Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr.

Transkript

1 . cvičení Klopení nosníků Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr. Ilustrace klopení Obr. Ohýbaný prut a tvar jeho ztráty stability Ohýbané pruty (nosníky) se posuzují na klopení podle podmínky M Sd M b, Rd, kde M Sd...návrhový ohybový moment, M b,rd...momentová únosnost při klopení, která se vypočte

2 Wpl f y M b, Rd χ LT pro průřezy tříd a, γ M Wel f y M b, Rd χ LT pro průřezy třídy, γ M kde W pl, W el... plastický a pružný průřezový modul, f y... mez kluzu, γ M... dílčí součinitel spolehlivosti materiálu, χ LT... součinitel vzpěrnosti při klopení. Součinitel vzpěrnosti při klopení se určí z výrazu χ LT, s omezením χ LT,0, φ + φ λ LT 0 LT [ λ LT λ ] φ +, a to na základě poměrné štíhlosti při klopení λ LT a křivky vzpěrné pevnosti. Poznámka Metodika výpočtu součinitele klopení χ LT je shodná se stanovením součinitele vzpěrného tlaku χ, číselné hodnoty se mohou brát tedy ze stejné tabulky. kde,5 + α ( 0, ) Přiřazení křivek vzpěrné pevnosti k průřezům je následující: pro válcované profily se uvažuje vzpěrná křivka a, v ostatních případech se uvažuje vzpěrná křivka c. Odpovídající součinitele imperfekce α uvádíme v tab. Tab. Součinitel imperfekce Vzpěrná křivka a c α 0, 0,49 Poměrná štíhlost při klopení závisí (kromě uspořádání průřezu) na těchto faktorech: vzpěrné délky L z, L ω, působiště (příčného) zatížení e z, tvar momentového obrazce.

3 Zavádějí se dvě vzpěrné délky: L z...vzpěrná délka pro vybočení tlačeného pásu z roviny ohybu bere se jako vzdálenost průřezů zajištěných proti vybočení, u konzoly s volným koncem (nezajištěným proti vybočení) se uvažuje jako dvojnásobek jejího vyložení, L ω...vzpěrná délka pro zkroucení celého nosníku byla vysvětlena v rámci vzpěrného tlaku. Obecně platí, že čím je vzpěrná délka větší, tím je únosnost při klopení menší. Obr. Působiště příčného zatížení Obr. Vliv působiště zatížení

4 Poloha zatížení se udává vzdáleností e z měřenou od středu smyku C s. Kladnými hodnotami e z se označuje příznivý vliv polohy zatížení, záporným hodnotám e z odpovídá nepříznivý vliv (viz obr.). Je třeba si uvědomit, že na vybočeném prutu vyvolává příčné zatížení (vzhledem ke středu smyku) přídavný krouticí moment, který (v závislosti na poloze zatížení) působí buďto příznivě (tzn. zmenšuje pootočení průřezu) anebo nepříznivě (tzn. zvětšuje pootočení průřezu). Při působení jen koncových momentů se bere e z 0. Stručně k momentovému obrazci Nejnepříznivější případ představuje konstantní moment po celé délce nosníku. Ve všech ostatních případech (parabola, trojúhelník apod.) je namáhání příznivější, neboť části nosníku jsou méně využité. Podrobnosti uvedeme posléze. Výpočet podle kritické štíhlosti ve smyslu přílohy G k ČSN 7 40 Poměrná štíhlost při klopení se stanoví podle výrazu λ Wpl λ LT pro průřezy tříd a, λ Wel λ λ LT pro průřezy třídy, λ kde λ... kritická štíhlost při klopení, λ 9, 9 ε... srovnávací štíhlost, 5 ε. f y Pro průřezy alespoň jednoose symetrické, s osou symetrie shodnou s rovinou zatížení (viz obr.), se kritická štíhlost (pro ohyb v rovině větší tuhosti) stanoví podle výrazu κ M Lz λ γ, iz kde L z...vzpěrná délka tlačeného pásu pro vybočení z roviny ohybu, i z...poloměr setrvačnosti tlačeného pásu, κ M...součinitel vzpěrné délky při klopení, γ...součinitel štíhlosti při klopení. 4

