VOJTĚCH BENEŠ, MIREK KUBERA FYZIKA

VOJTĚCH BENEŠ, MIREK KUBERA FYZIKA GML Publishers 2013

Kapitola 1 Kmitání mechanického oscilátoru Jaký učený název! Zkusme si ale uvědomit, kde všude kolem sebe oscilátory nalezneme. Ano, tlumiče automobilu jsou jedním příkladem, houpačka druhým a když se nebudeme držet pouze mechaniky, nalezneme je takřka v každém oboru lidské činnosti. Pomáhají nám měřit čas, ohřívají jídlo, navigují nás. Mají něco společného?

Oddíl 1 Základní popis CO SE NAUČÍME? 1. Pochopit, že oscilátory jsou všude kolem nás. 2. Zjistit, jaké základní veličiny každý oscilátor charakterizují. 3. Naučit se jejich pohyb popsat slovně i matematicky. Co je to oscilátor? Na následujících obrázcích si můžete uvědomit, že pojem oscilátor je sice poměrně složitý, ale se zařízeními, které využívají pohybu oscilátoru neboli jeho kmitavého pohybu se dnes setkáváme zcela běžně. Galerie 1.1 Příklady oscilátorů Už při cestě do školy nebo do z a m ě s t n á n í. N a s a d í m e s i náramkové hodinky, které obsahují mechanický nebo elektronický nepokoj (oscilátor). Jedeme autem nebo autobusem - jeho tlumiče nás c h r á n í p ř e d o t ř e s y n a nerovnostech vozovky. Čas opět o d m ě ř u j í m e c h a n i c k é n e b o Tlumiče automobilů - dokážete si představit pohyb automobilu bez nich? elektronické hodiny, při přípravě oběda využijeme mikrovlnné trouby, odpoledne se stavíme s mladším bratříčkem na dětském hřišti (houpačka) nebo se při výletu 2

necháme navádět přístrojem GPS. Večer si poslechneme komorní kvartet a přijde-li na věc, uvědomíme si, že jsme slyšeli hned několik oscilátorů. Pomocí sofistikovaných přístrojů (EKG) můžeme zaznamenat činnost lidského srdce a z nepatrných odchylek od běžných křivek zjistit, zda vyšetřovaný pacient netrpí nějakou srdeční vadou. Jak vypadá kardiogram? Dokážete tuto křivku stručně popsat? Film 1.1 Botafumeiro Již po staletí se vydávají poutníci do španělského města Santiago de Compostella, aby se poklonili ostatkům svatého Jakuba Staršího. Při liturgii je prostor chrámu vykuřován kadidelnicí zavěšenou na laně. Jak je kadidelnice uváděna do pohybu? Jaký pohyb vykonává? Videozáznam snímaný s vysokorychlostní kamerou (např. 1000 snímků za sekundu 1000 FPS) nám umožní zviditelnit děje, kterou jsou velmi rychlé a okem je nemůžeme vidět. Rameno ladičky se zřetelně deformuje, kmitá kolem určité polohy. Člověk vnímá zvuk. Co je jeho příčinou? Jak se pohybuje kmitající rameno ladičky? Hlasivky jsou také pěkným příkladem oscilátoru. Chceme-li vyslovit nějakou hlásku, musíme je velmi rychle rozkmitat (100-300 krát za sekundu). Zaznamenáme-li toto kmitání na počítači nebo osciloskopu, získáme představu o tom, jak jednotlivé hlásky vypadají a čím se vlastně liší. Námořní navigace a měření času Trvalo velmi dlouho než byly sestrojeny mechanické hodiny, jejichž pohyb byl nezávislý na pohybech lodi, což bylo důležité z hlediska navigace při mořeplavbě. Jejich konstruktérem byl John Harrison (1693-1776) a za svůj vynález získal od K d y ž s e d í v á m e k o l e m s e b e, všimneme si různých d ě j ů, k t e r é s e postupně opakují. T a k o v é d ě j e n a z ý v á m e periodické. Pravidelně se střídá den a noc, roční o b d o b í, p o l o h a hvězd na obloze, ale i d a l š í d ě j e. Pravidelně dýcháme 3

a pozorujeme zvedání hrudníku, cítíme, že nám tluče srdce, celé naše tělo je seřízeno podle pravidelně se opakujících dějů. Podívejme se kolem sebe, člověk vytvořil mnoho technických zařízení, jejichž principem je pravidelně se opakující periodický děj. Kyvadlo hodin se pomalu přesunuje ze strany na stranu, tlumiče automobilu kmitají kolem určité polohy, v kapesních hodinkách kmitá nepokoj, signály GPS a další se šíří na elektromagnetických vlnách, které jsou vytvářeny kmitáním antény. Takovéto systémy nazýváme oscilátory. Z uvedených příkladů je zřejmé, že nalezneme oscilátory biologické, m e c h a n i c k é č i elektrické. A tento výčet rozhodně není úplný. Popis vlastností oscilátorů C o j e v š e m t ě m t o tělesům či systémům společné? Jak můžeme jejich vývoj popsat? Pomocí jakých veličin? Nejprve by bylo vhodné, abychom definovali o s c i l á t o r. S t r u č n ě řečeno jde o jakýkoliv systém, který se vyvíjí 4

Interaktivní 1.1 Popis uspořádání experimentu. Pružina Závaží Sonar charakterizována svojí tuhostí k, ale o tom až později. Pružina je na jednom konci zavěšená na stojanu. Jestliže na její volný konec zavěsíme závaží o hmotnosti m, její délka se zvětší, pružina se prodlouží. Závaží se po chvilce ustálí v určité poloze, kterou nazveme rovnovážná poloha, neboť v této poloze jsou v rovnováze dvě síly, a to tíhová, působící svisle dolů, a tahová síla pružiny, působící svisle vzhůru, protože pružina je natažená. Abychom zaznamenali pohyb závaží, použijeme sonar. Umístíme ho do dostatečné vzdálenosti pod závaží, závaží vychýlíme z rovnovážné polohy o několik centimetrů směrem dolů a uvolníme z ruky. Pozorujeme pohyb závaží směrem k rovnovážné poloze, poté závaží pokračuje dále směrem vzhůru, po určité době se zastaví, začne se pohybovat směrem dolů, projde rovnovážnou polohou, až se dostane do místa, odkud jsme ho uvolnili. V tomto okamžiku se celý děj začíná opakovat. Pomocí sonaru zaznamenáváme okamžitou polohu tělesa (víme tedy, kde se v každém okamžiku nachází), ale také jeho rychlost (víme tedy, jakou rychlostí a jakým směrem se těleso pohybuje). Jak vypadají grafy znázorňující pohyb závaží na pružině? Lze je jednoduše popsat? Lze je popsat matematicky? periodicky (opakovaně) kolem určité rovnovážné polohy. Co to znamená, můžeme vidět na následujícím příkladu. Pro jednoduchost si vyberme mechanický oscilátor složený ze závaží o hmotnosti m, které je zavěšené na pružině. Pružina je Graf znázorňující polohu v závislosti na čase se zdá být velmi podobný křivce, kterou nazýváme sinusoida. Můžeme se o tom přesvědčit, když naměřenou funkci proložíme funkcí sinus. Nejprve ale zkusme připomenout vlastnosti této funkce. Funkce sinus a také graf znázorňující polohu závaží na čase je funkce 5

