Algoritmy a struktury neuropočítačů ASN - P2 Topologie neuronových sítí, principy učení Samoorganizující se neuronové sítě Kohonenovy mapy Topologie neuronových sítí (struktura, geometrie, architektura) Uspořádání výkonných jednotek - neuronů (units, neurons) a jejich vzájemné propojení. propojení - orientované grafy: uzly neurony orientované větve synaptické váhy Vícevrstvé neuronové síte (Multilayer Neural Network - MLNN) neurony (výkonné jednotky) sestavené do vrstev sítě s dopředným šířením informace (feedforward)
Vrstevnatá struktura vstupní vrstva (input layer) skryté vrstvy (hidden layers) výstupní vrstva (output layer) Např.: 15-20 - 2 počet počet počet vstupních skrytých výstupních neuronů neuronů neuronů rekurentní sítě (recurrent networks) informace se šíří v dopředném směru formou jednoduchých zpětných vazeb formou vícenásobných zpětných vazeb Toto propojení zprostředkovávají synaptické váhy. Neurony tvoří vrstvy: obvykle typ McCulloch-Pitt
Topologie: cyklická (rekurentní) aproximace nelineárních vztahů acyklická (dopředná) nelinární dynamické systémy Principy učení a jeho druhy Proces učení (trénink) modifikace synaptických vah a prahů podle zvoleného algoritmu učení výběr charakteristických rysů a zkušeností ze vstupních signálů nastavení parametrů UNS tak, aby odchylka (v dané metrice) mezi požadovaným a skutečným výstupem při odezvě na soubor trénovacích vzorů byla minimální UNS jsou schopné analyzovat a rozpoznat určité množství reálných vzorů. Reálná data jsou často zašuměná. Není tedy možné klasifikovat správně úplně všechny vzory.
Dělení způsobů učení (příklady) I. 1. neasociativní - jednou nebo opakovaně je předkládán síti vzor nebo skupina vzorů bez uvažování jejich vzájemných souvislostí Cíl: uchování v paměti a vybavování 2. asociativní - cílem je extrakce vztahů mezi jednotlivými vzory nebo skupinami vzorů II. 1. učení s učitelem - (supervised learning) Perceptron, Adaline, Madaline, metoda zpětného šíření chyby 2. učení bez učitele - (unsupervised learning) spojité Hopfieldovy sítě, LVQ, Kohonenovy samoorganizující se mapy, asociativní paměti
III. 1. jednorázové učení 2. opakované učení Proces opakovaného učení A) daný počet opakovaného předkládání téhož vzoru otestování na velikost chyby proces je ukončen nebo pokračuje B) daný počet opakovaného předkládání téhož vzoru otestování na velikost chyby systém je klasifikován a odměněn nebo trestán C) posilované učení (reinforced learning) D) adaptivní upravování na základě výsledků z předchozích kroků
Základní zákony učení (learning rules, learning algorithms) Hebbův zákon učení (Hebbian learning) základ všech současných modelů, odvozen z analogie s učením biologických systémů, pro formální neuron Pravdivostní tabulka: (pro konjunkci) Aktivita x y výsledek 1 1 1 logický součin 0 1 0 1 0 0 0 0 0 v daném okamžiku musí být aktivní oba neurony současně w i j (t+1) = w i j (t) + α y i (t) x j (t) dw dt ij y j x i
Zákon učení perceptronu Jeden vstupní vektor x a požadovaný výstup tar Neuron typu McCulloch-Pitt Aktivační funkce: skoková (threshold, hardlimit) Klasifikace pouze do dvou tříd! Modifikace vah: (0 < <1/ k ), k je maximální modul tréninkových vzorků w (t+1) = w (t) + (tar y) x Minimalizace chyby: y = (tar y) = 0 správný výstup y = (tar y) = 1 w ij se nemění chybný výstup modifikace wij! Učení konverguje pouze v případě tréninkových vzorků z lineárně separabilního prostoru.
Widrow - Hoffův zákon - LMS Least Mean Square Metoda nejmenších čtverců účelové učení (performance learning) hledá se soubor vah, který odpovídá extrému účelové funkce Vyjadřuje rozdíl naměřených a vypočtených hodnot. mění váhy a prahy v souhlase s velikostí chyby pro vrstevnaté sítě minimalizuje chybu pro všechny trénovací vzory Pravidlo delta (Delta rule): chyba je redukována postupně pro každý vzor nebo skupinu vzorů - skupinová adaptace (batch updating) w ij = w ij (t + 1) w ij (t) w ij = N k 1 δ(k) (k) (k) je chyba, N je počet tréninkových vzorků, x i (k) je vstup x i
Samoorganizující se neuronové sítě ( Self Organizing Maps ) SOM Neuronové sítě s učením bez učitele (unsupervised learning) Inspirace: organizace mozku do oblastí map, podmnožiny podobných vektorů jsou navzájem propojeny. Praktické aplikace: sítě tvořené asi 1 000 neurony, učení časově náročné, výkonné počítače Použití: zejména pro analýzu velkého počtu vstupních parametrů, např. při technologických procesech (VLSI), při rozpoznávání řeči jen dílčí problémy, pro identifikaci řečníka, v robotice (řízení ramene robota v nepřístupném prostředí, pohyb robota v labyrintu ). Problém obchodního cestujícího. Při detekci poruch řeči, při zpracování biologických signálů (EEG, EKG, MEG) magnetoencefalograf
Princip: učení je založeno na schopnosti NN rozeznat ve vstupních vzorech stejné nebo blízké vlastnosti a třídit přicházející vektory podle nich. Podobné vektory sdružuje do shluků (clusters) měnící se vektory vah nejsou porovnávány s požadovanými (target) hodnotami Použití: nelze: tam, kde neznáme správné řešení, pro shlukování, vizualizaci, pro abstrakci pro rozpoznání statistických veličin Pozn: při nesprávné volbě úlohy jsou výsledky trénování špatné Kritérium: výpočet vzdálenosti mezi vzory a aktuálními hodnotami, hledání extrémů minimální vzdálenost maximální výstupní hodnota
Kompetitivní učení ( Competitive learning ) Zákon kompetice, soutěžní učení sekvence vzorků : x = x ( t ) R n t čas množina referenčních vektorů: Pozn.: referenční vektory bývají značeny také jako m i w i ( t ) : w i w i ( 0 ) R n, i = 1, 2,, k inicializace lokální propojení, signál je šířen také k sousedním neuronům, každý vstupní vektor vzorů je v každém časovém okamžiku porovnáván s každým vektorem W j Míra porovnání : vzdálenost d (X, W j ) Index j = c je index nejbližšího referenčního vektoru. Pak vzdálenost d (X, W c ) je minimum všech vzdáleností. Vektor W c se nazývá vítěz v soutěži (kompetici) (winner, centroid)
Míru naučenosti určujeme pomocí vzdálenosti resp. blízkosti reprezentace vzorů. Nejčastěji používané vzdálenosti: Euklidovská - pro pravoúhlý souřadnicový systém d E ( x, y) ( x 1 y 1 ) 2 ( x n y n ) 2 d E ( x, y) n i 1 ( x i y i ) 2 Hammingova pro binární vektory ( 0, 1 ) Určuje jaké množství elementů dvou vektorů je různé. Lze ji použít na porovnání jakýchkoliv množin z diskrétních hodnot Minkowskiho zobecnění Euklidovské vzdálenosti n 1/ d (, ) M x y x i y i i1 Elementy vektorů jsou buď binární hodnoty (0, 1) nebo písmena abecedy. x = (1, 0, 1, 1, 1, 0) u = (p, a, t, t, e, r, n) y = (1, 1, 0, 1, 0, 1) w = (w, e, s, t, e, r, n) d H (x,y) = 4 d H (x,y) = 3
Reprezentace dat spatially temporally Hodnoty signálu sousedící v prostoru nebo v čase jsou představovány vzorky (patterns) uspořádaná množina reálných čísel - vektor Elementy vektoru X = (x 1, x 2,, x n ) představují souřadnice v prostoru n-té dimenze Koncepce deterministická nebo stochastická (přirozenější) Hodnoty vzorků jsou pravděpodobností (samples), mohou nabývat diskrétní nebo spojité hodnoty. Jde o funkci rozložení pravděpodobnosti Do dnešní doby bylo metodě SOM věnováno kolem 4000 článků, speciální workshopy a samostatné sekce na všech velkých konferencích
Kde je možné najít literaturu? Na Internetu : Kaski, S., Kangas, J., Kohonen, T.: Bibliography of selforganizing map (SOM) papers: 1981-1997. Neural Computing Surveys, 1(3&4):1-176, 1998 Knihy: Kohonen, T.: Self-Organizing Maps. Berlin Heidelberg, 3-rd ed. Springer Series in Information Sciences, Springer-Verlag, 2001, ISBN 3-540-67921-9 Software: http://www.cis.hut.fi/research/software.shtml SOM_PAK (UNIX) http://www.cis.hut.fi/software.shtml SOM Toolbox (Win NT) http://www.mbnet.fi/~phodju/nenet/nenet/general.html
Kohonenovo učení základní myšlenka prostorová reprezentace dat komprese dat transformace z n - rozměrného na m - rozměrný prostor n > m propojení mezi sousedními neurony model neuronu McCulloch-Pitts nepracuje se s aktivační funkcí, ale s funkcí okolí (neighborhood function) výpočet vzdáleností a jejich minimalizace
okolí váhy w- referenční vektory vstupní vektor x(t) předem zvolená topologie mapy a okolí často čtvercová nebo hexagonální způsob modifikace velikosti okolí centroid (winner) neuron patří do okolí neuron nepatří do okolí Kohonenův algoritmus učení ( Delta pravidlo) pp. Euklideovská metrika Obecně: mapa nejčastěji dvojdimenzionální (principielně neexistuje omezení v počtu dimenzí) volba okolí (neighbourhood ) s předem známou topologií
konvergence učení - závisí na mnoha parametrech inicializační hodnoty vstupních parametrů a vah (hodnotách referenčních vektorů), počet neuronů a způsob jejich organizace v mapě, tvar a velikost sousedního okolí i-tého neuronu, rychlost učení při učení nejsou jednotlivé neurony na sobě navzájem závislé, sdružují vektory s podobnými vlastnostmi je hledán vítězný neuron (winner) cíl: rozdělení vstupních dat na kategorie (třídy) - klasifikace shlukování (clustering) Shluk (cluster) je tvořen určitým počtem vstupních vektorů, které se sobě nejvíce podobají (mají nejvíce společných nebo velmi blízkých vlastností.
Je to oblast v N-dimenzionálním prostoru (data jsou popsána N vlastnostmi features) s relativně vysokou hustotou bodů a je oddělena od ostatních oblastí s relativně nízkou hustotou bodů. Důležité: - rozmístění v mapě - počet dominantních vlastností v rámci jednoho tréninkového procesu - posun ve vstupních datech a přeřazení některé vlastnosti do jiné skupiny při opakování procesu. Problém: počet shluků Možný počet rozdělení P vzorků do K tříd: K P / K! jen pro malý počet vzorů Určení míry podobnosti (similarity measure) resp. míry neshody Nejčastěji vzdálenost
vítězný neuron: d(x, W c ) = min i [d(x, W i )] d j (X, W) = X = [x 1, x 2,,x N ], W i = [w i1, w i2,,w in ] n 2 ( X j Wi), j=1,,n i1 Poloměr okolí N c je funkcí času, s rostoucím časem se zmenšuje Proces končí pro N c = c Okolí je totožné s vítězným neuronem Kohonenův algoritmus přejde na jednoduché kompetiční učení. Vektory blízké neuronu c patří do jeho okolí, jejich váhy jsou adaptovány v souhlase s algoritmem učení. Tvoří jednotlivé shluky. Váhy neuronů ležících vně okolí Nc se nemění.
Do okolí (neighbourhood) se klasifikují všechny vstupní vektory nejvíce se podobající vítězi. Vždy klasifikační úloha. Topologie mapy (kompetitivní vrstvy) i okolí budoucího vítěze jsou předem zvolené. Příklady topologií Kohonenovy mapy a okolí vítězného neuronu. Váhové vektory v KSOM: a) rozložení při inicializaci b) po 20-ti iteracích c) po 40-ti iteracích d) po 100 iteracích
Vektory vah během trénování, 1-D mapa Reprezentace 3-D funkce rozložení pomocí 2-D mapy