2.3. POLARIZACE VLN, POLARIZAČNÍ KOEFICIENTY A POMĚR E/B

Transkript

1 .3. POLARIZACE VLN, POLARIZAČNÍ KOEFICIENTY A POMĚR E/B V řadě případů je užitečné znát polarizaci vlny a poměry mezi jednotlivými složkami vektoru elektrické intenzity E takzvané polarizační koeficienty, případně vztah ke složkám magnetické indukce B. Příklad využití znalosti polarizačních koeficientů bude uveden v kapitole pojednávající o odhadu vývoje intenzity pole chorových emisí podél jejich dráhy v kapitole 4. Při definici polarizačních koeficientů vycházíme buď ze souřadného systému spojeného se směrem okolního magnetického pole (osa Z = B 0, nebo se směrem vlnového vektoru k (Z =k. Vztah mezi uvedenými souřadnými soustavami je nejlépe patrný z obrázku.8, ze kterého je zřejmé, že čárkovaná soustava je vůči soustavě nečárkované pootočena okolo osy Y=Y o úhel θ, který mezi sebou svírá vektor magnetické indukce a vlnový vektor. Obr..8: Nečárkovaně systém souřadnic spojený se směrem okolního magnetického pole B 0, čárkovaně systém souřadnic spojený se směrem vlnového vektoru k. Rovina i Z je určena vektory B 0 a k. Z rovnice (.13 pro amplitudu elektrického pole rovinné harmonické vlny lze přímo psát vztahy pro polarizační koeficienty v nečárkované soustavě Z. EY i D = = (.3 E n S EZ n cosθ sinθ = = (.4 E n sin θ P Rovnici (.3 obdržíme z druhého řádku rovnice (.13, rovnici (.4 z řádku třetího. Polarizační koeficient ve třetí rovině je závislý na předchozích dvou, a je roven EZ n cosθ ( n S YZ = = = i = i (.5 E Im{ } ( n sin θ P D Y 3

2 Obr..9: Závislost polarizačního koeficientu na frekvenci normované k elektronové 0.7:0.:0.1. Fialově R mód, modře L mód. Obr..10: Závislost polarizačního koeficientu na frekvenci normované k elektronové 0.7:0.:0.1. 4

3 Obr..11: Závislost polarizačního koeficientu YZ na frekvenci normované k elektronové 0.7:0.:0.1. Průběh polarizačních koeficientů, a YZ je znázorněn na obrázcích.9,.10 a.11 pro podmínky stejné jako průběh kvadrátu indexu lomu a rychlostí vlnění na obrázcích.. a.4. Polarizační koeficient a YZ je ryze imaginární číslo, vyjadřující fázový posuv π/ mezi příslušnými dvěma složkami. Polarizační koeficient je reálné číslo. Pro limitní případ R (L módu je polarizační koeficient =i (-i, = YZ =0. Polarizační koeficient je nulový pro mimořádnou vlnu. V některých případech je výhodné znát polarizační koeficienty v čárkované souřadné soustavě Y Z spojené s vlnovým vektorem k. Z obrázku.8. je zřejmé, že složky intenzity elektrického pole se transformují následujícím způsobem E = EZ sinθ + E cosθ (.6 E Z = E Y (.7 E Z = EZ cosθ + E sinθ (.8 Ze vztahů (.3, (.4, (.6, (.7 a (.8 potom pro polarizační koeficienty v čárkované souřadné soustavě dostáváme: E Y i D (P-n sin θ Y = = (.9 E (n S P cosθ E Z (P-n Z = = tgθ (.30 E P 5

4 Polarizační koeficient v rovině Y Z je opět závislý na předchozích dvou a je roven EZ ' ' Z ' ' ' Z ' ( P n ( n S ' Y ' Z ' = = = i = i (.31 E ' ' Im{ ' } D ( P n sin θ Y ' Y ' Y ' Polarizační koeficient Y a Y Z je ryze imaginární číslo, vyjadřující fázový posuv π/ mezi příslušnými dvěma složkami. Polarizační koeficient Z je reálné číslo. Pro limitní případ R (L módu jsou souřadné soustavy a tudíž i polarizační koeficienty shodné. Pro případ obecného úhlu či pro případ a O módu se však polarizační koeficienty v obou soustavách liší. Např. Y i a Z pro mód, a Y = 0 a Z = 0 pro O mód. Průběh polarizačních koeficientů Y, Z a Y Z je znázorněn na obrázcích.1,.13 a.14 pro podmínky stejné jako průběh kvadrátu indexu lomu a rychlostí vlnění na obrázcích.. a.4. Obr..1: Závislost polarizačního koeficientu Y na frekvenci normované k elektronové 0.7:0.:0.1. Fialově R mód, modře L mód, žlutě O mód. 6

5 Obr..13: Závislost polarizačního koeficientu Z na frekvenci normované k elektronové 0.7:0.:0.1 Obr..14: Závislost polarizačního koeficientu Y Z na frekvenci normované k elektronové 0.7:0.:0.1 7

6 Podívejme se nyní jak se v závislosti na úhlu a normované frekvenci mění poměr elektrického a magnetického pole vlny. Vztah mezi složkami elektrického a magnetického pole získáme z Faradayova zákona, který pro harmonické rovinné vlny má tvar r r r k E = B (.3 Vzhledem k tvaru tohoto zákona je algebraicky jednodušší použít souřadnou soustavu, v níž je jedna osa spojena se směrem vlnového vektoru k (Z =k. Potom pro jednotlivé složky magnetického pole dostáváme k B = E Y (.33 k = (.34 B Y E B Z = 0 (.35 Magnetické pole je tedy kolmé k vlnovému vektoru i elektrickému poli. Velikosti efektivní hodnoty amplitudy elektrického pole E, a magnetického pole B během jedné periody můžeme pomocí výše uvedených vztahů vyjádřit prostřednictvím jedné složky a polarizačních koeficientů 1 E = 1+ Im { Y } + Z E 0 (.36 k 1 B = 1+ Im { Y } E 0 (.37 Nyní, když máme všechny veličiny vztažené k jedné složce, lze snadno určit poměry mezi velikostmi či složkami jednotlivých vektorů. Tyto poměry závisí na polarizačních koeficientech, tedy parametrech prostředí (plazmové, cyklotronní frekvenci a poměru jednotlivých druhů iontů a úhlu vlny θ. Pro poměr velikosti elektrického a magnetického pole můžeme psát E = B k 1+ Im 1+ Im { Y } + { } Y Z (.38 Poměr velikostí E/B má rozměr rychlosti. Z Faradayova zákona (.3 plyne, že pro vlny, které mají vlnový vektor k kolmý k vektoru elektrického pole E platí, že E c = = v f = (.39 B k n Z rovnice (.30 snadno nahlédneme, že tuto podmínku splňují pouze vlny šířící se podél magnetického pole (θ=0, tedy R a L mód. Pro vlny šířící se podél pole je tedy poměr velikostí elektrického a magnetického pole E/B roven fázové rychlosti vlnění. Obrázek.15 znázorňuje závislost poměru E/B na frekvenci normované k elektronové cyklotronní frekvenci pro různé úhly θ. Vidíme, že pro vlny šířící se na resonančním kuželu se tento poměr blíží nekonečnu, tj. vlny se chovají téměř jako elektrostatické. Poměr E/B roste s rostoucím úhlem θ. Tento nárůst je markantní zejména na kmitočtech dvou-iontových resonancí. Pro podélné vlny poměr sleduje fázové rychlosti, tedy se limitně blíží nekonečnu na kmitočtech ořezání, a naopak na kmitočtech cyklotronních resonancí elektrická složka vymizí. 8

7 Obr..15: Závislost poměru E/B podle vztahu (.38 na frekvenci normované k elektronové 0.7:0.:0.1. Fialově R mód, modře L mód. V závěru této kapitoly uveďme vztahy pro polarizační koeficienty složek magnetického pole rovinné harmonické vlny. Situace je velmi jednoduchá v souřadné soustavě, v níž je jedna osa spojena se směrem vlnového vektoru k (Z =k. Jak vidíme z rovnic (.33, (.34 a (.35 porucha magnetické pole existuje pouze v rovině Y a polarizační koeficient je roven σ B' Y E ' 1 1 ' Y i B' EY ' ' = = = = (.40 ' Y ' Im{ ' ' Y ' } Vidíme že složka v ose je oproti složce v ose Y posunuta o π/, stejně jako tomu bylo v případě složek elektrického pole, velikost poměru je však převrácenou hodnou poměru elektrických složek. V případě, kdy osa Z souřadnicového systému je totožná se směrem magnetického pole (Z = B 0 má vlnový vektor složky k=( k sinθ, 0, k cosθ a situace je algebraicky o něco složitější. S využitím Faradyova zákona a již dříve zavedených polarizačních koeficientů pro složky magnetického pole dostáváme. k k B = cos θ EY = cosθ E (.41 k k k BY = cosθ E EZ = (cosθ E (.4 k k BZ = sin θ EY = E (.43 Vidíme, že za určitých okolností existuje složka magnetického pole vlny, která je rovnoběžná se směrem okolního pole B 0. Polarizační koeficienty jsou určeny následujícími vztahy 9

8 BY (cosθ cosθ σ = = = i (.44 B cosθ cosθ Im{ } BZ σ = = tgθ (.45 B BZ sinθ sinθ Im{ } σ YZ = = = i = sinθ ' ' Y ' (.46 BY cosθ cosθ Složitější výrazy jsme obdrželi pro polarizační koeficienty σ a σ, jejich grafické znázornění je obrázcích.16 a.17 pro podmínky stejné jako průběh kvadrátu indexu lomu a rychlostí vlnění na obrázcích.. a.4. Je zřejmé, že polarizační koeficient σ má opačnou tendenci než koeficient, tj. roste-li absolutní velikost, klesá absolutní hodnota σ a naopak. Pro R a L mód je koeficient roven 1, respektive 1. Koeficient σ se pro velké úhly limitně blíží koeficientu Y. Pro malé úhly se liší, pro R a L mód je nulový. Obr..16: Závislost polarizačního koeficientu magnetických složek σ na frekvenci normované k elektronové cyklotronní frekvenci pro plazma složené z iontů vodíku, helia a kyslíku v poměru 0.7:0.:0.1. Fialově R mód, modře L mód. 30

9 Obr..17: Závislost polarizačního koeficientu magnetických složek σ YZ na frekvenci normované k elektronové cyklotronní frekvenci pro plazma složené z iontů vodíku, helia a kyslíku v poměru 0.7:0.: