Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM III. Úloha č. 24 Název: Měření indexu lomu kapalin a skel Pracoval: Lukáš Vejmelka obor (kruh) FMUZV (73) dne 17.2.2014 Odevzdal dne: Připomínky opravujícího: Možný počet bodů Udělený počet bodů Práce při měření 0 5 Teoretická část 0 1 Výsledky měření 0 8 Diskuse výsledků 0 4 Závěr 0 1 Seznam použité literatury 0 1 Celkem max. 20 Posuzoval: dne
1 Zadání úlohy 1. Určete indexy lomu dvou přiložených kapalin z posunu bodu dopadu na dně kyvety. 2. Určete index lomu jedné z přiložených kapalin proměřením závislosti úhlu lomu na úhlu dopadu. Porovnejte přesnosti měření v úkolech 1. a 2. 3. Určete index lomu skleněného půlválce proměřením závislosti úhlu lomu na úhlu dopadu. Stanovte přesnost měření. 4. Určete experimentálně a výpočtem mezný úhel skleněného půlválce. Stanovte přesnost měření. 5. V uspořádání pro měření mezního úhlu popište, jak se mění intenzita paprsku odraženého vůči lomenému na rozhraní sklo-vzduch při změně úhlu dopadu. 2 Teoretický úvod měření V této úloze budeme měřit relativní indexy lomu na rozhraní vzduch-kapalina, vzduch-sklo. Kapalinami budou glycerin a destilovaná voda, sklem pak skleněný půlválec SFLG. Zjistíme reálné závislosti úhlu lomu na úhlu dopadu (popř. jejich sinů) a porovnáme se Snellovým zákonem lomu. V případě lomu od kolmice budeme také zjišťovat mezný úhel. Zavedení potřebných veličin a vztahů Z předpokladu dopadající rovinné vlny na rozhraní dvou optických prostředí, které jsou charakterizovány po řadě absolutními indexy lomu N 1, N 2, lze odvodit vztah sin α sin β = N 2 N 1 = n 21 = 1 n 12, (1) kde α (resp. β) je úhel, který svírá vlnový vektor dopadající (resp. lomené) vlny s normálou rozhraní. Vztah (1) představuje Snellův zákon lomu. Veličinám n 21, n 12 říkáme relativní index lomu a charakterizují lom na rozhraní prostředí 1-2 a 2-1 [1]. V případě, kdy je N 2 < N 1 nastává lom od kolmice a to pouze pro úhly dopadu menší jak mezný úhel α M, pro který z (1) platí při větším úhlu dopadu dochází k totálnímu odrazu [1]. 2.1 Použité přístroje, měřidla, pomůcky sin α M = N 2 N 1 = n 21, (2) Laser LGK 7770 5mW, 543 nm, destilovaná voda, glycerin, skleněný půlválec, zrcátko, kyvety, měřidla délky a úhlu, milimetrový papír, držáky a stavicí mechanismy. 2
2.2 Důležité hodnoty, konstanty, vlastnosti Důležité hodnoty pro výpočet nebo látkové konstanty pro porovnání výsledků. ˆ Absolutní index lomu vody: n = 1,33 [2] ˆ Absolutní index lomu glycerinu: n = 1,473 [2] ˆ Absolutní index lomu skel: n = (1,5 1,9) [2] 2.3 Popis postupu vlastního měření Nejprve zkontrolujeme polohu laseru. Jeho svazek musí být rovnoběžný s rovinou pracovního stolu. Dále nastavíme polohu zrcátka, aby jeho normála ležela ve svislé rovině, určené svazkem laseru. Zkontrolujeme nulovou hodnotu úhloměru zrcátka při kolmém odrazu na zrcátku. Měření indexu z posunu bodu dopadu na dně kyvety Umístíme prázdnou kyvetu a změříme vzdálenost x. Nalijeme měřenou kapalinu, změříme vzdálenosi h, p. Viz obrázek 1. Měření indexu z úhlů dopadu a lomu Pro vybranou kapalinu měříme úhly lomu β pomocí úhloměru uvnitř kapaliny při různých polohách zrcátka ω. Viz obrázek 2. Měření indexu skleněného půlválce Půlválec umístíme na otočnou stolici rovinným rozhraním k laseru tak, aby jeho střed ležel ve středu stolice. Odečítáme úhly lomu při různých úhlech dopadu. Viz obrázek 3. Hledání mezního úhlu Půlválec z předchozí měření otočíme tak, aby nedocházelo k lomu (změně směru) na prvním válcovém rozhraní, ale až na rozhraní rovinném při výstupu na vzduch. Hledáme mezný úhel dopadu α M. Zaznamenáme též odchylku, kde je situace nezřejmá. Viz obrázek 3. Změna intenzity Ve stejném uspořádání postupně zvětšujeme úhel dopadu až k totální reflexi a sledujeme změnu intenzity parsku odraženého vůči lomenému. 3
