Zobecněné kvantifikátory z pohledu Transparentní intenzionální logiky

Zobecněné kvantifikátory z pohledu Transparentní intenzionální logiky Jiří Raclavský ÚVOD Autor vychází z alternativního definování základních zobecněných kvantifikátorů ( generalized quantifiers, natural language quantifiers ) All a Some, které původně podal Pavel Tichý (v Tichý 1976, srov. Raclavský 2009), a předkládá pak vlastní varianty provedené v literatuře zavedenějšími způsoby definování (je však ošetřována parcialita funkcí). Po doplnění na trojici All, Some, No (s přiložením rozmanitých komentářů, které se v literatuře nevyskytují) jsou ukázány principy explikace dalších zobecněných kvantifikátorů, načež jsou dále studovány některé problematické analytické případy. 1 2 Je předpokládána znalost základních pojmů a distinkcí Transparentní intenzionální logiky (srov. Raclavský 2009, kde je veškerá nezbytná terminologie vyložena). Připomeňme si zde alespoň několik z nich. Tichého logika (viz zejm. Tichý 1988, rozmanité aplikace viz v Tichý 2004) pracuje se systémem teorie typů, přičemž mezi základními objekty jsou individua (ι-objekty), pravdivostní hodnoty (ο-objekty, tj. T a F, Pravda a Nepravda), možné světy (ω-objekty), reálná čísla (τ-objekty; obvykle slouží k reprezentaci časových okamžiků). Molekulární typy třídí totální i parciální funkce nad takovouto bází (např. je tu typ pro třídy individuí, tj. charakteristické funkce typu (οι) ). Intenze jsou funkcemi z možných světů do chronologií ξ-objektů (ξ je libovolný typ), zjednodušeně řečeno: jsou to funkce z možných světů a časů do ξ-objektů (typy zapisujeme zleva doprava, zde tedy ((ξτ)ω) ). K nejznámějším intenzím patří propozice (jejich hodnotami jsou pravdivostní hodnoty), vlastnosti individuí (hodnotami, extenzemi vlastností, jsou třídy individuí), vztahy mezi individui (hodnotami jsou relace mezi individui, tj. třídy dvojic individuí). Každý objekt je tzv. konstruovatelný mnoha různými ekvivalentními konstrukcemi, přičemž konstrukce jsou nemnožinové, typicky strukturované abstraktní procedury. Můžeme je chápat jako objektuálními 1 K původu definic zobecněných kvantifikátorů v této stati. Autor je vyvíjel už v roce 2005, kdy o tématice ještě neměl žádné znalosti, nicméně to dělal způsobem obvyklým: pomocí inkluze a průniku. Později autor narazil na Tichého dvě definice, které užívají klasické kvantifikátory; autorovi není známo, že by totéž předložil nějaký jiný teoretik. Kromě těchto dvou vyvíjel autor všechny definice samostatně, jen později zjišťoval, zdali se v literatuře vyskytují, či nikoli. Podotkněme, že v literatuře převažuje relační výklad zobecněných kvantifikátorů, jak o tom bude níže řeč; teoretici zobecněných kvantifikátorů většinou pracují s formalizmem predikátové logiky, nikoli s jakoukoli verzí λ-kalkulu. 2 Práce na tomto příspěvku byla podpořena zejména grantem FRVS/65/2008. Autor se omlouvá za případné jazykové či jiné nedostatky. 1

protějšky λ-termů, pomoci nichž konstrukce zapisujeme. Základní čtyři druhy konstrukcí: trivializace ( 0 X konstruuje tak, že vezme objekt či konstrukci X a nechá ji tak jak je), proměnná (v objektuálním smyslu, konstruuje objekt dodaný valuací v), kompozice ([CC 1...C n ], kde C i je konstrukce, nechává zkonstruovat konstrukci funkce a konstrukci argumentu, načež onu funkci aplikuje na argument), uzávěr (λxc; je konstruována funkce z oboru x do objektů konstruovaných konstrukcí C). Tyto čtyři druhy konstrukcí konstruují v zásadě tak, jak λ- teoretik uvažuje, že fungují jeho čtyři druhy λ-termů (konstanta, proměnná, aplikace, λ- abstrakce). Dodejme ještě sémantické schéma: (v jazyce J) výraz E vyjadřuje konstrukci (která jej jeho významem), která konstruuje denotát E, tj. a) intenzi, b) non-intenzi, c) nic. Věty denotují propozice, běžné empirické predikáty vlastnosti či vztahy. Kromě denotace tu máme i referenci; referentem je u výrazů denotujících non-intenze denotát, u výrazů denotujících intenze hodnota této intenze v daném možném světě (a čase). Notační zkratky: namísto 0 X bude psáno X (tučný řez není vždy dobře viditelný, má však být všude tam, kde je ve hře nějaká konstanta trivializace jsou objektuální protějšky konstant); namísto [[C w] t] bude psáno stručné C w ; namísto ((ξω)τ) bude psáno ξ ω ; konstrukce konstruující relace či binární operace budou často psány způsobem infixním, nikoli prefixním; místy bude užívána dot convention pro nahrazování dvojice závorek, takže v místě levé závorky bude jen tečka; různé vnější závorky budou vynechávány; namísto hranatých závorek budou někdy uplatněny závorky oblé. Soupis často diskutovaných konstrukcí s přiřazením typu jimi (v-)konstruovaného objektu: x (či x 1, či x 2, popř. y, y 1, y 2 ) / ι; w / ω; s (či s 1, či s 2 ) / (οι) (třída individuí); f (či g) (proměnné pro vlastnosti individuí) / (οι) ω ; F (či G) (konstrukce nespecifikované vlastnosti individuí) / (οι) ω ; mj. F w (či G w ), ale i f w (či g w ) / (οι); / (οο); (, ) / (οοο); = / (οξξ); (či ) / (ο(οξ)); CardinalityOf / (τ(οξ)) (funkce zvaná kardinalita, kterou zde definovat nebudeme, vrací určité číslo i parciálním třídám); (či >) / (οττ). Definice budeme chápat jako jistá dedukční pravidla v Tichého systému dedukce, který je objektuální (mj. nebudeme lpět na odlišování definování funkce, definování konstrukce funkce ). df vlastně znamená vzájemnou odvoditelnost konstrukcí po stranách, přičemž tyto konstrukce v-konstruují (v-konstruují-li) vždy stejný objekt jako ta druhá z nich. Příklady definic, které bývají uplatněny nebo předpokládány níže: [[ExtensionOf w f] x] df [f w x] (přičemž ExtensionOf / ((οι)(οι) ω ) ω ) [True w p] df [.λo [(p w = o) (o = T)]] (přičemž o / ο; p / ο ω ; T / ο; True / (οο ω ) ω ) [Δ w x f] df [True w λw (f w x)] (přičemž Δ / (οι(οι ) ω ) ω ) 2

V druhé z definic je specifikována totalizující vlastnost pravdivosti propozic, která klasifikuje propozice na pravdivé a nikoli pravdivé (tj. mající v daném světě a čase pravdivostní hodnotu F nebo nic); v třetí definici je specifikován totalizující vztah mezi individui a vlastnostmi x instanciuje vlastnost f. Přidejme ještě další dvě definice: [[s 1 s 2 ] x] df [ [True w λw (s 1 x)] [True w λw (s 2 x)] ] (přičemž / (ο(οι)(οι)) ) [[s 1 s 2 ] x] df [ [True w λw (s 1 x)] [True w λw (s 2 x)] ] (přičemž / (ο(οι)(οι)) ) Průnik i sjednocení jsou opět definovány v totálním smyslu neboť kdyby hodnotou s 1 či s 2 byla parciální charakteristické funkce, její aplikace na hodnotu x by nemusela vrátit nic, takže konjunkce by nedostala argument, načež by nebyla konstruována žádná pravdivostní hodnota, ač dotyčná parciální třída může mít v přirozeném smyslu shodné prvky a tedy průnik s tou druhou třídou. Analogicky je třeba modifikovat další definice, pro příklad: [s 1 s 2 ] df [.λx [ [True w λw (s 1 x)] [True w λw (s 2 x)] ]] (přičemž / (ο(οι)(οι)) ) Podobně: [x ι s ] df [True w λw (s x)] (přičemž ι / (ο ι (οι)) ) (Tak jako i výše, definici lze zobecnit pro práci libovolným typem objektů, nejen tedy s individui). EXPLIKACE ALL, SOME, NO Vzhledem k tomu, že nazření fungování All, Some apod. (všechny jazykové příklady budeme uvádět v anglickém jazyce) naráží na nepříjemná matoucí úskalí, autor se domnívá, že problém je nejlépe vyložitelný na základě poměrně obecné úvahy. Začněme tím, že funkční aplikace postihuje náležení prvku do nějaké třídy, obecněji, že konstrukce druhu kompozice postihuje aplikaci funkce jakékoli typu na (typově vhodný) argument. Zauvažujme nyní nad funkcemi z tříd individuí (jako např. S 1 ) do nějakých tříd podtříd nějakých tříd