Metody analýzy dat I. Míry a metriky - pokračování
|
|
- Milena Beránková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Metody analýzy dat I Míry a metriky - pokračování
2 Literatura Newman, M. (2010). Networks: an introduction. Oxford University Press. [ ] Zaki, M. J., Meira Jr, W. (2014). Data Mining and Analysis: Fundamental Concepts and Algorithms. Cambridge University Press. [97-102] csci5352_2017_l1.pdf csci5352_2017_l2.pdf Albert-László Barabási. Network Science kapitola 2
3 Reciprocity Má smysl se zabývat také jinými cykly než trojúhelníky V orient. grafu se často měří výskyt orient. cyklu délky 2 reciprocity Nebo lokální reciprocita Dvojice takových hran se také nazývá co-links (zejména v kontextu webu) r i = 1 d i j A ij A ji
4 Similarity Similarity (podobnost) Structural equivalence dva vrcholy jsou SE, jestliže sdílejí mnoho ze svých sousedů Regular equivalence dva vrcholy jsou RE jestliže jejich sousedé jsou si sobě podobní (themselves similar) Nejjednodušší SE počet společných sousedů n = A A ij Moc toho ale nevypovídá k ik kj
5 Cosine similarity Pro neorient. graf V geometrii skalární součin dvou vektorů x, y: x*y= x * y *cos θ cos θ = x*y/ x * y σ = cosθ = ij k A k Protože v matici sousednosti jsou jen 0 nebo 1, A ij2 =A ij pro i,j, pak A 2 kde d i je stupeň vrcholu i ik = Aik = di k σ ij = k k A d ik i d A j 2 ik kj A ik = A k kj A 2 jk n d ij i d j
6 Cosine similarity Příklad obr σ ij = n d ij i d j = = Další metrika pro SE - Pearson coefficients 6
7 Tranzitivita - shlukovací koeficient
8 Tranzitivita - shlukovací koeficient Shlukovací koeficient C měří hustotu trojúhelníků (lokálních shluků) v grafu, tj. existence trojúhelníků, resp. existence hrany sousedsoused daného vrcholu Různé způsoby měření: C (1) = 3*number of triangles in the network number of connected triplesof vertices
9 Příklad C (1) = = Jeden trojúhelník a osm spojených trojic vrcholů
10 Shlukovací koeficient Shlukovací koef. pro vrchol i triangles centered at node i C i = triples centered at node i C (2) = 1 n i C i Průměr podílů, pro vrcholy se stupněm 0, 1 je C i = 0
11 Příklad C (2) = ( ) = C (1) = 3 8 Lokální koeficienty vrcholů jsou 1,1,1/6,0,0. Tyto dva koeficienty C (1), C (2) dávají různé výsledky. C (2) roste s počtem vrcholů s nízkým stupněm.
12 Shlukovací koeficient S.k. může být definován také jako C i = number of pairs of neighbors of i that are connected number of pairs of neighbors of i Trojúhelníková mřížka: d(d-1)/2= (6*5)/2=15, 6/15=0.4=C (pro každý vrchol) Čtvercová mřížka má C=0
13 Shlukovací koeficient ještě jinak Podgraf trojúhelníkové mřížky indukovaný vrcholem i (s centrem ve vrcholu) i: 2*6/6*5= =12/30=0.4=C i
