6 VYBRANÁ ROZDLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIINY Rozdleí áhodé veliiy je edis, terým defiujeme ravdodobost jev, jež lze touto áhodou veliiou osat. Záladím rozdleím oisujícím výbry bez vraceí je hyergeometricé rozdleí. Název NV ois ravdodobostí fuce Hyergeometricá oet rv se sledovaou vlastostí ve výbru rv, terý byl rovede M N M ze záladího souboru rozsahu N (v záladím souboru má M rv ) ; N sledovaou vlastost) ro max( - N + m;0) mi(m;) Beroulliho ousy: oslouost ezávislých ous majících ouze možé výsledy (událost astaeeastae; úsch-eúsch; oíad -0) ravdodobost výsytu události (úschu) je ostatí v aždém ouse Rozdleí disrétí áhodé veliiy založeé a Beroulliho ousech: Název NV ois ravdodobostí fuce E Dl Biomicá oet úsch () ( ) v ousech ( ) ( ) ; 0 Alterativí oet úsch ( ) ( ) v jedom ousu 0) Geometricá oet ous () ) ( ) ; ( ) do. úschu < Negativ oet ous () ( ) biomicá do -tého úschu ) ( ) ; < oissov roces oisuje výsyt áhodých událostí a jaém evém asovém itervalu (o. a vymezeé rostorové oblasti - loše). U tohoto rocesu musí být dodržey dva edolady: rychlost výsytu událostí je ostatí v rbhu celého itervalu (o. hustota výsytu je ostatí a vymezeé loše jedotlivé události musí být ezávislé - 7 -
Rozdleí disrétí áhodé veliiy založeé a oissoov rocesu: Název NV ois ravdodobostí fuce E Dl oissoova oet události () ( λt) λ t λ t v asovém itervalu λt ( ) e ; (a loše) (t)! 0 6.. Mezi 00 vajíy ureými ro rodej v jisté maloobchodí rodej je 50 vajíe raslých. Jaá je ravdodobost, že vybereme-li si áhod 0 vajec, bude z ich raslých? ešeí: Jde o výbr bez vraceí (vybraé vajío evracíme zt), jedotlivé ousy jsou závislé. Nadefiujeme-li si áhodou veliiu jao: oet raslých vajíe mezi 0-ti vybraými a má tato áhodá veliia hyergeometricé rozdleí s arametry: N00; M50; 0 H (00;50;0) 00 (celový oet vajec) 50 (oet raslých vajec) 50 (oet dobrých vajec) Vzorec ro ravdodobostí fuci hyergeometricého rozdleí si emusíme amatovat, hledaou ravdodobost uríme z lasicé defiice ravdodobosti. oet všech možostí: vybíráme 0 vajec z 00 vajec (bez ohledu a oadí) C 0(00) 00 0 oet ízivých možostí: mezi vybraými 0-ti vejci má být raslých, tj. vybíráme raslých vajec z 50-ti raslých a zárove (0-) dobrých vajec ze 50-ti : A roto: 5050 C ( 50) C (50) - 7 -
50 50 ( ) 0,057 5,7% 00 0 ravdodobost, že mezi 0-ti vybraými vejci bude raslých je 0,057. 6.. edoládejme, že ravdodobost arozeí dívy je 0,49. Jaá je ravdodobost, že v rodi s dtmi jsou: a) ráv dívy b) více ež dívy c) mé ež dívy ešeí: ovažujeme-li arozeí dítte za áhodý ous, a studovaou áhodou veliiou je oet díve v rodi s dtmi. edoládejme, že áhodé ousy jsou ezávislé, tj. že zalost ohlaví rvího arozeého dítte eovliví ravdodobost arozeí dítte uritého ohlaví i dalším ousu, a mají ouze možé výsledy (díva, chlaec). a mžeme áhodou veliiu ovažovat za biomicou (uruje oet úsch (arozeí dívy) v () ousech, iemž ravdodobost úschu je v aždém ousu ostatí (0,49). oet díve v rodi s dtmi Bi (, ), tj. Bi (;0,49) Rozdleí biomicé áhodé veliiy: ) ( ) arametry biomicého rozdleí z tohoto íladu: áhodý ous arozeí dítte úsch eúsch oet ous ravdodobost úschu oet úschu díva chlaec 0,49 ada) ( )! 5!.! 5 ( 0,49) ( 0,49) ( 0,49) (0,5) 0, % adb) > ; tj. ; 4; 5; 6; 7; - 7 -
