyk L s rovností jsou (E1) x =xprox Var (E2) x 0 =y 0... x n 1 =y n 1 (R(x 0,...,x n 1 ) R(y 0,...,y n 1 ))prorrelační(tj.r Rči =),ar(r) =n (E3) x 0 =y 0... x n 1 =y n 1 (F(x 0,...,x n 1 ) = F(y 0,...,y n 1 ))prof F,ar(F) =n Axiomy rovnosti říkají, že(realizace) = má vlastnosti relace ekvivalence, která je kongruencí vůči všem relacím a funkcím R, F.
Základy syntaxe Definice:DůkazvL-teoriiT jekaždáposloupnost ϕ 0,...,ϕ n 1 formulíjazykaltaková,žeprokaždé ϕ i platíjednoznásledujících ϕ i T LAx L (ϕ i jelogickýmaxiomemnebovlastním axiomemteoriet)nebo ϕ i jeodvozenoznějakých ϕ j,ϕ k sj,k <ipomocíjednoho z odvozovacích pravidel. Říkáme,žedůkazdjedůkazemformule ϕ,je-li ϕposlednímčlenem důkazu d. Má-liformule ϕnějakýdůkazvteoriit,říkáme,žejedokazatelná vtči,žetojeteorémt,píšemepakt ϕ.je-lit =,říkáme, že ϕjedokazatelnávlogiceapíšeme ϕ.
Základy syntaxe Příklad: Formule ϕ ϕ je dokazatelná v logice, příslušný důkaz následuje: 1. ϕ ((ϕ ϕ) ϕ) (HK1)pro ψ ϕ ϕ 2. (ϕ ((ϕ ϕ) ϕ)) ((ϕ (ϕ ϕ)) (ϕ ϕ)) (HK2) 3. (ϕ (ϕ ϕ)) (ϕ ϕ) (MP)na1.a2. 4. ϕ (ϕ ϕ) (HK1) 5. ϕ ϕ (MP)na3.a4. Tvrzení, ke kterému sestavíme formální důkaz, nazýváme též syntakticky dokázané.
Základy syntaxe Je-liT ϕ,říkáme,že ϕjevyvratitelnávt.není-li ϕ dokazatelná ani vyvratitelná, nazývá se nezávislá, není-li vyvratitelná, pak je konzistentní. MnožinuvšechteorémůteorieTznačímeThm T.Lzejidefinovat též induktivně. Thm T jenejmenšímnožinasplňující i.t LAx L Thm T (každýaxiomjeteorémem) ii. ( x)ϕ,ψ Thm T jakmile ϕ,ϕ ψ Thm T (aplikací odvozovacího pravidla na teorém(y) získáme teorém) Teorie T se nazývá sporná, je-li v ní dokazatelná každá formule, jinak je bezesporná. T je kompletní(úplná), je-li bezesporná a každá sentence je v ní dokazatelná či vyvratitelná.
Základy syntaxe Dalšílogickéspojky &,,,existenčníkvantifikaci x asymboly pro spor/pravdu, zavádíme jako následující zkratky(tj. symboly &,,, x,, nepřidávámedojazyka): ψ χ jezkratkaza ψ χ ψ&χ jezkratkaza (ψ χ) ψ χ jezkratkaza (ψ χ)&(χ ψ) x (ψ) jezkratkaza ( x ( ψ)) jezkratkaza ϕ& ϕ(ϕlibovolnáformule) jezkratkaza ϕ ϕ(ϕlibovolnáformule)
Základy sémantiky Kapitola 3: Základy sémantiky
Základy sémantiky Významový obsah(sémantika) může být formálnímu pojmu jazyka přiřazen pomocí konceptu struktury. Definice: Struktura pro signaturu L = R, F, neboli L-struktura, jetrojice A = A,R A,F A,kde A, R A = {R A ;R R},R A jear(r)-árnírelacenaa, F A = {F A ;F F},F A jear(f)-árnífunkcenaa. Říkáme,žeR A,F A jsourealizace(téžinterpretace)symbolůr,f vestruktuře A.Je-linavícLsrovností,pakdefinujeme = A jako identitu na A. Příklad: Pro jazyk L = 0, +, je L-strukturou například struktura A = Z,0 Z,+ Z, Z,kde0 Z jeceléčíslo0, + Z jefunkceběžného sčítánícelýchčísela Z jeběžnéuspořádánícelýchčísel.
Základy sémantiky Příklad:ProjazykL= 0,+, jel-strukturourovněžstruktura F = F,sin,, pw,kdef jemnožinavšechspojitýchreálných funkcíjednéproměnné,sinjefunkcesinus, jeskládánífunkcía pw jerelaceporovnánídvoufunkcíposložkách. B = B,R B,F B jepodstruktura A(značíme B A),je-liB A as B =S A BproS R F.NosičBpodstruktury Bje uzavřenýnavšechnyfunkcezf A (speciálněobsahujevšechny konstantyzf A ). Bmůžemezapisovattakéjako A Baříkáme, že Bjereduktstruktury AnauniverzumB. Příklad: Nechť A = Z,0 Z,+ Z, Z je struktura pro jazyk L = 0,+,. Množina N je v A uzavřená na obě funkce 0 Z a + Z struktury A, tedy je univerzem podstruktury A N = N,0 N,+ N, N.Realizace0 N,+ N, N jsourestrikcemiodpovídajícíchfunkcí0 Z,+ Z, Z na N.
Základy sémantiky OhodnoceníproměnnýchvmnožiněAjekaždée:Var A. Definice: Hodnotu t A [e] termu t Term L v L-struktuře A = A,R A,F A přiohodnoceníproměnnýchedefinujemeindukcípodle složitosti t: i.x A [e] =e(x) ii. (F(t 0,...,t n 1 )) A [e] =F A (t A 0 [e],...,ta n 1 [e]) Speciálněprokonstantnísymbolcjedleii.c A [e] =c A. Příklad: Hodnotou termu (x + x) + 0 ve struktuře A = Z,0 Z,+ Z, Z přiohodnoceníese(x) =3je ((x+x)+0) A [e] =6. Příklad:Hodnotoutéhožtermuvestruktuře F = F,sin,, pw zjednohozpředcházejícíchpříkladůpřiohodnoceníe se (x) =cos je funkce t sin(cos(cos(t))).
