Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální fond. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 1 / 13
Logika X. Prenexní normální tvar. Skolemizace. Rezoluční metoda. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 2 / 13
Prenexní normální tvar Definice Formule je v prenexním normální tvaru, jestliže je ve tvaru (Q 1 x 1 )...(Q n x n )A, kde A je otevřená formule, Q i jsou kvantifikátory, x i jsou proměnné. ( x)( y)( z)(y < x y ), ( k)(n = 2k) Definice Formule B je varianta formule A, jestliže se liší jen přejmenováním vázaných proměnných. ( u)( v)( w)(w < u v ), ( l)(n = 2l). Věta Je-li B varianta A, pak A B. ( x)( y)( z)(y < x y ) ( u)( v)( w)(w < u v ) (( k)(n = 2k) ( l)(n = 2l)) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 3 / 13
Prenexní operace Chceme mít formule v prenexním tvaru. Víme: (( x)a ( x)b) ( x)(a B) (( x)a ( x)b) ( x)(a B) Prenexní operace 1 ( x)a ( x) A ( x)a ( x) A 2 Není-li x volná v A, pak (A ( x)b(x)) ( x)(a B(x)) (A ( x)b(x)) ( x)(a B(x)) 3 Není-li x volná v A, pak (A ( x)b(x)) ( x)(a B(x)) (A ( x)b(x)) ( x)(a B(x)) 4 Není-li x volná v B, pak (( x)a(x) B) ( x)(a(x) B) (( x)a(x) B) ( x)(a(x) B) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 4 / 13
Prenexní operace - důkaz ad 2. Není-li x volná v A, pak (A ( x)b(x)) ( x)(a B(x)). Dokážeme (A ( x)b(x)) ( x)(a B(x)). Sporem. Kdyby ex. M tak, že M = (A ( x)b(x)) ( x)(a B(x)), pak M = (A ( x)b(x)) a M = ( x)( A B(x)), tedy existuje m M tak, že A B[m], ale A B[m].. Dokážeme ( x)(a B(x)) (A ( x)b(x)). Sporem. Kdyby ex. M tak, že M = ( x)(a B(x) (A ( x)b(x)), pak M = ( x)(a B(x)) a M = A a M = ( x) B(x), tedy existuje m M tak, že B[m], ale A B[m] a A.. ad 3. Není-li x volná v A, pak (A ( x)b(x)) ( A ( x)b(x)) ( x)( A B(x)) ( x)(a B(x)) ad 4. Není-li x volná v B, pak (( x)a(x) B) ( ( x)a(x) B) (( x) A(x) B) ( x)(a(x) B) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 5 / 13
Prenexní normální tvar Věta Ke každé formuli existuje formule s ní ekvivalentní v prenexním normálním tvaru. Příklady: 1 ( a)( b)((a < b) ( c)(a < b < c) ( a)( b)( c)((a < b) (a < b < c) 2 ( x)(x = 0) ( x)(x = S(0)) ( x)(x = 0) ( y)(y = S(0)) ( x)( y)((x = 0) (y = S(0))) 3 ( x)(x > 0) ( y)(x + y > 0)) ( z)(z > 0) ( y)(x + y > 0)) ( z)( y)((z > 0) (x + y > 0)) ( y)( z)((z > 0) (x + y > 0)) 4 ( ɛ)((ɛ > 0) ( δ)( x)((δ > 0) ( x c < δ) ( f (x) f (c) < ɛ)) ( ɛ)( δ)( x)((ɛ > 0) ((δ > 0) ( x c < δ) ( f (x) f (c) < ɛ)) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 6 / 13
Skolemizace Chceme jen obecné kvantifikátory. Definice T je konzervativní rozšíření teorie T, právě když L L a pro každou formuli jazyka L platí T = A, právě když T = A. ( x)a(x)... vybereme novou konstantu c L = L {c} T = T {( x)a(x) A(c)} ( x)( y)a(x, y)... definujeme novou funkci f (x) L = L {f (x)} T = T {( x)a(x, f (x))) ( x)( y)a(x, y)} RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 7 / 13
Skolemův normální tvar Věta Ke každé uzavřené formuli A existuje formule A S, která je v prenexním normální tvaru, kde všechny kvantifikátory jsou obecné, tzv. Skolemův normální tvar. Příklady: A je splnitelná, právě když A S je splnitelná. ( y)( x)(x > y)... definujeme konstantu c tak, že ( x)(x > c) ( x)( y)(x > y)... definujeme funkci f (x) tak, že ( x)(x > f (x)) ( t)( x)( y)( z)( u)( w)a(t, x, y, z, u, w)... c ( x)( y)( z)( u)( w)a(c, x, y, z, u, w)... g(x, y) ( x)( y)( u)( w)a(c, x, y, g(x, y), u, w)... h(x, y, u) ( x)( y)( u)a(c, x, y, g(x, y), u, h(x, y, u)) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 8 / 13
Otevřené jádro formule Věta Nechť A je otevřená formule s volnými proměnnými x 1,..., x n. Potom pro libovolnou interpretaci M platí M = A, právě když M = ( x 1 )...( x n )A. A je tautologie ( x 1 )...( x n )A je tautologie. A se nazývá otevřené jádro formule ( x 1 )...( x n )A Příklad: ( x)( y)((x > y) (y > x)) je pravdivé v N, právě když (x > y) (y > x) je pravdivé v N A(x) je tautologie, právě když ( x)a(x) je tautologie. POZOR! A(x) ( x)a(x) není tautologie. A(x) ( x)a(x) není tautologie. ( x 1 )...( x n )A není logicky ekvivalentní s A. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 9 / 13
Rezoluční metoda v predikátové logice 1 Teorie. Konjunkce formuĺı. 2 Prenexní normální tvar. 3 Skolemizace. 4 Otevřené jádro formule. 5 Klausule. 6 Resolventy formuĺı. 7 Kontradikce? Příklad: ( x)(p(x) Q(x)), ( x) P(x) = ( x)q(x)? ( x)(p(x) Q(x)) ( x) P(x) ( x)q(x) ( x)(p(x) Q(x)) ( z) P(z) ( y) Q(y) ( z)( x)( y)((p(x) Q(x)) P(z) Q(y)) ( x)( y)((p(x) Q(x)) P(c) Q(y)) (P(x) Q(x)) P(c) Q(y)) Q(c), Q(c), RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 10 / 13
Rezoluční metoda v predikátové logice Žádný člověk není zvíře Některé zvíře je šelma. Tudíž některá šelma není člověk. ( x)(c(x) z(x)), ( x)(z(x) s(x)) = ( x)(s(x) c(x)) ( x)( c(x) z(x)) ( x)(z(x) s(x)) ( x)(s(x) c(x)) ( x)( c(x) z(x)) ( v)(z(v) s(v)) ( u)(s(u) c(u)) ( x)( c(x) z(x)) (z(k) s(k)) ( u)(s(u) c(u)) ( x)( u)( c(x) z(x)) z(k) s(k) ( s(u) c(u)) (( c(x) z(x)) z(k) s(k) ( s(u) c(u)))... otevřená formule s(k), c(k), z(k), z(k),. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 11 / 13
Příklady Každá větší ryba je rychlejší než menší ryba. Tudíž jestliže je nějaká ryba největší, pak je i nějaká ryba nejrychlejší, v(x, y), r(x, y) ( x)( y)(v(x, y) r(x, y)) = ( z)( y)v(z, y) ( z)( y)r(z, y) Sporem: ( x)( y)(v(x, y) r(x, y)) (( z)( u)v(z, u) ( z)( u)r(z, u)) ( x)( y)(v(x, y) r(x, y)) ( z)( u)v(z, u) ( s)( t)r(s, t) ( x)( y)( v(x, y) r(x, y)) ( z)( u)v(z, u) ( s)( t) r(s, t) RM: ( x)( y)( v(x, y) r(x, y)) ( u)v(c, u) ( s) r(s, f (s)) v(c, u), r(c, f (c)), v(c, f (c)), v(c, f (c)) r(c, f (c)). Spor. STROM: Tedy existuje c tak, že ( u)v(c, u). Tedy též existuje d tak, že r(c, d). Tedy i v(c, d). Ale v(c, d) r(c, d). Tedy spor. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 12 / 13
Příklad Každý Cadillac je dražší než jakékoli levné vozidlo. Tudíž Cadillac není levné vozidlo, c(x), l(x) d(x, y) ( x)( y)((c(x) l(y)) d(x, y)) = ( x)(c(x) l(x)) Kdyby tomu tak nebylo, pak ( x)( y)((c(x) l(y) d(x, y))) ( x)(c(x) l(x)) Označme si toto konkrétní auto m. Platí c[m] l[m] (( c[m] l[y])) d[m, m]). Tedy d[m, m]. To je spor. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 13 / 13