1) Ludwig Josef Johann Wittgenstein [vitg(e)nštajn] ( ), rakouský

1 Vyjadřování v matematice 1.1 Úvod Vyjadřuje-li matematik (automechanik, zeměměřič, kuchařka, matematický statistik apod.) svoje myšlenky, činí tak pomocí jistého jazyka. Můžeme mluvit o jazyku matematiky (automechaniků, zeměměřičů, kuchařek, matematické statistiky, kuchařek apod.). Každý z nich má k dispozici zásobu slov, z nichž pomocí jistých skladebních pravidel (syntaktických pravidel) skládá věty. Slova mají svůj význam a k tomu je také třeba při sestavování věty přihlížet (sémanická pravidla). Tyto jazyky jsou obvyle součástí jazyka nadřazeného, v Česku obvykle jazyka českého. Slova užíváme k označování určitých věcí nebo témat. Vztah slova a věci je zprostředkován pojmem. Někdy se hovoří o sémantickém trojúhelníku : slovo (symbol) pojem věc (předmět, téma) Pojem lze vymezit buď definicí, jež určí nutné specifické vlastnosti, anebo výčtem všech předmětů, které pod tento pojem spadají. Rozlišujeme (1) intenzi pojmu (z lat. intendo, napřahuji, mířím), neboli význam pojmu (Bertrand Russell) či jeho obsah to, co se pojmem míní a (2) extenzi pojmu (z lat. extendo, rozpínám, rozpřahuji) neboli rozsah pojmu souhrn všech věcí, jež pod tento pojem spadají. Bez pojmů není žádné poznání možné. Ludwig Wittgenstein 1) v díle Tractatus Logico-Philosophicus tvrdí: Hranice mého jazyka znamenají hranice mého světa. O čem nelze mluvit, o tom se musí mlčet. 1) Ludwig Josef Johann Wittgenstein [vitg(e)nštajn] (26. 4. 1889 29. 4. 1951), rakouský technik, matematik, filosof. Roku 1922 vydal Logisch-philosophische Abhandlung (Tractatus Logico-Philosophicus), kde, podle svého názoru, vyřešil všechny problémy filosofie a stáhl se do ústraní. V roce 1929 se vrátil do Cambridge na Trinity College, roku 1939 se zde stal profesorem. V letech 1947 1949 napsal většinu materiálu později vydaného jako Philosophische Untersuchungen (Philosophical Investigations). 3

Z pojmů sestavujeme soudy a ze soudů úsudky. Veškeré prostředky sloužící k vyjadřování, sdělování myšlenek, tj. soudy a úsudky, tvoří jazyk. K přesnému vymezení jakéhokoliv jazyka je třeba stanovit (1) slovník příslušného jazyka (množina přípustných slov), (2) pravidla umožňující vytváření složitějších výrazů (syntaktická pravidla), (3) význam užívaných výrazů (sémantická pravidla). 1.2 Úsudky Úsudkem nazveme neprázdnou konečnou posloupnost jazykových výrazů, které vyjadřují jednotlivé myšlenky procesu usuzování posloupnosti na sebe navazujících souvisejících myšlenek, vedoucích k jistému závěru. Úsudky můžeme rozdělit na deduktivní a nededuktivní (pravděpodobnostní, při splnění předpokladů nemusí závěry platit). Definice 1. Úsudek je logicky správným deduktivním úsudkem tehdy, když vždy, jsou-li pravdivé všechny předpoklady, je pravdivý i závěr. U logicky správného deduktivního úsudku hovoříme o tom, že závěr úsudku vyplývá (plyne nutně) z předpokladů úsudku. (Nemůže nastat případ, že by všechny předpoklady byly pravdivé a přitom byl závěr úsudku nepravdivý.) K deduktivním úsudkům patří: Modus ponens: A 1 : Jestliže X, paky A 2 :(platí)x B 1 :(musíplatit)y Úsudek úplnou indukcí (pro konečné množiny): A 1 : A = {a 1,a 2,...,a n } konečná, málo početná A 2 : V(a 1 ) tj.a 1 má vlastnost V. A n+1 : V(a n ) B 1 : x A: V(x) (vlastnost V mají všechny prvky A) Úsudek matematickou indukcí: A 1 : Platí princip matematické indukce A 2 : Dokážeme, že zkoumanou vlastnost má číslo 1 A 3 : Platí, že má-li zkoumanou vlastnost libovolné n, májitakén +1 B 1 : Zkoumanou vlastnost má každé přirozené číslo K nededuktivním úsudkům patří: Úsudek neúplnou indukcí: Je dána neprázdná základní množina A = {a 1,a 2,...,a n,...}. Zjistíme, že pro prvky a 1,a 2,...,a n platí jistá vlastnost V (symbolicky V(a 1 ),...) a usuzujeme, že také platí V(a n+1 ), V(a n+2 ),... Tedy i zbývající prvky množiny A mají 4

