1 Popis metody řešení BR. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony 2 1
|
|
- Jaroslav Bařtipán
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony 1 Popis metody řešení BR 2 Praktické využití řešení BR 3 Cvičení 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony 2 1
2 Motivace Lehké elektrony jsou motorem plazmového výboje. Elektrony jsou urychlovány elektrickým pole, energii ztrácí zejména během nepružných srážek. U nízkoteplotního plazmatu často není rozdělovací funkce elektronů maxwellovská vliv elektrického pole a nepružných srážek. Transportní a reakční konstanty, objevující se v kontinuálních modelech, závisejí na rozdělovací funkci elektronů. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony 2 2
3 Určení rozdělovací funkce elektronů Řešení Boltzmannovy rovnice (BR) pro rozdělovací funkci elektronů f (t, x, v) v elektrickém poli. (2 1) f t + (v x)f + e m (E v )f = S c (f ) Srážkový člen S c (f ) závisí jen na koncentraci ostatních částic v plazmatu, ne na jejich rychlosti. Rychlost elektronů je řádově větší než rychlost atomů. Příklad ne-selfkonzistentního výpočtu zkoumáme pouze elektrony ve specifických podmínkách, musíme doplnit informaci o koncentraci ostatních částic a o elektrickém poli. Výsledky můžeme použít v komplexní simulaci. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony 2 3
4 Metody numerického řešení Boltzmannovy rovnice Monte Carlo aproximace rozdělovací funkce souborem částic, transport a srážky metodou Monte Carlo (viz přednáška #4) Analytické zjednodušení BR - two-term approximation (Bolsig+) - multiterm approximation - time-dependent two-term approximation 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 4
5 BOLSIG+ Na následujících slajdech bude popsán princip řešení BR pro elektrony, jak je implementován v programu BOLSIG+ 6. Program je vhodný pro výpočet rozdělovací funkce elektronů a odvozených transportních a reakčních konstant pro použití ve kontinuálních modelech. 6 Gerjan Hagelaar. Bolsig url: G J M Hagelaar a L C Pitchford. Solving the Boltzmann equation to obtain electron transport coefficients and rate coefficients for fluid models. In: Plasma Sources Sci. Technol (2005), s issn: doi: / /14/4/011. url: //stacks.iop.org/ /14/i=4/a= Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 5
6 Zjednodušující předpoklady Obecné řešení BR je velmi obtížné (6+1 dimenzí), je potřeba provést výrazné zjednodušení použitím vhodných předpokladů: 1 Elektrické pole a srážkové pravděpodobnosti (koncentrace částic) jsou homogenní f je symetrické v rychlosti podle osy z E a mění se v prostoru jen ve směru z. (2 2) f t f + v cos θ z e ( m E cos θ f ) v + sin2 θ f v cos θ 2 Elektrické pole E je stacionární nebo osciluje s vysokou frekvencí. 3 Rovnice (2 2) je rozvinuta v cos θ do řady Legendrových polynomů (sférické ha rmonické funkce) řeší se rovnice pro koeficienty rozvoje. Obvykle se používají pouze první dva členy (two-term approximation). 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 6
7 Aproximace dvěma členy rozvoje (2 3) f (t, z, v, cos θ) = f 0 (t, z, v) + f 1 (t, z, v) cos θ Dvě funkce dvou prostorových proměnných, f 0 je izotropní část, f 1 je anizotropní část. Izotropní část je normalizovaná dle (2 4) 4π kde n je koncentrace elektronů. Dostáváme dvě rovnice pro f 0 a f 1. 0 f 0 v 2 dv = n, 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 7
8 Časová závislost rozdělovací funkce Funkce f nemůže být konstantní v čase i prostoru, nebot některé procesy (ionizace, záchyt) nezachovávají počet elektronů. Koncentrace elektronů se pro zadané podmínky v čase mění v závislosti na rychlosti reakcí. Bolsig+ předpokládá následující rozvoj časové závislosti: (2 5) f 0,1 (t, z, ε) = 1 2πγ 3 F 0,1(ε)n(z, t), kde γ = (2e/m) 1/2 a energie ε = (v/γ) 2 s normalizací (2 6) 0 ε 1 2 F0 dε = 1. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 8
9 Dvě varianty prostoro-časové závislosti koncentrance elektronů Reálná situace je obvykle podobná jedné z následujících zjednodušených variant. 1 Jen časová závislost (2 7) (2 8) n z n t = 0, = nν i = nnγ 0 ( k=iz x k σ k k=at x k σ k ) εf 0 dε, kde N je celková koncentrace atomů (molekul), ν i je frekvence srážek vedoucí na produkci nebo zánik elektronu, x k je molární podíl částice k a σ k je účinný průřez. Dostaneme (2 9) F 1 = E N 1 F 0 σ m ε 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 9
