KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura
|
|
- Vítězslav Bedřich Jaroš
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/ KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 2
2 Výroková logika pokračování Logické vyplývání Mějme dány dvě formule α, β. Řekneme, že α logicky implikuje β, neboli β logicky vyplývá z α, jestliže při jakémkoliv ohodnocení proměnných, pro které je pravdivá formule α, je pravdivá i formule β. Píšeme α β. Příklad 2.1 Ukážeme, že platí a (a b) a b. Je potřeba uvažovat všechna ohodnocení proměnných formulí α = a (a b) a β = a b. Je vidět, že jde o tři proměnné a, b a c. Nejefektivnější způsob je vypsat tato ohodnocení do tabulky konkrétně do pravdivostní tabulky těchto dvou formulí α a β. Protože máme ověřit pouze zda je pravdivá β za předpokladu pravdivosti α, lze si ušetřit práci tím, že vypočítáme pravdivostní hodnoty formule α pro všechna ohodnocení proměnných, přitom pravdivostní hodnoty formule β stačí vypočítat jen pro taková ohodnocení, pro které je α pravdivá. Viz tabulku. Vidíme, že jsme si ušetřili a b a b a (a b) a b Tabulka 1: Pravdivostní tabulka pro zjištění log. vyplývání dvou formulí práci a vypočítali pravdivostní hodnotu formule β pouze pro poslední pravdivostní ohodnocení. Protože ve sloupci napravo se nevyskytuje 0, dostáváme, že opravdu α logicky implikuje β. Pokud bychom v tabulce v předchozím příkladu přidali sloupec pro pravdivostní hodnotu formule (a (a b)) (a b), zjistili bychom, že jde o tautologii. To není náhoda. Dokonce obecně platí, že α β právě tehdy, když je formule α β tautologie. Logická ekvivalence Mějme dány dvě formule α, β. Řekneme, že α a β jsou logicky ekvivalentní, jestliže pro jakékoliv ohodnocení mají formule α i β stejnou pravdivostní hodnotu. Píšeme α β. Platí 2
3 α β právě tehdy, když α β je tautologie, α β právě tehdy, když α β a zároveň β α. Z kapitoly Tautologie z předchozí opory lze získat následující ekvivalence budeme je nazývat pravidly nahrazení 1 : Název a zkratka komutativita (Com) asociativita (Assoc) distributivita (Dist) De Morganovy zákony (De M) dvojí negace (DN) Ekvivalence (α β) (β α) (α β) (β α) (α (β γ)) ((α β) γ) (α (β γ)) ((α β) γ) (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (α β) ( α β) (α β) ( α β) α α implikace (Impl) (α β) ( α β) obměna (Trans) ekvivalence (Equiv) (α β) ( β α) (α β) ((α β) (β α)) (α β) ((α β) ( α β)) spojování předpokladů (Exp) (α β) γ α (β γ) Tautologie (Taut) α α α α α α Tyto ekvivalence často používáme k úpravě formulí na bud jednodušší formule, či formule v nějakém vhodném tvaru. Budou také potřeba v důkazech, viz dále. Úsudek (argument) Úsudkem budeme rozumět (konečnou) množinu výroků, kterým budeme říkat předpoklady (premisy), společně s dalším výrokem, kterému budeme říkat závěr. Závěr bývá uvozen slovy proto platí, že nebo pak apod. Úsudek je takovou základní jednotku usuzování. Příklad 2.2 Uvažujeme následující úsudek: Dnes má Eva zkoušku z fyziky nebo z matematiky. Eva dnes nemá zkoušku z fyziky. Proto platí, že Eva má dnes zkoušku z matematiky. Premisami jsou dva výroky: Dnes má Eva zkoušku z fyziky nebo z matematiky. Eva dnes nemá zkoušku z fyziky. Závěr je výrok: Eva má dnes zkoušku z matematiky. 1 Neplést si s pravidlem nahrazení z předchozí opory. 3
