-1- Kozultace z předmětu MATEMATIKA pro čtvrtý ročík dálkového studia 1) Základy procetového počtu ) Poslouposti a jejich využití ve fiačí matematice 3) Úlohy ekoomického charakteru 4) Úlohy jedoduchého úrokováí 5) Úlohy složeého úrokováí 6) Spořeí, spláceí dluhů 7) Základí pojmy užívaé v teorii pravděpodobosti 8) Pravděpodobosti jevů 9) Sčítáí pravděpodobostí 10) Doplěí a shrutí učiva 1. pololetí 11) Základí pojmy ve statistice 1) Statistický soubor 13) Charakteristika statistického souboru 14) Základí plaimetrické pojmy 15) Základí stereometrické pojmy 16) Rovié obrazce 17) Výpočty objemů, povrchů, hmotostí těles 18) Základí možiová termiologie 19) Výrok a jeho pravdivostí hodota 0) Doplěí a shrutí učiva Vyučující: RNDr. Věra Schuhová Zkoušeí z matematiky a koci každého pololetí se skládá z písemého testu doba trváí asi 45 miut - a ásledého ústího zkoušeí. Absolvováí písemého testu je utou podmíkou k tomu, aby studet mohl vykoat ústí zkoušku, k íž se dostaví osobě a přiese si studijí průkaz. Teprve po jejím absolvováí může být hodoce z matematiky. Doporučeá literatura (pro celé studium): ( 1 ) MATEMATIKA - přehled středoškolského studia, edice Maturita(N. Kubešová, E.Cibulková), ( ) ODMATURUJ Z MATEMATIKY akladatelství Didaktik 1. díl rozsáhleji je zde teorie, doporučuji hlavě pro ty, kteří uvažují o maturitě z matematiky, ( 3 ) Matematika v kostce pro středí školy (Z. Vošický), ( 4 ) Matematika pro SOŠ a studijí obory SOU (kol.autorů-odvárko, Calda, ) 1. 6.část, určeo spíše pro deí studium ( 5 ) MFCH tabulky pro středí školy, ( 6 ) Matematika pro etechické obory SOU 1. - 4. díl kolektiv autorů atd. dále existují růzé sbírky úloh k probíraé tematice, řešeé příklady i teorii lze hledat i a iteretu (matematika po lopatě, matematika o lie atd.)
-- Základy fiačí matematiky Úrok a úroková míra Úrok je odměa jako áhrada za dočasou ztrátu kapitálu, za riziko a za ejistotu, dlužík to bere jako ceu za získáí úvěru úroková míra je vyjádřeí úroku v % z hodoty kapitálu za časové období Doba splatosti je čas, po který je kapitál ulože ebo zapůjče Daň z úroku je procetuálí část úroku, jejíž výši určuje stát 1) Baka poskytla podikateli úvěr ve výši 3 50 000 Kč a jede rok s úrokovou mírou 14,75 %. Kolik koru podikatel bace zaplatí? 3 50 000.(1 + 0,1475) = 3 79 375 Kč ) Podikatel uložil do baky a termíovaý účet částku 114 000 Kč a jede rok, úroková míra je,15%, z vypočítaého úroku baka vyplatí podikateli 85% a zbylých 15% odvede státu jako daň. Vypočítejte, kolik čií úrok před i po zdaěí 0,015.114 000 = 451 Kč 0,85. 451 = 083,35 Kč 3) Podikatel měl zaplatit zálohu a daň z příjmu ve výši 13 500 Kč, a to ejpozději do 15. 1. 007. S placeím se však opozdil a zaplatil až 8.. 008. Fiačí úřad mu vyměřil peále, které deě čií 0,1% z dlužé částky. Peále se počítalo od 16. prosice 007 do 7.. 008. O kolik dí se podikatel opozdil s placeím a kolik Kč čiilo peále celkem? prosiec 15 dí, lede 30 dí, úor 7 dí = 5 dí 0,001. 13 000. 5 = 6 890 Kč Jedoduché úročeí je to takový způsob úročeí, při kterém se úroky počítají stále z počátečího kapitálu t u = i.. K 0. m úrok před zdaěím, u 1 = k. u úrok po zdaěí 360 K 0 je počátečí kapitál, i je ročí úroková míra, k je zdaňovací koeficiet, t je počet dí úrokovacího období, m je počet úrokovacích období Při výpočtu se započítává je jede z krajích dů každý měsíc má 30 dí, rok má 360 dí 4) Na začátku roku jsme uložili a vkladí kížku částku 35 000 Kč. Baka úročí vklad s úrokovou mírou,3% jedou ročě, vždy a začátku ásledujícího roku, úrok převádí a áš běžý účet (a kížce tedy zůstává je původí částka). Kolik Kč čií úrok po zdaěí za tři roky? u 3 = 0,85.0,03.35 000.3 = 05?75 Kč 5) Kliet baky uložil de 5.. částku 1 000 Kč a termíovaý účet a tři měsíce, úroková míra čií 1,9%, úrokovací doba jsou tři měsíce. Kolik koru připsala baka klietovi a běžý účet celkem, jestliže termíovaý účet byl již sedmkrát zúroče? 90 u7 = 0,85.0,019..1500.7 = 607, 64Kč 360
-3-6) Kliet baky uložil de 5. 4. 008 a kížku částku 75 000 Kč. Peíze si přišel vybrat 8. 10. 008, úrokovací míra je,1%. Vypočítejte úrok po zdaěí a celkovou částku, kterou kliet od baky obdržel ejprve doba: (10-4).30 + (8-5) = 183 183 u1 = 0,85.0,01..75000.1 = 680, 53Kč, K = 75 000 + 680,53 = 75 680,53 Kč 360 Složeé úročeí Úroky se přičítají k již dosažeému kapitálu a spolu sím se dále úročí. Platí: t m K m = K 0.(1 + k. i. ) pro celkový kapitál, 360 m pro celkový úrok =. t u m K m K 0eboliK 0 1 + k. i. 1 360 7) Kliet si uložil a začátku roku 11 500 Kč. Baka úročí vždy a koci pololetí, úroková míra je 1,9%. Kolik Kč dostae kliet po dvou letech 180 4 K 4 = 11500.(1 + 0,85..0,019) = 11876Kč 360 8) Kliet potřeboval půjčit kapitál a své ivestice. Baka abízí úvěr s mírou 13,5 % a s jedorázovou splatostí po půl roce, úrokovací období je jede měsíc, baka půjčuje je celé tisícikoruy. Kliet předpokládá, že po půl roce bude mít k dispozici 3 milioy. Kolik koru si může ejvýše půjčit? K m 3000000 K 0 = = = 80540Kč t m 30 6 (1 + k. i. ) (1 + 1.0,135. ) 360 360 9) Kliet uložil a začátku roku 60 000 Kč, úroková míra je,1 %. Vypočítejte kapitál a koci druhého roku za předpokladu, že úrokovací období je a) jede rok b) půl roku c) čtvrt roku d) jede měsíc a) K = 60000.(1 + 0,85.0,01.1) 611, 1Kč = 4 b) K = 60000.(1 + 0,85.0,01.0,5) 6170, 85Kč 4 = 8 c) K = 60000.(1 + 0,85.0,01.0,5) 6175, 76Kč 8 = 1 4 d) K 4 = 60000.(1 + 0,85.0,01. ) = 6179, 04Kč 1 Odpisy strojů a zařízeí 10) Do podiku byl zakoupe stroj v hodotě 400 000 Kč. Z cey stroje se každoročě odepisuje 15%. Jaká bude hodota stroje za 1 let? 15 1 K1 = 400000.(1 ) = 56896, 70Kč 100
-4- Další typy příkladů: 11) Na kolik % byla uložea jistia 80 000 Kč, vzrostla-li za 6 let a 99 774 Kč? 99 774 = 80 000.(1 + p) 6 99774 p = 6 1 = 1,037-1=0,037..3,7 % 80000 1) Ve městě s 10 000 obyvateli je průměrý ročí přírůstek 5 obyvatel a každých 1 000 obyvatel. Kolik obyvatel bude ve městě za 10 let? 10 a = 10000.(1 + 0,05) 1800 obyvatel ( 5 : 1000 = 0,05 ) 10 = Další vzorce: Spláceí dluhu: s D. q.( q 1), kde počet splátek, D počátečí výše dluhu, q 1 t q = 1+. p, kde p procetová míra 360 = Spořeí: K q 1 = K 0. q., kde K 0 vstupí částka, q 1 K 0.q vstupí částka za jedo období a a koci tohoto období t zúročeá, q = 1+. k. p, kde k zdaňovací koeficiet 360 další cvičeí a příklady a kozultacích
-5- Základy teorie pravděpodobosti Základí pojmy: Pokusy: při splěí předepsaých podmíek vedou vždy ke stejému, očekávaému výsledku Náhoda je soubor drobých, e zcela zjistitelých ebo ezjistitelých čiitelů (vlivů), které způsobují, že se výsledek daé čiosti v jedotlivých případech měí Náhoda má svá pravidla a své zákoitosti. Studium a formulace těchto zákoitostí i jejich využíváí je úkolem počtu psti Náhodý pokus budeme za ěj považovat každou opakovatelou čiost, prováděou za stejých ebo přibližě stejých podmíek, jejíž výsledek je ejistý a závisí a áhodě Náhodým jevem rozumíme jakékoli tvrzeí o výsledku áhodého pokusu, o kterém lze (po provedeí pokusu) rozhodout, zda je pravdivé Klasická defiice pravděpodobosti Pokud jde o takový áhodý pokus, u ěhož jsou (elemetárí) výsledky stejě možé (pravděpodobé), je jich koečý počet a vzájemě se vylučují, potom číselou hodotu psti m jevu A určíme podle vzorce P ( A) =, kde m počet přízivých výsledků, počet všech možých výsledků Pravděpodobost emožého jevu je rova ule P(Ø) = 0 Pravděpodobost jistého jevu je rova jedé P = 0 Pro pravděpodobost libovolého jevu A platí 0 P(A) 1 Pst ějakého jevu je číslo, které udává, jak moc či málo můžeme daý jev očekávat. Čím je pst vyšší, tím si můžeme být daým jevem jistější a aopak. Míra psti áleží do uzavřeého itervalu < 0;1 >, kde ula zameá, že událost emůže astat a jedička, že jev je jistý. V praxi se uvádí procetuálí vyjádřeí, které získáme, když míru vyásobíme stem. Pokud byla hodota psti 0,5, po vyásobeí sty procety získáváme 50%. Jak vypočítat pst? Samotý postup je jedoduchý a lze shrout do jedé věty: pst jevu A je rová podílu počtu přízivých jevů lomeo počtem celkových jevů. Příklad: S jakou pstí může padout a běžé hrací kostce číslo tři? Na kostce může padout celkem šest růzých čísel, počet možostí daého jevu je tedy šest. Avšak my chceme, aby ám padlo jedo kokrétí číslo trojka počet možostí, které vyhovují ašemu zadáí je jeda. Nyí vydělíme jedičku šestkou a máme výsledou 1 pst:, přibližě 0,16 = 16% 6 m Platí tedy vzorec P ( A) =. Počty přízivých a celkových jevů se často počítají pomocí variací a kombiací. Doplňkový jev Občas se může hodit počítat pst doplňkového jevu ež původího jevu. dopl. jev k jevu A je takový jev, který astae právě tehdy, když eastae jev A. Takže pokud máme jev a kostce pade sudé číslo, pak dopl. jevem je a kostce pade liché číslo. Dopl. jevem k z balíčku karet si vytáhu pikové eso je z balíčku karet si evytáhu pikové eso.
-6- Platí pak pravidlo, že se počítá pst opačého (doplňkového) jevu jako 1 P(A). Např. pst, že 1 5 a kostce epade číslo tři, je 1 - = 6 6 Pokud se jevy A a B vzájemě vylučují, je pst jejich sjedoceí rova součtu jejich pstí: P A B = P( A) + P( B tj. psti se sčítají ( ) ) Pokud se jevy A a B vzájemě evylučují, je pst jejich sjedoceí dáa vzorcem: P A B = P( A) + P( B) P A B ( ) ( ) Dva áhodé jevy A, B jsou ezávislé ( tím se rozumí, že to, že astal jede jev, P A B = P( A). P( B eovliví, zda druhý jev astae ebo eastae) platí-li ( ) ) Pro pst jevu A podmíěou jevem B platí, že je dáa vzorcem: P( A / B) ( A B) P = P( B) ( jsou-li jevy A, B ezávislé, platí, že P(A/B) = P(A), protože pro ezávislé jevy A, B platí P A B = P( A). P( B ( ) ) Příklady: 1) Jaká je pst, že ám a dvou kostkách padou stejá čísla? počet všech možých výsledků je 6.6 = 36, Počet vyhovujících výsledků je šest 6 1 ( 11,, 33, 44, 55, 66), P ( A) = = = 0, 166 (17%) 36 6 ) Jaká je šace, že ám a dvou kostkách pade alespoň jeda šestka? celkové výsledky jsou 36, přízivé výsledky: tři případy buď pade šestka a prví kostce ebo a druhé ebo a obou. Pokud a jedé kostce pade šestka, zadruhé se může objevit celkem pět možostí, pokud a druhé kostce pade šestka, objeví se pět možostí zase a prví kostce to je tedy celkem 10 možostí a k tomu přidáme jede případ, kdy a obou kostkách padou šestky celkem je tedy 11 možostí 11 P ( A) = = 0,3055 (31%) 36 3) Jaká je pst, že z botíku, kde je dvaáct párů bot, vytáhu právě tři boty a pravou ohu? Pracujeme s kombiacemi. Nejprve celkový počet trojic bez ohledu a typ, tj. 4 1 = 04, vyhovující jsou je pravé = 0, vydělíme 0 = 0, 1087 (11%) 3 3 04 4) Třikrát za sebou hodíme kostkou. Jaká je pst, že hodíme alespoň jedu šestku? pomocí doplňkového jevu šestka epade. Pst, že v prvím hodu epade šestka je pět šesti, ve druhém hodu stejě, ve třetím také. Tyto dílčí psti vyásobíme a dostaeme 0, 5787 a odečteme od jedičky a dostaeme 0,41 ( 4 %) 5) Přítel si myslí číslo z uzavřeého itervalu od jedé do dvaceti. Jaká je šace, že ejhůře a potřetí tipete to číslo správě?