vlastnost V. A 1 : A = {a 1,a 2,...,a n,...} A 2 : V(a 1 ). A n+1 : V(a n ) B 1 : x A: V(x) hypotéza Úsudek neúplnou indukcí má zásadní význam pro přírodní i společenské vědy. Je nezastupitelný. Slouží k formulaci hypotéz. Jejich dokazování je pak úlohou logiky. Úsudek z analogie: Je dán objekt a, jehož vlastnosti známe. U objektu b zjistíme, že má některé ze známých vlastností objektu a. Usuzujeme, žebymohlmít i další vlastnosti shodné s objektem a. A 1 : V 1 (a). A n : V n (a) A n+1 : V 1 (b). A n+k : V k (b) k<n B 1 : i {1, 2,...,k,...,n}: V i (b) Úsudky neúplnou indukcí a z analogie mají zásadní význam pro přírodní i společenské vědy. Slouží k formulaci hypotéz. Jejich dokazování je pak úlohou logiky. 1.3 Konstanty a proměnné V každém jazyku najdeme symboly, které už v rámci daného jazyka dále nedělíme(např.=,!,x,3,, +), jednotlivá slova (Olomouc, Morava) atd. Těmto symbolům říkáme jednoduché jazykové výrazy, symbolům složeným aspoň ze dvou jednoduchých říkáme složené jazykové výrazy (XY,5=4+1,2 2, 6!, Olomouc je na Moravě, bod A leží na přímce p atd.). Ukázka 1. x + y = z = = každé přirozené číslo 3 + 2 = 9 = = = = = 6 < 5 = = = Praha je nějaké město včechách. V ukázce se vyskytují dva typy jazykových výrazů jedny označují právě jeden objeky, druhé označují libovolný objekt z jakési množiny budeme jim říkat konstanty a proměnné. 5

Konstanta je jazykový výraz, který označuje právě jeden objekt. Objek označený konstantou nazveme denotát (designát) konstanty. Ukázka 2. <, 55, +, nejmenší prvočíslo, Ludolfovo číslo p, =,, Praha hl. n., Univerzita Palackého, 3 123, Jan Novák, bytem Lhotka 56 Ukázka 3. 1. Olomouc je město, kde sídlí Univerzita Palackého. 2. Olomouc je město uprostřed Moravy, ležící na řece Moravě. 3. 25, 5 2, dvacet pět, druhá mocnina pěti, pět na kvadrát, 28 3, XXV. Zatímco konstanta Olomouc v první i druhé větě má týž denotát, výraz Morava v druhé větě označuje pokaždé jiný objekt. Všechny konstanty ve třetí větě označují sice stejný objekt, ale je jistý rozdíl např. mezi výrazy dvacet pět a druhá mocnina pěti. Člověk neznalý mocnin nemusí vědět, že výraz druhá mocnina pěti označují stejný objekt jako dvacet pět. (Výrazy 25 a dvacet pět by ho do rozpaků uvést neměly.) Konstantu tedy nelze jednoznačně charakterizovat pouze jejím denotátem. Konstanty se stejným denotátem se v přirozeném jazyku liší něčím, co nazýváme smysl konstanty. Smysl nelze, podobně jako např. množinu nebo přímku, explicitně definovat. Lze se pouze pokusit tento pojem co nejvíce ozřejmit: G. Frege: Smysl daného jazykového výrazu je to co víme, když víme, co daný jazykový výraz znamená. Definice 2. Jazykový výraz nazveme konstantou, má-li v daném jazyku 1) právě jeden denotát, 2) právě jeden smysl. Konstanta je tedy určena trojcí (jméno, denotát, smysl). Jméno konstanty K je jazykový výraz, denotát D je popisovaná realita, smysl S je myšlenková kategorie. Definice 3. Jakýkoliv jazykový výraz, když neoznačuje právě jeden objekt, ale podle potřeby může označit libovolný objekt z nějaké aspoň dvouprvkové množiny, nazveme proměnnou. Množinu objektů, které proměnná může označovat, nazveme oborem proměnnosti dané proměnné. Proměnná nemá denotát, její obor proměnnosti vymezuje množinu možných denotátů. O smyslu proměnné nelze hovořit, proměnné nepřiřazujeme žádný význam. K jednoznačnému určení proměnné stačí uvést pouze její obor proměnnosti. Zásady užití proměnných 1. Za proměnnou lze dosadit libovolnou konstantu z jejího oboru proměnnosti atotak,žena všech výskytech dané proměnné ve výrazu dosadíme touž konstantu. 6

