Logický čtverec z pohledu Tichého Transparentní intenzionální logiky

Logický čtverec z pohledu Tichého Transparentní intenzionální logiky Jiří Raclavský 1 Úvod Vyplývá tvrzení Některé chiméry jsou stvůry. z tvrzení Všechny chiméry jsou stvůry.? Které z těchto tvrzení má existenční import? Nejen na tyto kontroverzní otázky se pokoušíme odpovědět v tomto textu. Východisko našich úvah nebude tvořit tradiční (klasické) čtení logického čtverce, nýbrž Standardní čtverec, jímž zde nazýváme logický čtverec známý z úvodů do moderní logiky. Ten obohatíme o poznatky Transparentní intenzionální logiky Pavla Tichého, jež je s to dobře vystihnout například selhání existenčního importu z důvodu fenoménu parciality. Hlavní přínos našeho zkoumání tkví v desambiguaci stávajícího diskurzu o logickém čtverci 1 a v systematizaci a rozšíření objemu stávajících poznatků. 2 Navrhneme rivala moderního čtení Standardního čtverce, jímž bude modifikované moderní čtení. Pouze v modifikovaném moderním čtení totiž platí odvození tvrzení Některé nesebeidentické objekty jsou nesebeidentické objekty. z Všechny nesebeidentické objekty jsou nesebeidentické objekty., přičemž toto odvozené tvrzení není nepravdivé z důvodu existenčního importu. Modifikované moderní čtení Standardního čtverce totiž pojednává o jiné čtveřici vět než nemodifikované čtení. Dále v této stati prozkoumáme, zda Gottschalkova [14] průkopnická práce na logickém čtverci zahrnuje tento druhý druh čtverce. Následně zavedeme i dvě čtení Modálního logického čtverce, tedy čtverce zahrnujícího modální verze kategorických tvrzení. Dohromady tak získáme 1 Několik nedávných kongresů organizovaných J. Y. Béziau vedlo k publikaci několika sborníků zahrnujících několik desítek nových studií logického čtverce a dalších obrazců (hexagonů atd.). 2 Tento text rozhodně není pouhým kompilátem současné diskuse o tomto tématu. Na (netriviální) přínos konkrétního autora v textu vždy explicitně odkazujeme. Pokud na nikoho neodkazujeme, jedná se buď o triviální poznatky (tj. mohl je odvodit každý z teoretiků) či o poznatky zcela nové. 1

čtveřici příbuzných logických čtverců. Poté obrátíme pozornost k problémům spojeným s modalitou, jež je implicitně obsažena v kategorických tvrzeních. Je-li například tvrzení Všechny chiméry jsou stvůry. míněno jako nutné (de dicto), tak v každém světě, v němž chiméry existují, jsou chiméry stvůrami a proto je platné odvodit Některé chiméry jsou stvůry., což ve Standardním čtverci povoleno není, a tudíž se to stává předmětem kontroverzí. Jak bylo právě řečeno, Modální čtverec má dvě verze, moderní a modifikované moderní čtení. Dohledali jsme, že druhé čtení se objevuje již v dílech středověkých logiků. Dále pak poukážeme na to, že v modifikovaném moderním čtení neplatí například kontrárnost a subkontrárnost. Tento druh čtverce tedy není jednoduchou projekcí modifikovaného Standardního čtverce, poněvadž v něm tyto dvě relace platí. Vzhledem k tomu, že jsme nedohledali žádného předchůdce Modálního čtverce v moderním čtení, považujeme jej za původní. Nejen proto se většina poznatků v této stati přímo či nepřímo týká tohoto čtverce. Například zjistíme, že subalternace v něm platí, ovšem s výjimkou způsobenou tzv. pustými vlastnostmi, jež jsou ignorovány i některými soudobými metafyziky. V následující sekci 2 stručně představíme logiku vhodnou pro naše účely. V sekci 3 exponujeme moderní čtení Standardního čtverce, sdělíme o něm známá i méně známá fakta. Modifikované moderní čtení Standardního čtverce je exponováno v sekci 4, v níž ho porovnáme s Gottschalkovým čtvercem. Následuje krátká sekce 5, jež pojednává o modifikovaném čtení Modálního čtverce. Sekce 6 se zabývá modálním čtení kategorických tvrzení a představuje tak přípravu pro sekci 7, v níž exponujeme moderní čtení Modálního čtverce. Naše zkoumání shrneme v sekci 8. 2 Stručný úvod do Transparentní intenzionální logiky 2.1 Sémantické schéma, konstrukce, teorie typů, dedukce Transparentní intenzionální logika (TIL) Pavla Tichého, již zde využijeme, představuje podstatnou modifikaci Churchova typovaného λ-kalkulu [8]. TIL konkuruje dobře známému Montagueho systému [17], nejvýznamnější aplikace TIL lze naleznout v sémantice přirozených jazyků propoziční postoje, deskripce, subjunktivní kondicionály, modality, slovesné časy atd. 3 3 Pro jednoduchost budeme zcela potlačovat temporální parametr. Pro detailnější expozici a aplikace TIL viz zejm. [38], [39], [11], [25], [32]. Uveďme nyní vysvětlující poznámku 2

Sémantické schéma využívané v TIL obsahuje úroveň hyperintenzí, pro jejichž přijetí bylo v nedávné literatuře mnohokrát argumentováno. 4 výraz E vyjadřuje: konstrukci C, tj. význam explikovaný jako hyperintenze; E denotuje, C konstruuje: intenzi/extenzi, tj. explikaci denotátu. Konstrukce jsou strukturované abstraktní entity algoritmického charakteru; pro jejich pečlivý popis a obhajobu viz zvl. [38]. Každý objekt je konstruován nekonečně mnoha ekvivalentními, ale neidentickými konstrukcemi. Například číslo osm je konstruováno vynásobením čtyřky dvojkou či odmocněním šedesáti čtyř, tedy dvěma odlišnými, ale tzv. kongruentními konstrukcemi. Každá konstrukce C je abstraktně specifikována jednak tím, který objekt O je konstruován onou C, jednak způsobem, jakým (pomocí kterých podkonstrukcí) C konstruuje O. Konstrukce jsou obvykle zapisovány známými λ-termy jako X x [F X] [λx[f x]]. Povšimněme si, že konstrukce nikoli obvyklé množinové entity jsou přímými pro ty, na něž TIL a příbuzné systémy, např. Montagueho systém, působí mimoparadigmaticky a barokně. Teorie typů v pojetí TIL poskytuje strukturu k interpretaci TIL-termů; prvky B TIL, tj. atomické typy, jsou domény, molekulární typy jsou soubory funkcí zobrazujících objekty jednoho typu do prvků kodomény, tj. prvků jiného, ne nutně odlišného typu. TIL-termy zobrazují konstrukce diskvotačním způsobem, takže pro zjednodušení může čtenář v mnoha kontextech TIL-termy a jimi reprezentované konstrukce ztotožnit. Denotační sémantiku TIL-termů lze odvodit z popisu chování druhů konstrukcí čtenář ji však v obrysech zná z modální logiky. TIL-termy lze převést na termy (rozšířeného) jazyka predikátové modální logiky tak, že systematicky smažeme ( erasing map ) znaky λw a w. 4 Nejdůležitější argument pro užívání příslušné hyperintenzionální sémantiky představuje selhání substituce do hyperintenzionálních kontextů, pokud je nasazena intenzionální sémantika. Podle ní totiž věty jako Alice je přesvědčena, že 1 + 2 = 3. a Alice je přesvědčena, že x y z((x n + y n = z n ) (n < 3)). vyjadřují postoj k jedné a téže propozici, jež je významem obou vnořených vět, takže tyto věty jsou podle intenzionální sémantiky vzájemně substituovatelné; odvození jedné věty o přesvědčení z věty druhé na základě takové substituce však zjevně neplatí. Další důvody a odkazy na literaturu viz např. v [31]. 3

sémantickými hodnotami TIL-termů. Chování čtyř základních druhů konstrukcí může být zjednodušujícím způsobem popsáno následovně. Nechť valuace v je pole, v němž jsou objekty řazeny do sekvencí, z nichž každá zahrnuje objekty vždy jen jednoho tzv. typu; typ je soubor těchto objektů (k pojmu valuace i typu viz blíže [38] a též níže). Odvisle od v, i. trivializace X v-konstruuje přímo entitu (non-konstrukci či konstrukci) X ; ii. proměnná x k v-konstruuje k-tý objekt v sekvenci (části v), jež zahrnuje objekty typu, jenž tzv. probíhá; iii. kompozice [C C 1... C m ], kde C, C 1,..., C m jsou libovolné konstrukce, v-konstruuje hodnotu (je-li jaká) m-ární funkce (je-li jaká), jež je v-konstruována konstrukcí C na m-árním argumentu (je-li jaký), jež je v-konstruován pomocí C 1,..., C m ; iv. uzávěr [λx 1... x m C] v-konstruuje m-ární funkci z řetězců hodnot x 1,..., x m do příslušných výsledků v-konstruování C. Konstrukce dobře známých binárních logických nebo matematických funkcí a relací budou zapisovány infixním způsobem. Konstrukce tvaru [C w] budou v zápise zkracovány na C w. Dvojice závorek budou často vypouštěny; někdy budou eliminovány pomocí tzv. tečkové konvence, kdy tečka indikuje levou závorku, a odpovídající pravou závorku si je třeba představit tak napravo, jak jen lze konzistentně uvažovat. TIL užívá instanci Tichého teorie typů, jež je podstatnou modifikací jednoduché teorie typů [8]. Nechť báze B je neprázdnou třídou vzájemně disjunktních tříd primitivních objektů, např. B TIL ={ι, o, ω}, kde ι je typem individuí, o je typem (dvou) pravdivostních hodnot a ω je typem možných světů. Hierarchie (tzv. prvořádových) typů je induktivně definována následovně. Nechť ξ (i) je libovolný typ: i. Kterýkoli prvek B je typem nad B. 4

ii. Jestliže ξ 1,..., ξ m, ξ jsou typy nad B, pak (ξξ 1... ξ m ) tj. kolekce všech totálních a parciálních m-árních funkcí z ξ 1,..., ξ m do ξ je typem nad B. Tichý [38] tuto svou jednoduchou teorii typů rozvětvil, čímž umožnil zejména nekruhovou kvantifikaci přes konstrukce. V zájmu zjednodušení zde nebude tento rys TIL až na pár výjimek využíván; námi níže uváděné typování konstrukcí se však plně shoduje s ([38], Definition 16.1). Pro logickou analýzu výrazů přirozeného jazyka využijeme extenze i intenze nad B TIL. Intenze jsou funkce z možných světů; jsou typu (ξω), což budeme v zápisu zkracovat na ξ ω. Mezi intenze patří propozice, vlastnosti atd. Intenze se volí pro denotaci výrazů, jejichž reference se mění napříč logickým prostorem, např. (být) pes, prezident USA, V Paříži prší.. Nyní uveďme některé základní objekty, jež níže diskutujeme ( / zkracuje má v-konstruovat objekt typu; C 1, C 2 /ξ zkracuje C 1 /ξ; C 2 /ξ): x/ξ (objekt náležející do typu ξ, stručně: ξ-objekt; níže je ξ obvykle rovno ι) w/ω (možný svět 5 ); 1, 0/o (Pravda, Nepravda); o/o (pravdivostní hodnota); U/(oξ) (univerzální ξ-třída); /(oξ) (totální prázdná ξ-třída); p/o ω (propozice); nechť P je nějaká konstrukce propozice P; f, g/(oξ) ω (vlastnost ξ-objektů; její extenze ve W je typu (oξ); nechť F a G jsou nějaké konstrukce ξ-vlastností F a G; ξ /(o(oξ)) (třída obsahující univerzální ξ-třídu); ξ /(o(oξ)) (třída obsahující všechny neprázdné ξ-třídy); /(oo) (klasická negace);,, /(ooo) (klasická konjunkce, disjunkce, materiální implikace); /(o(oξ)(oξ)) (známá relace mezi ξ-třídami); /((oξ)(oξ)(oξ)) (známá funkce operující na dvojicích ξ-tříd); = ξ, ξ /(oξξ) (známé relace mezi ξ-objekty); ξ bude obvykle potlačeno i v případě zápisu jiných funkcí/relací; podobně bude v zápisu logických a matematických funkcí/relací obvykle potlačen tučný řez. 5 Podobně jako v případě f, x, o či p je w proměnnou, v tomto případě ovšem probíhající typ ω, tj. její hodnotou může být nějaký konkrétní možný svět W. 5

Výrazy Alík je pes. a Existuje pes. jsou v TIL analyzovány jakožto vyjadřující propoziční konstrukce (tj. konstrukce o ω -objektů) λw[pes w Alík] a λw. λx[pes w x], kde Alík/ι (individuum); Pes/(oι) ω (ι-vlastnost). Tichý [36], [37] navrhl pro svou jednoduchou teorii typů systém přirozené dedukce v gentzenovském stylu, jež byla rozšířena pro rozvětvenou teorii typů v [32]. Sekventy tohoto systému jsou sestaveny z tzv. shod. Shoda zapisovaná x:c je konstrukce, podle níž proměnná x v-konstruuje týž ξ-objekt jako (složená) konstrukce C. Dedukční pravidla jsou sestavena ze sekventů. Definice mohou být chápany jako určitá pravidla tvaru x:c x:d, kde indikuje vzájemnou odvoditelnost shod po stranách. Nechť C D zkracuje x:c x:d. Jednoduchý příklad definice: df λx0 (povšimněme si, že třídy jsou v teorii typů reprezentovány charakteristickými funkcemi). 2.2 Fixování parciality; vlastnosti propozic a jejich konstrukcí Parciální funkce, jež jsou v TIL přijaty, nám umožňují vhodně modelovat takové fenomény jako například na nic nereferující deskripce, děravé propozice, či také důsledky existenčního importu. Parcialita funkcí obvykle způsobuje abortivitu konstrukcí. Kompozice [C x] je v-nevlastní, tj. ne-v-konstruuje vůbec nic, typicky pokud funkce konstruovaná pomocí C není definována pro hodnotu x. Přijetí parciálních funkcí a nevlastních konstrukcí má silný dopad na logickou teorii, poněvadž klasické zákony pak neplatí (srov. [28]). Proto musí být fixovány. Například De Morganův zákon pro záměnu kvantifikátorů musí být ochráněn pomocí! (což záhy blíže vysvětlíme) proti případu, kdy je extenzí vlastnosti F nebo G parciální třída, jež by zapříčinila v-nevlastnost [[f w x] [g w x]], a tudíž i neplatnost zákona v neošetřené variantě: λx.[f w x]! [g w x]! λx. [[f w x]! [g w x]!]. 6 K fixování jsme jako operátor určitosti ( definiteness ) použili [... w... ]!, což je zkratka za [Pravdivá Tπ w λw [... w... ]]. Obsažený totální pojem pravdivosti propozic je definovatelný pomocí 6 Napravo od mohou být v tomto případě znaky! vypuštěny, zákon zůstane platný. Znak! v takovýchto případech nevypouštíme proto, aby těla uzávěrů, jež jsou kombinovány s nebo, byla identická srov. námi teď diskutované pravidlo. 6

