Základy teorie množin
|
|
- Richard Horák
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1 Základy teorie množin Z minula: 1. zavedení pojmů relace, zobrazení (funkce); prostá zobrazení, zobrazení na, bijekce 2. rozklady, relace ekvivalence, kongruence, faktorizace 3. uspořádání a některé typy: lineární, dobré (již z dříve znáte husté a diskrétní); 4. související pojmy: dolní množina, minoranta, minimum, infimum, nejmenší prvek, atd. 5. úplný svaz, věta o pevném bodu 6. srovnávání mohutností množin (definice, základní vlastnosti) 7. Cantor-Bernsteinova věta
2 Věta (Cantor, Bernstein): 2 (x y y x) x y Důkaz. Podle předpokladu existují prosté funkce f : x y a g : y x. Stačí dokázat, že existuje u x takové, že platí x u = g[y f[u]], neboli u = x g[y f[u]], nebot pak můžeme definovat prosté zobrazení h množiny x na množinu y předpisem f(z) pro z u h(z) = g 1 (z) pro z x u u nalezneme jako pevný bod funkce H : P(x) P(x), H(u) = x g[y f[u]]. Jelikož (P(x), ) je úplný svaz, stačí podle věty o pevném bodu, ukážeme-li, že H je -neklesající. Necht u v x. Pak zřejmě f[u] f[v], y f[u] y f[v], tedy g[y f[u]] g[y f[v]] a konečně H(u) = x g[y f[u]] x g[y f[v]] = H(v).
3 3 Cantor-Bernsteinova věta poskytuje důležitý test toho, že dvě množiny x a y mají stejnou mohutnost. Namísto toho, abychom se je snažili na sebe vzájemně jednoznačně zobrazit, stačí když sestrojíme dvě prostá zobrazení f : x y a g : y x. Příklad: R R R Subvalenci R R R dosvědčuje např. zobrazení f(r) = r, r, r R. Opačnou subvalenci zprostředkujeme např. takto: předně, existuje prosté zobrazení p : Z Z Z (zkuste si nějaké najít). Reálné číslo r zapíšeme v běžném desetinném rozvoji, jako r, r 1 r 2 r 3..., kde r je dolní celá část čísla r a r 1, r 2,... jsou jednotlivé cifry obvyklého desetinného rozvoje. Má-li číslo r dva desetinné rozvoje (např. 0, = 1, ), vezmeme vždy ten s Nyní dvojici čísel r, s R přiřadíme číslo, odpovídající rozvoji: g(r, s) = p( r, s ), r 1 s 1 r 2 s 2 r 3 s 3... Je jasné, že nevznikne zakázaný rozvoj a že takto definované zobrazení je prosté (z rozvoje g(r, s) lze jednoznačně získat čísla r a s). Není to však bijekce: např. číslo p(0, 0), by mohlo být jedině obrazem čísel 0 a čísla 0, 74, ovšem se zakázaným rozvojem 0,
4 4 Škála mohutností množin není shora omezená; ke každé množině totiž existuje množina větší mohutnosti, jak ukazuje následující věta: Věta (Cantor): x P(x) Důkaz. Zřejmě x P(x) (stačí např., položíme-li f(z) = {z} pro z x). Zbývá dokázat (x P(x)). Sporem: necht f je prostá funkce zobrazující x na P(x). Položme u = {z x ; z / f(z)}. Je u P(x), tudíž musí existovat a x tak, že f(a) = u, nebot f je "na". Platí bud a f(a), nebo a / f(a). Každá z těchto formulí je však v bezprostředním s sporu s definicí množiny u.
5 5 Domluvme se, že prázdnou množinu budeme též označovat symbolem 0, singleton {0} symbolem 1 a dvouprvkovou množinu {0, 1} symbolem 2 (posléze analogicky zavedeme všechna přirozená čísla). Disjunktní sjednocení tříd X, Y je třída X Y definovaná vztahem X Y = ({0} X) ({1} Y ) = { 0, a ; a X} { 1, b ; b Y }. Pak: X = (X Y ) {0} a Y = (X Y ) {1}. Pro množiny x, y platí zřejmě x y x y. Je-li x alespoň dvouprvková, je x x x x. Pro x x, y y a z dále platí: x y x y x y x y x y y x x (y z) (x y) z x y y x x (y z) (x y) z x (y z) (x y) (x z) y x y x P(x) P(x )
6 6 Příklad: Jak ověřit uvedené vztahy? Např. x (y z) (x y) (x z). Náznak důkazu. Prvky množiny vlevo jsou tvaru d = a, i, b, kde a x, b y z, a i {0, 1}, přičemž (i = 0 b y) (i = 1 b z) Necht f je zobrazení přiřazující libovolnému takovému prvku d = a, i, b množinu f(d) = i, a, b. Snadno se ověří, že: 1. f(d) (x y) (x z), 2. rng(f) = (x y) (x z), neboli f je na, 3. f je prosté
7 7 Připomeňme, že x = { } a y = pro y. Pro množiny x, y, u, v dále platí: x y x u y u u v x u x v y ( x u) (y x) u (x y) u x u y u Dokažme například formuli v rámečku: Pro každé zobrazení f : y x u definujme funkci h f vztahem h f ( a, b ) = f(a)(b). : y x u Přiřazení h : f h f určuje funkci h : y ( x u) (y x) u. Snadno se ověří,že h je prostá a na.
8 8 Z uvedených vztahů vidíme, že pro množinové operace x y, x y a y x platí podobné zákony (vůči relacím a ), jako platí pro sčítání, násobení a umocňování přirozených čísel (vůči rovnosti a uspořádání). Tvrzení: 1. P(a) a Je-li a a a a a prázdná, nebo alespoň dvouprvková, pak a 2 a a. Důkaz. 1. Zobrazení h : P(a) a 2 bud definováno předpisem 1 pro z x h(x)(z) = pro z a x Snadno se nahlédne, že h je prosté zobrazení P(a) na a Pro prázdnou množinu platí druhá část tvrzení evidentně. Je-li a alespoň dvouprvková, je zřejmě a a a 2. Dále a a P(a a), tedy a a P(a a) a tudíž, je-li a a a, je a a P(a) a 2.
9 9 Přirozená čísla v teorii množin Přirozená čísla zavádíme do teorie množin způsobem, jenž pochází od von Neumanna: přirozené číslo je množina všech menších přirozených čísel. Tedy: 0 je prázdná množina 1 je jednoprvková množina {0} = { } 2 je dvouprvková množina {0, 1} = {, { }} 3 je tříprvková množina {0, 1, 2} = {, { }, {, { }}}, atd.... n je tedy n-prvková množina {0,..., n 1} n + 1 je tedy n + 1-prvková množina {0,..., n} = n {n} Dále se budeme věnovat tomu, zda a jak lze definovat množinu všechpřirozených čísel.
10 10 Induktivní množiny Řekneme, že množina z je induktivní, jestliže z ( x)(x z x {x} z). Každá induktivní množina tak zřejmě obsahuje každé n, kde n je přirozené. Tvrzení: Existuje nejmenší induktivní množina (v uspořádání inkluzí ). Důkaz. Axiom nekonečna zaručuje existenci nějaké induktivní množiny z 0. Položme ω = {z z 0 ; z je induktivní}. ω je induktivní, nebot je prvkem všech induktivních podmnožin množiny z 0 a je-li y ω, je pro každou induktivní z z 0 y z, tedy i y {y} z, tudíž y ω. ω je nejmenší induktivní množina, nebot je-li z 1 induktivní, je z 0 z 1 také induktivní; jelikož z 0 z 1 z 0, je ω z 0 z 1, a tedy ω z 1.
11 11 Množina přirozených čísel Množinou přirozených čísel nazýváme nejmenší induktivní množinu a značíme ji ω, případně N. Je to tedy nejmenší množina obsahující a uzavřená na operaci "následníka" x {x} (odpovídá operaci +1). Na množině ω budeme definovat operace součtu, součinu. S jejich pomocí lze zavést další základní pojmy aritmetiky přirozených čísel. Ukážeme, že pro prvky ω platí princip indukce, jenž umožňuje dokázat všechna tvrzení známá z elementární aritmetiky. Prvkům množiny ω budeme říkat přirozená čísla v teorii množin, krátce přirozená čísla. Uvědomme si však, že přirozená o nichž mluvíme v meta-jazyce (např. ve větě "formule ϕ má n volných proměnných" nejsou objekty teorie množin. Říkáme jim metamatematická přirozená čísla.
12 12 Každému metamatematickému číslu n odpovídá nějaké přirozené číslo n v teorii množin. Získáme je n-násobnou aplikací operace následníka na, čili n = S(... (S( ))...), kde S(x) = x {x}. }{{} n-krát Na opačný vztah obecně nelze spoléhat: z principu kompaktnosti v logice plyne, že teorie množin rozšířená o novou konstantu c a axiomy c ω c / n pro každé (metamatematické) n, je bezesporná. Nevyhneme se tak možnosti, že do ω padne i nějaký prvek, jenž není tvaru n pro žádné konkrétní metamatematické n. S tím je třeba se smířit. Podstatné je, že se prvky množiny ω v teorii množin "chovají" jako přirozená čísla.
13 13 Tvrzení (Princip matematické indukce): (dvě možné formulace) 1. Necht ϕ(x) je formule jazyka teorie množin. Pak platí (ϕ( ) ( x ω)(ϕ(x) ϕ(x {x}))) ( x ω)ϕ(x) 2. Necht z ω taková, že z a pro každé x z je x {x} z. Pak z = ω. Důkaz. 1. Množina y = {x ω ; ϕ(x)} je induktivní, tudíž ω y. Současně y ω z definice. 2. Opět, z je induktivní, tedy ω z. Z předpokladu z ω, čili ω = z.
14 Uspořádání přirozených čísel Označme relaci definovanou na množině ω vztahem 14 x y (x = y x y). Tvrzení: (ω, ) je dobré (a tedy lineární) uspořádání; je diskrétní, nemá největší prvek, jeho nejmenším prvkem je číslo 0 a (ω, ) je odpovídající ostré uspořádání. Dále ( x, y ω)(x y x y). Připomeňme, že lineární uspořádání (A, ) je diskrétní, má-li každý prvek x, který není minimální, bezprostředního předchůdce (tj. existuje největší z prvků menších než x) a každý prvek x, který není maximální, má bezprostředního následníka (tj. existuje nejmenší z prvků větších než x). Tvrzení dokážeme, nejprve ale dokážeme lemma...
15 15 Lemma: Pro každé x ω platí: 1. x 0 0 x, 2. ( y ω)(x y x y), 3. ( y ω)(x y x {x} y), 4. x / x Důkaz. 1. Indukcí: je-li x = 0, není co dokazovat. Je-li 0 x, je zjevně 0 x {x}. 2. Pro x = y je to triviální, dokazujeme to indukcí dle y pro x y: pro y = 0 není co dokazovat. Platí-li to pro y a je-li x y {y}, je bud x y a pak dle indukčního předpokladu x y, nebo x = y. V obou případech x y y {y}. 3. Zvolme x ω libovolně, ale pevně. Formuli dokazujeme indukcí dle y. Je-li y = 0, není co dokazovat. Necht formule platí pro y, dokážeme ji pro y {y}. Necht x y {y}. Pak bud x = y, odkud x {x} = y {y}, nebo x y x a tedy dle indukčního předpokladu x {x} y, odkud z definice x {x} y {y}. 4. Indukcí: pro x = 0 to platí. Necht x / x. Kdyby x {x} x {x}, pak bud x {x} x odkud dle 2. a 3. x {x} x, nebo x {x} = x. V obou případech x x, spor s indukčním předpokladem.
16 16 Tvrzení: (ω, ) je dobré (a tedy lineární) uspořádání; je diskrétní, nemá největší prvek, jeho nejmenším prvkem je číslo 0 a (ω, ) je odpovídající ostré uspořádání. Navíc pro x, y ω je x y právě když x y. Důkaz. je reflexivní z definice. Dle bodu 2 lemmatu, x y implikuje x y. Je-li x y z a x y, pak x y z, čili x z a tedy x z. Tudíž je tranzitivní. Slabá anti-symetrie plyne z tranzitivity a bodu 4 lemmatu. Kdyby totiž x < y < x, pak by speciálně x y x, tudíž x x, spor. Že (ω, ) je dobré, neboli že každá neprázdná podmnožina u ω má -nejmenší prvek, ukážeme sporem: Necht u nemá -nejmenší prvek. Označme v množinu všech minorant množiny u, tj. v = {x ω ; ( y u)(x y)}. Zřejmě u v = (prvek průniku by byl nejmenší v u). Ze stejného důvodu 0 v. Necht x v. Pak pro každé y u platí x y (kdyby x = y, byl by x u v). Dle bodu 2. lemmatu x {x} y, čili x {x} v. Z principu indukce tedy v = ω a tedy u =, spor. (ω, ) je tedy lineární. Když x y, je x y, neb jinak y < x a tedy y y, spor. (ω, ) nemá největší prvek, nebot x < x {x}. Je diskrétní, nebot je-li 0 x ω, pak existuje y x tak, že x = y {y} (jinak by množina x byla induktivní). Kdyby existovalo y < z < y {y}, pak y z, a tedy z y, čili y < z < y, spor.
17 17 Další číselné obory v teorii množin K zavedení operací sčítání, násobení a umocňování na ω se vrátíme později. Obor celých čísel Z zavedeme např. jako množinu ω ({1} (ω {0})), přičemž prvek tvaru 1, x, kde 0 x ω, interpretujeme jako číslo x. Operace na Z se zavedou jako vhodná rozšíření operací na ω. Obor racionálních čísel lze zavést např. faktorizací množiny Z (ω {0}), podle kongruence definované vztahem a, b c, d ad = bc, jak jsme uvedli již minule. Třídu této ekvivalence tvaru [ a, 1 ], kde a Z, navíc obvykle ztotožňujeme právě s číslem a. Reálná čísla se v teorii množin obvykle konstruují na základě čísel racionálních, a to například pomocí tzv. Dedekindových řezů. Konstrukci reálných čísel probírat nebudeme.
18 18 Konečné množiny Tarského definice konečnosti: Množina x je konečná, píšeme Fin(x), jestliže každý neprázdný systém jejích podmnožin y P(x), y, obsahuje vzhledem -minimální prvek, tj. existuje u y tak, že pro žádné v y není v u. Intuitivně: množina je konečná, jestliže z každé neprázdné množiny jejích podmnožin můžeme vždy vybrat některou s minimálním počtem prvků. Poznámka: Konečné množiny lze též definovat jako množiny jež mají mohutnost, jako nějaké přirozené číslo. Tarského definice má však tu výhodu, že neodkazuje na nic jiného než na množinu x samu.
19 19 Tvrzení: Žádná induktivní množina není konečná. Důkaz. Je-li x induktivní, pak (zjevně neprázdný) systém y = {x z ; z / z x} P(x) nemá -minimální prvek. Kdyby totiž pro z x byl x z minimální prvek y, pak z induktivnosti z = z {z} x a x z x z y, což je spor s minimalitou. Bud x libovolná množina. Necht y P(x) a y = {x u ; u y}. Pak u y je minimální prvek (y, ) právě když x u je maximální prvek (y, ). Kdybychom tedy v definici Fin nahradili slovo minimální slovem maximální, získali bychom ekvivalentní definici. Speciálně, každý neprázdný systém podmnožin konečné množiny má vzhledem k inkluzi maximální prvek. Třídu všech konečných množin značíme Fin, tj. Fin = {x ; Fin(x)}.
20 20 Patnáct jednoduchých tvrzení o konečných množinách 1. a b Fin(b) a b Důkaz. Předpokládejme, že b je konečná a přesto existuje nějaká její vlastní podmnožina a b, taková, že (a b). Jelikož a b, je nutně a b. Uvažujme množinu y všech takových vlastních podmnožin množiny b, tj. y = {a b ; a b}. Dle předpokladu je y P(b) a y má tedy díky konečnosti b -minimální prvek a 0 y. Je-li f : b a 0 vzájemně jednoznačné zobrazení, je f a 0 a 0 (nebot a 0 b) a přitom f a 0 je vzájemně jednoznačné zobrazení a 0 na f a 0. Odtud vyplývá, že f a 0 a 0 b, čili f a 0 y, což je ve sporu s minimalitou a 0.
21 21 Předchozí tvrzení vyslovuje důležitou vlastnost konečných množin, totiž že jejich vlastní část je vždy menší než celek. Toto tvrzení navrhnul jako definici konečnosti množiny Dedekind. Dnes je však známo, že bez přidání dalšího axiomu (např. axiomu výběru) nelze dokázat opačnou implikaci, tj. že množina, jejíž každá vlastní část má mohutnost menší než celek, je konečná. Problém spočívá v tom, že pomocí axiomů Zermelo-Fraenkelovy teorie nejsme obecně schopni k dané množině nekonečné dle Tarského nalézt zobrazení, jež by ji vzájemně jednoznačně zobrazilo na její vlastní část (přestože pro všechny "běžné" nekonečné množiny, jako je třeba ω, taková zobrazení nalézt umíme).
22 22 2. (Fin(a) b a) Fin(b) Důkaz. plyne ihned z definice. 3. (Fin(a) a b) Fin(b) Důkaz. Necht f : b a je vzájemně jednoznačné zobrazení a y P(b). Pak y = {f x ; x y} P(a) a snadno se ověří, že je-li f x pro x y minimální prvek y (vzhledem k inkluzi), je x minimální prvek y (vzhledem k inkluzi). 4. (Fin(a) b a) Fin(b) Důkaz. Plyne z 2. a 3.
23 23 5. (Fin(a) Fin(b)) Fin(a b) Důkaz. Necht y P(a b). Označme y 1 = {x a ; x y} P(a). Zřejmě je y 1 neprázdná (nebot je taková y) a má tudíž díky Fin(a) minimální prvek, a to tvaru x 1 a pro nějaké x 1 y. Položme y 2 = {x b ; x y x x 1 }. Zřejmě = y 2 P(b) a má tedy díky Fin(b) nějaký minimální prvek tvaru x 2 b pro nějaké x 2 x 1, x 2 y. Dokážeme, že x 2 je minimální prvek y. Bud x y, x x 2. Pak x x 1, a tedy x b y 2, z čehož plyne, že x b = x 2 b, jelikož x 2 b je minimální v y 2. Podobně dostaneme x a = x 1 a = x 2 a. Protože x, x 2 a b, je x = x 2.
24 24 6. Fin(a) ( b)fin(a {b}) Důkaz. Snadno se ověří, že pro každé y je Fin({y}). Zbytek plyne ω Fin Důkaz. matematickou indukcí podle Princip indukce pro konečné množiny ( A ( a A)( b)(a {b} A)) Fin A Důkaz. Necht A splňuje předpoklad uvedené implikace. Dokážeme, že Fin A. Sporem. Necht a Fin, ale a / A. Uvažujme y = {b a ; b / A}. Jelikož a y, je y neprázdná a má tedy minimální prvek b. Zřejmě je b nebot A. Existuje tedy nějaké x b. Pak ale b {x} A nebot v opačném případě dostáváme spor s minimalitou b. Z vlastností třídy A ovšem plyne, že (b {x}) {x} = b A, což je spor.
25 25 9. Fin(a) Fin(P(a)) Důkaz. Pomocí principu indukce pro konečné množiny. Zřejmě Fin(P( )), nebot P( ) = { }. Zbývá dokázat, že je-li Fin(a) a Fin(P(a)), pak pro libovolné b je Fin(P(a {b})). To plyne z 5. a toho, že P(a {b}) = P(a) c, kde c = {x {b} ; x P(a)} P(a), a tedy Fin(c) dle Fin(a) Fin(b) Fin(a b) Důkaz. ihned z 9. a toho, že a b P(P(a b)). 11. Fin(a) Fin(b) Fin( a b)) Důkaz. ihned z 9. a toho, že a b P(a b).