-7- opět je asi lepší přes doplěk 19 19 Šace že v prvím případě euhád P( A) = eme daé číslo je velká, P ( A) =, ve 0 0 druhém kole je 18 17 to už je P ( A) =, ve třetím P ( A) =, dílčí výsledky vyásobíme, dostaeme asi 0,85 19 18 ( to je pst, že ai apotřetí euhádeme), odečteme od jedé, pst je tedy 0,15, tj. 15 % 6) Třikrát za sebou hodíme kostkou. Jaká je pst, že ve druhém a ve třetím hodu hodíme více ež v prvím hodu? celkový počet možostí je 6 3 = 16. Přízivé výsledky: Pokud a prví pade šestka, úloha je eřešitelá, pade-li a prví pětka, existuje právě jeda možost, jak split zadáí v obou dalších hodech musí padout šestka jede přízivý výsledek. Pokud a prví kostce pade čtyřka, musí pak padout buď pětka ebo šestka a druhé i a třetí kostce tj.. = 4 možosti už máme pět přízivých výsledků Pade-li trojka, může ám dále padout čtyřka až šestka 3.3 = 9. Pade-li dvojka, může ám dále padout trojka až šestka 4.4 = 16 Pade-li jedička 5.5 = 5. Sečteme všechy výsledky 5+16+9+4+1 = 55 55 Výsledá pst je =0,546 16 Příklady pro ácvik: 1) V rodiách se třemi dětmi sledujeme pohlaví dětí, záleží a pořadí dětí podle věku. Jaká je pst, že v rodiě jsou ejméě dva chlapci? ) Jaká je pst, že při hodu dvěma hracími kostkami pade a) součet větší ež 10 b) alespoň a jedé kostce šestka c) dvojice prvočísel 3) Ve třídě je 10 dívek a 1 chlapců. Náhodě vybereme skupiu 3 studetů. Jaká je pst, že ve vybraé skupiě jsou chlapci a jeda dívka? 4) Ve třídě je 3 žáků, pět z ich eí připraveo a zkoušeí. Profesor vyzkouší 4 žáky. Jaká je pst, že ejvýše dva ze zkoušeých žáků ejsou připravei? 5) Při zkoušce z matematiky si zkoušeý studet z 0 očíslovaých příkladů vylosuje tři příklady. Jaká je pst, že mezi vylosovaými příklady bude příklad číslo 3 ebo příklad číslo 5? 6) Ve skladu je uložeo 5 stejých žárovek, z ichž 5 je vadých. Jaká je pst, že ze čtyř áhodě vybraých žárovek je alespoň jeda vadá? 7) V osudí je 5 čerých a 3 bílé koule. Táheme postupě 3 koule, přičemž každou vytažeou kouli vrátíme do osudí dříve, ež táheme další kouli. Jaká je pst, že prví koule je bílá, druhá a třetí koule čerá? 8) Házíme dvěma hracími kostkami. Jaká je pst, že pade součet 8, jestliže a prví kostce pade sudé číslo?
-8-9) Každý z 5 pracovíků podiku ovládá alespoň jede jazyků ěmčia a agličtia. Přitom ěmecky hovoří 19 lidí, aglicky 13 pracovíků. Vypočítejte pst, že áhodě osloveý pracovík ovládá: a) je ěmčiu b) je agličtiu c) oba jazyky 10) Jaká je pst toho, že při jedom hodu třemi hracími kostkami pade součet 1?
-9- Základy statistiky Metody matematické statistiky slouží při zpracováváí větších možství iformací v každodeím životě výpočet průměré zámky, průměrý příjem, spotřeba potravi, ávštěvost ki, preferece politiků, výzkumy veřejého míěí, oblast obchodu, průzkum trhu atd. Pracuje se s tabulkami, grafy, výpočetí techikou. Základí pojmy: Statistické šetřeí, statistická jedotka, statistický soubor, statistický zak Př.: Zjistěte průměrou výšku všech studetů školy st. šetřeí. = přesé změřeí výšky všech žáků st. jedotka. = jedotlivý žák st. soubor = skupia žáků, kteří jsou skutečě měřei st. zak = měřeá výška postavy žáka Měřeí se provádějí a výběrovém statistickém souboru, pak se zobecňují. Mezi statistické charakteristiky patří: absolutí četost, relativí četost, aritmetický průměr x, vážeý aritmetický průměr x v, modus x ), mediá ~ x x = x 1 + x +... + x, x v = x1 1 + x +... x absolutí četost - je počet statistických jedotek, které mají stejou hodotu st. zaku relativí četost - je číslo, které vyjadřuje, jaká část st. souboru má hodotu příslušého absolutíčetost st. zaku, vyjadřuje se zlomkem rozsahst. souboru modus x ) je hodota statistického zaku, která se ve statistickém souboru vyskytuje ejčastěji mediá ~ x je prostředí hodota st. zaku ve st. souboru, který je uspořádá podle velikosti hodot st. zaku. Při lichém počtu hodot je jedozačě určea je to prostředí hodota. Při sudém počtu hodot je to aritmetický průměr dvou prostředích hodot. Př: Vypočtěte aritmetický průměr (průměrou zámku) žáka, který měl a vysvědčeí ásledující zámky z jedotlivých předmětů: 4,4,,1,4,3,3,3,4, 4 + 4 + + 1+ 4 + 3 + 3 + 3 + 4 + 30 x = = = 3, 00 ebo 10 10 ejprve seřadíme zámky podle velikosti, výpočet je kratší 1.1+. + 3.3 + 4.4 30 x v = = = 3, 00 10 10 vlastosti arit. průměru: připočteme-li ke všem hodotám st. zaku totéž číslo, arit. průměr se změí také o stejé číslo, ásobíme-li všechy hodoty st. zaku týmž číslem, rová se arit. průměr původímu arit. průměru vyásobeému tímto číslem. (lze využít v případě výpočtů s velkými či desetiými čísly) Aritmetický průměr, modus a mediá se azývají středí hodoty statistického souboru
-10- Statistickým vyhodoceím souboru se rozumí vypočítat aritmetický průměr, modus, mediá, absolutí a relativí četost atd. Příklad: Ve škole byla měřea výška chlapců ve dvou třídách, aměřey byly hodoty: 165, 17, 169, 180, 174, 168, 176, 174, 167, 18, 175, 174, 173, 175, 174, 178, 179, 170, 178, 175, 169, 174, 171, 175, 179, 176, 174, 173, 177, 173, 175, 171, 177, 174, 180, 173, 177 Nejprve sestavte tabulku: výška četost výška četost výška četost 165 1 171 177 3 166 0 17 1 178 3 167 1 173 4 179 1 168 1 174 7 180 169 175 5 181 0 170 1 176 18 1 6445 ) x v = = 174,cm, x = 174 cm, ~ 4.173 + 7.174 x = = 173,6cm 37 11 Lze řešit i jiým způsobem, apř. tak, že hodoty ejprve rozdělíme do podskupi apř. po 3 cm. Zde je ukázka s výpočtem abs. a relat. četostí včetě procetuálího vyjádřeí: výška absolutí četost relativí četost rel.četost v % 165-167 0,05 5 % 168-170 4 0,11 11 % 171-173 7 0,19 19 % 174-176 14 0,38 38 % 177-179 7 0,19 19 % 180-18 3 0,08 8 % součet 37 1,00 100 % Charakteristiky variability Variačí rozpětí R - je to rozdíl mezi maximálí a miimálí hodotou statistického zaku Průměrá odchylka d počítá se tak, esečteme absolutí hodoty rozdílu všech hodot statistického zaku od průměru a teto součet vydělíme rozsahem statistického souboru, tj. x 1 x + x x +... + x x = d
-11- Rozptyl S je podíl(všechy x k ) ( x1 x) + ( x x) +... + ( x x S = ) Směrodatá odchylka S je druhá odmocia z rozptylu. Variačí koeficiet V je ásledující výraz udávaý v procetech S V =.100% x Někdy se používá také výraz pásmo rozptylu patří sem ty statistické jedotky, jejichž hodota statistického zaku je větší ež dolí mez pásma rozptylu a meší ež horí mez pásma rozptylu Dolí mez pásma rozptylu určíme tak, že od aritmetického průměru odečteme hodotu směrodaté odchylky. Aalogicky horí mez pásma rozptylu se určí přičteím směrodaté odchylky k aritmetickému průměru Příklad: Kolektiv pracovíků podiku má povoleo odpracovat celkem 40 přesčasových hodi. Přehled je v tabulce Počet hodi Počet pracovíků 1 14 15 16 18 19 0 1 3 1 4 a) o kolik procet překročil tým staoveý limit b) kolik hodi průměrě mohl a kolik průměrě skutečě odpracoval jede pracovík c) určete modus a mediá d) vypočítejte rozptyl a směrodatou odchylku a zjistěte, kolik pracovíků se achází v pásmu rozptylu řešeí a postup: a) ejprve zjistíme tzv. úhr, tj. kolik přesčasových hodi kolektiv skutečě odpracoval 1.1+.14+.15+ = 55 (55 : 40). 100 % = 106,5 %.. limit překroče o 6,5 % b) celkem je 15 pracovíků ( z tabulky ), 40 : 15 = 16 hodi mohl odpracovat, ve skutečosti ale 55 : 15 = 17 hodi