[Pravdivá Tπ w p] df λo.[p w =o] [o=1], kde Pravdivá Tπ /(oo ω ) ω (vlastnost propozic). Tπ v notaci indikuje, že se jedná o totální pojem ( T ), jenž se aplikuje na propozice (zkrácený zápis typu o ω je π). 7 Pro porovnání: parciální (neboli slabý) druh pravdivosti je definovatelný takto: [Pravdivá Pπ w p] df [p w =1]. K těmto dvěma pojmům pravdivosti přiléhají dva pojmy nepravdivosti. Dle silného ( T ) pojmu nepravdivosti je daná propozice nikoli pravdivá, tj. buď nepravdivá ve slabém smyslu ( P ), nebo bez pravdivostní hodnoty. K otázce nevlastnosti a roli! v existenčním importu se vrátíme v sekci 3.4. 8 Druhým důležitým rysem Tichého logického systému je fakt, že vlastnosti konstrukcí určitých objektů supervenují na vlastnostech těchto objektů. Proto můžeme jednoduše hovořit rovnou o vlastnostech objektů bez ne- zbytné potřeby hovořit o vlastnostech konstrukcí těchto objektů; v důsledku toho níže předpokládáme, že si čtenář sestaví definice příslušných konstrukcípojmů sám. Pro ilustraci, pravdivost π propozice P činí všechny konstrukce P pravdivé. Pravdivost konstrukcí je proto definovatelná pomocí pravdivosti propozic: [Pravdivá PT k w c k ] df [Pravdivá Tπ w 2 c k ], kde Pravdivá PT k /(o k ) ω (vlastnost k-řádových konstrukcí; k je typ k- řádových konstrukcí). Konstrukce tvaru 2 C ( dvojitá exekuce) v-konstruuje objekt, je-li jaký, jež je v-konstruován tím, co je v-konstruováno pomocí C. Uvažme i jiný důležitý příklad nechť c k, d k / k (proměnné pro k-řádové konstrukce): [p = π q] df λw[p w! q w!] 7 Pro analýzu pravdivosti systémem TIL srov. [29], pro metody ošetření parciality srov. [28] nebo [32]. 8 Někdo by snad mohl při čtení následujících stran dojít k názoru, že parcialita byla sice zavedena, ale hned je eliminována pomocí!. V tomto případě by se jednalo o trojí nedorozumění. Předně: parcialita je přijata, nikdy nedochází k její eliminaci. Pouze je korigován její destruktivní vliv právě tak jako například angličtina ošetřuje negování vět bez pravdivostní hodnoty prostřednictvím not true (nikoli false), srov. známý příklad It is not true that the king of France is bald.. V některých případech, srov. níže definici Non T, nesmí být parcialita dokonce potlačena, poněvadž jinak bychom definovali jiný pojem. Obecně: mnohé kompozice důvodně nejsou ošetřeny pomocí!, a tak mohou být v-nevlastní. 7

[c k = d k ] df [ 2 c k = π 2 d k ] kde = π /(oo ω o ω ) ( = π je ve skutečnosti relací mezi třídami světů); =/(o k k ) (relace mezi konstrukcemi), což je z daných dvou pojmů preferovanější. Níže budeme v zápisu instancí [c k = d k ] obvykle vypouštět závorky a indikaci toho, že konstrukce po stranách = mají být uváděny pomocí trivializací jakožto konstrukce per se. 3 Moderní čtení Standardního logického čtverce 3.1 Kategorická tvrzení V rámci TIL jsou čtyři známá kategorická tvrzení vystižena s využitím!. Každé z nich je propoziční konstrukcí: zkrácený tvar plný tvar obvyklé slovní vyjádření A λw. λx.[f w x]! [G w x]! Každé F je G. E λw. λx.[f w x]! [G w x]! Žádné F není G. I λw. λx.[f w x]! [G w x]! Některé F je G. O λw. λx.[f w x]! [G w x]! Některé F není G. Každý zkrácený tvar kategorického tvrzení je definovatelný pomocí odpovídajícího plného tvaru, např. A w df λx.[f w x]! [G w x]!. Každý plný tvar konstrukce je logickou analýzou příslušného slovního vyjádření. O těchto slovních vyjádřeních budeme níže zjednodušeně také hovořit jako o kategorických tvrzeních. Velmi často budeme kategorická tvrzení stručně značit pomocí výrazů A O. Z důvodu diskutovaného na konci sekce 3.4 formalizují někteří autoři O- tvrzení pomocí a. Tyto formy s přední negací O- (a jiných) tvrzení jsou v našem přístupu, jenž využívá!, ekvivalentní tvrzením bez předních negací: λw. λx.[f w x]! [G w x]! λw. λx.[f w x]! [G w x]!. 8

Čtyři kategorická tvrzení mohou být ekvivalentně parafrázována pomocí zobecněných kvantifikátorů Všechna, Některá a Žádná, přidáme k nim bezejmenný [4] kvantifikátor NeVšechna: [[Všechna f w ] g w ] df λx.[f w x]! [g w x]! (mj. [f w g w ]) [[Žádná f w ] g w ] df λx.[f w x]! [g w x]! (mj. [f w g w ]= ) [[Některá f w ] g w ] df λx.[f w x]! [g w x]! (mj. [f w g w ] ) [[NeVšechna f w ] g w ] df λx.[f w x]! [g w x]! (mj. [f w g w ]) kde Všechna, Některá, Žádná, NeVšechna/((o(oξ))(oξ)). 9 Máme tudíž např. Všechna F jsou G. s významem λw[[všechna F w ] G w ]. 3.2 Moderní čtení Standardního čtverce Je dobře známo, že významné logické relace mezi páry kategorických tvrzení lze zachytit ve čtverci, jehož hrany a diagonály reprezentují relace platné mezi tvrzeními psanými v jeho rozích. Moderní čtení Standardního čtverce plně nezachovává klasické pojetí, takže jedinou důležitou relaci představuje kontradiktoričnost; čtverec je jen velké X 10 : Každé F je G. λw. λx.[f w x]! [G w x]! A I Některé F je G. λw. λx.[f w x]! [G w x]! O Žádné F není G. λw. λx.[f w x]! [G w x]! E Některé F není G. λw. λx.[f w x]! [G w x]! 9 Převzato z [26], [27]. Definice Všechna a Některá jsou vypůjčeny z [36], kde Tichý rovněž prezentoval výstižné důkazy rozmanitých vztahů mezi konstrukcemi, jež je obsahují. Další poznámky: definienda navržená v závorkách jsou obvyklá v tématice zobecněných kvantifikátorů; běžné chápání zobecněných kvantifikátorů jako (binárních) relací mezi třídami předpokládá Schönfinkelovu redukci ( curryfikaci ), jež ale není obecně platná v logice využívající parciální funkce, srov. [37]. 10 Srov. [18]. 9