individuí (jako např. S 2 ) tedy nad funkcemi, které jsou ((ο(οι))(οι))-objekty. Příkladem takovéto funkce nechť je Z, příkladem konstrukce druhu kompozice inkorporující Z pak třeba: [(Z S 1 ) S 2 ] Všimněme si, že tato kompozice konstruuje pravdivostní hodnotu po aplikaci funkce Z na S 1 dostáváme nějaký (ο(οι))-objekt, po aplikaci tohoto objektu-funkce na S 2 dostáváme nějaký ο-objekt. Uvažme, že při univerzu U={a,b,c} máme pro příklad S 1 ={a,b}, S 2 ={a,b,c} (odhlížejme na chvíli od parciálních tříd). Funkce Z tedy třídě S 1 přiřazuje nějakou podtřídu potenční množiny pro S 2, tj. nějakou podtřídu {,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{a,b,c}}. 3

Uvažme nyní konkrétní funkci Z 1, která přiřazuje z těchto podtříd pouze a právě třídu {{a,b},{a,b,c}}, což je vlastně charakteristická funkce, která vrací T pouze třídám {a,b} a {a,b,c}. Vidíme, že to obnáší, že S 1 je podtřídou obou těchto tříd. Pomineme-li prozatím parcialitu, chování Z 1 se dá postihnout konstrukcí (konstruující nějakou pravdivostní hodnotu):.λx [(S 1 x) (S 2 x)] Uvažme dále funkci Z 2, ovšem S 1 a S 2 jako předtím, která S 1 přiřazuje třídu {{a},{b},{a,b},{a,b,c}}, což je charakteristická funkce vracející T pouze třídám {a}, {b}, {a,b},{a,b,c}. Protože S 1 má s každou takovouto třídou neprázdný průnik, chování Z 2 postihneme konstrukcí:.λx [(S 1 x) (S 2 x)] Uvažme ještě funkci Z 3, ovšem S 3 ={a} a S 4 ={b,c}. Funkce Z 3 přiřadí třídě S 3 třídu {,{b},{c},{b,c}} (podtřídu potenční třídy pro S 4 ), což je charakteristická funkce vracející T pouze třídám, {b}, {c}, {b,c}. Tyto třídy jsou takové, že S 3 není jejich podtřídou, takže to postihneme konstrukcí:.λx [(S 3 x) (S 4 x)] Existují i další funkce typu ((ο(οι))(οι)), ale ty teď nechme stranou. Funkce Z 1 se jeví být vhodná pro vysvětlení denotace výrazu All ve větách jako třeba: All whales are mammals. Oba v ní užité predikáty referují na jisté třídy individuí a funkce All pro ně vrací pravdivostní hodnoty následovně. Pravdivostní hodnota T je (v daném světě a čase) vrácena tehdy, pokud všechny (aktuální) velryby, tj. třída individuí jako např. S 1, patří k (aktuálním) savcům, tj. třídě individuí jako např. S 2. Čili T je vrácena tehdy, když extenze vlastnosti whale je podtřídou extenze vlastnosti mammals. Za význam diskutované věty budeme považovat konstrukci (konstruující touto větou denotovanou propozici): λw [(All Whales w ) Mammals w ] přičemž All / ((ο(οι))(οι)), Mammals i Whales / (οι) ω. Dobře si uvědomme, jak obecně funguje tělo celé této konstrukce-uzávěru: funkce All je aplikována na třídu, která je extenzí vlastnosti whale ; All pro tuto třídu vrací jistou třídu tříd, totiž nějakou podtřídu potenční třídy pro extenzi vlastnosti mammals ; náleží-li do této třídy tříd extenze vlastnosti whales, obdržíme pravdivostní hodnotu T, nenáleže-li, dostaneme F. Jak je patrné, naše analýza vystihuje to, co je manifestováno na úrovni syntaxe: All patří k whale, na úrovni významu máme schématicky (Z F w ), přičemž tato (Z F w ) je 4

kompozicí (a tedy funkční aplikací) vztaženo k významu mammals. K značným zmatením ovšem může vést reflektování funkce typu ((ο(οι))(οι)), protože se nám zdá, že všechny velryby jsou nějak zašity v části (ο(οι)) tak tomu ale doopravdy není. Vskutku je pro nás matoucí, co je u takovýchto vět vlastně subjektem predikace, neboť jsme navyklí myslet, že ve větě je to něco uvedeného na jejím počátku, srov. např. u Alan je logik ; připomeňme si, že sémantický korelát toho, co na větné úrovni figuruje jako subjekt, se na úrovni významu vyskytuje zcela napravo. Avšak významy vět, které diskutujeme, mají v kompozici zcela napravo jiný pojem, než jaký bychom čekali při pohledu na pořadí výrazů syntaktické úrovni. Od šálení zvyku pomůže, když si větu parafrázujeme do podoby Savci jsou takoví, že k nim patří všechny velryby. 3 Pokročme dále. Funkce Z 2 se jeví být vhodná na vysvětlení denotace výrazu Some ve větách jako třeba: Some whales are gray. protože hodnotou Z 2 je pravdivostní hodnota T tehdy, když např. S 1, která je extenzí vlastnosti whales, má aspoň jeden společný prvek s S 2, která je extenzí vlastnosti gray (ba dokonce mohou být všechny prvky extenze whales též prvky extenze gray ); pravdivostní hodnota F je vrácena v odlišných případech. Za význam dané věty budeme považovat konstrukci (Some / ((ο(οι))(οι)), Gray / (οι ) ω ): λw [(Some Whales w ) Gray w ] Funkce Z 3 se zase jeví být vhodná pro vysvětlení denotace výrazu No ve větách jako: No whales are red. přičemž tato věta tedy vyjadřuje konstrukci (No / ((ο(οι))(οι)); Red / (οι ) ω ): λw [(No Whales w ) Red w ] Stručně shrňme dosavadní. Existují funkce obecně typu ((ο(οξ))(οξ)), přičemž některé z nich jsou vhodné jako explikace denotátů jistých kvantifikačních výrazů přirozeného jazyka. Protože příslušné pre-teoretické významy nejsou zcela jednoznačné, dotyčné explikace se mohou poněkud lišit ovšem výše započaté tři explikace mají nepochybně prioritu. 4 3 Logickou analýzou této parafráze je λw [ [λw.λs [(All Whales w ) s]] w Mammals w ]. Po provedení β-redukce pomocí w (jde o uplatnění I. pravidla λ-konverze) získáme λw [ [λs [(All Whales w ) s]] Mammals w ]; uplatněním další β-redukce (a to pomocí s) získáme výše uváděnou konstrukci. 4 Níže už nebudeme uvádět typ objektu, který konstruuje konstrukce vlastnosti individuí, popř. konstrukce vztahů mezi individui. Daný typ je ze slovních příkladů lehko zjistitelný i pro čtenáře neškoleného v typové analýze. 5

V našich následujících definicích budeme pro lepší názornost namísto proměnných pro vlastnosti individuí používat trivializace blíže nespecifikovaných vlastností, takže jako by šlo o proměnné pro vlastnosti. Nuže nejprve mějme definici: [(All F w ) G w ] df [.λx [ [True w λw (F w x)] [True w λw (G w x)] ]] Tato definice je vlastně Tichého (1976, srov. v Raclavský 2009) a vcelku pochopitelně ji nenajdeme u jiného teoretika. Všimněme si totiž, že Tichý ošetřil parcialitu pokud je extenzí vlastnosti F jistá parciální třída, která pro určité konkrétní individuum nepřiřazuje žádnou pravdivostní hodnotu, chceme přesto celkově dostat pravdivostní hodnotu F, což nám zajistí právě totalizující funkce True ; obdobné chceme pro G. Chceme to proto, že absence pravdivostní hodnoty by vedla k selhání aplikace implikace (nedostala by argument, takže by vlastně nedělala nic, nedodávala by tedy žádnou pravdivostní hodnotu), takže by individuu, které je argumentem charakteristické funkce konstruované konstrukcí, jejíž zápis začíná λx, nebyla dodána žádná pravdivostní hodnota, načež by obecný kvantifikátor pro takovouto třídu zahrnující nikoli všechna individua vrátil F. Jenže v přirozeném smyslu má být daná věta pravdivá, protože přece absence individua majícího F nemá mít vliv na pravdivost věty jako třeba Všichni jednorožci jsou zvířata. Podotkněme, že existuje funkce blízká All, kdy platí, že alespoň jedno individuum mající F existuje: [(All +ex.imp F w ) G w ] df [.λx [ [True w λw (F w x)] [True w λw (G w x)] ]] [.λx (F w x)] Nicméně autorovi není znám žádný teoretik zobecněných kvantifikátorů, který by denotaci All explikoval takovouto funkcí All +ex.imp obnášející existenční import ohledně F, tj. že příslušná věta implikuje větu, že existuje partikulární instance vlastnosti F. 5 Alternativní definicí All, kterou překvapivě nepodal sám Tichý, nicméně je v problematice celkem běžná (např. Keenan 2002, 628), je: df [F w G w ] načež můžeme snadno dojít i k: df [ [CardinalityOf (F w G w )] = [CardinalityOf F w ] ] Rovněž funkci No není obtížné správně definovat s pomocí klasického kvantifikátoru (mj. Tichý sám to neučinil): 6 5 K pojmu existenčního importu, existenčního generalizace a existenční presupozice viz (Raclavský 2006). 