1 Kardinální čísla. množin. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ),

Transkript

1 Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin Kardinální čísla 2 Ukázali jsme, že ordinální čísla reprezentují typy dobrých uspořádání Základy teorie množin Z minula: 1. Věta o ordinálních typech, zavedení operací na On 2. Operace na ordinálních číslech 3. Axiom výběru a jeho ekvivalenty (Zornovo lemma, Princip dobrého uspořádání) 4. Příklady vět, jejichž důkazy se opírající o axiom výběru množin. Nyní popíšeme třídu Cn tzv. kardinálních čísel, jež budou reprezentovat typy mohutností všech množin, které lze dobře uspořádat. Za předpokladu axiomu výběru (resp. s ním ekvivalentního principu dobrého uspořádání) tedy kardinální čísla budou typy mohutností všech množin, tj. každá množina bude mít mohutnost právě jednoho kardinálního čísla. Připomeňme, že již nyní víme, že každá konečná množina má mohutnost nějakého (právě jednoho) přirozeného čísla n ω. To znamená, že prvky ω jsou typy mohutností konečných množin. Tento koncept nyní rozšíříme. 3 4 Třída kardinálních čísel Cn = {α On ; ( β On)(β < α (β α))}. Cn sestává z právě těch ordinálních čísel, jež nelze prostě zobrazit na žádné menší ordinální číslo. Jinými slovy, Cn obsahuje nejmenší prvek z každé rozkladové třídy On/. Indukcí lze snadno dokázat, že ω Cn a ω Cn. Prvky třídy Cn se nazývají kardinální čísla či krátce kardinály. Cn označuje třídu nekonečných kardinálů, neboli Cn = Cn ω. Kardinální čísla budeme označovat písmeny κ, λ, µ, ν,.... Je-li x množina a x κ Cn, píšeme x = κ a číslo κ nazýváme mohutností či kardinalitou množiny x. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ), 2. Je-li X množina, je X Cn a je to supremum množiny X v (Cn, ). Důkaz. Víme, že X je nejmenší ordinál v X, náleží tedy do X a je to proto kardinální číslo. Tím je průnik odbyt. Víme dále, že je-li X množina, je γ = X ordinál, jenž je supremem množiny X v On. Stačí proto ukázat, že je to kardinál. Sporem. Předpokládejme, že γ / Cn. Existuje tedy α < γ, α γ. Pak ale α κ pro nějaké κ X. Tedy α κ γ, a tedy α κ, což není možné, neb κ Cn.

2 Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin Tvrzení: Neexistuje největší kardinální číslo. 5 Důsledek: Cn je vlastní třída. 6 Důkaz. Předpokládáme-li AC, stačí užít Cantorovy věty. Z něj (a principu dobrého uspořádání) totiž plyne κ < P(κ). Tvrzení však platí i bez AC. Sporem: Necht κ je největší kardinál. Pro α On označme R α množinu všech dobrých uspořádání na κ podle typu α. Je-li α κ, lze α prostě zobrazit na κ (nejmenší α > κ, pro které by to nešlo, by bylo samo kardinální, což je ve sporu s maximalitou κ). Z toho plyne, že pro α κ je R α. Každé uspořádání na κ je relace na κ, tedy R α P(κ κ), jinými slovy R α P(P(κ κ)). Přitom pro α β je R α R β =, nebot, jak víme, uspořádání žádných dvou ordinálních čísel nejsou izomorfní. Spec. R α R β. Zobrazení R přiřazující každému prvku α vlastní třídy On κ neprázdnou množinu R α je tedy prosté. Sestrojili jsme tedy prosté zobrazení vlastní třídy On κ do množiny P(P(κ κ)), což není možné spor. Jelikož Cn On, je Cn sama dobře ostře uspořádaná relací. Protože je Cn vlastní třída, jde o uspořádání typu On, neboli (On, ) = (Cn, ). Následník kardinálu κ je nejmenší kardinál větší než κ, značíme jej κ +. Kardinál κ je izolovaný, je-li sám následníkem nějakého kardinálu; jinak je limitní. Pozor: tyto pojmy na On a Cn nesplývají: U přirozených čísel sice ano: 0 je limitní jakožto ordinál i kardinál, zatímco každé n 1 je izolované (jakožto ordinál i kardinál). Ovšem všechna nekonečná kardinální čísla (včetně izolovaných) jsou limitní ordinály (je totiž zřejmé, že izolovaný ordinál tvaru α {α}, kde α je nekonečné, má stejnou mohutnost jako α a nemůže proto být kardinálem). Při použití pojmů souvisejících s uspořádáním tedy musíme dbát na to, zda dané číslo chápeme jako ordinální, tedy v kontextu uspořádání (On, ), nebo jako číslo kardinální, v kontextu (Cn, ). 7 Funkce Alef ℵ Rovněž třída všech nekonečných kardinálních čísel Cn je vlastní, je tudíž také uspořádána dle typu On. Jednoznačně určený izomorfismus uspořádání (Cn, ) a (On, ) označujeme prvním písmenem hebrejské abecedy, ℵ (Alef). Funkci ℵ lze definovat též transfinitní rekurzí, a to předpisem ℵ(α) = min (Cn ℵ α). Místo ℵ(α) píšeme obvykle ℵ α. Chceme-li zdůraznit, že číslo ℵ α chápeme ordinálně, tj. jako prvek On, píšeme místo ℵ α symbol ω α. Platí: ℵ 0 = ω a je-li κ = ℵ α, je κ + = ℵ α+1. Kardinální číslo ℵ α je limitní, právě když α je limitní ordinál. Dále α ω α. 8 Tvrzení: Funkce ℵ je normální, neboli rostoucí (α < β ℵ α < ℵ β ) a spojitá (ℵ λ = sup{ℵ β ; β < λ} pro limitní ordinál λ) Důkaz. Že je rostoucí je zřejmé z definice. Je dále zřejmé, že ℵ λ je majoranta množiny u = {ℵ β ; β < λ}. Že je to nejmenší majoranta dokážeme sporem: Necht κ < ℵ λ je rovněž majorantou u. Z limitnosti λ plyne, že κ je nekonečné, tedy κ = ℵ β pro nějaké β < λ. Pak ovšem β + 1 < λ, a tedy κ = ℵ β < ℵ β+1 u, což je ve sporu s tím, že κ majorizuje u. Důsledek: Funkce ℵ má pevné body (dle věty o pevném bodu pro normální funkce), tj. existují ξ = ℵ ξ. Pro takové ξ pak platí ξ ξ Cn, neboli "pod ξ leží stejný počet ordinálů jako kardinálů".

3 Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin Tvrzení: Pro každé α On platí ℵ α ℵ α ℵ α. Maximo-lexikografické uspořádání Maximo-lexikografické uspořádání MLe na třídě On On je definováno vztahem α 1, β 1 MLe α 2, β 2 max{α 1, β 1 } < max{α 2, β 2 } (max{α 1, β 1 } = max{α 2, β 2 } α 1, β 1 Le α 2, β 2 ). (On On, MLe ) je dobré a úzké uspořádání (je tudíž typu On). Kterou z uvedených vlastností nemá uspořádání Le, jež jsme na (On On) zavedli minule? Důkaz. Bud X = {α On ; ℵ α ℵ α ℵ α }. Podle principu transfinitní indukce stačí dokázat, že α X implikuje α X. Bud tedy α X a η ordinální typ uspořádání (ℵ α ℵ α, MLe ). Zřejmě η ℵ α ℵ α. Dokážeme, že η = ℵ α. Kdyby η < ω α, pak by η ℵ α ℵ α ℵ α η, což není možné. Necht naopak ω α < η. Je-li f izomorfismus (η, ) a (ℵ α ℵ α, MLe ), je f(ℵ α ) = γ, δ ℵ α ℵ α pro nějaká γ, δ ℵ α. Bud β = max{γ, δ}+1. Pak β ℵ α, tedy speciálně β < ℵ α, a dále f ℵ α β β, tedy ℵ α β β. Podle indukčního předpokladu však β β = β < ℵ α, což je spor. Zbývá tedy jedině možnost η = ω α. Dokázali jsme, že α X. 11 Z AC a předchozího tvrzení plyne, že pro každou nekonečnou množinu a platí a a a. Od této chvíle pracujeme v teorii množin s axiomem výběru. Na třídě Cn definujeme operace sčítání, násobení a umocňování takto: κ + λ = κ λ, κ λ = κ λ, κ λ = λ κ. Operace kardinálního součtu a součinu jsou zřejmě asociativní a komutativní. Bud te λ > κ > 0 a λ Cn ; pak: λ κ λ 2 λ λ λ λ λ κ λ λ λ λ Jsou-li tedy κ, λ > 0 kardinální čísla, z nichž alespoň jedno je nekonečné, pak κ + λ = κ λ = max{κ, λ}. Některé zákony kardinální aritmetiky 1. x y = x + y, x y = x y, x y = y x 2. 2 κ = P(κ) > κ, 3. 0 κ 1 κ 2 λ 1 λ 2 κ λ1 1 κ λ2 2, 4. κ µ+ν = κ µ κ ν, 5. (κ µ ) ν = κ µ ν. 6. κ 0 = 1, 1 λ = 1, λ 0 0 λ = 0, 7. 0 < n ω κ κ n = κ, 8. (2 κ λ ω λ) κ λ = 2 λ. 12 Na přirozených číslech kardinální operace sčítání, násobení i umocňování splývají s obvyklými.

4 Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin Součet souboru kardinálů a mohutnost sjednocení Součet souboru κ i ; i I kardinálních čísel je definován vztahem κ i = ({i} κ i). 13 Tvrzení: Je-li κ i ; i I soubor nenulových kardinálů a I nebo některé z κ i je nekonečné, pak Důkaz. Označme κ = sup{κ i κ i = max{ I, sup{κ i ; i I}}. ; i I}. Zřejmě κ I κ i, nebot uvedená suma majorizuje množinu {κ i ; i I}. Jelikož κ i 1 pro každé i I, platí dále I I κ i, tedy celkem max{ I, κ} I κ i. Obráceně: zřejmě I κ i I κ I κ = max{ I, κ}. Je-li x i ; i I soubor množin, platí I x i I x i. Jsou-li navíc x i po dvou disjunktní, pak I x i = I x i. Z předešlého tvrzení navíc vyplývá, že je-li κ Cn, I κ a x i κ pro každé i I, pak I x i κ. Součin souboru kardinálních čísel 14 Připomeňme, že součin souboru množin x i ; i I je množina X x i = {f ; f je zobrazení, dom(f) = I a ( i I)f(i) x i }. Součin souboru kardinálních čísel κ i ; i I definujeme jako κ i = X κ i Je-li κ i = κ pro každé i I, pak κ i = κ I. Věta (Königova nerovnost): Jsou-li κ i, λ i kardinální čísla taková, že κ i < λ i pro každé i I, potom κ i < λ i Jedná se o zobecnění Cantorovy nerovnosti x P(x) (pro κ i = 1, λ i = 2 totiž Königova nerovnost dává I < 2 I = P(I) ). 15 Lemma: Je-li λ i 2 pro každé i I, pak λ i λ i Důkaz. Pro I 2 je tvrzení snadné. Necht I > 2. Zobrazíme prostě S = ({i} λ i) do P = X λ i. Dle předpokladu, {0, 1} λ i pro každé i λ. Dvojici i, α S přiřadíme funkci f i,α P definovanou např. takto: 1 když i j f i,0 (j) = 0 když i = j a pro α > 0 0 když i j f i,α (j) = α když i = j Snadno se ověří, že toto přiřazení je prosté. 16 Důkaz Königovy nerovnosti. Jelikož κ i < λ i, jsou všechna λ i nenulová. Pokud pro nějaké i I je λ i = 1, je κ i = 0. Členy s indexem i tedy nepřispívají ani do součtu na levé straně, ani do součinu na pravé straně, proto je můžeme vypustit. Lze tedy předpokládat, že λ i 2 pro každé i I. Dle lematu tudíž I κ i I λ i I λ i. Předpokládejme, že nastává rovnost (vyvodíme spor). Z rovnosti plyne, že existuje disjunktní rozklad množiny XI λ i na množiny X i pro i I tak, že X j = κ j. Tedy I X i = XI λ i. Diagonálním trikem, podobným důkazu Cantorovy věty, sestrojíme funkci g XI λ i, jež neleží v žádné X i, čímž dostaneme spor: Pro každé i I bud Y i = {f(i) ; f X i }. Je tedy Y i λ i. Pak Y i X i = κ i < λ i. Hodnoty z Y i tudíž nevyčerpají celé λ i a můžeme definovat g(i) = min(λ i Y i ) pro každé i I. Pro každé i I tak máme g(i) / Y i, tedy g / X i. Odtud g / I X i, ačkoli zjevně g XI λ i. Spor.

5 Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin O mohutnosti kontinua 17 Kardinální číslo 2 ℵ0 nazýváme (ve shodě s dřívější definicí) mohutností kontinua. Někdy se značí symbolem c. Víme, že P(ω) = ω 2 = ω ω = R = c. Z Cantorovy věty vyplývá, že ℵ 0 < c tedy c ℵ 1. Rovnost c = ℵ 1 se nazývá hypotéza kontinua (CH). Říká, že mezi mohutností přirozených a reálných čísel není už žádná mohutnost, neboli, že každá podmnožina množiny reálných čísel je bud konečná, spočetná, nebo mohutnosti kontinua. Hypotézu kontinua nelze v Zermelo-Fraenkelově teorii s axiomem výběru rozhodnout (tj. ani dokázat ani vyvrátit). Totéž platí i o dalším průběhu funkce 2 ℵα. Je například bezesporné předpokládat, že 2 ℵα = ℵ α+1 pro každé α On (tzv. zobecněná hypotéza kontinua, GCH), ovšem to je jen jedna z nepřeberného množství bezesporných možností.