Atomová fyzika plazmatu

Atomová fyzika plazmatu Označení nábojových stavů Stupeň ionizace 0+, 1+, +, 3+,. Z+ Atom Y YI, YII, YIII, YIV Uhlík C (Z=6) CI, CII, CIII, CIV, CV, CVI, CVII Izoelektronová C-podobný, B-p., Be-p., Li-p., He-p., vodíku-p., holé jádro Atomové stavy Záadní stav Excitované stavy (resonanční stavy jeden elektron z vnější podslupky excitován do vyšší podslupky) Autoionizační stavy (vázané stavy s energií vyšší než ionizační potenciál elektron excitován z vnitřní slupky nebo víc excitovaných elektronů) spontánní nezářivý přechod do kontinua je možný Jednotky cgs jednotky poloměr normalizován na Bohrův a 0 ( ) a energie v jednotkách Rydberg 1 Ry =1 R = e /a 0 = 13.6058 ev = 109737.3 cm -1

Řešení Schrödingerovy rovnice Časově-nezávislá Schrödingerova rovnice Vlnová funkce ψ b je funkcí jednoelektronových stavů ϕ i ψ b = f(ϕ 1, ϕ,., ϕ N ) Vlnová funkce musí být antisymetrická vzhledem k výměně libovolných elektronů Vlnové funkce musí být ortonormální

Atom (iont) s 1 elektronem Schrödingerova rovnice p p L H () r Za = + V r = + m m mr r 0 a 0 Bohr radius Řešení kde n = 1,, hlavní kvantové číslo, l = 0,1,, n-1 charakterizuje orbitální úhlový moment, m l = -l,-l+1,,l-1,l je orientace orbitálního úhlového momentu a m s = -½, ½ je orientace spinového úhlového momentu Operátory úhlového momentu (L, L z, S, S z, J, J z ) J = J J = J x + J y + J z - vlastní hodnoty j(j+1) - j=0, ½, 1, 3/,, J z vlastní hodnoty m (m = -j, -j+1, -j+,,j-1,j)

Orbitální a spinový úhlový moment Semiasický obrázek pro úhlové momenty J =, 3/ Vlastní funkce operátorů L, L z orbitálního úhlového momentu Sférické harmoniky jsou ortonormální Suma přes m sféricky symetrická el. hustota Označení orbitálního úhlového momentu s (l = 0) p (1) d () f(3) g(4) h(5) i(6) k(7) l(8) m(9) Elektronový spin elektron má vnitřní úhl. mom. j = ½ (z komponenta m s = - ½, ½), vlastní funkce a

Radiální část vlnové funkce Radiální rovnice vázaný stav P nl ( ) P ( ) 0 = = 0 nl Substituce ρ = Zr / n, E = Z / n Analytické řešení kde asociovaný Laguerrův polynom je použita fázová konvence

Radiální část vlnové funkce Radiální vlnové funkce (plná čára) a efektivní potenciál (čárkovaná) pro nejnižší s and p stavy Počet uzlů (nul) je n-l-1, počet extrémů je n-l Pro atomy s více než 1 elektronem, potenciál V nemá žádný jednoduše vyjádřitelný tvar a nelze nalézt analytické řešení Numerické řešení E je iterováno při zadaném počtu uzlů

Orbity a relativistické opravy Hamiltonián s relativistickými opravami kde konstanta jemné struktury 3. člen důsledek relativistické změny hmoty elektronů (hmotově-rychlostní člen) 4. je Darwinův člen projev relativ. neurčitosti 5. je spin-orbitální člen magnetická interakce spinového a orbitálního magnet. momentů Eliptické Bohr-Sommerfeldovy orbity pro vodíkový atom Hmotově-rychlostní a Darwinův člen pouze posuv energií hladin Spin-orbitální vazba vede k rozštěpení energetických hladin s l 0 Operátor - vlastní hodnoty a posuv kde [] = l pro j = l + ½ a [] = -(l+1) pro j = l - ½

Komplexní atomy Hamiltonián (hmotově-rychlostní a Darwinův člen jen posuv energie po vyřešení) - Řešení je lineární kombinací Ψ b - Systém lineárních rovnic je řešen (M bázových funkcí) energie E k vlastní hodnoty - Bázové funkce sádány z 1-částicových vlnových funkcí - antisymetrická suma přes všechny permutace - Bázové funkce vlastní funkce celkového J and J z - - Ekvivalentní elektrony mají stejná nl w elektronů v podslupce (nl) w - Uzavřené podslupky k (s, p 6, d 10, f 14,..,) mají L k = S k = J k = 0 - Příad Ne I 1s s p 5 3s obvye značeno Ne I p 5 3s (uzavřené vynechány)