Obrazec 1. Standardní čtverec v moderním čtení. druh relace míra platnosti kontradiktoričnost relace platí subalternace relace platí s výjimkou kontrárnost relace neplatí subkontrárnost Legenda. 11 3.3 Kontradiktoričnost a ekvivalence Pojem kontradiktoričnosti je definovatelný nejlépe jako [Kontradiktorní P Q] df λw. [P w! Q w!], kde Kontradiktorní/(oo ω o ω ) (relace mezi propozicemi). 12 (či ) je zde typu (oo ω ) a může být psán také jako (nebo ). Obvyklá formalizace relací ve čtverci kdy P a Q jsou kontradiktorní právě tehdy, když (P Q), kontrární právě tehdy, když P Q, subkontrární právě tehdy, když P Q, Q je subalterní P právě tehdy, když P Q ignoruje modalitu, což zatemňuje netriviální důvody, proč tyto relace obecně neplatí v modálních interpretacích čtverce (srov. 7.3 7.4). Nyní dodejme dvě známé ekvivalenční relace, jež nejsou zobrazeny ve čtverci výše, jmenovitě relaci kontrapozice ( Každé F je G. Každé non- G je non-f.) a obverze ( Žádné F není G. Každé F je non-g.). Ty jsou v moderním čtení plně potvrzeny i v našem pojetí. Je však třeba využít funkci Non- typu ((oξ) ω (oξ) ω ), přičemž [[Non- f ] w x] df [f w x]. 13 3.4 Problémy existenčního importu Je dobře známo, že Standardní čtverec je v moderním čtení koncipován tak, aby zachovával relaci kontradiktoričnosti (a relace kontrapozice a obverze), 11 Legenda zahrnuje i vysvětlení druhu čáry, jež se vyskytuje až v obrazcích uváděných níže. 12 Připomeňme si, že s využitím právě definovaného pojmu lze snadno definovat i pojem relace kontradiktoričnosti mezi propozičními konstrukcemi. Podobně níže. 13 [24, 26]. Tato definice nesmazává (Aristotelův) rozdíl mezi neohraničenou ( non-) a ohraničenou ( ) negací, protože neohraničená negace je definovatelná jako [[NonT - f ] w x] df [f w x]!. 10

kdežto relace subalternace a (sub)kontrárnosti 14 jsou vypuštěny kvůli existenčnímu importu. Termín F má ve W existenční import v tvrzení P, jehož je podkonstrukcí, právě tehdy, když ve W není P pravdivá, protože ve W neexistuje žádné F ; říkáme pak, že P postrádá existenční import právě tehdy, když F v ní nemá existenční import. Předpokládejme, že ve W neexistuje žádné F. Pak (intuitivní) I - a O- tvrzení jsou v přirozeném smyslu ve W nepravdivá, F v nich má existenční import (srov. ale modální čtení níže). Jenže A- a E-tvrzení jsou v moderním čtení ve W pravdivá, nikoli nepravdivá, poněvadž moderní logika explikuje (intuitivní) A- a E-tvrzení jakožto postrádající existenční import. V důsledku toho pak A =I a E =O. Z tohoto plyne neplatnost subalternace a (sub)kontrárnosti. Zachování subalternace a (sub)kontrárnosti by vyžadovalo silnější existenční předpoklady. Například Parsons [21, 22] (srov. též [41]) začal nedávno prosazovat ideu, podle níž mají existenční import pouze afirmativní tvrzení. Takovýto návrh však nejenže postrádá logickou bázi moderního čtení také protiřečí naší intuici. Například tvrzení Všechny chiméry jsou stvůry. nebo Všichni zlobři jsou zlobři. jsou obvykle chápána jako pravdivá, takže postrádají existenční import, tj. neplyne z nich existence chimér či zlobrů, jak je tomu podle Parsonsova výkladu. Dále: z tvrzení Některé ženy nejsou matkami. přirozeně plyne existence žen, takže toto tvrzení má existenční import; jenže to je v Parsonsově výkladu rovněž zavrženo. Nyní vysvětlíme, jak se parcialita vztahuje k existenčnímu importu. Předpokládejme, že konstrukce [F w x] ne-v-konstruuje nic, je v-nevlastní. Pak například konstrukce λw. λx.[f w x] [G w x] je nepravdivá, protože nedostává argument, takže λx.[f w x] [G w x] v-konstruuje parciální (nikoli univerzální) třídu a takové třídě přiřazuje 0. Existují dvě možné příčiny toho, proč [F w x] ne-v-konstruuje nic: i. vlastnost F není pro daný svět W (hodnotu w) definována; ii. F w v-konstruuje parciální třídu, jež je nedefinována pro hodnotu x (vlastnost F se ve W na x neaplikuje). Pokud extenze F není definována pro žádnou hodnotu x, tak i v tomto případě hovoříme o existenčním importu ve smyslu uváděném výše. Obě příčiny selhání jsou fixovány uplatněním!, protože [F w x]! při takovýchto valuacích v-konstruuje pravdivostní hodnotu 0. 14 Takto zkracujeme kontrárnost a subkontrárnost. 11

v-nevlastní konstrukce [F w x] je podkonstrukcí všech konstrukcí A O. Pokud by neobsahovaly!, byla by každá z nich při dané v nepravdivá. Takže například tvrzení O by nebylo kontradiktorické A. Kontradiktoričnost by byla při nepoužití! zachována jedině tehdy, když by O a E byly ve tvaru s přední negací, tj. O by byla λw. λx.[f w x] [G w x], nikoli λw. λx.[f w x] [G w x]. O tvaru O-tvrzení s přední negací uvažoval už Aristotelem v De Interpretatione ([1], viz např. [22]), lze však pochybovat o tom, zda to bylo z právě uváděného důvodu. 3.5 Subalternace, kontrárnost a subkontrárnost V klasickém pojetí je propozice Q subalterní P právě tehdy, když Q musí být pravdivá, jestliže P je pravdivá, a P musí být nepravdivá, jestliže Q je nepravdivá (předpokládáme, že klasické pojetí nezahrnuje parcialitu, již každopádně ošetříme pomocí!). Neboli: [Subalterní Q P ] df λw[p w! Q w!]. 15 Definiens jasně ukazuje vztah subalternace k vyplývání (z jednotlivého tvrzení): tyto relace jsou identické, protože [Subalterní Q P ] P = π Q. Poněvadž v moderním čtení A = I a E = O, subalternace obecně neplatí. Absence subalternace zneplatňuje také kontrárnost a subkontrárnost, protože levé konjunkty jejich definiens předpokládají A =I a E =O, jak hned uvidíme. V klasickém pojetí jsou dvě propozice kontrární právě tehdy, když nemohou být obě pravdivé, ale obě mohou být nepravdivé. Jak si všiml Sanford [33], druhá podmínka (tj. druhý konjunkt) v definiens nemůže být vypuštěna, jak to mnozí autoři činí, protože kontradiktorická tvrzení by začala také spadat pod kontrární tvrzení. Takže [Kontrární P Q] df λw[p w! Q w!] λw[ P w! Q w!]. Klasický příklad: A a E. V moderním čtení však žádný příklad neexistuje, protože A = E. V klasickém pojetí jsou dvě propozice subkontrární právě tehdy, když nemohou být obě nepravdivé, ale mohou být obě pravdivé. Druhá podmínka v 15 Subalterní, Kontrární, Subkontrární/(oo ω o ω ) (relace mezi propozicemi). 12

definiens opět nemůže být vypuštěna [33], protože kontradikce by také spadaly pod subkontrární tvrzení. Proto [Subkontrární P Q] df λw[ P w! Q w!] λw[p w! Q w!]. Klasický příklad: I a O. V moderním čtení však žádný příklad neexistuje, protože E = A. 3.6 Moderní čtení Standardního čtverce a pravdivostní podmínky Abychom pochopili sémantické chování kategorických tvrzení ve čtverci, bude užitečné se zamyslet nad jejich pravdivostními podmínkami. Nejprve si uvědomme, že každé kategorické tvrzení moderního čtení přisuzuje něco třídě C i, jež je v-konstruována při jednotlivé valuaci v konstrukcí C i, jež je tělem daného druhu tvrzení. Každé kategorické tvrzení je tvaru λw.q i C i, kde Q i je odpovídající kvantifikátor, tj.,,, nebo. 16 Pravdivostní podmínka kategorického tvrzení spočívá v tom, že třídě C i se připíše určitá vlastnost. Například A-tvrzení je pravdivé právě tehdy, když je určitá třída C A, jež je v-konstruována pomocí λx.[f w x]! [G w x]!, rovna U; pravdivostní podmínka A-tvrzení je proto C A =U. Každý kvantifikátor může být definován za pomoci odpovídající pravdivostní podmínky. Například univerzální kvantifikátor není ničím jiným, než onou jedinou třídou, jež obsahuje U, jmenovitě {U}, a v souladu s tímto je definovatelný. Zde je seznam takovýchto definic, jejich běžnější množinověteoretické verze uvádíme běžnou notací: tvrzení pravdivostní podmínka definice kvantifikátoru alternativní definice A C A =U [ c] df [c=u] = df {U} E C E = [ c] df [c= ] = df { } I C I [ c] df [c ] = df P(U) { } O C O U [ c] df [c U] = df P(U) {U} 16 Složené symboly kvantifikátorů chápejme jako jednoduché, definice viz záhy níže. 13