6 Poněvadž chápeme definice jako dedukční pravidla a nespecifikovali jsme žádný partikulární systém dedukce, alternativní definice je příznačná pro jiný partikulární systém než byl pro první definici, anebo se jedná o jeden systém se dvěma spolu souvisejícími dedukčními pravidly, z nichž jedno je z hlediska ekonomičnosti vlastně redundantní (někdy se však jedná o derivovatelný ekvivalent, ovšem jeho odvození v jistém konkrétním systému neukazujeme). 6

[(No F w ) G w ] df [.λx [ [True w λw (F w x)] [True w λw (G w x)] ]] Rozšířeno je ale definiens ve stylu [(F w G w ) = ], což však není zcela správné, neboť díky parcialitě je více prázdných tříd, nejen ta jediná totální třída. Prázdnost či neprázdnost ošetříme nejjednodušeji přes kardinalitu (Empty i NonEmpty / (ο(οι)) ): 7 [Empty s] df [(CardinalityOf s) = 0] [Nonempty s] df [(CardinalityOf s) > 0] Korektní alternativy naší definice No jsou tedy: df [Empty (F w G w )] df [ [CardinalityOf (F w G w )] = 0] ] Všimněme si, že neplyne, že existují (anebo neexistují) individua mající F, např. věta jako No whales are red o tom přece nijak nehovoří. Co se týče Some, Tichý (1976) podal definici: [(Some F w ) G w ] df [.λx [(F w x) (G w x)] ] Jako alternativu nabízíme: df [ [CardinalityOf (F w G w )] 1] popř. tu alternativu, která se taktéž objevuje i u jiných teoretiků (u nich ovšem jen s ): df [Nonempty (F w G w )] Zákonitě je tu existenční import ohledně instancí F a samozřejmě též i G. Není rovněž problém definovat slabší Some, která je někdy mluvčími intendována, totiž Some ve smyslu někteří, ale ne všichni : [(Some F w ) G w ] df [ [Nonempty (F w G w )] [(F w G w ) F w ] ] Ve zbývající části této sekce dodejme některá pozorování k podávaným definicím. Začněme tím, že v případě definic s definiens začínajících klasickým kvantifikátorem (resp. jeho konstrukcí) je takříkajíc zaručeno (plyne to z takové definice), že All, Some, No jsou totální funkce (obecně však jistě existují i parciální funkce typu ((ο(οξ))(οξ))). Definice s definiens s konstrukcemi kvantifikátorů na začátku mají tu přednost, že máme zjevně zajištěnu totálnost propozice, která je konstruována uzávěrem, jehož tělo je tvaru definiens, resp. jeho ekvivalentu definienda. Toto žel obecně nezaručují ony ostatní definice, neboť je-li například třída doručována např. skrze úřad pro vlastnosti (např. nejoblíbenější 8 7 Adaptováno z (Raclavský 2007), kde je mj. do větší hloubky pojednáno o totálních a parciálních třídách. 8 Parcialita extenzí nám tentokrát nevadí: hledáme, zda alespoň pro jeden a týž prvek mají extenze F a G (tj. jisté charakteristické funkce) připsánu pravdivostní hodnotu T; případy selhání konjunkce, způsobené absencí T pro takovýto prvek, nám neškodí, neboť existenční kvantifikátor v důsledku stejně vrátí pravdivostní hodnotu F, jak jsme chtěli. 7

vlastnost krále Francie ; konstrukce tohoto úřadu je dvakráte spjata s w), konstrukce bez konstrukce kvantifikátoru vepředu nám nedodají u mnoha z těchto definic žádnou pravdivostní hodnotu. Jistěže je otázkou, zda by pro aspoň některé případy nebylo případné nevracení žádné pravdivostní hodnoty žádoucí, nicméně zde ji necháme otevřenu. V literatuře o zobecněných kvantifikátorech se pro výše diskutované kvantifikátory všeobecně rozmohly definice s definiendy tvaru [QS 1 S 2 ], kdy Q je relací mezi S 1 a S 2, nikoli definice tvaru [[QS 1 ]S 2 ] s typem Q uváděným námi. Jejich přímočaré nasazení na přirozený jazyk a je vážně podivné, že lingvistům píšícím o zobecněných kvantifikátorech to nevadí však vede k tomu, že např. All whales je vlastně nedenotující výraz. Neboť All a whale sice denotují příslušné funkce, nicméně žádný objekt All whales neexistuje: funkce přesněji relace typu (ο(οι)(οι)) si nemůže vystačit s polovinou svého argumentu. Podivný fakt lpění na relačním výkladu naštěstí nachází omluvu v curryfikaci ( curryzation ):je (ο(οι)(οι)) curryfikovaná varianta ((ο(οι))(οι)). 