Lokální a globální extrémy funkcí jedné reálné proměnné

Transkript

1 Lokální etrémy Globální etrémy Použití Lokální a globální etrémy funkcí jedné reálné proměnné Nezbytnou teorii naleznete Breviáři vyšší matematiky (odstavec 1.). Postup při hledání lokálních etrémů: Lokální etrémy (zpět na začátek) i) Nalezneme podezřelé body, tj. body, v nichž má funkce nulovou první derivaci (nebo první derivaci nemá či dokonce není ani spojitá). ii) V těchto bodech určíme hodnotu druhé derivace studované funkce. Je-li kladná, jedná se o lokální minimum, je-li záporná, jedná se o lokální maimum. Pokud je druhá derivace nulová, musíme ke konečnému rozhodnutí o povaze etrému použít derivace vyšší. Pokud v některém z podezřelých bodů první derivace neeistuje, nebo je funkce dokonce nespojitá, test s druhou (vyšší) derivací pochopitelně neprovádíme. O povaze etrému musíme zpravidla rozhodnout přímo pomocí definice (lokálních etrémů). Velmi užitečný bývá obrázek, který obvykle získáme vyšetřením průběhu studované funkce na malém redukovaném okolí podezřelého bodu. Příklad 1 Nalezněte lokální etrémy funkce f( ) 4. ( ) 4, f( ) 0 0 /. Žádné další podezřelé body neeistují, protože funkce je spojitá a diferencovatelná na celém ii) Test s druhou derivací f( ) 4, f (/ ) 0. Funkce tedy nabývá pro = / lokálního minima.

2 Příklad Nalezněte lokální etrémy funkce 4 f ( ) ( ) , ( ) Žádné další podezřelé body neeistují, protože funkce je spojitá a diferencovatelná na celém ii) Test s druhou derivací 4 ( ) , f (1) 0. Pomocí samotné druhé derivace nelze tedy o eistenci ani o povaze lokálního etrému rozhodnout. iii) Test s vyššími derivacemi f ( ) , f (1) 0. f (4) ( ) 4 4 4, f (4) (1) 4 0. První nenulovou derivací je tedy derivace čtvrtá (sudá!), funkce má proto v bodě = 1 lokální etrém. Protože je tato derivace záporná, jedná se o lokální maimum. Příklad Nalezněte lokální etrémy funkce f ( ). f ( ), ( ) Žádné další podezřelé body neeistují, protože funkce je spojitá a diferencovatelná na celém

3 ii) Test s druhou derivací f ( ) 6, f (0) 0. Na základě druhé derivace nelze tedy o eistenci ani o povaze lokálního etrému rozhodnout. iii) Test s vyššími derivacemi f ( ) 6 6, f (0) 6 0. První nenulovou derivací je tedy derivace třetí (lichá!), funkce nemá proto v bodě = 0 lokální etrém. Ve skutečnosti se jedná o inflení bod. Příklad 4 Nalezněte lokální etrémy funkce f ( ). f( ) 1 pro > 0, f( ) 1 pro < 0. Jediným podezřelým bodem je tedy bod = 0, v němž nemá funkce f ( ) první derivaci. ii) Pomocí obrázku již snadno nahlédneme, že v tomto bodě nabývá funkce lokálního minima.

4 Globální etrémy (zpět na začátek) Postup při hledání globálních etrémů na intervalu ab, : i) na intervalu ( ab, ) nalezneme body v nichž funkce nabývá lokálních etrémů, ii) k nim přidáme krajní body intervalu a získáme tak množinu bodů podezřelých, iii) pro všechny podezřelé body určíme funkční hodnoty studované funkce a seřadíme je podle velikosti. iv) V bodě (bodech), v němž je funkční hodnota největší, nabývá funkce na daném intervalu globálního maima, v bodě (bodech), v němž je funkční hodnota nejmenší, globálního minima. Při hledání globálních etrémů na polouzavřených či otevřených intervalech, musíme věnovat zvýšenou pozornost krajním bodům, viz příklady 6 a 7. Příklad 5 Nalezněte (globální) etrémy funkce f( ) 4 na intervalu 0,. na (0,) ( ) 4, f( ) 0 0 / (0,). Žádné další podezřelé body na uvedeném intervalu neeistují, protože funkce je spojitá a diferencovatelná na celém ii) Všechny podezřelé body 1 0 / iii) Tabulka funkční hodnot iv) Globální etrémy - levý krajní bod intervalu, - lokální etrém, f (0) , f (/) (/) (/) 4 1,75, f () 4. V bodě = / nabývá funkce globálního minima na intervalu 0, (toto minimum je současně minimem lokálním) a v bodě = 0 globálního maima (toto maimum není lokálním maimem studované funkce).

5 Příklad 6 Nalezněte (globální) etrémy funkce f( ) 4 na intervalu 0,. (viz též příklad 5) na (0,) ( ) 4, f( ) 0 0 / (0,). Žádné další podezřelé body na uvedeném intervalu neeistují, protože funkce je spojitá a diferencovatelná na celém ii) Všechny podezřelé body 1 0 / iii) Tabulka funkční hodnot iv) Globální etrémy - levý krajní bod intervalu (Pozor! Nepatří do množiny, na které globální etrémy hledáme), - lokální etrém, f (0) , f (/) (/) (/) 4 1,75, f () 4. V bodě = / nabývá funkce globálního minima na intervalu 0, (toto minimum je současně minimem lokálním). Globálního maima by studovaná funkce měla nabývat v bodě = 0. Tento bod však do intervalu 0, nepatří. Na intervalu 0, tedy funkce maima nenabývá. Nalezněte (globální) etrémy funkce na (,) Příklad 7 f( ) 4 na intervalu (,). ( ) 4, f( ) 0 0 / (,). Bod = / tedy mezi podezřelé nezahrneme. Žádné další podezřelé body na uvedeném intervalu neeistují, protože funkce je spojitá a diferencovatelná na celém

6 ii) Všechny podezřelé body 1 - levý krajní bod intervalu, Pozor! Ani jeden z podezřelých bodů nepatří do množiny, na které globální etrémy hledáme. Funkce f( ) 4 proto na intervalu (,) nenabývá ani svého maima ani minima. Použití (zpět na začátek) Úloha nalézt etrémy funkcí jedné, ale i více reálných proměnných se často vyskytuje v přírodovědných, technických a dokonce i v ekonomických a finančních aplikacích. Zpravidla vyžaduje důkladnou analýzu, při které se snažíme na základě obecného zadání formulovat zadání matematické, tj. určit a) funkci, jejíž etrémy máme hledat, b) interval hodnot, kterých může nezávislá proměnná (nastavitelný parametr) nabývat. Teprve po splnění těchto kroků můžeme přistoupit k vyhledávání etrémů prostředky a postupy, které jsme procvičovali výše. Příklad 8 Motouzem o délce L vymezte obdélníkový pozemek maimálního plošného obsahu. Analýza úlohy Obdélník je zadán svými stranami a a b. Jeho obvod (který odpovídá délce motouzu L) je dán vztahem O = (a+b) a plošný obsah vztahem S = ab. Ze zadání úlohy plyne, že L = (a+b), neboli b = L/-a. A pro plošný obsah S = a(l/-a). Máme proto hledat maimum funkce Sa ( ) al/ a, a to zřejmě na intervalu a 0, L/. Nalezení etrému na (0, L / ) / ( ) / d a L a S a a L a L/ a, da S( a) 0 L/a 0 a L/4 (0, L/). Žádné další podezřelé body neeistují, protože funkce je spojitá a diferencovatelná na celém ii) Všechny podezřelé body a1 0 - levý krajní bod intervalu

7 a L/4 a L/ - lokální etrém, iii) Tabulka funkční hodnot iv) Globální maimum Funkce Sa ( ) al/ a S (0) 0 L/ 0 0, SL ( /4) L/4 L/ L/4 L/16, SL ( /) L/ L/ L/ 0. nabývá svého globálního maima na intervalu 0, / a L/4. Hledaný obdélník má proto rozměry a b L/4, jedná se tedy o čtverec. L v bodě