1. K o m b i n a t o r i k a

Transkript

1 . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují růzé výsledky. Studiem zákoitostí rozděleí těchto možých výsledků se zabývá matematická statistika. Teorie pravděpodobosti uvádí algoritmy pomocí ichž se toto studium v jedotlivých případech provádí. V elemetárích úvahách a v řadě základích modelových situací si možé výsledky můžeme představit jako výběry z určité skupiy prvků. Přitom ás zajímají počty růzých možých výběrů, které splňují ějakou dodatečou podmíku. Uvedeme si yí ěkteré základí případy výběrů.. Věta: Obecé pravidlo kombiatoriky - pravidlo součiu. Nechť ve dvojici (A, B) můžeme místo A vybrat růzými způsoby a místo B celkem m růzými způsoby, potom dvojici (A, B) můžeme vybrat celkem.m růzými způsoby... Příklad: Při cestě z Klada do Bra přes Prahu můžeme použít: z Klada do Prahy - autobus, vlak, vlastí automobil: z Prahy do Bra - autobus, vlak, vlastí automobil, letadlo. Kolik je růzých možostí dopravy z Klada do Bra. Řešeí: Vidíme, že z Klada do Prahy máme tři možosti dopravy a z Prahy do Bra čtyři. Ke každé jedotlivé cestě z Klada do Prahy existují čtyři další možosti pokračováí cesty. Je tedy celkem.= možostí jak cestovat z Klada do Bra. (Obrázek grafu možostí.) Pozámka: Je zřejmé, že pravidlo lze uplatit i a trojice, čtveřice atd. Počet možostí pak získáváme postupým ásobeím... Defiice: Permutace. Uvažujme skupiu růzých prvků, apř. čísel {,,..., }. Růzá uspořádáí této skupiy prvků azýváme permutacemi z prvků... Věta: Počet permutací. Permutací z prvků je celkem ( )! =...., kde symbol! čteme faktoriál. Pozameejme ještě, že v ěkterých vzorcích se může objevit hodota! a tu defiujeme jako! =. Důkaz: provedeme matematickou idukcí. Je samozřejmé, že jede prvek můžeme uspořádat právě jedím způsobem a zároveň vidíme, že! =, tedy tvrzeí platí. Předpokládejme, že je pravdivé pro hodoty,,...,. Dokažme, že platí i pro + prvků. Utvoříme libovolou permutaci prvků. Potom růzé permutace + prvků vytvoříme umístěím + tého prvku do daé permutace prvků. Teto prvek můžeme umístit před prví prvek, ebo před druhý prvek a ebo až před tý prvek. To je celkem růzých možostí. Další možost získáme tak, že teto prvek umístíme za tý prvek. Je tedy celkem + možostí jak k daé permutaci prvků vytvořit růzé permutace + prvků. Počet všech růzých permutací + prvků je tedy ( + ).! = ( + )..... = ( + )!... Příklad: Při psaí slov aaas a matematika přeházejme písmeka. Kolika způsoby je možé přehodit písmea, aby se slovo ezměilo. Řešeí: Vidíme, že ve slově aaas můžeme vyměit mezi sebou písmeka a ebo. Prví jsou tři a tudíž je!=..=6 možých výmě - permutací. Druhé jsou dvě a jsou tedy!=.= možosti výmě. Podle pravidla součiu je tedy celkem 6.= možostí výmě, kdy se uvedeé slovo ezměí.