10 Dvě varianty prostoro-časové závislosti koncentrace elektronů 2 Jen prostorová závislost (2 10) n z n (2 11) t = αn = ν i u n, = 0, kde α je Townsendův koeficient a u je střední rychlost. Dostaneme (2 12) F 1 = 1 ( E F 0 σ m N ε + α ) N F 0 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 10
11 Střídavé elektrické pole Předpokládáme časovou závislost elektrického pole (2 13) E(t) = E 0 e iωt Lze použít, pokud změna energie elektronu je malá během jedné periody (2 14) Dostaneme (2 15) F 1 = E 0 N kde q = ω/nγε 1/2. ω N 2m M σ mγε 1/2 σ m iq σ 2 m + q 2 F 0 ε, 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 11
12 Srážkové členy Srážky mění rozložení částic v energiovém prostoru F 0 (ε). pružné srážky nepružné srážky diskrétní změna energie ionizace závisí na dělení energie mezi 2 elektrony (equal sharing nebo zero sharing) záchyt odstraní elektron z rozdělení srážky elektron elektron 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 12
13 Numerické řešení Výsledná rovnice pro F 0 je rovnice konvekce a difuze v energiovém prostoru ( (2 16) W F 0 D F ) 0 = S, ε ε člen S ale není lokální. Numerické řešení využívá dělení na energiové intervaly (1d sít v energiovém prostoru) a diskretizaci (pomocí diferencí). Rovnice je obecně nelineární využívá se iterační algoritmus. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 13
14 Praktické využití Výsledky řešení BR jsou nejčastěji využívány k popisu elektronů a jejich reakcí v kontinuálním modelu. Výpočet rozdělovací funkce elektronů Výpočet reakčních konstant z účinného průřezu pro danou rozdělovací funkci Výpočet transportních koeficientů (mobilita, difuze) 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 14
15 Využití pro výpočet koeficientů do kontinuálního modelu Shrnutí kĺıčových předpokladů řešiče BR homogenní elektrické pole homogenní nebo exponenciálně rostoucí hustota elektronů slabá anizotropie (dva členy rozvoje) V kontinuálních modelech se zobecňují výsledky BR na obecnější podmínky v plazmatu. Předpokládáme, že transportní a reakční koeficienty odpovídají řešení BR pro dané lokální hodnoty E/N nebo T e. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 15
16 Koeficienty mobility a difuze Tok elektronů lze vyjádřit jako (2 17) Γ = µne Dn z, kde koeficienty mobility a difuze jsou (2 18) (2 19) µn = γ 3 DN = γ ε F 0 σ m ε dε ε F 0 dε. σ m a Srovnejte se známými vzorci pro maxwellovskou rozdělovací funkci: (2 20) (2 21) µ = e mν m D = k BT e mν m. a 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 16
17 Reakční konstanty Reakční konstanta (m 3 s 1 ) (2 22) k k = γ a rychlost reakce 0 εσ k F 0 dε (2 23) R k = nn k k k = nnx k k k. n koncentrace elektronů, N k koncentrace částic, x k relativní koncentrace částic, N celková koncentrace částic 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 17
18 Využití koeficientů v kontinuálním modelu V dané buňce výpočetní sítě známe hodnoty T e jsou řešením zákona zachování energie. Předpokládáme, že rozdělovací funkce elektronů odpovídá stacionárnímu řešení BR vedoucímu k hodnotě T e (local field approximation, LFA). Vyhledáme hodnoty transportních a reakčních konstant pro danou teplotu a použijeme je pro další časový krok v rovnicích kontinuity, ZZ hybnosti a energie. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 18
19 Vstupní soubory Nejlépe stáhnout z databáze LxCat data přímo v požadovaném formátu. Je důležité vědět co nejvíce o použitých reakcích (identifikace cílových stavů). Možné typy reakcí: elastická srážka (ELASTIC) účinný průřez pro přenos hybnosti excitace (vibračních i elektronových stavů) (EXCITATION) ionizace (IONIZATION) excitace rotačních stavů (ROTATION) elektronový záchyt (ATTACHMENT) celkový přenos hybnosti (EFFECTIVE) není jasně definováno, v budoucnu snaha nepoužívat Detaily, viz manuál k programu Bolsig+. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 19
20 Vstupní parametry výpočtu E/N nebo Mean energy jedna hodnota nebo série hodnot Pro Maxwellian mean energy je rozdělovací funkce na pevno maxwellovská Pokud je více druhů těžkých částic, je potřeba zadat jejich relativní koncentrace Parametry konvergence a další varianty výpočtu, viz manuál. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 20
21 Započtení vlivu Coulombovských interakcí Zaškrtnutím pole e e collisions, případně e i collisions Nutno zadat stupeň ionizace a hustotu plazmatu Stupeň ionizace hlavní parametr pro výpočet srážek e e a e i Hustota plazmatu má jen malý efekt (výpočet Coulombova logaritmu), stačí řádový odhad 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 21
