ZÁKLADNÍ PŘÍPADY NAMÁHÁNÍ

Transkript

1 7. cvičení ZÁKLADNÍ PŘÍPADY NAMÁHÁNÍ V této kapitole se probírají výpočty únosnosti průřezů (neboli posouzení prvků na prostou pevnost). K porušení materiálu v tlačených částech průřezu dochází: mezní plastifikací (nadměrnou plastickou deformací), místní ztrátou stability (lokálním boulením) nebo kombinací obou způsobů. Zavádí se tzv. klasifikace průřezů, v závislosti od ní se únosnosti počítají pomocí průřezových charakteristik plastických (s indexem pl), pružných (s indexem el), efektivních (s indexem eff). K porušení materiálu v tažených částech průřezu dochází: mezní plastifikací (nadměrnou plastickou deformací) v plném průřezu nebo houževnatým lomem (přetržením) v místě oslabení dírami pro šrouby. Je třeba počítat s oslabením průřezu, únosnosti se stanovují pomocí průřezových charakteristik plného průřezu (bez zvláštního indexu), účinného průřezu (s indexem net). Klasifikace průřezů Definují se 4 třídy průřezů: (1) Průřezy, ve kterých lze předpokládat úplný plastický kloub s dostatečnou deformační kapacitou pro plasticitní výpočet. () Průřezy, ve kterých lze předpokládat plnou plastickou únosnost, avšak s omezenou deformační kapacitou. (3) Průřezy, ve kterých lze předpokládat pouze plnou pružnou únosnost definovanou dosažením návrhové pevnosti v nejvíce namáhaných tlačených vláknech. (4) Průřezy, jejichž ohybová nebo tlaková únosnost je v důsledku lokálního boulení stěn menší než jejich plná pružná únosnost. Rámcovou představu o klasifikaci poskytuje následující obr. je třeba jej chápat jako ilustraci, ve skutečnosti může být např. válcovaný I profil třídy 1 apod. 1

2 Obr. Klasifikace průřezů Poznámka Průřezy tříd 1, a 3 se označují jako kompaktní; průřezy třídy 4 se označují jako štíhlé. V dalším se budeme zabývat převážně kompaktními průřezy, průřezy třídy 4 se probírají až v samém závěru semestru (v tématu Pevnost štíhlých stěn ). K definicím tříd Pojmy pružný a plastický se týkají jednak průběhu napětí v průřezu, jednak průběhu vnitřních sil v konstrukci. Napětí v průřezu lze uvažovat podle teorie plasticity u průřezů tříd 1 a, u průřezů třídy 3 jen podle teorie pružnosti; rozdělení vnitřních sil v konstrukčním prvku lze uvažovat podle teorie plasticity pouze u průřezů třídy 1, u průřezů ostatních tříd pak podle teorie pružnosti (viz obr.). Obr. Napětí od ohybu Obr. Vnitřní síly od ohybu

3 3

4 4

5 Třída průřezu se stanoví podle štíhlosti tlačených a ohýbaných stěn viz přiložený arch. Poznámka U běžně používaných profilů mají jednotlivé stěny svoje ustálené názvy (viz obr.). Obr. Názvy stěn Oslabení průřezu Účinný průřez se bere jako plný průřez zmenšený vhodným způsobem o všechny díry (a jiné otvory). Jestliže jsou díry uspořádány vstřícně, potom účinná plocha (oslabeného průřezu) A net = A d 0 t, jestliže jsou díry pro šrouby vystřídané, potom účinná plocha s t A net = A d0 t +, 4 p kde A... plná průřezová plocha, d 0 t... součet ploch oslabení v řezu (kritické lomové čáře), s t... výraz zahrnující (všechny) šikmé části řezu, 4 p kde d 0...průměr díry, t...tloušťka, s, p...rozteče dvou sousedních děr, viz obr. Obr. Oslabení průřezu 5

6 Prostý tah Obr. Prostý tah Prvky namáhané prostým tahem (viz obr.) se posuzují podle podmínky N Sd N t, Rd, kde N Sd...návrhová tahová síla, N t,rd...únosnost v (prostém) tahu, která se vypočte A f y N pl, Rd =, γ M 0 Nt, Rd = min 0,9 Anet fu Nu, Rd =, γ M kde A, A net... plná a účinná plocha průřezu, f y, f u... mez kluzu a mez pevnosti, γ M0, γ M... dílčí součinitele spolehlivosti materiálu. Připomeneme, že γ M0 = 1,15, γ M = 1,30. Poznámka V uvedené podmínce spolehlivosti, jakož i ve všech dalších se návrhové účinky zatížení (tj. vnitřní síly a napětí) dosazují v absolutních hodnotách (nikoliv podle konvence teorie pružnosti). Příklad oslabení průřezu + prostý tah Zadání. Posuďte tažený plech tloušťky t = 10 mm z oceli S 35 oslabený dírami pro šrouby o průměru d 0 = 18 mm podle obr. Návrhová tahová síla je N Sd = 300 kn. 6

7 Řešení K výpočtu použijeme (pro ocel S 35) následující materiálové charakteristiky: f y = 35 MPa, γ M0 = 1,15, f u = 360 MPa, γ M = 1,30. Jak bylo uvedeno, v plechu působí tahová síla N Sd = 300 kn máme prokázat podmínku spolehlivosti. N Sd N t, Rd Řešíme prvek oslabený dírami vystřídaného uspořádání únosnost v tahu N t,rd stanovíme jednak na základě plné průřezové plochy A, jednak na základě účinné plochy oslabeného průřezu A net, jež je dána vztahem s t A net = A d0 t +. 4 p Plnou průřezovou plochu stanovíme (podle kót v obr.) jednoduchými počty A = b t = = 1800 mm, účinné plochy je třeba stanovit pro všechny reálné způsoby přetržení viz obr. (jednotlivé řezy a příslušné účinné plochy tedy očíslujeme). Nejprve vypočteme plochu jednoho oslabení d 0t = = 180 mm, hodnotu výrazu pro jednu šikmou část řezu s t = = 67 mm. 4 p 4 60 Potom účinné plochy v závislosti od počtu oslabení a počtu šikmých částí řezu jsou dány hodnotami: s t A net, 1 = A 1 d0t + 0 = = 160 mm, 4 p s t, = A d0t + 0 = = 1440 mm A net, 4 p 7

8 s t A net, 3 = A d0t + 1 = = 1507 mm 4 p s t A net, 4 = A 3 d0t + = = 1394 mm 4 p,. Posouzení se provede na základě nejmenší účinné plochy A min A, =1394 mm. net = net i i Únosnost v tahu A f y N pl, Rd = = = 368 kn γ M 0 1,15 Nt, Rd = min = 347 kn 0,9 Anet fu 0, N = = = 347 kn u, Rd γ 1,30 M N = 300 kn vyhovuje. Sd Prostý tlak Prvky namáhané prostým tlakem (viz obr.) se posuzují podle podmínky N Sd N c, Rd, kde N Sd... návrhová tlaková síla, N c,rd... únosnost v prostém tlaku, která se pro průřezy tříd 1, a 3 vypočte Obr. Prostý tlak A f y Nc, Rd =, γ M 0 kde A...plná průřezová plocha, f y...mez kluzu, γ M0...dílčí součinitel spolehlivosti materiálu. Oslabení průřezu vyplněnými dírami se neuvažuje. Poznámka Štíhlé pruty musí být rovněž posouzeny na vzpěr, o tom však později. 8

9 Prostý ohyb Obr. Prostý ohyb Prvky namáhané prostým ohybem (viz obr.) se posuzují podle podmínky M Sd M c, Rd, kde M Sd...návrhový ohybový moment, M c,rd...(prostá) momentová únosnost, která se vypočte Wpl f y M c, Rd = M pl, Rd = pro průřezy tříd 1 a, γ M 0 Wel f y M c, Rd = M el, Rd = pro průřezy třídy 3, γ M 0 kde W pl, W el... plastický a pružný průřezový modul, f y... mez kluzu, γ M0... dílčí součinitel spolehlivosti materiálu. Stručně připomeneme stanovení průřezových modulů Pružný průřezový modul vychází z předpokladu pružného průběhu napětí po průřezu (viz obr.), je dán výrazem I y W el =, ez kde I = z da... moment setrvačnosti k hlavní (těžišťové) ose y, y A e z... vzdálenost krajních vláken od osy y. Plastický průřezový modul vychází z předpokladu plastifikace celého průřezu (viz obr.), je dán výrazem A W =, kde S y pl S y A A = z da = zc.. statický moment poloviny průřezu k těžišťové ose y na A dvě stejně velké poloviny je průřez rozdělen plastickou neutrální osou, která je obecně různá od osy těžišťové. 9

10 Obr. K průřezovému modulu Tak např. pro dvouose symetrický I profil (viz obr.) se průřezové moduly (k tuhé ose y) vypočtou 1 3 W ( ( )( ) ) 3 el = b h b tw h t f, 6 h tw W ( ) ( ) pl = b t f h t f + h t f. 4 Obr. I průřez Poznámka Štíhlé pruty musí být rovněž posouzeny na klopení, o tom však později. Prostý smyk Prvky namáhané prostým smykem (viz obr.) se posuzují podle podmínky V Sd V pl, Rd, Obr. Prostý smyk kde V Sd...návrhová posouvající síla, V pl,rd...smyková únosnost, která se vypočte Av f y Vpl, Rd =, γ M 0 3 kde A v...smyková plocha průřezu, f y...mez kluzu, γ M0...dílčí součinitel spolehlivosti materiálu. 10

11 Stručně připomeneme, že smyková plocha (v obecném pojetí teorie pružnosti) je dána výrazem A A v =, κ kde A...(celková) průřezová plocha, A S y κ = d > 1,0 A...smykový součinitel, I y A t kde I y...moment setrvačnosti průřezu k ose y, S y...statický moment části průřezu k ose y (jakožto funkce s průběhem po střednici průřezu), t...tloušťka stěny průřezu. U běžně používaných profilů (složených z přímých stěn tj. průřezu I, U, L, T apod.) lze uplatnit doporučení brát smykovou plochu A v jako plochu všech částí rovnoběžných s působící posouvající silou. Tak např. pro dvouose symetrický I profil (viz obr.) se smyková plocha (v rovině větší tuhosti) vypočte A v = h t w v případě válcovaného profilu, A = h t t v případě svařovaného profilu. v ( f ) w Obr. Ke smykové ploše Pro některé další průřezy je smyková plocha uvedena v tab. Tab. Smyková plocha některých průřezů 1 ) ) 3 ) A v 0,5 A 0,844 A 0,833 A 1 ) Kruhová trubka konstantní tloušťky ) Plný kruhový průřez 3 ) Plný obdélníkový průřez 11

12 Příklad klasifikace průřezu + prostý ohyb + prostý smyk Zadání. Posuďte ohýbaný prostý nosník o rozpětí L = 10 m při rovnoměrném zatížení q = 10 kn/m' na prostou pevnost. Nosník je svařovaný, z oceli S 35, dvouose symetrického I průřezu (viz obr.). Řešení K výpočtu použijeme (pro ocel S 35) následující materiálové charakteristiky: f y = 35 MPa, γ M0 = 1,15. Nejprve určíme (podle zásad stavební mechaniky) složky vnitřních sil (viz obr.). Uprostřed rozpětí působí návrhový ohybový moment 1 1 M Sd = q L = = 1500 knm, 8 8 v podporovém průřezu působí návrhová posouvající síla 1 1 V Sd = q L = = 600 kn. 1

13 Je zřejmé, že uprostřed rozpětí vzniká prostý ohyb máme prokázat podmínku spolehlivosti M Sd M c, Rd, v podporovém průřezu vzniká prostý smyk máme prokázat podmínku spolehlivosti. V Sd V pl, Rd Momentová únosnost M c,rd se stanovuje v závislosti od klasifikace průřezu ta se provádí podle štíhlosti tlačených a ohýbaných stěn, tj. tlačené pásnice a ohýbané stojiny. Štíhlost tlačené pásnice je dána poměrem (viz obr.) c t f 145 = = 5,8, 5 přičemž kritéria jednotlivých tříd jsou uvedena v oddíle (c) přiloženého archu. Takže pásnice o štíhlosti c = 5,8 9ε = 9 spadá do třídy 1. t f Štíhlost ohýbané stojiny je dána poměrem (viz obr.) d 950 = = 95, t w 10 přičemž kritéria jednotlivých tříd jsou uvedena v oddíle (a) přiloženého archu. Takže stojina o štíhlosti d = 95 14ε = 14 spadá do třídy 3. t w V obou případech jsme brali součinitel ε = = = 1,0. 35 f y 13

14 Třídu celého průřezu určuje nejnepříznivější (tj. nejvyšší) třída klasifikovaných stěn tzn. náš průřez je třídy 3. Stanovíme tedy pružný průřezový modul W el = ( b h ( b tw )( h t f ) )= 6 h 1 3 = Momentová únosnost W 6 el f y 8, M c Rd = = = 1749 knm M Sd γ 1, ( ( ) ( ) ) = 8,56 10 mm, = M knm. vyhovuje. Smyková únosnost V pl,rd se stanoví pomocí smykové plochy A v, kterou lze pro svařovaný profil brát A = ( ) = ( ) 10 = 9, v h t f tw mm. Smyková únosnost A 3 v f y 9, Vpl, Rd = = = 111 kn VSd 600 kn γ 3 1,15 3 = vyhovuje. M 0 14