Základy sémantiky Definice:HodnotuH A at(ϕ,e)atomickéformule ϕ R(t 0,...,t n 1 ) vestruktuře A = A,R A,F A přiohodnoceníedefinujemenásledovně: { 1 pro(t H A A at(ϕ,e) = 0 [e],...,tn 1 A [e]) RA 0 jinak SpeciálněproRnulárníjeH A (R,e) =1 R A,tj.právěkdyž R A = { } =1. Příklad: Pro atomickou formuli ϕ (x +y) +0 x jazyka 0,+, a ohodnocení e s e(x) = 3, e(y) = 4 ve struktuře A = Z,0 Z,+ Z, Z jeh A at(ϕ,e) =0,neboťvcelýchčíslechneplatí 7 3.
Základy sémantiky Proohodnoceníproměnnýche:Var A,x Varaa A označme e(x/a) ohodnocení proměnných shodující se s e mimo x avxmajícíhodnotua. Operace 1, 1 namnožině {0,1}jsoudánynásledovně: 1 x =1 x { 0 pokudx =1ay =0, x 1 y = 1 jinak. Definice: Hodnotu H A (ϕ,e) formule ϕ ve struktuře A = A,R A,F A přiohodnoceníedefinujemeindukcídlesložitosti ϕ: i.h A (ϕ,e) =H A at(ϕ,e),je-li ϕatomická ii. a) H A ( ψ,e) = 1 H A (ψ,e) b) H A (ψ χ,e) =H A (ψ,e) 1 H A (χ,e) c) H A ( x (ψ),e) =min a A H A (ψ,e(x/a))
Základy sémantiky Platí(*): H A ( ψ,e) =1 H A (ψ,e) =0 H A (ψ χ,e) =1 H A (ψ,e) =0neboH A (χ,e) =1. H A (ψ&χ,e) =1 H A (ψ,e) =1aH A (χ,e) =1. H A (ψ χ,e) =1 H A (ψ,e) =1neboH A (χ,e) =1. H A (ψ χ,e) =1 H A (ψ,e) =H A (χ,e). H A ( x (ψ),e) =1 prokaždéa AjeH A (ψ,e(x/a)) =1. H A ( x (ψ),e) =1 existujea A,žeH A (ψ,e(x/a)) =1. H A (,e) =0 vždy H A (,e) =1 vždy H A (x =y,e) =1 e(x) =e(y)(je-lilsrovností)
Základy sémantiky Říkáme,že ϕplatí(jepravdivá)vestruktuře Apřiohodnoceníe (píšeme A = ϕ[e]),pokudh A (ϕ,e) =1. Dále ϕplatí(jepravdivá)vestruktuře A(píšeme A = ϕ),platí-li v Apřikaždémohodnoceníe. Platí-li ϕ v každé struktuře(pro daný jazyk), nazývá se tautologie. Ne všechny vztahy(*) zůstanou pravdivé, nahradíme-li v nich platnost při ohodnocení platností ve strutktuře. V následující tabulce, značí, že uvedená implikace obecně neplatí. A = ψ, A = ψ A = ψ&χ A = ψaa = χ A = ψ χ, A = ψnebo A = χ A = ϕ A = ( x)ϕ
Základy sémantiky Definice:Struktura AsenazývámodelteorieT(píšeme A =T), pokud A = ψprokaždýaxiom ψ T. Říkáme,žeformule ϕplatí(jepravdivá)vteoriit(píšemet = ϕ), pokud A = ϕprokaždýmodel AteorieT. TříduvšechmodelůteorieTznačímeM(T). Je-liT = teoriebezmimologickýchaxiomů,píšeme = ϕmísto = ϕ. Jelikož každá L-struktura je modelem prázdné L-teorie, je = ϕ ϕjetautologie. Struktury A, B se nazývají elementárně ekvivalentní(značíme A B),platí-livnichtytéžformule.
Základy sémantiky Příklad: TeoriehustéholineárníhouspořádáníDeLO jeteorievjazycel O =,kde jebinárnírelačnísymbol,saxiomy: (O1) x x (reflexivita) (O2) (x y&y x) x =y (slabáantisymetrie) (O3) (x y&y z) x z (tranzitivita) (LO) x y y x (linearita) (De) x <y ( z)(x <z <y) (hustota) (nt) ( x,y)(x y) (netrivialita) Zdex <yjezkratkazax y&x y. TeoriehustéholineárníhouspořádáníbezkoncůDeLOjeL O -teorie rozšiřujícídelo oaxiomy: (n+) ( x)( y)(x < y) (neexistence největšího prvku) (n ) ( x)( y)(y < x) (neexistence nejmenšího prvku)
Základy sémantiky Příklad:Struktura Q = Q,,kde jeběžnéuspořádáníracionálních čísel, je modelem teorie DeLO. Jiné modely DeLO jsou např. R = R, či (0,1),. Příklad:Struktura A = [0,1),,kde [0,1)jepolouzavřenýintervalreálnýchčísel,jemodelemDeLO,nenívšakmodelemDeLO, neboť A = (n ). Příklad: Struktury R a A z předchozích příkladů nejsou elementárně ekvivalentní,platítotiž A = (n )ar = (n ).
Základy sémantiky Zásadní význam pro vztah mezi syntaxí a sémantikou predikátové logiky má následující věta o kompletnosti. Věta(o kompletnosti predikátové logiky Gödel, 1929) NechťTjeL-teorie, ϕ Fm L.Pak T ϕ T = ϕ Důkaz: Bude později. Snadná implikace se nazývá věta o korektnosti predikátové logiky.
Základy sémantiky Dle věty o kompletnosti formalizmus predikátové logiky vyhovuje Hilbertovu požadavku kompletnosti tvrzení pravdivé v každém modelutjedokazatelnévt. Pokud je speciálně T kompletní teorie, tj. taková, která má jediný model Aažnaelementárníekvivalenci,platí A = ϕ T ϕ.pak (je-linavíctdostatečně bohatá )můžebýtmodel Apovažován zakompletní světmatematiky.
Kapitola 4:
Výrokoválogikamůžebýtchápánajako redukt logiky predikátové,konkrétněprojazykl P = p p P bezrovnosti obsahující pouze nulární relační symboly, které tvoří množinu P. Prvkyp Pjsouvevšechstrukturáchrealizoványjako p A A 0 = { },tj.jako =0či { } =1;nazývámejeprvovýroky (výrokové proměnné). L P -formuleneobsahujížádnétermy(aniproměnné)akaždá ϕ Fm L jeekvivalentnínějaké ψotevřené(tj. = ϕ ψ). MnožinuvšechotevřenýchL P -formulíznačímevf P ajejíprvky nazýváme výroky(či výrokové formule). Vzhledem k výše uvedenému následujícím způsobem zužujeme pojem jazyka predikátové logiky. Výrokový jazyk nad P sestává z logickýchsymbolů, amimologickýchp P.