2 Sado ahlédeme, že pro slovo matematika dostaeme celkem!.!.!=.6.= možostí. ( Dvě m, tři a, dvě t.).6. Příklad: Řešte předchozí úlohu pro slovo Mississippi. [].7. Defiice: Variace s opakováím. Uvažujme skupiu prvků a vybírejme postupě k tici prvků tak, že se mohou prvky ve výběru opakovat. Tyto výběry azýváme k-čleé variace s opakováím..8. Věta: Počet variací s opakováím. Je celkem k růzých k čleých variací s opakováím. Důkaz: Ve výběru a prví místo můžeme použít celkem růzých prvků. Protože se mohou prvky opakovat, pak pro každé další místo máme k dispozici vždy prvků. Podle pravidla součiu je tedy celkem.... = k možostí..9. Příklad: Dospělý člověk má celkem zubů. Jak velká musí být skupia lidí, aby se v í vyskytli alespoň dva lidé se shodou sestavou zubů. Řešeí: Na každém místě čelisti člověk buď zub má ebo emá. Můžeme tudíž vybírat ze dvou možostí. Výběr opakujeme -krát. Počet růzých sestav je počet -čleých variací ze prvků, což je = Skupia musí tedy obsahovat alespoň + = lidí, aby se v í vyskytli alespoň dva lidé se stejou sestavou zubů. Pozámka: Zakódujme si zub symboly a pro případy zub chybí a echybí. Počet sestav zubů je pak rove počtu růzých výběru z prvků a předepsaé délky. Symbol má tvar typu apř.. Takový způsob kódováí používají počítače, kdy všechy symboly převádí a čísla zapsaá ve dvojkové soustavě, tedy čísla složeá z a... Příklad: Morseova abeceda se sestavá ze symbolů, které obsahují a. Jestliže uvažujeme slova o ejvýše 6 symbolech, kolik růzých slov máme k dispozici. Řešeí: Každé slovo tvoříme výběrem ze dvou prvků (symbolů), tj. = a tvoříme výběry délky k, k =,,..., 6. Dostaeme tedy celkem = = 6 růzých slov... Příklad: Píšeme trojciferá čísla složeá z číslic,,,..., 9. Kolik růzých čísel můžeme apsat: a) číslo může začíat ulou; b) číslo esmí začíat ulou. Řešeí: V případě a) vybírame tři prvky z deseti, je tedy počet růzých čísel rove - čleým variacím s opakovaím z prvků. To je celkem = čísel. V případě b) můžeme a prví místo vybrat pouze 9 cifer (esmí být ula) a a zbývající dvě opět. Je tedy celkem 9.. = 9 růzých možostí... Defiice: Variace bez opakováí. Vybírejme z růzých prvků k, < k, prvků tak, že se prvky esmí ve výběru opakovat. Tyto výběry azýváme k-čleé variace bez opakováí... Věta: Počet variací bez opakováí. Je celkem k čleých variací bez opakováí. ( ).( ).( )... ( k + ), k, Důkaz: Vztah odvodíme podle kombiatorického pravidla součiu. Prví prvek lze vybrat způsoby, druhý už pouze způsoby, třetí způsoby a pro každý další máme vždy o

3 jedu možost méě. Počet variací je rove součiu k čísel, kde řada začíá číslem a každé ásledující je o meší. Dostaeme tak pro počet variací vzorec.( )... ( k + ). Pozámka: Všimeme si, že v případě kdy volíme k =, t.j. při výběru vyčerpáme všechy prvky daé možiy, volíme vlastě pouze jejich pořadí. Jsou tedy čleé variace bez opakováí z prvků shodé s jejich permutacei. I pro jejich počty dostaeme ze vzorců ( ) a ( ) shodou hodotu!... Defiice: Kombiace. Neuspořádaý výběr k prvků z možiy prvků, k, takový, že se v ěm každý prvek vyskytuje ejvýše jedou se azývá k-čleou kombiací z prvků... Věta: Počet kombiací. Je celkem ( ) kombiací z prvků..( )... ( k + ) k! k čleých Důkaz: Při výběru k prvků z, kdy uvažujeme i jejich pořadí jsme dostali k čleé variace z prvků. Ty z ich, které dostaeme jeom přerovaím jejich prvků odpovídají jedié k čleé kombiaci. Je jich vždy k!, eboť je získáme jako všechy jejich permutace. Počet kombiací je tudíž podílem počtu k čleých variací bez opakováí a počtu permutací k prvků. To je ovšem podle vzorců ( ) a ( ) vzorec ( )..6. Defiice: Kombiačí číslo. Číslo ze vzorce ( ), které uvádí počet k čleých kombiací z prvků ozačujeme symbolem.( )... ( k + ) ( ) =. k k! Nazýváme jej kombiačí číslo a čteme ad k. V souladu s defiicí hodoty!= defiujeme = pro =,,, Věta: Vlastosti kombiačích čísel. Pro všecha celá ezáporá čísla, k, k platí: a) = =, = ;! b) = = k k ( k)! k! ; + c) + =, k <. k k + k + Důkaz: a) Kombiačí číslo = podle defiice. Hodoty kombiačích( čísel ) dostaeme jestliže do vztahu ( ) dosadíme za k postupě ( )... ( + ) hodoty k = a k =. Je = =!!! = ; = + =. ( )... ( k + ) b) Úpravou vzorce ( ) dostaeme = = k k!

4 ( )... ( k + ) ( k)( k )... = k! ( k)( k )... =! k!( k)!. Jestliže v tomto vztahu dosadíme za k hodotu k, pak ve jmeovateli zlomku dostaeme, že k!( k)! = ( k)!( + k)! = ( k)!k!, což jsou shodé hodoty. c) Vztah dokážeme pomocí vyjádřeí kombiačích čísel, které je uvedeo ve vztahu b). Je pak (! + = k k + ( k)!k! +! [ (k + )]!(k + )! =! [ (k + )]!k! k + ) = k +! = [ (k + )]!(k + )! + ( k)(k + ) = ( + )! + [ (k + )]!(k + )! = k +.8. Pozámka: Pascalův trojúhelík. Vlastost c) z věty ám umoží počítat hodoty kombiačích čísel. Čísla se dají uspořádat do tzv. Pascalova trojúhelíku. Je z ěj patrá jejich symetrie a ásledující jeho řádek dostaeme sčítáím dvou čísel z řádku předchozího. ( ) ( ) ( ) ( Po vyčísleí dostaeme pro kombiačí čísla uvedeé schema. V ěm vidíme, že dolí řádek dostávame jako součty dvou prvků z horího řádku. To ám dovolí efektivě počítat hodoty kombiačích čísel pro ízké hodoty a k Příklad: Jaovská loterie. Z 9 čísel se losuje. Můžeme si koupit lístek, který obsahuje,,, ebo čísel. Lístek vyhrává, pokud obsahuje pouze čísla, která jsou mezi pěti vylosovaými. Na lístek s číslem se vyplácí krát cea lístku. V případě výhry s dvěma čísly (ambo) se vyplácí 7 krát cea lístku. Pro lístek s čísly (tero) je výhra krát cea lístku, pro lístek se čísly (kvatero) je výhra 7 krát cea lístku a pro lístek s čísly (kvitero) je výhra krát cea lístku. Vypočtěte kolik je možých výsledků tahu a kolik z ich připadá a jedotlivé možosti výher. Řešeí: Při tahu vybíráme čísel z 9 a a jejich pořadí ezáleží. Počet všech možostí je počet všech -ti čleých kombiací z 9 a podle vzorce ( ) je rove 6 )

5 9 = = Pokud si koupíme lístek s jedím číslem, pak potřebujeme, aby se toto číslo shodovalo s ěkterým z tažeých. Ostatí čísla mohou být libovolá. Ta se ale losují ze zbývajících 89 čísel a tedy je jejich počet rove ( 89 ) = = 66. Poměr počtu šťastých lístků ku všem (pravděpodobost výhry) je rove = 9 = 8. Lze tedy říci, že v průměru vyhrává každý 8-tý lístek, ale vyplácí se a ěj výhra pouze v ceě lístků. Pořadatel loterie si echává ceu lístků. Pro ostatí možosti výher je teto poměr ve prospěch pořadatele ještě přízivější. V případě lístků se dvěma čísly musí být čísla z tažeých. Zbývající čísla jsou tažea z( 88 ) čísel a jejich počet je tedy rove 88 = = Poměr počtu šťastých lístků ku všem (pravděpodobost výhry) je rove = = 8. Lze tedy říci, že v průměru vyhrává přibližě každý -tý lístek, ale vyplací se a ěj výhra pouze v ceě 7 lístků. Pořadatel loterie si echává ceu lístků. Vypočtěte si poměry šťastých lístků a všech možostí pro zbývající případy lístků se, a čísly. [ 78 ; 8 ; 9968.] Pozámka: S kombiačími čísly se setkáme v pravděpodobosti především v situacích, které odpovídají tzv. biomickému rozděleí. Obecější případ multiomického rozděleí dostaeme, jestliže budeme uvažovat výběry při kterých budeme prvky rozmisťovat do přihrádek a ebude ás zajímat pořadí prvků. Kombiačí číslo odpovídá situaci dvou přihrádek. Jeda, do které ukládáme vybíraé prvky (k prvků) a druhá (původí), ve které zůstaou evybraé prvky ( k prvků)... Věta: Permutace s opakováím. Máme růzých prvků, které máme rozmístit do k, k přihrádek tak, že do m té přihrádky umístíme m prvků, přičemž k =. Potom je počet růzých rozmístěí prvků do přihrádek rove číslu! ( )!!... k!. Důkaz: Při popsaém výběru musíme vyčerpat všechy prvky. Výběrem vlastě provádíme jejich permutaci. Jejich počet je podle vzorce ( ) rove!. Pokud další permutaci získáme pouze výměou prvků v ěkteré s přihrádek, pak je to z pohledu rozdělováí tetýž výběr. Takových permutací můžeme provést v m té přihrádce m!, m k. Podle obecého pravidla komiatoriky je takových výmě celkem!.!... k!. Počet růzých možých rozděleí prvků je rove poměru všech možostí ku počtu shodých. To je ale uvedeý vzorec. Všimeme si, že v případě dvou přihrádek je = k, = k a počet výběrů je dá kombiačím číslem. 7

