Identifikační údaje školy Číslo projektu Číslo a název šablony Autor Tematická oblast Číslo a název materiálu Anotace Vytvořeno 18.5.2013 Určeno pro Přílohy VÝUKOVÝ MATERIÁL Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 CZ.1.07/1.5.00/34.1076 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT 0105 Miloš Kafka Obor reálných čísel VY_32_INOVACE_0105_0101 Obor reálných čísel výkladová a procvičovací část Zopakování základních aritmetických operací s reálnými čísly. Matematika 1. ročník, studijní a učební obory Bez příloh Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Miloš Kafka.
Obor reálných čísel Organizace výuky: Tento materiál lze využít v elektronické i tištěné podobě, aby mohlo být dosaženo samostatné individuální i skupinové práce. Učitel má možnost žákům předat i výsledky úloh, čímž lze docílit stavu, kdy si žáci sami budou ověřovat správnost svých postupů a tak se samostatně zdokonalovat bez přílišné pozornosti učitele. Ten tak má více času k pomoci pomalejším žákům. Poznámky: Forma textového dokumentu je zvolena proto, aby bylo umožněno žákům vpisovat si své poznámky v elektronické podobě. Samozřejmě je možné materiál tisknout a vpisovat poznámky i v neelektronické podobě.
Základní aritmetické operace s reálnými čísly Sčítání 93,05 + 17,94 110,99 1. Čísla zarovnat tak, aby byly desetinné čárky na stejné pozici. 2. Při sčítání se postupuje stejně, jako v případě sčítání celých čísel. a) Sčítáme čísla pod sebou odzadu. b) Pokud je výsledek roven nebo větší než 10, zapíšeme pouze druhou cifru (jednotky) a k dalšímu součtu čísel připočteme 1. c) 5 + 4 = 9 d) 0 + 4 = 9 e) 3 + 7 = 10; zapíšeme tedy 0 a 1 si pamatujeme a připočteme ji při dalším součtu f) 9 + 1 = 10; 10 + 1 = 11 3. Desetinná čárka ve výsledku bude na stejné pozici, jako u zadaných čísel. Odčítání 93,05-17,94 75,11 1. Čísla zarovnat tak, aby byly desetinné čárky na stejné pozici. 2. Při odčítání se postupuje stejně, jako v případě odčítání celých čísel. a) Odečítáme spodní číslo od vrchního Někdy s pomáháme slovy: 4 a kolik chybí do 5 b) Pokud je ale vrchní číslo menší než spodní, připočte se k vrchnímu 10 a teprve pak proběhne odečítání. V takovém případě se ale k dalšímu spodnímu číslu připočte 1. c) 5 4 = 1 d) 0 je menší než 9 a proto se k 0 připočte 10. 10 9 = 1 e) (7 + 1) = 8 f) 3 je menší než 8 a proto se ke 3 připočte 10. 13 8 = 5 g) (1 + 1) = 2 9 2 = 7 3. Desetinná čárka ve výsledku bude na stejné pozici, jako u zadaných čísel. Pozn.: V případě, kdy je celé první číslo menší než druhé (např. 12,5 15,5), napiš nejdříve větší číslo (15,5) a pod něj menší (12,5). Ve výsledku pak ale musíš doplnit znaménko mínus. Jde totiž o odečítání většího čísla od menšího a tudíž se logicky dostáváme do záporných čísel. 12,5 15,5 = - 3
Násobení 93,01 7,9 83709 65107 734,779 1. Čísla již nemusí být zapsána tak, aby měla desetinou čárku na stejném místě. 2. Při násobení se postupuje stejně, jako v případě násobení celých čísel. a) Všemi čísly spodního čísla postupně násobíme číslo vrchní. b) Pokud je výsledek roven nebo větší než 10, zapíšeme pouze druhou cifru (jednotky) a k dalšímu součinu čísel připočteme první cifru (desítky). c) 9 1 = 9 d) 9 0 = 0 e) 9 3 = 27; zapíši tedy jen 7 a 2 připočtu k dalšímu součinu. f) 9 9 = 81 81 + 2 = 83 g) Obdobně počítám i s číslem 7. Jen s tím rozdílem, že čísla, která vycházejí po násobení, začínám zapisovat o jednu pozici doprava od předchozího. h) Jednotlivé výsledky následně sečtu. 3. Desetinná čárka ve výsledku bude na tolikáté pozici odzadu, kolik je v obou číslech desetinných míst. V našem případě jde o 3 desetinná čísla (0,1,9). Dělení 33,336 : 7,2 = 333,36 : 72 = 4,63 453 216 1. Pokud je dělitel (číslo, kterým se dělí 7,2) desetinné, je nutné celý příklad upravit. Obě čísla vynásobíme 10, 100, 1000, tak, aby se z dělitele stalo celé číslo. 2. Dále pak postupujeme stejně, jako při dělení celých čísel. 3. V momentě, kdy jsme narazili na desetinnou čárku, nebo nám vyšel nějaký zbytek po celočíselném dělení, zapíšeme do výsledku desetinnou čárku a počítáme dále. a) 333 : 72 = 4 a zbude 45 b) K 45 připíšeme další číslo v pořadí zleva, tedy 3. Jelikož jde o číslo již za desetinnou čárkou, do výsledku zapíšeme desetinnou čárku. 453 : 72 = 6 a zbude 21 c) K 21 připíšeme další číslo v pořadí zleva, tedy 6. 216 : 72 = 3 4. Výpočet dělení končí v případě, kdy nám nezbyl zbytek nebo v případě, kdy jsme dosáhli požadované přesnosti určené počtem desetinných míst.
