Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Transkript

1 Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel jiri.neubauer@unob.cz Základní pojmy teorie množin

2 Základní pojmy teorie množin Množinou rozumíme souhrn určitých objektů chápaných jako samostatný celek. Tyto objekty nazýváme prvky množiny. Zápis x M, resp. x M čteme: x je, resp. x není prvkem množiny M. Pro každý objekt x a množinu M platí právě jedna z možností x M, nebo x M. A = B A B A B A B A B rovnost množin množina A je podmnožinou množiny B sjednocení množin průnik množin rozdíl množin Základní pojmy teorie množin

3 Základní pojmy teorie množin Nechť A a B jsou dvě množiny. Množina všech uspořádaných dvojic (x, y), kde x A, y B se nazývá kartézský součin množin A a B, značí se A B. Libovolnou podmnožinu kartézského součinu nazýváme binární relace. Zobrazením f z množiny A do množiny B nazýváme každou binární relaci takovou, že každému prvku x A je přiřazen nejvýše jeden prvek y B. N Z R C množina přirozených čísel množina celých čísel množina reálných čísel množina komplexních čísel Základní pojmy teorie množin

4 Základní pojmy teorie množin Množina V libovolných prvků (značíme je a, b,..., y, z říkáme jim vektory) se nazývá vektorový prostor, jestliže: a) Je dáno zobrazení V V V, které každé uspořádané dvojici vektorů ( a, b) V přiřazuje vektor a + b V tak, že pro každé vektory a, b, c V platí axiomy: (A1) a + b = b + a, (A2) a + ( b + c) = ( a + b) + c, (A3) ke každému vektoru a V existuje vektor o V tak, že platí a + o = a, (A4) ke každému vektoru a V existuje vektor a V tak, že platí a + ( a) = o. Toto zobrazení se nazývá sčítání na množině V a vektor a + b je součet vektorů a, b. Základní pojmy teorie množin

5 Základní pojmy teorie množin Množina V libovolných prvků (značíme je a, b,..., y, z říkáme jim vektory) se nazývá vektorový prostor, jestliže: b) Je dáno zobrazení R V V, které každé uspořádané dvojici (r, b) V přiřazuje vektor r b V tak, že pro každá reálná čísla r, s R a pro každé vektory a, b V platí axiomy: (A5) 1 a = a, (A6) r(s a) = (rs) a, (A7) (r + s) a = r a + s a (A8) r( a + b) = r a + r b. Toto zobrazení se nazývá násobení vektoru reálným číslem a vektor r a se nazývá reálný násobek vektoru a. Základní pojmy teorie množin

6 Uspořádanou n-tici reálných čísel a = (a 1, a 2,..., a n ), n N nazýváme n-rozměrným aritmetickým vektorem. Reálná čísla a 1, a 2,..., a n nazýváme souřadnicemi aritmetického vektoru a. Aritmetický vektor o, jehož všechny souřadnice jsou rovny nule, tj. o = (0, 0,..., 0), nazýváme nulovým aritmetickým vektorem. Základní pojmy teorie množin

7 Uspořádanou n-tici reálných čísel a = (a 1, a 2,..., a n ), n N nazýváme n-rozměrným aritmetickým vektorem. Reálná čísla a 1, a 2,..., a n nazýváme souřadnicemi aritmetického vektoru a. Aritmetický vektor o, jehož všechny souřadnice jsou rovny nule, tj. o = (0, 0,..., 0), nazýváme nulovým aritmetickým vektorem. Základní pojmy teorie množin

8 Řekneme, že aritmetický vektor a = (a 1,..., a n ) je roven aritmetickému vektoru b = (b 1,..., b n ), jestliže platí a i = b i pro každé i = 1... n. Píšeme a = b. Součtem aritmetických vektorů a = (a 1,..., a n ) a b = (b 1,..., b n ) nazýváme aritmetický vektor a + b = (a 1 + b 1,..., a n + b n ). Nechť r R. Reálným násobkem aritmetického vektoru a = (a 1,..., a n ) je aritmetický vektor r a = (ra 1,..., ra n ). Opačným aritmetickým vektorem k aritmetickému vektoru a = (a 1,..., a n ) nazýváme aritmetický vektor a = ( a 1,..., a n ). Rozdílem aritmetických vektorů a = (a 1,..., a n ) a b = (b 1,..., b n ) rozumíme součet aritmetický vektor a a aritmetického vektoru opačného k aritmetickému vektoru b, a b = (a 1 b 1,..., a n b n ). Základní pojmy teorie množin

9 Nechť V je vektorový prostor, W neprázdná podmnožina množiny V. Řekneme, že množina W je podprostor vektorového prostoru V, a píšeme W V, jestliže platí: (1) Pro každou dvojici vektorů a W, b W je a + b W. (2) Pro každé reálné číslo r R a každý vektor a W je r a W. Základní pojmy teorie množin

10 Nechť a, a 1,..., a k jsou prvky vektorového prostoru V. Řekneme, že vektor a je lineární kombinací vektorů a 1,..., a k, jestliže existují reálná čísla c 1,..., c k taková, že platí a = k c i a i = c 1 a c k a k. i=1 Čísla c 1,..., c k se nazývají koeficienty lineární kombinace. Základní pojmy teorie množin

11 Nechť a 1,..., a k jsou prvky vektorového prostoru V. Množina [ a 1,..., a k ] všech lineárních kombinací vektorů a 1,..., a k se nazývá lineární obal vektorů a 1,..., a k. Jsou-li a 1,..., a k vektory z vektorového prostoru V, pak jejich lineární obal [ a 1,..., a k ] je podprostorem vektorového prostoru V. Nechť a 1,..., a k jsou vektory z vektorového prostoru V. Jestliže každý vektor a V je lineární kombinaci vektorů a 1,..., a k, říkáme, že vektorový prostor V je generován vektory a 1,..., a k a těmto vektorům říkáme množina generátorů vektorového prostoru V. Základní pojmy teorie množin

12 Nechť a 1,..., a k jsou prvky vektorového prostoru V. Množina [ a 1,..., a k ] všech lineárních kombinací vektorů a 1,..., a k se nazývá lineární obal vektorů a 1,..., a k. Jsou-li a 1,..., a k vektory z vektorového prostoru V, pak jejich lineární obal [ a 1,..., a k ] je podprostorem vektorového prostoru V. Nechť a 1,..., a k jsou vektory z vektorového prostoru V. Jestliže každý vektor a V je lineární kombinaci vektorů a 1,..., a k, říkáme, že vektorový prostor V je generován vektory a 1,..., a k a těmto vektorům říkáme množina generátorů vektorového prostoru V. Základní pojmy teorie množin

13 Nechť a 1,..., a k jsou prvky vektorového prostoru V. Množina [ a 1,..., a k ] všech lineárních kombinací vektorů a 1,..., a k se nazývá lineární obal vektorů a 1,..., a k. Jsou-li a 1,..., a k vektory z vektorového prostoru V, pak jejich lineární obal [ a 1,..., a k ] je podprostorem vektorového prostoru V. Nechť a 1,..., a k jsou vektory z vektorového prostoru V. Jestliže každý vektor a V je lineární kombinaci vektorů a 1,..., a k, říkáme, že vektorový prostor V je generován vektory a 1,..., a k a těmto vektorům říkáme množina generátorů vektorového prostoru V. Základní pojmy teorie množin

14 Nechť a 1,..., a k je množina vektorů z vektorového prostoru V a b1,..., b q jsou vektory, které vznikly z vektorů a 1,..., a k jedním z následujících způsobů: a) změna pořadí vektorů, b) násobením libovolného vektoru nenulovým reálným číslem, c) přičtením k libovolnému vektoru lineární kombinace ostatních vektorů, d) vynecháním vektoru, který je lineární kombinací ostatních, e) přidáním vektoru, který je lineární kombinací ostatních vektorů. Jestliže vektory a 1,..., a k tvoří množinu generátorů vektorového prostoru V, pak také vektory b 1,..., b q tvoří množinu generátorů vektorového prostor V. Základní pojmy teorie množin