6 Pozámka: Kombiace s opakováím. Uvažujeme výběr ze skupiy druhů předmětů. Ptáme se kolik k tic předmětů můžeme vybrat, když epřihlížíme k pořadí ve skupiě a za růzé výběry se považují ty, které se liší alespoň v jedom předmětu. Počet takových výběrů je dá kombiačím číslem a mluvíme pak o kombiacích s opakováím... Věta: Počet kombiací s opakováím. Počet k kombiací s opakováím z druhů předmětů je rove + k ( + k )! =. k k!( )! Důkaz: Vzorec odvodíme dvěma způsoby, které využíváme při řešeí úloh, které odpovídají popsaému výběru. a) Nejprve si výběr popišme tak, že srováme prvky podle jedotlivých druhů. Výběr popíšeme pomocí symbolů z a tak, že píšeme tolik jediček, kolik obsahuje výběr prvků určítého druhu a potom apíšeme ulu. Pokud výběr prvky ěkterého druhu eobsahuje ásledují v zápise uly za sebou. Např. Symbol zameá, že výběr obsahuje prvky z. skupiy, jede z., žádý ze., tři ze. a jede z. skupiy. Je vidět, že zápis obsahuje k jediček a ul. Jedičky odpovídají prvkům výběru a uly oddělují jedotlivé druhy. Každému symbolu odpovídá jede výběr a každý výběr je jedozačě urče takovým symbolem. Počet výběrů je tedy rove počtu symbolů, které obsahují k jediček a ul. Te je ale rove počtu permutací s opakováím kdy + k prvků rozdělujeme do dvou skupi, které obsahují buď uly a ebo jedičky. Podle vzorce ( ) je teto počet rove ( + k )! + k + k = k!( )! k![( + k ) k]! =. k b) Jiý způsob odvozeí může odpovídat jié modelové situaci. Uspořádejme výběr tak, že prvky stejého druhu jsou za sebou. Dostaeme tak posloupost čísel,,...,k. Nyí k pořadovým číslům prvků z druhé skupiy přičteme, k pořadovým číslům prvků z třetí skupiy přičteme a postupujeme tak dále až k pořadovým číslům posledí skupiy přičteme číslo. Dostaeme tak vybraou rostoucí posloupost k čísel z poslouposti {,,..., +k }. Každá taková posloupost odpovídá jedozačě jedomu výběru požadovaé vlastosti. Počet takových posloupostí, tedy i výběrů, je rove počtu k čleých kombiací z + k prvků, což je číslo ze vzorce ve větě... Příklad: V cukrárě prodávají čtyři druhy zákusků, špičky, větríky, věečky a kremrole. Kolika způsoby lze akoupit 8 zákusků. Řešeí: Podle předchozích úvah se jedá o 8 čleé kombiace s opakováím ze prvků. Je tedy k = 8, = a + k = 8 + =. Jejich počet je rove kombiačímu číslu + k = =! k 8 8!.! =..9 = 6.. Pozámka: Výběry s podmíkami. V ěkterých úlohách řešíme výběry za omezujících podmíek. Výběry jsme často popisovali pomocí posloupostí z a, kdy zameá, že prvek eí vybrá a ozačuje výběr prvku. Řešme situaci takovou, že pokud z prvků v řadě jede vybereme esmíme již vybrat jeho souseda. Zameá to, že výběr je urče posloupostí a takovou, že se v í evyskytou dvě za sebou. Hledejme kolik je takových výběrů... Věta: Růzých posloupostí z a, které obsahují ( ul ) a k jediček, k +, + ( + )! a ve kterých ejsou žádé dvě jedičky za sebou je celkem = k ( k + )!k!. 8

7 Důkaz: Podmíka k + je zřejmá. Pokud by bylo více ež musí být alespoň dvě za sebou. Zapišme si yí za sebou. Potom můžeme jedotlivé umísťovat po jedé vždy před. Dostaeme možostí. Další možost je, že můžeme umístit za posledí. Je tedy k dispozici celkem + pozic, ze kterých vybíráme k míst. Jejich počet je rove počtu k čleých kombiací z + prvků, což je vzorec z věty... Příklady k procvičováí.. Příklad: Z města A do města B vede růzých cest, z města B do města C vedou cesty a z města C do města D cesty. Kolik růzých cest vede z města A do města D. Řešeí: Počet růzých cest určíme z pravidla součiu. Je celkem..= cest.. Příklad: Kolika způsoby lze vybrat jedu souhlásku a jedu samohlásku ze slova lavice a ze slova statistika. Řešeí: Ve slově lavice jsou růzé souhlásky a růzé samohlásky. Podle pravidla součiu je tedy.=9 možých výběrů. Ve slově statistika jsou růzé samohlásky a růzé souhlásky. Je tedy celkem.=6 výběrů.. Příklad: Kolika způsoby je možé vybrat a šachovici dvě pole tak, aby platilo: a) pole jsou růzá; b) pole mají růzou barvu; c) pole eleží v jedé vertikále a ai v jedé horizotále; d) splí podmíku z c) a mají růzou barvu. Řešeí: a) Šachovice má celkem 6 polí, tudíž podle pravidla součiu je 6.6= možostí výběru. (-čleé variace bez opakováí z 6 prvků.) b) Šachovice má polí bíle barvy a polí čeré barvy. Podle pravidla součiu je celkem.= možostí. c) Prví pole vybereme ze všech 6 polí. Pro výběr druhého vyecháme ze šachovice sloupec a řádek. Zbyde ám čtverec, který má 7 krát 7, tedy 9 polí. Podle pravidla součiu je celkem 6.9= 6 možostí. d) Prví pole vybereme ze všech 6 polí. Pro výběr druhého vyecháme ze šachovice sloupec a řádek. Zbyde ám čtverec, který má 7 krát 7, tedy 9 polí. Z těchto polí je ale pouze polí druhé barvy ež jsme zvolili poprvé. Podle pravidla součiu je celkem 6.= 6 možostí.. Příklad: Kolik růzých čtyřciferých čísel je možé apsat pomocí číslic,,,..., 9 tak, aby: a) číslo ezačíalo ; b) číslo ezačíalo a všechy cifry byly rozdílé. Řešeí: Použijeme pravidlo o součiu. a) Prví cifru můžeme vybrat 9 způsoby (eí dovolea ) a každou další způsoby. Je tedy celkem 9...= 9 růzých čísel. b) Prví cifru můžeme vybrat 9 způsoby (eí dovolea ), druhou také 9 způsoby (přidáme a vyecháme použitou cifru), třetí 8 a čtvrtou 7 způsoby (vždy v dalším kroku vyecháme použité cifry). Je celkem = 6 růzých čísel. 9

8 . Příklad: Jede člověk má 6 detektivek a druhý má 8 historických romáů. Kolika způsoby si mohou vyměit a) po jedé kize; b) po dvou kihách. Řešeí: Použijeme pravidlo součiu. Při výměě jedé kihy má prví 6 možostí a druhý ( 8. Celkem ) je tedy 6.8=8 možých výmě. V případě výměy dvou kih má 6 prví = 6. 8 = možostí a druhý má = 8.7 = 8 možostí. Je tedy.. celkem.8= možostí růzých výmě. 6. Příklad: Ze souboru karet vybereme. Kolik je možostí, že ve vybraé skupiě je: a) alespoň jedo eso; b) právě dvě esa. Řešeí: Je celkem =! = 8 možostí všech výběrů. Z ich je!.! 8 = 8! = těch, které eobsahují žádé eso,eboť musíme vybrat!.8! karet ze 8. Je tedy = možostí, kdy je ve výběru alespoň jedo eso. 8 Právě dvě esa můžeme vybrat celkem =. 8. 8! = způsoby. Vybíráme totiž esa ze a 8 karet ze zbývajících 8!.! Příklad: Máme k dispozici 7 růzých korálků, které avlékeme a šůru a dostaeme áhrdelík. Kolik růzých áhrdelíků můžeme sestavit. Řešeí: Náhrdelík je urče pořadím korálků. Růzých pořadí 7 korálků je tolik, kolik je jejich permutací, tedy 7!=. Ale ty permutace, které dostaeme pootočeím určí stejý áhrdelík. Ke každé permutaci takto získáme ještě 6 dalších, tedy celkem 7 permutací vždy určí týž áhrdelík. Je tedy počet áhrdelíků rove 7! 7 = 6! = 7. Když si ale takový áhrdelík akreslíme, vidíme, že jej můžeme převrátit kolem svislé osy a dostaeme hrdelík, který odpovídá jié permutaci korálků. Bude tedy celkový počet áhrdelíků polovičí, tudíž je rove Příklad: Kolika způsoby můžeme rozestavit 8 věží a šachovici. Řešeí: Jedié omezeí v této úloze je, že a poli smí být postavea ejvýše jeda věž. Zameá to, ( že ze ) 6 polí jich vybíráme 8. Počet je rove počtu 8-čleých kombiací 6 ze 6, tudíž = = ! 9. Příklad: Na šachovici máme rozestavit 8 věží tak, aby se avzájem eohrožovaly. Kolik je takových možostí. Řešeí: Ze zadáí úlohy vyplývá, že v každém sloupci a každém řádku smí být postavea jediá věž. Jestliže očíslujeme řádky a sloupce od do 8, třeba z levého dolího rohu doprava a ahoru, pak je postaveí věže v každém sloupci určeo číslem řádku, tedy dvojicí (k, a k ), k =,,..., 8 a čísla {a, a,..., a 8 } jsou permutací čísel,,...,8.

9 Každá z permutací určí jedo dovoleé postaveí věží a jejich počet je tedy rove počtu všech permutací 8 prvků, tudíž je 8!= možostí.. Příklad: Ve sportce se losuje 6 čísel ze 9 a potom ještě jedo číslo premiové. Výhra. pořadí zameá uhodout všecha tažeá čísla a výhra. pořadí vyžaduje uhádout prvích 6 čísel. Vypočtěte kolik je všech možostí losovaých čísel. Kolik je mezi imi těch, které odpovídají výhře. pořadí. Řešeí: V prví části tahu vybíráme 6 čísel ze 9 a ezáleží a pořadí. Jejich počet je tedy rovem počtu 6-čleých kombiací ze 9, tudíž 9 = = ! Ty odpovídají výhře. pořadí. Pro. pořadí ještě volíme další číslo a pro tuto volbu máme k dispozi zbývajících čísel. Všech možostí je tedy = Příklad: Krotitel šelem přivádí do maéže lvů a tygry. Kolika způsoby je může seřadit, jestliže esmí jít dva tygři za sebou. Řešeí: Úloha je podobá úloze o výběrech s podmíkami, ale zde záleží a pořadí zvířat, která jsou rozlišitelá. Způsob řešeí je ale shodý jako u počtu posloupostí z a. Nejprve seřadíme lvy a to můžeme udělat celem!= způsoby. Nyí můžeme umístit tygra vždy po jedou před lvy, tedy je možostí a další místo je za posledím lvem. Máme celkem 6 míst pro tygry. Protože jsou od sebe rozlišitelí, záleží tedy a pořadí a počet možých výběrů je počet čleých variací ze 6. Te je rove 6...=6. Podle pravidla o součiu je celkový počet možostí jak seřadit šelmy rove.6=.. Příklad: Na dvoře krále Artuše sedí u kulatého stolu rytířů. Každý z ich má epřátele a ti jsou u stolu jeho sousedy. Na výpravu k záchraě lady Giervy je třeba vybrat rytířů tak, aby mezi imi ebyli epřátelé. Kolik je možostí výběru. Řešeí: Úloha je podobá předchozí, liší se v tom, že rytíři ejsou v řadě, ale sedí v kruhu a v tom, že ezáleží a pořadí v jakém rytíře do skupiy vybereme. Řešeí provedeme tak, že kruh a jedom místě přetrheme. Mezi rytíři je ejvíce ctě sir Lacelot. Pro výběr máme dvě možosti. Ve skupiě je sir Lacelot, ebo eí.. ve skupiě je sir Lacelot. Potom tam esmí být jeho oba ( sousedé. ) Zbývá ám vybrat 6 rytíře ze skupiy 9 zbývajících. To lze udělat celkem = 6... = způsoby.... Je celkem 9 rytířů, vybereme a e. Ozačíme-li vybraé a evybraé, je počet výběrů rove počtu posloupostí ze čtyř a pěti takových, že v í ejsou dvě za sebou. Podle odstavce o výběrech z podmíkami je těchto možostí uvedeý počet.. ve skupiě eí sir Lacelot. Pak ho z řady vyecháme a zůstae( ám ) rytířů v řadě, 7 ze kterých jich vybíráme. Obdobě jako v. případě dostaeme = = možostí výběrů. Je zde pět a šest. Celkový počet výběrů je tedy +=6.