Detailní struktura energetických hladin Nejdříve radiální vlnové funkce a střední energie konfigurace Potom rozštěpení energií uvnitř jedné konfigurace (způsobené vazbou úhlových momentů) Vazba úhlových momentů j 1,m 1 and j, m, svázaná funkce je vlastní funkce 4 operátorů J 1, J, J = (J 1 + J ), J z = J 1z + J z C() jsou Glebsch-Gordonový koeficienty Vazba 3 úhlových momentů ještě komplikovanější (není asociativní) Schémata vazeb LS vazba (coulombovské odpuzování >> spin-orbitální interakce) záadní rozštěpení podle a, potom L a S jsou svázány aby vytvořily vlastní funkce J, J z označení - S+1 násobnost, o lichá parita, např. jj vazba (pro vysoká Z spin-orbitální interakce >> Coulombovo odpuzení) J a M suma j i pro elektrony Další schémata vazeb (LK, jk), smíšená vazba

Schémata energetických hladin Schéma rozštěpení energetických hladin pd konfigurace za podmínek LS vazba začínající od středované E av a pak postupně přidávající velkou Coulombovu interakci, spin-orbitální interakci a nakonec vnější magnetické pole Schéma energetický hladin pd konfigurace za podmínek jj vazby, silné spin-orbitální interakce vedou ke 4 energiím; malé rozštěpení v důsledku Coulombova odpuzování

Atomová fyzika plazmatu jen pro nejnižší Z možnost jádra + volné elektrony (a nic jiného) stupně ionizace 0+, 1+,, Z+ atom Y YI,YII, uhlík C CI, CII, CIII, CIV, CV, CVI, CVII Li-like He-like H-like jádro (vodíkupodobný) Schéma hladin (LS vazba) singletní 1ss 1 S L=0 S=0 g=1 tripletní 1ss 3 S L=0 S=1 g=3 1sp 1 P L=1 S=0 g=3 1sp 3 P L=1 S=1 g=9 povolený dipólový přechod na záadní hladinu ΔS=0, ΔL=±1 (0) Relativistické jevy u vysokých Z => jj vazba méně omezení na přechody. AFP 1

Autoionizační stavy 1. excitováno > 1 elektron. excitován elektron z vnitřní slupky např. Li-podobný 1sll Proces autoionizace Y** Y + + e - Energie fotonu pro přechod Y** Y* je blízká k přechodu Y + * Y + v o jednou více ionizovaném atomu - satelit k rezonanční čáře (satelity významné pro diagnostiku) Rozdělení iontů podle elektronových slupek K-slupka H, He-podobné obvye stačí 30 hladin L-slupka Li- až Ne-like Li-like 30 hladin další 100 hladin Ne-like relativně jednoduchý a dobře známý srážkově buzené lasery v měkkém rtg. záadní stav 1s s p 6 1s s p 5 3p srážková excitace zakázaný optický přechod do zá. stavu inverze s hladinou 1s s p 5 3s, kde je přechod spontánní emisí do zá. stavu povolen M-slupka 10 3 stavů TA transition arrays (přechody mezi skupinami stavů) pásové spektrum čáry nelze rozeznat Plazmová chemie disociace vibrační stavy zajímavá pro aplikace AFP

Atomové procesy 1. Srážkové procesy - pokud n e není malé, často dominují srážky iontů s elektrony - účinný průřez pro proces α ( ) Q α nechť na částici nalétává tok Γ 1 = n1g počet událostí α za 1s na 1 částici druhu dn dt ( ) Q α = počet událostí / m 3 s ( α ) = R 1 ( α ) srážková excitace (deexcitace) ( k) ( l) i + e i + e = Γ 1 R nn gq g ( α) ( α) 1 = 1 1 ( ) zmenšení počtu částic n procesem α ε εl εk ε ε účinný průřez má velmi podobnou závislost na mezi hladinami, kde je dipólový přechod povolen) ( α) 1 ( α) R11 = n1 gq11 ( g) prahová energie elektronu u = ε / ε (pro přechody vnějšího e - AFP 3

H ( k l) ε ( ) = 0 1 ε Q ε 4 πa f β g( u) g(u) u 1 5 gu ( ) = ln β u u 4 maximum g pro u 4; pro velká u je proces málo pravděpodobný, β 1, β konstanty řádu 1 H ε = 13,6 ev - H - ionizační potenciál a 4πε = = 0 0 me e 11 5,3 10 m poloměr 1. vodíkového orbitu f síla oscilátoru pro absorpci (charakterizuje fotoexcitaci) 1 Q ε srážkové procesy rychlé mezi blízkými hladinami např. mezi hladinami se stejným n (hlavním kvantovým číslem) velikost rozštěpení hladin s různými l esá s n rovnováha uvnitř 1 rozštěpené hladiny může být zajištěna srážkami srážkový přechod mezi hladinami, kde dipólový přechod není povolen může být stejně rychlý jako u povoleného přechodu!!! (jen nelze vyjádřit přes 0 f ) AFP 4