Galerie 1.2 Netlumený oscilátor Okamžitá výchylka netlumeného oscilátoru se mění periodicky. Amplituda kmitů však zůstává konstantní. periodická a omezená. To znamená, že hodnoty p o l o h y n a b ý v a j í stejných hodnot po u r č i t é m č a s o v é m intervalu (perioda) a pohyb závaží se tedy začíná opakovat. Určitě si všimneme, že se hodnoty polohy mění kolem určité hodnoty. D o b r ý p o z o r o v a t e l připomene, že tato h o d n o t a o d p o v í d á p o l o z e z á v a ž í v rovnovážné poloze. Graf polohy v závislosti na čase je shora i zdola omezený, závaží kmitá mezi nejnižší a nejvyšší hodnotou, které jsou stejně vzdáleny od rovnovážné polohy. O kolik centimetrů jsme vychýlili závaží při jeho uvedení do pohybu? Tento rozdíl mezi nejvyšší polohou a rovnovážnou polohou oscilátoru nazýváme amplituda. Nyní tedy můžeme shrnout všechny parametry, které takový oscilátor popisují: rovnovážná poloha poloha, kolem které oscilátor kmitá (ve které se obvykle oscilátor zastaví, když je tlumený amplituda maximální výchylka oscilátoru (rozdíl mezi nejvyšší polohou a rovnovážnou polohou oscilátoru) perioda doba, po které se děj začne opakovat frekvence vyjadřuje počet kmitů za jednotku času (převrácená hodnota periody) Existují samozřejmě i další charakteristiky oscilátorů, z nichž na tomto místě připomeňme alespoň: energie oscilátorů je mnoho druhů, můžeme se tedy setkat s různými druhy energií (polohová, pohybová, pružnosti, elektrická, magnetická, chemická,...) rychlost, zrychlení pouze v případě mechanického oscilátoru, stejně jako poloha se mění periodicky v závislosti na čase. Velmi důležité je zjištění, zda se pohyb oscilátoru samovolně zastavuje nebo ne. Oscilátor, jehož amplituda s časem klesá, je tlumený. Pokud je amplituda daného oscilátoru konstantní, pak jde o oscilátor netlumený neboli harmonický. 6

veličina značka jednotka význam rovnovážná poloha x0 m amplituda xm m poloha, kolem které oscilátor kmitá maximální hodnota výchylky Jestliže na oscilátor nepůsobí žádné další síly nebo obecněji vlivy, řekneme, že je oscilátor volný. Pokud je podroben stálému nebo Galerie 1.4 Tlumený oscilátor okamžitá poloha x m perioda T s frekvence f Hz rychlost v m/s doba, za kterou se pohyb oscilátoru začne opakovat počet opakování za 1 s vzdálenost uražená tělesem za 1 s Mírně tlumený oscilátor (závaží na pružině brzděno kouskem kartonu). Galerie 1.3 Tlumený nebo netlumený oscilátor? zrychlení a m/s 2 velikosti rychlosti za změna 1 s kinetická energie EK J odpovídá rychlosti potenciální energie energie pružnosti EP EPP J J spojena s výškou souvisí s deformací pružiny Závaží zavěšené na pružině je vhodným příkladem mechanického oscilátoru. 7

Film 1.2 Nepokoj mechanických náramkových hodinek. Test 1.1 Základní charakteristiky oscilátorů Otázka 1 z 5 Co je to oscilátor? A. Soustava, kterou když uvedeme do pohybu, tak se bude neustále pohybovat. Funkcí nepokoje je neustále dodávat do systému rozruch. Energie nutná k jeho pohonu pochází ze stlačené pružiny. periodickému působení, pak jej nazveme nucený, stejně jako jeho kmitání.je v čase stálá, nemění se. Naopak, jestliže se výchylka oscilátoru trvale zmenšuje, oscilátor nazveme tlumený. B. Systém, jehož pohyb se periodicky opakuje a nikdy neutlumí. C. Jakýkoliv systém, jehož pohyb se periodicky opakuje. D. Mechanický systém, s pravidelně se opakujícím pohybem. Zkontrolovat odpověď 8

Rovnice kmitání mechanického oscilátoru Sestavme nyní rovnici kmitání mechanického oscilátoru. Tato rovnice by nám měla umožnit určit okamžitou polohu oscilátoru v daném čase. Bude to tedy č a s o v á r o v n i c e, h l e d á m e okamžitou výchylku jako funkci času x = x (t). Vyjděme z již realizovaného experimentu pohyb závaží zavěšeného na pružině. Vidíme, že záznam kmitání tohoto tělesa má sinusový průběh. Zkusme tedy hledat rovnici ve t v a r u x(t) = A cos(bt + C ) + D. H o d n o t u k o n s t a n t y D identifikujeme poměrně snadno, víme totiž, že hodnota D posouvá křivku ve svislém směru, jde tedy o hodnotu rovnovážné polohy (poloha závaží, když ještě nekmitá). Konstanta A zase odpovídá amplitudě křivky (pro funkce sinus či kosinus je to 1). V našem experimentu nalezneme hodnotu amplitudy jako rozdíl mezi hodnotou nejvyšší polohy a hodnotou rovnovážné polohy. Galerie 1.5 Počáteční podmínky a kmitání oscilátoru Oscilátor uvolněn bez počáteční rychlosti z dolní extrémní polohy. Pružina byla natažena. Co určují parametry B a C? Víme-li z matematiky, že funkce y = cosx a y = cos(2x) mají různé periody (2π, resp. π), odvodíme si, že hodnota B bude souviset s periodou a frekvencí kmitání. Nazýváme ji úhlová frekvence kmitů, má jednotku s -1 a určuje počet kmitů oscilátoru za čas 2π sekund. Známe-li periodu kmitání (kterou lze snadno změřit třeba stopkami), pak můžeme psát ω = 2π T = 2π f. Poslední hodnotou, kterou chceme vysvětlit je konstanta C. Abychom plně pochopili její význam, můžeme provést několik experimentů. Zkusme rozkmitat závaží různými způsoby: vychýlením dolů a následným uvolněním (var. A), vychýlením nahoru a následným uvolněním (var. B) nebo třeba tak, že mu v rovnovážné poloze udělíme určitou rychlost (var. C). Jestliže přitom zaznamenáváme okamžitou polohu tělesa, grafy zaznamenávající pohyb tělesa mají stejný tvar, jsou však vůči sobě posunuty ve vodorovném směru. Hodnota C je tzv. 9

