Dokument: SX011a-CZ-EU Strana 1 z 7 Eurokód Vypracoval rnaud Lemaire Datum březen 005 Kontroloval lain Bureau Datum březen 005 Řešený příklad: Nosník s kopením namáhaný koncovými Tento příklad seznamuje s detailním posouzením prostě podepřeného nosníku, zatíženého koncovými. Nosník je příčně držen pouze v podporách. M 1 1 M B ψ M B S 0 ψ 1 1 : Příčné držení nosníku Znaménková konvence pro působící je kladná proti směru hodinových ručiček, jak je vidět na obrázku. Tedy záporné v tomto příkladu jsou v podpoře a kladné v podpoře B. Konvence pro vnitřní ohybové je stanovena tak, že kladný moment vyvolá tlak v horní přírubě. ψ je poměr mezi vnitřními ohybovými na obou koncích nosníku a v tomto příkladu je jeho hodnota kladná. Nosník je navržen z válcovaného I profilu ohýbaného kolem tuhé osy. Příčně držen je pouze v podporách. Příklad zahrnuje: - klasifikaci průřezu, - výpočet únosnosti v ohybu včetně zjednodušené metody pro klopení (ztrátu příčné a torzní stability), - výpočet únosnosti ve smyku, - výpočet průhybu v mezním stavu použitelnosti. Průřezy třídy 4 nejsou zahrnuty. Dílčí součinitelé spolehlivosti γ G 1,35 (stálé zatížení) γ Q 1,50 (nahodilé zatížení) γ M0 1,0 γ M1 1,0 EN 1990 6.1 (1)
Dokument: SX011a-CZ-EU Strana z 7 Eurokód Vypracoval rnaud Lemaire Datum březen 005 Kontroloval lain Bureau Datum březen 005 Vstupní data Jedná se o návrh nespřaženého nosníku vícepatrové budovy pro níže uvedená vstupní data. Předpokládá se, že nosník je příčně držen pouze v podporách. Rozpětí: L 9,80 m Koncový moment () způsobený stálým zatížením: M G, -5 knm Koncový moment (B) způsobený stálým zatížením: M G,B 5 knm Koncový moment v podpoře () způsobený nahodilým zatížením: M Q, -55 knm Koncový moment v podpoře (B) způsobený nahodilým zatížením: M Q,B 35, knm Třída oceli: S355 Návrh IPE 500 ocel S355 Výška h 500 mm t f z Euronorm 19-57 Šířka b 00 mm t w Tloušťka stěny Tloušťka příruby t w 10, mm t f 16 mm y y h Zaoblení r 1 mm z b
Dokument: SX011a-CZ-EU Strana 3 z 7 Eurokód Vypracoval rnaud Lemaire Datum březen 005 Kontroloval lain Bureau Datum březen 005 Plocha průřezu 115,5 cm Moment setrvačnosti /yy I y 4800 cm 4 Moment setrvačnosti /zz I z 14 cm 4 Moment setrvačnosti v kroucení I t 89,9 cm 4 Výsečový moment setrvačnosti I w 149000 cm 6 Pružný průřezový modul /yy W el,y 198 cm 3 Plastický průřezový modul /yy W pl,y 194 cm 3 Poloměr setrvačnosti /zz i z 4,31 cm Vlastní tíha nosníku je zanedbána. Kombinace pro MSÚ : Ohybový moment v podpoře () : -(γ G M G, + γ Q M Q, ) -[1,35 (-5) + 1,50 (-55)] 89,3 knm Ohybový moment v podpoře (B) : γ G M G,B + γ Q M Q,B 1,35 5 + 1,50 35, 59,5 knm Poměr koncových ohybových momentů: ψ 59,5 / 89,3 0,666 EN 1990 6.4.3. Výraz 6.10 Průběh momentů B Maximální moment vznikne v podpoře : M y,ed +89,3 knm Průběh posouvajících sil B Smyková síla je po délce nosníku konstantní: V z,ed (89,3 59,5) / 9,80 3,04 kn