14 Souvislost
15 Souvislost Souvislost lze určit kterýmkoliv algoritmem na principu procházení grafem (Floyd,...)
16 Stupně (neor. graf) Z matice sousednosti A určíme stupeň vrcholu jako Počet hran v grafu m Průměrný stupeň µ d =< d >= di = n i= 1 n Posloupnost stupňů [d 1, d 2,, d n ] Distribuce stupňů pravděpodobnost P(d) = 1 2 n d i i= 1 1 n 2m d P(d)
17 Hustota Velikost sítě sítě jsou zpravidla velké, tj. počet vrcholů je velký Hustota sítě sítě jsou zpravidla řídké Řídký vs. hustý graf (síť) Rozlišení je často vágní, liší se podle kontextu Nejčastěji Řídký graf - n km, m = O(n) Hustý graf m = Θ(n 2 ) Hustota (density) H: průměrný stupeň pro neorientovaný graf je <d> = 2m/n po vydělení největším stupněm (n-1) 2m/n*(n-1) H = m / 0.5*n*(n-1), H <0,1>
18 Vzdálenost v grafu Mějme např. pravidelnou mřížku (v 2D prostoru) - vzdálenost daná metrikou Eukleidovská metrika Metrika Manhattan O sítích obecně ale zpravidla neuvažujeme v kontextu souřadnic reálného prostoru. Reálné sítě potvrzuji tzv. fenomén malého světa malá průměrná vzdálenost L L log n
19 Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Rozsáhlé struktury a vlastnosti sítí (Large-scale Structures and Properties of Networks)
20 Základní (strukturální) vlastnosti sítí Mnoho reálných sítí vykazuje určité společné rysy, bez ohledu na to z jak diametrálně odlišných oblastí, jako jsou sociální sítě, telekomunikačních sítě atp., pocházejí. Jednoduchá měření struktury sítě jsou základem téměř každé síťové analýzy či modelování sítí. Tj. pro danou síť existuje mnoho vlastností jejichž analýzou (měřením) můžeme charakterizovat její strukturu.
21 Základní (strukturální) vlastnosti sítí Stupně vrcholů a jejich distribuce rozsáhlé reálné sítě mají tu vlastnost, že mnoho uzlů má malý počet sousedů (malý stupeň), ale některé mají velmi vysoký počet sousedů (vysoký stupeň) distribuce stupňů odpovídá tzv. mocninnému rozdělení - power-law degree distribution. Vzdálenosti - průměr (diameter) - mnoho rozsáhlých reálných sítí má malý průměr - small-world phenomenon Existence shluků - je-li uzel a spojen s uzlem b, a je-li zároveň uzel b spojen s uzlem c, je pravděpodobné, že uzel c bude spojen také s uzlem a. Mnoho rozsáhlých reálných sítí má vysoký clustering coefficient (shlukovací koeficient). Souvislost sítě jsou zpravidla nesouvislé a v mnoha sítích existuje jedna velká komponenta (giant component) s řádově O(n) vrcholy.
22 Distribuce stupňů Lokální vlastnosti počet sousedů Mřížka všechny vrcholy jsou stejného stupně (<d>=dim(dim+1) pro trojúhelníkovou a <d> =2dim pro čtvercovou mřížku, kde dim je dimenze prostoru) Teorie grafů stupeň vrcholu d, průměrný stupeň <d>=2m/n (pro řídký graf je <d> jednotkového řádu, nebo <d> roste tak rychle jako roste n), obecně ale různé stupně Karate club:
23
24 Distribuce stupňů U náhodného grafu je distribuce stupňů binomická Průměrně máme m=p*n*(n-1) /2 hran, průměrný stupeň je <d>=p(n-1) Pro velká n aproximujeme Poissonovým rozdělením, konec (tail) padá trochu rychleji, tj. v podstatě neexistují vrcholy se stupněm větším než d max, kde počet vrcholů s d=d max je 1 N = 10^6,<d>=4, Random Graph d
25 Poissonovo rozdělení Binomické x Poissonovo rozdělení
26 Bezškálové grafy Potřebujeme ale model, kde distribuce stupňů bude mít dlouhý konec, odrážející existenci center v reálných sítích N = 10^6,<d>=4, Random Graph & Scale/free log (d)
27 Bezškálové grafy lineární měřítko log-log měřítko Mocninné rozdělení p(d) d -α, d je stupeň vrcholu Velmi šikmé (asymetrie) Přímka v logaritmickém měřítku
Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Míry a metriky (Measures and Metrics) - - pokračování
Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Míry a metriky (Measures and Metrics) - - pokračování Literatura Newman, M. (2010). Networks: an introduction. Oxford University Press. [168-193] Zaki, M. J., Meira
VíceMetody analýzy dat I (Data Analysis I) Rozsáhlé struktury a vlastnosti sítí (Large-scale Structures and Properties of Networks) - pokračování
Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Rozsáhlé struktury a vlastnosti sítí (Large-scale Structures and Properties of Networks) - pokračování Základní (strukturální) vlastnosti sítí Stupně vrcholů a jejich
VíceMetody analýzy dat I (Data Analysis I) Strukturální vlastnosti sítí 1. krok analýzy
Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Strukturální vlastnosti sítí 1. krok analýzy Literatura Newman, M. (2010). Networks: an introduction. Oxford University Press. [235-270] Zaki, M. J., Meira Jr, W.
VíceMetody analýzy dat I (Data Analysis I) Úvod do sítí (Networks Basics)
Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Úvod do sítí (Networks Basics) Literatura Albert-László Barabási. Network Science http://barabasi.com/networksciencebook/ kapitoly 1 a 2 http://tuvalu.santafe.edu/~aaronc/courses/5352/csci5352_
VíceMetody analýzy dat I (Data Analysis I) Úvod do sítí (Networks Basics)
Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Úvod do sítí (Networks Basics) Literatura Newman, M. (2010). Networks: An Introduction. Oxford University Press. [15-77] Leskovec, J., Rajaraman, A., Ullman, J. D.
VíceMetody analýzy dat II
Metody analýzy dat II Detekce komunit MADII 2018/19 1 Zachary s club, Collaboration network in Santa Fe Institute, Lusseau s network of Bottlenose Dolphins 2 Web Pages, Overlaping communities of word associations
VíceMetody analýzy dat I (Data Analysis I) Úvod do sítí (Networks Basics)
Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Úvod do sítí (Networks Basics) Literatura Newman, M. (2010). Networks: An Introduction. Oxford University Press. [15-77] Leskovec, J., Rajaraman, A., Ullman, J. D.
VíceMetody analýzy dat I (Data Analysis I) Modely pokračování Model malého světa
Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Modely pokračování Model malého světa Literatura Zaki, M. J., Meira Jr, W. (2014). Data Mining and Analysis: Fundamental Concepts and Algorithms. Cambridge University
VícePROSTOROVÉ ANALÝZY DAT
PROSTOROVÉ ANALÝZY DAT doc. Dr. Ing. Jiří Horák VŠB-TU Ostrava, HGF, Institut geoinformatiky, 2018 7.vydání část C linie, grafy a sítě 1 Obsah: 1 Linie... 4 1.1 Analýza interakčních dat... 4 1.1.1 Prostorové
VíceMetody analýzy dat I (Data Analysis I) Modely - pokračování
Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Modely - pokračování Literatura Zaki, M. J., Meira Jr, W. (2014). Data Mining and Analysis: Fundamental Concepts and Algorithms. Cambridge University Press. [112-133]
VíceMADI. Model bezškálového grafu (Scale-free graphs) - pokračování
MADI Model bezškálového grafu (Scale-free graphs) - pokračování Předchozí modely Mřížka pravidelný stupeň, velký shlukovací koeficient C, velká průměrná vzdálenost L Náhodné grafy všechny hrany stejně
VíceÚvod do teorie grafů
Úvod do teorie grafů Neorientovaný graf G = (V,E,I) V množina uzlů (vrcholů) - vertices E množina hran - edges I incidence incidence je zobrazení, buď: funkce: I: E V x V relace: I E V V incidence přiřadí
VíceAVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace Shluková analýza
AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace Shluková analýza Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Shluková analýza Cílem shlukové analýzy je nalézt v datech podmnožiny
VíceZákladní pojmy teorie grafů [Graph theory]
Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme
VíceObsah prezentace. Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest
Obsah prezentace Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest 1 Základní pojmy Vrchol grafu: {množina V} Je to styčná vazba v grafu, nazývá se též uzlem, prvkem
VíceKapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů
Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
VíceAlgoritmy pro shlukování prostorových dat
Algoritmy pro shlukování prostorových dat Marta Žambochová Katedra matematiky a informatiky Fakulta sociálně ekonomická Univerzita J. E. Purkyně v Ústí nad Labem ROBUST 21. 26. leden 2018 Rybník - Hostouň
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................