9 Autor se domnívá, že vzhledem totálnosti, tj. nikoli parciálnosti, uvažovaných funkcí typu ((ο(οι))(οι)) by s ekvivalencí na základě curryfikace neměly být potíže. Každopádně je však uvažování funkcí typu ((ο(οι))(οι)) věrnější gramatické formě. Logickou analýzou výrazu All je tedy konstrukce All 10 a logickou analýzou výrazu: all whales je konstrukce: λw (All Whales w ) která konstruuje jistou funkci z možných světů (a časových okamžiků), jmenovitě typu (ο(οι)) ω. Precizní logickou analýzou věty jako: All whalje pochopitelnes are mammals. je sice: λw [ [λw (All Whales w )] w Mammals w ] avšak tato konstrukce je snadno β-konvertovatelná (případ redukce pomocí proměnné, jde tedy o I. pravidlo λ-konverze) na stručnější: λw [(All Whales w ) Mammals w ] přičemž konstrukce (All Whales w ) v-konstruuje (ο(οι))-objekt. Mj. I. pravidlo λ-konverze u kompozic tvaru [λw (... w...)] w uplatňujeme často, takže píšeme rovnou (... w...). 9 Za tuto poznámku autor vděčí J. Křetínskému (srov. 2007), který u autora psal práci o zobecněných kvantifikátorech (z dost matematického, resp. informatického hlediska). Od něho autor přejímá i níže uvedené dělení zobecněných kvantifikátorů. 10 Mj. její η-rozvinuté podoby jsou λs 1 (All s 1 ), dále pak λs 2.λs 1 [(All s 1 ) s 2 ]. 8

Definice tvaru ((QS 1 )S 2 ) df... jsou výhodné kvůli tomu, že definiendum i definiens (v-) konstruuje určitou pravdivostní hodnotu a tak jsou definiendum i definiens vhodné pro uplatnění při nějaké další dedukci. Není však v principu vyloučeno podávat definice tvaru (QS 1 ) df..., kdy je definiendem i definiens konstruován objekt typu (ο(οι)), 11 anebo dokonce tvaru Q df..., kdy je definiendem i definiens konstruován objekt typu ((ο(οι))(οι)). V takovýchto definicích namísto F w a G w užijeme podstatu lépe odhalující s 1 a s 2 (ty mohou být substituovatelné např. pomocí F w a G w ; srov. Tichého práce o dedukci): (All s 1 ) df λs 2 [s 1 s 2 ] (Some s 1 ) df λs 2 [Nonempty (s 1 s 2 )] (No s 1 ) df λs 2 [Empty (s 1 s 2 )] All df λs 1.λs 2 [s 1 s 2 ] Some df λs 1.λs 2 [Nonempty (s 1 s 2 )] No df λs 1.λs 2 [Empty (s 1 s 2 )] Závěrem ještě dodejme, že není problém zobecnit výše uváděné definice na jakýkoli typ tříd objektů (např. můžeme pracovat s třídami dvojic čísel apod.). VÍCE O KVANTIFIKÁTORECH PŘIROZENÉHO JAZYKA Přikročme k dalším problémům. Pro začátek si uvědomme, že kvantifikátory můžeme dělit dle arity funkcí na druhem: nulární (ο(οξ)); např., ; unární ((ο(οξ))((οξ))); např. Some, All, No (mj. už je nebudeme psát v uvozovkách); binární ((ο(οξ))(οξ)(οξ)); 12 atd. Věty jako All whales are mammals, pokud nejsou (a to nejsou) nějakými radikálními jazykovými zkratkami, mají význam předložený výše a nebylo nijak těžké determinovat, že např. All je unární kvantifikátor. A to navzdory tomu, že máme chuť říci, že podstata predikace funguje tak, že All vybere z extenze whales třídu všech jejích prvků (tj. prostě celou tu extenzi), načež ta má být podtřídou extenze mammals. Analogický výklad 11 Vlastně takovýto druh definic vzácně podávají např. (Keenan, Stavi 1986; v jejich zápisu např. every(s 1 ) = df {s 2 : s 1 s 2 }), ovšem najdeme je již v (Barwise, Cooper 1981; v jejich zápisu např. Some (A) = {X E X A 0}; tučným řezem teoretici zobecněných kvantifikátorů vyznačují, že jde o interpretovaný symbol). 12 Příklad binárního kvantifikátoru máme pro případ věty At least as many F 1 s as F 2 s are G s, jejíž význam si lehko dovodíme z naší definice: [(AtLeastAsManyAs F 1w F 2w ) G w ] df [ [CardinalityOf (F 1w G w )] [CardinalityOf F 2w ] ], přičemž AtLeastAsManyAs / ((ο(οι))(οι)(οι)). 9