počáteční fáze kmitání a závisí na způsobu uvedení tělesa do pohybu. Jestliže závaží vychýlíme směrem dolů a uvolníme bez počáteční rychlosti (var. A), graf křivky x = x (t) bude odpovídat funkci kosinus a rovnici kmitání oscilátoru zapíšeme ve tvaru x(t) = x m cos(ωt) + x 0. Jestliže závaží postrčíme z rovnovážné polohy směrem vzhůru (var. C), rovnici kmitání oscilátoru zapíšeme ve tvaru x(t) = x m cos(ωt + π 2 ) + x 0. Počáteční fázi obvykle vyjadřujeme hodnotou v rozmezí 0-2π. Shrňme přehledně vše důležité: Rovnice kmitání mechanického oscilátoru zní: x(t) = x m cos(ωt + φ 0 ) + x 0 V této rovnici hodnota xm označuje amplitudu kmitů, hodnota ω úhlovou frekvenci, t odpovídá času, φ 0 je počáteční fáze a x0 určuje hodnotu rovnovážné polohy. V dalších příkladech budeme uvažovat pouze takové oscilátory, které kmitají kolem nulové rovnovážné polohy (můžeme snadno v rovnovážné poloze sonar vynulovat a pak je x0 = 0) a bez počáteční fáze (těleso posuneme z rovnovážné polohy několik centimetrů vzhůru a uvolníme, pak je φ 0 = 0). Zjednodušená rovnice kmitání mechanického oscilátoru pak nabývá tvaru: x(t) = x m cos(ωt). 10

Pohyb oscilátoru Podívejme se nyní na souvislost rychlosti oscilátoru a jeho polohy. V našem úvodním experimentu jsme již rychlost kmitání zobrazili, ale doposud nijak nekomentovali. Podívejme se nyní na obě křivky podrobněji. se začne vracet (znaménko rychlosti se stává opačným). Dále si všimneme, že rychlost je maximální právě tehdy, když závaží prochází rovnovážnou polohou (Vidíme, že okamžitá poloha je Interaktivní 1.2 Kmitání netlumeného oscilátoru Ať už jsou počáteční podmínky a další charakteristiky jakékoliv, obě dvě křivky spolu velice těsně souvisí. (Ostatně z mechaniky již víme, že rychlost vyjadřuje změnu polohy tělesa.) V okamžiku, kdy je okamžitá poloha maximální nebo minimální, závaží se tedy nachází v horní nebo dolní krajní poloze, rychlost nabývá nulové hodnoty. Až do tohoto okamžiku se závaží pohybovalo jedním směrem (dolů nebo vzhůru), nyní se jeho pohyb zastaví a závaží rovna rovnovážné. Pokud jsme předtím oscilátor vynulovali, je čtení grafů snazší, rychlost je maximální, když je poloha nulová.). Jestliže graf znázorňující polohu závaží popisujeme pomocí funkce kosinus, pro popis grafu znázorňujícího změny rychlosti na čase použijeme funkci sinus. Odpovídající rovnice pak má tvar v(t) = ωx m sin(ωt) = v m sin(ωt). 11

Hodnota vm je amplituda rychlosti (hodnota maximální rychlosti závaží). S touto rychlostí závaží prochází rovnovážnou polohou. Hodnota ω je opět úhlová rychlost kmitání, která se nemění. Foucaultovo kyvadlo Přestože byly pohyby kyvadla a stáčení roviny kmitů pozorovány již o mnoho desítek let dříve, francouzský fyzik Jean Bernad Léon Foucault (1819-1868) dokázal svým pokusem z roku 1851 tyto pohyby vysvětlit. Jeho kyvadlo zavěšené v kupoli v Pantheonu v Paříži bylo dlouhé 67 m a mosazná koule na jeho konci vážila 28 kilogramů. Perioda oscilací měla 16,5 s, šlo tedy o velmi pomalý a majestátný pohyb. Přestože se rovina jeho kmitů během jedné hodiny otočila o 11, tento experiment nebyl pro jeho současníky příliš přesvědčivý. O rok později tedy Foucault vynalezl gyroskop, jehož osa byla stále rovnoběžná s libovolným směrem a nezávislá na zeměpisné šířce. Vsuvka pro pokročilé Obrázek 1.1 Foucaultovo kyvadlo, Panthéon, Paříž Mezi rychlostí a polohou existuje zajímavý vztah, který je popsán pomocí funkce derivace podle času. Tato matematická funkce totiž popisuje změny, což je i rolí rychlosti jakožto fyzikální veličiny. Rychlost vyjadřuje, jak mnoho se mění poloha tělesa. Jestliže tedy víme, že okamžitá poloha oscilátoru je dána funkcí x(t) = x m cos(ωt), pak lze vyjádřit rychlost jeho pohybu z definice v(t) = d x dt = d dt (x m cos(ωt) = ω x sin(ωt) = v m cos(ωt + π 2 ). Jak jsme již řekli, derivace vyjadřuje velikost změn dané funkce. Z grafu polohy v závislosti na čase tedy můžeme poměrně jednoduše odhadnout, kdy bude rychlost největší a kdy nejmenší. Stačí se podívat na změny polohy. Jestliže tato funkce nabývá svého maxima nebo minima, v okolí tohoto bodu se tedy 12

Perioda kmitání mechanického oscilátoru Jak jsme již uvedli, základním charakteristikou studovaného T = 2π l, kde l je délka kyvadla a g hodnota tíhového zrychlení g oscilátoru - závaží na pružině - je jeho perioda T. Hodnota periody je spojena s dalšími veličinami, které popisují daný oscilátor. V první řadě je to hmotnost m závaží zavěšeného na pružině: v místě experimentu. Zajímavé je, že hmotnost závaží dobu kmitu neovlivňuje. Tento vztah můžete ověřit následujícím experimentem. Čím je hmotnost závaží větší, tím oscilátor kmitá pomaleji. To můžeme ověřit jednoduchým experimentem, stačí změnit hmotnost použitého závaží na dvojnásobek a perioda T výrazně vzroste. Druhým faktorem ovlivňujícím periodu je tuhost pružiny k. Tato veličina vyjadřuje, jak velkou silou F musíme působit na danou pružinu, abychom ji prodloužili o 1 m. Jednotka tuhosti je N/m. Čím tužší pružina (tuhost k je větší), tím kratší je doba kmitu. Celkově lze experimentálně objevit nebo i teoreticky odvodit vztah pro periodu kmitů závaží na pružině: T = 2π m k. Dalším mechanickým oscilátorem je matematické kyvadlo. Jedná se o závaží hmotnosti m zavěšené na nehmotném vlákně délky l. Tentokrát je perioda kmitů vyjádřena vztahem: 13

Oddíl 2 Domácí experiment Hledání vztahu pro periodu kmitání matematického kyvadla Jak můžeme měřit čas? Jak dlouhé musí být kyvadlo, které by nám svým pohybem zleva doprava nebo zpět (tzv. 1 kmit) určovalo jednotku času - 1 s? 2. Postup opakujte pro různé délky kyvadla od 50 cm po 150 cm nebo více. 3. Výsledky měření zaznamenejte do tabulky. Zpracování výsledků: V následující práci nalezneme odpovědi na položené otázky. Budeme potřebovat závaží o hmotnosti přibližně 100 g (bohatě postačí svazek klíčů), tenký provázek nebo nit o délce kolem 2 m, stopky na mobilu. Důležité je také nají vhodný prostor, kde budeme moci k y v a d l o u p e v n i t a ro z k m i t á v a t. Potřebujeme výšku alespoň dva metry. img - foto situace, detail klíčů Postup: č.m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 l (cm) 10T (s) T (s) T 2 (s 2 ) T 2 /l (s 2 /m) 1. Vypočítejte hodnoty ve všech buňkách tabulky. 2. Sestrojte graf funkce T 2 = f (l). 1. Nastavte délku kyvadla na 50 cm, uveďte kyvadlo do pohybu a změřte délku 10 period. 3. Jestliže je závislost lineární, proložte ji přímkou a určete její rovnici. 14

4. Porovnejte nalezený vztah se vztahem teoretickým T = 2π l g. 5. Odpovězte na otázky v úvodu. Otázka navíc: Jakým způsobem se dají seřídit kyvadlové hodiny, které se předbíhají o několik minut za týden? Zvládnete takové seřízení sami nebo je nutné je odnést k hodináři? 15

Oddíl 3 Energie kmitavého pohybu Energie oscilátoru Pohybující se mechanický oscilátor (závaží na pružině či matematické kyvadlo) je popsán také svojí kinetickou (pohybovou) energií. Její velikost závisí na rychlosti v oscilátoru vztahem E k = 1 2 mv2. Hodnota m představuje hmotnost závaží. A Galerie 1.6 Změny energií mechanického oscilátoru protože se rychlost mění periodicky, musí se také opakovaně měnit hodnota kinetické energie. Vodorovně upevněná pružina má však také potenciální energii pružnosti, která je spojena s deformací pružiny. Její velikost závisí na prodloužení nebo stlačení pružiny (vzhledem k rovnovážné poloze) vztahem E pp = 1 2 k x2. Hodnota k je opět tuhost pružiny. Víme-li, že se okamžitá výchylka (prodloužení vzhledem k rovnovážné poloze) mění podle funkce kosinus, můžeme se opět ptát, jaké jsou změny této energie. Celková energie oscilátoru je pak dána jejich součtem E t = E k + E pp. Dosaďme do tohoto vztahu rovnici kmitání mechanického oscilátoru: E t = 1 2 mω2 x 2 m sin2 (ωt + φ 0) + 1 2 k x2 m cos2 (ωt + φ 0). Dále dosadíme za ω 2 = k m a předcházející výraz má tvar: Kinetická energie se periodicky mění na potenciální. Celková energie zůstává konstantní. 16

E t = 1 2 k x2 m cos2 (ωt + φ 0) + 1 2 k x2 m sin2 (ωt + φ 0). Vytkneme-li výraz 1 2 k x2 m před závorku, získáme ( cos2 (ωt + φ 0) + sin 2 (ωt + φ 0)) = 1 Hodnota celkové energie oscilátoru je rovna E t = 1 2 k x2 m. Tato Poměrně zajímavý je také graf znázorňující přeměny energií v závislosti na okamžité poloze. nebo třeba na rychlosti. Snadno z něj vyčteme maximum či minimum energie a uvědomíme si, kdy funkce těchto hodnot nabývá. hodnota je v čase konstantní, oscilátor nazýváme harmonický. Dochází pouze k vzájemným přeměnám kinetické a potenciální energie, jak můžeme vidět v následujícím grafu. Tento graf ukazuje změny energie v závislosti na čase. Zde pro dvě a půl periody. V porovnání se změnami okamžité výchylky vidíme, že energie se také mění periodicky, ale dvakrát rychleji, tedy s poloviční periodou. Rezonance oscilátoru Důležitým jevem využívaným v praxi je rezonance. Setkáváme se s ní v mnoha oblastech. V pozitivním smyslu ji využíváme při vytváření zvuků hudebními nástroji. Zvuk vytvořený strunou kytary je poměrně slabý, a proto je zesilován tělem kytary, aby byl dobře slyšet i ve větších vzdálenostech. Rezonance může být také nebezpečná. Dnes již klasickým příkladem je zhroucení mostu v Tacomě se Spojených státech amerických. 17

O co vlastně jde? Kmitání mechanického oscilátoru má stále stejnou amplitudu výchylky, pokud jde o netlumený volný oscilátor. Nebo může amplituda klesat jako v případě tlumeného oscilátoru. oscilátoru. Hovoříme o rezonanci - zvuk je tělem kytary zesílen, most se pod pravidelnými poryvy větru rozkmitá tak, že se nakonec zřítí. Jestliže ale na oscilátor působí peridodicky se opakující síla, která se ho snaží znovu rozkmitávat (tzv. nucený oscilátor), může amplituda nabývat velkých hodnot a oscilátor se rozkmitá tak, že může dojít k jeho poškození. Při frekvencích excitátoru (vnější podnět) blízkých frekvencím kmitání rezonátoru (samotný oscilátor) dochází k obrovskému nárůstu amplitudy výchylky Film 1.3 Zhroucení mostu v Tacomě Kvůli opakovaným poryvým větru se v roce 1942 zřítil visutý most v Tacomě ve Spojených státech amerických. 18

Oddíl 4 Cvičení CO BUDEME CVIČIT? 1. Rovnice kmitání mechanického oscilátoru. 2. Matematické kyvadlo. 3. Závaží na pružině. 4. Energie oscilátoru. Cvičení 1 Napište rovnici kmitání mechanického oscilátoru, který kmitá s periodou 2,5 s a amplitudou 10 cm. Cvičení 2 Určete parametry oscilátoru který je popsán rovnicí: x(t) = 0,08 sin(10 t). Cvičení 3 Uveďte příklady tří různých oscilátorů (mechanický, elektrický či jiný) a vysvětlete, jaké veličiny ho charakterizují. Je-li to možné, nakreslete graf funkce znázorňující kmitání takového oscilátoru. Cvičení 4 Definujte matematické kyvadlo. Několika větami popiš jeho pohyb a formuluj závěr týkající se energie tohoto oscilátoru. 19

Cvičení 5 Pohyb oscilátorů lze popsat matematickými funkcemi sinus a kosinus. Urči, který z grafů reprezentuje funkci sinus a kosinus, urči její charakteristiky a zapiš její rovnici. Galerie 1.7 Jak rozlišíme funkci sinus a kosinus? b) Cvičení 6 Na následujících grafech je znázorněno kmitání oscilátoru. Z grafů určete všechny charakteristiky daného oscilátoru a zapište rovnici jeho kmitání. a) c) 20

d) g) e) h) f) 21

Cvičení 6 Zakreslete co nejlépe grafy těchto funkcí: a) y = 3 sin(x) b) y = 0,5 cos(x π) c) y = 2 cos(2x) + 2 d) y = 3 sin ( 3x + π 2 ) 22

Kapitola 2 Zvukové vlnění Kolikrát jste byli okouzleni zvukem houslí, čela nebo kontrabasu? Zašli jste někdy do kostela, když byly z jeho vnitřku slyšet varhany? Jak je možné, že se nám některé zvuky tak líbí a chceme je poslouchat znovu a znovu, zatímco jiné jsou nám na obtíž a říkáme si: Nikdy více!?

Oddíl 1 Co je to zvuk? CO SE NAUČÍME? 1. Pochopit, co je to zvuk. 2. Dokázat si představit, jaký je mechanismus jeho šíření. 3. Ukázat, jaké jsou vlastnosti zvuků. Podstata zvuku Zvuk je fyzikální jev. V místě, kudy se zvuk šíří, atomy nebo molekuly kmitají a při tom si předávají energii ve směru šíření. Můžeme říci přesněji, že: Zvuk je mechanické vlnění, které vnímáme sluchem. Z předchozí kapitoly víme, že vlněním rozumíme kmitání šířící se do prostoru. V případě mechanického vlnění kmitají hmotné částice (atomy, molekuly), narážejí na nejbližší sousedy, a tím jim předávají energii. Zvuk se může šířit jak v plynech, tak v kapalinách a pevných látkách. Naopak se nemůže šířit ve vakuu, protože tam nejsou částice, které by svým kmitáním přenášely energii od zdroje do prostoru. Kromě mechanického vlnění existuje i elektromagnetické vlnění, v tomto případě kmitá elektrické pole společně s magnetickým polem. Příkladem takového vlnění je světlo. Zdrojem zvuku je vždy rychle se chvějící těleso struna na houslích, hlasivky, membrána reproduktoru Toto chvění je zpravidla velmi rychlé, těleso vykoná např. 500 kmitů za sekundu (podrobněji v sekci výška tónu). Tak rychlé vibrace lidské oko nestíhá sledovat, ovšem o tom, že se zdroj zvuku chvěje, se můžeme přesvědčit na zpomalených záběrech. 24

video: reprák a krupice Galerie 2.1 Druhy postupných vln Film 2.1 Kmitání ramene ladičky Autorem videa je RNDr, Jan Koupil, Ph.D. Šíření zvuku V pevných látkách jsou atomy (nebo ionty) vázány silnými vazbami, takže vibrují jen kolem svých rovnovážných poloh. Vazebná energie atomu je podstatně větší než pohybová energie tepelných (nepravidelných) nebo akustických kmitů. Díky vazbám na vychýlení vybraného atomu z rovnovážné polohy okamžitě zareagují jeho nejbližší sousedé. Proto se v pevných látkách zvuk šíří nejrychleji, např. v železe je rychlost šíření přibližně 5 000 m/s. Atomy v pevné látce mohou kmitat rovnoběžně se směrem šíření zvuku (potom se jedná o vlnění podélné), anebo kolmo na směr šíření (vlnění příčné). U kapalin jsou molekuly vázány menšími silami než u pevných látek. To má za následek, že se mezi nimi zvuková energie Znázornění příčného vlnění. Kmitání se děje kolmo na směr šíření vlny. Jde například o vlnění na hladině vody (bójka se houpe vzhůru a dolů). předává pomaleji, takže rychlost šíření zvuku dosahuje hodnot kolem 1 500 m/s. U kapalin se vyskytují jen podélné vlny. V plynech jsou molekuly od sebe značně vzdáleny, takže jejich vazebná energie je zanedbatelná v porovnání s jejich kinetickou energií tepelného pohybu. Zvuk se v nich přesto šíří v podobě těsně po sobě jdoucích slabých tlakových vln. V daném místě dochází tedy k zhušťování (větší tlak) a zřeďování (menší tlak než 25

atmosférický) plynu. Šíření zvuku v plynech je typickým příkladem adiabatického děje. V plynech existují pouze podélné vlny. Rychlost šíření zvuku ve vzduchu závisí na teplotě. Při teplotě kolem 15 C má hodnotu přibližně 340 m/s čili 1 200 km/h. S rostoucí teplotou roste rychlost šíření. Přesněji ji můžeme určit Řešený příklad: Chceme spočítat rychlost šíření zvuku v horkém letním vzduchu o teplotě 35 C. V tabulkách si najdeme, že při 0 C má rychlost zvuku hodnotu 331,82 m/s. podle vztahu v = v 0 T T 0, T0 = 273 K, v0 = 331,82 m/s, T = 308 K v =? (m/s) kde v označuje rychlost šíření zvuku při teplotě T, v0 označuje známou rychlost šíření při referenční teplotě T0 Po dosazení do vztahu v = v 0 T T 0 získáme hodnotu Obě teploty T i T0 musí být dosazeny v kelvinech. Tato závislost je v = 352,45 m/s. pro běžné teploty přibližně lineární, jak můžeme vidět na přiloženém grafu. 26

Základní rozdělení Podle toho, zda se zdroj zvuku chvěje pravidelně či nikoli, rozdělujeme zvuky na (hudební) tóny a hluk (ruchy). Galerie 2.2 Oscilogramy - záznam zvuku Hudební tóny vznikají pravidelným (periodickým) kmitáním zdroje. Tóny jsou pro lidské ucho zpravidla příjemné a poznáme je velmi jednoduše lze u nich určit výšku. Vydávají je nejen hudební nástroje (kromě bicích), ale též třeba reproduktor, na který připojíme střídavé napětí. Hluk vzniká nepravidelným chvěním zdroje. Příkladů bychom našli hodně hluk vodopádu, sbíječky, startujícího letadla, praskání skořápky při louskání oříšků, nebo třeba hluk obtěžující lidi bydlící až několik kilometrů od dálnice. Hláska a. Lidský hlas je schopen vydávat jak tóny, tak nepravidelné zvuky. Mezi tóny patří všechny samohlásky (a, e, i, o u), čili hlásky, na nichž můžeme zazpívat tón o určité výšce. Ruchem jsou souhlásky (p, t, s,...). 27

Vlastnosti tónů U každého tónu hudebníci rozlišují tyto vlastnosti: - výška - délka - hlasitost - barva Výška tónu se v hudebních partech zapisuje pomocí výšky not v notové osnově. Délka tónu Délka tónu značí, jak dlouho tón zní. Hudebníci zapisují délku tónů pomocí not celých, půlových čtvrťových, osminových,, přičemž čtvrťová nota je na jednu dobu. Výška tónu Výška tónu je určena frekvencí kmitání zdroje. Čím vyšší je frekvence, tím vyšší je tón. Galerie 2.3 Vlastnosti zvuků Lidské ucho je schopno vnímat zvuky s frekvencí od 20 Hz do 20 khz. Horní hranice slyšitelného rozsahu je velmi individuální a s věkem se snižuje, tzn. že staří lidé neslyší velmi vysoké tóny. Frekvence, které dokáže člověk zazpívat, definují jeho hlasový rozsah. U neškoleného zpěváka je to 1,5 až 2 oktávy. Podle rozsahu se zařazují do hlasových skupin. Audiogram - Frekvence a schopnost lidského ucha zvuky slyšet. Infrazvuky a ultrazvuky již neslšíme. Ani na různé frekvence není lidské ucho stejně citlivé. Nejlépe slyšíme frekvence od 1 do 5 khz. 28

U klavíru hlasitost zahraného tónu rychle klesá, po osmi dobách tón prakticky zaniká. U dechových nástrojů je maximální délka určena spotřebou vzduchu na daném nástroji, maximálně 16 dob. Naopak u varhan, kde vzduch do píšťal fouká čerpadlo, můžeme teoreticky hrát tón libovolné délky. Hlasitost tónu Hlasitost tónu souvisí s amplitudou kmitání čím větší amplituda, tím větší hlasitost. kde I je intenzita zvuku v W/m 2 a I0 = 10-12 W/m 2 označuje práh slyšení. V hudebním zápisu se setkáme se značkami p = piano = slabě, Galerie 2.4 Lorem Ipsum dolor amet, consectetur Hlasitost můžeme určovat pomocí intenzity zvuku. Intenzita se značí I a vyjadřuje, kolik energie přinesou zvukové vlny za 1 sekundu na plochu 1 m 2, takže platí vztah I = E t S energie ( cas plocha ) Jednotkou intenzity zvuku je W/m 2. Lidské ucho slyší intenzity od 10-12 do 10 1 W/m 2. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Tato veličina ovšem neodpovídá tomu, jak hlasitost vnímáme zvýší-li se intenzita z 0,001 na 0,01 W/m 2, máme pocit, že došlo k mnohem větší změně, než při zvýšení z 0,1 na 0,2 W/m 2. Ukazuje se, že sluch vnímá hlasitost logaritmicky, proto se zavádí veličina hladina intenzity zvuku L v decibelech db. Definována je vztahem..., f = forte = silně, atd. Zvuk 2.1 Zvuk 2.2 Jednoduchý Složený tón, tón sinusového 440 Hz průběhu, 440 Hz 29

Barva tónu Když zahrajete na housle a na klarinet tón o stejné výšce a taky stejně hlasitě, máte pocit, že to pokaždé zní jinak. Tyto tóny se liší barvou. K pochopení, co je příčinou odlišnosti, je třeba tóny pečlivě analyzovat. Ukazuje se, že tón o frekvenci f zahraný na hudební nástroj není obyčejná sinusová vlna. Čistá sinusová vlna tón bezbarvý by vznikla připojením střídavého napětí k reproduktoru. Tón hudebního nástroje je složen z několika sinusových vln: základní o frekvenci f, podle které ucho určuje výšku tónu, a z několika tzv. vyšších harmonických o frekvencích 2f, 3f, 4f, Zastoupení právě těchto vyšších harmonických frekvencí určuje barvu daného tónu. 30

Vznik zvuku v hudebních nástrojích Klavír = kladívko udeří do napjaté struny. Na koncích uzly, uprostřed kmitna. Kytara = drnknutí prstem má podobný efekt jako kladívko u klavíru. Na koncích uzly, uprostřed kmitna. Umíte-li flažolety, dokážete vytvořit další uzel (uzly) uprostřed. Housle = kdyby nebyl součinitel smykového tření větší v klidu než při vzájemném pohybu, na housle by se smyčcem hrát nedalo. Díky tření zachytí na kratičký okamžik smyčec o strunu a vychyluje ji, dokud síla pružnosti struny nepřevýší sílu statického tření. Pak se ovšem struna vrací k rovnovážné poloze, až opět převáží třecí síla nad silou pružnosti. (hlasivkami). Tím vznikají rychle po sobě jdoucí slabé tlakové vlny, čili zvuk ve vzduchu. Asi jste si všimli, že hráč na trubku vydává hlasitější zvuk než zpěvák bez mikrofonu. Proč tomu tak je se dočtete v následující kapitole. Rezonance Když se dotýká chvějící se těleso (budič) jiného tělesa, předává mu energii ve formě mechanických kmitů a toto druhé těleso (rezonátor) se také rozechvěje. Rezonátor kmitá vždy se stejnou frekvencí jako budič, ale při některých frekvencích kmitá s malou amplitudou a při jiných s velkou. Jakou odezvu vyvolá buzení Flétna = kmitá sloupec vzduchu uvnitř. Na okrajích kmitny, uzel uprostřed, vzduch je rozkmitáván narážením proudu vzduchu z plic na jazýček = zobec. schema??? Trubka = tlak vzduchu z plic pravidelně otevírá a uzavírá štěrbinu mezi napjatými rty; rty se dotýkají nátrubku, nástavce zakončujícího nástroj (zakroucená dutá mosazná trubice). Kmitna na rtech a druhém okraji, uzly uprostřed. Hlasivky = tlakem vzduchu z plic se pravidelně otevírá a uzavírá štěrbina mezi dvěma napjatými blankami hlasového ústrojí 31

v rezonátoru, vystihuje rezonanční křivka, závislost amplitudy kmitání rezonátoru na frekvenci. Pokud je frekvence budiče právě rovna vlastní frekvenci rezonátoru (frekvenci, s níž by rezonátor sám vykonával volné kmity), je amplituda jeho kmitání největší a říkáme, že nastala rezonance. V rezonanci se při každém kmitnutí předá maximum energie od budiče k rezonátoru, a protože takové kmitnutí se opakuje třeba tisíckrát za sekundu, mohou výchylky dosáhnout nečekaných hodnot. Film 2.2 Rozbití sklenice pomocí zvukové rezonance Když jsou ovšem budičem vibrující napjaté rty, resp. jimi vzniklý přerušovaný proud vzduchu a rezonátorem trubka, dochází k ostré rezonanci ze všech budicích frekvencí se utlumí všechny kromě vlastní frekvence trubky, který se rezonancí naopak výrazně zesílí. Dodatky seismické vlny, infrazvuk ultrazvuk Doppler hudební intervaly K rezonanci dochází v případě, že sklenice-rezonátor má stejnou vlastní frekvenci jako zvuková vlna, která je budičem. Amplituda kmitů velmi vzroste a sklenice může prasknout. Když jsou budičem hlasivky a rezonátorem okolní vzduch, odezva na všechny frekvence je prakticky stejná a k ničemu pozoruhodnému nedochází. 32

Oddíl 2 Vlastnosti zvuků CO SE NAUČÍME? 1. Vysvětlit souvislosti mezi vlastnostmi zvuku (hlasitost, výška) a jejich fyzikální podstatou. 2. Objasnit jev zvaný rezonance. Vlastnosti tónů U každého tónu hudebníci rozlišují tyto vlastnosti: - výška - délka - hlasitost - barva Výška tónu Výška tónu je určena frekvencí kmitání zdroje. Čím vyšší je frekvence, tím vyšší je tón. Lidské ucho je schopno vnímat zvuky s frekvencí od 20 Hz do 20 khz. obrázek vyjadřující: Vibrace s frekvencí nižší než 20 Hz neslyšíme, říkáme jim infrazvuk. Frekvence vyšší jak 20 khz rovněž neslyšíme, jedná se o ultrazvuk. Horní hranice slyšitelného rozsahu je velmi individuální a s věkem se snižuje, tzn. že staří lidé neslyší velmi vysoké tóny. 33

Frekvence, které dokáže člověk zazpívat, definují jeho hlasový rozsah. U neškoleného zpěváka je to 1,5 až 2 oktávy. Podle rozsahu se zařazují do hlasových skupin. Výška tónu se v hudebních partech zapisuje pomocí výšky not v notové osnově. U klavíru hlasitost zahraného tónu rychle klesá, po osmi dobách tón prakticky zaniká. U dechových nástrojů je maximální délka hlas nejnižší frekvence (Hz) nejvyšší frekvence (Hz) mužský/ ženský soprán 261 880 Ž mezzosoprán 220 698 Ž Délka tónu Délka tónu značí, jak dlouho tón zní. Hudebníci zapisují délku tónů pomocí not celých, půlových čtvrťových, osminových,, přičemž čtvrťová nota je na jednu dobu. alt 174 587 Ž tenor 130 440 M baryton 110 349 M bas 82 329 M 34

určena spotřebou vzduchu na daném nástroji, maximálně 16 dob. Naopak u varhan, kde vzduch do píšťal fouká čerpadlo, můžeme teoreticky hrát tón libovolné délky. Hlasitost tónu Hlasitost tónu souvisí s amplitudou kmitání čím větší amplituda, tím větší hlasitost. Hlasitost můžeme určovat pomocí intenzity zvuku. Intenzita se značí I a vyjadřuje, kolik energie přinesou zvukové vlny za 1 sekundu na plochu 1 m 2, takže platí I = energie cas plocha. Jednotkou intenzity zvuku je W/m 2. Lidské u c h o s l y š í i n t e n z i t y o d 10-12 do 10 1 W/m 2. Tato veličina ovšem neodpovídá tomu, jak hlasitost vnímáme zvýší-li se intenzita z 0,001 na 0,01 W/m 2, máme pocit, že došlo k mnohem větší změně, než při zvýšení z 0,1 na 0,2 W/m 2. Ukazuje se, že sluch vnímá hlasitost logaritmicky, proto se zavádí veličina hladina intenzity zvuku L v decibelech db. Definována je vztahem L = 10 log ( I I 0 ), kde I je intenzita zvuku v W/m 2 a I0 = 10-12 W/ m 2 označuje práh slyšení. V hudebním zápisu se setkáme se značkami p = piano = slabě, f = forte = silně, atd. Barva tónu Když zahrajete na housle a na klarinet tón o stejné výšce a taky stejně hlasitě, máte pocit, že to pokaždé zní jinak. Tyto tóny se liší barvou. K pochopení, co je příčinou odlišnosti, je třeba tóny pečlivě analyzovat. Ukazuje se, že tón o frekvenci f zahraný na hudební nástroj není obyčejná sinusová vlna. Čistá sinusová vlna tón bezbarvý by vznikla připojením střídavého napětí k reproduktoru. zvuková ukázka, průběh Tón hudebního nástroje je složen z několika sinusových vln: základní o frekvenci f, podle které ucho určuje výšku tónu, a z několika tzv. 35