2. Pokud to není výslovně zakázáno, lze za dvě různé proměnné, které mají nedisjunktní obory proměnnosti, dosadit touž konstantu z jejich průniku oborů proměnnosti. 3. Za danou proměnnou lze dosadit jinou proměnnou, případně celý složený výraz, který má význam proměnné. Platí zde ale jisté omezující podmínky, např. záměnou se nesmí změnit obor proměnnosti. 1.4 Výroky Definice 4. Výrokem nazveme jakýkoliv jazykový výraz, o němž má smysl uvažovat, zda je nebo není pravdivý. Ukázka 4. 1. Olomouc je město, kde sídlí Univerzita Palackého. 2. Kolik je hodin? 3. 25 x =5,x R 4. 25 10 = 5 5. Pojď sem! 6. Možná půjdu do kina. 7. Vesmír vznikl jako důsledek narušení vakua o vysoké hustotě energie. 8. Martin šel na fotbal a Petra sedí před zrcadlem. 9. Venku bude večer pršet. 10. Jestliže venku prší, pak na houby nepůjdu. 11. Exisuje pravoúhelník, který má strany shodné. 12. Pro všechna reálná čísla x platí, že x 2 0. 13. Věta, kterou právě říkám, je nepravdivá. Je-li výrok pravdivý, říkáme, že jeho pravdivostní hodnota je 1. Je-li výrok nepravdivý, říkáme, že jeho pravdivostní hodnota je 0. Všimneme-li si jazykových výrazů uvedených v ukázce, vidíme, že uvažovat o jejich pravdivosti má smysl pouze v případech 1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11 a 12. Otázky a příkazy nemohou být výroky. Výrokem není ani výraz 3, který obsahuje proměnnou. Výroky 11 a 12 obsahují proměnnou x a pravoúhelník. Tyto proměnné (na rozdíl od proměnné x ve výroku 3) jsou tzv. vázány výrazem exisuje, resp. pro všechna mluvíme o vázané proměnné (na rozdíl od volné proměnné v 3). Tyto záležitosti studuje predikátová logika. Zajímavá je věta 13, která nemůže být ani pravdivá ani nepravdivá. Vztahuje se sama k sobě a je typickou ukázkou toho, čemu se v logice musíme vyhnout. Samovztažné věty nebudeme za výroky považovat. Příklad 1. V jednom městě žije holič, který holí všechny muže z městečka, kteří neholí sami sebe; a neholí ty, co se holí sami. Holí tento holič sám sebe nebo ne? 7

Definice 5. Jazykový výraz obsahující proměnné, který se stane výrokem, dosadíme-li za tyto proměnné prvky z jejich oborů proměnnosti, se nazývá výroková forma. Jazykový výraz obsahující proměnné, který se nestane výrokem, dosadímeli za tyto proměnné prvky z jejich oborů proměnnosti, se nazývá názvová forma. Výraz 3, který obsahuje proměnnou x, je tedy výrokovou formou, protože 25 3 = 5 je výrok. Výraz 25 x 2 5, x R, který obsahuje proměnnou x, je názvovou formou, protože 25 7 2 5 není výrok. (Algebraické výrazy jsou názvové formy.) Výroky 7 a 9 jsou zvláštní tím, že přestože má smysl uvažovat o jejich pravdivosti, nejsme schopni hned rozhodnout, zda jsou nebo nejsou pravdivé. Takovým výrokům říkáme hypotézy. Definice 6. Hypotézou nazveme výrok, jehož pravdivostní hodnotu neznáme. Pravdivostní hodnotu hypotézy lze zjistit dodatečně. Pak říkáme, že hypotéza byla potvrzena (má-li pravdivostní hodnotu 1) nebo vyvrácena. Ve výrocích 8 a 10 se vyskytují jazykové výrazy, které samy jsou výroky. Tyto podvýroky jsou spojeny jazykovými výrazy, kterým budeme říkat výrokové spojky. Jazykový výraz, který umožňuje spojovat výroky, přičemž vznikne opět výrok, tzv. složený výrok,senazývávýroková spojka. Složený výrok obsahuje aspoň jednu výrokovou spojku, tj. obsahuje souvislý jazykový výraz různý od daného výroku, jenž je sám výrokem (je složen z jednodušších výroků). Každý výrok, který není složený, se nazývá jednoduchým výrokem. Pravdivostní hodnota složeného výroku není dána zvnějšku, je určena pravdivostními hodnotami jednoduchých výroků, z nichž je složen, a použitými výrokovými spojkami. (Nezajímá nás o čem předpoklady (výroky) hovoří, zajímá nás pouze, zda jsou či nejsou pravdivé.) Z tohoto pohledu se výroková spojka jeví jako předpis, kterým pravdivostním hodnotám spojovaných výroků přiřadí jednu výslednou pravdivostní hodnotu je to pravdivostní (logická) funkce. Spojka tak může být dána tabulkou, která všem možným kombinacím hodnot spojovaných výroků přiřadí hodnotu jednu, např. pravdivostní tabulkou. Nejdůležitější spojky klasické výrokové logiky: Negace Definice 7. Negací nazveme logickou funkci danou tabulkou: P P 1 0 0 1 Slovy: Negace uděluje výroku právě opačnou pravdivostní hodnotu. 8

Značení: p Česky: Není pravda, že... 1. Spojku Nenípravda,že... můžemestručněvyjádřitslovem ne....( Není pravda, že prší. Neprší. ) Spojka nevystihuje zcela přesně jen vícenásobné negace. ( Není pravda, že nemohl nevidět tu pohromu. ) 2. Termín negace užíváme jako název pravdivostní funkce (nikoliv spojky) nebo k označení výsledného výroku. Je možné říci, že není pravda, že prší je negací výroku prší. 3. Věta Výrok prší je nepravdivý není negací výroku prší. Je to výrok o pravdivostní hodnotě výroku prší. 4. Negaci výroku lze vyjádřit i výrokem, který zahrnuje všechny zbývající možnosti, vylučující platnost negovaného výroku. Např. Není pravda, že Karel je stejně vysoký jako Petr je výrok rovnocený výrokům Karel není stejně vysoký jako Petr nebo Karel je menší nebo větší než Petr. Na použití předpony ne... je třeba dávat dobrý pozor. 5. Negace může pomoci při rozhodování o tom, zda jazykový výraz je výrokem. Každý výrok musí mít negaci. Disjunkce Definice 8. Disjunkcí nazveme logickou funkci danou tabulkou: P Q P Q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 resp. 10 1 11 0 10 Slovy: Disjunkce je pravdivá, právě když je aspoň jeden z výroků pravdivý. Značení: p q (jiné např.: p + q) Česky:...nebo... 1. Slovní vyjádření p nebo q má v českém jazyku přinejmenším dva základní významy: a) Možnosti se nevylučují. Může nastat případ, že ph(p) = ph(q) =1,tj. spojku nebo používáme v nevylučovacím smyslu to odpovídá definici disjunkce, např. Koupím si pejska nebo kočičku. (Pravidla českého pravopisu nařizují před nevylučovacím nebo nepsát čárku.) b) Možnosti se vylučují. (v pět hodin půjdu do kina, nebo na pojedu na koncert.) Nesmí nastat případ, že ph(p) = ph(q) = 1, tj. spojku nebo používáme ve vylučovacím smyslu (pravidla českého pravopisu nařizují před vylučovacím nebo psát čárku). Vylučovací nebo raději vyjadřujeme spojkou buď..., anebo, resp. buď..., nebo. 9

2. Termín disjunkce užíváme jako název pravdivostní funkce (nikoliv spojky) nebo k označení výsledného výroku. 3. Disjunkce se nazývá též alternativa či logický součet (odtud p + q). Z tabulky je vidět, že disjunkce je komutativní. 4. Užíváme i tzv. zobecněnou disjunkci: platí aspoň jedna z uvedených možností. Konjunkce Definice 9. Konjunkcí nazveme logickou funkci danou tabulkou: P Q P Q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 resp. 10 1 10 0 00 Slovy: Konjunkce je pravdivá, právě když jsou oba výroky pravdivé. Značení: p q (jiné např.: p q) Česky:...a zároveň... 1. Kromě vyjádření p azároveňq se velmi často používá i kratší verze p a q. Analogický význam mají i spojky: i, a současně. Uvedené spojky vystihují konjunkci dosti přesně, jako obvykle však mají v českém jazyku i jiný význam. Potíže činí obzváště krátká verze a. Např.: Vstoupil dovnitř a pověsil klobouk na lustr zde je spojkou a vyjádřena časová následnost, spojka není komutativní. Byla chytrá a hezká také znamená něco jiného než Byla hezká a chytrá. Výraz a také nemusí spojovat výroky: Petra a Andula se vzájemně podobají zde se jedná o jednoduchý výrok, nemá smysl věta Petra se vzájemně podobá nebo Andula se vzájemně podobá. Výraz a se někdy užívá i v jiném významu: Vlak nejede v neděli a ve svátek, Kočkám a psům vstup zakázán neexistuje nedělosvátek nebo kočkopes, spojka v tomto případě vyjadřuje disjunkci. 2. Termín konjunkce užíváme jako název pravdivostní funkce (nikoliv spojky) nebo k označení výsledného výroku. 3. Konjunkce se nazývá též logický součin (odtud p q). Z tabulky je vidět, že konjunkce je komutativní. 4. Užíváme i tzv. zobecněnou konjunkci: platí současně. Aby byla zobecněná konjunkce pravdivá, musí být všechny výroky pravdivé. 10

