10 ODHADY PARAMETR NORMÁLNÍHO ROZDLENÍ

Transkript

1 Ig. Martia Litschmaová tatistika I., cvieí 0 ODHADY ARAMETR NORMÁLNÍHO ROZDLENÍ V raktických íadech vtšiou edokážeme es urit arametry ákladího souboru (oulace). K jejich odhadu oužíváme charakteristiky íslušých výbrových souboru výbrové charakteristiky. Z metodického hlediska oužíváme dva tyy odhad arametr: bodový odhad, kdy arametr ákladího souboru aroimujeme jediým íslem a itervalový odhad (kofideí iterval), kdy teto arametr aroimujeme itervalem, v mž arametr leží s daou ravdodobostí. Této ravdodobosti íkáme solehlivost odhadu a oaujeme ji (-), aýváme hladiou výamosti. Dobrý (vrohodý) odhad musí slovat urité vlastosti. Mei ákladí vlastosti vrohodých odhad atí: estraost (evychýleost, ekresleost) vydatost (eficiece) koistece dostateost V raktických alikacích, astji ež bodový odhad, urujeme itervalový odhad íslušého arametru. Teto odhad je rereetová itervalem (T D ; T H ), v mž hledaý arametr leží s edem ureou ravdodobostí (solehlivostí), kterou oaujeme (-). Itervaly solehlivosti kostruujeme jako jedostraé ebo dvoustraé. V ásledující tabulce ajdete ehled itervalových odhad ro arametry ormálího rodleí vet oužitých výbrových charakteristik. Itervaly solehlivosti ro arametry ormálího rodleí Odhadovaý arametr, áme, eáme Vhodá výbrová charakteristika ( ) π ( π ) Rodleí výbrové char. Mee oboustraého itervalu solehlivosti Dolí me levostraého itervalu solehlivosti Horí me ravostraého itervalu solehlivosti T D T H T D T H µ Z N(0;) µ T t t t, t, t -,, χ χ ( ) ( ) ( ) ( ),,, itervalový odhad je odvoe ( ) itervalového odhadu π N(0;), ( ), ( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) - 3 -

2 Ig. Martia Litschmaová tatistika I., cvieí Velikost výbru má ímý vliv a esost odhadu arametr ákladího souboru: ím vtší rosah výbru, tím esjší je itervalový odhad. Ekoomické a asové dvody ás však mohdy utí volit rosah výbru co ejmeší. V rai roto hledáme komromis, který ro ožadovaou esost výotu (íustou chybu odhadu ) ovede k co ejmešímu rosahu výbru. Odhadovaý arametr Rosah výbru, áme, eáme, t π ( ) Itervalové odhady mžeme oužít také ke srováváí stedích hodot, res. relativích etostí dvou oulací: Odhadovaý vtah mei arametry Vhodá výbrová charakteristika Rodleí výbrové char. Mee oboustraého itervalu solehlivosti Dolí me levostraého itervalu solehlivosti Horí me ravostraého itervalu solehlivosti T D T H T D T H -, áme ; ( ) ( ) Z µ µ N(0;) ( ) ( ) ( ) ( ) -, eáme ; ( ) ( ) T µ µ t ( ), t ( ), t ( ), t ( ), t - ( ) ( ) ( ) π π N(0; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.. Útvar kotroly odiku Ediso testoval životost žárovek. Kotroloi vybrali rodukce odiku áhod 50 žárovek a došli k ávru, že rmrá doba života tchto 50-ti žárovek je 950 hodi a íslušá výbrová smrodatá odchylka doby života je 00 hodi. Urete 95%-í iterval solehlivosti životosti žárovek firmy Ediso. ešeí: Chceme ajít 95%-í iterval solehlivosti ro stedí hodotu životosti žárovek firmy Ediso, iemž eáme smrodatou odchylku životosti tchto žárovek. Máme k disoici iformace ocháející výbru o rosahu 50 žárovek, tj. rosah výbru je vyšší ež 30 a roto k aleeí íslušého itervalového odhadu mžeme oužít ásledující vtah (jde o itervalový odhad stedí hodoty ro ámé, kde jsme oložili s) : µ < < olehlivost itervalového odhadu: 95 0,

