Modelování fyzikálních dějů pomocí programu Modellus 2.5 RNDr. Petr Janeček Slovanské gymnázium Olomouc 2012 Studijní materiál byl vytvořen v rámci projektu ESF Rozvoj profesních kompetencí učitelů fyziky základních a středních škol v Olomouckém kraji
Špičkou na českém trhu v oblasti dynamického modelování byl kdysi program Famulus. I přes svou jednoduchost poskytoval širokou škálu možností a nástrojů k tvorbě počítačových modelů zaměřených na různé oblasti fyziky i matematiky. Tento program byl vytvořen ještě v systému MS-DOS a v dnešní době je již poněkud morálně zastaralý. V podstatě plnohodnotnou náhradou za tento produkt může být program Modellus. Jedná se o portugalský produkt, který lze po zaregistrování stáhnout zdarma na adrese http://modellus.fct.unl.pt. V současné době je dostupný ve verzi 4.01. Na adrese http://www.ucebnice.krynicky.cz/obecne/modellus_full.exe lze stáhnout v české lokalizaci verzi 2.5. Pro nekomerční a výukové potřeby je program volně šiřitelný. Po bezproblémové instalaci a spuštění se objeví na monitoru následující rozložení jednotlivých modulů: 1
Popis jednotlivých modulů programu: Ovládání Tento modul obsahuje standardní tlačítka pro ovládání videosekvence a dále tlačítko Nastavení. Po jeho aktivaci se objeví následující dialog: Zde je nastavena jako nezávislá proměnná čas, dále časový krok (odpovídá časovému kroku např. při použití Eulerovy metody). Pokud je parametr t použitý u goniometrických funkcí, nastavíme, zda udává hodnotu v radiánech nebo ve stupních. Poslední důležitou volbou v tomto dialogu je nastavení počtu desetinných míst ve výpočtech a počet míst exponentu při zápisech čísel v semilogaritmickém tvaru. Model V okně tohoto modulu zapisujeme rovnice popisující daný model (viz. další text). V horní liště jsou funkce, které nám usnadňují zápis některých matematických operací (mocniny, odmocniny, ) a důležité tlačítko Přelož. Toto tlačítko musíme použít vždy, když dokončíme zápis modelu nebo provedeme jeho změnu. Program zkontroluje, zda je zápis syntakticky správný a v modulu Počáteční podmínky doplní veškeré nalezené parametry a vybídne k doplnění jejich číselných hodnot a k doplnění počátečních hodnot všech použitých proměnných. Je-li model přeložen bez chyb, objeví se zelený text Model přeložen!, je-li v zápise nalezena chyba, objeví se červený text Chyba v modelu! Graf V okně tohoto modulu je při běhu modelu vykreslován graf zvolené závislosti. To, která veličina se bude znázorňovat na které ose, zvolíme zakliknutím v sekcích Vertikálně a Horizontálně. V sekci Vertikálně je možné přidržením klávesy CTRL označit více položek a v obrázku se tak bude vykreslovat více grafů najednou. Tlačítkem Přizpůsobit dosáhneme toho, že dojde k přeškálování os tak, aby byl zachycen celý doposud vypočtený graf. Po aktivaci tlačítka Nastavení se objeví následující dialog: 2
V části Meze nastavujeme dolní a horní meze obou os. Při volbě položky Automatické měřítko se bude měřítko os přizpůsobovat vypočteným hodnotám při běhu modelu. Volbou položky Projekční čáry se budou společně s grafem překreslovat i kolmice k oběma osám. Volbou položky Stejná měřítka dosáhneme toho, že dílky na obou osách budou stejně veliké a volba položky Body zajistí, že v grafu budou zobrazeny pouze polohy bodů vypočtených modelem a nikoliv spojnice těchto bodů. Viditelného efektu u této volby dosáhneme pouze tehdy, když je časový krok v porovnání se zvoleným měřítkem dostatečně velký. Tabulka V okně tohoto modulu se zobrazují v tabulce vypočtené hodnoty zvolených proměnných. Opět lze použít tlačítko CTRL k výběru více proměnných, v takovém případě se v tabulce objeví další sloupce. Počáteční podmínky Tento modul již byl zmiňován. Po překladu modelu se v sekci Parametry objeví všechny konstanty modelu (např. tíhové zrychlení, tuhost pružiny, ) a v sekci Počáteční hodnoty nastavujeme počáteční hodnoty použitých proměnných (počáteční poloha, počáteční rychlost, ) Animace V tomto modulu probíhá samotná animace daného modelu. Nastavení jednotlivých parametrů je tak rozsáhlé, že popis některých z nich bude uveden u níže uvedených příkladů. Na závěr tohoto odstavce je nutné podotknout, že v případě modulů Graf, Tabulka a Animace lze zobrazit i více těchto modulů současně. Volbu dalšího takového modulu provedeme v hlavním menu programu v položce Okno. 3
Ukázka vytvoření modelu vodorovného vrhu Cíl modelu: demonstrace pohybu tělesa v homogenním tíhovém poli Země v neodporujícím prostředí zaměřená na grafické znázornění závislosti základních kinematických veličin na čase, animace tohoto děje a znázornění složek rychlosti pohybujícího se tělesa Určeno pro: vyšší gymnázium Časová náročnost na přípravu modelu: 15 minut Zápis modelu a nastavení počátečních podmínek a parametrů je patrné z obrázků. Ze zápisu modelu je zřejmé, že k řešení pohybových rovnic je použita Eulerova metoda. Vložení tělesa do modulu Animace provedeme pomocí tlačítka Vytvořit novou částici. Po výběru tohoto nástroje a jeho umístění na pracovní plochu Animace se objeví následující dialog: V sekcích Horizontálně a Vertikálně nastavíme, kterými proměnnými bude ovlivňován pohyb částice v obou směrech. V sekci Druh objektu zvolíme jako Typ Částice a barvu. V sekci vlastnosti zvolíme, že při pohybu částice se budou v okně animace zobrazovat okamžité hodnoty proměnných x a y, souřadnicové osy, trajektorie a pohybující se částice bude po každých deseti krocích zanechávat stopu. Dosáhneme tak typického tzv. stroboskopického efektu. 4
K takto zvolené částici potom pomocí tlačítka Vytvořit nový vektor postupně připojíme dva vektory rychlosti. Po výběru tohoto nástroje se vždy objeví příslušný dialog. Nastavení parametrů v jednotlivých dialozích je patrné z následujících obrázků: Grafické znázornění modelu 5
Ukázka vytvoření modelu šikmého vrhu vzhůru Cíl modelu: demonstrace pohybu tělesa v homogenním tíhovém poli Země v neodporujícím prostředí zaměřená na grafické znázornění závislosti základních kinematických veličin na čase, animace tohoto děje a znázornění složek rychlosti pohybujícího se tělesa Určeno pro: vyšší gymnázium Časová náročnost na přípravu modelu: 15 minut Zápis modelu a nastavení počátečních podmínek a parametrů je patrné z obrázků. Ze zápisu modelu je zřejmé, že k výpočtu pohybových rovnic je opět použita Eulerova metoda. Vložení tělesa do modulu Animace provedeme podobným způsobem jako v předcházejícím modelu. Stejně tak nastavíme podobným způsobem připojení vektorů rychlosti a stroboskopický efekt. Grafické znázornění modelu 6
Pro tento model je typické, že se jej snažíme přizpůsobit reálné situaci, tedy upravit tak, aby odpovídal pohybu v odporujícím prostředí (např. pohyb střely) trajektorie takového pohybu se potom nazývá balistická křivka. Použijeme-li k výpočtu opět Eulerovu metodu, je úprava zápisu modelu velmi jednoduchá. Pro jednoduchost budeme opět předpokládat, že velikost odporové síly na těleso působící je přímo úměrná první mocnině velikosti jeho rychlosti. Pro odporovou sílu tedy platí vztah:, kde k je koeficient odporu prostředí. Tato odporová síla se při pohybu skládá se silou tíhovou. Okamžité zrychlení tělesa pak určuje výslednice těchto dvou sil. Zápis modelu a nastavení počátečních podmínek a parametrů je patrné z obrázků. Ze zápisu modelu je zřejmé, že k výpočtu pohybových rovnic je opět použita Eulerova metoda. Grafické znázornění modelu 7
Ukázka vytvoření modelu harmonického kmitavého pohybu Cíl modelu: demonstrace vzniku harmonického kmitavého pohybu jako kolmého průmětu pohybu rovnoměrného po kružnici a jeho časového rozvinutí Určeno pro: vyšší gymnázium Časová náročnost na přípravu modelu: 10 minut Zápis modelu a nastavení počátečních podmínek a parametrů je patrné z obrázků. Ze zápisu modelu je zřejmé, že k výpočtu není tentokrát použita žádná přibližná metoda, nýbrž vycházíme ze znalosti parametrických rovnic kružnice (první a druhý řádek modelu). Vložení částice pohybující se po kružnici do modulu Animace provedeme pomocí tlačítka Vytvořit novou částici. Po výběru tohoto nástroje a jeho umístění na pracovní plochu Animace se objeví dialog, ve 8
kterém provedeme následující nastavení: 9
Vložení částice pohybující se jako kolmý průmět pohybu po kružnici do modulu Animace provedeme pomocí tlačítka Vytvořit novou částici. Po výběru tohoto nástroje a jeho umístění na pracovní plochu Animace se objeví dialog, ve kterém provedeme následující nastavení: Vložení zapisovače (tužky) do modulu Animace provedeme pomocí tlačítka Vytvořit nový souřadnicový zapisovač. Nastavení dialogu bude vypadat takto: Pomocnou spojovací přímku, která promítá pohyb po kružnici do pohybu rovinného, do modulu Animace provedeme pomocí tlačítka Vytvořit nový geometrický objekt. Po výběru tohoto nástroje a jeho umístění na pracovní plochu Animace se objeví dialog, ve kterém provedeme následující nastavení: 10
Grafické znázornění modelu 11