2. Paradoxy reference

2. Paradoxy reference V analytické filozofii jazyka, která se zabývá singulárními termíny, se všeobecně uplatňuje pojem reference, který nelze charakterizovat jinak, než jako naivní. Naivní v tom smyslu, v jakém bývá charakterizován pojem pravdivosti, podle něhož je věta pravdivá prostě proto, že je pravdivé to, co tato věta říká. Jak známo, naivní pojem pravdivosti vět je zatížen neúprosnou daní lhářského paradoxu. Systém explikace, který inkorporuje naivní pojem pravdivosti, je tudíž naprosto neadekvátní. Neadekvátní proto, že lhářský paradox produkuje kontradikci, čímž pádem v systému explikace generuje i spousty dalších kontradikcí (pokud tento systém respektuje klasické logické principy; nemálo soudobých řešení se jednoduše s klasickými principy dramaticky rozešlo). Avšak lhářský paradox není jediný sémantický paradox. Právě naivní pojem reference produkuje mnoho z nich. Tato kapitola podává naše řešení sémantických paradoxů, kterým se často říká paradoxy denotace (některé z nich bývají nazývány paradoxy definovatelnosti), ovšem v naší terminologii jde o paradoxy reference. Ze známých paradoxů k těmto paradoxům patří např. Berryho paradox, z novějších pak paradoxy vyvíjené Keithem Simmonsem. Zvláštní je, že řešitelé sémantických paradoxů se paradoxům denotace-reference velmi často zcela vyhýbají a radši se věnují pouze řešení lhářských paradoxů. V zadání všech těchto paradoxů se vyskytují dvě prominentní složky. Předně je to deskripce, která má na něco referovat (na výraz, na pravdivostní hodnotu apod.), a dále sémantický termín ( pravdivý, denotovat, referovat, apod.) v této deskripci obsažený. Při naivním (a hlavně neadekvátním) pojímání onoho sémantického termínu ona deskripce na něco referuje, což ale plodí paradox, protiřečí to nějakým naším předpokladům. Podle poměrně ustálené a přijímané definice paradoxu je paradoxem odvození, jehož zdá se, že správně odvozený závěr protiřečí rozumně akceptovatelným předpokladům, přičemž tyto předpoklady mohou být i součástí našeho obecnějšího přesvědčení a tedy v zadání paradoxu skryté. Za řešení paradoxu bývá považováno právě dobře odůvodněné odmítnutí (diskreditace) některé z (případně skrytých) premis, které jsou nezřídka vyjádřením nějaké naší intuice anebo jsou součástí (či důsledkem) jisté teorie, vůči níž je paradox uplatňován. Námi navrhované řešení v zásadě spočívá v uplatnění kritického přístupu k sémantickým termínům. Pak totiž zjistíme, že příslušná deskripce nemá onen problémový referent. Referent může mít až v jazyce-kódu, který je uplatněn při komentování záležitostí podaných v zadání paradoxu. Takže ony paradoxy jsou vlastně zmateními dvou rovin. V našem výkladu je předpokládána znalost kapitoly Rozvětvená teorie typů a zejména explikace podané v kapitole Jazyk a vybrané sémantické pojmy. Při-

2. Paradoxy reference 233 pomeneme aspoň hlavní myšlenky. Kódovací prostředky jazyka (češtiny) jsou modelovány rodinou kódů. Zhruba řečeno, kód je funkcí z výrazů do významů. Výrazy jsou pojímány jako gödelovská čísla (ta jsou značena pomocí g(výraz) ) a významy jsou modelovány konstrukcemi určitého řádu k (náleží tedy do typu k ), tj. k-řádovými konstrukcemi. Součástí rodiny je např. k-řádový kód J k a však také J k+1 (atp. výše a výše). Tento J k+1 je jako J k ; ovšem výrazy, které nemohly mít v J k za význam k+1-řádové konstrukce (za význam neměly totiž vůbec nic), v tomto J k+1 už tyto k+1-řádové konstrukce za význam mají. K nejdůležitějším z takovýchto výrazů patří jméno samotného k-řádového kódu J k, tj. J k. V k+1-řádovém kódu J k+1 vyjadřuje J k k+1-řádovou konstrukci J k (tj. trivializaci J k ), která konstruuje onen k-řádový kód J k (bylo by přímým porušením principu funkcionálně-konstrukčního kruhu, kdyby ona konstrukce byla hodnotou onoho kódu J k ). Sémantické pojmy jsou vždy explikovány jakožto relativní k jazykukódu určitého řádu. Při adekvátní analýze sémantických termínů proto musí být tyto termíny desambiguovány. Např. obrat referent n je desambiguován na referent n v J k. V námi níže předkládaných dílčích řešeních se stále opakuje zjištění, že např. referent n v J k zákonitě nemůže mít (v souladu s principem kompozicionality významu) žádný význam v k-řádovém kódu J k. Neboť podvýraz tohoto výrazu, totiž J k, nemá význam v J k. Protože v J k postrádá význam, tak v J k postrádá deskripce referent n v J k rovněž denotát a také referent. Význam (resp. denotát, popř. referent) má tato deskripce až v J k+1. Právě tento k+1-řádový kód J k+1 nikoli J k sám je schopen komentovat sémantické rysy kódu J k. 1 LHÁŘSKÝ PARADOX Lhářský paradox je jistě nejznámějším sémantickým paradoxem; také je historicky nejstarším a bylo o něm nejvíce napsáno. Pozoruhodný je i množstvím variant, které klasifikujeme níže. Většina z těchto variant se dá reformulovat do podoby, v níž zjevně vystupuje sémantický pojem reference (přičemž referováno má být na jistou pravdivostní hodnotu) a referujícím výrazem má být celá věta (takže ta je vlastně také jistou deskripcí). Pro nás je zajímavá zvláště ta varianta, kdy lhářská věta odkazuje na sebe samu kontingentní náhodou (této variantě se někdy říká contingent Liar ), čímž je analogická mnoha paradoxům denotace. Abychom si dobře uvědomili techniku našeho řešení, rozebereme nejprve variantu lhářského paradoxu, v níž lhářská věta odkazuje na sebe sama přímo, nikoli pomocí deskripce v ní obsažené. Pro ilustraci paradoxu uvažme: 1 Text této kapitoly (i většina textu kapitoly Jazyk a vybrané sémantické pojmy) byl přejat z dosud nepublikované (avšak na internetu delší dobu dostupné) statě Explikace sémantických vztahů a řešení sémantických paradoxů z sepsané v květnu roku 2008. Obecně tato kapitola těží z poznatků, z nichž některé byly autorem publikovány v několika statích o sémantických paradoxech (odkazy na některé z nich jsou uvedeny níže). Zbylým sémantickým paradoxům se věnuje připravovaná kniha (Raclavský 2008c).

234 III. Reference jmen a deskripcí P: Věta P je nepravdivá. Při předpokladu, že věta P je pravdivá, by mělo být pravdivé, co P říká, tj. měla by být nepravdivá to ale předpokladu protiřečí. Předpokládáme-li, že P je nepravdivá, tak by mělo být nepravdivé, co P říká, tj. měla by být pravdivá to ale protiřečí předpokladu. Podobně dopadneme i u dalších variant, které klasifikujeme následovně: 2 autoreferenční nedeskripční varianta ( Věta P je nepravdivá ), autoreferenční deskripční varianta (v rámečku R: Věta v rámečku R je nepravdivá ), autoreferenční kvantifikační varianta (Xenie v místnosti č. 231: Vše, co Xenie vyslovuje v místnosti č. 231, je nepravdivé ), heteroreferenční nedeskripční varianta (věta V 1 : Věta V 2 je nepravdivá, věta V 2 : Věta V 1 je pravdivá ), heteroreferenční deskripční varianta (Jourdainův paradox: Následující věta je nepravdivá, Předchozí věta je pravdivá. ), heteroreferenční kvantifikační varianta (Platón říká: Vše, co řekl Sokrates, je pravdivé, Sokrates říká: Vše, co řekl Platón, je nepravdivé ), heteroreferenční kvantifikační deskripční varianta (Yablův paradox: Všechny následující věty jsou nepravdivé, Všechny následující věty jsou nepravdivé, atd.). Kromě lhářských vět existují ještě vlastní lháři: přímý Lhář (Eubulides říká: Eubulides lže ), deskripční Lhář (Xenie sama v místnosti č. 231 říká: Ten, kdo je v místnosti č. 231, lže ), kvantifikační Lhář (Kréťan Epimenides říká: Všichni Kréťané jsou lháři ). Všechny varianty s výjimkou vlastních lhářů mohou být naformulovány tak, aby se týkaly nikoli a) vět, ale b) větami vyjadřovaných konstrukcí, či c) větami denotovaných propozic; dají se uvažovat i podoby d) o referenci na pravdivostní hodnoty. V knize The Foundations of Frege s Logic (Tichý 1988) předložil Pavel Tichý rozbor klíčových lhářů, totiž větné podoby autoreferenční deskripční varianty a dále přímého lháře. Ve stati Lhářský paradox, význam a pravdivost (Raclavský 2009) byl předložen rozbor dalších větných podob (je samozřejmé, že s explikacemi sémantických vztahů nemáme potíže s žádnými podobami ad. a), b), c), či d)) a také obou silnějších lhářů (tzv. zesíleného lháře a mstivého lháře). Zde se omezíme jen na velmi stručné podání autoreferenční nedeskripční i deskripční varianty. Připomeňme si, že k-řádový kód je funkcí z výrazů do k-řádových konstrukcí (významů), tj. objekt typu ( k τ). Je zjevné, že jméno tohoto k-řádového kódu J k, tj. J k, nemůže být významuplné v kódu J k nemůže mít v něm coby význam J k, tedy konstrukci, která konstruuje tento kód J 1. Jinak by totiž byl porušen zcela oprávněný princip konstrukčně-funkcionálního kruhu. Díky kompozicionalitě významu je v kódu J k zákonitě významuprostý jakýkoli výraz obsahující (necitované) jméno J k. Pravdivost výrazů je odvislá od toho, co sdělují v určitém jazyce, takže věta je pravdivá v kódu J k jedině pokud vyjadřuje konstrukci konstruující pravdivou propozici. Věta významuprostá v kódu J k nemůže být v kódu J k pravdivá PT či nepravdivá PT ; může však být vyhodnocena jako nepravdivá T v J k. Desambiguovaná lhářská věta P obsahuje pravdivý v J k, tudíž není významuplná v kódu J k, je v něm významuprostá. To znamená, že P není pravdivá PT či nepravdivá PT v J k. Postihnuto jinak (takto to vyhodnocuje Tichý v Tichý 1988, 229), je nepravdivá T 2 Vycházíme z klasifikace podané např. v (Raclavský 2009).

2. Paradoxy reference 235 v J k. Paradox nevzniká, protože nejsme na základě údajné platnosti P nuceni k tvrzení, že by měla být vlastně nepravdivá, neplatná. To ovšem neznamená, že věta P, která se pokoušejí diskutovat J k (pro jakékoli k), je významuprázdná v jaksi absolutním smyslu. My přece P rozumíme, jistý význam tedy má. Jenže až v metajazyku k J k, totiž v k+1-řádovém kódu J k+1 (popř. vyšším). Pro zjednodušení úvah budeme níže uvažovat, že k=1. Významem desambiguované věty P, totiž: Věta P je nepravdivá v J 1. je v J 2 (analogicky ve vyšším) konstrukce (jde vlastně o dvě konstrukce lišící se vzájemně obsahováním PravdivýV PT1, popř. PravdivýV T1 ): λwλt [ [PravdivýV PT/T1 wt g(p) J 1 ]] Přičemž g(p) konstruuje gödelovské číslo věty P (tj. objekt typu τ), J 1 konstruuje k-řádový kód J 1, PravdivýV PT/T1 konstruuje buď a) parciální-totální, nebo b) totální vztah pravdivosti mezi výrazy-čísly a zde prvořádovými kódy (tj. objekt typu (οτ(* 1 τ)) τω ). To, kterou propozici tato konstrukce konstruuje, se odvíjí od významu P v J 1. Protože v J 1 není význam P žádný, naše druhořádová konstrukce konstruuje a) propozici nedefinovanou v daný možný svět w, časový okamžik t, b) propozici mající v daných w, t coby hodnotu pravdivostní hodnotu F. Jak si domyslíme, průběh obou propozic je konstantní, čili ona konstrukce konstruuje propozici a) nedefinovanou pro všechny světy a časy, b) mající pro všechny světy a časy přiřazenu pravdivostní hodnotu F. Samozřejmě, že nyní můžeme uvažovat prostředky metajazyka k J 2, tj. prostřednictvím třetiřádového kódu J 3, o tom, zda je P pravdivá v J 2. Významem třetiřádové věty P jak budeme za účelem desambiguace říkat je konstrukce: λwλt [ [PravdivýV PT/T2 wt g(p) J 2 ]] Desambiguovaná třetiřádová P je tedy: Věta P není pravdivá v J 2. Pomocí této věty se zamýšlíme nad druhořádovou P mající coby význam konstrukci uváděnou výše. To, kterou propozici konstruuje naše třetiřádová konstrukce, se odvíjí od pravdivosti té druhořádové konstrukce. Viděli jsme už, že ta je konstrukcí a) propozice nedefinované pro všechny světy a časy, b) mající pro všechny světy a časy pravdivostní hodnotu F. V následku tohoto je druhořádová konstrukce λwλt [ [PravdivýV PT/T2 wt g(p) J 2 ]] konstrukcí a) ve všech světech a časech nepravdivé πt propozice, b) zrovna tak, neboli třetiřádová P je nepravdivá. Uvědomme si, že si nesmíme plést tuto třetiřádovou P s druhořádovou P a prohlašovat, že P čistě o sobě říká, že je nepravdivá. Je tomu pouze a právě tak, že třetiřádová P o té druhořádové P říká, že je nepravdivá. (Analogicky pro vyšší řády.)

236 III. Reference jmen a deskripcí Povšimněme si, že zcela analogická vyhodnocení platí pro: PP: Věta PP je pravdivá v J 1. Věta PP nemá význam v J 1, tedy není pravdivá PT či nepravdivá PT v J 1, je nepravdivá T. PP má v J 2 či vyšším jako význam konstrukci: λwλt [PravdivýV PT/T1 wt g(p) J 1 ] a ta konstruuje a) propozici všude nedefinovanou, b) vždy přiřazující F. Třetiřádová PP hovořící o druhořádové PP je v důsledku toho nepravdivá. DESKRIPČNÍ LHÁŘSKÝ PARADOX Nyní prostudujme autoreferenční nekvantifikační deskripční variantu lhářské věty. Mějme: D: Věta v rámečku R je nepravdivá v J 1. Věta jako D se používá ke komentování pravdivosti vět náhodně se vyskytujících v rámečku R. Úvahy omezíme na případ, kdy v R je právě jedna věta ( věta v rámečku R je tedy deskripce); problematiku type/token budeme ignorovat. Tato D by měla náležet do druhořádového kódu J 2 v tom smyslu, že jedině v tomto (popř. vyšším) kódu může být diskutována pravdivost vět v J 1. V krajním případě se v R vyskytuje právě (nedesambiguovaná) věta D. Protože jí rozumíme, tiše si ji desambiguujeme a spojujeme si v J 2 (či vyšším) její význam s druhořádovou konstrukcí: λwλt [ [PravdivýV PT/T1 wt [Sng.λn [VRámečkuR wt n]] J 1 ]] (konstrukce VRámečkuR, což je zkratka, konstruuje vlastnost výrazů-čísel, (οτ)) τω -objekt). Jak si již jistě dovodíme, v J 1 je věta D zákonitě bez významu. Proto právě diskutovaná prvořádová konstrukce konstruuje v daném možném světě w a čase t, kdy D je v R, propozici a) bez pravdivostní hodnoty, b) s pravdivostní hodnotou F. Povšimněme si ještě, že při těchto úvahách jsme jistě užili naneštěstí nedesambiguovanou větu D, nicméně v jejím třetiřádovém významu: λwλt [ [PravdiváV PT/T1 wt [Sng.λn [VRámečkuR wt n]] J 2 ]] Neboť jsme tvrdili něco o pravdivosti druhořádové věty D (jejíž význam v J 2 obsahuje podkonstrukci J 1 ) v druhořádovém kódu J 2, pro což jsme tudíž museli diskutovat tento kód J 2 (proto je ve významu třetiřádové D podkonstrukce J 2 ). Po desambiguaci je zjevné, že vyskytuje-li se v rámečku R druhořádová D Věta v R není pravdivá v J 1, tak my k uvažování nad její pravdivostí uplatňujeme třetiřádovou D Věta v R není pravdivá v J 2, která vlastně striktně vzato v R není. (Pokud desambiguujeme tak, že v R je třetiřádová věta D, tak úvahy o její

2. Paradoxy reference 237 pravdivosti vedeme pomocí čtvrtořádové věty D. Atd., výš a výš.) Nenastává tedy, že by sama věta v rámečku o sobě sdělovala, že je nepravdivá. LÖBŮV PARADOX M. H. Löb před časem uvedl sémantický paradox (Löb 1955, 117), který byl později mylně přisouzen H. B. Currymu, načež se mu nejčastěji říká Curry-Löbův paradox. Paradox plodí: L: Je-li věta L pravdivá, pak je každá věta pravdivá. Při ignoraci hierarchie jazyků-kódů je předpoklad, že L je nepravdivá, neprůchodný. Znamenalo by to, že nepravdivý je antecedent implikace, ale tak by celá L musela být pravdivá. Předpoklad, že L je pravdivá, ale obnáší, že antecedent je pravdivý, načež musí být pro pravdivost celé implikace pravdivý i konsekvent. Následně bychom pak měli přijmout, že všechny věty jsou pravdivé což je ale v rozporu s naším přesvědčením, že nemálo vět je nepravdivých. Důležitost Löbova paradoxu tkví v tom, že paradox plodící věta neobsahuje negaci. Někteří teoretikové totiž předpokládají, že věta Tato věta je pravdivá je bezproblémová, protože neplodí žádný zjevný paradox. Načež se jim pak zdá, že paradox zapříčiňuje kombinace predikátu pravdivý dohromady s negací (srov. větu P ). Proto často nalezneme tendenci povolovat, aby jazyk obsahoval (coby významuplný) svůj vlastní predikát pravdivosti, ale nepovolovat, aby obsahoval (coby významuplný) svůj vlastní predikát nepravdivosti ( not true ). Löbův paradox poukazuje na slabiny takového návrhu. Řešení paradoxu není při námi rozvíjeném přístupu těžké. Desambiguovaná věta L Je-li věta L pravdivá v J 1, pak je každá věta pravdivá v J 1 nemůže být pravdivá PT či nepravdivá PT v J 1, neboť v J 1 nemůže mít význam (v J 1 nemá význam její důležitá část, jméno J 1 ). Význam má až v J 2 (či vyšším), je jím druhořádová konstrukce (g(l) / τ, tj. číslo): λwλt [ [PravdivýV PT1 wt g(l) J 1 ] [.λn [PravdivýV PT1 wt n J 1 ]] ] Při tomto vyhodnocení L jsme záměrně uplatnili predikát pravdivý PT (samozřejmě odvisle od J k ). Kdybychom užili pravdivý T, tak bychom sdělovali, že celá věta-implikace není pravdivá T, dává tedy F, ovšem antecedent také není pravdivý T, čili opět dává F; to se jeví pochybné. Navíc je tu nebezpečí, že by někdo chtěl přehodnotit distribuci pravdivostních hodnot, aby byla ta distribuce byla konzistentní, načež by zpětně upadl v paradox.

238 III. Reference jmen a deskripcí BERRYHO PARADOX Nejznámějším a nejjednodušším paradoxem z rodiny referenčních paradoxů, které se nyní budeme věnovat, je Berryho paradox. 3 Mějme: B: nejmenší celé číslo nepojmenovatelné výrazem majícím méně než dvacet devět slabik Výraz B ale není jménem je deskripcí a deskripce referují, nepojmenovávají. Pojmenování je záhodno chápat ve smyslu denotování, což je samozřejmě jazykově relativní záležitost. Paradoxní konstatování, že přece jen je to B, co pojmenovává, referuje na ono číslo, neboť má 28 slabik, je mylné. Deskripce B totiž v J 1 na nic nereferuje, neboť v J 1 je významuprostá. B má význam až v J 2. Nicméně referování B v J 2 (či vyšším) je odvislé od absence reference B v J 1, jež není žádná, takže B ani v J 2 na nic nereferuje. (Analogické platí pro vyšší řády.) Za význam B v J 2 můžeme považovat konstrukci (část s obecným kvantifikátorem zajišťuje, že ono b je nejmenší): λwλt [Sng.λb [ [Celé b] [ [.λn [ [ReferovatnaCoV τ1 wt n b J 1 ] [MítMéněNež29Slabik n] ]]] [.λb [ [ [Celé b ] [ [.λn [ [ReferovatnaCoV τ1 wt n b J 1 ] [MítMéněNež29Slabik n] ]]] [ [b = b]] ] [b < b ] ]] ]] přičemž b, b / τ; Celé / (οτ) (výraz číslo neanalyzujeme, protože jen indikuje typ objektů, které mají být celé); < / (οττ); pro jednoduchost, MítMéněNež29Slabik / (οτ) (třída výrazů); ReferovatnaCoV τ1 / (οττ( 1 τ)) τω, tj. vztah mezi výrazy, výrazy a prvořádovými kódy. Jak známo, Berryho paradox je zjednodušeným pendantem paradoxu Juliuse Königa (König 1967, 147; pův. 1905), resp. Julese Richarda (Richard 1967, 143; pův. 1905). Např. Königův paradox (v běžném zadání) vychází z toho, že jazyk jako čeština má (nanejvýše) spočetné nekonečno výrazových prostředků; nicméně ordinálních čísel je nespočetně nekonečně mnoho, takže jazyk je nemůže všechny pojmenovat, referovat na ně. Na nejmenší z takovýchto nepojmenovatelných ordinálních čísel prý referuje deskripce nejmenší ordinální číslo, na který nereferuje žádný výraz. Po desambiguaci je zjevné, že tato deskripce v jazyce J 1, jenž zmiňuje, na nic nereferuje (analogicky pro kódy vyšších řádů). Zadání Richardova paradoxu je ještě složitější, nicméně paradox opět vzniká nekritickým přístupem k referenci příslušné deskripce. Jistě lze souhlasit s Grahamem Priestem, že adekvátní řešení sémantických paradoxů musí umět řešit všechny sémantické paradoxy (srov. Priest 2006, 134). Není však nevyhnutelné sdílet jeho názor, že to máme činit za jím navrhovanou cenu, jímž je ztráta klasických logických principů. Priestovo řešení (např. Priest 2006, 148) připisuje příčinu nereferování deskripcí (jako té Berryho, Richardovy, Königovy, Hilbert-Bernaysovy) údajné neplatnosti disjunktivního sylogismu 3 Znění je adaptováno z (Russell 1908, 223); tam vlastně není podána původního Berryho formulace, jež se týkala ordinálů.

2. Paradoxy reference 239 a podobně. Priest si zjevně nevšiml klíčové skutečnosti v sémantických paradoxech zákonité jazykové relativnosti reference. Ještě je třeba poznamenat, že Priest nikde nepředložil řešení dalších námi řešených sémantických paradoxů (nepočítáme-li paradox lháře) a to je další důvod pro prioritu přístupu rozvíjeného námi. HILBERT-BERNAYSŮV PARADOX Graham Priest před časem připomněl paradox plodící deskripci uvedenou v knize Grundlagen der Mathematik (1934) Davida Hilberta a Paula Bernayse: HB: celočíselný kladný následník čísla, na které referuje HB Předpokládáme, že HB je deskripce, která referuje na jisté číslo h; ovšem toto má být zároveň svým celočíselným kladným následníkem, což je absurdní. Jenže referenci je třeba vztáhnout k jazyku, takže desambiguovaná deskripce HB zní: celočíselný kladný následník čísla, na které HB referuje v J 1 Výraz HB v J 2 (či vyšším) vyjadřuje jistou konstrukci, konkrétně (h / τ, tj. číslo; Následník / (ττ), tj. funkce z čísel do čísel; CeléKladné / (oτ), tj. třída čísel; g(hb) / τ, tj. číslo; ReferentV τ1 / (ττ( 1 τ)) τω, tj. modálně a temporálně podmíněná funkce z dvojic <výraz, prvořádový kód> do výrazů): λwλt [Následník [Sng.λh [ [CeléKladné h] [h = [ReferentV τ1 wt g(hb) J 1 ]] ]] ] nicméně v J 1 pochopitelně takovýto význam mít nemůže. Takže deskripce HB v J 2 na nic nereferuje, paradoxní rovnost se svým následníkem tudíž nepřichází v potaz. (Analogické platí pro vyšší řády.) PARADOX PŘIČÍTÁNÍ Nuel Belnap (např. Belnap 2006) příležitostně publikuje jakousi variantu HB (na Hilberta a Bernayse neodkazuje): AD: 1 + číslo, na které referuje výraz AD Paradox přičítání ( paradox of adder ) je pak tento. Užijme ρ(...) namísto referent.... Takže tu máme AD = ρ(ad + 1). Po uplatnění funkce ρ na obou stranách rovnosti získáme ρ(ad) = ρ(ρ(ad + 1)). Jenže ρ(ρ(ad + 1)) je přece rovno ρ(ad + 1), takže ρ(ad) = ρ(ad + 1). To ale protiřečí faktu, že výsledek aplikace funkce přičtení jedničky k nějakému číslu je vždy větší než ono původní číslo (jinými slovy, že funkce přičtení jedničky nemá pevný bod, fixpoint ). Po desambiguaci deskripce AD na:

240 III. Reference jmen a deskripcí 1 + to, na co výraz AD referuje v J 1 si však uvědomíme, že tato sama nemůže mít význam, a tedy ani denotaci či referenci v J 1. Význam má až v J 2, je jím konstrukce (a / τ, 1 / τ, g(ad) / τ, + / (τττ)): λwλt [1 + [Sng.λa [ReferovatnaCoV τ1 wt g(ad) a J 1 ]] ]] Reference v J 2 (či vyšším) se odvíjí od toho, na co AD referuje v J 1. Jenže v J 1 AD na nic nereferuje, tudíž nereferuje na nic ani v J 2 (či vyšším). Paradoxní přičítání tudíž nepřichází v potaz. (Analogicky pro jiné desambiguace.) QUINŮV REFERENČNÍ PARADOX Na neuvědomění si jazykové podmíněnosti reference je založen i Quinův referenční paradox (Quine 1966, 7), jak bychom ho mohli nazývat. Quinův referenční paradox je zajímavý tím, že v sobě spojuje rysy referenčních lhářských vět (např. Tato věta referuje na F ) a Grellingova heterologického paradoxu, který budeme řešit níže. Paradox produkuje (pro snazší porozumění námi reformulovaný) predikát Q : Q: připojením ke své vlastní citaci referuje na F Desambiguovaná věta: Q připojením ke své vlastní citaci referuje v J 1 na F. na nic v J 1 nereferuje, protože v kódu J 1 nemá význam. Ovšem reference této věty v J 2 se odvíjí od pravdivosti příslušného sdělení. Protože však neexistuje nic, na co tato věta referuje v J 1, tak v J 2 denotuje propozici ve všech světech a časech nedefinovanou, tudíž stejně na nic v J 2 nereferuje. (Analogicky pro vyšší řády.) Význam má až v kódu J 2. Za význam Q v J 2 můžeme považovat konstrukci: λwλt.λn [ReferovatnaCoV τ1 wt [Připojení n [CitaceČeho n]] F J 1 ] přičemž F / ο (jmenovitě pravdivostní hodnota Nepravda), Připojení / (τττ), tj. funkce z dvojic výrazů do výrazů; CitaceČeho / (ττ), tj. funkce z čísl do čísel (zobrazuje výraz na jeho citovanou podobu, tj. opět výraz); ignorujeme problematiku type/token, pro řešení není relevantní. Významem diskutované věty v J 2 pak je tedy (g(q) / τ): λwλt [ReferovatnaCoV τ1 wt [Připojení g(q) [CitaceČeho g(q)]] F J 1 ]

2. Paradoxy reference 241 SIMMONSŮV PARADOX Keith Simmons vícekrát publikoval referenční paradox (srov. nejlépe v Simmons 2007), o jehož řešení se dosud pokusil jen on sám. 4 Zadání paradoxu je následující (problematiku type/token budeme opět ignorovat). Na tabuli U jsou napsány tři výrazy: 6 pí součet čísel, na která referují ( denote ) výrazy na tabuli U Poslední výraz je deskripce S. Nekriticky je uvažováno, že 6 referuje na číslo 6, pí na číslo pí a daná deskripce S na určité číslo s. Nuže s=6+pí. Jenže na toto číslo s je také referováno jedním z výrazů na U, jmenovitě výrazem S ; tudíž s=6+pí+s. A to je paradoxní. Už víme, že to, na co výraz referuje, je kromě modální a temporální podmíněnosti podmíněno především tím, jaký má tento výraz význam (a tím také denotaci), což je jazykově relativní. Desambiguovaná a pro názornost parafrázovaná deskripce S je tedy součet čísel m, pro něž existuje výraz n takový, že n referuje v J 1 na m a n je na tabuli U. Tato S má v J 2 (a vyšším) význam: λwλt [Součet [λm [.λn [ [ReferovatnaCoV τ1 wt n m J 1 ] [NaTabuliU wt n] ]]] ] přičemž m / τ, tj. číslo; Součet / (τ(οτ)), tj. funkce přiřazující určitá čísla pouze neprázdným třídám čísel; NaTabuliU / (οτ) τω, tj. vlastnost výrazů-čísel. 5 Lehko teď zjistíme, že k žádnému paradoxnímu přičítání s nemůže dojít. Neboť v J 1 nereferuje S na nic, je v něm významuprostá. V J 2 sice referuje S na s, jež je rovno 6+pí, nicméně žádné číslo, na které má údajně referovat S v J 1, připočítáváno není, protože žádné neexistuje. (V J 3 (či vyšším) má S de facto týž význam a z analogických důvodů referuje opět pouze na s, jež je rovno 6+pí.) Klamný dojem přičítání s vzniká konfúzí reference druhořádové S s referencí jí podobné třetiřádové deskripce S (jak ji odliším). Tuto S používáme, když ve svých úvahách komentujeme záležitosti reference výrazů na U. Protože sama S má význam až v J 2, jakožto metajazykový prostředek má S význam až v J 3 (či vyšším). Prostřednictvím J 3 uvažujeme nad sémantickou záležitostí reference S a uplatňujeme deskripci S s významem, jehož podkonstrukcí je J 2, nikoli J 1 : 4 Všemi Simmonsovými paradoxy se podrobně zabývá stať (Raclavský 2009e); navržené řešení je pochopitelně shodné. V téže stati je podáno i řešení Berryho paradoxu, Hilbert-Bernaysova paradoxu i paradoxu přičítání. 5 Pro větší jasnost zde podejme mechanismus vyhodnocení konstrukce za Součet. Jestliže hodnotou m je číslo 6, ptáme se, zdali existuje výraz n, který referuje v J 1 na 6 a je na U; poněvadž výraz 6 tuto podmínku splňuje, pro číslo 6 vrací T (takže 6 je v dané třídě, jejíž prvky se budou sčítat). Analogicky pro pí, tj. 3, 14. Pokud je hodnotou m např. číslo 1, vrací F. Nyní uvažme, že hodnotou m je číslo 9, 14; je mnoho výrazů, které na něj v J 1 referují (např. 9, 14 ), ale žádný z těchto výrazů není na tabuli U. (Předpokládáme při tom, že na žádné číslo není výrazy na tabuli referováno vícekrát k tomuto se vrátíme na konci této sekce.)

242 III. Reference jmen a deskripcí λwλt [Součet [λm [.λn [ [ReferovatnaCoV τ1 wt n m J 2 ] [NaTabuliU wt n] ]]] ] Deskripce S se tedy týká reference výrazů 6, pí a S, které v J 2 referují na 6, pí a s. Deskripce S ale referuje na zcela jiné číslo s, které je rovno 6+pí+s. Referent S, tj. s, se však onoho součtu neúčastní. S totiž není napsána na U. Kdyby byla, tak by byla totožná s S. 6 Referentem deskripce na tabuli je zkrátka s, kdežto referentem deskripce, která není napsána na U, ale pomocí níž komentujeme referenci výrazů na U čili jsme takto v metapozici je s. S a S mají vždy odlišný význam, proto není divu, že se jejich referenty různí. Tímto jsme rozkryli původ nejpalčivějšího místa paradoxu: údajné s=6+pí+s. K Simmonsovu paradoxu ještě poznamenáme, že ačkoli jsme paradox vysvětlovali v zájmu názornosti výkladu s odvolávkami na úvahy komentujícího, naše řešení je plně sémantické. Nejedná se o formální pragmatiku, jakou předkládá Simmons (např. v Simmons 2007), když formálně modeluje první kontext úvah, za nichž někdo dospěje k s=6+pí, a poté následný revizní kontext úvah, za nichž dospěje k s=6+pí+s. Kontextualistické řešení je podle nás systémově chybné, jak je patrné z toho, že žádný první, druhý, atd., kontext zjevně nenastává pro (námi záměrně sestavenou) deskripci to jediné číslo, na které referuje tato deskripce. U této deskripce nemáme žádné skrze kontexty posouvající se hypotézy, na které číslo domněle referuje ta deskripce je očividně nemocná sémanticky. Ve zbývající části této sekce uveďme zpřesňující dodatek, který je určen jen technicky zběhlým čtenářům. Výše uvedené řešení Simmonsova paradoxu trpí jedním defektem: logická analýza dané deskripce je vlastně nesprávná. Tato skutečnost ovšem neovlivňuje princip řešení. Chybnost dané analýzy tkví v zapeklitosti významu výrazu součet. Matematická definice součtu (sumy) nám říká, že suma s indexem n je n-násobným součtem čísel, přičemž je dovoleno jejich opakování. Ač to jistě není chybné, má to nevýhodu v tom, že jsou tu různé pojmy součtu součet 1 čísel, součet 2 čísel, atd. Kolega Petr Kuchyňka před časem autorovi knihy navrhl při řešení analýzy jiného příkladu definici součtu, v souladu s níž máme pouze jeden pojem součtu (pro reálná čísla), nicméně samotný výpočet dovoluje libovolné množství libovolněkrát opakovaných čísel. Vysvětlit celý definiční postup by zabralo mnoho místa, omezíme se zde na klíčové body Kuchyňkova návrhu. Uvažme množinu individuí m, která je extenzí vlastnosti být zaměstnancem firmy X ; m obsahuje individua A, B, C, D. Uvažme nyní numerickou charakteristiku individuí, funkci f z individuí do čísel pro náš příklad jsou individuím přiřazovány výšky jejich platů ve firmě X: A dostává plat 0, B dostává 100, C dostává 200, D dostává 100 (to jsou hodnoty f pro prvky m). Místo s množinou čísel obsahující čísla 0, 100, 200 musíme pracovat s nějakými dvojicemi, jejichž druhé členy jsou čísla 0, 100, 200, 100 a prvními členy jsou nějaké indexy. Lépe je však mít indexy numerické než za ty indexy mít individua sama, neboli je potřeba individua z m očíslovat. Kuchyňkův postup očíslování je v zásadě následující. Uvažme relaci r takovou, že vhodně uspořádává (prvky) m. Tato r dobře pořádá m právě tehdy, když je úplným pořádáním m (r je tedy anti- 6 Toto ale neznamená, že význam S v J 3 (či vyšším) nemůže obsahovat J 2. Ovšem pokud by význam S obsahoval J 2, tak S by musela obsahovat, v J 4 či vyšším, konstrukci J 3, apod.

2. Paradoxy reference 243 symetrická, tranzitivní a úplná, tj. pokrývá celou m) a jakákoli neprázdná podmnožina m má nejmenší prvek. Nyní k-tým prvkem m pořádané pomocí r je to jediné individuum x takové, že r dobře pořádá m a k je kardinalitou množiny individuí y z množiny m, která jsou k x v relaci r. Pro příklad si vezměme B v uvažované relaci r jsou k B jedině individua (ta y z m) B, C a D. Takže tu mám tříprvkovou množinu, čili k=3, neboli B je třetím prvkem m (A je čtvrtým, C, druhým, D prvním). Pozoruhodným rysem Kuchyňkovy další definice je využití čísla k ještě jiným způsobem, než jako pořadového čísla nějakého individua a jako kardinality jisté množiny totiž jako argumentu jedné zajímavé funkce z čísel do čísel, funkce o. Tato o je taková, že pro naše k, které je rovno 4, vrací jako hodnotu číslo 400, tj. námi hledaný součet platů prvků m. To ještě není všechno: toto k=4 vede k 400, ale číslo 400 splňuje tu podmínku, že je rovno přičtení platu k-tého (tj. čtvrtého) individua z m (pořádané r) k tomu, co vrací funkce o pro k 1. Ještě jinak (běžný druh notace): o(k) = plat k-tého z m + o(k-1). Zcela analogicky je pro k=3 hodnotou funkce o přičtení platu třetího z m k hodnotě o pro k=2 (pro platy si vystačíme s tím, že pro k=0 vrací funkce o číslo 0; přirozeně nás zajímají jen ta k, argumenty funkce o, které jsou přirozenými čísly). Nuže součet platů zaměstnanců firmy X je dán jako to jediné číslo n, že existuje r, která dobře pořádá m, a existuje o taková, že n (v našem příkladu 400) je rovno tomu, co vrací funkce o pro kardinalitu m (tj. 4) a dále o splňuje ty charakteristiky, o nichž byla před chvíli řeč. Neboli logická forma Simmonsovy deskripce bude λwλt [Součet f m], přičemž namísto m bude konstrukce v-konstruující jistou třídu individuí a namísto f bude konstrukce v-konstruující funkci z individuí do čísel. (Předpokládejme, že je ošetřena nejnižší hodnota o a dále, že je ošetřena parcialita funkce f. To druhé vzniká tím, že pro některá individua nedává f výšku jejich platu pro náš příklad, některé výrazy na žádné číslo nereferují což by v důsledku vedlo ke kolapsu onoho přičítání (tj. sumy), neboť kdyby funkce + nedostala dvojici čísel (protože jedno číslo by chybělo díky parcialitě f), nevracela by nic a celá ta rekurze, kterou jsme popisovali, by selhala. Musíme tedy ošetřit, aby se v takovýchto neblahých případech připočítalo číslo 0. Řečeno jinak, chceme, aby hodnotou funkce do čísel g bylo to jediné číslo (hodnota) h takové, že jestliže existuje nějaká hodnota h, která je hodnotou g pro argument a, tak existuje pravdivostní hodnota rovnosti h = hodnota funkce g pro a a tato pravdivostní hodnota je T (neboli za existence hodnoty f pro a vrať takovéto h), jinak h=0 (vrať jako h číslo 0). Formálně (If_Then_Else / (οοοο), známá ternární pravdivostní funkce; tuto konstrukci zapíšeme infixním způsobem): [Sng.λh [If_ [.λh [h = [g a]]] _Then_ [.λo [ [o = [h = [g a]] ] [o = T] ]] _Else [h = 0] ]]. Tato totalizace ošetřující parcialitu funkce musí být v definici sumy v místě připočítávání platu k-tého prvku m zakomponována tak, že konstrukce získávání hodnoty f pro k-tý prvek m (při r) se vyskytuje namísto (obou výskytů) [g a]. 7 ) Diskutovaná individua z pomyslné třídy m tvoří extenzi vlastnosti vyskytovat se na tabuli U (na tabuli U se nevyskytují čísla, ale individua tahy křídou, stopy fixu); tato vlastnost individuí je konstruována konstrukcí λwλt.λx [NaTabu- 7 Tuto autorem knihy navrženou techniku s if-then-else jsme uplatnili již v kapitole Rigidní designátory (vlastně vznikla patřičnou adaptací z právě diskutovaného případu aplikace).

244 III. Reference jmen a deskripcí liu wt x] (po η-redukcích: NaTabuliU). V místě f zas bude konstrukce, která konstruuje funkci z individuí do čísel, přičemž tato čísla jsou tím, na co referují v J k výrazy, jichž jsou (v J k ) ona individua tokeny. Být tokenem výrazu je jistě relativní ke kódům (např. žádný napsaný egyptský hieroglyf není tokenem nějakého českého výrazu). Čili TokenV 1 / (τι(* 1 τ)) τω, tj. modálně a temporálně podmíněná funkce z dvojic individuum, k-řádový kód do čísel-výrazů; konstrukce λwλt.λx [ReferentV τ1 wt [TokenV 1 wt x J 1 ] J 1 ] konstruuje (modálně a temporálně podmíněnou) funkci z individuí do čísel. Za výše uvažovaných předpokladů by tedy logickou analýzou Simmonsovy deskripce měla být konstrukce: λwλt [Součet λx [ReferentV τ1 wt [TokenV 1 wt x J 1 ] J 1 ] [NaTabuliU wt x] ] Takže na tabuli U se vyskytují rozmanitá individua, z nichž pouze tři jsou individui, která jsou v J k tokeny nějakých výrazů jmenovitě 6, pí, (po desambiguaci) součet čísel, na která v J k referují výrazy na tabuli U. Ovšem (numerická) reference třetího z těchto výrazů není v J k žádná (toto nic je při sečítání nahrazeno číslem 0, což jsme diskutovali v předcházejícím odstavci). SIMMONSŮV PREDIKÁTOVÝ PARADOX Zcela obdobně řešíme predikátovou verzi Simmonsova paradoxu (např. Simmons 2007), kdy na U je být měsíc Země a být jednoprvková extenze predikátu vyskytujícího se na U. Extenze prvého predikátu je jednoprvková, takže spadá do extenze druhého predikátu, která je takto {{Měsíc}}. Jenže tato třída je jednoprvková, takže by měla rovněž spadat do extenze tohoto druhého predikátu. Tím by však extenze druhého predikátu nebyla jednoprvková; což je spor. Opět si uvědomme jazykovou relativitu a konfúzí dvou obratů jeden je takový, že jeho token se vyskytuje na tabuli U, kdežto druhý, komentující, nikoli. Nepochybně platí, že prvý predikát (denotující vlastnost individuí) referuje v J 1 (či vyšším) na třídu {Měsíc}, která je tedy extenzí tohoto predikátu v J 1 (či vyšším). Druhý predikát, jak je zjevné po desambiguaci, však v J 1 na nic nereferuje. Význam má až v J 2 (či vyšším), jedná se o druhořádovou konstrukci: λwλt.λe [.λn [ [ [PredikátV 1 wt n J 1 ] [.λx [[NaTabuliU wt x] [BýtTokenV 1 wt x J 1 ]]] [JednoprvkováExtenzeČehoV (οι)1 wt e n J 1 ] ]] přičemž e / (οι), tj. třída individuí; BýtTokenV 1 / (οι( 1 τ)) τω, tj. vztah mezi individui, neboť tokeny jsou jistě individua, a prvořádovými kódy; PredikátV 1 / (οτ( 1 τ)) τω, tj. (konstantní-triviální) vztah mezi výrazy a prvořádovými kódy; ExtenzeČehoV 1 / ((οι)τ( 1 τ)) τω, tj. modálně a temporálně podmíněná funkce z dvojic <výraz, prvořádový kód> do tříd individuí (kdy [ExtenzeČehoV 1 wt n J 1 ] (οι) [ExtenzeČeho 2 wt [J 1 n]]], přičemž ExtenzeČeho / ((οι)(οι) τω ) τω ); konečně Jednoprv-

2. Paradoxy reference 245 kováextenzečehov (οι)1 / (ο(οι)τ( 1 τ)) τω, tj. (totální) vztah mezi třídami individuí, výrazy a prvořádovými kódy. 8 Ovšem reference onoho výrazu v J 2 (či vyšším) se odvíjí od reference predikátů na U v J 1, jež je dík prvému predikátu pouze {Měsíc}. Na druhou stranu ovšem referenci výrazů na U uchopujeme prostřednictvím na první pohled homofonního, ale významem odlišného a na U nevyskytujícího se predikátu být v J 2 jednoprvkovou extenzí predikátu vyskytující se ho na U, a tento má v J 3 extenzi {{Měsíc}}. Paradox spočívající v tom, že druhý predikát na tabuli U má jednoprvkovou extenzi a zároveň nemá jednoprvkovou extenzi, tedy určitě nevzniká. SIMMONSŮV PARADOX DEFINOVATELNOSTI Přidejme ještě jeden Simmonsem (např. Simmons 2007) sestavený sémantický paradox (srov. tamtéž), který můžeme nazvat Simmonsův paradox definovatelnosti. Uvažme nekonečnou posloupnost výrazů: D 1 : 1 + max (D 2, D 3, ) D 2 : 1 + max (D 3, )... D n : 1 + max (D n+1, )... přičemž max (E 1,, E n ) je zkratkou za nejvyšší kladné celé číslo z těch, na které referují výrazy E 1,, E n. Při naivním pojmu reference uvažujeme, že pokud tu je takové celé kladné číslo n, na které referuje D n, tak jeden z výrazů D n+1, D n+2, referuje na číslo o jedničku menší. Tím se dostaneme k výrazu D z, který referuje na 1+0, čili žádný z výrazů D z+1, D n+2,, řekněme D p, nereferuje na celé kladné číslo. Jenže reference D p vznikla přičtením 1 k tomu, na co referují výrazy za ním, takže D p musí referovat na celé kladné číslo což je kontradikce s předchozím vyhodnocením. V souladu s námi přijatým přístupem však tento nový paradox definovatelnosti vzniká chybným chápáním pojmu reference a též konfúzí dvou deskripcí. Uvažme, že desambiguované výrazy v sekvenci referenci relativizují vzhledem k jazyku J 1 ; značme je 1 + max J1 (D 2, D 3, ). Takovéto deskripce nemají žádný význam a tak ani referenci v J 1, k žádnému přičítání či odečítání 1 tudíž nedochází. Výraz jako 1 + max J1 (D 2, D 3, ) však má význam v J 2. 9 Protože reference výrazů, které následují tento výraz, není žádná, funkce max J1 (D 2, D 3, ) dodává číslo 0, takže náš výraz (a také kterýkoli jiný výraz, který relativizuje referenci k v J 1 ) referuje v J 2 na číslo 1. Na zcela totéž číslo referuje i v řádem vyšších kódech. 8 Příslušný pojem definovaný pomocí (přičemž Card / (τ(οι)), tj. funkce kardinalita pro třídy individuí): [JednoprvkováExtenzeČehoV (οι)1 wt e n J 1 ] (οι) [ [e = [ExtenzeČehoV 1 wt 2 [J 1 n] J 1 ] ] [[Card e] = 1] ] 9 Poněkud analogicky k Simmonsově deskripci (funkce Max operuje na dvojicích, jejímiž prvním členem je funkce z čísel do výrazů a druhým členem třída výrazů): λwλt [1 + [Max λn [ReferentV τ1 wt n J 1 ] λn [[n = g(d 2 )] [n = g(d n )]...] ]]