V souladu s výše popsaným zúžením pojmu jazyka redukujeme pro výrokovou logiku také počet logických axiomů hilbertovského kalkulu. Logické axiomy hilbertovského kalkulu výrokové logiky jsou jen axiomy(hk1) (HK3) o logických spojkách, odvozovací pravidlo je jen(mp). ProL P -struktury A,Bje A Bprávěkdyžp A =p B prokaždé p P,přičemž(jakřečenovýše)jep A,p B {0,1} =2. TedymodelyjazykaL P jsou(ažnaelementárníekvivalenci) vjednoznačnékorespondencisfunkcemiv : P 2.Takováv proto nazýváme modely výrokového jazyka nad P a jejich množinu značíme P 2.
Právě definované základní syntaktické a sémantické pojmy výrokové logiky popíšeme nyní pro přehlednost explicitně. Výrokový jazyk nad množinou prvovýroků P sestává z logických symbolů, amimologickýchp P. VF P jenejmenšímnožinasplňující: i. P VF P (každýprvovýrokjevýrok) ii. (ϕ),(ϕ) (ψ) VF P jakmile ϕ,ψ VF P (negacevýrokui implikace dvou výroků jsou výroky)
Logické axiomy hilbertovského kalkulu výrokové logiky jsou (HK1) ϕ (ψ ϕ) (HK2) (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) (HK3) ( ϕ ψ) (ψ ϕ) Odvozovací pravidlo je (MP)Zϕaϕ ψodvoď ψ Výrokováteorienad PjekaždáT VF P,prvkyTjsoujejí (mimologické) axiomy. Pojmy důkaz, dokazatelnost, vyvratitelnost, nezávislost, konzistence, spornost, bezespornost, kompletnost zůstávají stejné jako v predikátové logice.
Jako zkratky(stejnými definicemi jako v predikátové logice) zavádímelogickéspojky, &, asymbolysporu/pravdy,. Definice: Model(výrokového jazyka) nad P(také ohodnocení výrokovýchproměnných)jekaždáfunkcev : P 2.Množinuvšech modelůnad Pznačíme P 2. Definice:Hodnotuv(ϕ)výroku ϕvmodeluvdefinujemeindukcí dle složitosti ϕ: i.v(p) =v(p),je-lip P ii. a) v( ψ) = 1 v(ψ) b) v(ψ χ) =v(ψ) 1 v(χ) Častopíšemev(ϕ)místov(ϕ).
Výrok ϕjepravdivý(platí)vmodeluv(značímev = ϕ),je-li v(ϕ) =1.Platí-li ϕvevšechmodelech,nazývámejej(výroková) tautologie. ModelteorieTjetakovév P 2,žev = ϕprokaždé ϕ T (značímev =T). Výrok ϕjepravdivý(platí)vteoriit(značímet = ϕ),jestliže v = ϕprokaždýmodelvteoriet.je-lit = píšeme = ϕ. Jsou-li ϕ,ϕ výrokynad PaTnějaká P-teorie,nazýváme ϕaϕ (sémanticky)ekvivalentnívtapíšeme ϕ T ϕ,platí-li T = ϕ ϕ.je-lit =,říkáme,že ϕ,ϕ jsouekvivalentní logickyapíšeme ϕ ϕ.
Tvrzení:(o sémantické ekvivalenci) NechťT jeteorie, ϕ VF P a ψ podformule ϕ.nechťdále ϕ vzniknezϕnahrazenímnějakýchvýskytů ψ výrokem ψ.potom ψ T ψ ϕ T ϕ. Důkaz: Indukcí dle složitosti ϕ. Zřejměprovýroky ϕ,ϕ ateoriitplatí ϕ T ϕ M(T,ϕ) =M(T,ϕ ).ZdeT,ϕjezkratkazateoriiT {ϕ}. Výrok l se nazývá literál, je-li to prvovýrok nebo negace prvovýroku. Výrok ϕ je v konjunktivně/disjunktivně normálním tvaru (CNF/DNF), je-li konjunkcí disjunkcí literálů/disjunkcí konjunkcí literálů,tj.je-litvaru i j l i,jresp. i j l i,jsl i,j literály.
Tvrzení: Každý výrok je logicky ekvivalentní výroku v CNF i výroku vdnf. Důkaz: Nechť ϕ VF P, označme P (konečnou) množinu všech prvovýroků, které mají výskyt ve ϕ. Volme ψ D v M P (ϕ) p P pv(p), kde p 0 je zkratka za p a p 1 za p. Evidentně ψ D je v DNF. Zřejmě w = ψ D w = v na P pro nějakév M P (ϕ) w = ϕ,tedy ϕ ψ D.Podobně ψ C v M P (ϕ) p P p 1v(p) jevcnfaekvivalentní ϕ. Příklad:Výrokp&(q r)mánadmnožinousvýchprvovýroků P = {p,q,r}třimodely: 1,0,0, 1,0,1, 1,1,1.Dledůkazu předchozího tvrzení je tedy ekvivalentní výroku (p& q& r) (p& q&r) (p&q&r)vdnf.
Výroky můžeme převádět na DNF/CNF taktéž pomocí tzv. ekvivalentních úprav: Příklad:Nechť ϕjevýrok (p q) ((p&r) q)(nadnějakou množinou prvovýroků P obsahující p, q, r). Pakplatí: ϕ (p q) (p&r & q) ( p& q) (p&r & q), poslední formule je v DNF. Dáleje ϕ ( p p)&( p r)&( p q)&( q p)&( q r)&( q q) ( p r)& q,cožjevcnf.
Následující věta o dedukci je jednou ze základních metod syntaktického dokazování. Tvrzení:(věta o dedukci) ProteoriiTavýroky ϕ,ψplatít ψ ϕ T,ψ ϕ. Důkaz: plynez(mp). sedokážeindukcínateorémecht {ψ}(tj.indukcídlesložitostidůkazu ϕvt {ψ}).je-li ϕaxiom(logickýčimimologický) teoriet,plynet ψ ϕz(hk1)a(mp),je-li ϕrovno ψ,jet ψ ψ dle dříve uvedeného syntaktického důkazu. Nakonec, je-li ϕ odvozenovt {ψ}pomocí(mp)ztamtéždokazatelnýchχ,χ ϕ, mámezindukčníhopředpokladut ψ χ,t ψ (χ ϕ). Dle(HK2)T (ψ (χ ϕ)) ((ψ χ) (ψ ϕ))atedy T ψ ϕdvojímužitím(mp).