Charakter pravdivostních podmínek kategorických tvrzení podává iluminativní vysvětlení, proč jsou subalternace a (sub)kontrárnost v moderním čtení čtverce neplatné. Předpokládejme, že ve W neexistuje žádné F. Pak C A =U, C E =U, C I =, C O = (pokud ve W existuje nějaké F, obvykle získáme jinou čtveřici tříd). Tato čtveřice evidentně zachovává kontradiktoričnost. Nezachovává však subalternaci a (sub)kontrárnost, protože tyto relace jsou závislé na A = I a E = O. Například A = I by platilo, kdyby C A byla rovna U a C I byla rovněž rovna U, což by se shodovalo s inkluzí {U} do P(U) { } (srov. první a třetí řádek tabulky výše). Podobně je tomu tak s E = O. 4 Modifikované moderní čtení Standardního čtverce 4.1 Standardní čtverec: dvě čtení Nyní předložíme modifikované moderní čtení Standardního čtverce. Platí v něm nejen kontradiktoričnost, ale také subalternace a (sub)kontrárnost. V žádné instanci ale nevyužívá všechna čtyři standardní kategorická tvrzení. Již Gottschalk [14] navrhl toto modifikované čtení jako Čtverec čtverostí ( The Square of Quaternality; srov. také [7]), přitom si však nepovšiml rozdílu vzhledem k nemodifikovanému modernímu čtení. V současné literatuře tato konfúze přetrvává, protože modifikované čtení bývá velmi často uvedeno bez patřičného upozornění. 17 4.2 Modifikované moderní čtení Standardního čtverce Výše jsme poukázali na to, že v moderním čtení Standardního čtverce se čtyři standardní kvantifikátory aplikují na heterogenní soubor čtyř, ne nutně odlišných tříd C A C O, jež jsou v-konstruovány čtyřmi odlišnými konstrukcemi. V modifikovaném moderním čtení jsou však rohy dekorovány semknutější čtveřicí konstrukcí s jedním a týmž tělem, jmenovitě jednou konstrukcí v- konstruující jednu určitou třídu C. Níže budeme zapisovat schematické konstrukce λw. C, λw. C, atd., protože konkrétní specifický tvar dané konstrukce C nás nezajímá pokud 17 Vzácný příklad jejich odlišování jakožto Apuleova čtverce a (Gottschalkovy) Logické čtvernosti ( Quatern) lze nalézt v [34]. 14

je ovšem λw.q i C kategorickým tvrzením alespoň ve volnějším smyslu. Tato schematická tvrzení si můžeme označit pomocí A O (nemůžeme je ale definovat, protože např. A může, ale nemusí být rovno A). Ve srovnání s kategorickými tvrzeními zobrazenými výše v sekci 3.6 tu máme vždy odlišnou čtveřici tvrzení, ale s podobnými pravdivostními podmínkami: schematické tvrzení pravdivostní podmínka λw. C C =U λw. C C = λw. C C λw. C C U Jak je indikováno v našem diagramu níže, všechna klasická pravidla, včetně subalternace a (sub)kontrárnosti, v tomto čtverci platí. Jsou platná ze zjevných důvodů jako např., což odůvodňuje λw. C = λw. C, takže subalternace λw. C vzhledem k λw. C platí. λw. C A E I O λw. C λw. C λw. C Obrazec 2. Standardní čtverec v modifikovaném moderním čtení. Modifikované čtení je přirozené, pokud uvažujeme možné kvantifikované tvary jednoho základního tvrzení. A to ačkoli může obsahovat tvrzení jako např. λw. λx.[f w x]! [G w x]!, jež obvykle nejsou v běžné mluvě vyjádřena, srov. např.: 15

λw. λx.[f w x]! [G w x]! λw. λx.[f w x]! [G w x]! λw. λx.[f w x]! [G w x]! λw. λx.[f w x]! [G w x]! běžné kategorické tvrzení, jmenovitě A méně obvyklé kategorické tvrzení méně obvyklé kategorické tvrzení ekvivalentní běžnému kategorickému tvrzení O Zde uvádíme dva příklady naznačující užitečnost takového čtverce. Interpretace I -tvrzení jakožto obsahujících namísto je nevyhnutelná pro vysvětlení toho, proč např. z tvrzení Všechny nesebeidentické objekty jsou nesebeidentické objekty. vyplývá tvrzení Některé nesebeidentické objekty jsou nesebeidentické objekty., kdy je druhé tvrzení chápáno jako pravdivé navzdory neexistenci nesebeidentických objektů. Analogické vysvětlení může být poskytnuto pro často diskutovaný příklad tvrzení Všechny chiméry jsou stvůry., z něhož plyne Některé chiméry jsou stvůry. (příhodnější vysvětlení pojímá tato dvě tvrzení jako modální; srov. sekci 5 níže). 4.3 Gottschalkův čtverec a duálnost Gottschalk [14] navrhl Teorii čtverosti jako model mnoha možných logických čtverců. Určitá forma čtverosti, jež zužitkovává standardní kvantifikátory, se podobá našemu modifikovanému čtení. Gottschalk ji představil jako Teorii čtverosti pro omezené kvantifikátory. Využil při tom tvrzení ( x F )(Gx), ( x F ) (Gx), ( x F )(Gx), ( x F ) (Gx), kde F je neprázdná třída. Gottschalk to považoval za čtverec v tradiční formě. To však lze problematizovat, protože x F je podmínka, za níž x je G nebo non-g, takže všechny zmiňované formule implicitně obsahují, jejímž antecedentem je ona podmínka. Například I -tvrzení z tohoto Gottschalkova čtverce je ve skutečnosti x((f x) (Gx)), nikoli x((f x) (Gx)) moderního čtení. 18 Všimněme si také, že Gottschalkův čtverec není čtvercem našeho modifikovaného čtení, protože daná instance jeho čtverce obsahuje x((f x) (Gx)), čímž se liší od x((f x) (Gx)) korespondujícího modifikovaného čtení. 18 Někdo by mohl namítat, že podle notační dohody logiků má být ( x F )(Gx) čteno jakožto latentně obsahující, nikoli. S tímto územ se zde rozcházíme, protože Gottschalkův čtverec chápeme jakožto reflektující logické vztahy, nikoli jako vztahy determinované náhodnou zkracovací notační dohodou. 16

Gottschalk [14] a později např. Brown [7] a Westerståhl [42] studovali čtverec pomocí pojmu duality. Ze vstupního kategorického tvrzení obdržíme zbylá tři čtení způsoby, jež uvádíme v následující tabulce: φ (vstupní tvrzení) kontraduál φ na základě negací proměnných formule φ duál φ záměnou duálních konstant φ ( za, za, za ) negace φ záměnou duálních konstant φ a negací proměnných φ Tato teorie výstižně popisuje relace mezi tvrzeními λw. C, λw. C, λw. C a λw. C našeho modifikovaného čtení. Gottschalkova (kontra)dualita ovšem funguje jen pro modifikované čtení, nikoli pro moderní čtení čtverce. Například kontraduálem x((f x) (Gx)) je x( (F x) (Gx)), nikoli známé x((f x) (Gx)). Brown [7], Westerståhl [42, 43] i D Alfonso [9] se pokusili vyřešit tento problém zavedením jiného pojmu duálu. Tím však obrátili pozornost od Gottschalkova modifikovaného čtení k nemodifikovanému modernímu čtení čtverce. Explicitně uvedli pojem vnější negace ( post-komplementu), jenž umísťuje dovnitř formule. Duál Q(F,G) je pak jak vnější, tak i vnitřní negací (Q je zde zobecněný kvantifikátor jakožto binární relace); adaptujeme-li definice z [7] a [9]: vnější negace Q(F,G) = df (P(U 2 ) {Q})(F, G) vnitřní negace Q(F, G) = df Q(F, U G) duál (Q(F,G)) dual = df Q(F, G) 5 Modifikované čtení Modálního logického čtverce 5.1 Dvě čtení Modálního čtverce Záhy předvedeme dvě čtení Modálního logického čtverce, tj. čtverce, jehož rohy jsou dekorovány modálními ( aletickými ) kategorickými tvrzeními. Každý modální operátor M i, tj.,,, či, jenž je v těchto tvrzeních obsažen, je predikátem aplikovatelným na propozice. Jedná se tedy o kvantifikátor světů; každý je typu (oo ω ) (třída propozic). V modálních (de dicto) kategorických tvrzeních jsou tyto operátory aplikovány na propozice, jež jsou konstruovány standardními kategorickými tvrzeními. Tyto dva Modální čtverce se vzájemně liší stejným způsobem, jako se vzájemně liší dva 17

Standardní čtverce: jeden z modálních čtverců uplatňuje čtveřici tvrzení s jedním a tímtéž tělem, kdežto druhý modální čtverec nikoli. 5.2 Modifikované čtení Modálního čtverce Začněme modifikovaným čtením, jež uplatňuje tvrzení tvaru λw.m i P, přičemž kategorické tvrzení P je konstrukcí propozice P. Toto čtení čtverce, jež se týká nejen modálních, ale dokonce i deontických pojmů, může být doloženo třeba u Leibnize (srov. [15]), avšak bylo známo již ve 13. století (např. [16], [40]). V moderní době se o něm zmiňují Gottschalk [14] a Blanché [3], viz též [10]. 19 Protože v každé jednotlivé čtveřici tvrzení, jež jsou projektována do rohů čtverce, je propoziční konstrukce P jedna a táž, toto modifikované čtení Modálního čtverce se nezdá být ničím jiným než typově-teoretickou obměnou modifikovaného čtení Standardního čtverce. Analogicky je modifikované čtení Standardního čtverce vhodné tehdy, uvažujeme-li rozmanité modální (de dicto) verze jednoho určitého tvrzení. Je však více přirozené, srov. třeba následující konkrétní příklad (doplněný o tradiční středověkou terminologii): Je nutné, že všechny koně jsou živočichové. Není možné, že všechny koně jsou živočichové. Je možné, že všechny koně jsou živočichové. Není nutné, že všechny koně jsou živočichové. necesse est esse impossibile est esse possibile est esse possibile non est esse V následující tabulce jsou čtyři schematická tvrzení, jež mohou být označena A M O M, zobrazena dohromady s jejich pravdivostními podmínkami a odpovídajícími definicemi modálních kvantifikátorů. Nechť L (jako logický prostor) je univerzální třídou možných světů, tedy objekt typu o ω, tj. nutně pravdivá propozice (propozice Verum); v těchto kontextech je prázdnou třídou světů, tj. nutně nepravdivá propozice (propozice Falsum): 20 19 Fitting a Mendelsohn [13] přisuzují znalost tohoto čtverce i Aristotelovi. 20 Analytičnost příslušných tvrzení, tedy určitých propozičních konstrukcí, je zdůrazněna tím, že nejpřednější λ neváže žádné volné proměnné, jež by se snad vyskytovaly v těle daného uzávěru. 18

schéma tvrzení pravdivostní podmínka definice kvantifikátoru alternativní definice λw. P P =L [ p] df [p=l] = df {L} λw. P P = [ p] df [p= ] = df { } λw. P P [ p] df [p ] = df P(L) { } λw. P P L [ p] df [p L] = df P(L) {L} λw. P λw. P A M E M I M O M λw. P λw. P Obrazec 3. Modální čtverec v modifikovaném moderním čtení. 5.3 Subalternace, kontrárnost, subkontrárnost Modifikované čtení Modálního čtverce se zdá být isomorfní vůči modifikovanému čtení Standardního čtverce. Proto bychom mohli usoudit, že v něm platí nejen kontradiktoričnost, ale také subalternace a (sub)kontrárnost. Subalternace vskutku platí. Abychom demonstrovali její platnost, můžeme užít následující uvažování: je P(L) { }, takže, tj. {L}, je podtřídou ; následně λw. P = λw. P, což zdůvodňuje subalternaci λw. P vzhledem k λw. P. Nicméně (sub)kontrárnost neplatí. Důvod tkví v tom, že pravdivost nebo nepravdivost modálních tvrzení je stabilní napříč logickým prostorem. Například A- a E-tvrzení Je nutné, že všechny koně jsou živočichové. a Není možné, že všechny koně jsou živočichové. nejsou v žádném světě obě nepravdivá; kontrárnost tudíž neplatí. Totéž platí i pro subkontrárnost: I - a O-tvrzení Je možné, že všechny koně jsou živočichové. a Není nutné, že všechny koně jsou živočichové. nejsou v žádném světě obě pravdivá. 19

6 Modální čtení kategorických tvrzení 6.1 Rekvizity Nové moderní čtení Modálního čtverce, jež bude proponováno níže, je založeno na předpokladu, že kategorickým tvrzením jako Každé F je G. často v běžném diskurzu rozumíme v tom smyslu, že vyjadřují určité nutné (či významové) spojení mezi F a G. (Tato tvrzení jsou proto v tomto čtení analytická, tj. nutně pravdivá nebo nutně nepravdivá.) Toto spojení je někdy zvýrazněno vsunutím výrazu z definice či dokonce nutně, např. Každý kůň je z definice živočich.. Tichý ([36], 42; ev. [25]) navrhl číst tyto věty jakožto hovořící o tzv. rekvizitách. Jeho návrh přijmeme a rozšíříme. Tichý definoval pojem rekvizity a esence jak pro individuové pojmy, jím zvané úřady, tak pro vlastnosti; tyto dva pojmy se liší nejen v typu. Začneme prvním druhem pojmu. Esence je vše, co je nezbytné k tomu, aby se individuum stalo tím a tím (aby spadalo pod určitý individuový pojem, tj. plnilo určitý individuový úřad); esence je určitý soubor rekvizit. Rekvizita je tak jednou z podmínek, již objekt musí splnit tj. vlastnost, již objekt musí mít, aby se stal tím a tím. Například (být) okřídlený je rekvizitou individuového úřadu Pegas, je to vlastnost, již individuum musí ve W mít, aby ve W bylo Pegasem. V případě vlastností jsou rekvizity jednotlivými podvlastnostmi dané vlastnosti. Například (být) živočich je jednou z mnoha rekvizit vlastnosti (být) kůň. Budeme užívat právě tento druh rekvizity. Definovatelný je následovně: [Rekvizita g f ] df λw. λx.[f w x]! [g w x]!, kde Rekvizita/(o(oξ) ω (oξ) ω ) (relace mezi ξ-vlastnostmi). Všimněme si, že vyplývání propozice Q z propozice P, tj. ve skutečnosti P Q, je medadický případ vyplývání mezi vlastnostmi (v každém světě W, extenze F extenze G). Relace vyplývání mezi vlastnostmi je právě relací rekvizity. Využitím předchozí definice získáme dvě modální kategorická tvrzení a jejich příslušné ekvivalentní podoby: 21 21 Viz předchozí poznámku pod čarou. 20

