1 3Logika XII. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD.

1 3Logika XII. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. Katedra teoretick informatiky Fakulta informa 0 0n ch technolog 0 3 0 9esk vysok u 0 0en technick v Praze c ПKate 0 0ina Trlifajov, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropsk 0 5 soci ln fond. Praha & EU: Investujeme do va 0 8 budoucnosti RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 1 / 21

1 3Logika XII. Eulerovy a Vennovy diagramy. Hilbert 0 1v axiomatick 0 5 syst m. V ta o dedukci. Korektnost. 0 3plnost. Bezespornost. G 0 2delovy v ty o ne plnosti RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 2 / 21

1 3Hilbertovsk 0 5 axiomatick 0 5 syst m Hilbertovsk 0 5 predik tov 0 5 kalkul Axiomy: (H1) A 6м0 (B 6м0 A)) (H2) (A 6м0 (B 6м0 C)) 6м0 ((A 6м0 B) 6м0 (A 6м0 C)) (H3) ( 0 1B 6м0 0 1A) 6м0 (A 6м0 B) (H4) ( 6я6x)A 6м0 A[t], kde t je term. Specifikace. (H5) ( 6я6x)(A 6м0 B) 6м0 (A 6м0 ( 6я6x)B), kde x nem voln 0 5 v 0 5skyt v A. Odvozovac pravidla: Modus ponens: Z A, A 6м0 B, odvo 0 2 B. Pravidlo generalizace: Z formule A odvo 0 2 ( 6я6x)A. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 3 / 21

1 3Hilbertovsk 0 5 axiomatick 0 5 syst m - pozn mky (H4) 6ч3 ( 6я6x)A 6м0 A[t], kde t je term (i prom nn i konstanta). 6ч3 ( 6я6x)A 6м0 A(x) Jestli 0 6e jsou v 0 8ichni smrteln, pak i libovoln 0 5 0 0lov k x je smrteln 0 5. 6ч3 ( 6я6x)A 6м0 A[S], S je konstanta Jestli 0 6e jsou v 0 8ichni smrteln, pak je i Sokrates smrteln 0 5. (H5) 6ч3 ( 6я6x)(A 6м0 B(x)) 6м0 (A 6м0 ( 6я6x)B(x)), kde x nen voln v A. Jestli 0 6e pro ka 0 6d ho 0 0lov ka plat, 0 6e jestli 0 6e pr 0 8, pak z 0 1stane doma, pak plat, 0 6e jestli 0 6e pr 0 8, pak v 0 8ichni z 0 1stanou doma. Pravidlo generalizace: Jestli 0 6e 6ч3 A, pak 6ч3 ( 6я6x)A. Libovoln 0 5 0 0lov k je smrteln 0 5. Odvod me: V 0 8ichni lid jsou smrteln. Troj heln ky. POZOR! 6ъ2 A 6м0 ( 6я6x)A RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 4 / 21

1 3D 0 1kaz D 0 1kaz Posloupnost formu 0 2 0 3 A 1,...A n je d 0 1kazem formule A (resp. z teorie T), jestli 0 6e A n je A a pro ka 0 6d A i, 1 э i э n, plat, 0 6e A i je axiom nebo A i vznikne z p 0 0edchoz ch A j, j э i pravidlem modus ponens nebo pravidlem generalizace (resp. A i je formule teorie T.) P 0 8eme 6ч3 A (resp. T 6ч3 A). RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 5 / 21

1 3Z kladn vlastnosti Hilbertovsk ho kalkulu V ta o dedukci T je mno 0 6ina formu 0 2 0 3, A je uzav 0 0en a B libovoln formule. Potom T 6ч3 A 6м0 B, pr v kdy 0 6 T, A 6ч3 B. Pozn. Je-li A otev 0 0en, pak A 6ч3 ( 6я6x)A, ale nikoliv 6ч3 A 6м0 ( 6я6x)A Dok 0 6eme ( 6я6x)( 6я6y)A 6м0 ( 6я6y)( 6я6x)A 6ч3 ( 6я6x)( 6я6y)A Hyp. 6ч3 ( 6я6x)( 6я6y)A 6м0 ( 6я6y)A (H4) 6ч3 ( 6я6y)A Modus ponens. 6ч3 ( 6я6y)A 6м0 A (H4) 6ч3 A (MP) 6ч3 ( 6я6x)A Generalizace. 6ч3 ( 6я6y)( 6я6x)A Generalizace. 6ч3 ( 6я6x)( 6я6y)A 6м0 ( 6я6y)( 6я6x)A V ta o dedukci. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 6 / 21