Obrázek 1: Měření relativního indexu lomu rozhraní vzduch-kapalina z posunu stopy. Obrázek 2: Měření relativního indexu lomu rozhraní vzduch-kapalina přímým měřením ω, β. 4
Obrázek 3: Měření relativního indexu lomu rozhraní vzduch-sklo a sklo-vzduch. Lom ke kolmici (vlevo), lom od kolmice a mezný úhel (vpravo). 3 Výsledky měření 3.1 Laboratorní podmínky Teplota v laboratoři: 22,6 C Atmosférický tlak: 988,8 hpa Vlhkost vzduchu: 29,5 % 3.2 Způsob zpracování dat Index lomu z posuvu na dně kyvěty Sinus úhlu dopadu lze pomocí veličin zakreslených v obrázku 1 vypočítat dle vztahu sinus úhlu lomu pak sin α = sin β = x x2 + h 2, (3) x p (x p)2 + h 2. (4) Relativní index lomu rozhraní kapalina-vzduch je potom díky (1) n 12 = sin β sin α. (5) 5
Index lomu z měření úhlů Z obrázku 2 plyne pro úhel dopadu α z měřeného úhlu zrcátka ω vztah α = 90 2ω. (6) Vykreslíme závislost sin β = f(sin α). Směrnice regresní přímky určuje relativní index lomu rozhraní kapalina-vzduch. Index lomu skleněného půlválce Aby byla alespoň jednou vykreslena reálná závislost úhlu lomu na dopadu (nedeformovaná linearizací průběhu), vykreslíme nyní přímo závislost β = f(α). Fitovat budeme dle (5) křivku ( ) 1 y = arcsin b sin x, (7) jejíž parametr b odpovídá relativnímu indexu lomu n 12 sklo-vzduch. Mezný úhel Experimentálně nalezený mezný úhel porovnáme s úhlem vypočítáným z naměřeného indexu lomu pomocí vztahu (2). Určení nejistot měření Nejistoty měření budou v prvním případě určeny pomocí zákona o kvadratickém hromadění chyb z nepřímých měření. Na základě vztahů (3) a (4) určíme mezní absolutní chyby sinů příslušící chybám veličin x, h, p. Například pro sin α máme absolutní chybu ( (sin 2 ( 2 α) (sin α) δ(sin α) = δx) + δh) ( ) = 1 x2 2 ( ) 2 x 2 +h 2 x h x2 + h δx xh +. 2 (x2 + h 2 ) 3 Analogicky je určena absolutní chyba δ(sin β). Odmocninou součtu druhých mocnin relativních chyb příslušící chybám δ(sin α), δ(sin β) je pak relativní chyba indexu lomu. Ostatní chyby jsou mezní chyby odhadnuté přímo při měření uvažované dílky měřidel, vůle upínacích mechanismů atp. Křivky budou fitovány se zohledněním chybových úseček. 3.3 Naměřené hodnoty Naměřené hodnoty a jejich zpracování zachycují tabulky 1, 2 a 3. Tabulka 1: Měření indexu lomu kapalin z posunu stopy dopadu na dně kyvety. Kapalina x[cm] δ x h[cm] δ h p[cm] δ p sin α[1] δ sin β[1] δ n N [1] δ N Dest. voda 13,9 0,3 10,2 0,3 6 0,3 0,81 0,01 0,61 0,02 1,32 0,05 Glycerin 13,9 0,3 10,2 0,3 7,7 0,3 0,81 0,01 0,52 0,03 1,55 0,09 6
Tabulka 2: Tabulka naměřených a zpracovaných dat měření indexu lomu glycerinu. Zrcátko ω[ ] δ ω Lom β[ ] δ β Dopad α[ ] δ α sin α[1] δ sin β[1] δ 11,0 1,0 37,5 5,0 68,0 2,0 0,927 0,007 0,609 0,069 12,0 1,0 37,0 5,0 66,0 2,0 0,914 0,007 0,602 0,070 13,0 1,0 36,5 5,0 64,0 2,0 0,899 0,008 0,595 0,070 13,5 1,0 35,0 5,0 63,0 2,0 0,891 0,008 0,574 0,071 15,0 1,0 35,0 5,0 60,0 2,0 0,866 0,009 0,574 0,071 26,0 1,0 34,0 5,0 38,0 2,0 0,616 0,014 0,559 0,072 28,0 1,0 32,5 5,0 34,0 2,0 0,559 0,014 0,537 0,074 Tabulka 3: Lom vzduch-sklo SFLG. Dopad α[ ] δ α Lom β[ ] δ β 0 1 0 1 10 1 5 1 20 1 11 1 30 1 16 1 40 1 20 1 50 1 24 1 60 1 27 1 70 1 29 1 80 1 30 1 3.4 Zpracování dat, číselné a jiné výsledky Index lomu vody a glycerolu Sinus úhlu dopadu vypočítáme podle (3), je stejný pro obě kapaliny Siny úhlů lomu vypočítáme podle (4) sin α = (0,80 ± 0,01), P 1. sin β V = (0,61 ± 0,02), P 1, sin β G = (0,52 ± 0,03), P 1. Relativní indexy lomu kapaliny-vzduch pak jsou podle (5) n 12V = (1,32 ± 0,05), P 1, n 12G = (1,55 ± 0,09), P 1. Uvážíme-li, že vzduch má absolutní index lomu velmi málo odlišný od vakua ( 1,0003), lze psát pro absolutní indexy lomu kapalin přímo N V = (1,32 ± 0,05), P 1, N G = (1,55 ± 0,09), P 1. Při výpočtu chyb byla použita mezní chyba veličin x, h, p, která byla odhadnuta při zhodnocení měřící aparatury a vlastního měření na 0,3 cm. 7
Určení indexu lomu glycerinu měřením úhlů K měření byl z obou kapalin vybrán glycerin, neboť z důvodu lepšího rozptylu svazku laseru byla lépe pozorovatelná stopa lomeného paprsku. Z úhlů natočení zrcátka jsme vypočítali úhly dopadu podle vztahu (6). Vykreslili jsme závislost sin α = f(sin β), viz graf 1, včetně chybových úseček. Proložili jsme lineární funkci bez absolutního členu. Fitací programem QtiPlot s vážením vzhledem k chybovým úsečkám dostáváme regresní závislost sin β = 1,43 sin α. Porovnáním s (1) a z chyby regresního koeficientu dostáváme n 12 G = (1,43 ± 0,08), P 1. Při výpočtu velikostí chybových úseček byla užita mezní chyba 1 pro úhly dopadu. Pro úhel lomu byla chyba odhadnuta na 5. Index lomu skleněného půlválce SFLG Vykreslili jsme závislost β = β(α), viz graf 2. Fitací křivky (7) programem QtiPlot s vážením vzhledem k chybovým úsečkám dostáváme hodnotu koeficientu, který odpovídá relativnímu indexu lomu sklo-vzduch n 12S = b = (1,91 ± 0,12) P 1. Chybové úsečky jsou dány odhadnutými mezními chybami úhlu dopadu i lomu 1 Mezný úhel SFLG V uspořádání hranolu na otočné lavici, umožňující měření na rozhraní sklo-vzduch, jsme zjistili, že intenzita lomeného paprsku se prudce snižuje od úhlu dopadu 34, stopa lomeného paprsku se na stínítku s dále roustoucím úhlem dopadu stále více rozmývá a při úhlu 38 zmizí zcela a nastává totální reflexe. Experimentálně určený mezný úhel je tedy α M = (36 ± 3), P 1. Mezný úhel vypočítáme také z naměřeného indexu lomu podle (2), tj. Chyba byla určena podle vztahu α M = (32 ± 2), P 1. δα M = 1 n n 2 1 δ n. Změny intenzity paprsku při přechodu k totálnímu odrazu Při měření bylo zjištěno, že s rostoucím úhlem dopadu intenzita odraženého paprsku klesá, cca 5 před mezním úhlem však jeho intenzita rychle roste, zatímco intenzita lomeného strmě klesá a dosahuje nulové intenzity v mezním úhlu, kdy odražený paprsek dosáhne intenzity maximální. Při totálním odrazu jsou pak intenzity dopadajícího a odraženého paprsku stejné. 8
3.5 Grafické výsledky měření Sekce obsahuje grafy závislostí sin β = f(sin α) a β = β(α). 0,7 Graf 1: Závislost sin β = f(sin α) pro rozhraní vzduch - glycerol 0,65 0,6 sin β[1] 0,55 0,5 0,45 0,4 0,35 Exp. body Lin. regrese Teor. průběh 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 sin α[1] tální body egrese závislost 35 30 25 Graf 2: Závislost úhlu lomu na úhlu dopadu, rozhraní vzduch-sklo (SFLG) β[ ] 20 15 10 5 0 Experimentální body Reg. proložení arcsin ( ) sin x b 0 20 40 60 80 α[ ] 9
4 Diskuze výsledků Přesnost měření první a druhé úlohy porovnáme na výsledcích glycerinu. Obě metody určují index lomu glycerinu s přibližně stejnou chybou, kolem 6%. Při metodě posunu stopy jsem volil takové uspořádání, aby byly všechny měřené délky srovnatelně maximální možné. To bylo zajištěno vysokou hladinou měřené kapaliny a vhodnou volbou úhlu dopadu. Tím jsou relativní chyby měřených veličin minimální. Přesnějších výsledků by bylo možné dosáhnout, měřil-li by se úhel dopadu ne pomocí vzdáleností, ale z úhlu natočení zrcátka a provedlo-li by se více měření. Velká chyba měření indexu lomu pomocí úhloměrů je dána velmi nepřesným měřením úhlu lomu. Ponořený úhloměr skýtá řadu problémů nemožnost měření u krajů kyvety, nesnadnost umístění středu do místa dopadu na hladině, odečítání kolmého průmětu paprsku ve stupnici. Slabá rozptylová stopa znemožňovala přesnější odečet hodnot. Při měření na otočné lavici bylo obtížné umístit půlválec do středu, tedy zaručit, aby paprsek na jednom z rozhraní neměnil směr. Odečítací otočná zaměřovadla taktéž vykazovala určitou vůli. Nepřenost změření mezního úhlu je dána oblastí úhlu, při kterém není možné určit, zda již k totálnímu odrazu došlo, či ne. To je zřejmě dáno tím, že optické rozhraní je reálné, tedy má své rovinné nepřesnosti a přesně neodpovídá předpokladům odvození zákona lomu. Experimentálně určený mezný úhel však přibližně odpovídá vypočtenému úhlu dle naměřeného indexu lomu. Zkoumání změny intenzity odraženého paprsku vůči lomenému pouhým okem má pouze omezenou informační hodnotu. Pro směrodatnější výsledky by bylo nutné měřit intenzity paprsků příslušnými čidly. Naměřené závislosti úhlu lomu na úhlu dopadu korespondují se Snellovým zákonem lomu. Velmi pěkný průběh pro snadnost měření, umožňující jemnější proměření, vychází v případě skleněného půlválce, viz graf 2. Je vidět, že při menších úhlech dopadu je závislost téměř lineární, pro velké úhly dopadu závislost roste mnohem pomaleji. Naměřené indexy lomu glycerinu a destilovaé vody přibližně odpovídají tabelovaným hodnotám, hodnota glycerinu určená měřením úhlu dopadu a lomu je tabelované hodnotě blíže. Naměřený index lomu skla odpovídá tabelované hodnotě skel s vysokými indexy lomu. 5 Závěr Absolutní indexy lomu měřených kapalin z posunu bodu dopadu na dně kyvety jsou Destilovaná voda : N V = (1,32 ± 0,05), P 1. Glycerin : N G = (1,55 ± 0,09), P 1. Pro glycerin jsme naměřili index lomu měřením úhlu dopadu a lomu N G = (1,43 ± 0,08), P 1. 10
Index lomu skla půlválce SFLG byl určen s výsledkem n S = (1,91 ± 0,12) P 1. Tomuto typu skla přísluší experimentálně a výpočtem určený mezný úhel Experimentálně : M = (36 ± 3), P 1. Výpočtem : α M = (32 ± 2), P 1. Při jevu na rozhraní sklo-vzduch intenzita odraženého paprsku při zvětšování úhlu dopadu nejprve slábne, v blízkosti mezního úhlu pak začne prudce růst a pro úhly odpovídající totálnímu odrazu nabývá maximální hodnoty. Seznam použité literatury [1] ZFP III MFF UK Praha: Fyzikální praktikum, studijní text. (20.2.2014). http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/_media/zadani/texty/txt_u324.pdf [2] Wikipedia, internetová encyklopedie: Index lomu. (20.2.2014). http://cs.wikipedia.org/wiki/index_lomu 11