intenzionální tvar tvar s explicitní modalitou obvyklé vyjádření A M λw[rekvizita G F ] λw. λw. λx.[f w x]! [G w x]! Je nutné, že každé F je G. O M λw [Rekvizita G F ] λw. λw. λx.[f w x]! [G w x]! Je možné, že některé F není G. 6.2 Potenciality Druhý pojem, jenž potřebujeme pro naše zkoumání Modálního čtverce, musí být srovnatelný s pojmem rekvizity. Nazvěme tento nový, ale ne zcela neznámý pojem potencialita. Pro ilustraci, individuum, jež má vlastnost (být) kůň, musí být živočichem; ale vlastnost (být) kůň připouští, aby dané individuum bylo černé nebo rychlé, atp. Tyto vlastnosti (být) černý, (být) rychlý jsou tudíž jen potencialitami vlastnosti (být) kůň. Podle naší definice je vlastnost G potencialitou F, pokud existuje alespoň jeden možný svět, v němž alespoň jedno individuum, jež je F, má vlastnost G: [Potencialita g f ] df λw. λx.[f w x]! [g w x]!, kde Potencialita/(o(oξ) ω (oξ) ω ) (relace mezi ξ-vlastnostmi). Nyní jsme s to zkompletovat čtveřici modálních (de dicto) kategorických tvrzení: intenzionální tvar tvar s explicitní modalitou obvyklé vyjádření I M λw[potencialita G F ] λw. λw. λx.[f w x]! [G w x]! Je možné, že některé F je G. E M λw [Potencialita G F ] λw. λw. λx.[f w x]! [G w x]! Je nutné, že žádné F není G. 6.3 Ke vztahu rekvizit a potencialit Ještě stručně porovnejme pojmy rekvizity a potenciality. Nejdříve uvedeme vhodné příklady pravdivých modálních tvrzení: Být živočich je rekvizitou bytí koněm. Být nesebeidentický není potencialitou bytí koněm. Být černý je potencialitou bytí koněm. Být okřídlený není rekvizitou bytí koněm. A M -tvrzení E M -tvrzení I M -tvrzení O M -tvrzení 21

Můžeme si uvědomit, že vlastnost, jež je nerekvizitou například vlastnosti (být) kůň, je buďto pouhá potencialita je to např. vlastnost (být) černý, nebo je to vlastnost, již žádný kůň nikdy nemůže instanciovat je to např. vlastnost (být) nesebeidentický. Na druhou stranu vlastnost (být) nesebeidentický je nepotencialitou vlastnosti (být) kůň; nemůže být nikdy instanciována, a proto je též nerekvizitou vlastností jako (být) kůň. Povšimněme si také, že mnoho rekvizit vlastností jako (být) kůň, např. (být) živočich, (být) čtyřnohý, jsou jejich potenciality, protože je splněno, že existuje alespoň jeden svět, v němž alespoň jeden kůň má onu vlastnost; potenciality, jež nejsou rekvizitami daných vlastností, mohou být snadno definičně odlišeny jakožto čisté potenciality. Existuje zajímavá souvislost mezi pojmy rekvizity a potenciality a dále pojmy esenciální a akcidentální vlastnosti. Vlastnost je esenciální pro / akcidentální pro individuum právě tehdy, když v každém světě W / alespoň jednom světě W individuum danou vlastnost instanciuje ve W. Vlastnost je esenciální / akcidentální právě tehdy, když v každém světě W / aspoň jednom světě W existuje alespoň jedno individuum, jež danou vlastnost ve W instanciuje. 22 Pak rekvizita / potencialita G nějaké vlastnosti F je definovatelná jako esenciální / akcidentální vlastnost pro každého nositele F. 7 Moderní čtení Modálního logického čtverce 7.1 Moderní čtení Modálního čtverce V moderním čtení Modálního čtverce dekorujeme rohy čtverce modálními verzemi standardních kategorických tvrzení, tj. pomocí A M I M. 23 Každé tvrzení je tvaru λw.m i P i, kde P i je A, E, I, nebo O: 22 Exhaustivní studií těchto pojmů představuje [24], z níž přebíráme použité definice. 23 Po dokončení mé stati mne M. Duží upozornila na to, že základní ideu mnou rozebíraného modálního moderního čtení navrhla ve své prezentaci [12]. Vlastnosti přitom nazývala pojmy, čtveřicí tvrzení o jejich základních vztazích je (schematicky a komprimovaně): Pojem F je subsumován pod / slučitelný s pojmem G / non-g.. 22

zkrácený tvar schéma tvrzení pravdivostní podmínka A M λw. P A P A =L E M λw. P E P E = I M λw. P I P I O M λw. P O P O L λw.[rekvizita G F ] Nutně, každé F je G. λw. λw. λx[f w x]! [G w x]! A M I M λw. [Potencialita G F ] Nutně, žádné F není G. λw. λw. λx[f w x]! [G w x]! E M O M λw[potencialita G F ] Je možné, že některé F je G. λw. λw. λx[f w x]! [G w x]! λw. [Rekvizita G F ] Je možné, že některé F není G. λw. λw. λx[f w x]! [G w x]! Obrazec 4. Modální čtverec v moderním čtení. 7.2 Obvyklá absence existenčního importu Díky modálnímu čtení kategorických vět okamžitě vyřešíme problémy týkající se existenčního importu zvláště A- a O-tvrzení (definici pojmu existenčního importu viz v sekci 3.4). 24 Při přirozeném chápání nemá tvrzení Každý gryf je stvůra. žádný existenční import a je pravdivé v každém W, poněvadž obnáší pravdivé sdělení, že jistá vlastnost je rekvizitou jisté vlastnosti. Tvrzení Některý gryf není stvůra. je nepravdivé (a nikoli bez pravdivostní hodnoty) v každém W a také nemá žádný existenční import, a to bez ohledu na faktickou existenci gryfů. Mohlo by se pak zdát, že modální kategorická tvrzení nikdy nemají existenční import. Výjimku z tohoto pravidla tvoří zejména I -tvrzení, jež zmiňují vlastnosti, jež nemají žádné instance v žádném možném světě, takže jsou 24 Striktně vzato se bude jednat o A M - a O M -tvrzení (podobně pro I - a E-tvrzení), a to i v následujících dvou podsekcích. 23

prázdné v celém logickém prostoru. Například I -tvrzení Je možné, že některé nesebeidentické individuum je G. je nepravdivé kvůli existenční importu termu nesebeidentické individuum. Vlastnosti jako (být) nesebeidentický, (být) kůň, který není koněm, (být) starý mládenec, který je ženatý atp., mohou být zvány pusté vlastnosti. 25 Pro účely naší stati je nazývejme barvitěji: kontradiktorické bytosti. Kvůli kontradiktorickým bytostem mají některá modální O-tvrzení také existenční import, například Je možné, že některé nesebeidentické individuum není G.. To se může zdát zvláštní: někdo by mohl namítat, že například vlastnost (být) živočich nemůže být vlastností žádného jednotlivého nesebeidentického individua, a tak je A-tvrzení Je nutné, že každé nesebeidentické individuum je živočich. nepravdivé a v důsledku toho je O-tvrzení Je možné, že některé nesebeidentické individuum není živočich. pravdivé, tj. bez existenčního importu. Aby právě toto platilo, musí být A-tvrzení chápáno jakožto obsahující, spíše než obvyklou. Ačkoli je to trochu matoucí, obě vlastnosti (být) živočich a (být) neživočich jsou rekvizitami vlastnosti (být) nesebeidentický, byť je žádné nesebeidentické individuum nemůže mít. Z důvodu absence existenčního importu jsou oslabené mody sylogismů např. Darapti: Všechna H jsou G., Všechna H jsou F., Tudíž některá F jsou G. v této modální interpretaci platné. Výjimku tvoří ovšem případy využívající kontradiktorické bytosti. Existuje proto hypotéza (jež však není předmětem tohoto pojednání), že středověcí logici, kteří akceptovali oslabené mody, záměrně ignorovali tyto kontradiktorické bytosti, protože dané vlastnosti nemají žádné možné instance, a tak je pochybné, zda se vůbec jedná o vlastnosti jak pochybují i někteří soudobí metafyzici. 7.3 Subalternace Subalternace v Modálním čtverci (podobně jako v moderním čtení Standardního čtverce) obecně neplatí, protože A M = I M a E M = O M. Neplatnost A M = I M a E M = O M je zapříčiněna kontradiktorickými bytostmi. Pro ilustraci uvažme A-tvrzení Je nutné, že každý, kdo holí všechny a pouze ty všechny, kdo neholí sami sebe, je holič.. Toto tvrzení je pravdivé, protože v něm zmíněná F -vlastnost je rekvizitou (dokonce esencí) vlastnosti (být) (russellovský) holič. Z tohoto A-tvrzení nevyplývá příslušné 25 Viz [24], kde jsou pusté vlastnosti definovány a vztaženy k akcidentálním, esenciálním a částečně esenciálním vlastnostem. Se čtveřicí vlastností uváděných výše je tu však jen částečná korespondence, poněvadž rekvizity a potenciality nejsou nezbytně esenciálními nebo akcidentálními vlastnostmi, ale druhy vlastností esenciálních nebo akcidentálních pro něco (srov. 6.3). 24