26 (Fin(a) ( z a)fin(z)) Fin( a) Důkaz. Tvrzení dokážeme indukcí pro konečné množiny. Pro a = to platí triviálně. Platí-li dále tvrzení pro nějakou konečnou množinu a, jejíž všechny prvky jsou konečné, platí i pro a {b} kde b je konečná, nebot (a {b}) = b a, přičemž na pravé straně je díky indukčnímu předpokladu sjednocení dvou konečných množin, tedy konečná množina dle Fin(a) ( z)(a z z a) Důkaz. Indukcí pro konečné množiny: zřejmě z pro každé z. Platí-li z a, je z a {x} pro libovolné x. Platí-li naopak a z, bud f : a z prosté zobrazení. Jelikož a z, není f na, a tedy existuje prvek y z rng(f). Položme f = f { x, y }. Získali jsme prosté zobrazení f : a {x} z, čili a z, čímž je dokázán potřebný indukční krok.
27 Fin(a) ( n ω)(a n) Důkaz. Na jednu stranu z 7. víme, že každé přirozené číslo n je konečná množina a tudíž je-li a n, je rovněž a konečná množina. Obrácenou implikaci dokážeme opět indukcí pro konečné množiny. Je-li a = pravá strana ekvivalence platí triviálně (stačí položit n = 0). Ukážeme, že je-li a n a x libovolná množina, platí ( m ω)(m a {x}). Pokud x a, je a {x} = a a stačí položit m = n. V opačném případě (x / a), položme m = n {n}. Je-li nyní f vzájemně jednoznačné zobrazení f : a n, je f = f { x, n } vzájemně jednoznačné zobrazení a {x} na m.
28 ( n, m ω)(n m n = m) Důkaz. Indukcí dle n. Pro n = 0 je tvrzení triviální. Necht n splňuje formuli ( m)(n m n = m). Dokážeme, že ji splňuje i n {n}. Necht n {n} m. Pak zřejmě m 0, tedy m = k {k} pro nějaké k ω. Bud nyní f : n {n} k {k} vzájemně jednoznačné zobrazení. Případnou záměnou funkčních hodnot f v bodech n a f 1 (k) získáme vzájemně jednoznačné zobrazení f : n {n} k {k} takové, že f (n) = k. Odtud vyplývá, že f n je vzájemně jednoznačné zobrazení n na k, čili n k a podle indukčního předpokladu n = k. Tudíž n {n} = k {k} = m.
29 29 Zavedení operací na ω Z předchozího plyne, že sjednocení, kartézský součin i množinová mocnina dvou konečných množin jsou tedy konečné množiny. Každá konečná množina má mohutnost právě jednoho přirozeného čísla. Operace sčítání, násobení a mocnění proto zavádíme následujícími vztahy. Pro n, m, k ω: n + m = k k n m, n m = k k n m, n m = k k m n. V každém z nich je číslo k, udávající výsledek uvedené operace, určeno jednoznačně (díky tvrzení 15.)
30 30 Snadno se ověří, že pro přirozená čísla v teorii množin s výše uvedenými operacemi a uspořádáním, platí všechny axiomy Peanovy aritmetiky. Na druhou stranu jsou známa tvrzení o přirozených číslech, jež jsou dokazatelná v teorii množin, ale v Peanově aritmetice je nelze dokázat ani vyvrátit. Nahradíme-li však v teorii množin axiom nekonečna jeho negací, situace se změní. V takové "teorii konečných množin" jsou o přirozených číslech dokazatelná právě tatáž tvrzení jazyka aritmetiky, jako v Peanově aritmetice. To poukazuje na zajímavý fakt, totiž že až zkoumáním nekonečných množin lze získat některé poznatky o konečných množinách (potažmo přirozených číslech), jež by nám jinak zůstaly skryty.