4 Označme F : Dnes má Eva zkoušku z fyziky. M: Dnes má Eva zkoušku z matematiky. Pak premisy našeho úsudku lze psát jako F M, F a závěr lze zapsat jako M. Zamyslíme-li se nad úsudkem z Příkladu 2.2, mohli bychom se shodnout na tom, že je správný budeme říkat platný. Tato platnost ovšem není a nesmí být závislá na konkrétních výrocích, ale k její platnosti musíme dospět pouze prostředky logiky. Abstrahovat od obsahu konkrétních výroků již umíme místo jednotlivých výroků budeme uvažovat příslušné formule. Takto přejdeme od konkrétního úsudku k pojmu úsudková forma. Úsudková forma Srovnejme úsudek z Příkladu 2.2 s následujícím úsudkem: Premisy jsou Dnes půjdu do kina nebo divadla, Dnes nepůjdu do kina se závěrem Dnes půjdu do divadla. Asi bude opět platný. Vidíme, že ačkoliv se v něm mluví úplně o jiných věcech, k intuitivnímu ověření jeho správnosti jsme došli stejnou logickou úvahou. Při usuzování je tedy důležitá struktura, nikoliv konkrétní výroky. To nás vede k zavedení pojmu úsudkové formy. Ta má vztah ke konkrétnímu úsudku stejný, jako má formule ke konkrétnímu výroku (jeho instanci). Úsudkovou formou budeme rozumět (konečnou) množinu formulí, kterým budeme říkat předpoklady (premisy), společně s další formulí, které budeme říkat závěr. Dosadíme-li do premis a závěru úsudkové formy za výrokové symboly konkrétní výroky, dostaneme úsudek, kterému budeme říkat instance úsudkové formy. Příklad 2.3 Uvažujme úsudkovou formu s premisami a b, a a závěrem b. Dosadímeli za proměnné a a b postupně výroky dnes má Eva zkoušku z fyziky a dnes má Eva zkoušku z matematiky, dostaneme úsudek z Příkladu 2.2, který je jeho instancí (jednou z mnoha). Následuje důležitá definice: Řekneme, že úsudková forma s premisami α 1, α 2,..., α n a závěrem β je platná, jestliže pro každé ohodnocení výrokových proměnných platí, že jsou-li všechny premisy pravdivé, je pravdivý i závěr. Pokud tomu tak není, říkáme, že úsudková forma je neplatná. Snadno lze nahlédnout, že úsudková forma je platná právě tehdy, když (α 1 α 2... α n ) β, 4
5 neboli, když je formule (α 1 α 2... α n ) β tautologií. Nyní můžeme konečně zadefinovat platnost úsudku: Řekneme, že úsudek je platný, jestliže je instancí platné úsudková formy. Snadno lze ověřit, že ((a b) a) b, tzn. úsudek z Příkladu 2.2 je skutečně platný! Nekonzistentní premisy Může se stát, že premisy úsudkové formy jsou takové, že nejsou zároveň všechny pravdivé při žádném pravdivostním ohodnocení tzn. konjunkce všech premis je kontradikcí. To pak ale má za následek, že implikace z definice platnosti úsudkové formy je vždy (tzn. při jakémkoliv pravdivostním ohodnocení) pravdivá. Jinak řečeno, z takových premis pak může vyplývat cokoliv. Příklad 2.4 Uvažujme například úsudek s premisami jestliže je Michal na dovolené, pak je na Bermudách, Michal je bud v kanceláři nebo na dovolené, Michal není v kanceláři a není ani na Bermudách a závěrem Michal má dovolenou. Zjistíme, že tento úsudek je platný (proved te!). Zajímavé ovšem je, že zaměníme-li v tomto úsudku závěr za jeho negaci, tj. Michal nemá dovolenou, dostaneme opět platný úsudek (ověřte sami)! Dokonce, vezmeme-li za závěr jakýkoliv (!) výrok (opravdu jakýkoliv, vůbec se nemusí týkat Michala), bude úsudek opět platný. Důvodem je fakt, že konjunkce všech premis příslušné úsudkové formy je kontradikce. Jestiže konjunkce všech premis dané úsudkové formy je kontradikce, říkáme, že premisy jsou nekonzistentní. Protože z nekonzistentních premis lze usoudit cokoliv, nebudou nás takové úsudkové formy (a jejich instance) zajímat! Formální důkaz platnosti úsudku Platnost úsudku jsme definovali prostřednictvím platnosti příslušné úsudkové formy. Ověřit platnost úsudkové formy pomocí pravdivostní tabulky je tak jednoduché, že je to možno provést i strojově. Problém ovšem nastává, když je počet výrokových proměnných v úsudkové formě větší. Jak lze snadno spočítat, objevuje-li se v úsudkové formě n výrokových proměnných, pak má pravdivostní tabulka 2 n řádků. V praxi se vyskytujících úsudkových formách by se ale mohly objevovat desítky proměnných, což už by časem nezvládaly ani superpočítače. Proto je potřeba platnost úsudku ověřit jinak důkazem. Půjde o seznam výroků, kde na začátku budou stát premisy, každý další řádek bude logicky vyplývat z předchozích řádků a na posledním řádku bude závěr úsudku. 5