> ) ) + 4) + 5) + 6) + 7) + ) 0,49 (0,5) Vzhledem tomu, že teto výoet je oud zdlouhavý, ousíme se hledaou ravdodobost ajít omocí ravdodobosti dolu. > ) ) [ 0) + ) + ) ] 0,49 0 0,6 0,4 4% (0,5) adc) < ; tj. 0; ; ( < ) 0 [ 0) + ) + ) ] 0,49 (0,5) 0,6 6% 6.. Dva hrái (Albert a Bartolomj) se stídají a házejí hrací ostou. Vyhraje te omu ade 6. Jaá je ravdodobost výher jedotlivých hrá? ešeí: rovádíme áhodé ousy mající možé výsledy (úsch 6, eúsch). ravdodobost úsch je v jedotlivých ousech ostatí (/6). Jde tedy o Beroulliho ousy. Hra oí ve chvíli, dy ade 6 (je dosažeo úschu). Nech zaíá Albert. S úsch, F eúsch Výsledy svdící ro výhru Alberta: S FFS FFFFS... Albert vyhraje v íad, že oet ous do. úschu (vet) bude liché íslo. oet ous do. úschu, G 6 ( ) ( ) A vyhraje Albert ( )liché ( ) sudé - 74 -
- 75 - ( ) ( ) ( ) ( ) + + + 0 4 0... ) ( j j A Jde o souet eoeé geometricé ady, de: ( ) ( ) 0 q a ( ) ( ) 0,545 0,54 6 6 5 6 6 6 ) ( 0 q a A j j 6.4. Jaá je ravdodobost, že ro alezeí dárc reví suiy A+, budeme muset vyšetit: a) ráv 0 osob ezajících svou reví suiu b) více ež 9 osob ezajících svou reví suiu c) více ež 7 a mé ež osob ezajících svou reví suiu ešeí: edoládejme, že máme revích sui (A+, A-, B+, B-, AB+, AB-, 0+, 0-), teré se vysytují se stejou ravdodobostí. Za áhodý ous budeme ovažovat vyšeteí jedé osoby ( možé výsledy - má reví suiu A+ (úsch), emá reví suiu A+). Defiujeme-li si áhodou veliiu jao: oet osob, teré musíme vyšetit, chceme-li ajít dárce s reví suiou A+ a mžeme ovažovat za egativ biomicou áhodou veliiu: ) NB (, ravdodobostí fuce a vyadá tato: < ; 7 ) ( Nyí mžeme istouit hledáí orétích ravdodobostí: ada) %, 0,0 7 9 0) ( 7
adb) > 9) 0) + ) + ) +... 9) 9 7 0,90 90,% adc) 7 < < ) ) + 9) + 0) + ) 7 0,0 0,% 6.5. V emocici ABC se rmr 0x ro vysyte orucha srdeí iosti o urité oeraci. Urete: a) ravdodobost, že se v emocici ABC vysyte íští msíc ráv 5 tchto oruch b) ravdodobost, že se v emocici ABC vysyte íští msíc a více tchto oruch c) stedí hodotu a smrodatou odchylu otu tchto oruch bhem jedoho msíce ešeí: edoládejme, že se jedotlivé oruchy srdeí iosti o daé oeraci vysytují ezávisle a sob, s ostatí rychlosti výsytu. a mžeme áhodou veliiu oet výsytu oruch srdeí iosti bhem msíce (o daé oeraci, v emocici ABC) ovažovat za áhodou veliiu s oissoovým rozdleím. Její arametr t uríme jao rmrý oet výsytu oruch srdeí iosti bhem msíce (stedí hodota oissoova rozdleí je rova t). t msíc t 0,5 [ mesic ] E λ o(,5) ( λ t) e )! λt ; 0 < ada) ravdodobost, že se v emocici ABC vysyte íští msíc ráv 5 tchto oruch, uríme jedoduše dosazeím do ravdodobostí fuce. ( 5 (,5) e 5) 5!,5t 0,067 6,7% adb) ravdodobost, že se v emocici ABC vysyte íští msíc a více tchto oruch, bychom museli urit jao souet ravdodobostí ro oet výsytu () od do. roto oužijeme v tomto íad ravdodobost dolu daého jevu: - 76 -
) < ) [ 0) + ) ],5,5,5 [ e +,5e ],5e 0,7 7, % 0 ( λt) e! λt adc) Stedí hodota i roztyl áhodé veliiy jsou rovy jejímu arametru, smrodatá odchyla je rova odmoci z roztylu. E D ; λ t,5 σ D,5,6 6.6. Slovia a výrobu láhvi obsahuje azy. rmrý oet az je x a metricý cet (00 g). Láhev váží g. a) Jaý je odíl vadých láhví? b) Ja se teto odíl zmí bude-li láhev vážit 0,5 g? ešeí: 00 g rmr x az g rmr (x/00) az 0,5 g rmr (x/400) az oet az a láhvi, o( λt) odíl vadých láhví ravdodobost, že a láhvi bude aleso jede az ada) E λ t ( x 00) x 00 0! 00 00 ( > 0) 0) e e adb) E λ t ( x 400) 400 400 ( > 0) 0) e e x x 0 x 400 0! ro ešeí ásledujících ílad oužijeme Statgrahics. 6.7. Studet VŠB ee má otíže s raím vstáváím. roto dy zasí a estihe edášu, terá zaíá již v 9 hodi. ravdodobost, že zasí, je 0,. V semestru je edáše - tz. ezávislých ous dorazit a edášu vas. Nalezte ravdodobost, že ee estihe edášu v dsledu zasáí v olovi ebo více íad. 0 x x - 77 -
ešeí: oet edáše, a teré ee edorazil z dvody zasáí, z možých Je zejmé, že Bi( ;0,) ( 6) 6) + 7) + ) + 9) + 0) + ) + ) ( 0,) ( 0,7) 6 Ruí výoet by v tomto íad byl omr zdlouhavý. Máme-li ale disozici statisticý software, a. Statgrahics, mžeme ílad sado vyoíst omocí distribuí fuce biomicého rozdleí. Ve Statgrahicsu oužijeme: Meu Describe \ Distributios \ robability Distributios V o robability Distributios zvolíme biomicé rozdleí (Biomial). Jao textový výstu této rocedury dostaeme v levém dolím o hodoty ravdodobostí fuce (robability Mass ()), distribuí fuce eboli ravdodobosti <x) (Lower Tail Area (<)) a hodoty ravdodobosti >x) (Uer Tail Area (>)). To vše ro áhodou veliiu, terá má biomicé rozdleí Bi(0;0,), v bod x0. s arametry 0, 0, ( ) My vša chceme hodoty ravdodobosti ( 6) biomicé rozdleí s arametry, 0, ( Bi(;0,) )., tj. v bod x6 ro, terá má - 7 -
Nastaveí arametr biomicého rozdleí rovedeme v meu Aalysis Otios, teré zísáme rovedeím RC (liutí ravou myší) a oblast textového výstuu. ravdodobost úschu je ozaea jao Evet robability a oet ous Trials. Hodotu (res. hodoty), v ichž chceme ravdodobost urit zadáme v meu ae Otio, teré zísáme rovž rovedeím RC a oblast textového výstuu. Tato hodota je ozaea jao Radom Variable. Nyí již staí ouze odeíst odov : ( ) > 6) 6 + 6) 0,06007 + 0,079479 0,746 0, o rovedeém astaveí arametru biomicého rozdleí zísáme jao graficý výstu ro Bi(; 0,) : - 79 -
a) ravdodobostí fuci: b) fuci, terá je ozaováa jao distribuí (OZOR!!! Jde o ( x) (jiý zsob defiice distribuí fuce defiice eí jedozaá (statistici se stále ješt edohodli záleží a autorovi)) a avíc je zareslea ouze v bodech, v ichž je ravdodobostí fuce eulová. Z tchto dvod my daou fuci eozaujeme jao fuci distribuí.) Kometá e graficým výstum ásledujících ílad se shoduje s ometáem íladu 6.6, roto jej ebudeme zmiovat. 6.. Mezi stovou výrob je 0 zmet. Vybereme deset výrob. Jaá je ravdodobost, že je mezi imi více ež 4 vadých? V tomto íad jde o oaovaé závislé ousy (ioli o Beroulliho ousy) a roto má H 00;0;0. áhodá veliia hyergeometricé rozdleí: ( ) ostuujeme obdob jao u edcházejícího íladu: Meu Describe \ Distributios \ robability Distributios V o robability Distributios zvolíme hyergeometricé rozdleí (Hyergeometric) ro astaveí arametr rozdleí rovedeme RC a textový výstu a v meu Aalysis Otios astaveí rovedeme. - 0 -
Jao Evet robability zadáváme rocetuálí zastoueí rv s daou vlastostí v záladím souboru (roceto zmet mezi 00 výroby), Trials ozauje rozsah výbru a oulatio Size je rozsah záladího souboru. Hodotu, v íž chceme ravdodobost urovat, astavíme v meu ae Otio (RC a textový výstu). Nyí odeteme hledaou ravdodobost: ( > 4) 0,05464 0, 05 6.9. Jaá je ravdodobost, že roto aby ám adla a lasicé ostce 6, musíme házet: a) ráv 5x b) více ež x ešeí: ovažujeme-li za áhodý ous hod ostou (oaovaé hody tvoí Beroulliho ousy), a oet hod utých. úschu (adutí 6 ) je geometricou áhodou veliiou s arametrem /6 (ravdodobost úschu v aždém ousu). G 6 ostuujeme odle již zámého schématu: - -