Dále již směřujeme k důkazu věty o kompletnosti výrokové logiky. Věta(o kompletnosti výrokové logiky Post) NechťTjevýrokováteorienad P, ϕ VF P.Pak T ϕ T = ϕ Jejílehčíimplikaci formulujemedálejakosamostatnétvrzení o korektnosti. Uvedená věta je důsledkem(zatím nedokázané) věty o kompletnosti predikátové logiky, přesto ji zde z ilustrativních důvodů dokážeme přímo.
Tvrzení:(o korektnosti výrokové logiky) NechťTjevýrokováteorienad P, ϕ VF P.PakT ϕ T = ϕ Důkaz:IndukcínateorémechT:Je-li ϕ T,zdefiniceT = ϕ.jeli ϕlogickýaxiom,platídokonce = ϕ,jaksesnadnoověřírozborem případů.je-li ϕodvozenavt z ψaψ ϕpomocí(mp),jez indukčníhopředpokladut = ψ,ψ ϕaodtudsnadnot = ϕ. Tvrzení:(o spornosti) 1)TeorieTjesporná T. 2)(odůkazusporem)T, ϕ T ϕ Důkaz: Je technický avšak snadný.
Následující tvrzení je jádrem důkazu věty o kompletnosti. Tvrzení:(o existenci modelu) Teorie T je bezesporná, právě když má model. Důkaz: :PokudjeTsporná,pakT atedyv =,kdykoli v =T.Propřípadnýmodelv =Ttedyv( ) =1,cožnenímožné. :DleZornovalemmatu(vizteoriemnožin)lzebezespornouT rozšířitdomaximálníbezespornét T(tj.takové,žepro ϕ T jet {ϕ}sporná). Pakplatíprokaždé ϕ,ψ:(ϕ T ϕ T )a(ϕ ψ T ψ T nebo ϕ T ).Protov : P 2definovanéjakov(p) =1 prop T av(p) =0prop T jemodelt atedyit,neboť v = ϕ ϕ T,cožsedokážeindukcídlesložitosti ϕ.
Nyní již můžeme dokázat větu o kompletnosti. Věta(o kompletnosti výrokové logiky Post) NechťTjevýrokováteorienad P, ϕ VF P.Pak T ϕ T = ϕ Důkaz:Zbýváuždokázatjen.NechťT = ϕat ϕ.dle tvrzeníospornostijepakt { ϕ}bezesporná.podletvrzenío existencimodelumátedymodelv =T, ϕ.ovšemzv =T a T = ϕzřejměplynev = ϕ,cožjesporsv = ϕ.
Snadným důsledkem věty o kompletnosti(resp. tvrzení o existenci modelu) je věta o kompaktnosti. Věta(o kompaktnosti výrokové logiky) TeorieTmámodel každákonečnás Tmámodel. Důkaz: jezřejmá. :NechťTnemámodel.Pakjedletvrzeníoexistencimodelusporná,tedydletvrzeníospornostiT. Nechťdjenějakýdůkaz vt.vdsevyskytujejenkonečněmnoho axiomůt,označmejejichmnožinus.pakdjerovněždůkazem vs,tedysjespornáanemáprotomodel.
Věta o kompaktnosti výrokové logiky má řadu aplikací v různých oblastech matematiky umožňuje totiž přenášet vlastnosti konečných systémů na nekonečné. Příklad: Slavná věta o čtyřech barvách říká, že každý konečný rovinný graf lze obarvit čtyřmi barvami tak, aby žádné dva sousední (tj. hranou spojené) vrcholy neměly stejnou barvu. Pomocí věty o kompaktnosti dokážeme, že stejné tvrzení platí i pro nekonečné rovinné grafy. NechťG = V,E je(nekonečný)rovinnýgrafsmnožinouvrcholů (univerzem) V a binární relací E obsahující právě dvojice vrcholů spojené hranou. Definujmevýrokovýjazyk P = {c w,i ;w V,i <4};výrokc w,i interpretujemejako vrcholwjeobarveni-toubarvou.
Následující výroková teorie T popisuje, že každý vrchol grafu G je obarvenjednouzečtyřbarevi <4apřitomsousednívrcholymají různou barvu. Její axiomy jsou: i<4 c w,i prokaždéw V, (c w,i &c w,j ) prokaždéw Vai j, (c w,i &c w,i) provrcholyw,w Vs (w,w ) Eai <4. Modelv =TpakurčujehledanéobarvenígrafuGnásledovně: w Vmábarvui v(c w,i ) =1. (#) Potřebujemeukázat,žeTmámodel užijemektomuvětuokompaktnosti.
NechťSjenějakákonečnápodmnožinaT chcemeukázat,žemá model. OznačmeV S množinuvrcholůw,proněžnějakýaxiomsobsahuje výskytnějakéhoprvovýrokuc w,i,ag S =G V S buďpodstruktura GvzniklázúženímGnauniverzumV S. G S jekonečnýgraf,dlevětyočtyřechbarváchtedyexistujeobarvení G S čtyřmibarvamii <4.Vztah(#)pakurčujemodelv =S.
Kapitola 5: Věta o kompletnosti predikátové logiky
V této kapitole dokážeme větu o kompletnosti predikátové logiky. Věta(o kompletnosti predikátové logiky Gödel, 1929) NechťTjeL-teorie, ϕ Fm L.Pak T ϕ T = ϕ Podobně jako u výrokové logiky, nejprve dokážeme několik pomocných tvrzení: Tvrzení:(věta o dedukci) ProteoriiTformuli ϕasentenci ψplatít ψ ϕ T,ψ ϕ. Důkaz: plynez(mp)(dokoncebezpředpokladu,že ψjesentence).