Implikace Definice 10. Implikací nazveme logickou funkci danou tabulkou: P Q P Q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 resp. 10 1 10 0 11 Slovy: Implikace je nepravdivá, právě když nepravda implikuje pravdu. Značení: p q (jiné např.: p q) Česky: Jestliže..., pak... 1. Z tabulky je vidět, že implikace není komutativní. Proto ve výroku p q rozlišujeme mezi p a q. Výrokp se nazývá předpoklad (antecedent) a výrok q se nazývá tvrzení (konsekvent). Je-li předpoklad nepravdivý, je implikace pravdivá. Je-li tvrzení pravdivé, je implikace pravdivá. 2. Zatímco spojka nebo poměrně přesně vystihovala disjunkci a spojka a konjunkci, nemá český jazyk (ani anglický) vhodnou spojku, která by vyjadřovala implikaci tak, jak je definována. Proto z nedostatku vhodných spojek užíváme spojku jestliže..., pak..., resp. její analogie je-li..., pak..., když..., pak.... Všechny tyto spojky mají základní nevýhodu, poukazují totiž na určitou souvislost tvrzení s předpokladem. Další problém činí řádek 3 definiční tabulky ph(0 1)=1.Řádky1a2jsou prospojku jestliže...,pak... zřejmé.stejnětakřádek4(ph(0 0) = 1). Např. výrok jestliže to dokážeš, pak sním svůj klobouk se považuje za pravdivý, když on to nedokázal a já svůj klobouk nesnědl. Řádek 3 ovšem požaduje, aby tento výrok platil, když on to nedokázal a já svůj klobouk snědl (!). Prvním řešením těchto problémů je užívání výrazu implikuje pro vyjádření implikace nebo v chápání spojky jestliže..., pak... ve významu daném tabulkou implikace, i když se nám to nelíbí. V tomto případě můžeme snadno definovat vyplývání jako pravdivou implikaci. Každé vyplývání je pak implikací, nikoliv obráceně. Z tabulky implikace vidíme, že je-li pravdivá implikace i předpoklad, nutně musí tvrzení platit, pravdivost předpokladu k tomu postačuje, ale není nutné aby předpoklad platil řádky 1 (postačuje) a 3 (není nutné) v tabulce, řádky 2 (neplatí implikace) a 4 (neplatí předpoklad) neuvažujeme. Je-li pravdivá implikace i tvrzení, může i nemusí předpoklad platit řádky 1 a 3 (nepostačuje) ale je-li implikace pravdivá a tvrzení nepravdivé, pak předpoklad neplatí řádek 4 (je tedy nutná). 11

Například: Jestliže prší, pak jsou na obloze mraky. K tomu, aby na obloze byly mraky postačuje, aby pršelo. K tomu aby pršelo je nutné, aby na obloze byly mraky, ale nestačí to. 2. Termín implikace užíváme jako název pravdivostní funkce (nikoliv spojky) nebo k označení výsledného výroku. 3. Užíváme následující terminologii: p q implikace q p implikace obrácená q p implikace obměněná 4. Je-li p q pravdivá, říkáme, že z p logicky vyplývá q. Je-li p q pravdivá a zároveň q p pravdivá, říkáme, že p a q jsou logicky ekvivalentní. Ekvivalence Definice 11. Implikací nazveme logickou funkci danou tabulkou: P Q P Q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 resp. 10 1 10 0 01 Slovy: Ekvivalence je pravdivá, mají-li oba výroky stejnou pravdivostní hodnotu. Význam: Ekvivalence vyjadřuje logickou rovnocennost ve výrokové logice. Značení: p q (jiné např.: p q, p q) Česky:..., právě když... 1. Kromě vyjádření p, právě když q sečastopoužívá p je ekvivalentní q, p tehdy a jen tehdy, když q, jestliže p, pakq a naopak. 2. Termín ekvivalence užíváme jako název pravdivostní funkce (nikoliv spojky) nebo k označení výsledného výroku. 3. Z tabulky je vidět, že ekvivalence je komutativní. 4. Později dokážeme, že p q je ekvivalentní (p q) (q p). Můžeme tedy ekvivalenci definovat pomocí implikace a konjunkce ekvivalence je druhotná spojka. 5. Existuje-li mezi výroky p a q souvislost a p q je pravdivá, potom pravdivost p se nazývá podmínka nutná a postačující pro pravdivost q, viz tabulka. Stejně tak, vzhledem ke komutativitě ekvivalence, je pravdivost q podmínka nutná a postačující pro pravdivost p. 7. Je-li p q pravdivá, říkáme, že p a q jsou logicky ekvivalentní. 12

Systém všech jednoargumentových pravdivostních funkcí P Φ 1 1 Φ 1 2 Φ 1 3 Φ 1 4 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 verum opakování negace falzum P P P P (P P ) P P P P P P P P P Systém všech dvouargumentových pravdivostních funkcí P Q Φ 2 1 Φ 2 2 Φ 2 3 Φ 2 4 Φ 2 5 Φ 2 6 Φ 2 7 Φ 2 8 Φ 2 9 Φ 2 10 Φ 2 11 Φ 2 12 Φ 2 13 Φ 2 14 Φ 2 15 Φ 2 16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Φ 2 1 Φ 2 2 Φ 2 3 Φ 2 4 verum dvouargumentové, true (dvouargumentové) disjunkce obrácená implikace (Q implikuje P ) druhé opakování P Φ 2 5 implikace (P implikuje Q) Φ 2 6 Φ 2 7 Φ 2 8 Φ 2 9 druhé opakování Q ekvivalence konjunkce antikonjunkce, Sheffer (Shefferův operátor) Φ 2 10 antivalence Φ 2 11 druhé opakování Q Φ 2 12 Φ 2 13 Φ 2 14 Φ 2 15 antiimplikace, inhibice (nemá českou spojku) druhé opakování P obrácená inhibice antidisjunkce, Peircův operátor Φ 2 16 falzum dvouargumentové, false (dvouargumentové) 1.5 Složené výroky Dohodneme se, že složené výroky budeme zapisovat analogicky jako matematické výrazy, např.: ((a b c) c) (a c) 13