6 Budou se používat následující pravidla odvozování 2 jde o platné úsudkové formy. Název a zkratka Premisy Závěr zjednodušení (Simp) a b a součet (Add) a a b konjunkce (Conj) a, b a b disjunktivní sylogismus (DS) a b, a b modus ponens (MP) a b, a b modus tollens (MT) a b, b a hypotetický sylogismus (HS) a b, b c a c absorpce (Abs) a b a (a b) konstruktivní dilema (CD) (a b) (c d), a c b d Nyní můžeme definovat metodu formálního důkazu úsudku. Ta nám umožní snáze pochopit definici důkazu matematické věty. Pro daný úsudek s premisami P 1,..., P n a závěrem Q, rozumíme formálním důkazem jeho platnosti seznam výroků, začínajícím premisami a končící závěrem. Přitom pro každý výrok z tohoto seznamu platí: je premisa, nebo může být odvozen pomocí pravidel odvození z předcházejících výroků, nebo je ekvivalentní pomocí pravidel nahrazení s některým z předcházejících výroků. Z této definice je vidět, že opět nezávisí na konkrétních výrocích ale struktuře premis a závěru. Proto místo o premisách a závěru můžeme místo o výrocích mluvit o příslušných formulích (jejichž jsou instancemi). Shrnutí V této opoře jsme si ukázali, co to znamená logické vyplývání formulí výrokové logiky a co je logická ekvivalence dvou formulí. Nejdůležitějšími pojmy této opory byly úsudek a jeho důkaz. Úsudek je seznam výroků, kterým říkáme premisy plus výrok navíc, kterému se říká závěr. Platnost úsudku se ověřuje takto: 1. Najdeme úsudkovou formu jejíž je úsudek instancí. 2. Označíme-li α 1,..., α n premisy úsudkové formy a β její závěr (nyní jde o formule!), pak platnost či neplatnost úsudkové formy závisí na tom, zda je či není formule (α 1... α n ) β tautologií. 2 Promyslete jejich smysl. Většinu těchto pravidel denně používáte automaticky. Zkuste je začít používat vědomě. 6
7 3. Úsudek je platný či neplatný, pokud je taková jeho úsudková forma. Na tomto postupu je potřeba si uvědomit fakt, že úsudek nejprve převedeme na úsudkovou formu, která nic neví o obsahu jednotlivých výroků našeho úsudku, pouze zachycuje vniřní logickou strukturu (realizovanou pomocí logických spojek). Platnost pak závisí pouze na pravidlech logiky. Dále jsme si ukázali dva způsoby jak ověřit platnost úsudku: 1. pomocí pravdivostní tabulky (potenciálně pracné, ale bez přemýšlení), 2. pomocí formálního důkazu (potenciálně méně pracné, ale vyžadující zkušenost, kreativitu a vhled do problému). Cvičení Úloha 2.1 Zjistěte platnost následujících úsudků. 1. Jestliže Tomáš přijede zítra, sním svůj klobouk. Tomáš zítra nepřijede. Proto nesním svůj klobouk. 2. Jestliže budu hodně pracovat, získám dobrou práci. Jestliže získám dobrou práci, stanu se váženým občanem. Proto, když budu hodně pracovat, stanu se váženým občanem. 3. Jestliže budou zbraně zakázány, budeme žít všichni v míru. Budeme žít v míru nebo lidská rasa vymře (pozor, zde je použito nebo ve vylučovacím smyslu!). Nebudeme žít v míru. Proto budou zbraně zakázány. 4. Jana přijde na mou párty právě tehdy, když Marek nepřijde. Jestliže Jana na mou párty nepřijde, pak Jirka na ni také nepřijde. Proto přijde bud Jirka nebo Marek ale ne oba současně. 5. Teplota roste právě tehdy, když slunce svítí. Slunce nesvítí a na obloze jsou mraky. Jestliže jsou na obloze mraky, pak teplota roste. Proto dnes nebude pršet. 6. Jestliže si koupím nové auto, nepojedu na dovolenou. Jestliže si nekoupím nové auto, koupím si motocykl. Proto bud pojedu na dovolenou nebo si koupím motocykl (nebo oboje). (Smyslem této úlohy je procvičení přepisu složených výroků do jazyka výrokové logiky a procvičení sémantiky logických spojek.) Úloha 2.2 Ověřte, že pravidla nahrazení jsou ekvivalence. Úloha 2.3 Ověřte, že pravidla odvozování jsou platné úsudková formy. Úloha 2.4 Zkonstruujte důkazy následujících úsudků. 1. Je-li Jarek v Paříži, pak je Maruška v New Yorku. Jarek je v Paříži a Franta je v Římě. Proto je Maruška v New Yorku. 7
8 2. Jestliže má Marek pravdu, nezaměstnanost se zvýší, a jestli má Anička pravdu, bude tuhá zima. Anička má pravdu. Proto se bude zvyšovat nezaměstnanost, nebo bude tuhá zima, nebo obojí. 3. Jestliže bude léto teplé, nepojedeme v srpnu na dovolenou. Pojedeme v srpnu na dovolenou nebo si koupíme nové auto (nebo obojí). Proto platí, že když bude léto teplé, koupíme si auto. 4. Jestliže bude pít víno nebo jíst sýr, bude ji bolet hlava. Bude pít víno a jíst čokoládu. Proto ji bude bolet hlava. 5. Vražda byla spáchána bud podezřelým A nebo oběma podezřelými B a C současně. Jestliže A nebo B spáchali vraždu, pak byla obět otrávena. Proto bud C spáchal vraždu nebo byla obět otrávena. (Vyřešením těchto cvičení si student osvojí pravidla nahrazení a odvození nezbytná pro další studium.) 8
9 Příloha A: Tabulka pravidel nahrazení a odvozování Název a zkratka komutativita (Com) asociativita (Assoc) distributivita (Dist) De Morganovy zákony (De M) dvojí negace (DN) Ekvivalence (α β) (β α) (α β) (β α) (α (β γ)) ((α β) γ) (α (β γ)) ((α β) γ) (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (α β) ( α β) (α β) ( α β) α α implikace (Impl) (α β) ( α β) obměna (Trans) ekvivalence (Equiv) (α β) ( β α) (α β) ((α β) (β α)) (α β) ((α β) ( α β)) spojování předpokladů (Exp) (α β) γ α (β γ) Tautologie (Taut) α α α α α α Název a zkratka Premisy Závěr zjednodušení (Simp) a b a součet (Add) a a b konjunkce (Conj) a, b a b disjunktivní sylogismus (DS) a b, a b modus ponens (MP) a b, a b modus tollens (MT) a b, b a hypotetický sylogismus (HS) a b, b c a c absorpce (Abs) a b a (a b) konstruktivní dilema (CD) (a b) (c d), a c b d 9
10 Příloha B: Metoda důkazu implikace Často se můžeme setkat s úsudky, jejichž závěry jsou výroky ve tvaru implikace, např. uvažujme úsudek s premisami P 1, P 2,..., P n a závěrem ve tvaru P Q, kde P 1,..., P n, P, Q jsou nějaké výroky. Příslušný formální důkaz pak může vypadat nějak takto: Řádek Výrok Komenář 1 P 1 premisa 2 P 2 premisa. n P n premisa. (n + k) P Q... komentář... To se může prakticky ukázat jako obtížné. Snazší by bylo dokazovat platnost úsudku s premisami P 1,..., P n, P a závěrem Q. Ukážeme si, že původní úsudek je platný právě tehdy, když je platný tento druhý úsudek. Provedeme následující úvahu: Úsudek s premisami P 1, P 2,..., P n a závěrem ve tvaru P Q je platný právě tehdy, když příslušná úsudková forma je platná, tzn. formule (p 1... p n ) (p q) je tautologií (kde P 1,..., P n, P, Q jsou instancemi formulí p 1,..., p n, p, q). S využitím pravidla spojování předpokladů, tzn. ekvivalence p (q r) (p q) r zjištujeme, že je tato formule ekvivalentní s formulí (p 1... p n p) q. Poslední formule je ale tautologií právě tehdy, když úsudková forma s premisami p 1,..., p n, p a závěrem q je platná, tzn. právě tehdy když je úsudek s premisami P 1,..., P n, P a závěrem Q je platný. Formální důkaz úsudku s premisami P 1,..., P n, P a závěrem Q budeme zapisovat následovně: Řádek Výrok Komenář 1 P 1 premisa 2 P 2 premisa. n P n premisa n + 1 P (CP). n + k Q... komentář... n + k + 1 P Q (CP), řádky n + 1 až n + k Zkratka (CP) znamená conditional proof. 10
Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana.
Trosečníci Adam, Barry, Code a Dan zapoměli po čase kalendář. Začali se dohadovat, který den v týdnu vlastně je. Každý z nich řekl svůj názor: A: Dnes je úterý nebo zítra je neděle B: Dnes není úterý nebo
VíceZáklady informatiky. Výroková logika
Základy informatiky Výroková logika Zpracoval: Upravila: Ing. Pavel Děrgel Daniela Sztrucová Obsah přednášky Výroková logika Výroky Pravdivostní ohodnocení Logické spojky Výrokově logická analýza Aristotelés
VíceLogika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
VíceKlasická výroková logika - tabulková metoda
1 Klasická výroková logika - tabulková metoda Na úrovni výrokové logiky budeme interpretací rozumět každé přiřazení pravdivostních hodnot výrokovým parametrům. (V případě přiřazení pravdivostních hodnot
VíceSložené výroky Jsou tvořeny dvěma nebo více výroky jednoduššími. V : Číslo 8 je liché. V : 0,1 N. V : Paříž je hl. město Španělska.
Výrok a jeho negace Výrokem se rozumí sdělení u něhož má smysl otázka zda je či není pravdivé. Budeme určovat tzv. pravdivostní hodnotu výroku (PH). Příklady výroků: V : Úhlopříčky čtverce jsou na sebe
VíceZáklady logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
VíceVY_42_Inovace_12_MA_2.01_ Výroky. Prezentace určena pro první ročník maturitních oborů, ve které je vysvětlení učiva výroky.
Číslo projektu Číslo materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0394 VY_42_Inovace_12_MA_2.01_ Výroky Název školy Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1 Autor Tematický celek Mgr.
VíceFormální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
VícePravda jako funkce - ano, nebo ne?
Pravda jako funkce - ano, nebo ne? Nehledě na to, jestli jsou pravidla pro logickou platnost zabudována v našem myšlení, nebo nikoliv, máme velmi silné intuice o platnosti a neplatnosti nejrůznějších úsudků.
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Sémantická věta o dedukci Věta Pro
Víceteorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce
Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových
Více09. seminář logika (úvod, výroková).notebook. November 30, 2011. Logika
Logika 1 Logika Slovo logika se v češtině běžně používá ve smyslu myšlenková cesta, která vedla k daným závěrům. Logika je formální věda, zkoumající právě onen způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
Víceλογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč )
MATA P1: Výroky, množiny a operace s nimi Matematická logika (z řeckého slova λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) Výrok primitivní pojem matematické logiky. Tvrzení, pro které má smysl otázka o jeho
VíceJak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora
Česká zemědělská univerzita 17. října 2011 U makléře Já: Dobrý den, rád bych koupil nějaký světlý byt. Chtěl bych, aby měl dvě koupelny a aby byl v domě výtah. A neměl by být nijak extrémně drahý. Makléř:
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceVýroková logika - opakování
- opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α
VíceVýroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox
Více1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7
1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
VíceSoučin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
VíceVýroková logika. p, q, r...