Důkaz: sedokážeindukcínateorémecht {ψ}. Je-li ϕaxiom(logickýčimimologický)teoriet,plynet ψ ϕ z(hk1)a(mp). Je-li ϕ rovno ψ, je T ψ ψ dle jednoho zpředcházejících příkladů. Je-li ϕodvozenovt {ψ}pomocí(mp)ztamtéždokazatelných χ,χ ϕ,mámezindukčníhopředpokladut ψ χ,t ψ (χ ϕ).dle(hk2)t (ψ (χ ϕ)) ((ψ χ) (ψ ϕ))atedyt ψ ϕdvojímužitím(mp). Nakonec,je-li ϕodvozenopravidlem(gen)zχ(tj. ϕ ( x)χ)a pro χtvrzeníplatí,pakzpředpokladut,ψ ϕmámedíkyaxiomu substitucea(mp)t,ψ χ,tedydleindukčníhopředpokladut ψ χadleaxiomu -zavedení(ψjesentence)takét ψ ϕ.
Příklad: Předpoklad, že ψ je sentence je ve větě o dedukci podstatný.např.pro ψ x =ya ϕ x =zje ψ ϕale ψ ϕ. Tvrzení:(o spornosti) 1)TeorieTjesporná T. 2)(odůkazusporem)Je-li ϕsentence,pakt, ϕ T ϕ Důkaz: Je technický avšak snadný.
Podobně jako ve výrokové logice je věta o kompletnosti snadným důsledkem tvrzení o existenci modelu. Připomeňme, že kardinalitou L jazyka L rozumíme počet mimologických symbolů jazyka L, je-li L nekonečný, a ω, je-li konečný. Tvrzení:(o existenci modelu) Je-li T bezesporná L-teorie, má model.navícmámodelnějakévelikosti λ L. Hlavní kroky důkazu tvrzení můžeme rozdělit do dvou skupin dokazujeme jednak, že pro T určitých dodatečných vlastností lze model sestrojit a dále, že pro každou T existuje její extenze T T,kterámátytododatečnévlastnosti.
DálejeTbezespornáteorievjazyceL = R,F.Předkpokládáme, že L obsahuje nějaký konstantní symbol. KonstantnístrukturaproTjestruktura A = A,R A,F A,kdeA je množina všech konstantních termů(tj. termů neobsahujících proměnné)jazykal,f A (t 0,...,t n 1 ) = F t 0... t n 1 a R A (t 0,...,t n 1 ) T R(t 0,...,t n 1 ). Tvrzení:Je-liLbezrovnostiaAkonstantnístrukturaproT,pak proatomickoul-sentenci ϕje A = ϕ T ϕ. Důkaz: ϕjetvarur(t 0,...,t n 1 ),kdet i A.Tvrzeníprotoplyne přímozdefinicer A.
Příklad: Konstantní struktura A pro Peanovu aritmetiku(p)(ta je vjazycel= 0,S,+,, srovností)obsahujenapříkladdvarůzné konstantnítermys(s(0))as(0)+s(0).proformuli ϕ:s(s(0)) = S(0)+S(0)tedy A = ϕ,ovšemjistěpa ϕ. Chceme-li obdržet analogii předchozího tvrzení i pro jazyk s rovností, musíme místo konstantní struktury použít strukturu kanonickou. Je-li L bez rovnosti, je kanonická struktura pro T definována jako konstantní struktura pro T.
Kanonickou strukturu pro teorii T v jazyce L s rovností definujeme následovně: Nechť AjekonstantnístrukturaproTaAjejíuniverzum. Definujemeekvivalenci naataktot s T t =sa označíme [t] = [t] = {s;t s}. DáledefinujemeK =A/ = {[t] ;t A}a R K ([t 0 ],...,[t n 1 ] ) R A (t 0,...,t n 1 ), F K ([t 0 ],...,[t n 1 ] ) = [F A (t 0,...,t n 1 )] pror R,F F. Definice je zřejmě korektní. KanonickástrukturaproTjestruktura K = K,R K,F K. Tvrzení:Je-li KkanonickástrukturaproT,pakproatomickouLsentenci ϕje K = ϕ T ϕ.
Indukcídlesložitosti ϕplyne,žeje-li KkanonickástrukturaproT, platí K = ϕ T ϕprokaždouotevřenousentenci ϕ. Chceme totéž tvrzení pro libovolnou sentenci ϕ. Ukazuje se, že vtompřípaděmusíbýttnavícmaximálníbezespornáa henkinovská. Definice: Teorie T je henkinovská, jestliže pro každou formuli ϕ teorie T s nejvýše jednou volnou proměnnou x existuje konstantní symbolh=h ϕ jazykat tak,žet ( x)ϕ(x) ϕ(x/h ϕ ).Konstantnísymbolh ϕ sepaknazýváhenkinovskákonstantapro ϕv T. Tvrzení: Je-li T maximální bezesporná henkinovská teorie a K kanonická struktura pro T, pak pro libovolnou L-sentenci ϕ je K = ϕ T ϕ.tedyspeciálně K =T. Důkaz: Neuvádíme.
Tvrzení: Každou L-teorii T lze rozšířit do maximální bezesporné henkinovskéteoriet vjazyce L kardinality L. Důkaz:IndukcísestrojímeL i -teoriet i proi ωtak,žet 0 =T a pro každou ϕ Fm Li existuje h ϕ L i+1 splňující T i+1 ( x)ϕ(x) ϕ(x/h ϕ ). Vindukčnímkrokuzinai+1přidámenejprvekjazykuL i prokaždouϕ Fm Li jedenkonstantnísymbolh ϕ avýslednýjazykoznačíme L i+1.nakonecpoložímet i+1 =T i {( x)ϕ(x) ϕ(x/h ϕ );ϕ Fm L L i }. PakzřejměT = i N T i jehenkinovskáaje-libezesporná,libovolnéjejímaximálníbezespornérozšířenít (toexistujedlezornova lemmatu) má požadované vlastnosti. Klíčovýkrokdůkazu:bezespornostT,jetechnický,protohoneuvádíme.
Tvrzení:(o existenci modelu) Je-li T bezesporná L-teorie, má model.navícmámodelnějakévelikosti λ L. Důkaz:NechťT jedána,ljejíjazyk.volmet T nějakoujejí maximální bezespornou henkinovskou extenzi. Pakkanonickástruktura K prot splňuje K = ϕ T ϕpro každoul T -formuli ϕ.protospeciálně K = ϕ,kdykolit ϕ,a tedyredukt Kstruktury K dojazykaljemodelt.navíc K L T = L.