I -tvrzení Je možné, že někdo, kdo holí všechny a pouze ty všechny, kdo neholí sami sebe, je holič.. Je totiž nepravdivé, neboť takový holič nemůže existovat; daná F-vlastnost tudíž není potencialitou (být) (russellovský) holič. 26 Jinými slovy: jestliže F -vlastnost není potencialitou příslušné G- vlastnosti, subalternace I -tvrzení vzhledem k A-tvrzení neplatí. Abychom demonstrovali neplatnost subalternace v případě E- a O-tvrzení, uvažme pravdivé E-tvrzení Je nutné, že žádná nesebeidentická individua nejsou identická individua. (kde G = non-f ) a odpovídající O-tvrzení Je možné, že některá nesebeidentická individua jsou identická individua., jež je nepravdivé (samozřejmě za předpokladu, že ho nečteme jakožto skrytě obsahující, tak jako na konci sekce 4.2). 7.4 Kontrárnost a subkontrárnost Podobně jako v modifikovaném moderním čtení Modálního čtverce (sub)kontrárnost obecně neplatí. Uvažme například instanci výše uvedeného definiens kontrárnosti, λw. λw[a M w! E M w!] λw[ A M w! E M w!]. Jestliže A M je pravdivé tvrzení, neexistuje žádný W, v němž by bylo nepravdivé. Pravý konjunkt proto nemůže být splněn, kontrárnost A M k E M obecně neplatí. Analogicky pro případ subkontrárnosti. S naším modálním čtením čtverce můžeme rovněž dobře porozumět matoucímu faktu zpozorovanému už Sanfordem [33]: kontrární tvrzení nemohou být obě pravdivá, pokud je jedno z nich pravdivé ve všech W, tj. nutně. Například Všechny čtverce jsou pravoúhlé čtyřúhelníky. je nutně pravdivé A-tvrzení, takže příslušné E-tvrzení Žádné čtverce nejsou pravoúhlé čtyřúhelníky. je nutně nepravdivé. To ovlivňuje také subkontrárnost, protože pravdivost A, resp. E, se přenáší na I, resp. O. V našem přístupu je zřejmé, že tento rys je vlastní tvrzením, jež jsou ekvivalentní svým modálním verzím, přičemž v příslušném Modálním čtverci (sub)kontrárnost neplatí. Například Všechny čtverce jsou pravoúhlé čtyřúhelníky. Je nutné, že všechny čtverce jsou pravoúhlé čtyřúhelníky., Žádné čtverce nejsou pravoúhlé čtyřúhelníky. Je nutné, že žádné čtverce nejsou pravoúhlé čtyřúhelníky.. 7.5 K Modálnímu logickému hexagonu Jak je čtenáři možná známo, Gottschalk [14] uvedl a prozkoumal Modální ( aletický ) logický hexagon se dvěma novými modálními kvantifikátory U a Y. 27 Logický hexagon objevil nezávisle na Gottschalkovi Blanché [3], jenž 26 Srov. [30]. 27 V tomto kontextu ponecháváme původně zavedenou notaci, ačkoli se překrývá s naším dosavadním užíváním U. 25

definoval kvantifikátor Y již v [2]. Zde uvádíme definice příslušných pojmů a pravdivostní podmínky tvrzení, jež tyto pojmy uplatňují: schéma tvrzení pravdivostní podmínka definice kvantifikátoru alternativní definice λw.up P=L P= [U p] df [ p] [ p] U = df {L, } λw.yp P L P [Y p] df [ p] [ p] Y = df P(L) {L, } Modální kvantifikátor U je ve filosofii dobře znám jako analytické či nekontingentní (např. [14], [3], [5], [10]). Modální kvantifikátor Y může být výstižně zván (čistě) kontingentní (např. [2], [3], [14]; viz [19], srov. také [23], [35]). Analogická jména známých modálních kvantifikátorů jsou následující: nutné; nemožné; možné; nenutné. Zjevně existují dvě čtení Modálního hexagonu: buď s tvrzeními tvaru λw.m i P i, nebo λw.m i P. Oba hexagony dědí vlastnosti čtverce, jenž obsahují. Například v níže zobrazeném modifikovaném čtení platí subalternace, ale (sub)kontrárnost nikoli. To však většina současných teoretiků pomíjí; snad při tom připouští oslabenou (sub)kontrárnost, jež je splněna i kontradiktorickými tvrzeními (k tomuto srov. sekci 3.5 výše). λw.up U M λw. P λw. P A M E M I M O M λw. P λw. P Y M λw.yp Obrazec 5. Modální hexagon v modifikovaném moderním čtení. 26

8 Závěry Zopakujme si hlavní ideje této stati. Podle našich analýz existují dvě moderní čtení Standardního logického čtverce: i. známý čtverec moderních logických učebnic, v němž subalternace a (sub)kontrárnost neplatí; viz sekci 3; ii. méně známý čtverec, na nějž narazil již Gottschalk; v tomto modifikovaném moderním čtení platí všechny klasické vztahy, včetně subalternace a (sub)kontrárnosti; viz sekci 4. x(f x G x) x(f x G x) A E I O xp xp A E I O x(f x G x) x(f x G x) xp xp Obrazec 6. Standardní čtverec v i. moderním a ii. modifikovaném čtení (zjednodušující notace modální logiky). Tyto dva čtverce jsme porovnali a prošetřili jsme i některé jejich významné vztahy. Ukázali jsme, že určité záměny nebo neobvyklá tvrzení, jež se vyskytují v literatuře, mohou být vysvětlena jako následek posunu od čtverce i. ke čtverci ii. Například Někteří zlobři jsou zlobři. vyplývá z Všichni zlobři jsou zlobři. ve čtverci ii., avšak nikoli ve čtverci i. Existují ale i dvě moderní čtení Modálního logického čtverce. Ta využívají modální verze kategorických tvrzení: iii. Modální čtverec, jenž byl znám již středověkým logikům, není zdánlivě nic jiného než jiná forma čtverce ii.; kontradiktoričnost a subalternace v něm platí, ale rigidnost pravdivosti nebo nepravdivosti modálních kategorických tvrzení zneplatňuje kontrárnost a subkontrárnost; viz sekci 5; iv. nový Modální čtverec, jenž je určitou modální verzí nemodálního čtverce i.; viz sekci 7. 27