-1- yí ejprve si sestavíme tabulku, kde seřadíme pracovíky vzestupě podle počtu skutečě odpracovaých přesčasových hodi pořadí Počet hodi Odchylka od x Druhá mocia odchylky 1 1-5 5 14-3 9 3 14-3 9 4 15-4 5 15-4 6 16-1 1 7 16-1 1 8 18 1 1 9 18 1 1 10 18 1 1 11 19 4 1 0 3 9 13 0 3 9 14 0 3 9 15 0 3 9 c) modus x ) = 0 hodi (ejvíce, tj. 4 pracovíci), mediá x ~ = 18 hodi ( hodot je 15, tedy lichý počet, s pořadím 8 je pracovík, který odpracoval 18 hodi ) modu získáme z prví ebo i z druhé tabulky, mediá z druhé tabulky d) vycházíme z druhé tabulky, součet posledího sloupce je 96, vydělíme počtem pracovíků 96 : 15 = 6,4, odmocia asi, 53, hraice pásma rozptylu je tedy od -,5 do +,5. V pásmu rozptylu se tedy acházejí všichi pracovíci, jejichž počet odpracovaých přesčasových hodi se od aritmetického průměru eliší o více ež hodiy, tj. odpracovali 15 až 19 přesčasů, tj. čtvrtý až jedeáctý pracovík Příklady a procvičeí : 1) Ve třídě je 3 studetů, z ichž dva mají z testu zámku 1, dva zámku 5, deset zámku, dvaáct zámku 3 a šest zámku 4. Vypracujte tabulku rozděleí četostí a relativích četostí (sledovaou hodotou zaku je zámka z testu. Proveďte grafické zázorěí rozděleí četostí (spojicový, vodorová osa=zámky), svislá osa=četost) ) 130 studetů třetího ročíku si volí své zástupce do studijí rady školy. 15% studetů zvolilo Jau, 5% zvolilo Karla, 60% zvolilo Lucii. Zázorěte výsledky kruhovým diagramem 3) Průměrý ročí hrubý příjem byl zjišťová u všech 0 zaměstaců podiku Ročí 151 000-176 000-01 000 6 000 51 000 - příjem - 175 000-00 000-5 000-50 000-75 000 četost 4 5 8 1
-13- Vypočítejte průměrý ročí hrubý příjem zaměstaců (vypočítejte si ejprve středy itervalů), vypočítejte také modus a mediá tohoto souboru. Vypočítejte průměrou absolutí odchylku(je dobré sestavit tabulku): Středy itervalů ročího příjmu x k x četost Dále vypočítejte rozptyl, směrodatou odchylku a variačí koeficiet průměrého ročího hrubého příjmu těchto zaměstaců. 4) V sedmi po sobě jdoucích letech jsou hodoty růstu výroby elektroiky procetuálě určey: 107,1%, 111,%, 10,6%, 108,3%, 110,%, 109,8%, 105.5%. Vypočítejte průměré ročí tempo růstu výroby za toto období. 5) Ve třídě s 31 žáky byla zjišťováa výše jejich kapesého a měsíc. Výsledky šetřeí jsou zpracováy v tabulce: Výše kapesého v Kč 50 100 00 500 Četost žáků 15 1 3 1 Určete průměrou hodotu, modus a mediá kapesého ve třídě. Porovejte tyto charakteristiky polohy. další cvičeí a kozultacích
-14- Plaimetrie a stereometrie Plaimetrie geometrie v roviě. Stereometrie geometrie v prostoru Základí pojmy: bod, přímka, polopřímka, úsečka, rovia, polorovia, úhel Dvěma růzými body prochází jediá přímka Pojem úsečky, délka úsečky, střed úsečky, shodé úsečky Dva geometrické útvary v roviě jsou shodé, lze-li je přemístěím ztotožit Shodé úsečky mají sobě rové délky Dvě přímky v roviě mají jede společý bod = růzoběžky, ekoečě společých bodů = splývající, žádý společý bod = rovoběžky růzé. Daým bodem lze vést k daé přímce jediou rovoběžku a také pouze jediou kolmici Pojem osa úsečky Vzdáleost bodu M od přímky p : d(m, p) Vzdáleost dvou rovoběžek p, q je vzdáleost pat jejich společé kolmice Přímka dělí roviu a dvě poloroviy Dvě růzé polopřímky se společým vrcholem V dělí roviu a dva úhly (bod V je vrchol) kovexí a ekovexí úhel Úhel přímý, plý, pravý, ostrý, tupý Velikost úhlu stupňová míra, oblouková míra viz kozultace Geometrická zobrazeí shodost, podobost, stejolehlost, otočeí, posuutí Osová souměrost, středová souměrost Příklad: Je dá bod A[7;]. V pravoúhlé soustavě souřadic zakreslete obrazy bodů souměrě sdružeých a) podle středu, b) podle osy x, c) podle osy y, d) podle osy I. a III. kvadratu, e) podle osy II. a IV. kvadratu Trojúhelíky: Vrcholy, stray, vitří úhly, druhy podle stra i podle úhlů, Součet vitřích úhlů je úhel přímý (180 ), pro stray platí: součet dvou stra je vždy větší ež straa třetí, proti delší straě leží větší vitří úhel pojem výšky, těžice (těžiště), středí příčky, kružice opsaá, kružice vepsaá Pojem souhlasých úhlů, střídavých úhlů ( viz kozultace ) Shodost trojúhelíků - věty o shodosti: Věta sss: shodují-li se ve třech straách Věta sus: shodují se ve dvou straách a v úhlu jimi sevřeém Věta usu: shodují se v jedé straě a dvou úhlech k í přilehlých Věta Ssu: shodují se ve dvou straách a v úhlu proti delší z ich Podobost trojúhelíků věty o podobosti: Věta uu: shodují-li se ve dvou úhlech Věta sus: shodují-li se v jedom úhlu a v poměru délek stra ležících a jeho rameech Věta Ssu: shodují-li se v poměru délek dvou odpovídajících si stra a v úhlu proti větší z ich Pravoúhlý trojúhelík: Euklidovy věty:
-15- o výšce: v každém pravoúhlém trojúhelíku je druhá mocia výšky k přepoě rova součiu délek obou úseků přepoy (tj. úseček, které a í vytíá pata výšky) o odvěsě: v každém pravoúhlém trojúhelíku je druhá mocia délky odvěsy rova součiu délek přepoy a přilehlého úseku a přepoě Pythagorova věta: v každém pravoúhlém trojúhelíku je druhá mocia délky přepoy rova součtu druhých moci délek obou odvěse platí i opačě Příklady: 1) V pravoúhlém trojúhelíku ABC je dáo a = 85 cm, b = 60 cm. Vypočítejte úhly α, β,přepou c, obsah a obvod tohoto trojúhelíku ) V pravoúhlém trojúhelíku ABC je dáo α = 56, c = 160 cm. Vypočítejte délky stra a, b, úhel β, obvod a obsah tohoto trojúhelíku. 3) V rovorameém lichoběžíku ABCD je dáo rameo r = 80 cm, kratší základa c = 60 cm, úhel α = 30. Vypočítejte delší základu a, výšku v, obvod a obsah tohoto čtyřúhelíku. Kružice, kruh Kružice je možia všech bodů roviy, které mají od daého bodu S(střed kružice) této roviy daou vzdáleost r Kruh je možia všech bodů roviy, které mají od daého bodu S (střed kružice) této roviy vzdáleost meší ebo rovou r Pojmy: poloměr, průměr, seča, eseča, teča Vzájemá poloha přímky a kružice, kružice soustředé a esoustředé, Obvodový úhel, středový úhel, Thaletová věta obvodový úhel příslušý k půlkružici je pravý Obvody a obsahy roviých obrazců: viz MFCH tabulky a kozultace Kostrukčí úlohy: viz doporučeá literatura Stereometrie Vztahy mezi prostorovými útvary: Ke každé přímce lze daým bodem v prostoru vést právě jedu rovoběžku Dvěma růzými body prochází právě jeda přímka Leží-li dva body v jedé roviě, pak v této roviě leží i přímka určeá těmito body Daým bodem a daou přímkou(a íž teto bod eleží) je určea právě jeda rovia Třemi růzými body, které eleží a téže přímce, je určea právě jeda rovia Dvěma růzými přímkami, které mají společý bod (růzoběžkami), prochází právě jeda rovia Mají-li dvě růzé roviy společý bod, pak mají společou celou přímku, která tímto bodem prochází Vzájemá poloha přímek a rovi:
-16- Dvě přímky v prostoru: - eleží v jedé roviě(mimoběžky) - leží v téže roviě: - žádý společý bod(přímky rovoběžé růzé) - jede společý bod(přímky růzoběžé) - všechy společé body(přímky rovoběžé splývající) Přímka a rovia v prostoru: - žádý společý bod(přímka rovoběžá s roviou, eleží v í) - jede společý bod(přímka růzoběžá s roviou) - všechy společé body(přímka leží v roviě) Dvě roviy v prostoru: - žádý společý bod(roviy rovoběžé růzé) - společá právě jeda přímka(růzoběžé roviy) - společé všechy body(roviy rovoběžé splývající) Geometrická tělesa jsou to možiy bodů v prostoru ohraičeé uzavřeou plochou Hmotost tělesa se počítá tak, že se hustota ásobí objemem Objemy a povrchy těles 3 Krychle: V = a, S = 6. a..v objem, S povrch, a hraa Kvádr: V = a.b.c, S =.(ab+ac+bc) a,b,c hray Hraol: V = Sp.v, Sp + Q Sp podstava(-úhelík), Q plášť =.a.v, v výška počet boků 1 a. v Jehla: V = Sp. v, S = Sp + Q, Q =. s, v s stěová výška 3 Válec: V = π. r v, S = πr ( r + v ), r poloměr podstavy 1 Kužel: V =. π.. r. v, S = π. r.( r + v s ) 3 4 3 Koule: V = π. r, S = 4. π. r 3 Při řešeí příkladů ezapomeňte všechy délky stra ve stejých jedotkách, objem se počítá v krychlových jedotkách, povrch se počítá v plošých jedotkách, hmotost má jedotky apř. gram, kilogram, tua atd. Příklady: Pravidelý čtyřboký jehla má každou hrau dlouhou 4 dm. Vypočítejte jeho objem, povrch a hmotost, je-li hustota 3 kg/dm 3. Kolikrát se změí objem a povrch koule, zvětší-li se poloměr této koule třikrát?