vyšších harmonických o frekvencích 2f, 3f, 4f, Zastoupení právě těchto vyšších harmonických frekvencí určuje barvu daného tónu. Zvuk 2.3 Zvuk kytary Zvuk 2.4 Zvuk piána Galerie 2.5 Hudební nástroje Kytara = drnknutí prstem má podobný efekt jako kladívko u klavíru. Na koncích uzly, uprostřed kmitna. Umíte-li flažolety, dokážete vytvořit další uzel (uzly) uprostřed. Trubka animace:sinusoidy=>zvuková ukázka, nahrávka, spektrum pro několik nástrojů Vznik zvuku v hudebních nástrojích Klavír = kladívko udeří do napjaté struny. Na koncích uzly, uprostřed kmitna. Housle = kdyby nebyl součinitel smykového tření větší v klidu než při vzájemném pohybu, na housle by se smyčcem hrát nedalo. Díky tření zachytí na kratičký okamžik smyčec o strunu a vychyluje ji, dokud síla pružnosti struny nepřevýší sílu statického tření. Pak se ovšem struna vrací k rovnovážné poloze, až opět převáží třecí síla nad silou pružnosti. Flétna = kmitá sloupec vzduchu uvnitř. Na okrajích kmitny, uzel u p r o s t ř e d, v z d u c h j e rozkmitáván narážením proudu vzduchu z plic na jazýček = zobec. Extrémní rozsahy Zazpívat se dají i tóny mimo rozsah uvedený v tabulce, na to je potřeba ovšem hlas dlouhodobě školit. Mezi nejkrásnější a nejnáročnější pěvecký part pro ženský hlas (tzv. koloraturní soprán) patří árie Královny noci z Mozartovy opery Kouzelná 36

schema Trubka = tlak vzduchu z plic pravidelně otevírá a uzavírá štěrbinu mezi napjatými rty; rty se dotýkají nátrubku, nástavce zakončujícího nástroj (zakroucená dutá mosazná trubice). Kmitna na rtech a druhém okraji, uzly uprostřed. Hlasivky = tlakem vzduchu z plic se pravidelně otevírá a uzavírá štěrbina mezi dvěma napjatými blankami hlasového ústrojí (hlasivkami). Tím vznikají rychle po sobě jdoucí slabé tlakové vlny, čili zvuk ve vzduchu. Asi jste si všimli, že hráč na trubku vydává hlasitější zvuk než zpěvák bez mikrofonu. Proč tomu tak je se dočtete v následující kapitole. Rezonance Když se dotýká chvějící se těleso (budič) jiného tělesa, předává mu energii ve formě mechanických kmitů a toto druhé těleso (rezonátor) se také rozechvěje. Rezonátor kmitá vždy se stejnou frekvencí jako budič, ale při některých frekvencích kmitá s malou amplitudou a při jiných s velkou. Jakou odezvu vyvolá buzení v rezonátoru, vystihuje rezonanční křivka, závislost amplitudy kmitání rezonátoru na frekvenci. graf ostrá x široká Pokud je frekvence budiče právě rovna vlastní frekvenci rezonátoru (frekvenci, s níž by rezonátor sám vykonával volné kmity), je amplituda jeho kmitání největší a říkáme, že nastala rezonance. V rezonanci se při každém kmitnutí předá maximum energie od budiče k rezonátoru, a protože takové kmitnutí se opakuje třeba tisíckrát za sekundu, mohou výchylky dosáhnout nečekaných hodnot. Rozbití sklenice pomocí zvukové rezonance Když jsou budičem hlasivky a rezonátorem okolní vzduch, odezva na všechny frekvence je prakticky stejná a k ničemu pozoruhodnému nedochází. Když jsou ovšem budičem vibrující napjaté rty, resp. jimi vzniklý přerušovaný proud vzduchu a rezonátorem trubka, dochází k ostré rezonanci ze všech budicích frekvencí se utlumí všechny kromě vlastní frekvence trubky, který se rezonancí naopak výrazně zesílí. 37

Dodatky seismické vlny, infrazvuk ultrazvuk Doppler Zvuk 2.5 W.A. Mozart - Kouzelná flétna hudební intervaly... ukázka árie... 38

Amplituda Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat. Související glosářové termíny Sem přetáhněte související termíny Index Hledat termín Kapitola 1 - Základní popis

Derivace Derivace je základní pojem matematiky, konkrétně diferenciálního počtu. Derivace nějaké funkce je změna (růst) obrazu této funkce v poměru k (ideálně) nekonečně malé změně jejích argumentů. Opačným procesem k derivování je integrování. Koncept derivace se dá nahlížet z mnoha stran, například v případě dvourozměrného grafu funkce f(x), je derivace této funkce v libovolném bodě (ve kterém existuje) rovna směrnici tečny tohoto grafu. Z toho je vidět, že pojem derivace se objevuje i v mnoha geometrických souvislostech, např. u pojmu konkávnosti. převzato z wiki 2013 Související glosářové termíny Sem přetáhněte související termíny Index Hledat termín

Energie Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat. Související glosářové termíny Sem přetáhněte související termíny Index Hledat termín Kapitola 1 - Základní popis

Frekvence Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat. Související glosářové termíny Sem přetáhněte související termíny Index Hledat termín Kapitola 1 - Základní popis

Oscilátor Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat. Související glosářové termíny Sem přetáhněte související termíny Index Hledat termín

Periodický Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat. Související glosářové termíny Sem přetáhněte související termíny Index Hledat termín

Rezonance Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat. Související glosářové termíny Sem přetáhněte související termíny Index Hledat termín Kapitola 1 - Energie kmitavého pohybu

Rovnovážná poloha Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat. Související glosářové termíny Sem přetáhněte související termíny Index Hledat termín

Rychlost Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat. Související glosářové termíny Sem přetáhněte související termíny Index Hledat termín Kapitola 1 - Základní popis

Sinusoida Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat. Související glosářové termíny Sem přetáhněte související termíny Index Hledat termín Kapitola 1 - Základní popis

Sonar Sonar (z anglického SOund Navigation And Ranging - zvuková navigace a zaměřování) je zařízení na principu radaru, které místo rádiových vln používá ultrazvuk. Používá se především pod vodou (ponorkami), protože rádiové vlny mají pod vodou výrazně menší dosah než na souši a zvuk naopak větší. Velmi významné použití dostaly sonary také ve zdravotnictví jakožto jedna z neinvazivních vyšetřovacích metod. Zdravotnické sonografy slouží při vyšetřování plodů a nenarozených dětí u těhotných žen, dále též v interním lékařství. Přírodní verzí sonaru je echolokace netopýrů a kytovců. přebráno z wiki 2013 Související glosářové termíny Sem přetáhněte související termíny Index Hledat termín Kapitola 1 - Základní popis

Zrychlení Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat. Související glosářové termíny Sem přetáhněte související termíny Index Hledat termín Kapitola 1 - Základní popis