můžeme toto číslo považovat za pravděpodobnost jevu A.

Transkript

1 RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout áhodé rocesy. Náhodé okusy: rocesy, jejichž výsledek elze ředem jedozačě určit (je ejistý); závisí jedak a daých odmíkách, ři kterých je rovádě, jedak a áhodě. Teorie ravděodobosti se zabývá ouze áhodými okusy, které jsou za stejých odmíek oakovatelé a u ichž je mělivost výsledků odstatá a vykazuje určitou zákoitost. Hromadé áhodé jevy: výsledky oakovatelých áhodých okusů (začeí,, atd.). ravděodobost áhodého jevu: ravděodobost áhodého jevu je číslo (), které lze iterretovat jako míru možosti astoueí áhodého jevu.. iomatická teorie ravděodobosti: ravděodobost je fukce, která každému áhodému jevu řiřazuje reálé číslo, řičemž musí být slěy ásledující aiomy ) 0 ) (...)... 3). (ro eslučitelé jevy). Klasická defiice ravděodobosti: ravděodobost jevu se rová odílu říadů řízivých astoueí jevu a očtu všech říadů možých, jsou-li všechy stejě ravděodobé. m kde m je očet říadů řízivých je očet říadů možých. 3. Statistická defiice ravděodobosti: Jestliže ři rostoucím očtu oakováí áhodého m okusu () relativí četost kolísá ve stále užších mezích kolem určitého čísla, můžeme toto číslo ovažovat za ravděodobost jevu. relativí četost jevu m kde m je očet astoueí jevu je očet oakováí okusu. - odhad ravděodobosti áhodého jevu a základě výsledků, získaých ři mohoásobém oakováí áhodého okusu - tato defiice má aosteriorí charakter.

2 ravidla ro očítáí s ravděodobostmi odmíěá ravděodobost je odmíěá ravděodobost jevu vzhledem k jevu, tj. ravděodobost astoueí jevu za ředokladu, že astal jev., ro > 0, ro > 0. ravidlo o ásobeí ravděodobostí: ravděodobost současého astoueí jevů a (tz. jejich růiku) je rova součiu eodmíěé ravděodobosti jedoho jevu a odmíěé ravděodobosti druhého jevu vzhledem k rvímu jevu.. Zobecěí ravidla o ásobeí ravděodobostí ro dva a více jevů: 3 i i. Nezávislost jevů Jestliže, ak jev ezávisí a jevu. Jestliže, ak jev ezávisí a jevu. Nutá a ostačující odmíka (defiice) ezávislosti dvou jevů:. Zjedodušeí ravidla o ásobeí ravděodobostí ro ezávislé jevy: i i 3.

3 ravidlo ro sčítáí ravděodobostí: ravděodobost sjedoceí jevů a je rova součtu ravděodobostí těchto jevů, zmešeé o ravděodobost jejich růiku.. Disjuktí jevy Jestliže 0, ak jevy a jsou disjuktí. Zjedodušeí ravidla ro sčítáí ravděodobostí ro disjuktí jevy:. 3

4 Náhodá veličia Náhodá veličia - veličia, jejíž hodota je jedozačě určea výsledkem áhodého okusu - vlivem áhodých čiitelů může abýt růzých hodot, roto elze její kokrétí hodotu řed rovedeím áhodého okusu jedozačě určit - symbolika, Y, atd. - říklady: očet bodů, které adou a hrací kostce, očet oruch určitého zařízeí, doba čekáí a obsluhu v určité rodejě, atd. Záko rozděleí áhodé veličiy - ravidlo, které každé hodotě ebo možiě hodot z každého itervalu řiřazuje ravděodobost, že áhodá veličia abude této hodoty ebo hodoty z určitého itervalu - je to ravděodobostí model chováí emirické áhodé veličiy. Náhodou veličiu okládáme za daou, okud záme všechy její možé hodoty a ravděodobosti výskytu každé z ich. ois rozděleí áhodé veličiy. Diskrétí áhodá veličia Distribučí fukce: udává ravděodobost, že NV abude hodoty meší ebo rové. F t t ravděodobostí fukce: udává ravděodobost, že NV abude hodoty rové., kde je rostor hodot NV, tj. možia možých hodot NV.. Sojitá áhodá veličia Distribučí fukce F f t dt Hustota ravděodobosti f df F ; f d d 4

5 Charakteristiky áhodých veliči - číselé hodoty, jejichž cílem je kocetrovat (zestručit) ois NV - výstižý ois základích vlastostí rozděleí NV. odle vlastosti rozděleí, kterou oisují, rozezáváme:. Charakteristiky olohy. Charakteristiky variability 3. Charakteristiky šikmosti 4. Charakteristiky šičatosti.. Charakteristiky olohy Středí hodota = očekávaá hodota (z lat. eectatis) a) Diskrétí NV b) Sojitá NV f d odus ˆ a) Diskrétí NV odus je hodota NV, která má ejvětší ravděodobost výskytu. ˆ ma b) Sojitá NV odus je bod, v ěmž je hustota ravděodobosti maimálí. Je to lokálí maimum hustoty ravděodobosti f(). ˆ f Kvatily 0 oužívají se ředevším kvatily sojité áhodé veličiy. Hodota F je 00 rocetím kvatilem NV, jestliže ro i latí:, kde je hodota NV, kterou hodoty NV eřekročí s ravděodobostí 00 %. 5

6 6. Charakteristiky variability Roztyl D a) Diskrétí NV D b) Sojitá NV d f d f d f D Směrodatá odchylka D

7 Některá rozděleí áhodých veliči. Rozděleí diskrétích áhodých veliči lterativí rozděleí () - NV je očet astoueí áhodého jevu v jedom áhodém okusu - sledujeme ouze skutečost, zda áhodý jev astal či eastal - je to rozděleí ula-jedičkové (alterativí) NV - rozděleí má arametry:... ravděodobost astoueí sledovaého jevu v okusu. ravděodobostí fukce, = 0, ; 0 < < 0 jiak. ; 0 D. ; 0 < < Naříklad: očet výskytů ežádoucích účiků léku u jedoho léčeého acieta, očet šestek, které adou ři jedom hodu kostkou, atd. iomické rozděleí i ( ) - NV je očet výskytů áhodého jevu v ezávislých áhodých okusech, je-li ravděodobost astoueí jevu ve všech okusech stejá ( ) - rozděleí má arametry:... očet ezávislých okusů... ravděodobost astoueí sledovaého jevu v okusu. ravděodobostí fukce, = 0,,..., ; 0 < < 0 jiak. D. Naříklad: očet děvčat, arozeých v emocici během jedoho de, očet šestek, které adou ři osmi hodech kostkou, očet modrých kuliček, vybraých v ěti tazích, atd. 7

8 oissoovo rozděleí o () - NV je očet výskytů áhodého jevu v určitém časovém itervalu délky t (tz. za jedotku času), v jedotce lochy ebo objemu (v rostorové jedotce) - rozděleí má arametr:... středí hodota rozděleí. ravděodobostí fukce e!, = 0,,,... ; 0 0 jiak. ; D. Naříklad: očet oruch stroje za jedu směu, očet telefoích hovorů a ústředě za jedu hodiu, očet vad a m koberce, atd. roimace iomického rozděleí rozděleím issoovým odmíky: očet okusů musí být dostatečě velký (alesoň 30) a ravděodobost velmi malá (alesoň 0,). ři aroimaci udává ravděodobostí fukce řibližou ravděodobost, že ve velkém očtu ezávislých áhodých okusů se sledovaý jev vyskyte -krát, je-li ravděodobost výskytu jevu v jedom okusu velmi malá. Naříklad: očet vadých výrobků ve velké sérii, je-li ravděodobost výroby zmetku velmi malá. Hyergeometrické rozděleí Hy (N ) - oužívá se v říadě závislých okusů, tz. ři výběru bez vraceí - NV je očet vybraých rvků se sledovaou vlastostí ři závislých okusech - má 3 arametry: N... rozsah souboru, z ěhož vybíráme... očet rvků v základím souboru, které mají sledovaou vlastost... rozsah výběru (tj. očet závislých okusů). ravděodobostí fukce N N N ; N D. N N N Naříklad: oužití ři kotrole jakosti u malého očtu výrobků ebo v říadě, kdy kotrola má ráz destrukčí zkoušky (výrobek je ziče). 8

9 . Rozděleí sojitých áhodých veliči Rovoměré (rektagulárí) rozděleí R(α; β) - základí sojité rozděleí - hustota ravděodobosti je v itervalu (α, β) kostatí Hustota ravděodobosti: Distribučí fukce: 0 D f, α < < β 0 jiak. F, =, α < < β =,. Naříklad: chyba ři zaokrouhlováí čísla, doba čekáí a uskutečěí jevu, který se oakuje v ravidelých itervalech. oeciálí rozděleí ( ) - NV je doba čekáí do astoueí sledovaého jevu, může-li teto jev astat v kterémkoli okamžiku - arametr = očátečí doba, během které sledovaý jev astat emůže - má výzam v aalýze doby řežití - ejjedodušší model ro délku doby do výskytu sledovaé události (ař. úmrtí) - jedoduchost sočívá v kostatí itezitě rocesu - systém emá aměť a doba od začátku sledováí tak eovlivňuje itezitu rocesu. / Hustota ravděodobosti: / Distribučí fukce: F e D. f e,, > 0, 0 0 jiak.,. Naříklad: doba čekáí zákazíka a obsloužeí, doba životosti řístroje, u ěhož dochází k oruše z áhodých říči (ikoli v důsledku ootřebeí), doba realizace dvou o sobě jdoucích telefoích hovorů. 9

10 oužití: V aalýze řežití, v teorii solehlivosti a životosti, v teorii hromadé obsluhy (tzv. teorii frot), v teorii obovy. ozámka: Zobecěími eoeciálího rozděleí, která umožňují závislost itezity rocesu a čase, jsou Weibullovo a gamma rozděleí. Normálí rozděleí N ( ) - je vhodé tam, kde kolísáí NV je zůsobeo velkým očtem eatrých a vzájemě ezávislých vlivů - omocí N ( ) lze za jistých odmíek aroimovat řadu jiých rozděleí, a to i esojitých - setkáváme se s ím u řady kliických a biologických zaků. Naříklad: výška člověka, áhodá chyba měřeí, atd. Hustota ravděodobosti: Distribučí fukce: f e, - < <, - < <, > 0 F t e dt, - < <. D. - hustota ravděodobosti je zvoovitá křivka (tzv. Gaussova křivka) - je symetrická odle a její tvar závisí a arametru - ormálí rozděleí je jedovrcholové, vrchol je v bodě - = modus = mediá. Normováí NV s ormálím rozděleím Výočet distribučí fukce ormálího rozděleí je obtížý, avíc by bylo uto očítat hodotu distribučí fukce ro každý seciálí říad (tj. ro růzá, μ, σ ), roto se z důvodů usaděí výočtu trasformuje áhodá veličia, která má ormálí rozděleí s arametry μ a σ, a ormovaou veličiu U, která má ormovaé ormálí rozděleí. Normovaé ormálí rozděleí N (0 ) - ůvodí NV, která má N ( ), trasformujeme a NV U, která má N (0 ) - vzike ormovaá veličia U, která má ulovou středí hodotu a jedotkový roztyl - hodoty distribučí fukce a kvatilů N (0 ) je možo tabelovat. U, U 0, U D. 0

11 Vztah ro výočet F(): F u e u Hustota ravděodobosti: u Distribučí fukce: u e dt u t, ro - < u <. Tabulky ormovaého ormálího rozděleí Vzhledem k symetrii N (0 ) odle bodu u 0 latí ásledující vztahy: u u u u u u Z důvodu symetrie N (0 ) kolem 0 jsou tabelováy hodoty distribučí fukce ro u 0 a kvatily ouze ro 0, 5. u ouze Logaritmicko-ormálí rozděleí LN ( ) - NV má logaritmicko-ormálí rozděleí v říadě, kdy NV Y = l má ormálí rozděleí N ( ) - to zameá, že NV je rostoucí fukcí NV Y, tedy =e Y - je vhodé v situacích, kdy rozděleí je sešikmeé, data jsou tedy jedostraě ohraičea Naříklad: říjem osob s vysokoškolským vzděláím, výdaje domácostí a kulturu během určitého časového itervalu, atd. Hustota ravděodobosti: l f e, > 0 = 0 jiak. Distribučí fukce: F l t e dt, > 0. e e e D.

12 Rozděleí ěkterých fukcí áhodých veliči - mají zvláští výzam ro řešeí ěkterých matematicko-statistických úloh - ulatňují se síše v teoretické statistice ež v řírodě - stejé začeí ro áhodé veličiy i jejich hodoty - v rai se oužívají ředevším kvatily těchto rozděleí, jsou tabelováy. Rozděleí - NV je součtem ν ezávislých NV s ormovaým ormálím rozděleím - rozděleí má jede arametr: očet stuňů volosti - kvatily jsou tabelováy ro,,..., 30 a ro vybraé ravděodobosti. U i i U U U Rozděleí Studetovo (t) t (ν) - NV t je odílem dvou ezávislých áhodých veliči, a to NV U s rozděleím N (0 ) a NV s rozděleím - rozděleí má jede arametr: očet stuňů volosti - kvatily jsou tabelováy ro,,..., 30 a ro vybraé ravděodobosti - oužívá se ředevším ro výběry malého rozsahu ( < 30) - je symetrické odle bodu t = 0, ro kvatily roto latí vztah t t. t U Rozděleí Fisherovo (Sedecorovo) F (ν ; ν ) - NV F je odílem dvou ezávislých áhodých veliči, a to NV s rozděleím a NV s rozděleím - má dva arametry: očet stuňů volosti NV (v čitateli) očet stuňů volosti NV (ve jmeovateli). F

13 Oerace s áhodými jevy - vztahy mezi áhodými jevy graficky zázorňují tzv. Veovy diagramy.. Jev je částí jevu ; z jevu lye jev (imlikace); astoueí jevu má vždy za ásledek astoueí jevu.. Jevy a jsou si rovy; a současě. 3. C Jev C je růik jevů a (logický souči); jev C astae rávě tehdy, astae-li současě jev i jev. 4. C Jev C je sjedoceí jevů a (logický součet); jev C astae rávě tehdy, astae-li alesoň jede z jevů a. 5. C Jev C je rozdíl jevů a ; jev C astae rávě tehdy, když jev a současě jev eastae. 6. je jev jistý Jev, který musí astat vždy. Ø je jev emožý Jev, který astat emůže. Kombiatorika ermutace! Variace bez oakováí V k! k! Variace s oakováím V k k Kombiace C k k! k! k! 3