bychom mohli snad přijmout i pro fungování No, kdy je vybrána prázdná podtřída extenze whales. Tento výklad vlastně počítá s tím, že daný výraz je jakýsi modifikátor, načež [(Q S 1 ) x] by byl legitimní útvar. Nicméně se dá tato úvaha zpochybnit poukazem, že je více tříd o stejných prvcích (popř. žádných prvcích), takže jedinečnost vybrané třídy předpokládaná u [(Q S 1 ) x] je iluzí. Zatímco případ parciálních tříd by snad někdo chtěl pominout, uvažovaný postup naprosto selhává u takto vyloženého Some: ač si v mysli představujeme, že ta funkce vybírá některá individua z extenze vlastnosti whale, anebo že vybírá libovolnou neprázdnou podtřídu extenze whale, takovýto koncept libovolného výběru není v klasické logice rozumně zachytitelný. Výše uváděná explikace významů výrazů All, Some, No se tudíž jeví jako přece jen správná a zakolísání v explikaci nikam nevedlo. Níže však narazíme na případy, kdy se onen výklad nejeví nevhodný. Před tím se však zbavíme skupin kvantifikátorů, které nám nečiní principiální potíže explikovat. Především tu máme kvantifikátory, které zpracovávají počet, procento (apod.) partikulárních instancí (tj. individuí) určité vlastnosti. Pro příklad mějme aspoň: [(AtLeastTwo F w ) G w ] df [[CardinalityOf (F w G w )] 2] Pochopitelně bychom měli význam kvantifikujícího obratu at least two rozložit, nicméně pak bychom museli mít jako typ funkce at least, totiž ((ο(οι)) τ (οι)). Načež pak obecně (n je proměnná probíhající τ): [(AtLeast n F w ) G w ] df [[CardinalityOf (F w G w )] n] Podobně bychom naložili s dalšími numerickými kvantifikátory. Problém je přirozeně s Many, Most atp. Avšak definice jsou pro nás částmi derivačního systému, takže lehko dospějeme k závěru, že je tu skupina derivačních systémů, které se liší v tom, jak pojímají právě Many apod., neboť každý z nich musí disponovat přesným pojmem, například tedy (Many i Most / ((ο(οι))(οι)); 40%Of i 51%Of / (ττ) ): [(Many F w ) G w ] df [ [CardinalityOf (F w G w )] = [40%Of (CardinalityOf F w )] ] [(Most F w ) G w ] df [ [CardinalityOf (F w G w )] [51%Of (CardinalityOf F w )] ] Je pochopitelné, že v literatuře o zobecněných kvantifikátorech bylo dosaženo mnoha výsledků v explikaci všech takovýchto kvantifikátorů; autor proto nevidí důvod je opakovat (způsob, jak obecně zapracovat parcialitu byl námi rovněž uveden). Snad jen přidejme následující, zřídka diskutovaný unární kvantifikátor (Only / ((ο(οι))(οι)) ): [(Only F w ) G w ] df [.λx [ [True w λw (G w x)] [True w λw (F w x)] ]] df [G w F w ] 10

Nyní se podívejme na některé problémy s explikací kvantifikujících výrazů. V literatuře o zobecněných kvantifikátorech je např. význam Every explikován shodně jako význam All, tj. (Every / ((ο(οι))(οι)) ): [(Every F w ) G w ] df [(All F w ) G w ] To vypadá poněkud podezřele, protože se nám, např. u výroků jako: Every whale is a mammal. zdá, že by tu měl být rozdíl vůči významu All. Pomineme-li případ existenčního importu, který lze do explikace snadno zapracovat ([(Every +ex.imp F w ) G w ] df [(All +ex.imp F w ) G w ]), snaha rozumně nadefinovat Every vede k: df [.λx [ [True w λw (F w x)] [True w λw (G w x)] ]] což však není nic jiného, než ekvivalent výše uvedeného definiens. Explikovat význam Every jako konstrukci funkce, která extenzi F vrátí tuto extenzi samu (a byla-li ta prvá parciální třídou, tak ta druhá je třídou totální, došlo ke ztotalizování ) sice není nemožné (Every / ((οι)(οι)) ): [(Every ((οι)(οι)) F w ) x] df [.λy [(x = y) [True w λw (F w y)] ]] nicméně chybí rozumná aplikabilita na přirozený jazyk ( Alan is every F je agramatický útvar). V případě Any již tomu tak není. Vyložit any of ( arbitrary apod.) jakožto denotující relaci AnyOf typu (ο ι (οι)): [AnyOf (οι(οι)) x F w ] df [True w λw (F w x)] je vhodné pro případ vět jako: Alan is any of F s. Alan is an arbitrary F. Mj. díky stylistickým vlastnostem angličtiny větu jako: Alan is no F. analyzujeme: λw [ [AnyOf (οι(οι)) Alan F w ]] Na druhou stranu pro případ vět jako: Any F is a G. vyložíme Any jistě jakožto denotující jistý unární kvantifikátor, konkrétně jako All (popř. s existenčním importem; Any / ((ο(οι))(οι)) ): [(Any F w ) G w ] df [(All F w ) G w ] 11

