Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering. Fakulta elektrotechnická. České vysoké učení technické v Praze.

Transkript

1

2 Nejprve několik fyzikálních analogií úvodem Rezonance Rezonance je fyzikálním jevem, kdy má systém tendenci kmitat s velkou amplitudou na určité frekvenci, kdy malá budící síla může vyvolat vibrace s velkou amplitudou. Důvodem je akumulace energie, kdy zdroj postupně dodává další a další energii a tlumení systému je malé; ke vzniku kmitů musí být v systému dva různé druhy energie, např. potenciální a kinetická (kyvadlo, houpačka), nebo elektrická a magnetická v elektrických obvodech. Rezonance je podstatou většiny hudebních nástrojů. Někdy může mít rezonance destruktivní účinky známé je rozbití sklenice zvukem určité frekvence. Zásadním pojmem je rezonance v architektuře. Nesprávně navržené stavby se mohou zhroutit. Příkladem může být např. Angerský most, který se zhroutil v roce 1850, kdy ho rozkmitali pochodující francouzští vojáci. Jiným příkladem je zhroucení amerického Tacoma Narrows Bridge (1940), kde byl most rozkmitán větrem vanoucím konstantní rychlostí (!!!) iniciátorem kmitů byly větrné víry (aeroelastický flutter). Autentický záběr z filmu The Tacoma Narrows Bridge Collapse V elektrických obvodech se s rezonancí setkáme např. ve filtrech, nebo u kompenzace účiníku (účiník 100%)

3 V následujícím budeme studovat sériový RLC obvod, kde R = 10 Ω, L = 1 H, C = 1 µf, pokud nebude uvedeno jinak. Impedance obvodu je: Amplituda impedance je: Amplituda impedance je frekvenčně závislá (stejně, jako fáze), s ostrým minimem na frekvenci 1000 s -1. Z [Ω] Pro toto minimum platí podmínka: ω [rad s -1 ] Impedance je na této frekvenci reálná U1 R L C

4 Z této podmínky (a nebo derivací impedance podle frekvence) můžeme určit podmínku: Thomsonův vzorec: I [A] Tento vzorec určuje rezonanční frekvenci sériového RLC obvodu (pozor, není univerzální pro libovolný obvod!) Porovnejme frekvenční závislost amplitudy proudu, a napětí: ω [rad s -1 ] Zeleně je napětí na kapacitoru. Červeně napětí na induktoru. Modře napětí na rezistoru. Obě osy jsou logaritmické, jednotky na vertikální ose jsou db, tedy Je-li U 1 = 1 V, pak 40 db 100 V.

5 Jak je možné, že napětí na kapacitoru a induktoru je větší, nežli napětí zdroje? Napětí na kapacitoru a na induktoru kmitá v protifázi, takže se vzájemně odečtou napětí na rezistoru je tak stejné, jako napětí zdroje Tento typ rezonance se nazývá napěťová rezonance Amplituda napětí na kapacitoru a induktoru může být mnohonásobně větší, nežli amplituda napětí zdroje Podmínka napěťové rezonance: Aby obvod rezonoval, musí obsahovat alespoň dva reaktanční prvky ale ne 2 kapacitory, nebo 2 induktory; k vzájemné výměně energie to musí být L i C Fázorové diagramy: Î Û R Û Û L Û C Î Û L Û R =Û Û C Î Û Û R Û L Û C

6 Obvod ale není v ustáleném stavu okamžitě amplituda roste postupně, doba ustálení je nepřímo úměrná Čím menší je odpor, tím déle trvá ustálení obvodu. Vzpomeňte na první přednášku pokud ideální induktor připojíme k ideálnímu zdroji napětí, měl by jím (v ustáleném stavu!) protékat nekonečně velký proud. Proud induktorem, podle indukčního zákona, roste lineárně. Proud (a tedy i napětí) nemohou proto dosáhnout své maximální hodnoty (kterou určuje odpor) okamžitě. Protože je impedance sériového RLC obvodu v rezonanci reálná, rovna odporu R, odpor je prvkem, který omezuje proud, tekoucí obvodem napětí na kapacitoru a induktoru jsou dány jejich reaktancí menší R znamená větší napětí na C a L.