22 Zpětné reakce EXCITATION Ar <-> Ar* Automatické započtení zpětné reakce (deexcitace) Účinný průřez zpětné reakce dle principu detailní rovnováhy g low εσ(ε) = g high (ε ε)σ inv (ε ε) Parametr 6.0 je statistická váha (g) excitovaného stavu Příklad: Ar Lisbon inv.txt, statistické váhy viz např. Yanguas-Gil(2005) 7 7 Ángel Yanguas-Gil, José Cotrino a Luís L Alves. An update of argon inelastic cross sections for plasma discharges. In: J. Phys. D: Appl. Phys (2005), s issn: doi: / /38/10/014. url: 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 22
23 Cvičení výpočet transportních a reakčních konstant Úloha 2-1 V programu Bolsig+ vypočtěte transportní a reakční konstanty pro reakce elektronu s Ar v závislosti na teplotě elektronů. Předpokládejte maxwellovskou rozdělovací funkci elektronů. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 23
24 Cvičení výpočet transportních a reakčních konstant Úloha 2-1 řešení 3 Reakční konstanty s -1 ) E la s tic m o m e n tu m tra n s fe r Io n iz a tio n R a te c o n s ta n t (m E x c e V E x c e V E x c e V /2 k T e (e V ) 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 24
25 Cvičení výpočet transportních a reakčních konstant Úloha 2-1 Transportní konstanty V termodynamické rovnováze platí Einsteinův vztah D e = µ e k B T e e T ra n s p o rt c o n s ta n t x N D iffu s io n c o e ffic ie n t x N (m -1 s -1 ) M o b ility x N (m -1 V -1 s -1 ) /2 k T e (e V ) 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 25
26 Cvičení výpočet rozdělovací funkce Úloha 2-2 Vypočtěte rozdělovací funkci elektronů ve výboji v Ar při konstantním elektrickém poli v závislosti na teplotě elektronů. Předpokládejte nízký stupeň ionizace, tj. zanedbejte vliv srážek e e. Jak se liší rozdělovací funkce od maxwellovské? Jak se liší transportní a reakční konstanty? 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 26
27 Cvičení výpočet rozdělovací funkce Úloha 2-2 řešení E/N = 4.9 Td = Vm 2 3/2k B T e = 5 ev /2 k T e = 5 e V Rozdělovací funkce není maxwellovská Excitace a ionizace významně ochuzují rozdělovací funkci v energíıch > 12 ev E E D F (e V -3 /2 ) c a lc u la te d m a x w e llia n E n e rg y (e V ) 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 27
28 Cvičení interakce e e Úloha 2-3 Vypočtěte rozdělovací funkci elektronů ve výboji v Ar v závislosti na stupni ionizace se započtením srážek e e. Jaký vliv mají interakce e e na rozdělovací funkci? 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 28
29 Cvičení výpočet rozdělovací funkce Úloha 2-3 řešení 3/2k B T e = 5 ev S vyšším stupněm ionizace plazmatu je rozdělovací funkce bĺıže maxwellovské rozdělovací funkci Coulombovské srážky elektronů způsobují termalizaci elektronů relaxaci k rovnovážné rozdělovací funkci E E D F (e V -3 /2 ) /2 k T e = 5 e V E n e rg y (e V ) 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 29
30 Cvičení Úloha 2-4 Prozkoumejte vliv přítomnosti excitovaných stavů Ar na rozdělovací funkci elektronů při započtení deexcitačních reakcí (Ar Lisbon inv.txt). Úloha 2-5 Vypočtěte rozdělovací funkci elektronů a transportní koeficienty ve výboji v Ar a O 2. Porovnejte získané výsledky. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 30
Modelování plazmatu. Katedra fyziky, Západočeská univerzita v Plzni, 2016
Modelování plazmatu Přednášky k předmětu KFY/MPPL Tomáš Kozák Katedra fyziky, Západočeská univerzita v Plzni, 2016 Obsah 1 Úvod do modelování plazmatu 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony 3 Globální
VíceModelování plazmatu. Katedra fyziky, Západočeská univerzita v Plzni, 2018
Modelování plazmatu Přednášky k předmětu KFY/MPPL Tomáš Kozák Katedra fyziky, Západočeská univerzita v Plzni, 2018 Obsah 1 Úvod do modelování plazmatu 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony 1 Úvod
VíceKovy - model volných elektronů
Kovy - model volných elektronů Kovová vazba 1. Preferuje ji většina prvků vyskytujících se v přírodě. Kov je tvořen kladně nabitými ionty (s konfigurací vzácného plynu) a relativně velmi volnými elektrony.
VíceATOMOVÁ SPEKTROMETRIE
ATOMOVÁ SPEKTROMETRIE Atomová spektrometrie valenčních e - 1. OES (AES). AAS 3. AFS 1 Atomová spektra čárová spektra Tok záření P - množství zářivé energie (Q E ) přenesené od zdroje za jednotku času.
VíceVibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek
Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek Atomy vázané v mřížce nejsou v klidu. Míru jejich pohybu vyjadřuje podobně jako u plynů a kapalin teplota. - Elastické vlny v kontinuu neatomární
VícePočítačový model plazmatu. Vojtěch Hrubý listopad 2007
Počítačový model plazmatu Vojtěch Hrubý listopad 2007 Situace Zajímá nás, co se děje v okolí kovové sondy ponořené do plazmatu. Na válcovou sondu přivedeme napětí U Očekáváme, že se okolo sondy vytvoří
VíceDOUTNAVÝ VÝBOJ. Další technologie využívající doutnavý výboj
DOUTNAVÝ VÝBOJ Další technologie využívající doutnavý výboj Plazma doutnavého výboje je využíváno v technologiích depozice povlaků nebo modifikace povrchů. Jedná se zejména o : - depozici povlaků magnetronovým
VícePrincip metody Transport částic Monte Carlo v praxi. Metoda Monte Carlo. pro transport částic. Václav Hanus. Koncepce informatické fyziky, FJFI ČVUT
pro transport částic Koncepce informatické fyziky, FJFI ČVUT Obsah Princip metody 1 Princip metody Náhodná procházka 2 3 Kódy pro MC Příklady použití Princip metody Náhodná procházka Příroda má náhodný
VíceSpojitý popis plazmatu, magnetohydrodynamika
Spojitý popis plazmatu, magnetohydrodynamika Spojitý popis plazmatu V mnoha případech nepotřebujeme znát detailně popis plazmatu, dalším možným popisem plazmatu je tzv. spojitý (fluidní), tj. makroskopický
VíceKombinatorická minimalizace
Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny
VíceElektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r
Záření Hertzova dipólu, kulové vlny, Rovnice elektromagnetického pole jsou vektorové diferenciální rovnice a podle symetrie bývá vhodné je řešit v křivočarých souřadnicích. Základní diferenciální operátory
VíceATOMOVÁ SPEKTROMETRIE
ATOMOVÁ SPEKTROMETRIE doc. Ing. David MILDE, Ph.D. tel.: 585634443 E-mail: david.milde@upol.cz (c) -017 Doporučená literatura Černohorský T., Jandera P.: Atomová spektrometrie. Univerzita Pardubice 1997.
VícePlazma. magnetosféra komety. zbytky po výbuchu supernovy. formování hvězdy. slunce
magnetosféra komety zbytky po výbuchu supernovy formování hvězdy slunce blesk polární záře sluneční vítr - plazma je označována jako čtvrté skupenství hmoty - plazma je plyn s významným množstvím iontů
Víceρ = 0 (nepřítomnost volných nábojů)
Učební text k přednášce UFY Světlo v izotropním látkovém prostředí Maxwellovy rovnice v izotropním látkovém prostředí: B rot + D rot H ( r, t) div D ρ rt, ( ) div B a materiálové vztahy D ε pro dielektrika
VíceLaserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky.
Laserová technika 1 Aktivní prostředí Šíření rezonančního záření dvouhladinovým prostředím Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 22. prosince 2016 Program
Více2. Statistický popis plazmatu
Statistický popis plazmatu 60 Statistický popis plazmatu Při popisu typického plazmatu je technicky nemožné popsat trajektorie všech částic Jen v řídkém plazmatu mezihvězdného prostoru nalezneme miliony
VíceIntegrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze
Integrace Numerické metody 7. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Kvadraturní vzorce Gaussovy kvadratury Více dimenzí Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Máme funkci f( x) a snažíme se najít určitý integrál
VíceDetekce nabitých částic Jak se ztrácí energie průchodem částice hmotou?
Detekce nabitých částic Jak se ztrácí energie průchodem částice hmotou? 10/20/2004 1 Bethe Blochova formule (1) je maximální možná předaná energie elektronu N r e - vogadrovo čislo - klasický poloměr elektronu
VíceInsolace a povrchová teplota na planetách mimo sluneční soustavu. Michaela Káňová
Insolace a povrchová teplota na planetách mimo sluneční soustavu Michaela Káňová Obsah Extrasolární planety Insolace Rovnice vedení tepla v 1D a 3D Testy Výsledky Závěr Extrasolární planety k 11.6. potvrzeno
VícePlazmové metody. Základní vlastnosti a parametry plazmatu
Plazmové metody Základní vlastnosti a parametry plazmatu Atom je základní částice běžné hmoty. Částice, kterou již chemickými prostředky dále nelze dělit a která definuje vlastnosti daného chemického prvku.
VíceVojtěch Hrubý: Esej pro předmět Seminář EVF
Vojtěch Hrubý: Esej pro předmět Seminář EVF Plazma Pod pojmem plazma většinou myslíme plynné prostředí, které se skládá z neutrálních částic, iontů a elektronů. Poměr množství neutrálních a nabitých částic
Více102FYZB-Termomechanika
České vysoké učení technické v Praze Fakulta stavební katedra fyziky 102FYZB-Termomechanika Sbírka úloh (koncept) Autor: Doc. RNDr. Vítězslav Vydra, CSc Poslední aktualizace dne 20. prosince 2018 OBSAH
Více- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady
Vzorové řešení domácího úkolu na 6. 1. 1. Integrály 1 1 x2 dx, ex2 dx spočítejte přibližně následují metodou - funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte.
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VíceATOM VODÍKU MODEL : STOJÍCÍ BODOVÉ JÁDRO A ELEKTRON VZÁJEMNĚ ELEKTROSTATICKY INTERAGUJÍCÍ SCHRÖDINGEROVA ROVNICE PRO PŘÍPAD POTENCIÁLNÍ ENERGIE.
ATOMY + MOLEKULY ATOM VODÍKU MODEL : STOJÍCÍ BODOVÉ JÁDRO A ELEKTRON VZÁJEMNĚ ELEKTROSTATICKY INTERAGUJÍCÍ SCHRÖDINGEROVA ROVNICE H ˆψ = Eψ PRO PŘÍPAD POTENCIÁLNÍ ENERGIE Vˆ = Ze 2 4πε o r ŘEŠENÍ HLEDÁME
VícePředpjatý beton Přednáška 5
Předpjatý beton Přednáška 5 Obsah Změny předpětí Ztráta předpětí třením Ztráta předpětí pokluzem v kotvě 1 Maximální napětí při předpínání σ p,max = min k 1 f pk, k 2 f p0,1k kde k 1 =0,8 a k 2 =0,9 odpovídající
VíceLiteratura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí v 1D. Myšlenka náhrada derivací diferenčními podíly Přibližné řešení okrajových úloh Aproximace vlastních čísel Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys:
VíceNáhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
VíceNáhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
VíceŠíření tepla. Obecnéprincipy
Šíření tepla Obecnéprincipy Šíření tepla Obecně: Šíření tepla je výměna tepelné energie v tělese nebo mezi tělesy, která nastává při rozdílu teplot. Těleso s vyšší teplotou má větší tepelnou energii. Šíření
VícePRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne:
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. Úloha č. VII Název: Studium kmitů vázaných oscilátorů Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne: 27. 2. 2012 Odevzdal
VíceTERMIKA VIII. Joule uv a Thompson uv pokus pro reálné plyny
TERMIKA VIII Maxwellova rovnovážná rozdělovací funkce rychlostí Joule uv a Thomson uv okus ro reálné lyny 1 Maxwellova rovnovážná rozdělovací funkce rychlostí Maxwellova rychlostní rozdělovací funkce se
Víceplochy oddělí. Dále určete vzdálenost d mezi místem jeho dopadu na
Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností
VíceTento dokument je doplňkem opory pro studenty Přírodovědecké fakulty Univerzity Jana Evangelisty Purkyně.
Statistická fyzika - cvičení RNDr. Filip Moučka, Ph.D., filip.moucka@ujep.cz Tento dokument je doplňkem opory pro studenty Přírodovědecké fakulty Univerzity Jana Evangelisty Purkyně. Cílem tohoto textu
VíceDISPERZNÍ KŘIVKY V DESCE S KUBICKOU ANIZOTROPIÍ
DISPERZNÍ KŘIVKY V DESCE S KUBICKOU ANIZOTROPIÍ P. Hora, O. Červená Ústav termomechaniky AV ČR Příspěvek vznikl na základě podpory grantu cíleného vývoje a výzkumu AV ČR č. IBS276356 Ultrazvukové metody
VícePetr Zikán. Studentský seminář, Březen 2011
Sondová měření v plazmatu Petr Zikán Studentský seminář, Březen 2011 Přehled prezentace 1 Child-Langmuirův zákon Přehled prezentace 1 Child-Langmuirův zákon 2 Sheath a pre-sheath Přehled prezentace 1 Child-Langmuirův
VícePřednáška 4. Úvod do fyziky plazmatu : základní charakteristiky plazmatu, plazma v elektrickém vf plazma. Doutnavý výboj : oblasti výboje
Přednáška 4 Úvod do fyziky plazmatu : základní charakteristiky plazmatu, plazma v elektrickém vf plazma. Doutnavý výboj : oblasti výboje Jak nahradit ohřev při vypařování Co třeba bombardovat ve vakuu
VíceGlobální matice konstrukce
Globální matice konstrukce Z matic tuhosti a hmotnosti jednotlivých prvků lze sestavit globální matici tuhosti a globální matici hmotnosti konstrukce, které se využijí v řešení základní rovnice MKP: [m]{
VícePřednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla
Přednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla Motivace Diferenciální rovnice problému Gradient teploty Energetická bilance Fourierův zákon Diferenciální rovnice vedení tepla Slabé řešení Diskretizace
Víceoddělení Inteligentní Datové Analýzy (IDA)
Vytěžování dat Filip Železný Katedra počítačů oddělení Inteligentní Datové Analýzy (IDA) 22. září 2014 Filip Železný (ČVUT) Vytěžování dat 22. září 2014 1 / 25 Odhad rozdělení Úloha: Vstup: data D = {
VícePříklad 3 (25 bodů) Jakou rychlost musí mít difrakčním úhlu 120? -částice, abychom pozorovali difrakční maximum od rovin d hkl = 0,82 Å na
Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností
VíceLiteratura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Nehomogenní okrajové podmínky. Pokračování OÚ pro PDR (jen pro fajnšmekry). Jednoznačnost zobecněného řešení. Metoda sítí v 1D. Přibližné řešení okrajových úloh. Aproximace vlastních
VíceStanovení požární odolnosti. Přestup tepla do konstrukce v ČSN EN
Stanovení požární odolnosti NAVRHOVÁNÍ OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ NA ÚČINKY POŽÁRU ČSN EN 1993-1-2 Ing. Jiří Jirků Ing. Zdeněk Sokol, Ph.D. Prof. Ing. František Wald, CSc. 1 2 Přestup tepla do konstrukce v ČSN
VíceOpakování: shrnutí základních poznatků o struktuře atomu
11. Polovodiče Polovodiče jsou krystalické nebo amorfní látky, jejichž elektrická vodivost leží mezi elektrickou vodivostí kovů a izolantů a závisí na teplotě nebo dopadajícím optickém záření. Elektrické
VíceÚvod do laserové techniky KFE FJFI ČVUT Praha Michal Němec, 2014. Plynové lasery. Plynové lasery většinou pracují v kontinuálním režimu.
Aktivní prostředí v plynné fázi. Plynové lasery Inverze populace hladin je vytvářena mezi energetickými hladinami některé ze složek plynu - atomy, ionty nebo molekuly atomární, iontové, molekulární lasery.
VíceMarkov Chain Monte Carlo. Jan Kracík.
Markov Chain Monte Carlo Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Princip Monte Carlo integrace Cílem je (přibližný) výpočet integrálu I(g) = E f [g(x)] = g(x)f (x)dx. (1) Umíme-li generovat nezávislé vzorky x (1),
VíceOPVK CZ.1.07/2.2.00/
18.2.2013 OPVK CZ.1.07/2.2.00/28.0184 Cvičení z NMR OCH/NMR Mgr. Tomáš Pospíšil, Ph.D. LS 2012/2013 18.2.2013 NMR základní principy NMR Nukleární Magnetická Resonance N - nukleární (studujeme vlastnosti
VíceFyzika IV Dynamika jader v molekulách
Dynamika jader v molekulách vibrace rotace Dynamika jader v molekulách rotační energetické hladiny (dvouatomová molekula) moment setrvačnosti kolem osy procházející těžištěm osa těžiště m2 m1 r2 r1 R moment
Více2. Úloha difúze v heterogenní katalýze
2. Úloha difúze v heterogenní katalýze Vnitřní difúze při nerovnoměrné radiální distribuci aktivní složky v částici katalyzátoru Kateřina Horáčková Příčina radiálního aktivitního profilu v katalyzátorové
VíceZÁŘENÍ V ASTROFYZICE
ZÁŘENÍ V ASTROFYZICE Plazmový vesmír Uvádí se, že 99 % veškeré hmoty ve vesmíru je v plazmovém skupenství (hvězdy, mlhoviny, ) I na Zemi se vyskytuje plazma, např. v podobě blesků, polárních září Ve sluneční
VíceNumerická stabilita algoritmů
Numerická stabilita algoritmů Petr Tichý 9. října 2013 1 Numerická stabilita algoritmů Pravidla v konečné aritmetice Pro počítání v konečné aritmetice počítače platí určitá pravidla, která jsou důležitá
Víceelektrony v pevné látce verze 1. prosince 2016
F6122 Základy fyziky pevných látek seminář elektrony v pevné látce verze 1. prosince 2016 1 Drudeho model volných elektronů 1 1.1 Mathiessenovo pravidlo............................................... 1
VíceInterakce laserového impulsu s plazmatem v souvislosti s inerciální fúzí zapálenou rázovou vlnou
Interakce laserového impulsu s plazmatem v souvislosti s inerciální fúzí zapálenou rázovou vlnou Autor práce: Petr Valenta Vedoucí práce: Ing. Ondřej Klimo, Ph.D. Konzultanti: prof. Ing. Jiří Limpouch,
VíceTheory Česky (Czech Republic)
Q3-1 Velký hadronový urychlovač (10 bodů) Než se do toho pustíte, přečtěte si prosím obecné pokyny v oddělené obálce. V této úloze se budeme bavit o fyzice částicového urychlovače LHC (Large Hadron Collider
VíceTermodynamika v biochemii
Termodynamika v biochemii Studium energetických změn Klasická x statistická Rovnovážná x nerovnovážná lineárn rní a nelineárn rní Základní pojmy Makroskopický systém, okolí systému Termodynamický systém
VícePříklad 5.3. v 1. u 1 u 2. v 2
Příklad 5.3 Zadání: Elektron o kinetické energii E se srazí s valenčním elektronem argonu a ionizuje jej. Při ionizaci se část energie nalétávajícího elektronu spotřebuje na uvolnění valenčního elektronu
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceMATEMATIKA V MEDICÍNĚ
MATEMATIKA V MEDICÍNĚ Tomáš Oberhuber Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze Matematika pro život TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA
VíceČasové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Stochastický proces Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2 } se nazývá stochastický proces
VíceČasové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů
Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Časové
VíceTERMIKA II. Stacionární vedení s dokonalou i nedokonalou izolací; Obecná rovnice vedení tepla; Přestup a prostup tepla;
TERMIKA II Šíření tepla vedením, prouděním a zářením; Stacionární vedení s dokonalou i nedokonalou izolací; Nestacionární vedení tepla; Obecná rovnice vedení tepla; Přestup a prostup tepla; 1 Šíření tepla
VíceAtomová fyzika plazmatu
Atomová fyzika plazmatu Označení nábojových stavů Stupeň ionizace 0+, 1+, +, 3+,. Z+ Atom Y YI, YII, YIII, YIV Uhlík C (Z=6) CI, CII, CIII, CIV, CV, CVI, CVII Izoelektronová C-podobný, B-p., Be-p., Li-p.,
VíceÚvod do fyziky tenkých vrstev a povrchů. Spektroskopie Augerových elektron (AES), elektronová mikrosonda, spektroskopie prahových potenciál
Úvod do fyziky tenkých vrstev a povrchů Spektroskopie Augerových elektron (AES), elektronová mikrosonda, spektroskopie prahových potenciál ty i hlavní typy nepružných srážkových proces pr chodu energetických
Více9.5. Soustavy diferenciálních rovnic
Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li
VíceCircular Harmonics. Tomáš Zámečník
Circular Harmonics Tomáš Zámečník Úvod Circular Harmonics Reprezentace křivky, která je: podmonožinou RxR uzavřená funkcí úhlu na intervalu Dále budeme hovořit pouze o takovýchto křivkách/funkcích
VíceFluktuace termodynamických veličin
Kvantová a statistická fyzika (Termodynamika a statistická fyzika Fluktuace termodynamických veličin Fluktuace jsou odchylky hodnot fyzikálních veličin od svých středních (rovnovážných hodnot. Mají původ
VíceElektromagnetické záření. lineárně polarizované záření. Cirkulárně polarizované záření
Elektromagnetické záření lineárně polarizované záření Cirkulárně polarizované záření Levotočivé Pravotočivé 1 Foton Jakékoli elektromagnetické vlnění je kvantováno na fotony, charakterizované: Vlnovou
VíceMolekulární dynamika vody a alkoholů
Molekulární dynamika vody a alkoholů Pavel Petrus Katedra fyziky, Univerzita J. E. Purkyně, Ústí nad Labem 10. týden 22.4.2010 Modely vody SPC SPC/E TIP4P TIP5P Modely alkoholů OPLS TraPPE Radiální distribuční
VíceDvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
VíceHamiltonián popisující atom vodíku ve vnějším magnetickém poli:
Orbitální a spinový magnetický moment a jejich interakce s vnějším polem Vše na příkladu atomu H: Elektron (e - ) a jádro (u atomu H pouze p + ) mají vlastní magnetický moment (= spin). Tyto dva dipóly
VíceStatistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I
Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Příklad Tahová síla papíru používaného pro výrobu potravinových sáčků je důležitá charakteristika kvality. Je známo, že síla
VícePřednáška IX: Elektronová spektroskopie II.
Přednáška IX: Elektronová spektroskopie II. 1 Försterův resonanční přenos energie Pravděpodobnost (rychlost) přenosu je určená jako: k ret 1 = τ 0 D R r 0 6 0 τ D R 0 r Doba života donoru v excitovaném
VícePlazma v kosmickém prostoru
Plazma v kosmickém prostoru Literatura F. F. Chen, Úvod do fyziky plazmatu Academia, Praha, 1984 D. A. Gurnett, A. Bhattacharjee, Introduction to Plasma Physics: With Space and Laboratory Applications
VíceFyzika - Sexta, 2. ročník
- Sexta, 2. ročník Fyzika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence komunikativní Kompetence k řešení problémů Kompetence sociální a personální Kompetence občanská Kompetence k podnikavosti Kompetence
VíceDvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost. rovinná deformace
Rovinný problém Řešíme plošné konstrukce zatížené a uložené v jejich střednicové rovině. Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost rovinná deformace 17 Rovinná deformace 1 Obsahuje složky deformace
Více2.6. Koncentrace elektronů a děr
Obr. 2-11 Rozložení nosičů při poloze Fermiho hladiny: a) v horní polovině zakázaného pásu (p. typu N), b) uprostřed zakázaného pásu (vlastní p.), c) v dolní polovině zakázaného pásu (p. typu P) 2.6. Koncentrace
Více1. Kvantové jámy. Tabulka 1: Efektivní hmotnosti nosičů v krystalech GaAs, AlAs, v jednotkách hmotnosti volného elektronu m o.