Další nejednoznačnost pro explikaci významu je spojena s each, které se v kontextech, které zkoumáme, jeví být nejčastěji (Each / ((ο(οι))(οι)); popřípadě s existenčním importem): [(Each F w ) G w ] df [(Every F w ) G w ] Někdy se však zdá, že Each znamená totéž, co v češtině kdejaký, takže by šlo zřejmě, tj. Each 2, o totéž jako (popř. bez existenčního importu; AllExceptSome / ((ο(οι))(οι)) ): [(AllExceptSome F w ) G w ] df [(Most F w ) G w ] kdy all_except_some chápeme jako idiom. Ukažme si nyní řešení jedné analytické obtíže pro případ vět, které mají strukturu kategorického výroku. Mějme větu: Some boy loves every girl. Je zde obrat Some boy, s nímž již umíme zacházet, a tak nám vychází, že výraz loves every girl by měl referovat na třídu individuí, která je extenzí jisté vlastnosti. Tento obrat ovšem zahrnuje nám povědomý obrat every girl, jehož analýzu vlastně známe; s její pomocí musíme sestavit analýzu loves every girl. Nejdříve si však uvědomme, že extenzí vztahu x loves y je jistá třída dvojic individuí. Nyní uvažme, že individuum Alan má onen vztah k jistým y; odpovídající konstrukcí je: λw.λy [Love w Alan y] Pokud abstrahujeme od Alana jakožto konkrétního individua, výsledná konstrukce (λy [Love w x y]) v-konstruuje třídu individuí (těch y), která má příslušné x v daném světě (a čase) rádo. Pokud takovéto x má rádo každou dívku, obdržíme pravdivostní hodnotu T; my chceme třídu právě takovýchto x. Neboli konstrukce oné vlastnosti, která je denotovaná diskutovaným obratem, je: λw.λx [(Every Girl w ) (λy [Love w x y])] Analýzou dané věty je pak: λw [(Some Boy w ) [λx [(Every Girl w ) (λy [Love w x y])]]] Literatura: BARWISE, J., COOPER, R. (1981): Generalized Quantifiers and Natural Language. Linguistics and Philosophy 4: 159-219. KEENAN, E., STAVI, J. (1986): A Semantic Characterization of Natural Language Determiners. Linguistics and Philosophy 9: 253-326. 12

KEENAN, E. (2002). Some Properties of Natural Language Quantifiers: Generalized Quantifier Theory. Linguistics and Philosophy 25: 627-654. KŘETÍNSKÝ, J. (2007): Generalized Quantifiers. Bakalářská diplomová práce. FF MU. RACLAVSKÝ, J. (2006): De Dicto / De Re Existential Generalization / Consequence / Presupposition. (manuskript on-line). RACLAVSKÝ, J. (2007): Defining Basic Kinds of Properties. In: T. Marvan, M. Zouhar (eds.), The World of Language and the World beyond Language (A Festchschrift for Pavel Cmorej), Bratislava: Veda, 69-107. RACLAVSKÝ, J. (2009): Kategorické výroky a sylogismy z pohledu Tichého Transparentní intenzionální logiky. In: Organon VI. (tento sborník). WESTERSTÅHL, D. (1985): Logical Constants in Quantifier Languages. Linguistics and Philosophy 8: 387-413. TICHÝ, P. (1976): Introduction to Intensional Logic. (nepublikovaný manuskript knihy). TICHÝ, P. (1988): The Foundations of Frege s Logic. Berlin, New York: Walter de Gruyter. TICHÝ, P. (2004): Pavel Tichý s Collected Papers in Logic and Philosophy. V. Svoboda, B. Jespersen, C. Cheyne (eds.), Dunedin: Otago UP, Praha: Filosofia. ZOUHAR, M. (2006): Kvantifikácia v prirodzeném jazyku. Organon F 13, 1-4. 13 13 Tento seriál lze doporučit pro vstup do stávají literatury o tématu. Mj. vděčím Dr. M. Zouharovi za cenné poznámky. 13