Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu ýuky obecné fyziky MFF UK Praktikum I Mechanika a molekuloá fyzika Úloha č. XXI Náze: Měření tíhoého zrychlení Pracoal: Matyáš Řehák stud.sk.: 16 dne: 9.5.008 Odezdal dne:... Hodnocení: Připomínky: kapitola referátu možný počet bodů udělený počet bodů Teoretická část 0-3 Výsledky měření 0-9 7 Diskuse ýsledků 0-5 5 Záěr 0 - Seznam použité literatury 0-1 1 Celkem max. 0 17 Posuzoal:... dne:...
Praconí úkol 1) Změřte místní tíhoé zrychlení g metodou reerzního kyadla. ) Změřte místní tíhoé zrychlení g metodou matematického kyadla 3) Vypočítejte chybu, které se dopouštíte idealizací reálného kyadla rámci modelu kyadla matematického. Teorie Matematické a fyzické kyadlo Fyzické kyadlo je těleso kýající se kolem osy neprocházející jeho těžištěm. Pro dobu kmitu, periodu, platí ztah [1]: I 1 α T = π 1 + sin, (1) mgd 4 kde I je moment setračnosti kyadla zhledem k ose otáčení, m hmotnost kyadla, g tíhoé zrychlení, d zdálenost těžiště od osy otáčení, α maximální úhloá ýchylka těžiště z ronoážné polohy. Matematické kyadlo je hmotný bod hmotnosti m umístěný na konci nehmotného záěsu délky l, olně otáčiého kolem osy procházející druhým koncem záěsu. Moment setračnosti takoéhoto kyadla je: I M = ml. () Doba kmitu je z (1) a (): l 1 α T M = π 1 + sin, (3) g 4 pro elmi male ýchylky: jak malé? 1, 5, 10? l I TM = π, TF = π. (4) g mgd s jakou přesností? 1 %, 1, 0,1? Podmínky odození (4) jsou přibližně splněny pro těžkou kouli kýající se s malým rozkmitem na lehkém a peném lákně. Pak můžeme z (4) měřením periody kmitu určit místní tíhoé zrychlení: 4π l g =. (5) TM Je třeba určit chybu způsobenou idealizací reálného kyadla, proto yjádříme moment setračnosti kyadla zhledem k ose otáčení ze ztahů [1] jako:
1 I = I I m r ( L r h) m L k + = k + + + +. (6) 5 3 nezapočten li háčku kde I k je moment setračnosti koule a I moment setračnosti lákna, m k hmotnost koule, L délka lákna, r poloměr koule, h délka háčku a m hmotnost lákna. Za předpokladu malých ýchylek lze ze ztahů (4) a (6) určit tíhoé zrychlení jako: 4π m g = k 1 r + ( L + r + h) + m 5 3 T ( m + m )( L + r + h) F k L. není obecně těžištěm soustay, pouze za předpokladu m << m k Reerzní kyadlo (7) Kýá-li se fyzické kyadlo se stejnou periodou kolem dou ronoběžných os, které nejsou symetricky položeny zhledem k těžišti, je zdálenost mezi osami nazýána redukoanou délkou fyzického kyadla l r [1]. Pro dobu kmitu fyzického kyadla pak platí: T F lr = π, (8) g Tedy tíhoé zrychlení je: 4π lr g =. (9) T V našem experimentu je reerzním kyadlem tyč s dlouhým záažím na jednom konci. Tím je dosaženo nesymetrie těžiště zhledem k osám. Na tyči jsou da břity e zájemné zdálenosti D, kolem kterých se může kyadlo kýat. Posouáním záaží lze upraoat polohu těžiště tak, aby perioda kmitů byla pro oba břity shodná, poté platí: D = l r. Pomůcky Reerzní kyadlo, stojan, záěs, milimetroý papír, kulička (záaží), praítko, posuné měřidlo, pásmoé měřidlo, analytické áhy, čítač G-001.500. Postup Matematické kyadlo 1) Posuným měřidlem změříme průměr koule a délku háčku, pásmoým měřidlem délku záěsu. Zážíme kouli a lákno. ) Kouli připeníme k láknu a poěsíme na stojan. 3) Kyadlo mírně ychýlíme z ronoážné polohy a aktiujeme čítač. 4) Po uplynutí 10 kmitů čítač deaktiujeme.
Reerzní kyadlo 1) Změříme dobu kmitu okolo obou břitů pro dě různé polohy záaží ) Metodou grafické interpolace popsané [1] určíme polohu záaží, pro kterou je perioda kmitů pro obě polohy stejná. 3) Po upraení polohy záaží opět změříme dobu kmitu okolo obou břitů. 4) Pokud se perioda neshoduje, opakujeme 3) 5) Jakmile se periody shodují s dostatečnou přesností, změříme několikrát dobu 10 kmitů kyadla Výsledky měření Matematické kyadlo Délka lákna L byla určena jako (100,1 ± 0,1) cm Tab.1: Perioda matematického kyadla, kulička T 10 [s] T [s] D [mm] h [mm] 1 0,65,065 3,64 8,56 0,59,059 3,4 8,76 3 0,655,0655 3,68 8,64 4 0,664,0664 3, 8,7 5 0,665,0665 3,08 8,7 6 0,558,0558 3,44 7 0,634,0634 3,0 8 0,65,065 3,54 9 0,568,0568 3,50 10 0,64,064 3, Průměr,063 3,4 8,7 Odchylka 0,0004 0, 0,1 T 10 doba deseti kmitů kyadla T perioda kyadla d průměr kuličky h ýška háčku T = (,063 ± 0,0004) s Tíhoé zrychlení je určeno dle ztahu (5) jako (9,8 ± 0,01) m.s -. l = L + r + h =?
Reerzní kyadlo Vzdálenost mezi břity D byla stanoena jako (99,4 ± 0,1) cm Tab. : Perioda reerzního kyadla x [mm] Nahoře T 10 [s] Dole T 10 [s] T [s] 0 0,530 0,550 0,5304 0,115 0,14 0,1190 46,10 18,5070 18,5061 18,5094 19,7554 19,756 19,7534 10,40 0,0157 0,0141 0,014 0,0331 0,0406 0,0401 1,50 19,9018 19,8987 19,9105 0,0116 0,0185 0,0181 9,30 0,0587 0,0575 0,0597 0,031 0,0349 0,036 9,80 0,0371 0,034 0,0371 0,049 0,0415 0,045 9,60 0,0496 0,0494 0,048 0,043 0,0446 0,0438 Průměr 0,0491 0,0439,0046 Odchylka 0,0003 x zdálenost matice záaží od konce tyče (jen pro ilustraci), prní 3 dojice zdáleností byly použity pro grafickou interpolaci dle [1] T 10 doba deseti kmitů Nahoře/Dole poloha záaží souisející s tím, na kterém břitu bylo kyadlo zaěšeno T perioda kmitů kyadla Tíhoé zrychlení je určeno dle ztahu (9) jako (9,77 ± 0,01) m.s -. Chyba matematického kyadla Hmotnost koule je (55,487 ± 0,000) g a hmotnost lákna (19,0 ± 0,) mg. Ze ztahu (7) bylo spočteno tíhoé zrychlení jako (9,80 ± 0,01) m.s -. Tedy chyba idealizace reálného kyadla je přibližně 0, %. nezapočten li háčku Diskuse Hodnoty tíhoého zrychlení byly e šech případech určeny s elmi malou chybou, což je způsobeno elmi přesnými měřícími přístroji, zejména čítačem a analytickými ahami. Poronáním s tabulkoou hodnotou tíhoého zrychlení pro Prahu [], 9,810769 m.s -, je zřejmé, že měření metodou matematického kyadla (i případě korekce na kyadlo fyzické) bylo rámci chyby přesné. V případě metody reerzního kyadla tomu tak nebylo, leč naměřená hodnota se tabulkoé elmi blíží. U metody matematického resp. fyzického kyadla mohou být případné chyby způsobeny nepřesným měřením délky záěsu, který je možno měřit pouze nepřesným pásoý měřidlem, dále je možný li tření místě záěsu a odpor zduchu. Zřejmě jsou šak tyto zdroje chyb pro naši přesnost měření zanedbatelné. Mohlo se také projeit zjednodušení ztahu (1) resp. (3) na ztah (4). Jelikož šak ýchylka kyadla byla kolem 3 cm, což odpoídá úhloé ýchylce méně než, toto zjednodušení se na udaném počtu desetinných míst neprojeí. U metody reerzního kyadla byla jistá chyba způsobena nepřesným určením spráné polohy záaží a roněž určením zdálenosti mezi břity. Na toto kyadlo měl také praděpodobně ýraznější li odpor zduchu. Úhloá ýchylka byla u tohoto měření ještě nižší než u předchozího. li tření záěsu?
Záěr Metodou reerzního kyadla jsem změřil tíhoé zrychlení (9,77 ± 0,01) m.s -. Metodou matematického kyadla (9,8 ± 0,01) m.s -. Použitím modelu matematického kyadla jsem se dopustil chyby přibližně 0, %.? Literatura [1] D. Slaínská, I. Stulíkoá, P. Ostrý: Fyzikální praktikum I., SPN, Praha 1989 [] J. Brož, V. Roskoec, M. Valouch: Fyzikální a matematické tabulky, SNTL, Praha 1980