. Kvantové jámy Pokročilé metody růstu krystalů po jednotlivých vrstvách (jako MBE) dovolují vytvořit si v krystalu libovolný potenciál. Jeden z hojně používaných materiálů je: GaAs, AlAs a jejich ternární
VíceVYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ
VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ Michal Kořenář 1 Abstrakt Rozvoj výpočetní techniky v poslední době umožnil také rozvoj výpočetních metod, které nejsou založeny na bázi
VíceKalibrace a testování spektrometrů
Kalibrace a testování spektrometrů Viktor Kanický 5.3.014 1 Kalibrace ICP-OES V ICP-OES je lineární závislost intenzity emise na koncentraci analytu v rozsahu 4 až 6 řádů. V analytické praxi se obvykle
VíceEmise vyvolaná působením fotonů nebo částic
Emise vyvolaná působením fotonů nebo částic PES (fotoelektronová spektroskopie) XPS (rentgenová fotoelektronová spektroskopie), ESCA (elektronová spektroskopie pro chemickou analýzu) UPS (ultrafialová
VíceVlny v plazmatu. Narušení rovnováhy, perturbace se šíří prostorem => vlny Vlna musí být řešením příslušných rovnic plazmatu => módy
Vlny v plazmatu Narušení rovnováhy, perturbace se šíří prostorem => vlny Vlna musí být řešením příslušných rovnic plazmatu => módy Jakákoli perturbace A( x,t může být reprezentována jako kombinace rovinných
VíceObr. 141: První tři Bernsteinovy iontové módy. Na vodorovné ose je bezrozměrný vlnový vektor a na svislé ose reálná část bezrozměrné frekvence.
Mikronestability 33 m Re( ) ( m1) m1,,3, (5.18) ci Imaginární část frekvence, která je zodpovědná za útlum, razantně roste, pokud se vlny nešíří kolmo na magnetické pole. Útlum také roste s číslem módu
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceDOUTNAVÝ VÝBOJ. 1. Vlastnosti doutnavého výboje 2. Aplikace v oboru plazmové nitridace
DOUTNAVÝ VÝBOJ 1. Vlastnosti doutnavého výboje 2. Aplikace v oboru plazmové nitridace Doutnavý výboj Připomeneme si voltampérovou charakteristiku výboje v plynech : Doutnavý výboj Připomeneme si, jaké
VíceKinetická teorie ideálního plynu
Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na
VíceVlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti
Vlastnosti a zkoušení materiálů Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze
VíceČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Fyzikální geodézie 2/7 Gravitační potenciál a jeho derivace
VíceÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE
ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE PRUŽNOST A PEVNOST Přednáška č. 5 Prof. Ing. Vladislav Laš. CSc. MECHANIKA PODDAJNÝCH TĚLES Úkolem PP z inženýrského hlediska je navrhnout součásti nebo konstrukce, které
VíceVnitřní magnetosféra
Vnitřní magnetosféra Plazmasféra Elektrické pole díky konvenkci (1) (Convection Electric Field) Vodivost σ, tj. ve vztažné soustavě pohybující se s plazmatem rychlostí v je elektrické pole rovno nule (
VíceDiskrétní řešení vzpěru prutu
1 z 5 Diskrétní řešení vzpěru prutu Discrete solution of beam buckling Petr Frantík Abstract Here is described discrete method for solution of beam buckling. The beam is divided into a number of tough
VíceBuckinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003)
Bucinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003) Formalizace rozměrové analýzy ( výsledné jednoty na obou stranách musí souhlasit ). Rozměr fyziální veličiny Mějme nějaou třídu jednote, napřílad [(g,
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VícePROTOLYTICKÉ ROVNOVÁHY
PROTOLYTICKÉ ROVNOVÁHY Protolytické rovnováhy - úvod Obecná chemická reakce a A + b B c C + d D Veličina Symbol, jednotka Definice rovnovážná konstanta reakce K K = ac C a d D a a A a b B aktivita a a
Více13. Spektroskopie základní pojmy
základní pojmy Spektroskopicky významné OPTICKÉ JEVY absorpce absorpční spektrometrie emise emisní spektrometrie rozptyl rozptylové metody Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
VíceSlapový vývoj oběžné dráhy. Michaela Káňová, Marie Běhounková Geodynamický seminář
Slapový vývoj oběžné dráhy Michaela Káňová, Marie Běhounková Geodynamický seminář 20. 5. 2015 Problém dvou těles v nebeské mechanice: dva hmotné body + gravitační síla = Keplerova úloha m keplerovská rychlost
VíceVlastnosti a modelování aditivního
Vlastnosti a modelování aditivního bílého šumu s normálním rozdělením kacmarp@fel.cvut.cz verze: 0090913 1 Bílý šum s normálním rozdělením V této kapitole se budeme zabývat reálným gaussovským šumem n(t),
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VícePříklady Kosmické záření
Příklady Kosmické záření Kosmické částice 1. Jakou kinetickou energii získá proton při pádu z nekonečné výšky na Zem? Poloměr Zeměje R Z =637810 3 maklidováenergieprotonuje m p c 2 =938.3MeV. 2. Kosmickékvantum
VíceNalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
VíceRozvoj tepla v betonových konstrukcích
Úvod do problematiky K novinkám v požární odolnosti nosných konstrukcí Praha, 11. září 2012 Ing. Radek Štefan prof. Ing. Jaroslav Procházka, CSc. Znalost rozložení teploty v betonové konstrukci nebo její
Více