Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 21. dubna 2014 1
Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák zdůvodňuje a využívá polohové a metrické vlastnosti základních rovinných útvarů při řešení úloh a jednoduchých problémů; využívá potřebnou matematickou symboliku 4 2.1 Strom - úloha 4............................ 4 3 Žák charakterizuje a třídí základní rovinné útvary 5 3.1 Útvary - úloha 1........................... 5 4 Žák určuje velikosti úhlu měřením a výpočtem 7 4.1 Vnitřní úhly - úloha 5........................ 7 5 Žák načrtne a sestrojí rovinné útvary. 7 5.1 Rovnostranný trojúhelník - úloha 2................. 7 6 Žák odhaduje a vypočítává obsah a obvod základních rovinných útvarů 8 6.1 Obsah útvarů - úloha 1....................... 8 7 Žák využívá pojem množina všech bodů dané vlastnosti k charakteristice útvaru a k řešení polohových a nepolohových konstrukčních úloh 9 7.1 Střed kružnice - úloha 8....................... 9 8 Užívá k argumentaci a při výpočtech věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků 9 8.1 Úhly - úloha 3............................ 9 9 Žák načrtne a sestrojí obraz rovinného útvaru ve středové a osové souměrnosti, určí osově a středově souměrný útvar 10 9.1 Souměrnost - úloha 7......................... 10 10 Žák určuje a charakterizuje základní prostorové útvary (tělesa), analyzuje jejich vlastnosti 10 10.1 Vlastnosti krychle - úloha 2..................... 10 11 Žák odhaduje a vypočítává objem a povrch těles 11 11.1 Krabice mléka - úloha 3....................... 11 12 Žák načrtne a sestrojí sítě základních těles 12 12.1 Sít těles - úloha 1........................... 12 13 Žák načrtne a sestrojí obraz jednoduchých těles v rovině 13 13.1 Házecí kostka - úloha 1........................ 13 14 Žák analyzuje a řeší aplikační geometrické úlohy s využitím osvojeného matematického aparátu 13 14.1 Lanovka - úloha 5.......................... 13 2
15 Žák řeší úlohy na prostorovou představivost, aplikuje a kombinuje poznatky a dovednosti z různých tematických a vzdělávacích oblastí 14 15.1 Střecha - úloha 9........................... 14 16 Zdroje 15 17 GNUškola 15 3
1 Předmluva Dokument vznikl jako zápočtový domácí úkol z předmětu Elementární matematika 2 na PEDF UK. Je určen k revizi cvičení zaměřených na druhý stupeň základní školy [2]. Úlohy jsou vypracovány v několika krocích implikujících řešení. Ze sbírky byly vybrány úlohy, které pokrývají několik témat tak, aby tvořily ukázku možného průřezu výuky na základní škole. 2 Žák zdůvodňuje a využívá polohové a metrické vlastnosti základních rovinných útvarů při řešení úloh a jednoduchých problémů; využívá potřebnou matematickou symboliku 2.1 Strom - úloha 4 U tohoto příkladu je nutné, aby student chápal význam Pythagorovy věty, tedy c 2 = a 2 + b 2 s tím, že c je přepona, a a b jsou strany. Rovnost závisí na faktu, že mezi stranami je 90. Navíc nám může poradit poměr, který je nanesený na vedlejším obrázku. Úhel, který svírá základna a přepona, je stále stejný. Takže můžeme vynásobit c z výpočtu poměrem získaným z 5 0.5 = 10, tedy 10 c, kde c = a 2 + b 2 po dosazení c = sqrt1 2 + 0, 5 2 = 1, 11803 a ten vynásobíme 10 1, 11803 = 11, 1803. Ted už víme jak je velká přepona, podstava je 5 m, takže znovu dosadíme do vzorce a = b 2 + c 2. Znovu dosadíme a = 5 2 + 11, 803 2 = 10.69 4
3 Žák charakterizuje a třídí základní rovinné útvary 3.1 Útvary - úloha 1 1. Pravoúhlý trojúhelník H 2. Kosodélník - B 3. Pravoúhlý lichoběžník - E 4. Rovnostranný trojúhelník - A 5
5. Různoběžník - C 6. Pravidelný šestiúhelník - J 7. Kružnice - F 8. Čtverec - G 9. Lichoběžník - I 10. Pravidelný osmiúhelník - K 11. Tupoúhlý trojúhelník - D Student musí dostat od vyučujícího možnost nalézt nějakou tabulku pokrývající problematiku pojmenování obrazců a tu pak může využít. Opakovaným průchodem tabulky se může naučit nejpoužívanější tvary. Způsob vyhledání tabulky je zcela v rukou studentů, jediným kritériem je pravost údajů v tabulce. Obrázek 1: Tabulka rovinných obrazců ilustračně převzatá z kovo-vyroba.sk [3] 6
4 Žák určuje velikosti úhlu měřením a výpočtem 4.1 Vnitřní úhly - úloha 5 Student by měl vědět, že celý úhel má 360, jeho polovinou je 180. Podle toho už by měl být schopný vypočíst celý příklad. Úhel γ je tedy roven 60, úhel β je stejný jako úhel pod α, tedy 70. Podle tabulky níže mohou studenti vyčíst, že součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180. Ted už je jasné, že α je rovna 50. 5 Žák načrtne a sestrojí rovinné útvary. 5.1 Rovnostranný trojúhelník - úloha 2 Studentovi by mělo být vysvětleno jaký je význam konstrukčního řešení nezávislého užité rovině. Také jak by vypadal sestrojený rovinný útvar při změně větší/menší. Nemělo by se ani vynechat, jakým způsobem je definována rovina a kolik rozměrů má. 7
Konstrukce je vyhotovena na základě vlastností kružnice s přidáním os úseček pro vyhotovení roviny. 6 Žák odhaduje a vypočítává obsah a obvod základních rovinných útvarů 6.1 Obsah útvarů - úloha 1 8
Student je schopen intuitivně obrazce seřadit. Pokud tak udělá, měl by být nucen svojí intuici vysvětlit. Pro každý obrazec platí jeho vzorce, které se dají použít. Může to být následující krok při vypracování úlohy. E > F = H > G > A > D > C = B 7 Žák využívá pojem množina všech bodů dané vlastnosti k charakteristice útvaru a k řešení polohových a nepolohových konstrukčních úloh 7.1 Střed kružnice - úloha 8 Student by měl být seznámen s geometrickým vyjádřením opsané kružnice. Její nákres se vytváří z průsečíku os stran, tedy správná odpověd je B. 8 Užívá k argumentaci a při výpočtech věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků 8.1 Úhly - úloha 3 Student by měl být upozorněn na obecný vzorec pro výpočet vnitřních úhlů, který je Π (n 2) pro radiány, tedy 180 (n 2). Velikost vnitřního úhly, pokud je útvar pravidelný, záleží na poměru ku celkovému součtu vnitřních úhlů, takže je můžeme jednoduše podělit. 3 4 5 6 7 8 60 90 108 120 128 135 180 360 540 720 900 1080 Tabulka 1: Vyplněná tabulka úhlů obrazců 9
9 Žák načrtne a sestrojí obraz rovinného útvaru ve středové a osové souměrnosti, určí osově a středově souměrný útvar 9.1 Souměrnost - úloha 7 T, U, V, A E, C, D, K S, Z, N F, R, P, L Tabulka 2: Vyplněná tabulka souměrnosti 10 Žák určuje a charakterizuje základní prostorové útvary (tělesa), analyzuje jejich vlastnosti 10.1 Vlastnosti krychle - úloha 2 Studentovi by měl být nastíněn tvar krychle, který je po všech stránkách pravidelný. 1. Ano 2. Ano 3. Ano 10
4. Ano - ale záleží na rovině 5. Ano - ale záleží na rovině 11 Žák odhaduje a vypočítává objem a povrch těles 11.1 Krabice mléka - úloha 3 Student by měl být upozorněn, že obsah jednoho litru vody je roven 1dm 3. Stačí tedy vypočítat rozdíl obou rozměrů. 65 95 165 = 1018875mm 3 = 1018875 10 6 dm 3 z toho tedy 1018875 10 3 1 10 3 = 18, 875cm 3 11
12 Žák načrtne a sestrojí sítě základních těles 12.1 Sít těles - úloha 1 Studentovi by mělo být ukázáno kolik kombinací má spojitá oblast stavby krychle. Potom se dá rozebírat příklad samotný. Kontrolní součet by mohl pro studenty být počet možných stran krychle. 1.1 - ANO 1.2 - ANO 1.3 - ANO 1.4 - NE - horní pravá překryje dolní předposlední 1.5 - ANO 1.6 - NE - dolní překryje levou krajní 12
13 Žák načrtne a sestrojí obraz jednoduchých těles v rovině 13.1 Házecí kostka - úloha 1 Student by se měl držet kontrolního součtu v podobě součtu dvou protějších stran. V rámci jednoduchosti zkusíme rozkreslit kostku na sít ovou plochu: 14 Žák analyzuje a řeší aplikační geometrické úlohy s využitím osvojeného matematického aparátu 14.1 Lanovka - úloha 5 13
Student by měl být upozorněn na to, co je doopravdy nadmořská výška a jak se s ní počítá. Také jaký vliv má zakřivení země na celý výpočet. Pro jednoduchost si soustavu převedeme tak, že bod D je ve výšce 0 vzhledem k soustavě pozorovatele, proto H je ve výšce 460 m. Ted je důležité dobře převést měřítko 1:25000, tedy pro 4cm 4 25000 = 100000cm, tedy 1000m. Pro zjištění přepony použijeme Pythagorovu větu: c = a 2 + b 2 tedy c = (460)2 + (1000) 2 = 605800. Sklon lanovky se dá vypočítat jako úhel u H. Můžeme dopočítat úhel sind = 460 605800 = 0, 0008 tedy dopočet na úhel H 179, 99 15 Žák řeší úlohy na prostorovou představivost, aplikuje a kombinuje poznatky a dovednosti z různých tematických a vzdělávacích oblastí 15.1 Střecha - úloha 9 Podle údaje o 45 může student pochopit, že na velkou část příkladu se dá použít Pythagorova věta. Následně je dobré vědět vztah pro cosα = b c z toho vyjádříme c, tedy c = b sinα. Můžeme použít znalost, že osou strany podstavy rovnoramenného trojúhelníky je osa procházející středem a bode vrcholu, tedy víme, že podstavu můžeme pro a vydělit dvěma a získat tak a do vzorce. 3 c = cos(45 ) = 3 2 ted už můžeme dopočíst výšku podle Pythagorovi věty v = (3) 2 + (3 2) 2 = 9m. Výška h odpovídá tedy 8 3 3 = 2m. Obsah trojúhelníka se dá vypočíst ze znalostí strany c = 3 2 kvůli vlastnostem rovnoramenného trojúhelníka, tedy 3 2 6/2 = 27. Lehce si můžeme dopomoci k obsahu lichoběžníka a to tak, že vezmeme polovinu obsahu trojúhelníka dvakrát a přičteme zbytek, což je h c. 3 2 6 + 2 3 2 = 24 2 Celková plocha je tedy součtem těchto obrazců 2 24 2 + 2 27 = 121, 88. Pro objem stačí znát, že objem jehlanu je 1 3 a2 v tedy 1 3 6 9 = 18. My ale potřebujeme jen půlku, tedy 9. To přičteme k obsahu 9 3 2 2 = 27 ze zbytku. Tedy získáváme 45. Obrázek naznačující sít střechy by mohl vypadat následovně: 14
16 Zdroje [1]CIHLÁŘ, Jiří. Očekávané výstupy v RVP ZV z matematiky ve světle testových úloh [online]. 1. vyd. Praha: Ústav pro informace ve vzdělávání - Divize nakladatelství Tauris, 2007, 109 s. [cit. 2014-04-19]. ISBN 978-80-211-0544- 7. Dostupné z: http://info.edu.cz/cs/system/files/cekavane_vystupy_ v_rvp_zv_z_ma.pdf [3]Kovovyroba.sk. [online]. [cit. 2014-04-19]. Dostupné z: http://kovo-vyroba. sk/upload/product/hnrhwrxyxzhupzae.jpg 17 GNUškola Tento materiál je vytvořen pomocí svobodného software v rámci projektu Gnuskola.cz 15