1.5.1 Vyhodnocování formulí Složený výrok (formule) je složen jen z konečného počtu jednoduchých výroků spojených výrokovými spojkami Máme-li zjistit, co je daný složený výrok zač, stačí ho prozkoumat pro všechny možné pravdivostní hodnoty v něm se vyskytujících jednoduchých výroků, zastoupených obvykle symboly a, b, c atd. A těchto všech možných pravdivostních hodnot je pro n proměnných jenom 2 n. Pro lepší přehlednost můžeme zaznamenat hodnoty proměnných, podformulí zkoumané formule i formule samotné do tabulky. Příklad 2. Rozhodněte o pravdivosti formule Řešení: ϕ =(C (A B)) ((C A) (C B)). A B C A A B C (A B) (C A) (C B) (C A) (C B) ϕ 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 Zkoumaná formule je vždy pravdivá, je to tzv. tautologie (logický zákon). Příklad 3. Rozhodněte o pravdivosti formule A (B A). Řešení: Vyplníme tabulku Zkoumaná formule je vždy pravdivá. A B B A A (B A) 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 Nabudeme-li s vyhodnocovíním formulí zkušenosti, není třeba uvádět podformule. Tabulku není ani nutné vyplňovat úplně, lze využít znalostí o pravdivostních funkcích. Příklad 4. Rozhodněte o pravdivosti (C (A B)) ((C A) (C B)). 14

Řešení: A B C (C (A B)) ((C A) (C B)) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 Zkoumaná formule je vždy pravdivá, je to tzv. tautologie (logický zákon). V příkladu jsme použili tzv. tabulkovou metodu, která také umožňuje vždy rozhodnout o správnosti úsudku výrokové logiky, tj. zda je daný úsudek logicky správným deduktivním úsudkem. Příklad 5. Rozhodněte o správnosti úsudku: X Y X Y Řešení: Vyplníme tabulku X Y X X Y 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 Oba předpoklady úsudku jsou splněny pouze v prvním řádku tabulky, kde nabývá Y hodnotu 1, tedy tento úsudek je logicky správným deduktivním úsudkem. Tabulková metoda slouží také k hledání neznámých pravdivostních hodnot výrokových proměnných. Příklad 6. Víme, že platí (A B) C a(a C) B. Mámezjistit,jaké trojce hodnot může trojce proměnných (A, B, C) nabývat. Řešení: Vyplníme tabulku úsporným způsobem (zjistíme-li, že některý z výroků neplatí, nemusíme v příslušném řádku dál pokračovat). 15

A B C (A B) C (A C) B 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 Z tabulky vidíme, že oba výroky platí pro trojice (1, 1, 0), (0, 0, 1) a (0, 0, 0). 1.5.2 Tautologie Představíme si nyní některé logické zákony. a) základní zákony klasické výrokové logiky 1. Tranzitivita implikace: ((ϕ ψ) (ψ χ)) (ϕ χ) 2. Hypotetický sylogismus: (ϕ ψ) ((ϕ ψ) (ϕ ψ)) 3. Zákon kontrapozice (transpozice): (ϕ ψ) ( ψ ϕ) 4. Zákon vyloučení třetí možnosti (tercium non datur): ϕ ϕ Někteří logikové nepovažují tuto formuli za tautologii, ale jen za splnitelnou formuli. Pro konečné množiny formulí platí, ale pro nekonečné množiny? Pak také samozřejmě neuznávají důkaz sporem. 5. Zákon sporu: (ϕ ϕ) Kdyby tento zákon neplatil, mohl by mít výrok současně dvě pravdivostní hodnoty. Pro teorii, v níž platí ϕ asoučasně ϕ, to znamená katastrofu, je tzv. sporná. 6. Zákon dvojí negace: ( ϕ) ϕ b) algebraicko-logické zákony klasické výrokové logiky 7. Komutativita konjunkce: (ϕ ψ) (ψ ϕ) disjunkce: (ϕ ψ) (ψ ϕ) ekvivalence: (ϕ ψ) (ψ ϕ) 8. Asociativita konjunkce: (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) χ) disjunkce: (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) χ) ekvivalence: (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) χ) 16

9. Distributivita vzhledem k : (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) vzhledem k : (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) implikace: (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) 10. de Morganův zákon pro konjunkci: (ϕ ψ) ( ϕ ψ) disjunkci: (ϕ ψ) ( ϕ ψ) c) zákony postihující vlastnosti implikace 11. Zákon Dunse Scota: (ϕ ϕ) ψ Kontradikce je explozivní, implikuje cokoliv. 12. Zákon odloučení (modus ponens): ((ϕ ψ) ϕ) ψ 13. Zákon zjednodušení (simplifikace): ϕ (ψ ϕ) 14. Zákon totožnosti: ϕ ϕ Tento zákon ukazuje základní vlastnost každého logického zákona, a sice že nepřináší nic zásedně nového. d) zákony charakterizující ekvivalenci: 15. Antisymetrie implikace: ((ϕ ψ) (ψ ϕ)) (ϕ ψ) (zákon ekvivalence) 16. Tranzitivita ekvivalence: ((ϕ ψ) (ψ χ)) (ϕ χ) 17. Zákon negování ekvivalence: (ϕ ψ)) ( ϕ ψ) e) další zákony vyjadřující vztah mezi logickými funkcemi: 18. Vztah implikace a disjunkce: (ϕ ψ) ( ϕ ψ) 19. Vztah implikace a konjunkce (negace implikace): (ϕ ψ) (ϕ ψ) 20. (ϕ ψ) ((ϕ ψ) ψ) vzhledem ke komutativitě disjunkce: (ϕ ψ) ((ψ ϕ) ϕ) Na základě známých tautologií a věty o nahrazení můžeme s formulemi nakládat obdobně jako s algebraickými výrazy v matematice. 17

1.6 Kvantifikátory Z výrokové formy a + b =5, a,b R se může stát výrok, dosadíme-li za proměnnou prvek jejího oboru proměnnosti 2.14 + 7.3 =5 nebo vázáním proměnné tím, že k ní vztáhneme údaj o počtu, tzv. kvantifikátor. ke každému a R existuje b R tak, že a + b =5. Standardní interpretace a čtení: ( x)(p (x)) pro každé x (ze základní množiny) platí P (x), (pro všechna x, pro libovolné x, pro jakékoliv x). ( x)( P (x)) pro žádné x (ze základní množiny) neplatí P (x) (neříkáme pro každé x neplatí P (x) ). V hovorové řeči často nebývá kvantifikátor uveden: Ryba je obratlovec. (Každá ryba je obratlovec.) ( x)(p (x)) existuje (aspoň jedno) x (z neprázdné základní množiny), pro které platí P (x). Nevylučujeme tím ale, že to platí pro všechna x. Pro negování výrazů s kvantifikátory platí DeMorganovy zákony: I. ( ( x) (P (x)) ) ( x) ( P (x)) II. ( ( x) (P (x)) ) ( x) ( P (x)) Číselné kvantifikátory nelze negovat mechanicky. Pomáháme si graficky číselnou poloosou nezáporných celých čísel. Negace musí zahrnovat všechny zbývající možnosti: nejvýš n aspoň n +1 aspoň n nejvýš n 1 18

Příklady k přednášce 1 1. Rozhodněte, zda se jedná o výroky, své rozhodnutí zdůvodněte: 1. Dnes je středa. 2. Některé květiny mají žluté květy. 3. Po silnici jede červené auto. 4. Zítra je neděle. 5. Trojúhelník je pravoúhlý. 6. 10 35 7. Přímky jsou rovnoběžné. 8. Kolik je hodin? 9. x<4 10. Dvě přímky nakreslené na tabuli jsou rovnoběžné. 11. Na Marsu existoval život. 12. Pojď sem! 13. Narýsuj trojúhelník, jsou-li dány jeho strany. 14. 11 > 12 15. Sousední strany pravoúhelníka jsou shodné. 16. Daný pravoúhelník má strany shodné. 17. Exisuje pravoúhelník, který má strany shodné. 18. Žádný pravoúhelník nemá strany shodné. 19. (x +1) 2 = x 2 +2x +1 20. Stříhali dohola malého chlapečka. 2. Rozhodněte, ve kterých dvojicích jde o výrok a jeho negaci: 1. Dnes je sobota. Dnes je neděle. 2. Máme psa. Máme křečka. 3. Máme dobrmana Máme labradora. 4. Dané dvě přímky v rovině jsou rovnoběžné. Dané dvě přímky v rovině jsou různoběžné. 5. Dané dvě přímky v prostoru jsou rovnoběžné. Dané dvě přímky v prostoru jsou různoběžné. 6. Dané číslo je záporné. Dané číslo je kladné. 7. Dané přirozené číslo je prvočíslo. Dané přirozené číslo je číslo složené. 8. Prší. Neprší. 9. Prší a sněží. Neprší a nesněží. 19

3. Zformulujte co nejstručněji negaci následujících výroků: 1. Otec je starší než matka. 2. Číslo 7 se rovná číslu 8. 3. Večer půjdu do divadla. 4. Stůl má čtyři nohy. 5. Čert nikdy nespí. 6. Vltava teče přes Prahu. 7. 11 > 12 8. Daný pravoúhelník má strany shodné. 9. Exisuje pravoúhelník, který má strany shodné. 10. Žádný pravoúhelník nemá strany shodné. 11. Není pravda, že neovládám logiku. 4. Víte-li, že v označuje výrok Byl tady Vilém, h označuje výrok Byl tady Hynek a j označuje výrok Byla tady Jarmila, co znamená: 1. (v j) (h j) 2. v j 3. (v j) h 3. (v j) h 4. v (j h) 5. h (j v) 6. v j 7. (h j) ( h v) 8. h v j 5. Zapište pomocí symbolů výrokové logiky: 1. Přijde Petr i Pavel. 2. Přijde-li Petr, přijde také Pavel. 3. Petr přijde, právě když přijde Pavel. 4. Jestliže přijde Pavel, pak přijde Petr. 5. Pavel přijde tehdy a jen tehdy, když přijde Petr 6. Z dvojice Petr a Pavel přijde alespoň jeden. 7. Z dvojice Petr a Pavel přijde právě jeden. 8. Z dvojice Petr a Pavel přijde nejvýše jeden. 9. Oba nepřijdou. 10. Žádný nepřijde. 11. Oba přijdou. 20

6. Víte-li, že a označuje výrok Přišel Adam a e označuje výrok Přišla Eva, zapište symbolicky: 1. Přišel Adam a nepřišla Eva. 2. Přišel nejvýše jeden z nich, ale Adam to nebyl. 3. Nepřišel ani Adam ani Eva. 4. Neřišel Adam nebo přišla Eva s Adamem. 5. Eva přišla až když přišel Adam. 6. Adam přišel společně s Evou. 7. Rozhodněte o pravdivosti výroků: 1. (p q) p q 2. (p q) ( p q) 3. (p q) ( p q) 4. (p q) ( p q) 5. ((p q) (q p)) (p q) 6. (p q r) ( p q r) 7. p (q p) 8. Dokažte, že: 1. (a b) ( a b) 2. (a b) ( a b) 3. (a b) (a b) 9. Vyjádřete stručně pomocí složených výroků, s využitím předcházejícího příkladu negace těchto výroků: 1. Máme pivo a minerálky. 2. Osvěžíme se čajem nebo kávou. 3. Jestliže budu obědvat vepřové, budu pít pivo. 4. Nemám hlad a nemám žízeň. 5. Nemám hlad a mám žízeň. 6. Budou-li ke koupi čekanka, nekoupím salát. 7. Doma nebudu tehdy a jen tehdy, když nebude pršet. 10. Rozhodněte, zda jsou uvedené úsudky logicky správné: A 1 : A B C A 2 : A A 3 : A C B 1 : B 21

A B C D A C (B D) B A 11. K uvedeným výrokovým formám utvořte existenční a obecné výroky a rozhodněte o jejich pravdivosti: 1. A(x): x> x (Z = Z), 2. B(x): x x (Z = N), 3. C(x): x 2 +5x 4=0(Z = Z), 4. D(x): x 2 8x +7< 0(Z = R). 12. Zformulujte negace následujících výroků. Definičním oborem je množina všech diváků na jistém představení. 1. Všichni lidé mají slavnostní oblečení. 2. Odešlo už alespoň 5 lidí. 3. Nikdo neusnul. 4. Nejstaršímu divákovi je právě 60 let. 5. Kdokoliv může odejít. 6. Někdo zakašlal. 7. Ani jeden divák nešustí sáčkem s bonbóny. 13. Nechť K(x) znamená, že x je kočka, M(x) znamená, že x je myš a L(x, y) znamená, že x loví y. Vyjádřete co nejlépe česky formule: 1. ( x)(k(x) M(x)) 2. ( x y)(k(x) L(x, y) M(y)) 3. ( x y)(k(x) L(x, y) M(y)) 4. ( x y)((k(x) K(y)) L(x, y)) 14. I do města Kocourkova pronikl turistický ruch. Městská rada projednávala, jak ještě více zvýšit příliv turistů. Byly předloženy tyto návrhy: vybudovat na náměstí kašnu, postavit pomník zakladateli města, vystavět vyhlídkovou věž. Městská pokladna však není příliš plná, a tak se radní dohodli realizovat nejvýše dva z předložených návrhů. V diskuzi vystoupili tři radní. První radní: Jsem pro jakékoliv řešení, nebudu souhlasit jenom s rozhodnutím stavět pomník a nestavět vyhlídkovou věž. Druhý radní: Budu protestovat jenom tehdy, kdybychom v našem městě stavěli kašnu a nepostavili pomník. 22

Třetí radní: Mně by nevyhovovalo jedině to řešení, kdyby v našem městě stála vyhlídková věž a chyběla kašna. Městská rada usoudila, že všem třem radním je třeba vyhovět. Co asi v Kocourkově postaví? 15. V okamžiku, kdy na chodbě dozírající učitel uslyšel řinkot skla, byli ve třídě tři žáci: A, B, C. Při vyšetřování se zjistilo, že u okna byl nejvýše jeden z žáků A, B. Žák C byl u okna právě tehdy, když tam nebyl žák A. Když žák B nebyl u okna, nebyl tam ani žák A. Je možné určit pachatele v případě, že byl jenom jeden? 23