Základy teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
VíceZáklady logiky a teorie množin část II
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin 2008 1 1 Teorie množin 2 Její význam spočívá v tom, že všechny matematické pojmy (čísla, funkce, Základy logiky a teorie množin část II URL (slajdy): Petr
VíceZáklady logiky a teorie množin část II
1 Základy logiky a teorie množin část II Petr Pajas pajas@matfyz.cz URL (slajdy): http://pajas.matfyz.cz/vyuka Teorie množin 2 Její význam spočívá v tom, že všechny matematické pojmy (čísla, funkce, relace,
Více1 Kardinální čísla. množin. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ),
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin 4.1.2007 1 1 Kardinální čísla 2 Ukázali jsme, že ordinální čísla reprezentují typy dobrých uspořádání Základy teorie množin Z minula: 1. Věta o ordinálních
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceDoporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 1. přednáška, 21. 2. 2019 1. Napište množina x je prázdná (přesněji množina x nemá žádné prvky ) formulí základního jazyka teorie množin. 2. Dokažte ((x
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VícePŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)
VícePojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
VíceTeorie množin. pro fajnšmekry - TeMno. Lenka Macálková BR Solutions Orličky. Lenka (Brkos 2010) TeMno
Teorie množin pro fajnšmekry - TeMno Lenka Macálková BR Solutions 2010 - Orličky 23.2. 27.2.2010 Lenka (Brkos 2010) TeMno 23.2. 27.2.2010 1 / 42 Bylo nebylo... Starověké Řecko - nekonečnost nepochopená
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
VícePŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů
PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Definujeme svazové kongruence a ukážeme jak pro vhodné binární relace svazu ověřit, že se jedná o svazové kongruence. Popíšeme svaz Con(A) kongruencí
VíceTOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY. PAVEL RŮŽIČKA 3.1. Kompaktní prostory. Buď (X, τ) topologický prostor a Y X. Řekneme, že A τ je otevřené pokrytí množiny Y, je-li
VíceModely Herbrandovské interpretace
Modely Herbrandovské interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 8 1 Uvedli jsme termové interpretace a termové modely pro logické programy a také nejmenší
VícePredik atov a logika - pˇredn aˇska () Predik atov a logika - pˇredn aˇska / 16
Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 () Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 1 / 16 Věta (o dedukci) Bud L jazyk, T teorie pro L, ϕ L-sentence a ψ L-formule. Pak Věta (o kompaktnosti) T ϕ
Více1 Základní pojmy. 1.1 Množiny
1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský
VíceTOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. PAVEL RŮŽIČKA 4.1. (Kvazi)kompaktnost a sub-báze. Buď (Q, ) uspořádaná množina. Řetězcem v Q budeme rozumět lineárně
VíceNAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.
Více0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceLineární algebra : Báze a dimenze
Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceMnožiny, základní číselné množiny, množinové operace
2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Vícep 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že
KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =
VíceZáklady logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
VíceTeorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.
Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceAplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační
VíceVýroková a predikátová logika - IV
Výroková a predikátová logika - IV Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IV ZS 2018/2019 1 / 17 Tablo metoda Tablo Tablo - příklady F (((p q)
VíceKapitola Základní množinové pojmy Princip rovnosti. Dvě množiny S a T jsou si rovny (píšeme S = T ) prvek T je také prvkem S.
1 Kapitola 1 Množiny 11 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky 111 Princip rovnosti
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceMatematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
VíceMarie Duží
Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Co je to množina? Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena; množinu s prvky a, b, c značíme: {a, b, c}. Prvkem množiny může být opět množina, množina nemusí mít
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceKapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu.
Kapitola 1 Relace Úvodní kapitola je věnována důležitému pojmu relace. Protože relace popisují vztahy mezi prvky množin a navíc jsou samy množinami, bude vhodné množiny nejprve krátce připomenout. 1.1
VíceÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur
ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou
VíceÚlohy k procvičování textu o univerzální algebře
Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky
VíceVlastnosti regulárních jazyků
Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceÚvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce
Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky (logika) Naivní teorie množin Co je to množina? Množina je soubor prvků
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceVýroková a predikátová logika - IX
Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2015/2016 1 / 16 Tablo metoda v PL Důsledky úplnosti Vlastnosti
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
VíceLineární algebra : Lineární zobrazení
Lineární algebra : Lineární zobrazení (6. přednáška František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 20. května 2014, 22:40 1 2 6.1 Lineární zobrazení Definice 1. Buďte P a Q dva lineární prostory
VíceLogické programy Deklarativní interpretace
Logické programy Deklarativní interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 7 1 Algebry. (Interpretace termů) Algebra J pro jazyk termů L obsahuje Neprázdnou
VíceNechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2018/2019 1 / 15 Platnost (pravdivost) Platnost ve struktuře
VíceCo je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
VícePro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 1. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 14. února 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceVýroková a predikátová logika - V
Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský
VíceKongruence na množině celých čísel
121 Kapitola 4 Kongruence na množině celých čísel 4.1 Relace kongruence na množině celých čísel Vraťme se k úvahám o dělení se zbytkem. Na základní škole jsme se naučili, že když podělíme číslo 11 číslem
VíceVýroková a predikátová logika - X
Výroková a predikátová logika - X Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - X ZS 2018/2019 1 / 16 Rozšiřování teorií Extenze o definice Rozšiřování
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
VícePavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT
Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT 2 0 1 8 Obsah 1 Vektorové prostory 1 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 1 2 Generování podprostor u............................
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
VíceLineární zobrazení. V prvním z následujících tvrzení navíc uvidíme, že odtud plynou a jsou tedy pak rovněž splněny podmínky:
Lineární zobrazení Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou dva vektorové prostory nad týmž tělesem (T, +, ). Nechť f : V W je zobrazení splňující následující podmínky: ( u, v V)(f(u + v) = f(u) + f(v)), ( s T )(
Více1. Množiny, zobrazení, relace
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách
Víceα β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace
Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme
VíceVýroková a predikátová logika - IX
Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2018/2019 1 / 13 Dokončené tablo Chceme, aby dokončená bezesporná
Více1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
VíceStromové rozklady. Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom,
Stromové rozklady Zdeněk Dvořák 25. října 2017 Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom, β je funkce přiřazující každému vrcholu T podmnožinu vrcholů v G, pro každé
VíceOproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.
Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice
VícePredikátová logika. Z minula: 1. jazyk logiky 1. řádu. 2. term a formule. 3. interpretace jazyka (relační struktura) 4. Tarského definice pravdy
1 Predikátová logika Z minula: 1. jazyk logiky 1. řádu 2. term a formule 3. interpretace jazyka (relační struktura) 4. Tarského definice pravdy 5. vázané a volné výskyty proměnných ve formuli 6. otevřené
VícePojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky.
Relace. Pojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky. Definice. Mějme množiny A a B. Binární relace R z množiny A do množiny B je každá množina uspořádaných dvojic (a, b), kde
VíceTeorie množin Pavel Podbrdský
Teorie množin Pavel Podbrdský V matematice se s pojmem množina setkáváte na každém kroku. Jistě jste obeznámenispojmemmnožinyvšechpřirozenýchčísel,množinyvšechbodůvrovině,... Cílem této přednášky bude
Více10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
Více4. Topologické vlastnosti množiny reálných
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině
VíceSystém přirozené dedukce výrokové logiky
Systém přirozené dedukce výrokové logiky Korektnost, úplnost a bezespornost Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 6. října 2008 Věta o korektnosti Věta (O korektnosti Systému
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceVýroková a predikátová logika - IX
Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2013/2014 1 / 15 Korektnost a úplnost Důsledky Vlastnosti teorií
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
Vícemnožinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
Více15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.
Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
VíceVýroková logika dokazatelnost
Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových
VíceCílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.
1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat
VíceVrcholová barevnost grafu
Vrcholová barevnost grafu Definice: Necht G = (V, E) je obyčejný graf a k N. Zobrazení φ : V {1, 2,..., k} nazýváme k-vrcholovým obarvením grafu G. Pokud φ(u) φ(v) pro každou hranu {u, v} E, nazveme k-vrcholové
VíceVýroková a predikátová logika - XIII
Výroková a predikátová logika - XIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XIII ZS 2013/2014 1 / 13 Úvod Algoritmická (ne)rozhodnutelnost Které
VíceDosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty.
Kapitola 4 Tělesa Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty. Všechna čísla byla reálná, vektory měly reálné souřadnice, matice měly reálné prvky. Také řešení soustav
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Více4 Pojem grafu, ve zkratce
Petr Hliněný, FI MU Brno, 2014 1 / 24 FI: IB000: Pojem grafu 4 Pojem grafu, ve zkratce Třebaže grafy jsou jen jednou z mnoha struktur v matematice a vlastně pouze speciálním případem binárních relací,
VíceMatematika I 2a Konečná pravděpodobnost
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už
VíceMnožinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ
Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá
VícePavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT
Pavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT 2 0 1 7 Obsah 1 Vektorové prostory 2 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 2 2 Generování podprostor u............................
Více