Výroková logika Výroková logika je logika, která zkoumá pravdivostní podmínky tvrzení a vztah vyplývání v úsudcích na základě vztahů mezi celými větami. Můžeme též říci, že se jedná o logiku spojek, protože
VíceLOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA
LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,
VíceDISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY I
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY I RADIM BĚLOHLÁVEK, VILÉM VYCHODIL VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM
VíceÚvod do logiky (VL): 8. Negace výroků
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 8. Negace výroků doc. PhDr. Jiří Raclavský,
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Argumentace a ověřování Gradovaný řetězec úloh Autor: Stanislav Trávníček Úloha 1 (úroveň 1
VíceCvičení 4. negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence. a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky. 1) [p (p q)] [( p q) (q p)]
Cvičení 4 negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky 1) [p (p q)] [( p q) (q p)] p q p q p q q p p A B C D E UEK UED A B C D E F 0 0 1 1 0 0 0 1 p q
VíceLogika III. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika III. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
VíceLogika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.
Logika 2. Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216, Logika:
VíceÚvod do logiky (VL): 5. Odvození výrokových spojek z jiných
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 5. Odvození z jiných doc. PhDr. Jiří Raclavský,
Více2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC
22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se
VíceBooleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.
Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz
VíceVýroková logika dokazatelnost
Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových
Více1. Základy logiky a teorie množin
. Základy logiky a teorie množin Studijní text. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 9. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (85 864). Boole prosadil
Více1. Matematická logika
MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika
VíceRegulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.
Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice
VíceSLOŽENÉ VÝROKY. Konjunkce. Motivační příklad společné zadání pro další příklady:
ARNP 1 2015 Př. 1 SLOŽENÉ VÝROKY Motivační příklad společné zadání pro další příklady: Byly vysloveny následující výroky (vhledem k budoucímu času se jedná o hypotézy) : b: Na přednášku přijde Barbora.
VíceKMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura
Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 1 Cílem tohoto semináře je efektivní uvedení
VíceVysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. Matematika. Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Matematika Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Doc. PaedDr. Dalibor Martišek, Ph.D. RNDr. Milana Faltusová 5 Autoři: Lektorovala: Doc.
VíceZákladní pojmy matematické logiky
KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je
VíceKATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
VíceY36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz
Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování
VíceKMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura
Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 3 Predikátový počet Uvažujme následující úsudek.
VíceVečerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede
Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede 1 Výroková logika výroky:a,b pravdivost výroku: 0 nepravda, 1 pravda logické spojky: A negace A A B konjunkce A B disjunkce A B implikace
VíceVysoká škola ekonomická v Praze
Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta informatiky a statistiky Katedra informačního a znalostního inženýrství Student Vedoucí bakalářské práce : Marek Nekvasil : RNDr. Jiřina Vejnarová, CSc. TÉMA BAKALÁŘSKÉ
VíceMatematika pro informatiky KMA/MATA
Matematika pro informatiky KMA/MATA Informace k předmětu Mgr. Přemysl Rosa rosapr00@pf.jcu.cz, J349 Konzultační hodiny v ZS: úterý 10-11, čtvrtek 15-16 nebo individuálně po předchozí domluvě aktivní účast
VícePremisa Premisa Závěr
Studijní text Argumentace Jak to v komunikaci přirozeně děláme, jak argumentujeme? Leden má 31 dní, protože je prvním měsícem roku. Vím, že nelze nekomunikovat. Tzn. každý člověk komunikuje. A Petr je
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,
VíceMatematická indukce, sumy a produkty, matematická logika
Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika 8.9. -.0.009 Matematická indukce Jde o následující vlastnost přirozených čísel: Předpokládejme:. Nějaké tvrzení platí pro.. Platí-li tvrzení pro
VíceCvičení z logiky II.
