PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení

Transkript

1 S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí

2 S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým rozděleím X ~D(), R má základí rostor Z = { } a ravděodobostí fukci: ( ) 1 0 Charakteristiky: středí hodota: E(X ) roztyl: D( X ) 0 Pozámka: Jedá se o kostatí áhodou roměou.

3 S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Alterativí (Beroulliovo) rozděleí A() áhodá veličia X s alterativím rozděleím X ~A(), (0, 1) má základí rostor Z = {0,1} a ravděodobostí fukci: (0) (1) 1 Charakteristiky: středí hodota: E( X ) roztyl: D( X ) (1 ) koeficiet šikmosti: A 3 ( X ) 1 2 (1 ) koeficiet šičatosti: A 4 ( 1 6 (1 ) X ) (1 )

4 S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Klasické rozděleí (diskrétí rovoměré rozděleí) C() áhodá veličia X s klasickým rozděleím X~C(), má základí rostor Z = {1, 2,, } a ravděodobostí fukci: ( ) 1 Z Charakteristiky: středí hodota: roztyl: mediá: 1 E( X ) D( X ) 12 1 liché ~ 2 sudé 2 koeficiet šikmosti: A3 ( X ) 0

5 S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Biomické rozděleí Bi(,) áhodá veličia X s biomickým rozděleím X~Bi(,),, (0, 1) má základí rostor Z = {0,1, 2,, } a ravděodobostí fukci: ( ) (1 ) Charakteristiky: středí hodota: E( X ) roztyl: mediá: koeficiet šikmosti: koeficiet šičatosti: D( X ) (1 ) ~ ( 1) 1, ( 1) 1 2 A3( X ) (1 ) 1 6 (1 ) A4 ( X ) (1 )

6 S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Biomické rozděleí Bi(,) Biomické rozděleí výběr s vraceím ázev rozděleí ochází ze skutečosti, že ravděodobosti () jsou čley biomického rozvoje 1 1 ( (1 )) ( )

7 S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Biomické rozděleí Bi(,0.5) středí hodota: roztyl: E( X ) 2 D( X ) 4 koeficiet šikmosti: A3 ( X ) 0 koeficiet šičatosti: A X 2 4( )

8 S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Biomické rozděleí Bi(,) Vlastosti: 1) ro =1 dostáváme: Bi(1,)=A() 2) echť X, 1, X jsou áhodé roměé, stochasticky ezávislé (vektor), X Bi(, ), ak i i X Bi(, ) i1 i 3) echť X, 1, X jsou áhodé roměé, stochasticky ezávislé (vektor), X A( ), ak i X Bi(, ) i1 i ad3): Pro áhodou roměou oisující očet adutí 6 ři 10 okusech je jedo zda hodím jedou kostkou 10 - A(1/6), ebo 10 kostkami 1 - Bi(10,1/6). i1 i

9 S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Multiomické rozděleí Mu(, 1,, k ) áhodé veličiy X 1,, X k s multiomickým rozděleím, (X 1,, X k ) Mu(, 1,, k ), 1,, k, 1,, k (0, 1) k i1 i i1 má ravděodobostí fukci: Charakteristiky: k i 1 (! 1 1,, k ) 2 1! 2! k! k středí hodota: E( X,, X k ) ( 1,, 1 k ) Multiomické rozděleí je zobecěí biomického rozděleí, kdy místo astoueí dvou jevů uvažujeme astoueí k jevů.

10 S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Geometrické rozděleí Ge() áhodá veličia X s geometrickým rozděleím X~Ge(), (0, 1) má základí rostor Z = {0,1, 2,,, } a ravděodobostí fukci: ( ) (1 ) Pokus oakujeme tak dlouho, až astae úsěch. () je ravděodobost, že rovedeme eúsěšých okusů. Charakteristiky: středí hodota: roztyl: mediá: E( X ) 1 1 D( X ) 2 ~ 0

11 S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P egativí biomické (Pascalovo) rozděleí B(k,) áhodá veličia X s egativě biomickým rozděleím X~B(k,), k, (0, 1) má základí rostor Z = {0,1, 2,,, } a ravděodobostí fukci: k 1 k ( ) (1 ) Pokus oakujeme tak dlouho, až astae k úsěchů. () je ravděodobost, že rovedeme eúsěšých okusů řed k-tým úsěšým okusem. Charakteristiky: středí hodota: roztyl: mediá: E( X ) k 1 1 D( X ) k 2 ~ k 1

12 S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Pascalovo (egativí biomické ) rozděleí Ps(k,) Pojmeováo odle Blaise Pascala ( ).

13 S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Zobecěé Pascalovo (egativí biomické) rozděleí Ps(k,) áhodá veličia X s ascalovým rozděleím X~Ps(k,), kr, k >0, (0, 1) má základí rostor Z = {0,1, 2,,, } a ravděodobostí fukci: k 1 k ( ) (1 ) kde místo faktoriálu oužijeme Gama fukci: k k t! ( k 1) t e dt 0

14 áhodá veličia X s hyergeometrickým rozděleím X~H(,M,), kde libovolé celé číslo, 1 M <, 1 <, základí rostor Z = {ma{0, M-+},, mi{m,} ravděodobostí fukci: Hyergeometrické rozděleí H(,M,) Charakteristiky: středí hodota: roztyl: mediá: M M ) ( M X E ) ( 1 1 ) ( M M X D , ~ M M S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P

15 S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Hyergeometrické rozděleí H(,M,) Hyergeometrické rozděleí výběr bez vraceím

16 S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Poissoovo rozděleí Po(λ) áhodá veličia X s Poissoovým rozděleím X~Po(λ), λ R, λ>0 má základí rostor Z = {0,1, 2,,, } a ravděodobostí fukci: ( ) e! Charakteristiky: středí hodota: roztyl: E(X ) D(X ) mediá: ~ 1, koeficiet šikmosti: A3 ( X ) 1

17 S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Poissoovo rozděleí Po(λ) Poissoovo rozděleí rozděleí, které oisuje výskyt áhodého jevu v ředem daém časovém úseku. λ lze ovažovat jako růměrý očet událostí za časový úsek Platí: echť X, X jsou áhodé roměé, stochasticky ezávislé 1, (vektor), X i Po( i ), ak X Po( ) i1 i i1 i

18 S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Poissoův roces zkoumá ravděodobost, že se v časovém itervalu délky t stae rávě událostí. Podmíky: 1) očet událostí v disjukích itervalech jsou ezávislé 2) ravděodobost, že se během itervalu délky dt stae rávě jeda událost je rova λdt 3) ravděodobost, že se během itervalu délky dt stae dvě a více událostí je rova 0dt Hustota ravděodobosti, že se v časovém itervalu délky t stae rávě událostí. t t f ( t) e! Pro evý časový iterval délky t ozačme: λt=τ f ( t) t e!

19 S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Aroimace diskrétích rozděleí Za vhodých odmíek lze jedo rozděleí ahradit jiým aroimace Biomického rozděleí: Platí (věta Poissoova): echť X 1,, X, jsou áhodé roměé, stochasticky ezávislé (vektor), X (, ). Dále echť a, Bi lim 0 lim ak lim (1 ) e! Tedy ro latí: Bi(, ) Po( ) V rai můžeme Biomické rozděleí Bi(,) ahradit Poissoovým Po() za těchto odmíek: < 0.1 a > 30. Chyba aroimace je < 10-2.

20 S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Aroimace diskrétích rozděleí Za vhodých odmíek lze jedo rozděleí ahradit jiým aroimace Biomického rozděleí:

21 S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Aroimace diskrétích rozděleí Aroimace Hyergeometrického rozděleí: Biomické rozděleí výběr s vraceím Hyergeometrické rozděleí výběr vez vracei Pokud budeme mít velký očet rvků a očet vybraých rvků bude malý, tak výsledek okusu bude málo ovlivě vraceím. Pokud 0,1, tak lze Hyergeometrické rozděleí ahradit Biomickým. M H(,M,) Bi(, )