Věta(o kompletnosti predikátové logiky Gödel, 1929) NechťTjeL-teorie, ϕ Fm L.PakT ϕ T = ϕ. Důkaz: Je snadným důsledkem tvrzení o existenci modelu- důkaz je totožný s případem výrokové logiky. Věta(Věta o kompaktnosti) TeorieTmámodel,právěkdyžmákaždákonečnáS Tmodel. NavíczmíněnýmodelTlzevolitvelikosti L T. Důkaz: Plyne z věty o kompletnosti zcela stejně jako ve výrokové logice.
Příklad: Má-li teorie T libovolně velký konečný model, má i model nekonečný. Speciálně neexistuje teorie, jejímiž modely by byly právě všechny konečné struktury daného jazyka, tj. teorie vyjadřující vlastnost býtkonečnoustrukturou. Uvedené tvrzení je důsledkem věty o kompaktnosti. Má-li totiž T libovolně velký konečný model, ukážeme, že také teorie T { existuje alespoňnprvků ;n N}mámodel A.Pakzřejmě Ajenekonečný a A =T. Předpokládejmebezújmynaobecnosti,žeTjevjazycesrovností aoznačme α n formulivyjadřující existujealespoňnprvků.nechť S T {α n ;n N}jekonečná,chcemeukázat,žemámodel. Sobsahujejenkonečněmnohoaxiomů α n ;nechťn 0 jetakové,že α n S n n 0.Dlepředpokladuexistujelibovolněvelkýatedyi alespoňn 0 prvkovýmodel B =T,zřejměpak B =S.
Příklad: Peanova aritmetika (P) je teorie v aritmetickém jazyce L a = 0,S,+,,,kde0jekonstantnísymbol,Sunárnífunkční a +, binární funkční symboly, je binární relační symbol. Symbol S se nazývá následník a jeho zamýšlená interpretace je přičítání jedničky.axiomypajsou: (Q1) S(x) 0 (Q5) y 0 ( x)s(x) =y (Q2) S(x) =S(y) x =y (Q6) x y ( z)z +x =y (Q3) x +0 =x (Q7) x 0 =0 (Q4) x +S(y) =S(x +y) (Q8) x S(y) =x y +x (ind ϕ ) (ϕ(0)&( x)(ϕ(x) ϕ(s(x)))) ( x)ϕ(x)pro ϕ Fm L TeorievjazyceL a saxiomy(q1) (Q8)senazýváRobinsonovaaritmetika(Q),teorievjazyceL a+ = 0,S,+, saxiomy(q1) (Q6) aschématemindukce(ind ϕ )pro ϕ Fm L a+jepresburgerovaaritmetika(pr).
Příklad:Strukturapřirozenýchčísel N = N,0 N,S N,+ N, N, N je modelempiq,nazývásestandardnímodel.každén NjevN realizacítermutvarus(s(...s(0)...))snvýskytys;takovýterm značíme n a nazýváme ho n-tý numerál. Z věty o kompaktnosti predikátové logiky plyne existence i jiných modelů P, tzv. nestandardních modelů. Rozšiřme aritmetický jazyk L a onovýkonstantnísymbolcapřidejmekpnovéaxiomyn c pron N.VýslednouteoriioznačmeT. KaždákonečnápodteorieS T obsahujejenkonečněmnohonovýchaxiomů,atedymámodelvzniklýrealizacícv Nrůzněodvšech nvyskytujícíchsevnovýchaxiomechs.dlevětyokompaktnostimá tedytnějakýmodel M c.vm c jecrealizovánojakoprvekrůzný odvšechn N.Redukt M c najazykl a jemodelpneizomorfnís modelem N, nazýváme ho nestandardní model P.
Dalším důsledkem věty o kompaktnosti je následující tvrzení: Tvrzení: Nechť T je bezesporná L-teorie, která má nějaký nekonečnýmodel.paktmámodelkaždévelikosti κ L. Důkaz:Nechť κ L jedáno.buďt teoriet rozšířenáoaxiomyc i c j proi <j < κ,vjazycel rozšiřujícímloκnových konstantníchsymbolůc i,i κ.t jebezespornádlevětyokompaktnosti. DletvrzeníoexistencimodelumáT modelvelikosti L = κ. ZřejměvšakkaždýmodelT mávelikostalespoň κ.
Kapitola 6: Základy teorie modelů
Připomeňme,žeaznačín-sekvenci a 0,...,a n 1 snějakýmn. Dálef(a)značí f(a 0 ),...,f(a n 1 ) proa i dom(f). Definice:Nechť A,B jsoudvěstrukturyprojazykl= R,F. Zobrazení f : A B se nazývá homomorfismus, jestliže zachovává všechnyrelaceifunkce,tj. a)r A (a) R B (f(a))prokaždér R b)f(f A (a)) =F B (f(a))prokaždéf F Je-lif prostýhomomorfismustakový,ženavícva)platí místo, je to izomorfní vnoření, je-li navíc surjektivní(tj. bijekce), pak je to izomorfismus. Existuje-limezi AaBnějakýizomorfismus,nazýváme AaBizomorfní,píšeme A = B.
Příklad:BuďL O = jazykteorieuspořádáníaa,b,cnásledujícíl O -struktury: A = Q,, B = R, ac= ( 1,1),,kde ( 1,1)jeotevřenýintervalreálnýchčísela značívždyobvyklé uspořádání. Je B = C,izomorfismemjenapříkladfunkcex (2/π) arctg(x). Dále B = A = C,neboťuniverzum Ajespočetné,narozdílod univerz struktur B, C. Mezi spočetnou a nespočetnou množinou neexistuje bijekce, tedy ani izomorfismus. Identitaid Q : Q R(tj.zobrazeníq qproq Q)jeizomorfní vnoření Ado B,kterévšaknenísurjektivní.Složenímid Q snějakým izomorfismem BaCzískámeizomorfnívnoření Ado C.
Příklad: Teorie vektorových prostorů nad tělesem F = F,0 F,1 F,+ F, F, F je teorie VS(F) v jazyce L m,f = 0,+,,r r F, kde 0 je konstantní symbol, unární funkční a +binárnífunkčnísymbol,r jeunárnífunkčnísymbolprokaždé r F.AxiomyVS(F)jsou: (G1) x +(y +z) = (x +y)+z (Mo1) r(x +y) =r(x)+r(y) (G2) x +0 =x =0+x (Mo2) (r + F s)(x) =r(x)+s(x) (G3) x +( x) =0=( x)+x (Mo3) (r Fs)(x) =r(s(x)) (AG) x +y =y +x (Mo4) 1 F (x) =x kder,s F.
Příklad:Buďte RaR 2 euklidovskévektorovéprostorynadtělesem Rdimenzí1resp.2.Pakzobrazeníf : R 2 Rdefinovanéjako f : (x,y) xje(surjektivní)homomorfismusmezi R 2 a R. Naopakkaždézobrazeníf v : R R 2,kdev jenenulovývektor z R 2,danéjakof v (r) =r(v),jeizomorfnívnoření Rdo R 2. Příklad:Nechť A,B =VS(F)jsouvektorovéprostorynadFtéže dimenze κa a α ;α κ resp. b α ;α κ jsoubáze Aresp. B. Každývektorv Alzejednoznačnězapsatvetvaruv = i I r i(a i ), kdeijekonečnápodmnožina κar i Fprokaždéi I.Zobrazení f: i I r i(a i ) i I r i(b i )jepakizomorfismus AaB. Naopak, je-li f izomorfismus nějakých vektorových prostorů C, D, je f-obrazbázeprostoru Cbází D.Tedydvavektorovéprostoryjsou izomorfní, právě když mají stejnou dimenzi.
Příklad: Buďte A, B spočetné modely teorie DeLO. Ukážeme, že A = B. Nechť a i ;0 <i ω resp. b i ;0 <i ω jeprostáposloupnost všechprvkůaresp.b.taková očíslování A,B lzenajítdíky předpokladu spočetnosti. Sestrojímeizomorfismusf :A Btakzvanoumetodou cik-cak, tj.indukcítak,ževn-témkrokudefinujemehodnotyf(a n )af 1 (b n ) takovýmzpůsobem,abyf byloizomorfismem A dom(f)ab rng(f).
Vkroku0buďf prázdnézobrazení. Krokn>0:Předpokládejme,žef(a n ),f 1 (b n )ještěnejsoudefinována(vopačnémpřípaděneprovádímenic).nechťa resp.a + je největšíprvekdom(f)poda n resp.nejmenšíprvekdom(f)nada n ; a resp.a + je resp.,pokudtakovýprvekneexistuje.protože Bjehustéabezkonců,ležívintervalu (f(a ),f(a + ))nějaký prvekb B.Definujmef(a n ) =b.hodnotuf 1 (b n )definujeme analogicky.pakf jezřejměizomorfizmus A dom(f)ab rng(f). Zkonstrukcef zřejměplyne,žef jeizomorfizmus AaB. Tedy každé dva spočetné modely teorie DeLO jsou izomorfní a speciálně izomorfní modelu Q,.
Z věty o kompletnosti zřejmě plyne, že bezesporná teorie T je kompletní, právě když každé dva její modely jsou elementárně ekvivalentní. Říkáme, že teorie T je κ-kategorická, pokud T má model velikosti κakaždédvajejímodelyvelikosti κjsouizomorfní. Tvrzení: (kategorické kritérium kompletnosti) Nechť L-teorie T nemákonečnémodelyaje κ-kategorickápronějaké κ L.Pak T je kompletní. Důkaz:Nechť ϕjenezávislásentencevt.pakteoriet,ϕat, ϕ jsoubezespornéamajítedypořaděnějakémodely A,Bvelikosti κ. Zpředpokladu κ-kategoričnostije A = B,tedyspeciálně A B spor.
Příklad: Teorie VS(F, ) nekonečných vektorových prostorů nad tělesem F je extenze teorie VS(F) o axiomy ε n : ( x 0,...,x n 1 ) i j (x i x j )sn ωvyjadřující existujenekonečněmnohoprvků. VS(F, )nemákonečnémodelyakdykolijsou A,Bdvajejímodely velikosti κ > F = L m,f,jedim(a) = κ =dim(b),tedy A = B. TeorieVS(F, )jetedykompletní. Příklad: Teorie DeLO nemá konečné modely a každé dva její spočetné modely jsou izomorfní. Je tedy DeLO kompletní.
Definice: L-struktura A je elementární podstruktura L-struktury B resp. Bjeelementárníextenze A(značíme A B.),je-li A Ba A = ϕ(a) B = ϕ(a)platíprokaždáa AakaždouL-formuli ϕ(x). Je-li A B,jespeciálně A B. Tvrzení:(Tarski-Vaughtův test) A B platí, právě když pro každou formuli ϕ(y,x)aa Aje: B = ( y)ϕ(y,a) existujea A takové,že B = ϕ(a,a). Důkaz: Indukcí dle složitosti ϕ.
Věta(Löwenheim-Skolemovy věty) Nechť A je nekonečná L-struktura. Pak 1 (nahoru)je-li κ max( A, L ),existuje Bmohutnosti κtak, že A B, 2 (dolů)je-li L κ A,existuje Cmohutnosti κtak,že C A. Důkaz: Dolů :DokážeseužitímTarski-Vaughtovatestu.Volme C = A C,kdeC = i ω C iproc i Asestrojenárekurzí: NechťC 0 Ajelibovolnávelikosti κ.je-lic i sestrojeno,definujeme C i+1 jakoc i {a ϕ,c ;ϕ(y,x)jel-formule,c C i },kdea ϕ,c Aje takové,žeplatí A = ( y)ϕ(y,c) A = ϕ(a ϕ,c,c). Pakzřejmě C AdleTarski-Vaughtovatestua C = κ.
Důkaz: Nahoru :Přidejmedojazykakonstantnísymbolyc a pro a A a položme jejich realizace v A takto: c A a = a. Vzniklou L c a ;a A -strukturuoznačme A A.VolmeT =Th(A A );pak kdykoli B =T,je(ažnaizomorfismus) A B. OznačmeL jazykl c a ;a A d α ;α < κ sκnovýmikonstantnímisymbolyd α apoložmet =T {d α d β ;α < β < κ}. Dle věty o kompaktnosti má T model B velikosti L = max( L, A,κ) = κavšakzřejměnení B < κ(dα, B α < κje κ různých prvků B).
Příklad: Buď C = C,0,1,,+, těleso komplexních čísel. Je C =2 ω. Podle Löwenheim-Skolemovy věty směrem dolů existuje spočetné těleso Ctakové,že C C. Tedy například každá soustava polynomiálních rovnic s koeficienty zcmářešenívcprávěkdyžhomávc.speciálněmákaždýpolynom jedné proměnné nenulového stupně s koeficienty z C kořen vc,tj. Cjealgebraickyuzavřené.