3 Ig. Martia Litschmaová tatistika I., cvieí Hladia výamosti: 0,95 0, 05 0,05; 0, 975, 96 (vi. Tabulka ) 0,975 Výbrový soubor: 950 hodi 00 hodi Dosadíme: 950,96 < µ < 950,96 0, o úrav dostáváme: ( 9,3 < µ < 977,7) 0, 95 T., že s 95%-í solehlivostí mžeme tvrdit, že životost žárovek firmy Ediso se ohybuje v romeí 9 hodi 8 miut až 977 hodi 4 miut. ešeí ve tatgrahicsu: tatgrahics ám umožuje urovat itervalové odhady tchto arametr ormálího rodleí: stedí hodota, smrodatá odchylka, relativí etost (odíl). ro odhad stedí hodoty se oužívá oue výbrová statistika T (t. že tatgrahics eumožuje odhadovat stedí hodotu ro íad, kdy áme smrodatou odchylku). V ašem íad chceme urit itervalový odhad stedí hodoty. V meu Describe volíme oložku Hyothesis Tests V ok Hyothesi Test adáme ožadovaé údaje: aškrteme ole Normal Mea (stedí hodota ormálího rodleí), ole Null Hyothesis ás v tuto chvíli eajímá, jako amle mea ( výbrová stedí hodota rmr) adáme 950, jako amle igma ( výbrová smrodatá odchylka) adáme 00 a do ole amle ie ( rosah výbru) aíšeme

4 Ig. Martia Litschmaová tatistika I., cvieí V tetovém výstuu ajdeme oboustraý 95% í iterval solehlivosti ro stedí hodotu. orovejte jišté výsledky s ruím výotem. (Rodíly jsou sobey esjším staoveím íslušých kvatil). Chceme-li astavit jiou solehlivost odhadu (res. hladiu výamosti), oíad chceme.li urit který jedostraých odhad, astaveí rovedeme v ok Aalysis Otio (RC a tetový výstu). Je ejmé, že v oli Alha astavíme hladiu výamosti. Je-li aškrtuto ole Not Equal (eí rovo), tatgrahics oskyte jako výstu oboustraý iterval solehlivosti, aškrteme-li Less Tha (meší ež), dostaeme ravostraý iterval solehlivosti, res. jeho horí me a obdob aškrteme-li Greather Tha (vtší ež), dostaeme levostraý iterval solehlivosti, res. jeho dolí me. 0.. Obchodí etec TETO si v dubu 006 adal studii týkající se otu ákaíku v rodej TETO oruba v átek odolede (od :00 do 8:00) hodi. o jedom msíci sledováí rodejy jsme ískali tyto údaje: Datum oet ákaík v TETO oruba (:00-8:00) hodi a) Objaste, ro jsme eískali výbrový soubor o rosahu aleso 30 hodot a jaké jsou dsledky volby výbru o malém rosahu. b) Urete ro maagmet etce TETO 95%-í iterval solehlivosti otu ákaíku v rodej TETO oruba v átek odolede

5 Ig. Martia Litschmaová tatistika I., cvieí ešeí: ada) adb) ro ískáí výbru o rosahu miimál 30 hodot bychom museli daou rodeju sledovat miimál 30 átku (tj. déle ež l roku), což by vedlo jedak k výšeí fiaí ároosti studie, jedak bychom museli dlouho ekat a výsledky. Z tchto dvodu jsme volili meší rosah výbru (5) odovídající msíímu sledováí rodejy. Nevýhodou malého rosahu výbru je íká esost odhadu (omr široký iterval). Urujeme itervalový odhad stedí hodoty s eámou smrodatou odchylkou a malým rosahem výbru, roto ro jeho výoet oužijeme ásledující vtah: s t < < µ t,, s olehlivost itervalového odhadu: 0, 95 Hladia výamosti: 0,95 0, 05 0,05; 0, 975 t, 78 (vi. Tabulka ) 0,975, 4 Výbrový soubor: 5 i i ,6 5 s i ( ) i ( ,6)... ( ,6) 4 69,3 s 5, 5 5, 5, Dosadíme: 357,6,78 < µ < 357,6,78 0, o úrav dostáváme: ( 88, < µ < 453,0) 0, 95 T., že s 95%-í solehlivostí mžeme tvrdit, že ávštvost TETO oruba se v libovolý átek v odoledích hodiách bude ohybovat v romeí 88 až 453 ákaík. ást b vyešte omocí tatgrahicsu (vi.. 0..) - 7 -