-17- Výroky, možiy Výrok sděleí(tvrzeí, ozamovací věta), u ěhož má smysl rozhodovat, zda je či eí pravdivé Pravdivý výrok p = 1, epravdivý výrok p = 0 Příklady výroků: Des je 3. září Číslo je sudé Praha je hlaví město Afghaistáu Co ejsou výroky: Běž domů! Bude zítra pršet? Úsečka je dlouhá Negace výroku výrok, jehož pravdivostí hodota je opačá ež u původího výroku ozačeí: výrok..v, egace výroku.. v vyjádřeí egace: eí pravda, že.. ebo kokrétěji, apř. v Daý trojúhelík je ostroúhlý v - Neí pravda, že daý trojúhelík je ostroúhlý ebo Daý trojúhelík je tupoúhlý ebo pravoúhlý výroky o počtu: a Ve třídě je aspoň 30 žáků b Ve třídě je ejvýše 30 žáků c Ve třídě je právě 30 žáků jejich egace: a - Ve třídě je méě ež 30 žáků b - Ve třídě je více ež 30 žáků c - Ve třídě je méě ež 30 žáků ebo více ež 30 žáků výroky s kvatifikátory týkají se vždy prvků ějaké možiy obecý(velký) : výrok platí pro všechy prvky daé možiy, ozačeí je existečí (malý): výrok platí alespoň pro jede prvek daé možiy, ozačeí je Příklady: Vyslovte egace výroků výroky: v : x R : x 0, w : N : 0 egace: v : x R : x 0, w : N : f 0 Složeé výroky jsou to souvětí skládající se ze dvou ebo více výroků spojeých logickými spojkami Logické spojky kojukce a - oba výroky platí zároveň disjukce ebo platí alespoň jede z výroků implikace jestliže pak - z platosti jedoho výroku vyplývá i platost druhého ekvivalece právě tehdy, když oba výroky mají stejou pravdivost
-18- Kojukce: a b, čteme platí výrok a a současě výrok b, apř. a: Do kia jde Adam b: Do kia jde Bedřich a b : Do kia jde Adam a Bedřich tabulka pravdivostích hodot a b a b 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Kojukce je pravdivá pouze tehdy, pokud jsou pravdivé oba výroky Disjukce: a b,čteme platí výrok a ebo výrok b, apř. a: Do kia jde Adam b: Do kia jde Bedřich a b : Do kia jde Adam ebo Bedřich tabulka pravdivostích hodot a b a b 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Disjukce je pravdivá, platí-li aspoň jede z výroků Implikace: a b, čteme pokud platí výrok a, pak platí i výrok b a: Do kia jde Adam b: Do kia jde Bedřich a b : Pokud jde do kia Adam pak jde i Bedřich tabulka pravdivostích hodot a b a b 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Implikace je epravdivá pouze v případě, že prví výrok platí a druhý eplatí Ekvivalece: a b, čteme výrok a platí právě tehdy, když platí výrok b a: Do kia jde Adam b: Do kia jde Bedřich a b : Adam jde do kia jediě tehdy, když jde Bedřich tabulka pravdivostích hodot a b a b 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Ekvivalece je pravdivá, pokud oba výroky mají stejou pravdivostí hodotu
-19- Negace složeých výroků: egace kojukce ( a b) eí pravda, že platí zároveň výroky a b eplatí výrok a ebo výrok b a b a b a b ( a b) a b 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 Výrok ( a b) má vždy stejou pravdivostí hodotu jako výrok a b Negace disjukce ( a b) eí pravda, že platí výrok a ebo b eplatí výrok a ai výrok b a b a b a b ( a b) a b 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 Výrok ( a b) má vždy stejou pravdivostí hodotu jako výrok a b Negace implikace ( a b) eí pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b výrok a platí, výrok b eplatí a b a b a b ( a b) a b 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 Výrok ( a b) má vždy stejou pravdivostí hodotu jako výrok a b Negace ekvivalece ( a b) eí pravda, že výroky a i b mají stejou pravdivostí hodotu a b a b a b ( a b) ( a b) ( a b) 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 Posledí dva sloupce mají stejou pravdivostí hodotu