15 Nechť a 1,..., a k jsou vektory z vektorového prostoru V. Řekneme, že vektory a 1,..., a k jsou lineárně závislé, jestliže existují reálná čísla c 1,..., c k, z nichž alespoň jedno je různé od nuly, taková, že platí c 1 a c k a k = o V opačném případě se vektory nazývají lineárně nezávislé. Základní pojmy teorie množin

16 Nechť a 1,..., a k jsou vektory z vektorového prostoru V, k 2. Vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když alespoň jeden z nich je lineární kombinaci ostatních. Nechť a 1,..., a k jsou lineárně nezávislé vektory z vektorového prostoru V, k 2. Pak také vektory a 1,..., a k 1 jsou lineárně nezávislé. Základní pojmy teorie množin

17 Nechť a 1,..., a k jsou vektory z vektorového prostoru V, k 2. Vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když alespoň jeden z nich je lineární kombinaci ostatních. Nechť a 1,..., a k jsou lineárně nezávislé vektory z vektorového prostoru V, k 2. Pak také vektory a 1,..., a k 1 jsou lineárně nezávislé. Základní pojmy teorie množin

18 Množina generátorů vektorového prostoru V, jejíž vektory jsou lineárně nezávislé, se nazývá báze vektorového prostoru. Nechť V je vektorový prostor s bázi a 1,..., a k. Pak každá skupina k lineárně nezávislých vektorů b 1,..., b k V tvoří také bázi vektorového prostoru V. Existuje-li ve vektorovém prostoru V báze o k vektorech, pak každá skupina obsahující více než k vektorů je lineárně závislá. Základní pojmy teorie množin

19 Množina generátorů vektorového prostoru V, jejíž vektory jsou lineárně nezávislé, se nazývá báze vektorového prostoru. Nechť V je vektorový prostor s bázi a 1,..., a k. Pak každá skupina k lineárně nezávislých vektorů b 1,..., b k V tvoří také bázi vektorového prostoru V. Existuje-li ve vektorovém prostoru V báze o k vektorech, pak každá skupina obsahující více než k vektorů je lineárně závislá. Základní pojmy teorie množin

20 Množina generátorů vektorového prostoru V, jejíž vektory jsou lineárně nezávislé, se nazývá báze vektorového prostoru. Nechť V je vektorový prostor s bázi a 1,..., a k. Pak každá skupina k lineárně nezávislých vektorů b 1,..., b k V tvoří také bázi vektorového prostoru V. Existuje-li ve vektorovém prostoru V báze o k vektorech, pak každá skupina obsahující více než k vektorů je lineárně závislá. Základní pojmy teorie množin

21 Počet vektorů v libovolné bázi vektorového prostoru V se nazývá dimenze vektorového prostoru V a značí se dim V. Jestliže W je podprostor vektorového prostoru V, pak platí dim W dim V. Rovnost dim W = dim V platí právě tehdy, když W = V. Nechť a 1,..., a k jsou vektory z vektorového prostoru V. Platí dim[ a 1,..., a k ] min{dim V, k}. Základní pojmy teorie množin

22 Počet vektorů v libovolné bázi vektorového prostoru V se nazývá dimenze vektorového prostoru V a značí se dim V. Jestliže W je podprostor vektorového prostoru V, pak platí dim W dim V. Rovnost dim W = dim V platí právě tehdy, když W = V. Nechť a 1,..., a k jsou vektory z vektorového prostoru V. Platí dim[ a 1,..., a k ] min{dim V, k}. Základní pojmy teorie množin

23 Počet vektorů v libovolné bázi vektorového prostoru V se nazývá dimenze vektorového prostoru V a značí se dim V. Jestliže W je podprostor vektorového prostoru V, pak platí dim W dim V. Rovnost dim W = dim V platí právě tehdy, když W = V. Nechť a 1,..., a k jsou vektory z vektorového prostoru V. Platí dim[ a 1,..., a k ] min{dim V, k}. Základní pojmy teorie množin