Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Transkript

1 Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky - p. 1/19

2 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru. funkcí - p. /19

3 Rozklad polynomu na kořenové činitele. Připomeňme si, že polynomem s reálnými koeficienty rozumíme každou funkci q danou předpisem q(x) := a n x n + a n 1 x n a 1 x 1 + a 0, kde a 0, a 1,..., a n R, a že každý takový polynom lze psát ve tvaru typu: m x q(x) = a n (x α 1 ) n 1...(x α k ) n k (x + β 1 x + γ 1 ) m 1...(x + β l x + γ l ) m l, (sin x, cos x) Ö kde R(x, ax +...)dx. α i jsou navzájem různá reálná čísla, β j, γ j R, polynomy (x + β j x + γ j ) mají navzájem různé nereálné kořeny, n i, m j N {0}. Matematická analýza ve Vesmíru. funkcí - p. 3/19

4 Rozklad racionální funkce na parciální zlomky. Věta Necht p a q jsou polynomy s reálnými koeficienty a takové, že stupeň polynomu p je menší než stupeň polynomu q. Rozložme q do tvaru q(x) = a n (x α 1 ) n 1...(x α k ) n k (x + β 1 x + γ 1 ) m 1...(x + β l x + γ l ) m l. Pak existují reálná čísla a ij, b rs, c rs taková, že typu: m x (sin x, cos x) p(x) q(x) = a 11 x α 1 + a 1 (x α 1 ) + + a 1n 1 (x α 1 ) n a k1 x α k + a k (x α k ) + + a kn k (x α k ) n k + R(x, ax +...)dx. + b 11x+c 11 x +β 1 x+γ 1 + b 1x+c 1 (x +β 1 x+γ 1 ) + + b 1m 1 x+c 1m1 (x +β 1 x+γ 1 ) m b l1x+c l1 x +β l x+γ l + b lx+c l (x +β l x+γ l ) + + b lm l x+c lml (x +β l x+γ l ) m l. Matematická analýza ve Vesmíru. funkcí - p. 4/19

5 Příklady. x+ 3x +3x 18 = x+ 3(x )(x+3) = a x + b x+3, 3x x+1 (x+4) (x 1) 3 = a x+4 + b (x+4) + c x 1 + x 3 +x 13 x (x +x+3) = a x + b x + x +x+3, d (x 1) + e (x 1) 3, x 3 +x 13 x (x +x+1) = x3 +x 13 = a x (x+1) x + b x + c x+1 + d, (x+1) x = a (x 1)(x +x+3) x 1 + bx+c x +x+3 + dx+e (x +x+3). typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Definice. Funkce tvaru p(x) q(x), kde p a q jsou polynomy, nazýváme racionálními funkcemi; říká parciální zlomky funkcím tvaru a (x α) n a bx+c (x +βx+γ) m se (a, b, c, α, β, γ R; n, m N; x + βx + γ nemá reálné kořeny). Matematická analýza ve Vesmíru. funkcí - p. 5/19

6 Příklad. Rozložme racionální funkci x +x+1 x 4 1 Řešení. na parciální zlomky. x +x+1 x 4 1 = x +x+1 (x+1)(x 1)(x +1) = a x+1 + b x 1 + x +1 pro nějaká a, b, c, d R. Po vynásobení výrazem x 4 1 obdržíme x + x + 1 = a(x 1)(x + 1) + b(x + 1)(x + 1) + (cx + d)(x 1). Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin sestavíme soustavu (lineárních) rovnic x 3 : 0 = a + b + c, x : 1 = a + b + d, x 1 : 1 = a + b c, x 0 : 1 = a + b d, typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. jejichž vyřešením získáme (a jednoznačně!) hledaná čísla a, b, c, d. Výsledek: x + x x 4 = 1 4(x + 1) + 3 4(x 1) x (x + 1). Matematická analýza ve Vesmíru. funkcí - p. 6/19

7 Důležité pozorování. Výpočet výše uvedené soustavy rovnic se zrychlí, dosadíme-li do rovnice x + x + 1 = a(x 1)(x + 1) + b(x + 1)(x + 1) + (cx + d)(x 1) reálné kořeny x 4 1 (jmenovatele): Poznámka. Není-li v p(x) q(x) x = 1: 3 = 4b b = 3 4, x = 1: 1 = 4a a = 1 4. stupeň polynomu p menší než stupeň nekonstantního polynomu q, provedeme dělení polynomů p(x) : q(x) se zbytkem. Získáme tak vyjádření ve tvaru typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. p(x) q(x) = u(x) + v(x) q(x), kde u a v jsou polynomy a stupeň polynomu v je menší než stupeň polynomu q. Matematická analýza ve Vesmíru. funkcí - p. 7/19

8 Řešení. Příklad. Rozložme racionální funkci x 4 x 4 x 3 x+1. x 4 : x 4 x 3 x + 1 = 1 + x3 +x 1 x 4 x 3 x+1, (x 4 x 3 x + 1) x 3 + x 1 a proto existují čísla a, b, c, d R taková, že 1 + x3 +x 1 x 4 x 3 x+1 = 1 + Odtud plyne x 3 +x 1 = 1 + a (x 1) (x +x+1) x 1 + b (x 1) + x +x+1. x 3 + x 1 = a(x 1)(x + x + 1) + b(x + x + 1) + (cx + d)(x 1). Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin získáme soustavu x 3 : 1 = a + c, x 1 : 1 = b + c d, x : 0 = b c + d, x 0 : 1 = a + b + d, jejímž řešením jsou čísla a = 1, b = 1 3, c = 0, d = 1 3, typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. a proto x 4 x 4 x 3 x+1 = x (x 1) 1 3(x +x+1). Matematická analýza ve Vesmíru. funkcí - p. 8/19

9 Integrace parciálních zlomků. typu počítáme pomocí substituce x α = t. Příklady. a (x α) n dx dx x 6 = dt t = ln t = ln x 6 v (, 6) i v (6, ). x 6 = t dx = dt dx = dt (x 6) 3 t = 1 3 t = 1 (x 6) v (, 6) i v (6, ). typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Pozor! dx 6 x = dt t = ln t = ln 6 x = ln x 6 6 x = t dx = dt v (, 6) i v (6, ). Matematická analýza ve Vesmíru. funkcí - p. 9/19

10 Integrace parciálních zlomků. typu bx+c (x +βx+γ) m dx nejdříve rozložíme na součet bx+c (x +βx+γ) dx = b x+β m (x +βx+γ) dx + (c bβ m ) dx (x +βx+γ), m a potom první z integrálů vypočítáme substitucí x + βx + γ = t (protože pak (x + β) dx = dt), druhý integrál doplněním na čtverec ve jmenovateli a vhodnou (lineární) substitucí převedeme na výpočet integrálu dt (1+t ), pro který jsme již dříve odvodili m (pomocí per partes) rekurentní formuli. typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru. funkcí - p. 10/19

11 Příklad. 6x 1 x +x+3 dx = 3 x+ x +x+3 dx 7 = 3 dt t 7 x + x + 3 = t (x + ) dx = dt dx (x+1) + = 3 ln t 7 dx x +x+3 = dx 1+ x+1 = typu: m x (sin x, cos x) = 3 ln(x +x+3) 7 = 3 ln(x + x + 3) 7 arctg x+1 = u dx = du du 1+u = 3 ln(x +x+3) 7 arctg u = ( ) x+1 (v R). R(x, ax +...)dx. Cvičení. Vypočtěte 6x 1 (x + x + 3) dx. Matematická analýza ve Vesmíru. funkcí - p. 11/19

12 Dobrá rada: vyplatí se přemýšlet! Podívejme se na následující dva výpočty: x 3 x 4 +1 dx = x 3 (x + x+1)(x dx = x+1) = ax+b x + x+1 + x x+1 dx = 4(x + + x x+1) = x+ 4(x x+1) dx = = 1 4 ln(x + x+1)+ 1 4 ln(x x+1) = 1 4 ln(x4 +1), typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. x 3 x 4 +1 dx = 1 4 x = t 4x 3 dx = dt dt t = 1 4 ln t = 1 4 ln(x4 + 1) (v R). Cvičení. Vypočtěte x 3x dx. Matematická analýza ve Vesmíru. funkcí - p. 1/19

13 typu sin m x kde n, m N {0}, rozdělíme na dva případy. 1. Je-li n nebo m liché číslo, užijeme při výpočtu první substituční metodu. Příklad. sin 3 x cos x dx = sinx(1 cos x) cos x dx = cos x = t sin x dx = dt typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. = (1 t )t dt = t3 3 + t5 5 = cos3 x 3 + cos5 x 5 v R.. Jsou-li n a m sudá čísla, lze při výpočtu využít rovností sin x = 1 cos(x), cos x = 1 + cos(x). Matematická analýza ve Vesmíru. funkcí - p. 13/19

14 Příklad. sin x cos x dx = 1 cos(x) 1+cos(x) dx = 1 4 = dx cos(4x) dx = 1 4 x 1 8 x cos (x) dx = sin(4x) 4 = x 8 sin(4x) 3 v R. Označení. Symbolem R(u, v) rozumějme zlomek, v jehož čitateli i jmenovateli jsou pouze konečné součty výrazů tvaru k u n v m, kde k, u, v R; n, m N {0}. Zobrazení (u, v) R(u, v) se říká racionální funkce dvou proměnných. typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Příklady takovýchto zobrazení: R(u, v) = 3u v 0 +uv 0 +1u 0 v 0 1u 0 v 0 = 3u + u + 1, R(u, v) = 1u3 v +3uv 3 +u 0 v 0 1 u 0 v 0 = u 3 v + 3uv 3 +, R(u, v) = u0 v +1u 0 v 0 1u v 0 +1u 0 v 3 = v +1 u +v 3. Matematická analýza ve Vesmíru. funkcí - p. 14/19

15 typu R(sin x, cosx) dx lze substitucí tg x Přesvědčme se o tom. Nejdříve si vyjádřeme sinx, cos x a dx pomocí t. sin x + cos x = 1 tg x = 1 cos x a proto Takže = t převést na integrály sinx = sin x cos x = tg x cos x = t 1+t, cos x = cos x 1 = 1 1+t 1 = 1 t 1 1 cos x dx = dt. 1 cos x = 1 1+tg x 1+t, R(sinx,cos x) dx = R( t 1+t, 1 t 1+t ) 1+t dt. = 1 1+t, typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. (Všimněme si, že dříve zkoumané integrály typu sin m x dx jsou rovněž typu R(sinx,cos x) dx stačí volit R(u, v) := u n v m. Na předcházejících stránkách popsané metody jejich výpočtu jsou však zpravidla méně pracné než použití substituce tg x = t.) Matematická analýza ve Vesmíru. funkcí - p. 15/19

16 Příklad. 1 sin x 1+cos x dx = 1 t 1+t 1+ 1 t 1+t = t ln(t + 1) = tg x ln(tg x 1+t dt = t t+1 t +1 dt = 1 t t +1 dt = A opět: vyplatí se přemýšlet! sin 3 x cos x dx = t 1+t 3 1 t 1+t + 1) v (například) ( π, π). 1+t dt = 16t 3 dt =..., (1+t ) (t 1) (t+1) typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. sin 3 x cos x dx = (1 cos x) sin x cos x dx = 1 t t dt = 1 t + t = = 1 cos x + cos x. cos x = t sin x dx = dt Matematická analýza ve Vesmíru. funkcí - p. 16/19

17 typu R (x, s ax+b ) kde a, b, c, d R, s N \ {1}, ad bc (proč?), zjednodušíme s ax+b substitucí = t. typu: m x Příklad. x+3+x x+3 x dx = t+ t 3 t t 3 t dt = t +t 3 t +t+3 t dt = (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. x + 3 = t x = t 3 dx = t dt = t 4 + 8t+1 (t+1)(t 3) dt = t 4t + 9 t t+1 dt = = t 4t 9 ln t 3 + ln t + 1 = = x+3 4 x ln x ln x Matematická analýza ve Vesmíru. funkcí - p. 17/19

18 typu R(x, ax + bx + c) kde a, b, c R, a 0, ax + bx + c má dva různé (obecně komplexní) kořeny α 1, α (proč?), rozdělíme na dva případy. 1. Je-li a > 0, volíme tzv. Eulerovou substituci ax + bx + c = ax + t, která je vhodná na každém otevřeném intervalu, který je částí definičního oboru dané integrované funkce. Příklad. dx x = 1 4t t x +x 1 t + +1 t +1 (1 t) (1 t) +t 4(1 t) dt = typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. x + x 1 = 1 x + t, x = t +1 (1 t), dx = 4t t + 4(1 t) dt = t +1 dt = arctg t = arctg ( x + x 1 x) v (, 1 ) i v ( 1 +, ). Matematická analýza ve Vesmíru. funkcí - p. 18/19

19 R(x, ax + bx + c) dx. Je-li a < 0, má smysl uvažovat pouze případ, kdy α 1, α R (jinak ax + bx + c < 0 v R). Předpokládejme, že α 1 < α. Pak pro každé x (α 1, α ) (a jiná nás nemohou zajímat) platí ax + bx + c = a(x α 1 )(x α ) = = ( a)(x α 1 )(α x) = α x ( a)(x α 1 ), x α 1 a proto počítaný integrál lze psát ve tvaru ( R x, ) a(x α 1 ) α x x α 1 dx; typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. a integrály tohoto druhu už počítat umíme - volíme substituci α x x α 1 = t. Cvičení. Přepočítejte výše popsanou metodou, že dx + = arctg x+3 3 x x 1 x + 1 x x+3+ 1 x v ( 3, 1). Matematická analýza ve Vesmíru. funkcí - p. 19/19