246 III. Reference jmen a deskripcí Toto si ale nesmíme plést s naší komentující deskripcí, která není v oné posloupnosti tvaru 1 + max J2 (D 2, D 3, ), a která referuje (v J 2 či vyšším) na číslo 2, neboť k referenci výrazů jako 1 + max J1 (D 2, D 3, ) v J 2 (což je u všech těchto výrazů vždy 1), přičítá jedničku. (Čtenář si jistě lehko domyslí, co by se dělo, kdyby v oné posloupnosti byly výrazy jako 1 + max J2 (D 2, D 3, ) a my jejich referenci komentovali pomocí 1 + max J3 (D 2, D 3, ). GRELLINGŮV HETEROLOGICKÝ PARADOX Zatímco referenčním paradoxům se teoretikové lháře většinou zcela vyhýbají, paradox Kurta Grellinga byl ztečen mnohokrát (mimochodem, řešení nepředložil ani Russell, ani Tarski, ba ani třeba Kripke). 10 Výraz je heterologický právě tehdy, když znamená ( denotes ) pojem determinující ( defining ) vlastnost, do jejíž extenze tento výraz nenáleží; výraz je autologický, když do takové extenze náleží. Například mnohoslabičný je výraz autologický, neboť denotuje vlastnost, do jejíž extenze náleží; výraz jednoslabičný je heterologický. 11 Jak známo, do paradoxu upadneme přezkoumáním, zdali je výraz heterologický sám heterologický. Mimochodem, většina dosud předložených řešení upřela predikátu heterologický jakýkoli význam a to navzdory tomu, že jako heterologické určité výrazy smysluplně klasifikovat jistě lze, tudíž příslušný pojem definovatelný být musí. Pro naše řešení je klíčové zjištění, že navzdory dojmu vzbuzovanému zvláště příkladem s jednoslabičný a mnohoslabičný se vlastnost být heterologický netýká syntaktických rysů výrazů, ale jejich sémantických rysů, které jsou zákonitě jazykově relativní. Slovní parafráze obou definic jsou tyto (namísto pojem dáváme konstrukce, namísto determinuje dáváme konstruuje ): výraz n je autologický v J 1 právě tehdy, když výraz n vyjadřuje v J 1 konstrukci konstruující vlastnost výrazů, do jejíž extenze (ve w, t) n náleží výraz n je heterologický v J 1 právě tehdy, když výraz n vyjadřuje v J 1 konstrukci konstruující vlastnost výrazů, do jejíž extenze (ve w, t) n nenáleží Výraz konstrukce je tzv. typový indikátor, což je výraz, který pouze indikuje typ objektu denotovaného výrazem zpravidla následujícím. Typové indikátory nejsou v námi uvažovaném explikačním rámci pro nás sémanticky plnohodnotnými výrazy, neobjevují se tudíž v analýze-explikaci významu (o typových indikátorech byla řeč už v kapitole Ukázkové explikace významů výrazů). Podobně je typovým indikátorem vlastnost výrazů, který indikuje denotování objektu typu (οτ) τω (tato vlastnost má konstantní průběh hodnot, její extenzí je za všech okol- 10 Je zajímavé, že zadání v (Grelling 1936, 484) obsahuje explicitní zmínku o jazyce, v němž má výraz jistou vlastnost mít. Nejen Grellingem nebyla tato záležitost náležitě přezkoumána. Grellingově heterologickému paradoxu se do větší šířky (vč. přehledu a kritiky alternativních pokusů o řešení) věnuje stať (Raclavský 2009d). 11 Přechýlení k hovoření o vlastnostech, nikoli o pojmech (konstrukcích), je v pořádku, jde pouze o přechýlení z úrovně významu na úroveň denotace. Grellingův paradox tudíž může být reformulován pomocí obratu denotuje vlastnost takovou, že (popř. referuje na třídu takovou, že ).

2. Paradoxy reference 247 ností jedna a táž třída čísel-výrazů). Poněkud zjednodušené významové pendanty obou slovních definic následují (Autologický 1 i Heterologický 1 / (οτ(* 1 τ)) τω, tj. vztah mezi výrazy a kódy; 1 zde indikuje řád pro druhý člen argumentu). V definiens uplatňujeme definiens z [ExtenzeČeho wt f] f wt a [NáležetDo n f wt ] [f wt n], přičemž zde f / (οτ) τω, tj. vlastnost čísel; ExtenzeČeho / ((οτ)(οτ) τω ) τω, tj. modálně a temporálně podmíněná funkce z vlastností čísel do tříd čísel; NáležetDo (popř. SpadatDo) / (οτ(οτ)), tj. relace mezi čísly a třídami čísel): [Autologický 1 wt n J 1 ] [ 2 [J 1 n] wt n] [Heterologický 1 wt n J 1 ] [ [ 2 [J 1 n] wt n]] (či prostě: [ [Autologický 1 wt n J 1 ]]) Konstrukce [J 1 n] konstruuje konstrukci, která je významem daného výrazu n v J 1, dvojitá exekuce dále nechá tuto konstrukci zkonstruovat příslušnou vlastnost, jejíž hodnotou v určitý svět a čas je jistá třída, do níž n náleží, resp. nenáleží. Abychom lépe dostáli korespondenci s typovými indikátory, odlišíme část pro konstrukci a část pro vlastnost výrazů. Toho dosáhneme tím, že nenecháme zkonstruování vlastnosti na dvojité exekuci, ale uplatníme samostatný pojem KonstruovatCo (φ*1) / (φ* 1 ) (parciální zobrazení od konstrukcí k vlastnostem výrazů; nikoli vlastnostem individuí, což φ v této knize obvykle indikuje). Načež [J 1 n] vede k indikované konstrukci, [KonstruovatCo (φ*1) [J 1 n]] k indikované vlastnosti. Definiens jsou kongruentní těm podaným výše: [Autologický 1 wt n J 1 ] [ [KonstruovatCo (φ*1) [J 1 n]] wt n] [Heterologický 1 wt n J 1 ] [ [ [KonstruovatCo (φ*1) [J 1 n]] wt n]] Je zjevné, že heterologický 1 v J 1 nemůže mít význam v J 1. Výraz heterologický 1 v J 1 má význam až v J 2 (či vyšším). Významem heterologický v J 1 v J 2 je druhořádová konstrukce λwλt.λn [Heterologický 1 wt n J 1 ]; významem heterologický 1 v J 2 je λwλt.λnj 1 [Heterologický 1 wt n j 1 ], po η-redukci Heterologický 1 (přičemž j 1 v-konstruuje objekty typu (* 1 τ) ). Když prostředky J 2 uvažujeme o heterologičnosti výrazu heterologický 1 v J 1, zjistíme, že v něm nemá význam a proto nemůže splnit podmínku z definiens. Neboli heterologický 1 nespadne do extenze vlastnosti heterologický, která je determinována konstrukcí, kterou vyjadřuje heterologický 1 v J 2. Podobně nespadne ani do její antiextenze, na kterou v J 2 referuje autologický 1. (Analogicky to funguje pro vyšší řády.) V souladu s naším názorem jsou však jednoslabičný a mnohoslabičný (v tomto pořadí) v extenzi a v antiextenzi vlastnosti heterologický ; příslušné koncepty heterologičnosti a autologičnosti jsou definovatelné. Nyní se dostáváme k nezbytnosti odhalit zdroj názoru o údajné nedefinovatelnosti pojmu heterologický. Lze se domnívat, že příčina je v chybném vyhodnocení definice, která začíná (jak je pro nemálo návrhů příznačné) existenčním kvantifikátorem, neboli pokud se jedná ο totalizující ( zesílenou ) variantu obou konceptů. Uvažme návrh, kdy definiens slovně vyjádřeno říká, že neexistuje vlastnost f, kterou výraz n denotuje v J 1, a do jejíž extenze n náleží:

248 III. Reference jmen a deskripcí [Heterologický 1T wt n J 1 ] [ [.λf [ [f = 2 [J 1 n]] [f wt n] ]]] Když je pomíjena vztaženost ke kódu, uvažuje se, že existuje nějaká vlastnost, kterou výraz heterologický denotuje, přičemž do její extenze nenáleží. Aby byla zachována komplementarita k autologický, negace je přesunuta z druhé části konjunkce dopředu před existenční kvantifikátor (jak je tomu v námi uváděném definiens). Protože výraz heterologický nesplňuje podmínku, že existuje vlastnost, kterou denotuje a přitom náleží do její extenze, získáváme pravdivostní hodnotu F, kterou negace mění na T. Jenže toto přece znamená (chybně vyhodnocujeme), že heterologický do extenze vlastnosti, kterou denotuje, přece jen náleží, čili takto je výraz heterologický vlastně autologický. A když definice heterologičnosti vede k tomu, že sám výraz heterologický je nejen heterologický, ale zároveň nikoli, definice heterologičnosti musí být, jak jsou mnozí přesvědčeni, odmítnuta. Ačkoli si mnohý teoretik ujasnil vztaženost k hierarchiím jazyků, je pro něho stále nesnadné nedopustit se téhož mylného závěru. Uvažuje, že neexistence vlastnosti, kterou heterologický 1T v J 1 v J 1 denotuje, obnáší, že existenční kvantifikátor vrací F, kterou negace obrací na T. Což je vyhodnoceno tak, že heterologický 1T v J 1 náleží do extenze vlastnosti heterologický. A toto je opět chybně vyhodnoceno jako denotování vlastnosti, do jejíž extenze náleží, neboli autologičnost. Abychom se i této konfúzi vyhnuli, je třeba si jasně uvědomit, že totalizující varianty predikátů autologický 1T v J 1 a hlavně heterologický 1T v J 1 jsou takové, že autologické 1T jsou v J 1 výrazy významuplné a náleží do extenzí jimi denotovaných vlastností: [Autologický 1T wt n J 1 ] [ [.λc 1 [c 1 = [J 1 n]]] [.λf [ [f = 2 [J 1 12 n]] [f wt n] ]] ] Kdežto heterologické 1T jsou výrazy, které takové nejsou neboli (po aplikaci De Morganova zákona) buďto nejsou významuplné nebo nenáleží do extenzí jimi denotovaných vlastností: [Heterologický 1T wt n J 1 ] [ [ [.λc 1 [c 1 = [J 1 n]]]] [ [.λf [ [f = 2 [J 1 n]] [f wt n] ]]] ] Toto je poměrně dobře patrné i z následujících ekvivalentů: [Autologický 1T wt n J 1 ] [Pravdivá πt wt [λw λt [ [KonstruovatCo (φ*1) [J 1 n]] w t n]] ] [Heterologický 1T wt n J 1 ] [ [Pravdivá πt wt [λw λt [ [KonstruovatCo (φ*1) [J 1 n]] w t n]] ]] 12 Povšimněme si ještě, že konstrukce λwλt.λn [Autologický 1T wt n J 1 ] i λwλt.λn [Autologický 1 wt n J 1 ] konstruují vlastnost, kterou mají pouze výrazy významuplné v J 1 a které náleží do extenze jimi v J 1 denotovaných vlastností.

2. Paradoxy reference 249 slovně: Je, resp. není, pravdivé πt, že.... Shrnujeme, že také totalizující varianty obou predikátů jsou definovatelné. Přirozeně, že nejen teoretik si může plést totalizující a netotalizující variantu; čtenář se však tomuto už jistě vyhne. Další pozoruhodnou konfúzi spjatou s Grellingovým paradoxem plodí záměny konceptu-konstrukce λwλt.λn [Heterologický 1 wt n J 1 ] (popř. třetiřádové konstrukce λwλt.λn [Heterologický 2 wt n J 1 ]) s konceptem λwλt.λn [Heterologický 2 wt n J 2 ]. Vracíme se tedy k parciální variantě. Ten druhý je samozřejmě definován takto: [Heterologický 2 wt n J 2 ] [ [ [KonstruovatCo (φ*2) [J 2 n]] wt n]] Jak už jsme nahlédli výše, heterologický 2 v J 2 nespadá ani do extenze, ani do antiextenze vlastnosti determinované konceptem λwλt.λn [Heterologický 2 wt n J 2 ]. Konfúze ale vzniká, když se otážeme, zda do extenze či antiextenze vlastnosti konstruované konstrukcí λwλt.λn [Heterologický 2 wt n J 2 ] náleží výraz heterologický 1 v J 1. Tento výraz v J 2 vyjadřuje konstrukci λwλt.λn [Heterologický 1 wt n J 1 ], která konstruuje jistou vlastnost H 1. To, kterou přesně vlastností je H 1, poznáme z definiens pro λwλt.λn [Heterologický 1 wt n J 1 ]. Už víme, že do její extenze (a ani do její antiextenze) sám výraz heterologický 1 v J 1 nenáleží. Protože však výraz heterologický 1 v J 1 nenáleží (ve smyslu není pravda, že náleží) do extenze jím denotované vlastnosti, náleží do extenze vlastnosti H 2, kterou konstruuje λwλt.λn [Heterologický 2 wt n J 2 ]. (Analogické platí pro autologický 1 v J 1, což je výraz náležící do extenze H 2.) Neboli vlastnost H 2, kterou denotuje až predikát heterologický 3 v J 3, má extenzi bohatší než vlastnost H 1. Analogicky: H 3 denotovaná predikátem heterologický 3 v J 3 má extenzi bohatší než vlastnost H 2. Tato skutečnost přirozeně koresponduje větší bohatosti metajazyka vzhledem k objektovému jazyku tedy že tento komunikuje konstrukce, které determinují funkce, které nebyly v dosahu nižšího jazyka. Ač bývá Grellingův paradox podceňován, množstvím matoucích jevů jistě patří k nejzajímavějším sémantickým paradoxům. Tato skutečnost nepřekvapí, když si uvědomíme, že Grelling vytvořil svůj paradox na základě úvah nad vzorovým moderním sémantickým paradoxem, jímž je Russellův predikátový paradox (jak tento budu nazývat). RUSSELLŮV PREDIKÁTOVÝ PARADOX Russellův predikátový paradox (jak ho budeme nazývat) je protějškem proslulého množinového Russellova paradoxu, který útočí na naivní pojem množiny ( Obsahuje množina všech množin, co neobsahují samy sebe, samu sebe? ); oba paradoxy byly Russellem diskutovány už v knize (Russell 1903). Mějme: R 1 : predikát, který není sobě predikovatelný v J 1 (Čtenář sám lehko zjistí, jak údajně vzniká paradox.) Jak víme, monadický predikát denotuje (v J 1 ) vlastnost a tu vlastnost přisuzuje (predikuje) určitému objektu (má jít však o pravdivé přisouzení). Při analýze R 1 vynecháme analýzu výrazu