srážková ionizace (tříčásticová rekombinace) + Y + e Y + e+ e ε kλ pro ionizaci z hladiny k (tříčásticová rekombinace rychlost n i n e nezanedbatelná jen v hustém plazmatu) u ε ε ( k λ ) = Q ( ε),66πa ξ β g( u) kλ H ε = 0 k 1 ε kλ Dielektronová rekombinace srážkově radiační proces ** * Y + + e Y Y + hν. Radiační procesy ξ k počet e na hladině k Přechody mezi stavy vázaný vázaný čárové záření vázaný volný spojité s hranicí (hrana) volný volný brzdné záření Vázaný vázaný (fotoexcitace a fotodeexcitace) hν = ε ε = ε () l ( k) i i + hν l k p ν hν = Ω c Ω - jednotkový vektor AFP 5

I ν ( Ω ) - spektrální intenzita záření v jednotkovém prostorovém úhlu I ( Ω) dν dω c - ve vakuu pro izotropní elektromagnet. pole Iν = nν hν 4π Absorpce fotonu počet absorbovaných fotonů nepohyblivými částicemi o koncentraci n za 1 času v jednotce 1 objemu Iν ( Ω) R = Rνdν = n dν QνdΩ Q hν ν účinný průřez pro absorpci (pro pohyblivé částice se ν mění Dopplerovým jevem, v idové soustavě Q ν ( ν, Ω ) ) Fotoexcitace k l Q ν e = fφ 4ε mc ( k l) 0 e f síla oscilátoru pro absorpci (obvye 0< f <1) ( flk = gk f / gl síla osc. pro emisi) Φ ( ν ) tvar absorpční čáry Φ ( ν) dν = 1 tvar emisní čáry se může lišit (často stejný) I ( Ω ) = Iν ( Ω) Φ( ν ) dν ( I ( Ω ) = I ν ( Ω) pokud intenzita slabě závisí na ν ) ( ν ) ν AFP 6

Počet fotoexcitací / jednotku času a objemu B = e f 4ε mchν Einsteinův koeficient pro absorpci Stimulovaná emise 0 e R R I = I Ω dω = nkbi kde ( ) lk stim = nl Blk I B lk Einsteinův koeficient pro stimulovanou emisi lk 1 1 Spontánní emise Rspon = nl A τ lk Radiační doba života lk = Alk ν Rovnováha pro absolutně černé těleso => vztahy mezi Einsteinovými koeficienty 3 Alk 8 h gk e gb k = gb = πν A l l k lk = π ν f 3 B c g ε mc lk l 0 l (pro povolené přechody v XUV oblasti s energií fotonu pro přechody v optické oblasti s energií fotonu Tvar čáry (velmi často ( ν ) Φ absorpční) 1. Přirozené rozšíření důsledek spontánní emise (konečná radiační doba života) Φ emisní = ( ν ) 14 ε 1keV je τ lk 10 s 8 ε 1eV je τ lk 10 s ) AFP 7

Δε hγ γ l Al j šířka hladiny = γ γ + γ lk l k lk lk j< l Lorenzův tvar čáry ( ν ) Φ = 1 γ /4π π ν ν γ π lk ( ) + ( /4 ) lk. Tlakové rozšíření (v důsledku interakcí s okolními částicemi) v plazmatu s převahou nabitých částic především působení elektrických polí, tedy Starkovo rozšíření (včetně rozštěpení) zdroje srážky s elektrony a iontová mikropole U neutrálních částic např. Van der Waalsovo rozšíření 3. Dopplerovo rozšíření v důsledku tepelného pohybu iontů ( ν ν ) Φ při Maxwellovské rozdělovací funkci - profil čáry ( ν ) exp Δν D /4ln Pokud se najednou projeví Lorenzovo i Dopplerovo rozšíření Voigtův profil (konvoluce) Vázaný volný (fotoionizace a fotorekombinace) ( k ) 1 fotoionizace z hladiny k hν ε Q λ kλ 3 ν AFP 8

fotorekombinační záření zdroj j ν hν ε kλ kt B e e pro Maxwellovo rozdělení e koeficient závislý na iontu a hladině g bf (Gauntův faktor) Volný volný (brzdné záření) spektrum blízké hν kt B e e celkový výkon ff 1/ P ZnnT e i e g ff (Gauntův free-free) ε / k Poměr mezi rekombinačním a brzdným zářením k kλ = (pro H atom ff P k k hlavní kvant. číslo) BTe nz e g ff pro srážkovou absorpci fotonu na iontu je Q ν ν 3 v Transport záření l - dráha podle paprsku ω 1 Iν Iν ν >> p + = j ki vg c ε r 1 π c t l 0 pro P fb Te ν ν ν AFP 9