Cvičení z logiky II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 https://edux.fit.cvut.cz/courses/bi-mlo/lectures/
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Co a k čemu je logika? 2 Výroky a logické spojky
Více1. Matematická logika
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 1. Matematická logika Základem každé vědy (tedy i matematiky i fyziky) je soubor jistých znalostí. To, co z těchto izolovaných poznatků
VíceMísto pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu
VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod
VíceÚvod do logiky (VL): 7. Ekvivalentní transformace
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 7. Ekvivalentní transformace doc. PhDr. Jiří
Vícevýrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.
1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.
VíceSémantika predikátové logiky
Sémantika predikátové logiky pro analýzu sémantiky potřebujeme nejprve specifikaci jazyka (doména, konstanty, funkční a predikátové symboly) příklad: formální jazyk s jediným binárním predikátovým symbolem
VíceSémantika výrokové logiky. Alena Gollová Výroková logika 1/23
Výroková logika Alena Gollová Výroková logika 1/23 Obsah 1 Formule výrokové logiky 2 Alena Gollová Výroková logika 2/23 Formule výrokové logiky Výrok je oznamovací věta, o jejíž pravdivosti lze rozhodnout.
VíceKapitola Výroky
1 Kapitola 1 Výroková logika 1.1 Výroky 1.1.1 Příklad Rozhodněte, zda následující posloupnosti symbolú jsou výrokové formule. Jde-li o formuli, pak sestrojte její strom, určete její hloubku a uved te všechny
Více1 Úvod do matematické logiky
1 Úvod do matematické logiky Logikou v běžném slova smyslu rozumíme myšlenkovou cestu, která vede k určitým závěrům. Logika je také formální věda, která zkoumá způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele
VíceBooleovy algebry. Irina Perfilieva. logo
Booleovy algebry Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 25. března 2010 Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry 3 Věty o Booleových algebrách Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry
VíceSpojování výroků (podmínek) logickými spojkami
Spojování výroků (podmínek) logickými spojkami Spojování výroků logickými spojkami a) Konjunkce - spojení A B; Pravdivostní tabulka konjunkce A B A B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 AND; A a současně B Konjunkce
VíceUNIVERZITA KARLOVA V PRAZE. Pedagogická fakulta. Katedra matematiky a didaktiky matematiky. Metody řešení slovních úloh pomocí logiky
UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE Pedagogická fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky Metody řešení slovních úloh pomocí logiky Autor: Helena Bartlová Vedoucí práce: Prof. RNDr. Jarmila Novotná, CSc.
VíceMatematická logika. 1
Matematická logika. 1 Obsah 1. Úvod... 2 2. Výroková logika... 8 2.1. Sémantický výklad výrokové logiky.... 8 Převod z přirozeného jazyka do symbolického jazyka výrokové logiky:... 10 Výrokově logická
VíceÚvod do logiky (VL): 12. Ověřování platnosti úsudků metodou protipříkladu
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 12. Ověřování platnosti úsudků metodou protipříkladu
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2018/2019 1 / 15 Platnost (pravdivost) Platnost ve struktuře
VíceMatematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů
Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.
VíceEdita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY
Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................
VíceVýrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá.
Výroková logika I Výroková logika se zabývá výroky. (Kdo by to byl řekl. :-)) Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. U výroku
Více1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení
1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení Než uvedeme konkrétní příklady, zopakujme si definici interpretace, ohodnocení a pravdivosti. Necht L je nějaký jazyk. Interpretaci U, jazyka L tvoří
VíceMatice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
VíceÚvod do logiky (VL): 14. Důkazové systémy
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 14. Důkazové systémy doc. PhDr. Jiří Raclavský,
VíceGRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ
VíceObří prvky: jak postavit větší kostky
Obří prvky: jak postavit větší kostky KAPITOLA 5 V této kapitole: Zvětšení měřítka: jak na to Ostatní měřítka: která fungují a proč Shrnutí: obří kostky jsou jen začátek V kapitole 3 jsme pracovali s měřítkem
VíceVýroková logika. Sémantika výrokové logiky
Výroková logika Výroková logika se zabývá vztahy mezi dále neanalyzovanými elementárními výroky. Nezabývá se smyslem těchto elementárních výroků, zkoumá pouze vztahy mezi nimi. Elementární výrok je takový
VíceLenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012
Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z
VíceLogika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
VíceRezoluční kalkulus pro výrokovou logiku
AD4M33AU Automatické uvažování Rezoluční kalkulus pro výrokovou logiku Petr Pudlák Výroková logika Výhody Jednoduchý jazyk. Rozhodnutelnost dokazatelnosti i nedokazatelnosti. Rychlejší algoritmy. Nevýhody
VíceÚvod do logiky (VL): 2. Uvedení do výrokové logiky
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 2. Uvedení do výrokové logiky doc. PhDr. Jiří
VícePo prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat,
1 Matematická logika 1.1 Výroky, operace s výroky Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat, měli být schopni
VíceLogika. 5. Rezoluční princip. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.