1 3Korektnost V ta o korektnosti V 0 8echna dokazateln tvrzen jsou logicky pravdiv. Jestli 0 6e T 6ч3 A, pak T = A. Je t 0 0eba dok zat: - V 0 8echny axiomy jsou logicky pravdiv formule. - Odvozovac mi pravidly odvod me logicky pravdiv formule. - V 0 8echny formule dokazateln z teorie T jsou tautologick 0 5mi d 0 1sledky teorie T. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 7 / 21

1 3Bezespornost Bezespornost Teorie T je sporn, pr v kdy 0 6 existuje A tak, 0 6e T 6ч3 A a T 6ч3 0 1A. Teorie T je bezesporn, pr v kdy 0 6 neexistuje A tak, 0 6e T 6ч3 A a T 6ч3 0 1A. Teorie T je sporn, pr v kdy 0 6 ka 0 6dou formuli lze v T dok zat. Teorie T je bezesporn, pr v kdy 0 6 existuje formule, kterou v T nelze dok zat. V ta o bezespornosti Jestli 0 6e T m model, potom je bezesporn. Plyne z v ty o korektnosti. Nech 0 2 M je model T. Sporem. Kdyby T byla sporn, pak ex. A, tak 0 6e T 6ч3 A a T 6ч3 0 1A, pak T = A a T = 0 1A, tedy i M = A a M = 0 1A, a to nen mo 0 6n. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 8 / 21

1 3 0 3plnost V ta o plnosti (G 0 2del)* T je bezesporn, pr v kdy 0 6 T m model. Jestli 0 6e T m model, pak je bezesporn - v me. Jestli 0 6e T je bezesporn, pak m model. Mus me ho zkonstruovat. V ta o plnosti V 0 8echny logicky pravdiv formule jsou dokazateln, tj. = A, pr v kdy 0 6 6ч3 A. Je-li T teorie, A je formule stejn ho jazyka, pak T = A, pr v kdy 0 6 T 6ч3 A. Jestli 0 6e T 6ч3 A, pak T = A - v ta o korektnosti. Jestli 0 6e T = A, pak v ka 0 6d m modelu je A Д (uz v r A) pravdiv. Tedy v 0 6 dn m modelu T nen 0 1A Д pravdiv. Tedy T х { 0 1A Д } nem model. Tato teorie je tedy sporn. To je pr v kdy 0 6 T 6ч3 A. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 9 / 21

1 3 0 3pln teorie 0 3pln teorie Teorie T je pln, pr v kdy 0 6 pro ka 0 6dou uzav 0 0enou formuli A plat : T 6ч3 A nebo T 6ч3 0 1A, tj. A je dokazateln nebo vyvratiteln. T je pln, pr v kdy 0 6 pro ka 0 6dou uzav 0 0enou formuli A plat : T = A nebo T = 0 1A. Th(M) mno 0 6ina v 0 8ech uzav 0 0en 0 5ch formu 0 2 0 3, kter plat v M, je pln. T je pln, pr v kdy 0 6 v 0 8echny jej modely jsou element rn ekvivalentn. Hled me pln teorie. Teorie 0 0 ste 0 0n ho uspo 0 0 d n I: ( 6я6x) 0 1x < x - ireflexivita T: ( 6я6x)( 6я6y)( 6я6z)((x < y д y < z) 6м0 x < z) - transitivita lid, x je p 0 0edek y, v 0 5rokov formule, x 6м0 y vs. N, < ( 6я6x)( 6я6y)(x < y е x = y е y < x) - linearita RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 10 / 21

1 3 0 3pln a ne pln teorie Teorie line rn ho uspo 0 0 d n I + T + L: ( 6я6x)( 6я6y)(x < y е x = y е y < x) - linearita N, < vs. Q, < H: ( 6я6x)( 6я6y)((x < y) 6м0 ( 6я9z)(x < y < z)) - hustota Teorie hust ho line rn ho uspo 0 0 d n I + T + L + H: ( 6я6x)( 6я6y)((x < y) 6м0 ( 6я9z)(x < y < z)) - hustota interval Q и [0, 1], < vs. Q, <. N: ( 6я6x)( 6я9y)( 6я9z)(y < x д x < z) - neomezenost Teorie hust ho line rn ho uspo 0 0 d n bez minima a maxima I + T + L + H + N: ( 6я6x)( 6я9y)( 6я9z)(y < x д x < z) - neomezenost 0 3pln teorie! RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 11 / 21

1 3Teorie n sledn ka Teorie popisuj c chov n p 0 0irozen 0 5ch 0 0 sel? L = {S, 0}, S - un rn funk 0 0n symbol, 0 - konstanta Teorie n sledn ka 1 ( 6я6x)( 6я6y)(S(x) = S(y) 6м0 x = y) 2 ( 6я6x)(S(x) ы 0) 3 ( 6я6x)(x ы 0 6м0 ( 6я9y)(x = S(y))) 4 ( 6я6x)S (m) (x) ы x, kde m щ 1 0 3pln teorie. {0, 1, 2,...}, S(x) = x + 1 {0, 2, 4,...}, S(x) = x + 2 {0, 6с11, 6с12, 6с13,...}, S(x) = x 6с1 1 RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 12 / 21

1 3Axiomatizace p 0 0irozen 0 5ch 0 0 sel L = { э, +, S, 0}, S - un rn funk 0 0n symbol Presburgerova aritmetika 1 ( 6я6x)( 6я6y)(S(x) = S(y) 6м0 x = y) 2 ( 6я6x)(S(x) ы 0) 3 ( 6я6x)(x ы 0 6м0 ( 6я9y)(x = S(y))) 4 ( 6я6x)(x + 0 = x) 5 ( 6я6x)( 6я6y)(x + S(y) = S(x + y)) 6 ( 6я6x)( 6я6y)(x э y 6м2 ( 6я9z)(y = z + x)) 7 Sch ma indukce. A(x) je formule. Pak (A(0) д ( 6я6x)(A(x) 6м0 A(S(x)))) 6м0 ( 6я6x)A(x). 1929 - Je pln. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 13 / 21

1 3Peanova aritmetika L = { э, +, а, S, 0}, S - un rn funk 0 0n symbol Peanova aritmetika 1 ( 6я6x)( 6я6y)(S(x) = S(y) 6м0 x = y) 2 ( 6я6x)(S(x) ы 0) 3 ( 6я6x)(x ы 0 6м0 ( 6я9y)(x = S(y))) 4 ( 6я6x)(x + 0 = x) 5 ( 6я6x)( 6я6y)(x + S(y) = S(x + y)) 6 ( 6я6x)(x а 0 = 0) 7 ( 6я6x)( 6я6y)(x а S(y) = x а y + x) 8 ( 6я6x)( 6я6y)(x э y 6м2 ( 6я9z)(y = z + x)) 9 Sch ma indukce. A(x) je formule. Pak (A(0) д ( 6я6x)(A(x) 6м0 A(S(x)))) 6м0 ( 6я6x)A(x). Je Peanova aritmetika pln? RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 14 / 21

1 3G 0 2delova v ta o ne plnosti 1931 G 0 2delovy v ty o ne plnosti V ka 0 6d teorii T, kter obsahuje axiomy aritmetiky (nap 0 0. PA), existuje tvrzen G, pro kter plat G 6м2 0 1Pr(G) Nelze dok zat bezespornost teorie obsahuj c aritmetiku. Teorie obsahuj c axiomy aritmetiky (nap 0 0. PA) nen pln. Kdyby T 6ч3 G, pak by T 6ч3 0 1Pr(G), tedy by neexistoval d 0 1kaz G. Kdyby T 6ч3 0 1G, pak by T 6ч3 Pr(G), G by byla dokazateln a T by byla sporn. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 15 / 21

1 3G 0 2delova numerace G 0 0. pro logick a aritmetick symboly: 0 1 1 = 5 ) 9 е 2 0 6, 10 6м0 3 S 7 + 11 6я9 4 ( 8 а 12 G 0 0. pro prom nn : x, y, z,... - prvo 0 0 sla: 13, 17, 19,... G 0 0. pro formule: ( 6я9x)(x = Sy) 8, 4, 13, 9, 8, 13, 5, 7. 17, 9. G 0 2delovo 0 0 slo m = 2 8.3 4.5 13.7 9.11 8.13 13.17 5.19 7.23 17.29 9 ( 6я9x)(x = S0) G 0 2delovo 0 0 slo n = 2 8.3 4.5 13.7 9.11 8.13 13.17 5.19 7.23 6.29 9 RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 16 / 21

1 3G 0 2delova numerace G 0 0. pro posloupnosti formu 0 2 0 3: ( 6я9x)(x = Sy), ( 6я9x)(x = S0) G 0 2delovo 0 0 slo k = 2 m.3 n. Mohu spo 0 0 tat, zda se jedn o d 0 1kaz. Dem(x, y) 6м2 posloupnost formu 0 2 0 3 s G 0 0. x je d 0 1kazem formule s G 0 0. y. Pr(y) 6м2 ( 6я9x)(Dem(x, y)) A naopak: G 0 0. = 243 000 000 = 64. 243. 15 625 = 2 6.3 5.5 6 6 5 6... 0 = 0 RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 17 / 21

1 3J dro G 0 2delova argumentu Dem(x, y) 6м2 posloupnost formu 0 2 0 3 s G 0 0. x je d 0 1kazem formule s G 0 0. y. Pr(y) 6м2 ( 6я9x)(Dem(x, y)) Sub(x, y) = G 0 0. formule, kterou z sk m z formule s jednou volnou prom nnou s G 0 0. x jej m nahrazen m 0 0 slic y. Sub(x, x) = G 0 0. formule, kterou z sk m z formule s jednou volnou prom nnou s G 0 0. x jej m nahrazen m 0 0 slic x. G 0 0. t to formule = n G 0 0. t to formule je g = Sub(n, n). 0 1( 6я9x)Dem(x, Sub(y, y)) G : 0 1( 6я9x)Dem(x, Sub(n, n)) G je dokazateln, pr v kdy 0 6 G nen dokazateln. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 18 / 21

1 3D 0 1sledky G - Jsem nedokazateln! G 6м2 0 1( 6я9x)Dem(x, Sub(n, n)) G 6м2 0 1Pr(G) G je dokazateln, pr v kdy 0 6 G je nedokazateln. Tedy G je nerozhodnuteln. Tedy PA je ne pln, nelze dok zat 0 0i vyvr tit v 0 8echny formule. Kdybychom p 0 0idali G, nalezneme G, kter m stejnou vlastnost, atd. A : ( 6я9y) 0 1( 6я9x)Dem(x, y) - T je bezesporn. A 6м0 G Kdyby T byla bezesporn, tj. T 6ч3 A, pak G by byla dokazateln. Nelze tedy dok zat, 0 6e T je bezesporn. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 19 / 21

1 3Literatura Kurt G 0 2del: Either mathematics is too big for the human mind or the human mind is more than a machine. Ernest Nagel, James R. Newman: G 0 2del 0 1v d 0 1kaz, Vutium, Brno, 2003. Raymond Smullyan: Nav ky nerozhodnuto, Academia, Praha, 2003. Douglas Hofstadter: G 0 2del, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, 1979. K.G 0 2del: 0 5ber formal unentscheidbare S 0 1tze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I., Monatshefte f r Mathematik und Physic, 38 (1931), 173-198. RNDr. Kate 0 0ina Trlifajov PhD. (FIT 0 9VUT) Logika XII. BI-MLO, ZS 2011/12 20 / 21