Vícez Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin
Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme
VíceJan Březina. 7. března 2017
TGH03 - stromy, ukládání grafů Jan Březina Technical University of Liberec 7. března 2017 Kružnice - C n V = {1, 2,..., n} E = {{1, 2}, {2, 3},..., {i, i + 1},..., {n 1, n}, {n, 1}} Cesta - P n V = {1,
VíceGrafové algoritmy. Programovací techniky
Grafové algoritmy Programovací techniky Grafy Úvod - Terminologie Graf je datová struktura, skládá se z množiny vrcholů V a množiny hran mezi vrcholy E Počet vrcholů a hran musí být konečný a nesmí být
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceZáklady informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová
Základy informatiky Teorie grafů Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Obsah přednášky Barvení mapy Teorie grafů Definice Uzly a hrany Typy grafů Cesty, cykly, souvislost grafů Barvení mapy
VíceVoronoiův diagram. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
12 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info Definice V( P) nad množinou bodů P { p v rovině 1,
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceCvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
VíceKostry. 9. týden. Grafy. Marie Demlová (úpravy Matěj Dostál) 16. dubna 2019
Grafy 16. dubna 2019 Tvrzení. Je dán graf G, pak následující je ekvivalentní. 1 G je strom. 2 Graf G nemá kružnice a přidáme-li ke grafu libovolnou hranu, uzavřeme přesně jednu kružnici. 3 Graf G je souvislý
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 207 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceZdůvodněte, proč funkce n lg(n) roste alespoň stejně rychle nebo rychleji než než funkce lg(n!). Symbolem lg značíme logaritmus o základu 2.
1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n log(n) 1 n 1/ roste rychleji než funkce g(n) = n. Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n 3/ log(n) roste
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceModely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT
PEF ČZU Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT Okruhy SZB č. 5 Zdroje: Demel, J., Operační výzkum Jablonský J., Operační výzkum Šubrt, T., Langrová, P., Projektové řízení I. a různá internetová
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceKapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
VícePříklady z Kombinatoriky a grafů I - LS 2015/2016
Příklady z Kombinatoriky a grafů I - LS 2015/2016 zadáno 1.-4. 3. 2016, odevzdat do 8.-11. 3. 2016 1. Zjistěte, které z následujících funkcí definovaných pro n N jsou v relaci Θ(), a vzniklé třídy co nejlépe
VíceDeterminanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky
VíceGolayův kód 23,12,7 -kód G 23. rozšířený Golayův kód 24,12,8 -kód G 24. ternární Golayův kód 11,6,5 -kód G 11
Golayův kód 23,12,7 -kód G 23 rozšířený Golayův kód 24,12,8 -kód G 24 kód G 23 jako propíchnutí kódu G 24 ternární Golayův kód 11,6,5 -kód G 11 rozšířený ternární Golayův kód 12,6,6 -kód G 12 dekódování
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
VíceAlgoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem
1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval
VíceGrafové algoritmy. Programovací techniky
Grafové algoritmy Programovací techniky Grafy Úvod - Terminologie Graf je datová struktura, skládá se z množiny vrcholů V a množiny hran mezi vrcholy E Počet vrcholů a hran musí být konečný a nesmí být
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceGrafy. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta.
6 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info množina vrcholů a množina hran hrana vždy spojuje
VíceTGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 28. února 2017 Metainformace materiály: jan.brezina.matfyz.cz/vyuka/tgh (./materialy/crls8.pdf - Introduction to algorithms)
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceDetekce kartografického zobrazení z množiny
Detekce kartografického zobrazení z množiny bodů Tomáš Bayer Katedra aplikované geoinformatiky Albertov 6, Praha 2 bayertom@natur.cuni.cz Abstrakt. Detekce kartografického zobrazení z množiny bodů o známých
VíceRastrová reprezentace
Rastrová reprezentace Zaměřuje se na lokalitu jako na celek Používá se pro reprezentaci jevů, které plošně pokrývají celou oblast, případně se i spojitě mění. Používá se i pro rasterizované vektorové vrstvy,
Více1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA
N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Více4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
VíceMetody analýzy dat II