6 Ig. Martia Litschmaová tatistika I., cvieí 0.3. Automat vyrábí ístové kroužky o daém rmru. i kotrole kvality bylo áhod vybráo 80 kroužk a vyotea smrodatá odchylka jejich rmru 0,04mm. Odhadte 95%-í levostraý iterval solehlivosti ro rotyl a smrodatou odchylku rmru ístových kroužk. ešeí: Nejdíve ajdeme 95%-í levostraý iterval solehlivosti ro rotyl. ro jeho aleeí oužije ásledující vtah: ( ) <, olehlivost itervalového odhadu: 0, 95 00, 7 (vi. Tabulka 3) 0,95; 79 Výbrový soubor: ( ) 0,04 0,006 mm 80 o dosaeí: 79 0,006 < 0, 95 00,7 ( 0,003 < ) 0, 95 Jedoduchou úravou ak ískáme 95%-í levostraý iterval solehlivosti ro smrodatou odchylku: ( 0,003 < ) 0, 95 ( 0,035 < ) 0, 95 95%-í solehlivostí tedy mžeme tvrdit, že rotyl rmru ístových kroužk je vtší ež,.0-3 mm (res., že s 95%-í solehlivostí je smrodatá odchylka rmru ístových kroužk vtší ež 4,6.0 - mm). ešeí ve tatgrahicsu: tatgrahics ám umožuje alét itervalové odhady ro smrodatou odchylku, ikoliv ro rotyl. Zvolíme meu Describe, oložku Hyothesis Tests. V ok Hyothesis Tests aškrteme Normal sigma a dolíme íslušé arametry výbru. ole Null Hyothesis ás ot eajímá, v oli amle igma (výbrová smrodatá odchylka) dolíme hodotu 0,04 a jako amle ie (rosah výbru) dosadíme

7 Ig. Martia Litschmaová tatistika I., cvieí Automaticky se ám vygeeroval oboustraý 95% í iterval solehlivosti ro sigma, my však ožadujeme iterval levostraý, tj. oue dolí me tohoto itervalu (uvedeá me má být s ožadovaou solehlivosti meší ež skuteá smrodatá odchylka). roto v ok Aalysis Otio (RC a tetový výstu) aškrteme Greather tha (vtší ež). Je ejmé, že: ( 0,035 ) 0, 95 <. Chtli-li bychom ožadovaý iterval solehlivosti urit ro rotyl, musíme udaou dolí me umocit a druhou i kotrole data soteby uritého druhu masové koervy ve skladech rodukt masého rmyslu bylo áhod vybráo 30 koerv a jišto, že 59 ich má rošlou áruí lhtu. taovte 95% iterval solehlivosti ro odhad roceta koerv s rošlou áruí lhtou. ešeí: ro aleeí 95%-ího itervalu solehlivosti ro relativí etost oužijeme ásledující vtah: ( ) ( ) π < < olehlivost itervalového odhadu: 0, 95 Hladia výamosti: 0,95 0, 05 0,05; 0, 975, 96 (vi. Tabulka ) 0, Výbrový soubor: 0, o dosaeí: ( 0,8) 0,8 ( 0,8 ) 0,8 0,8,96 0,8,96 < π < 0, ( 0,38 < π < 0,) 0, 95 95%-í solehlivostí mžeme tvrdit, že mei masovými koervami se v daém skladu acháí mei 3,8% a,% koerv s rošlou áruí lhtou

8 Ig. Martia Litschmaová tatistika I., cvieí ešeí ve tatgrahicsu: Ot volíme meu Describe, oložku Hyothesis Tests. V ok Hyothesis Tests aškrteme Biomial roortio a dolíme íslušé arametry výbru. ole Null Hyothesis ás ot eajímá, v oli amle roortio (výbrová relativí etost, výbrový odíl) dolíme hodotu 0,8 a jako amle ie (rosah výbru) dosadíme 30. Automaticky se ám vygeeroval oboustraý 95% í iterval solehlivosti ro relativí etost: Rodíly oroti vyoteým hodotám jsou sobey aokrouhlovaím Výbrovým šeteím bychom chtli odhadout rmrou mdu racovík uritého výrobího odvtví. Z vyerávajícího šeteí, které robíhalo ed kolika msíci, víme, že smrodatá odchylka med byla 750,-K. Odhad chceme rovést s 95% solehlivosti a jsme ochoti iustit maimálí chybu ve výši 50,-K. Jak velký musíme rovést výbr, abychom ajistili ožadovaou esost a solehlivost? ešeí: Chceme odhadou rosah výbru ro itervalový odhad stedí hodoty áme-li smrodatou odchylku (vyerávající šeteí koumáí celého ákladího souboru (oulace)). 0,95 0,05 0,975,96 ( Tabulka ) 0, K 50 K Rosah výbru odhademe v tomto íad odle vtahu:

9 Ig. Martia Litschmaová tatistika I., cvieí o dosaeí: 750, ,4 Chceme-li dosáhout íusté chyby ve výši maimál 50,- K, musíme ro aleeí 95%- ího itervalového odhadu rovést výbrové šeteí a souboru o rosahu miimál 865 racovík. ešeí ve tatgrahicsu: tatgrahics ám umožuje odhadout rosah výbru a áklad ožadovaé maimálí íusté chyby (res. relativí chyby). A to ro odhad stedí hodoty, smrodaté odchylky a relativí etosti. Zvolíme meu Describe, oložku amle ie Determiatio. V ok amle ie Determiatio aškrteme Normal Mea a astavíme adaé arametry (tj. Hyothesis igma (odhadovaá smrodatá odchylka) 750). V ok amle ie Determiatio Otios adáme velikost íusté chyby v oli, které se výraí o oaeí Absolute Error ( 50). olehlivost odhadu (Cofidece Level) se shoduje s edastaveou hodotou (95%)

10 Ig. Martia Litschmaová tatistika I., cvieí V tetovém výstuu ak ajdeme hledaou iformaci: 0.6. Diskety dvou velkých výrobc - oik a 5M byly odrobey koušce kvality. Diskety obou výrobc jsou baley o 0-ti kusech. Ve 40-ti balících fy oik bylo aleeo 4 vadých disket, ve 30-ti balících 5M bylo aleeo 4 vadých disket. Urete 95%-í iterval solehlivosti ro rodíl v rocetu vadých disket v celkové rodukci firem oik a 5M. ešeí: Oame si roceto vadých disket v rodukci fy oik a roceto vadých disket v rodukci fy 5M. ro ureí ožadovaého itervalu oužijeme vtah: ( ) ( ) < ( π π ) < ( ) ( ) olehlivost itervalového odhadu: 0, 95 Hladia výamosti: 0,95 0, 05 0,05; 0, 975, 96 (vi. Tabulka ) 0,975 Výbrové soubory: oik: ,030 ( výbrový odíl vadých disket fy oik) - 3 -

11 Ig. Martia Litschmaová tatistika I., cvieí 5M: ,03 ( výbrový odíl vadých disket fy 5M ) 4 4 0, o dosaeí: ((,007) 0,07 < ( π π ) < ( 0,007) 0,07) 0, 95 0 (,00 < ( π π ) < 0,04) 0, 95 0 (,0 % < ( π π ) <,4 %) 0, 95 95%-í solehlivostí mžeme tvrdit, že rodíl mei odílem vadých disket firmy oik a odílem vadých disket firmy 5M je v romeí,0 % a,4%. T., že emžeme íci, které diskety jsou kvalitjší. V íad, že by rodíl mei odílem vadých disket firmy oik a odílem vadých disket firmy 5M byl áorý ( π π < 0), amealo by to, že diskety firmy oik jsou kvalitjší (obsahují meší odíl vadých) ež diskety firmy 5M ( π < π ). Obdob v íad, že by rodíl mei odílem vadých disket firmy oik a odílem vadých disket firmy 5M byl kladý ( π π > 0), amealo by to, že diskety firmy oik mají horší kvalitu (obsahují vtší odíl vadých) ež diskety firmy 5M ( π > π ). V ašem íad víme, že rodíl mei odílem vadých disket firmy oik a odílem vadých disket firmy 5M mže být jak kladý, tak i áorý a roto emžeme íci, které diskety jsou kvalitjší. Ale to už jsme se dostali k testováí hyoté, jimž se budeme abývat v ásledující kaitole. ešeí ve tatgrahicsu: Také orováváí arametr dvou ormálích rodleí umožuje tatgrahics. Mžeme de hledat itervalové odhady ro rodíl stedích hodot dvou oulací, ro rodíl odíl dvou oulací a ro omr mei smrodatými odchylkami dvou oulací. Výše uvedeé itervalové odhady ajdeme v meu Comare, v oložce Hyothesis Tests V ok Hyothesis Tests (Comare) aškrteme ole Biomial roortio a vylíme ožadovaé arametry amle roortio (výbrový odíl ro. výbr (oik) 0,030), amle ie (rosah výbru ro. výbr (oik) 800), amle roortio (výbrový odíl ro. výbr (5M) 0,03), amle ie (rosah výbru ro. výbr (5M)

12 Ig. Martia Litschmaová tatistika I., cvieí 600). Hodota uvedeá v oli Null Hyothesis for Diferece of roortios emá a ureí itervalového odhadu ro rodíl odíl výam. V tetovém výstuu ajdeme oboustraý iterval solehlivosti ro rodíl odíl. Chtli-li bychom ajít jedostraé odhady, o. mit hladiu výamosti (solehlivost odhadu), mu rovedeme v ok Aalysis Otio (RC a tetový výstu)