j ( ν, kν mohou záviset na Ω, např. v důsledku makroskopického pohybu prostředí) L charakteristický rozměr kl ν << 1 opticky tenké prostředí kl 1 ν opticky tlusté prostředí při kl ν Iν Bν absolutně černé těleso Fotoexcitace, fotoionizace, stimulovaná emise => VLIV záření na populace Rovnováhy 1. TE ( úplná termodynamická rovnováha) hmota i záření v rovnováze 3 hν / c Záření = absolutně černému tělesu Iν = Bν = hν / kt e 1 (T = T e = T i =T r ) Rovnováha mezi excitačními stavy (Boltzmannův vztah) n n l k = g g l k e ε / k T Relativní populace záadního stavu B e kde ε = εk εl n n 1 Z( T) n n g g kmax k εk / kt B e = = gk e = 1 k = 1 1 1 1 AFP 10

Partiční funkce Z(T) diverguje pří k max =, je třeba si ovšem uvědomit, že pro velmi 3 vysoké stavy je rorbit 1/ ni a takové stavy nemusí být vázané nejsou to stavy izolovaného iontu a jsou ovlivněny okolím Snížení ionizačního potenciálu ΔI často se používá předpoad, že stavy s energií ε Z T g k > I ΔI nejsou vůbec vázané při T e ε je pak ( ) 1 Rovnováha mezi ionizačními stavy (chemická rovnováha Sahova rovnice) rovnováha mezi k-tou hladinou neutrálního atomu a záadní hladinou jednonásobného + + 3/ e 1 g1 π mkt e B e = e nk gk h nn iontu dána rovnicí ε kλ = ε1 λ εk = I εk tentýž vztah platí mezi jakýmikoli hladinami p-násobně a p+1-násobně ionizovaných iontů Podobné vztahy lze zapsat pro celkové populace iontů zde napíši pro neutrály a 1 ioniz. e i i e B e nn Zn h 3/ I nn Z π mkt kt B e = e kde Z i a Z n jsou příslušné partiční funkce Elektrony (a ionty) mají Maxwellovo rozdělení s příslušnou teplotou (T = T e = T i ) ε kt kλ B e AFP 11

. LTE (lokální termodynamická rovnováha) hmota je v rovnováze, záření ne platí Maxwellovo rozdělení elektronů + Boltzmannovy vztahy + Sahovy rovnice, ale neplatí spektrum absolutně černého tělesa (záření musí být rovnovážné alespoň v té části spektra, kde radiační procesy podstatně ovlivní populace!) LTE splněna vždy, pokud je hustota tak velká, že srážkové procesy převažují všude nad radiačními (vliv radiačních procesů na populace lze zanedbat) 3. Koronální rovnováha (velmi zředěné plazma) Nejedná se vlastně o rovnováhu, ale o stacionární stav Zředěné plazma fotodeexcitace >> srážková deexcitace fotorekombinace >> 3-částicová a dielektronová rekombinace Zanedbání pomalých procesů značně zjednoduší výpočet stacionárního stavu 4. Řešení rychlostních rovnic Řešíme rovnice pro n pk (k-tý stav p-násobně ionizovaného iontu) Systém obyčejných diferenciálních rovnic (stacionární stav časové derivace = 0) Vazba mezi různými částmi systému zprostředkována zářením V přiblížení opticky tenkého systému členy obsahující intenzitu záření zanedbáme, tj. neuvažujeme vliv absorpce a stimulované emise fotonů AFP 1

Princip detailní rovnováhy (detailed balancing) V rovnováze musí být diferenciální reakční rychlost přímého a inverzního procesu stejné (invariantnost vůči obrácení času) Z diferenciálního účinného průřezu přímého procesu lze tedy spočítat diferenciální účinný průřez inverzního procesu a ten mohu využít i mimo rovnováhu Pokud navíc budu uvažovat i mimo rovnováhu Maxwellovo rozdělení elektronů lze stejný postup aplikovat i na rychlostní koeficienty V rovnováze se rychlost srážkové excitace = rychlosti srážkové deexcitace a rychlost srážkové ionizace = rychlosti tříčásticové rekombinace Z rychlostních koeficientů přímého procesu spočítám rychlostní koeficienty inverzního procesu a ty použiji mimo rovnováhu Stejnou aplikací principu detailní rovnováhy jsou vztahy mezi Einsteinovými koeficienty (výpočet koeficientů z detailní rovnováhy je výhodný i pro numerické modelování automaticky je zaručeno zachování rovnovážného řešení) AFP 13