5 Obr. Jednoose symetrický průřez zatížený v rovině symetrie Poloměr setrvačnosti tlačeného pásu je dán vztahem I z iz z ai, I y kde I y > I z... momenty setrvačnosti průřezu k hlavním setrvačným osám, z... vzdálenost těžiště tlačené pásnice od těžiště průřezu C g, a i max { a ; a }, a... vzdálenost těžiště tlačené pásnice od středu smyku C s, a... vzdálenost těžiště tažené pásnice od středu smyku C s (viz obr.). Součinitel vzpěrné délky κ M vystihuje tvar momentového obrazce (viz tab.). Tab. Součinitel κ M Momentová plocha κ M Momentová plocha κ M,00,00 0,94 0,86 0,86 0,65 5

6 Součinitel štíhlosti lze určit podle výrazu γ, ac + ez ac + ez C κ + κ + ai ai ai kde e z... vzdálenost působiště zatížení od středu smyku C s, a c... vzdálenost středu smyku C s od bodu C w ležícího v polovině teoretické výšky průřezu h 0, která je kladná, je-li tlačen silnější pás, a i... větší ze vzdáleností a, a (viz obr.), κ pro prut namáhaný jen koncovými momenty, κ 0,5 pro prut příčně zatížení, kde C h0 Lz t Lz α t h 0 δ GI EI ω I z t z + Lω Lz 0,6 h 0 α π I I t z,...parametr kroucení, I δ...parametr deplanace, h 0 kde L z...vzpěrná délka tlačeného pásu pro vybočení z roviny ohybu, L ω...vzpěrná délka nosníku při zkroucení, h 0...teoretická výška průřezu, I z...moment setrvačnosti k měkké ose, I t...moment tuhosti v prostém kroucení, I ω...výsečový moment setrvačnosti, E...modul pružnosti v tahu, tlaku, G...modul pružnosti ve smyku. Obr. Jednoose symetrický průřez zatížený v rovině symetrie 6

7 Pro průřezy s osou symetrie kolmou k rovině zatížení (viz obr.) lze kritickou štíhlost při klopení λ stanovit rovněž podle uvedených vztahů, přičemž součinitel štíhlosti γ se určí pro parametr α te (místo α t ) podle výrazu ( δ ) π te αt. α Poznámka Lze ověřit, že pro dvouose symetrický průřez platí δ α te α t. Obr. Jednoose symetrické průřezy zatížené kolmo k rovině symetrie Výpočet podle kritického momentu ve smyslu ENV 99-- (eurokódu) Poměrná štíhlost při klopení se stanoví podle výrazu Wpl f y λ LT pro průřezy tříd a, M cr Wel f y λ LT pro průřezy třídy, M cr kde M cr...pružný kritický moment. Pro dvouose symetrické průřezy (viz obr.) se kritický moment určí podle výrazu π EI z Lz Iω Lz GIt M + + ( ) + cr C C ez C ez, Lz Lω I z π EI z kde L z... vzpěrná délka tlačeného pásu pro vybočení z roviny ohybu, L ω... vzpěrná délka nosníku při zkroucení, e z... vzdálenost působiště zatížení od středu smyku C s, I z... moment setrvačnosti k měkké ose, I t... moment tuhosti v prostém kroucení, I ω... výsečový moment setrvačnosti, 7

8 E... modul pružnosti v tahu, tlaku, G... modul pružnosti ve smyku. C, C... součinitele vystihující tvar momentového obrazce (viz tab.). Obr. Dvouose symetrický průřez Tab. Součinitele C, C Momentová plocha C C Momentová plocha C C,000 0,40,000 0,40, 0,459,65 0,55,65 0,55 Kdy se klopení nemusí ověřovat Ohýbaný prut nemusí být posuzován na klopení, je-li splněna některá z následujících podmínek: průřez prutu je tuhý v kroucení (např. uzavřený nebo plný průřez); nosník je ohýbán v rovině menší tuhosti; tlačený pás je spojitě zajištěn proti vybočení z roviny ohybu; tlačený pás je zajištěn proti vybočení nespojitě, a to ve vzdálenostech L z < 40 i z (kde L z je vzpěrná délka tlačeného pásu pro vybočení z roviny ohybu a i z poloměr setrvačnosti tlačeného pásu). 8

9 Příklad (podle kritické štíhlosti) Zadání. Posuďte válcovaný nosník o rozpětí L 5 m při rovnoměrném zatížení q,0 kn/m' na klopení (viz obr.). Nosník je průřezu I 60 z oceli S 5, zatížení působí na horním pásu. Podepření v ohybu i kroucení je na obou koncích kloubové, tlačený pás je zabezpečen proti vybočení pouze v podporách. Řešení K výpočtu použijeme (pro ocel S 5) následující materiálové charakteristiky: f y 5 MPa, γ M,5. Některé hodnoty průřezových charakteristik přebíráme ze statických tabulek: I y 9, mm 4, I ω, mm 6, I z mm 4, W pl,y 6. 0 mm, I t 65,7. 0 mm 4, W el,y 7. 0 mm ; ostatní stanovíme jednoduchými počty (pro dvouose symetrický průřez): h 0 h t f 60 9,5 50,5 mm teoretická výška průřezu, a i a a h 0 / 50,5 / 75,5 mm vzdálenost těžiště tlačené, resp. tažené pásnice od středu smyku C s, z h 0 / 50,5 / 75,5 mm vzdálenost těžiště tlačené pásnice od těžiště průřezu C g, a c 0 vzdálenost středu smyku C s od bodu C w ležícího v polovině teoretické výšky průřezu h 0, I z i z z ai 75,5 75,5 8,0 mm 6 I y 9,5 0 poloměr setrvačnosti tlačeného pásu. 9

10 Uprostřed rozpětí určíme návrhový ohybový moment M,0 5 Sd q L 9,8 knm, 8 8 máme tedy prokázat podmínku spolehlivosti M Sd M b, Rd. Klasifikaci průřezu nepředvádíme lze snadno ověřit, že průřez I 60 spadá do třídy. Potom momentová únosnost při klopení je dána vztahem Wpl f y M b, Rd χ LT. γ M Součinitel vzpěrnosti při klopení χ LT stanovíme následujícím postupem: stanovíme vzpěrné délky L z, L ω, určíme vzdálenost e z udávající polohu zatížení, průběh ohybového momentu vyjádříme součiniteli κ M, κ, stanovíme kritickou štíhlost při klopení λ, určíme poměrnou štíhlost při klopení λ LT, přiřadíme křivku vzpěrné pevnosti, určíme součinitel klopení χ LT. Vzpěrné délky stanovíme podle podmínek uložení prutu (viz obr.). Takže L z 5000 mm, L ω 5000 mm. Zatížení má své působiště na horním pásu (viz obr.), jeho vliv na klopení je nepříznivý. Tedy e z h / 60 / 80 mm. Součinitele κ M, κ bereme následovně: κ M 0,94 (pro parabolický průběh ohybového momentu), κ 0,5 (pro příčné zatížení prutu). 0

11 Kritickou štíhlost při klopení λ stanovíme podle parametru kroucení Lz It ,7 0 α t 0,6 0,6 7,4, h0 I z 50, parametru deplanace 9 Iω,4 0 δ. h0 I z 50, Vyčíslíme h0 C Lz δ L ω + αt π 50, , π 50 mm, takže součinitel štíhlosti γ ac + ez ac + ez C κ + κ + ai ai ai 0, ,5 + 0,5 + 75,5 75,5 75,5 Kritická štíhlost při klopení je tedy κ M Lz 0, λ γ 0,49 7. i 8,0 z

12 Následuje výpočet poměrné štíhlosti (pro průřez třídy ) λ Wpl λ LT,46, λ Wel 9,9 7 0 kde λ 9,9 ε 9, 9 je srovnávací štíhlost, 5 ε,0. f y Nyní přiřadíme vzpěrnou křivku pro válcovaný profil se bere křivka a které přísluší součinitel imperfekce α 0,. Konečně stanovíme součinitel vzpěrnosti při klopení χ LT 0,90, φ + φ λ,698 +,698,46 LT LT [ λ LT + λ ] 0,5 [ + 0, (,46 0,) +,46 ], 698 kde φ 0,5 + α ( 0,) Momentová únosnost při klopení W pl f y M b, Rd χ LT 0,90 0,84 knm γ,5 M M 9,8 knm vyhovuje. Sd. Příklad (podle kritického momentu) Zadání. Posuďte válcovaný nosník o rozpětí L 5 m při rovnoměrném zatížení q,0 kn/m' na klopení (viz obr.). Nosník je průřezu I 60 z oceli S 5, zatížení působí na horním pásu. Podepření v ohybu i kroucení je na obou koncích kloubové, tlačený pás je zabezpečen proti vybočení pouze v podporách.

13 Poznámka Zadání je stejné jako v příkladu č.. Řešení K výpočtu použijeme (pro ocel S 5) následující materiálové charakteristiky: E MPa, G MPa, f y 5 MPa, γ M,5. Hodnoty průřezových charakteristik přebíráme ze statických tabulek: I z mm 4, I ω, mm 6, I t 65,7. 0 mm 4, W pl,y 6. 0 mm, Uprostřed rozpětí určíme návrhový ohybový moment M,0 5 Sd q L 9,8 knm, 8 8 máme tedy prokázat podmínku spolehlivosti M Sd M b, Rd. Klasifikaci průřezu nepředvádíme lze snadno ověřit, že průřez I 60 spadá do třídy. Potom momentová únosnost při klopení je dána vztahem Wpl f y M b, Rd χ LT. γ M Součinitel vzpěrnosti při klopení χ LT stanovíme následujícím postupem: stanovíme vzpěrné délky L z, L ω, určíme vzdálenost e z udávající polohu zatížení, průběh ohybového momentu vyjádříme součiniteli C, C, stanovíme kritický moment M cr, určíme poměrnou štíhlost při klopení λ LT, přiřadíme křivku vzpěrné pevnosti, určíme součinitel klopení χ LT.

14 Vzpěrné délky stanovíme podle podmínek uložení prutu (viz obr.). Takže L z 5000 mm, L ω 5000 mm. Zatížení má své působiště na horním pásu (viz obr.), jeho vliv na klopení je nepříznivý. Tedy e z h / 60 / 80 mm. Součinitele C, C bereme pro parabolický průběh ohybového momentu: C,, C 0,459. Stanovíme tedy kritický moment π EI z Lz Iω cr C + Lz Lω I z Lz GIt M + z z π EI z ( C e ) + C e π , , , ,459 ( 80) + 0, π , 0 ( ) ( ) ( 5, ,5 0 +,5 0 7) 6, knm Následuje výpočet poměrné štíhlosti (pro průřez třídy ) W pl f y λ LT,40. 6 M 6, 0 cr. 4

15 Nyní přiřadíme vzpěrnou křivku pro válcovaný profil se bere křivka a které přísluší součinitel imperfekce α 0,. Konečně stanovíme součinitel vzpěrnosti při klopení χ LT 0,48, φ + φ λ,606 +,606,40 LT LT [ λ LT + λ ] 0,5 [ + 0, (,40 0,) +,40 ], 606 kde φ 0,5 + α ( 0,) Momentová únosnost při klopení W pl f y M b, Rd χ LT 0,48,6 knm γ,5 M M 9,8 knm vyhovuje. Sd. Závěrečná poznámka V zájmu dodržení litery citované normy poopravíme matematický zápis některých veličin. Momentová únosnost při klopení se píše ve tvaru βw Wpl f y M b, Rd χ LT, γ M kde β W pro průřezy tříd a, β W W el / W pl pro průřezy třídy, β W W eff / W pl pro průřezy třídy 4, kde W eff je tzv. efektivní průřezový modul; dále pro poměrnou štíhlost při klopení platí vztah λ βw Wpl βw Wpl f y λ LT. λ W M el cr 5