7 Ne každý sériový RLC obvod je rezonanční. Kromě přítomnosti reaktančních prvků obou typů je druhou nutnou podmínkou vzniku rezonančních kmitů dostatečně malé tlumení tedy elektrický odpor. Rezonanční RLC obvod poznáme také tak, že po připojení stejnosměrného zdroje kmitá kvaziperiodickými (exponenciálně tlumenými) kmity je opět ovlivněno velikostí tlumení elektrického odporu. Činitel jakosti Mezi nejdůležitější aplikace rezonančních obvodů patří frekvenční filtry. Například v ladících jednotkách rozhlasových přijímačů a TV musí být filtr pásmová propust, která propustí pouze frekvenci naladěné stanice a ostatní zadrží. Takový filtr musí mít co nejužší a nejstrmější frekvenční charakteristiku, aby dále nepronikaly frekvence ostatních stanic. V případě rezonančního LC filtru tedy co největší napětí U L, U C. Čím vyšší je toto napětí, tím je filtr kvalitnější. Tak je definován činitel jakosti pro napěťovou rezonanci jako: Protože napětí v rezonanci můžeme vyjádřit: Můžeme činitel jakosti definovat jedním ze vzorců: Maximální (kritický) odpor, se kterým se obvod ještě chová jako rezonanční:

8 Rezonanční křivka Pokud normalizujeme proud, tekoucí obvodem, bude: Vzhledem k tomu, že frekvence v rovnici může být libovolná, nejenom rezonanční, zavedeme relativní frekvenci s 1 1 s 2 10 s Pokles o 3 db

9 Rezonanční křivka je tím užší (a vyšší), čím je větší činitel jakosti. Matematicky můžeme šířku rezonanční křivky vyjádřit: Na následujícím obrázku jsou zobrazeny rezonanční křivky pro Q = 10, Q = 50 a Q = Q=100 Q=10 Q= s 10

10 Paralelní rezonanční obvod proudová rezonance V sériovém RLC obvodu jsme studovali tzv. napěťovou rezonanci. Proudová rezonance se nejlépe vysvětluje na ideálním (bohužel ale fyzikálně nerealizovatelném) paralelním RLC obvodu, viz obrázek: Napětí na všech obvodových prvcích je stejné; proudy, tekoucí jednotlivými prvku se ale mohou lišit. Pokud jsou v obvodu přítomny reaktanční prvky obou druhů (elektrické i magnetické pole C i L), mohou si opět vzájemně vyměňovat energii poroste elektrický proud, který jimi teče (a akumulovaná energie). Vztah mezi jednotlivými proudy popisují fázorové diagramy: Î R Platí tedy: Jelikož: Î Î L Î C Û Î R =Î Î L Î C Û, oba proudy jsou ale vzájemně posunuty o 180º, takže se vzájemně odečtou. Î a rezonanční frekvence ideálního paralelního RLC obvodu bude: Î R Î L Î C Û I1

11 V rezonanci tedy platí pro admitanci: Činitel jakosti je v tomto případě definován poměrem proudů: K proudové rezonanci dochází v obvodu, který je napájený z proudového zdroje Na rozdíl od napěťové rezonance, činitel jakosti je tím vyšší, čím větší je odpor rezistoru Při napájení ze zdroje napětí k žádnému efektu akumulace energie nedochází (zdroj napětí to nedovolí): Napájení ze zdroje napětí Napájení ze zdroje proudu

12 Ve skutečnosti je ale takový ideální obvod nerealizovatelný. Skutečný paralelní rezonanční obvod je na obrázku: Fázový posun mezi proudy, které tečou induktorem a kapacitorem je menší, nežli 180º. Admitance (a tedy impedance) je reálná (podmínka rezonance) Rezonanční frekvence již není určena Thomsonovým vztahem: Odpor rezistoru by na rozdíl od ideálního paralelního RLC rezonančního obvodu měl být co možná nejmenší Thomsonův vztah je pouze specielní případ, u složitějších obvodů je potřeba rezonanční frekvence odvodit z podmínky rezonance Obvod, který má více reaktančních prvků může mít více různých rezonančních frekvencí Definice činitele jakosti jako poměru napětí nebo proudů u složitějších obvodů selhává (již u reálného paralelního RLC obvodu nejsou proudy, tekoucí kapacitorem a induktorem stejné), univerzální je energetická definice: