Funkce více proměnných

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Funkce více proměnných"

Filip Novotný
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 Funkce více proměnných

6 Funkce více proměnných

7 Euklidův prostor Body, souřadnice, vzdálenost bodů Množina bodů, které mají od bodu A stejnou vzdálenost Uzavřený interval, otevřený interval Okolí bodu Hromadný bod, uzavřená množina vnitřní bod, vnitro hraniční bod, hranice, ohraničená množina lomená čára, oblast, uzavřená oblast

9 Příklad (Definiční obor) Daná je funkce f (x, y) = x + y, určte její def. obor. Zřejmě x + y 0, potom y x. Proto def. oborem je {[x, y] R 2 ; y x}.

10 Příklad (Definiční obor) Daná je funkce f (x, y) = 1 x 2 y 2, určte její def. obor. Zřejmě 1 x 2 y 2 0, potom 1 x 2 + y 2. Proto def. oborem je {[x, y] R 2 ; 1 x 2 + y 2 }, jedná se o kruh se středem v bodě S = (0, 0) a poloměrem r = 1.

11 Příklad (Definiční obor) Daná je funkce f (x, y) = x 2 + 4y 2 2x + 16y 11, určte její def. obor. Zřejmě x 2 + 4y 2 2x + 16y 11 0, potom 1 (x 1) (y+2)2 7. Proto def. oborem je {[x, y] R 2 ; 1 (x 1) (y+2)2 7 }, resp. R 2 {[x, y] R 2 ; 1 (x 1) (y+2)2 7 }. Jedná se o elipsu a její "okolí".

12 Limita funkce Nechť funkce f (X), X = [x 1, x 2,, x n ] je definována na nějakém okolí bodu A = [a 1, a 2,, a n ]. Funkce f (X) má v bodě A limitu číslo L, ak pro každou posloupnost bodů {X i } i=1, X i A z def. oboru funkce f (X), která konverguje k bodu A, má posloupnost funkčních hodnot {f (X i )} i=1 za limitu číslo L. Řekneme, že funkce f je v bodě A spojitá, jestliže lim f (X) = f (A). X A Řekneme, že funkce f je spojitá na množine M, je-li spojitá v každém bode této množiny.

13 Příklad (Limita) Určete limitu funkce lim x 1 y 0 z 1 x + y z + 1 x 2 + y 2 + z 2 = = 1 2

14 Příklad (Limita) Určete limitu funkce lim x 0 y 0 x 2 + y 2 x 2 + y = = lim x 0 y 0 x 2 + y 2 x x 2 + y y x 2 + y = = lim x 0 x 2 + y = 2 y 0

15 Příklad (Limita) Určete limitu funkce lim x 0 y 0 1 x 2 + y 2 Nechť {X n } n=1 je libovolná posl. bodů, kde X i = (x i, y i ) (0, 0). Potom lim x i = 0, lim y i = 0. x x Potom lim x x2 i + yi 2 = 0, proto lim x lim x 0 y 0 1 x 2 i +y2 i 1 x 2 + y 2 =. =, teda

16 Příklad (Limita) Určete limitu funkce lim x 0,y 0 xy 2 x 2 + y 4 Nechť {x n } n=1 je konvergentní posloupnost, která má limitu 0. Všimněte si posl. bodů {X n } n=1, kde X i = (x i, 0) (0, 0). Zřejmě f (X i ) 0 Všimněte si posl. bodů {X n } n=1, kde X i = (x 2 i, x i ) (0, 0). Zřejmě f (X i ) 1 2. Závěr: máme dvě různé posloupnosti bodů konvergující k bodu (0, 0) a jejich limity jsou různé, proto limita funkce v uvedeném bodu neexistuje.

17 Spojitá funkce na ohraničené uzavřené množine Jestliže je funkce f spojitá na ohraničené uzavřené množine M, potom je na množine M ohraničená, má na množine M maximum a minimum.

18 Parciální derivace

19 Příklad (Parciální derivace) Daná je funkce f (x, y) = x 2 + xy + 2y 2, určte její parc. derivace podle x a podle y. f x = 2x + y f y = x + 4y

20 Příklad (Parciální derivace) Daná je funkce f (x, y) = (2x 2 + y 2 ) 2x+3y, určte její parc. derivace podle x. Zřejmě f (x, y) = e ln(2x2 +y 2 ) 2x+3y = e (2x+3y) ln(2x2 +y 2 ) Potom f x = e (2x+3y) ln(2x2 +y 2) [2 ln(2x 2 + y 2 ) + (2x + 3y) 1 2x 2 +y 2 4x] f x = (2x 2 + y 2 ) 2x+3y [2 ln(2x 2 + y 2 ) + (2x + 3y) 1 2x 2 +y 2 4x]

21 Derivace podle vektoru-směrová derivace f (X 0 +h. u) = g(h) f u (X f (X 0 + h. u) f (X 0 ) g(h) g(0) 0) = lim = lim = g (0) h 0 h h 0 h

22 Příklad (Derivace podle vektoru) Daná je funkce f (x, y, z) = x 2 3xy 4y 2 5x 4z 2 a vektor u = ( 1, 1, 2). Určte derivaci funkce f (x, y, z) podle vektoru u v obecném bodě X = (x, y, z). Sestavíme funkci g(h) = f (X + h.u), víme, že g (0) = f u(x, y, z). X + hu = x + ( 1) h, y + h 1, z + h 2 = (x h, y + h, z + 2h) Potom g(h) = (x h) 2 3(x h)(y+h) 4(y+h) 2 5(x h) 4(z+2h) 2 g (h) = 2(x h) 3( y h+x h) 8(y+h)+5 16(z +2h). Po dosazení (h = 0) a úpravě je g (0) = 5x 5y z = f u(x, y, z).

23 Gradient Vektor gradf (X 0 ) = (f x 1 (X 0 ),, f x n (X 0 )) se nazývá gradient funkce f v bodě X 0. Je-li f funkce hladká na oblasti A, platí pro každý vektor u X A f u (X) = u gradf (X). Gradient gradf (X) udává (v definičním oboru!) směr, ve kterém, vycházíme-li z bodu X, funkce nejrychleji roste (v případě funkce dvou promenných je to směr kolmý na vrstevnici, v prípadě funkce tří proměnných směr kolmý na hladinu funkce).

24 Příklad (Derivace podle vektoru, použití gradientu) Daná je funkce f (x, y, z) = x 2 3xy 4y 2 5x 4z 2 a vektor u = ( 1, 1, 2). Určte derivaci funkce f (x, y, z) podle vektoru u v obecném bodě X = (x, y, z). Určíme gradient funkce f (x, y, z) : gradf (X) = (2x 3y 5, 3x 8y, 8z) Vynásobíme skalárně vektor a gradient u gradf (X) = 5x 5y z = f u(x, y, z).

25 Diferenciál Nechť funkce f je hladká na oblasti A, bod X 0 A a h je vektor. Potom zobrazení df (X 0, h) = gradf (X 0 ) h = f h (X 0 ) nazýváme diferenciálem funkce f v bodě X 0. Je-li f funkce dvou promenných, f = f (x, y), X 0 = [x 0, y 0 ], h = (dx, dy), potom df (X 0, h) = f x(x 0, y 0 )dx + f y(x 0, y 0 )dy. Tečná rovina z f (x 0, y 0 ) = f x(x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y(x 0, y 0 )(y y 0 ).

26 Příklad (Tečná rovina) Daná je funkce f (x, y) = x y2, její bod P = (1, 3, 13 4 ). Najděte rovnici tečné roviny v bodě P a určete rovnici její normály. Zřejmě rovnice tečné roviny je z f (x 0, y 0 ) = f x(x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y(x 0, y 0 )(y y 0 ). f (x 0, y 0 ) = f (1, 3) = 13 4, f x(x 0, y 0 ) = 2x 0, f y(x 0, y 0 ) = 1 2 y 0. f x(x 0, y 0 ) = f x(1, 3) = 2, f y(x 0, y 0 ) = f y(1, 3) = 3 2. Po dosazení z 13 4 = 2(x 1) + 3 (y 3), 2 a po úpravě 2x y z = 13 4.

27 Příklad (Tečná rovina, pokr.) Norm. vektor je (2, 3 2, 1), rovnice normály (máme přímku v prostore!!!) x = 1 + 2t y = t z = 13 4 t.

28 Příklad (Tečná rovina, diferenciál) Nechť z = f (x, y) je rovnice plochy v prostoru. Na této ploše leží bod A = [3, 5, 7]. Dále platí z x(3, 5) = 2, z y(3, 5) = 3. Řešení. Najděte rovnici tečné roviny a normálový vektor n k dané ploše v daném bodě. Odhadněte f (3.02, 4.99). Rovnice tečné roviny je Zřejmě z f (x 0, y 0 ) = f x(x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y(x 0, y 0 )(y y 0 ). x 0 = 3, y 0 = 5, f (x 0, y 0 ) = 7, f x(x 0, y 0 ) = 2, f y(x 0, y 0 ) = 3.

29 Příklad (Tečná rovina, diferenciál, pokr.) Proto z 7 = 2(x 3) + 3(y 5), po úpravě 2x + 3y z 14 = 0, norm. vektor je (2, 3, 1). pro určení přibl. hodnoty využijeme, že z = f (x 0, y 0 ) + f x(x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y(x 0, y 0 )(y y 0 ). Potom z = f (3, 5) + f x(3, 5)(3.02 3) + f y(3, 5)(4.99 5), po úpravě z = 7.01.

Podobné dokumenty

(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f.

(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f. I. Funkce dvou a více reálných proměnných 5. Lokální extrémy. Budeme uvažovat funkci f = f(x 1, x 2,..., x n ), která je definovaná v otevřené množině G R n. Řekneme, že funkce f = f(x 1, x 2,..., x n