Kapitola 7: Gödelovy věty o neúplnosti
Neúplnost Předběžnosti Formulujeme zde bez důkazu dvě zásadní Gödelovy věty o neúplnosti a některá jejich zobecnění. L-teorieTjerekurzivněaxiomatizovaná,existuje-li algoritmus, který o každé L-formuli rozhodne, zda je či není mimologickým axiomemt.pojemalgoritmujemožnédefinovatprecizně,zdetoz časových důvodů neděláme. Věta(1. Gödelova věta o neúplnosti) Je-li T bezesporná rekurzivně axiomatizovaná teorie rozšiřující Robinsonovu aritmetiku Q, pak existuje sentence ν pravdivá v N alenedokazatelnávt. Je-linavícTtzv.korektní,tj.platí-li N =T,je νnezávislá sentencevt,tedytneníkompletní.
Neúplnost Předběžnosti První Gödelovu větu lze zesílit následovně: Věta(Rosserova věta o neúplnosti) Je-li T bezesporná rekurzivně axiomatizovaná teorie rozšiřující Robinsonovu aritmetiku Q, pak existuje sentence ρ nezávislá v T. Tedy speciálně není T kompletní. Lze ukázat, že pro rekurzivně axiomatizovanou T existuje sentence Con T jazykal a aritmetikytaková,že N =Con T Tje bezespornáteorie.con T tedyčtemejako Tjebezesporná. Věta(2. Gödelova věta o neúplnosti) Je-li T bezesporná rekurzivně axiomatizovaná teorie rozšiřující PeanovuaritmetikuP,pakT Con T. TakováTtedy neumídokázatvlastníbezespornost.
Neúplnost Předběžnosti Z druhé Gödelovy věty plyne důležitý důsledek, totiž že axiomatická teorie množin není schopna dokázat vlastní bezespornost. Tím spíše pak není možné dokázat bezespornost teorie množin finitárními metodami, jak požadoval Hilbertův program. Speciálně je axiomatická teorie množin nekompletní teorie. Podle Rosserovy věty jsou Robinsonova i Peanova aritmetika nekompletní teorie. Navíc je nelze zkompletizovat přidáním žádné algoritmicky popsatelnémnožinyaxiomů.speciálněteorie Th(N), jejímiž axiomy jsou všechny sentence pravdivé ve struktuře N, není ekvivalentní rekurzivně axiomatizované teorii.
Neúplnost Předběžnosti Důkazy vět o neúplnosti využívají existenci tzv. aritmetického kódingu logické syntaxe. Každému syntaktickému pojmu σ, který je konečnou sekvencí symbolů(symbol jazyka, term, formule, důkaz)lzepřiřaditpřirozenéčíslo σ jehokód.říkámedále,že formule ϕ jazyka aritmetiky popisuje množinu syntaktických pojmů S,je-li N = ϕ(n) n=σpronějaké σ S.Tedy ϕ(x)vyjadřuje xjevmnožiněs. Popisuje-liL a -formule λ(x)množinumimologickýchsymbolů nějakéhojazykal,existujíl a -formuleterm L (x),fm L (x)popisující pořaděmnožinyterm L,Fm L (tj.vyjadřující xjel-term resp. xjel-formule ).Popisuje-linavíc τ(x)množinumimologických axiomůl-teoriet,existujíformuleprf T (x,y),pr T (x),con T vyjadřujícípořadě yjedůkazxvt, xjedokazatelnávt, Tjebezesporná.
Neúplnost Předběžnosti ProL-formuli ϕznačí ϕ ϕ-týnumerál (přesnějinumerál ϕ =SSS...S(0),kdeSje ϕ-krát).podobnědefinujeme σpro σ symbol jazyka, term, důkaz. Kromě kódingu je klíčovým prvkem důkazu první Gödelovy věty tzv. Gödelovo autoreferenční(též diagonální) lemma: Tvrzení:(Gödelovo autoreferenční lemma) Nechť T Q(Robinsonova aritmetika). Pak pro každou formuli ϕ(x) s jednou volnou proměnnouxexistujesentence ψtaková,žet ψ ϕ(ψ). Ekvivalenci ψ ϕ(ψ)jemožnéčísttak,že ψříká jámám vlastnost ϕ (odtudautoreference).
Neúplnost Předběžnosti Aplikací lemmatu na různé formule ϕ je možné získat řadu zajímavých důsledků. Důsledek:(neexistence definice pravdy) Je-li T Q bezesporná, pakvt neexistujedefinicepravdy,tj.formule τ taková,žepro každousentenci ψjet ψ τ(ψ). Důkaz: Sporem aplikací autoreferenčního lemmatu na formuli ϕ τzískámesentenci ψtakovou,žet ψ τ(ψ) ψ,tedyt je sporná.
Neúplnost Předběžnosti Věta(1. Gödelova věta o neúplnosti) Je-li T bezesporná rekurzivně axiomatizovaná teorie rozšiřující Robinsonovu aritmetiku Q, pak existuje sentence ν pravdivá v N alenedokazatelnávt. Důkaz: (náznak) Dokážeme větu za nadbytečného, ovšem zjednodušujícího předpokladu, že N = T. Aplikujeme autoreferenční lemmanaformuli ϕ(x) Pr T (x)(takováformuleexistujedíky rekruzivní axiomatizovatelnosti T) a získáme sentenci ν takovou, že T ν Pr T (ν). PakT ν.dokažmetosporem.nechťt ν,pakt Pr T (ν), tedy N = ( δ)(prf T (δ,ν)).zároveňvšakdlet νexistujedůkaz dsentence νvt,tedy N =Prf T (d,ν) spor.
Nerozhodnutelnost L-teorieTjerozhodnutelná,existuje-li algoritmus,kterýokaždé L-formulirozhodne,zdaječinenídokazatelnávT.Vopačném případě je T nerozhodnutelná. Platí následující kritéria(ne)rozhodnutelnosti: Tvrzení: Rekurzivně axiomatizovaná kompletní teorie T je rozhodnutelná. Tvrzení: Bezesporná teorie T rozšiřující Robinsonovu aritmetiku Q je nerozhodnutelná. Příklad: Teorie DeLO či VS(Q) jsou kompletní a rekurzivně axiomatizované, tedy jsou rozhodnutelné. Příklad: Peanova aritmetika P a Robinsonova aritmetika Q jsou nerozhodnutelné teorie.