Metody analýzy dat II Vzorkování (Sampling) MAD2 2018/19 1 Literatura http://tuvalu.santafe.edu/~aaronc/courses/53 52/csci5352 2017 L9.pdf https://cs.stanford.edu/~jure/pubs/samplingkdd06.pdf https://www.cs.purdue.edu/homes/neville/co
VíceTGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 5. března 2013 Počátek teorie grafů Leonard Euler (1707 1783) 1735 pobyt v Královci (Prusko), dnes Kaliningrad (Rusko) Úloha:
VíceFP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
VíceZpracování digitalizovaného obrazu (ZDO) - Popisy III
Zpracování digitalizovaného obrazu (ZDO) - Popisy III Statistické popisy tvaru a vzhledu Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Zpracování
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceAlgoritmus pro hledání vlastních čísel kvaternionových matic
Úvod Algoritmus pro hledání vlastních čísel kvaternionových matic Bc. Martin Veselý Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Katedra softwarového inženýrství v ekonomii Skupina aplikované matematiky a stochastiky
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceGRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 206 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceFOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth
FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického
VíceTeorie náhodných matic aneb tak trochu jiná statistika
Teorie náhodných matic aneb tak trochu jiná statistika B. Vlková 1, M.Berg 2, B. Martínek 3, O. Švec 4, M. Neumann 5 Gymnázium Uničov 1, Gymnázium Václava Hraběte Hořovice 2, Mendelovo gymnázium Opava
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VíceStatistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
VíceTeorie grafů BR Solutions - Orličky Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
Teorie grafů Petr Hanuš (Píta) BR Solutions - Orličky 2010 23.2. 27.2.2010 Píta (Orličky 2010) Teorie grafů 23.2. 27.2.2010 1 / 66 Pojem grafu Graf je abstraktní pojem matematiky a informatiky užitečný
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
VíceSBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU
SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,
VíceTGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Počátek teorie grafů Leonard Euler (1707 1783) 1735 pobyt v Královci (Prusko), dnes Kaliningrad (Rusko)
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
VíceApriorní rozdělení. Jan Kracík.
Apriorní rozdělení Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Apriorní rozdělení Apriorní rozdělení (spolu s modelem) reprezentuje informaci o neznámém parametru θ, která je dostupná předem, tj. bez informace z dat.
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 9. přednáška: Ortogonalita Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceHisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
VíceVícerozměrné statistické metody
Vícerozměrné statistické metody Vícerozměrné statistické rozdělení a testy, operace s vektory a maticemi Jiří Jarkovský, Simona Littnerová FSTA: Pokročilé statistické metody Vícerozměrné statistické rozdělení
VíceTEORIE GRAFŮ TEORIE GRAFŮ 1
TEORIE GRAFŮ 1 TEORIE GRAFŮ Přednášející: RNDr. Jiří Taufer, CSc. Fakulta dopravní ČVUT v Praze, letní semestr 1998/99 Zpracoval: Radim Perkner, tamtéž, v květnu 1999 ZÁKLADNÍ POJMY Říkáme, že je dán prostý
VíceVzdálenost uzlů v neorientovaném grafu
Vzdálenosti a grafy Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu Je dán neorientovaný neohodnocený graf G = (V,E,I) vzdálenost uzlů u a v v neorientovaném souvislém grafu G je délka nejkratší cesty spojující
VíceSTROMY. v 7 v 8. v 5. v 2. v 3. Základní pojmy. Řešené příklady 1. příklad. Stromy
STROMY Základní pojmy Strom T je souvislý graf, který neobsahuje jako podgraf kružnici. Strom dále budeme značit T = (V, X). Pro graf, který je stromem platí q = n -, kde q = X a n = V. Pro T mezi každou
VíceKapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceTransformace obrazu Josef Pelikán KSVI MFF UK Praha
Transformace obrazu 99725 Josef Pelikán KSVI MFF UK Praha email: Josef.Pelikan@mff.cuni.cz WWW: http://cgg.ms.mff.cuni.cz/~pepca/ Transformace 2D obrazu dekorelace dat potlačení závislosti jednotlivých
Více3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY
3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky
VíceRovnice přímky v prostoru
Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé
VíceV tomto předmětu se využívá stejných výchovných a vzdělávacích strategií jako v předmětu Matematika. Gymnázium Pierra de Coubertina, Tábor
Název ŠVP Motivační název Datum 15.6.2009 Název RVP Verze 01 Dosažené vzdělání Střední vzdělání s maturitní zkouškou Platnost od 1.9.2009 Forma vzdělávání Koordinátor Délka studia v letech: denní forma
VíceSoučin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
Více