Logika 5. Rezoluční princip RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
VíceDisjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška
Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je
VíceA0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly
Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková
VíceÚvod do výrokové logiky. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216 2013 1 / 29
Úvod do výrokové logiky (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216 2013 1 / 29 Extenzionalita Extenze a intenze typ výrazu extenze intenze individuový výraz jednotlivý objekt individuový pojem predikát
Více2 Spojité modely rozhodování
2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A
VíceKlasická predikátová logika
Klasická predikátová logika Matematická logika, LS 2012/13, závěrečná přednáška Libor Běhounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 PřF OU, 6. 5. 2013 Symboly klasické predikátové logiky Poznámky Motivace
VíceUnární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek
Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.
VíceJak je důležité být fuzzy
100 vědců do SŠ 1. intenzivní škola Olomouc, 21. 22. 6. 2012 Jak je důležité být fuzzy Libor Běhounek Ústav informatiky AV ČR 1. Úvod Klasická logika Logika se zabývá pravdivostí výroků a jejím přenášením
VíceVýroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).
Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před
VíceVÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu
VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632
VíceNepřijde a nedám 100 Kč měl jsem pravdu, o této
1.4.4 Implikace Předpoklady: 010403 Implikace Implikace libovolných výroků a,b je výrok, který vznikne jejich spojením slovním obratem jestliže, pak, píšeme a b a čteme jestliže a, pak b. Výroku a se říká
Více0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04
0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1
VíceVÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá..
VÝROKOVÁ LOGIKA Teorie: Logika je vědní obor zabývající se studiem různých forem vyjadřování a pravidel správného posuzování. (Matematická logika je součástí tohoto vědního oboru a ve velké míře užívá
Více1 Výrok a jeho negace
1 Výrok a jeho negace Výrokem se rozumí sdělení, u něhož má smysl otázka, zda je, či není pravdivé. Budeme určovat tzv. pravdivostní hodnotu výroku (PH). Příklady výroků: V Úhlopříčky čtverce jsou na sebe
VíceSkalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )
LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava
VíceStochastické modely: prezentace k přednášce
Stochastické modely: prezentace k přednášce Jan Zouhar Katedra ekonometrie FIS VŠE v Praze 27. října 2015 Obsah 1 Úvod do náhodných procesů 2 MŘ s diskrétním časem a konečným počtem stavů Základní pojmy
Více- existuje..., negace: pro všechny neplatí,... - pro všechna..., negace: existuje, že neplatí,...
.4.0 Formální logika shrnutí Předpoklady: 00409 Shrnutí logiky Důležité znalosti konjunkce, a b, "a", pravda, jen když jsou oba výroky pravdivé (jako průnik) disjunkce, a b, "nebo", lež, jen když jsou
VíceKALENDÁŘOVÉ ÚLOHY PRO TALENTY, vč. metodického listu. doc. PhDr. Marta Volfová, CSc.
KALENDÁŘOVÉ ÚLOHY PRO TALENTY, vč. metodického listu doc. PhDr. Marta Volfová, CSc. Centrum talentů M&F&I, Univerzita Hradec Králové, 2010 Kalendářové úlohy jsou zahaleny určitou tajemností a přitahují
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Vícepostaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy
Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných
Více