Zaokrouhlování 1. Napiš postup zaokrouhlování v co nejkratších bodech. Nemusíš využít všechny připravené pozice. 1) 2) 3) 4) 5) 2. Zaokrouhli níže uvedená čísla na takový počet desetinných míst, který je uveden v závorce za daným číslem. Vždy si podtrhni číslo, podle kterého budeš zaokrouhlovat. a) 152,35 (0) => d) 1856,96453 (1) => b) 152,55 (0) => e) 1856,96453 (2) => c) 152,35 (1) => f) 1856,96453 (3) => Zaokrouhlování na platná čísla: Platnými čísly se myslí všechna čísla od 1 do 9 a 0, které stojí za alespoň jedním nenulovým číslem. Př.: Číslo 102,03 má pět platných číslic Př.: Číslo 0,02 má jednu platnou číslici dvojku 3. Zaokrouhli níže uvedená čísla na takový počet platných číslic, který je uveden v závorce za daným číslem. Vždy si podtrhni číslo, podle kterého budeš zaokrouhlovat. a) 150,35 (2) => d) 0,025095 (1) => b) 150,55 (3) => e) 0,025095 (2) => c) 150,35 (4) => f) 0,025095 (3) =>
Příklady k procvičování 1. Vypočítej součet reálných čísel: a) 7,5 + 8,5 = d) 0,02309 + 0,97691 = b) 4,05 + 8,5 = e) 17,0087 + 22, 13 = c) 92,23 + 0,77 = f) 89,92 + 0, 18 = 2. Vypočítej rozdíl reálných čísel: a) 8,5-8,5 = d) 0,02309-0,97691 = b) 8,5-4,05 = e) - 17,0087 + 22, 13 = c) 92,23-0,77 = f) - 89,92 + 0, 18 = 3. Vypočítej násobení reálných čísel: a) 8,5 8,5 = d) 182,03 0,45= b) 8,5 4,05 = e) (- 17,0087) 22, 13 = c) 92,23 0,77 = f) (- 89,92) (- 0, 18) = 4. Vypočítej dělení reálných čísel: a) 8,5 : 8,5 = d) 12,03 : 3,2= b) 16,2 : 4,05 = e) (- 5,03) : 2,3 = c) 0,308 : 0,77 = f) (- 2,2302) :(- 0, 18) = Slovní úlohy 1. Dva zahrádkáři sklízeli jablka. První sklidil 40,5 kila a druhý 27,75 kila. a) Kolik jablek sklidili dohromady? b) O kolik méně sklidil druhý zahrádkář? 2. Táta se chce připravit na cestu na dovolenou a tak jsi s tátou zajel(a) na benzínku natankovat plnou nádrž. Palubní počítač ukazuje, že je v nádrži 16,7 litrů a nádrž automobilu má objem 60 litrů. a) Kolik litrů natankujete? b) Kolik bude natankovaný benzín stát před zaokrouhlením ceny, když jeden litr stojí 35,65 korun? c) Kolik litrů můžete natankovat do desetilitrového kanistru, když tátovi zbylo 250 korun? 3. Chceš si koupit čtyři bílé jogurty, z nichž každý stojí 7,80. Jaká bude cena nákupu před zaokrouhlením? 4. Cestou ze školy máš domů koupit dvě kila jablek. Kolik potřebuješ korun, když jedno kilo stojí 39,9? 5. Rozhledna je vysoká 31,62 m a vedou na ni schody vysoké 15,5 cm. Kolik schodů budeš muset vyjít?
6. V kapse máš 16 korun. Kolik můžeš koupit jablek, když jedno váží cca 150 g a cena za jedno kilo jablek je 25,9? 7. Ke snídani a svačině jsi si koupil(a) 10 rohlíků (jeden za 2,5), 150 g debrecínské pečeně (100 g za 14,9) a čtvrt kila jablek (1 kg za 25,9). Kolik jsi zaplatil(a) za nákup po zaokrouhlení ceny? 8. Hodinový pronájem tělocvičny stojí 200 korun. Kolik zaplatí každý z vás, když se vás sešlo jedenáct a hráli jste dvě hodiny? Cenu zaokrouhli na celé číslo.
Výsledky Příklady k procvičování 1. a) 16; b) 12,55; c) 93; d) 1; e) 39,1387; f) 90,1 2. a) 0 b) 4,45; c) 91,46; d) - 0,95382; e) 5,1213; f) -89,74 3. a) 72,25; b) 34,425; c) 71,0171; d) 81,9135; e) -376,402531; f) 16,1856 4. a) 1; b) 4; c) 0,4; d) 3,759375; e) -2,1869; f) 12,39 Slovní úlohy 1. a) 68,25 kg; b) 12,75 kg 2. a) 43,3 l; b) 1543,645 Kč; c) 7,012 l 3. 31,2 Kč 4. 79,8 Kč 5. 204 schodů 6. 4,12, tedy 4 ks. jablek 7. 54 Kč 8. 36 Kč
Zdroje BUŠEK, J., CALDA, E. Matematika pro gymnázia Základní poznatky z matematiky. 3. vyd. Praha : Prometheus, 1999. ISBN 80-7196-146-9.