Dokument: SX011a-CZ-EU Strana 4 z 7 Eurokód Vypracoval rnaud Lemaire Datum březen 005 Kontroloval lain Bureau Datum březen 005 Mez kluzu Ocel třídy S355 Největší tloušťka je 16 mm < 40 mm, takže: f y 355 N/mm Poznámka : Národní příloha může zavést hodnoty f y buď z tabulky 3.1 nebo z materiálových listů. Klasifikace průřezu : 35 Parametr ε vyplývá z meze kluzu: ε 0,81 f [N/mm ] Přečnívající části pásnice: rovnoměrně tlačená pásnice c (b t w r) / (00 10, 1) / 73,9 mm c/t f 73,9 / 16 4,6 9 ε 7,9 Třída 1 Vnitřní tlačená část: stojina v prostém ohybu c h t f r 500 16 1 46 mm c / t w 46 / 10, 41,76 < 7 ε 58,3 Třída 1 Třídu průřezu určuje nejvyšší ze tříd (tj. nejméně příznivá) stanovených pro pásnici a stojinu, zde : Třída 1 Posouzení MSÚ má být provedeno pro plastickou únosnost průřezu, protože se jedná o první třídu. Moment únosnosti Návrhová únosnost průřezu v ohybu je: M c,rd M pl,rd W pl,y f y / γ M0 (194 355 / 1,0) / 1000 M c,rd 778,87 knm M y,ed / M c,rd 89,3 / 778,87 0,115 < 1 Vyhoví y Tabulka 3.1 Tabulka 5. (list ze 3) Tabulka 5. (list 1 ze 3) 6..5 Redukční součinitel klopení (součinitel ztráty příčné a torzní stability) K určení návrhové únosnosti při klopení (únosnosti při ztrátě příčné a torzní stability) nosníku bez příčného držení se musí stanovit součinitel klopení. Následující výpočet určí tento součinitel zjednodušenou metodou pro klopení (ztrátu příčné a torzní stability). Tato metoda vynechává výpočet pružného kritického momentu při klopení.
Dokument: SX011a-CZ-EU Strana 5 z 7 Eurokód Vypracoval rnaud Lemaire Datum březen 005 Kontroloval lain Bureau Datum březen 005 Poměrná štíhlost Poměrná štíhlost může být získána zjednodušenou metodou pro ocel třídy S355: L/ i 980/4,31 λ z,675 Viz SN00 85 85 Pro válcované průřezy platí λ,0 0,4 Poznámka : Hodnota λ,0 může být stanovena v národní příloze. Doporučená hodnota je 0,4. Odtud λ > Součinitel klopení,675 λ,0 0,4 Pro válcované průřezy se součinitel klopení vypočítá ze: χ φ + φ 1 β λ ale kde: φ 0,5 [ 1+ α ( λ λ,0 ) + β λ ] χ 1.0 1 χ λ α je součinitel imperfekce při boulení. Použije-li se metoda platná pro válcované průřezy, křivka klopení se vybírá podle tabulky 6.5: Pro h/b 500 / 00,5 > křivka c (α 0,49) λ,0 0,4 a β 0,75 6.3..3(1) 6.3..3(1) Tabulka 6.5 Tabulka 6.3 Poznámka: Hodnoty λ,0 a β mohou být stanoveny v národní příloze. Doporučené hodnoty jsou 0,4 a 0,75. Výpočtem: φ 0,5 1+ 0,49 (,675 0,4) [ + 0,75 (,675) ] 3,741 1 a dále: χ 0,150 3,741+ (3,741) 0,75 (,675)
Dokument: SX011a-CZ-EU Strana 6 z 7 Eurokód Vypracoval rnaud Lemaire Datum březen 005 Kontroloval lain Bureau Datum březen 005 Kontrola: χ 0,150 < 1,0 ale: χ 0,150 > 1/ λ 0,140 Tedy: χ 0,140 Vliv průběhu momentu na návrhový moment únosnost při klopení nosníku se získá pomocí součinitele f: [ ] ( 1 k ) 1 ( ) f 1 0,5 c λ 0,8 ale 1 kde: ψ 59,5 / 89,3 0,666 k 1 1 0, 9 c 133, 0, 33 ψ 133, -0, 33 0, 666 Odtud: f 1 0,5 (1 0,90) [1 (,675 0,8) ] 1,301 1 takže f 1,0 6.3..3 () Tabulka 6.6 Získáme: χ,mod χ / f 0,140 / 1,0 0,140 Návrhový moment únosnosti při klopení M b,rd χ,mod W pl,y f y / γ M1 M b,rd (0,140 194000 355 / 1,0) 10-6 109 knm M y,ed / M b,rd 89,3 / 109 0,819 < 1 Vyhoví Smyková únosnost Nedochází-li ke kroucení průřezu, závisí plastická smyková únosnost na smykové ploše, která je dána jako: v,z b t f + (t w + r) t f v,z 11550 00 16 + (10, + 1) 16 5985 mm Smyková plastická únosnost V 3 ( fy / 3) 5985 (355 / 3) 10 γ 1,0 v,z pl, z,rd M0 V z,ed / V pl,z,rd 3,04 / 16 0,00 < 1 Vyhoví 16 kn 6.3..1 6..6 (3) 6..6 ()
Dokument: SX011a-CZ-EU Strana 7 z 7 Eurokód Vypracoval rnaud Lemaire Datum březen 005 Kontroloval lain Bureau Datum březen 005 Je třeba poznamenat, že posouzení na boulení při smyku není nutné, pokud: h w / t w 7 ε / η η lze konzervativně brát rovno 1,0 h w / t w (500 16) / 10, 45,9 < 7 0,81 / 1,0 58,3 Posouzení mezního stavu použitelnosti Kombinace zatížení v MSP Ohybový moment v podpoře : -(M G, + M Q, ) -(-5 55) 60 knm Ohybový moment v podpoře B : M G,B + M Q,B 5 + 35, 40, knm 6..6 (6) EN 1990 6.5.3 Průhyb od koncových momentů: Největší průhyb je vypočten z hodnot koncových momentů a vlastností nosníku. Místo největšího průhybu je vypočteno podle: x max 3 + ψ + L 3(1+ ψ + ψ ) 0,67 + xmax 9,8 3 + 3(1+ 0,67 + 0,67 ) Největší průhyb je: w M EI ψ 1 3 1 + ψ xmax + xmax Lx 6L 6 4,739 m max 6 60 10 0,67 1 3 1 + 0,67 w 4739 + 4739 9800 4739 4 10000 4800 10 6 9800 6 5,9 mm Tento průhyb činí L/1690. Poznámka 1: Omezení průhybu má být specifikováno zákazníkem. Některá omezení může stanovit národní příloha. Výsledný průhyb lze považovat za plně vyhovující. Poznámka : Pokud se týká vibrací, může národní příloha stanovit omezení pomocí vlastní frekvence. Výše vypočtený průhyb je tak malý, že žádný problém s vibracemi nenastane. 7..1 7..3
Řešený příklad: Nosník s klopením namáhaný koncovými SX011a-CZ-EU Quality Record RESOURCE TITLE Example: Unrestrained beam with end moments Reference(s) ORIGINL DOCUMENT Name Company Date Created by rnaud Lemaire CTICM 13/4/05 Technical content checked by lain Bureau CTICM 13/4/05 Editorial content checked by D C Iles SCI 4/8/05 Technical content endorsed by the following STEEL Partners: 1. UK G W Owens SCI 7/7/05. France Bureau CTICM 17/8/05 3. Germany Olsson SBI 8/8/05 4. Sweden C Muller RWTH 10/8/05 5. Spain J Chica Labein 1/8/05 Resource approved by Technical Coordinator G W Owens SCI 7/7/06 TRNSLTED DOCUIMENT This Translation made and checked by: M. Eliášová CTU in Prague 31/7/07 Translated resource approved by: J. Macháček CTU in Prague 31/7/07 National technical contact F. Wald CTU in Prague