Meu Describe \ Distributios \ robability Distributios V o robability Distributios zvolíme geometricé rozdleí (Geometric) ro astaveí arametr rozdleí rovedeme RC a textový výstu a v meu Aalysis Otios astaveí rovedeme. Evet robability ozauje ravdodobost úschu. Hodotu, v íž chceme ravdodobost urovat, astavíme v meu ae Otio (RC a textový výstu). OZOR!!! Statgrahics oužívá odlišou defiici geometricé áhodé veliiy oet ous (eúsch) ed rvím úschem. ada) Chceme urit ravdodobost, že musíme házet ráv 5x, tj. ravdodobost, že ed rvím úschem dojde ráv e 4 eúschm. Radom Variable ozauje v tomto íad ožadovaý oet eúschu. Nyí mžeme odeíst výslede: - -
ravdodobost, že orvé ade 6 v 5. hodu je,0%. adb) Chceme urit ravdodobost, že musíme házet více ež x, tj. ravdodobost, že ed rvím úschem dojde více ež eúschm. ravdodobost, že orvé ade 6 ejdíve ve 4. hodu je 57,%. 6.0. Jaá je ravdodobost, že roto aby ám i hodu mici adl 5x lev, budeme muset hodit: a) ráv 0x b) aleso 0x ešeí: oet hod micí utých ro dosažeí 5 úsch, NB(5; 0,5) OZOR!!! Vzhledem tomu, že geometricá NV je seciálím tyem egativ biomicé NV(ro ), mohli bychom oeávat u Statgrahicsu rovž odlišou defiici egativ biomicé áhodé veliiy oet eúsch ed -tým úschem (a. Excel). Defiice oužitá Statgrahicsem vša souhlasí s defiicí, terou jsme si zavedli my (oet ous do -tého úschu (vet)). Jde o chybu Statgrahicsu (esouhlasí to ai s Hel). Meu Describe \ Distributios \ robability Distributios V o robability Distributios zvolíme egativ biomicé rozdleí (Negative Biomial) - -
ro astaveí arametr rozdleí rovedeme RC a textový výstu a v meu Aalysis Otios astaveí rovedeme. Evet robability ozauje ravdodobost úsch, Successes ozauje ožadovaý oet úsch. Hodotu, v íž chceme ravdodobost urovat, astavíme v meu ae Otio (RC a textový výstu). Chceme-li urit ravdodobost, že musíme házet celem ráv (res. více ež) 0x, zadáme jao Radom Variable (celový oet ous) 0. ada) ( 0) 0, adb) ( 0 ) > 0) + 0) 0,7695 + 0,047 0, 5 (tuto ravdodobost bychom mohli ajít taé jao ( 0 ) > 9) ) - 4 -
6.. Bhem 0 miut sade rmr jeda hvzda. Jaá je ravdodobost, že bhem 5 miut sadou dv hvzdy? ešeí: oet hvzd sadlých bhem 5 miut, o( λt) E λ t,5 (za 5 miut sade rmr,5 hvzdy Meu Describe \ Distributios \ robability Distributios V o robability Distributios zvolíme oissoovo rozdleí (oisso) ro astaveí arametr rozdleí rovedeme RC a textový výstu a v meu oisso Otios astaveí rovedeme. Mea ozauje stedí hodotu ( λ t). Hodotu, v íž chceme ravdodobost urovat, astavíme v meu ae Otios (RC a textový výstu). Bhem 5 miut sadou dv hvzdy s ravdodobosti 5,%. 6.. V aždých 00 metrech láty je rmr 5 az. Látu rozstíháme a usy o m. Koli mžeme oeávat us bez az? Tato ravdodobost je stejá jao ravdodobost, že a áhod vybraém usu láty ebude az. oet az a jedom usu láty (m), o( λt) - 5 -
00 m láty E 5 m láty E0,05 m láty E0,5 λ t 0, 5 Statgrahics: ( 0 ) 0, 6 6.. ravdodobost, že am ový rve je vadý je -7. Na iu je 0 tchto rv. a) Jaá je ravdodobost, že žádý rve a iu eí vadý? b) Jaá je ravdodobost, že ejvýše rvy a iu jsou vadé? ešeí: Bi ( 0 ; -7 ) ) ( ) Teto ílad elze ešit za omocí Statgrahicsu, ebo 0 >0 9 a Statgrahics eumožuje zadáí otu ous vtší ež 0 9. ouste se ro ešeí íladu oužít Excel. (BINOMDIST, Souet 0) ada) ( 0) 0,000546 0,0% adb) ( ) 0,04 4,4% - 6 -